Lecture 7: Convergent Sequences of Real Numbers（实数的收敛序列）

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Lecture 7: Convergent Sequences of Real Numbers（实数的收敛序列）

概述

本讲的主题是：当我们无法预先知道极限是什么时，怎样断定极限存在？ 前六讲我们做的是”验证型”工作——先猜出极限 $x$，再用 $\epsilon$-$N$ 定义去验证 $x_n\to x$（例如 Lecture 6 Example 69 证 $\lim 1/n=0$）。可是分析学中绝大多数有意思的序列，其极限值恰恰是我们最想知道、同时也最难猜的东西（$\sqrt2$、$e$、$\pi$ 的无理数构造都长这个样子）。本讲给出第一把”不用猜就能断定收敛“的钥匙：单调有界定理 (Monotone Convergence Theorem, MCT)。

本讲引入的主要工具是三个：有界序列、单调序列 (monotone sequence)、子序列 (subsequence)。核心结论有两个：

1. Theorem 75（单调有界定理）：单调递增且上有界的序列必收敛，且 $\lim x_n=\sup\{x_n:n\in\mathbb N\}$；单调递减且下有界必收敛到 $\inf$。它把”收敛性”化归为”有界性”——这是本课程第一次出现只需检查一个静态性质（有界）就能得到动态结论（收敛）的定理。
2. Theorem 79（子序列收敛定理）：若 $x_n\to x$，则任何子序列 $x_{n_k}\to x$。它的逆否用法（配合 Remark 80）是证明发散的利器：找出两个收敛到不同值的子序列即可。

本讲在整个课程中的位置极为关键：它是 LUB 性质的第二次大丰收（第一次是 Lecture 5 的 $\sup$ 运算律与 Archimedes 性质）。Lecture 9 的 Bolzano–Weierstrass 定理（每个有界序列都有收敛子序列）在源文件里就是”由上一讲定理立刻得到”的推论，而 B–W 又是 Lecture 16 Min–Max 定理（极值定理）的证明引擎；Lecture 10 的 Cauchy 完备性、Lecture 11–12 的级数判别法（单调有界的部分和）也都站在 MCT 的肩膀上。更准确地说：从本讲开始，”用上确界造极限”成为本课程最核心的技术范式。

本笔记的记号约定：凡标注 【补充】 的内容，都是源文件（lecture_07.txt）里没有、由本笔记额外提供的动机、直观、例子或习题解答；凡引用编号（Example 70、Theorem 75、Definition 77 等）则严格对应源文件的编号，不作改动。

核心定义与直观解释

回顾：有界序列、上界与下界（源文件 Lecture 6 Definition 61 + Lecture 3 的序语言）

（定义 A：有界序列，源文件编号 Lecture 6 Definition 61）

• 严格定义：序列 $\{x_n\}$ 有界 (bounded)，若 \(\exists B\ge 0,\ \forall n\in\mathbb N,\quad \vert x_n\vert \le B .\) 若这样的 $B$ 不存在，则称 $\{x_n\}$ 无界 (unbounded)。

• 直观解释（”它到底在说什么？”）：把所有项 $x_1,x_2,x_3,\dots$ 当作数轴上的点全部撒出去，”有界”就是说这些点统统被关在一个以原点为中心、长度为 $2B$ 的对称盒子 $[-B,B]$ 里。注意：盒子的大小 $B$ 只要存在就行，不必是最优的；$B$ 是”一次性砸下去的一个笼子”，它必须对所有 $n$ 同时有效（这正是 $\exists B\,\forall n$ 的量词顺序）。它不关心序列怎么动，只关心它跑不跑得远。

• 上界 / 下界的语言（回顾 Lecture 3）：设 $S=\{x_n:n\in\mathbb N\}$ 是序列的值集。
  • $u$ 是 $S$ 的上界 (upper bound)，若 $\forall n,\ x_n\le u$；$S$ 上有界 (bounded above) 指上界存在。
  • $l$ 是 $S$ 的下界 (lower bound)，若 $\forall n,\ x_n\ge l$；$S$ 下有界指下界存在。
  • 有界 $\iff$ 既有上界又有下界。证明只需两步代数：若 $\vert x_n\vert \le B$，则 $-B\le x_n\le B$，即 $-B$ 是下界、$B$ 是上界；反过来，若 $l\le x_n\le u$ 对一切 $n$ 成立，取 $B=\max\{\vert l\vert ,\vert u\vert \}$，则 $\vert x_n\vert \le B$（依据：$\vert x\vert \le B\iff -B\le x\le B$，即源文件 Lecture 5 Theorem 50 第 5 条）。
  • 由 LUB 性质（Lecture 3 Definition 26、Lecture 4 Theorem 39：$\mathbb R$ 是唯一具有最小上界性质的有序域）：非空且上有界的实数集必有上确界 $\sup S\in\mathbb R$；配合 Lecture 4 Theorem 38（有 LUB 性 $\Rightarrow$ 有最大下界性），非空且下有界的集必有下确界 $\inf S\in\mathbb R$。请记住这句话，因为 Theorem 75 的全部力量都来自它。

• 为什么需要”有界”这个条件？ 因为它正是 MCT 里”收敛”的全部代价：Theorem 75 说单调序列”有界 $\iff$ 收敛”。没有有界性，单调序列会跑到无穷远（如 $x_n=n$，”极限”是 $+\infty$，不是实数）；没有单调性，有界也不够（见下面的反例）。

• 具体示例：
  • $\{1/n\}$：$\vert 1/n\vert \le 1$ 对一切 $n$ 成立，故取 $B=1$ 即有界；它是单调递减的，值集为 $(0,1]$，故 $\sup=1$、$\inf=0$。
  • $\{(3n+1)/(n+2)\}$：取 $B=3$ 即可，因为 \(\frac{3n+1}{n+2}<3\iff 3n+1<3n+6\iff 1<6\ \ \text{（恒真）},\) 且显然 $(3n+1)/(n+2)>0$，所以 $0<x_n<3$，即 $\vert x_n\vert \le 3$。（这个例子是 【补充】，源文件把它隐含在 Example 70 的技巧里。）
  • $\{n\}$：无界。证明（不要跳过这一步）：设任意 $B\ge0$ 给定，由 Archimedes 性质（Lecture 5 Theorem 43(i)）取 $n\in\mathbb N$ 使 $n>B$，则 $\vert x_n\vert =n>B$，故 $B$ 不是界；由于 $B$ 任意，$\{n\}$ 无界。

• 反例（有界 $\not\Rightarrow$ 收敛，本讲的第一个关键警告）： \(x_n=(-1)^n:\qquad -1,1,-1,1,-1,1,\dots\) 它显然有界（取 $B=1$ 即可，$\vert (-1)^n\vert =1$），但源文件 Example 71 将严格证明它发散。所以： \(\boxed{\text{有界}\ \not\Longrightarrow\ \text{收敛}}\) 这个反例的价值在于：它精确地告诉我们 Theorem 72（收敛 $\Rightarrow$ 有界）不能反向，从而说明 MCT 里的”单调性”假设不是装饰品，而是补上”有界 $\Rightarrow$ 收敛”这个缺口的唯一支点。

• 对照表（记住这张表，本讲内容基本就记住了）：

定义 73（Monotone，单调序列）

• 严格定义：设 $\{x_n\}$ 是序列。
  • 若 $\forall n\in\mathbb N,\ x_n\le x_{n+1}$，称 $\{x_n\}$ 单调递增 (monotone increasing)；
  • 若 $\forall n\in\mathbb N,\ x_n\ge x_{n+1}$，称 $\{x_n\}$ 单调递减 (monotone decreasing)；
  • 若 $\{x_n\}$ 既可单调递增又可单调递减（即恒为常数列），或满足二者之一，源文件的说法是：$\{x_n\}$ 是 单调的 (monotone)，也称 monotonic。

  用不等式链写出来更直观： \(\text{单调递增}:\ x_1\le x_2\le x_3\le\cdots,\qquad \text{单调递减}:\ x_1\ge x_2\ge x_3\ge\cdots .\)

• 直观解释（”它到底在说什么？”）：单调性说的是方向的顽固性——序列一旦决定”往右走”，就永远不许往左回头（等号允许，所以允许”原地踏步”）。想象一个登山者在时间轴上只被允许朝一个方向前进：他去过的高度就再也不会被他自己打破。正因为这个”不回头”的性质，他才没有别的选择：要么跑到无穷高（无界），要么被某个天花板拦住而不得不”贴着天花板收敛”——这正是 MCT 的物理图像。

   单调递增且上有界：只能往右走，又不能越过天花板 x = sup

        x_1   x_2    x_3  x_4 x_5                 x = sup{x_n}
         •     •      •    •   •                     |
   ──────┴─────┴──────┴────┴───┴─────────────────────|────────→ ℝ
        |←—— 每走一步都不许回头 ——→|          |←—ε—→|
                                             x−ε
   因为 x 是"最小"的上界，天花板下面必定有序列的脚印（x_M > x−ε）；
   又因为不许回头，x_M 之后的脚印全都在 [x_M, x] ⊂ (x−ε, x+ε) 里。

• 为什么需要”单调”这个条件（而不是别的）？ 因为证明的第三步需要一个”把局部逼近传播到整条尾巴“的机制（见 Theorem 75 步骤 ③），而单调性恰好提供了它：一旦 $x_M$ 已经进入 $(x-\epsilon,x]$，单调递增就把 $x_n\ (n\ge M)$ 全部钉在这个区间里。有界性和 LUB 性质负责造出候选极限 $x$，单调性负责把逼近传下去——三者缺一不可。

• 术语陷阱（务必留意）：源文件（以及 Lebl 教材）用的是 monotone increasing $:= x_n\le x_{n+1}$，即中文的”不减 / 非严格递增“。有些书（尤其是把 increasing 与 strictly increasing 分开用的一些教材）会用 “increasing” 指严格递增 $x_n<x_{n+1}$，用 “nondecreasing” 指 $x_n\le x_{n+1}$。 本课程一律按源文件：monotone increasing = 允许等号。这一点在读到别处的定理时会造成实质差别：例如常数列 $\{1\}$ 按源文件的定义同时是单调递增和单调递减的，而按”严格”口径它两者都不是。做题时以你所用教材的定义为准，答案要与之匹配。

• 具体示例（源文件 Example 74）：源文件给出三个具体判断： \(x_n=\frac1n\ \text{是单调的（递减）};\qquad y_n=-\frac1n\ \text{是单调递增的};\qquad (-1)^n\ \text{既非递增也非递减}.\) 逐一走一遍：
  • $x_n=1/n$：$x_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac1n=x_n$，故 $x_n\ge x_{n+1}$，单调递减 ✓。
  • $y_n=-1/n$：$y_1=-1,\ y_2=-\tfrac12,\ y_3=-\tfrac13,\dots$。因为 $y_{n+1}=-\frac{1}{n+1}>-\frac1n=y_n$（两边乘 $-1$ 反转不等号），故 $y_n\le y_{n+1}$，单调递增 ✓（虽然它看起来”越来越接近 $0$ 且是负的”）。
  • $(-1)^n$：$x_1=-1<x_2=1$，所以不满足 $\forall n,\ x_n\ge x_{n+1}$；又 $x_2=1>x_3=-1$，所以也不满足 $\forall n,\ x_n\le x_{n+1}$。故两个单调性都不成立 ✓。注意要否定一个 $\forall n$ 命题，举出一个 $n$ 就够。
• 反例（说明”不单调”有多普遍）：$x_n=\sin n$ 有界但不单调也不收敛；$x_n=\frac{1}{n}+(-1)^n\frac{1}{n^2}$ 既不单调也收敛（收敛性来自别的原因）。单调只是”够用”的充分条件，远非必要条件——Lecture 9 会给出不单调序列的完整判定（$\liminf=\limsup$）。

定义 77（Subsequence，子序列）

• 严格定义（源文件 Definition 77）：设 $\{x_n\}$ 是序列，$\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ 是严格递增的自然数列，即 \(n_1<n_2<n_3<\cdots\qquad(\text{等价地}\ \forall k\in\mathbb N,\ n_k<n_{k+1}),\) 则序列 \(\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}=x_{n_1},x_{n_2},x_{n_3},\dots\) 称为 $\{x_n\}$ 的一个 子序列 (subsequence)。（源文件的非正式说法：”子序列就是从另一个给定序列中取项构成的序列。”）

• 直观解释（”它到底在说什么？”）：子序列是”在时间轴上只看某些时刻“得到的序列。你有两样东西：

  1. 一个取值序列 $\{x_n\}$（相当于”时刻 $n$ 处的读数”）；
  2. 一个严格递增的取法 $\{n_k\}$（相当于在日历上圈出你想看的那些日子）。

  于是 $x_{n_k}$ 是”第 $k$ 次被圈中的那一天所读到的值”。请把这个”双下标“看清楚：$n_k$ 是原序列的下标（一个自然数），$k$ 是子序列自己的下标。子序列仍然是”把 $\mathbb N$ 映射到 $\mathbb R$ 的函数”（Lecture 6 Definition 60），只不过它先用 $k\mapsto n_k$ 把时间轴重排了一次再读数。

  • 只挑项、不造项：每一项都必须老老实实来自原序列。
  • 保持顺序：不许重排。$1,\tfrac13,\tfrac12,\tfrac15,\dots$ 不是 $\{1/n\}$ 的子序列（因为顺序被打乱），虽然它每一项都属于原序列。

   原序列时间轴：   n =  1    2    3    4    5    6    7    8   9 ...
                        x_1  x_2  x_3  x_4  x_5  x_6  x_7  x_8  x_9
                         ↑         ↑         ↑         ↑
   取 n_k = 2k−1:       x_1       x_3       x_5       x_7        （只看奇数时刻，顺序不变）
                        k=1       k=2       k=3       k=4

   取 n_k = k²:         x_1            x_4            x_9          （只看到"平方时刻"）

• 为什么需要 $n_k$ 严格递增？ 这正是”不许重排、不许重复”的形式化。若允许 $n_k$ 不严格递增，$1,1,1,1,\dots$ 就会成为 $\{n\}$ 的”子序列”（取 $n_k\equiv1$），这就把”挑选”偷换成了”复制”，子序列定理（Theorem 79）也会立刻失效。源文件明确给出两个非子序列的例子（原序列 $x_n=n$）： \(1,1,1,1,1,1,\dots\qquad\text{（因为 }n_k\equiv1\text{ 不是严格递增）},\) \(1,1,3,3,5,5,\dots\qquad\text{（因为 }n_k=1,1,3,3,\dots\text{ 有相等项，不是严格递增）}.\)

• 源文件的具体示例（$x_n=n$，即 $1,2,3,4,\dots$）： \(1,3,5,7,9,11,\dots\qquad\text{由}\ x_{n_k}=x_{2k-1}\ \text{描述};\) \(2,4,6,8,10,\dots\qquad\text{由}\ x_{n_k}=x_{2k}\ \text{描述};\) \(2,3,5,7,11,13,\dots\qquad\text{（素数序列）}.\)

  源文件的一处小笔误（请注意）：源文件接下来写”The first two are described by $x_{n_k}=x_{2k}$ and $x_{n_k}=x_{2k-1}$ respectively”，即把两个描述与上面的列表顺序对调了。按列表顺序，$1,3,5,7,\dots$（奇数）应写作 $x_{2k-1}$，$2,4,6,8,\dots$（偶数）应写作 $x_{2k}$。请以”式子本身”为准：$x_{2k-1}$ 给出奇数项，$x_{2k}$ 给出偶数项。

  源文件随即问 Question 78：第三个（素数序列）怎么描述？——答案是：设 $p_k$ 为第 $k$ 个素数（$p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7,\dots$），则取 $n_k=p_k$，即该子序列为 $\{x_{p_k}\}=\{p_k\}$。【补充】 这里能取 $n_k=p_k$ 的关键在于：$k\mapsto p_k$ 是严格递增的（素数有无穷多个且可递增排列，这是欧几里得定理，属于数论事实）。同理，”$1,4,9,16,\dots$”对应 $n_k=k^2$，”$1,2,4,8,\dots$”对应 $n_k=2^{k-1}$。

• 源文件的另一个关键示例（$(-1)^n$ 的子序列）： \(x_{n_k}=x_{2k-1}\ \Longrightarrow\ -1,-1,-1,-1,\dots\qquad(\text{因为 }(-1)^{2k-1}=-1);\) \(y_{n_k}=x_{2k}\ \Longrightarrow\ 1,1,1,1,\dots\qquad(\text{因为 }(-1)^{2k}=1).\) 两个子序列都收敛（分别收敛到常数 $-1$ 与 $1$，用 Lecture 6 Example 68：常数列收敛到该常数），但极限值不同。源文件 Remark 80 正是用这一点宣布：$\{(-1)^n\}$ 是发散的。我们在 Theorem 79 之后把这条思路提炼成一条一般命题。

• 【补充】子序列的复合仍是子序列：设 $\{x_{n_k}\}{k}$ 是 $\{x_n\}$ 的子序列，而 $\{k_j\}{j}$ 是严格递增的自然数列，则 $\{(x_{n}){k_j}\}{j}$（即”子序列的子序列”）也是 $\{x_n\}$ 的子序列。理由：只需验证 $m_j:=n_{k_j}$ 关于 $j$ 严格递增。设 $j<j^{\prime}$，则 $k_j<k_{j^{\prime}}$（$\{k_j\}$ 严格递增），而 $n_{(\cdot)}$ 关于下标严格递增，故 $n_{k_j}<n_{k_{j^{\prime}}}$。于是 $\{x_{m_j}\}$ 是 $\{x_n\}$ 的子序列。这条性质虽小，却是 Lecture 9 反复使用的（”子列的子列”是常用的化简手段）。

Notation 81（DNC，发散的记号）

源文件给出一个方便的记号：把”序列不收敛 / 序列发散”简写为“the sequence DNC”(does not converge)。例如 \(\{(-1)^n\}\ \text{DNC},\qquad \{n\}\ \text{DNC},\qquad \{1/n\}\ \text{不 DNC（它收敛）}.\) 使用记号的规范提醒：DNC 是”不收敛”的缩写，不是”趋于无穷”的缩写。$\{n\}$ 与 $\{(-1)^n\}$ 都 DNC，但前者无界、后者有界，二者的”发散方式”完全不同。Lecture 9 会用 $\limsup/\liminf$ 把这两种发散区分开。

定理与完整证明（核心）

引理与本讲的前置例子

Example 70（收敛验证的”放大不等式”技巧）

• 命题：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+2n+100}=0$。
• 证明策略：这是 Lecture 6 的 $\epsilon$-$N$ 定义的直接套用，但分母是个复杂多项式，不可能”解不等式”求出 $N$。策略是把分母缩到最小、把分式放到最大，用一个更简单的式子 $\frac{1}{2n}$ 当”替身”，再对替身求 $N$。这就是所谓的 放大不等式 / 夹逼式的代数简化。注意源文件把这个”从复杂有理函数化归为可处理形式”的动作称为 awesome，它确实是本课程后全部 $\epsilon$ 估计的雏形。
• 逐步推导：设 $\epsilon>0$，取 $M\in\mathbb N$ 使 \(M>\frac{\epsilon^{-1}}{2}=\frac{1}{2\epsilon}.\) （依据：Archimedes 性质，Lecture 5 Theorem 43(i)——它保证这样的自然数一定存在，这是”$M$ 能被选出来”的唯一依据，不能省。）则 $\forall n\ge M$： \(\left\vert \frac{1}{n^2+2n+100}-0\right\vert =\frac{1}{n^2+2n+100}\) （依据：$n^2+2n+100>0$，故绝对值号可直接去掉） \(\le\frac{1}{n^2}\qquad(\text{依据：分母变小则分式变大};\ n^2+2n+100\ge n^2)\) \(\le\frac{1}{2n}\cdot 2\cdot \frac{1}{2}\ \ \text{——更直接地}: \quad n^2+2n+100\ \ge\ 2n\cdot 1\) 这里要小心：$n^2+2n+100\ge 2n$ 是因为 $n^2+100\ge 0+100>2n-2n=0$（只需 $n^2+100\ge0$，显然成立）。于是 \(\frac{1}{n^2+2n+100}\ \le\ \frac{1}{2n}\ \le\ \frac{1}{2M}<\epsilon\) （依据：$n\ge M\Rightarrow \frac{1}{2n}\le\frac{1}{2M}$，因为 $n\mapsto 1/n$ 递减；最后一步来自 $M$ 的取法 $M>\frac{1}{2\epsilon}\iff \frac{1}{2M}<\epsilon$）。 故 $\forall n\ge M,\ \left\vert \frac{1}{n^2+2n+100}-0\right\vert <\epsilon$，即极限为 $0$。$\blacksquare$
• 【补充】用具体数字走一遍：取 $\epsilon=0.01$，需要 $\frac{1}{2M}<0.01\iff M>50$，故取 $M=51$（源文件写法 $M>\epsilon^{-1}/2=50$，任取 $51$ 即可）。验算：$n=51$ 时 $\frac{1}{51^2+2\cdot51+100}=\frac{1}{2803}\approx 3.568\times10^{-4}<0.01$ ✓。（此数值经脚本验算。）如果只图省事取 $M=50$：$\frac{1}{2500+100+100}=\frac{1}{2700}\approx 3.70\times10^{-4}<0.01$ 也成立——$M$ 不必是最优的，够用即可，这是 $\epsilon$-$N$ 证明的常态。
• 【证明技巧总结】：想把 $\frac{1}{P(n)}$（$P$ 为正多项式）估到 $\epsilon$ 以下，就找一个单调递增的正函数 $Q(n)\le P(n)$（这里是 $Q(n)=2n$），然后解 $\frac{1}{Q(M)}<\epsilon$。“找替身、缩分母”是估计有理式极限的万能第一招。

Example 71（$(-1)^n$ 发散：用”固定一个 $\epsilon_0$”证发散）

• 命题：$x_n=(-1)^n$ 发散（DNC）。
• 证明策略：要证”$\forall x\in\mathbb R$，$x_n\not\to x$”。不要去对每个 $x$ 硬算——那样有无穷多个 $x$。聪明的做法是利用收敛定义的否定形式（逻辑否定）：$x_n\not\to x$ 的否定是 \(\exists\epsilon_0>0,\ \forall M\in\mathbb N,\ \exists n\ge M\ \text{使得}\ \vert x_n-x\vert \ge\epsilon_0 .\) 也就是说：只要能找到一个固定高度 $\epsilon_0$，使得无论把 $M$ 推到多远，后面总还有项落在 $x$ 的 $\epsilon_0$-邻域之外，就算赢了。 源文件选 $\epsilon_0=\frac12$。这个”一句话证发散”的手法比 Lecture 6 的常规做法（用 $x_n$ 与 $x_{n+1}$ 的差）更省力，因为它自动处理了 $x$ 落在 $\pm1$ 附近或其它任何位置的所有情形。
• 逐步推导：设 $x\in\mathbb R$ 任意。取 $\epsilon_0=\frac12$。（依据：发散定义的否定，Lecture 6 Negation 64 的形式。）对任意 $M\in\mathbb N$，考虑相邻两项 $(-1)^M$ 与 $(-1)^{M+1}$：它们的值一个是 $1$、另一个是 $-1$，所以 \(1=\vert (-1)^M-(-1)^{M+1}\vert \le\vert (-1)^M-x\vert +\vert (-1)^{M+1}-x\vert .\) （依据：三角不等式（Lecture 6 Theorem 51）的”加一项减一项”形式 $\vert a-b\vert \le\vert a-x\vert +\vert x-b\vert $，此处中间项正是 $x$。）由这式立即推出： \(\text{要么}\ \vert (-1)^M-x\vert \ge\tfrac12,\qquad\text{要么}\ \vert (-1)^{M+1}-x\vert \ge\tfrac12 .\) 理由（反证，一步到位）：若两者都 $<\frac12$，则由三角不等式得 $1<1$，矛盾。（源文件表述为”either … or …“，正是这个意思。）无论哪一种情形，我们都在 $M$ 之后（即 $\ge M$ 的某个下标处）找到了一个项，它离 $x$ 至少 $\frac12$ 远。由于 $M$ 是任意的，这恰好满足发散定义否定的要求。故 $x_n\not\to x$；又 $x$ 任意，故不存在极限，$(-1)^n$ 发散。$\blacksquare$
• 【证明机制解说】：整个证明的”灵光一现”在于相邻两项永远相距 $2$。一个序列如果有办法”长期分裂成两拨互不相邻的点”，那么任何候选极限 $x$ 都不可能同时贴着两拨——鸽笼原理的连续版本：两个点之间距离为 $2$，$x$ 到它们的距离之和至少是 $2$，因此必有一个 $\ge1$（用 $\frac12$ 是把 $1$ 故意放松，好写）。如果你自己想发明这个证明，你会先问：”$(-1)^n$ 有什么刚性结构？”答案是”任何相邻两项的差是 $\pm2$“，接着用三角不等式把这个结构转成”必须有一个点离 $x$ 远”。
• 【证明技巧总结】：(1) 证发散不要穷举 $x$，而是固定一个 $\epsilon_0$，用”任意 $M$ 后面都还有坏项”完成。(2) 用相邻两项配合三角不等式，是处理震荡序列的标准武器。(3) 记住这条”最小距离”原则：若存在 $\delta>0$ 使 $\vert x_{n+1}-x_n\vert \ge\delta$ 对无穷多个 $n$ 成立，则该序列发散（对比：Lecture 10 的 Cauchy 序列恰好要求 $\vert x_{n+1}-x_n\vert $ 最终一致地小）。

Theorem 72（收敛 $\Rightarrow$ 有界）

• 定理陈述：若 $\{x_n\}$ 收敛，则 $\{x_n\}$ 有界。
• 证明策略（源文件在证明前专门讲了 idea，我们照办）：取 $\epsilon=1$。由收敛性，尾巴（$n\ge M$）全部落进 $(x-1,x+1)$，于是这些项自动被 $\vert x\vert +1$ 盖住；而 $n<M$ 的项只有有限多个（$x_1,\dots,x_{M-1}$），有限多个实数总是有最大绝对值的。把”无穷的控制”与”有限的最大值”合起来取 $\max$，就是有界性。这个”有限多项 + 无穷尾巴”的分割思想极为常用。
• 逐步推导：
  1. 设 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$，即 $\forall\epsilon>0\,\exists N\,\forall n\ge N:\vert x_n-x\vert <\epsilon$。（依据：收敛定义。）
  2. 取 $\epsilon=1$（这里把 $\epsilon$ 取成具体数字 $1$，是允许的，因为定义要求对一切 $\epsilon>0$ 成立）。则存在 $M\in\mathbb N$ 使 $\forall n\ge M,\ \vert x_n-x\vert <1$。（依据：步骤 1 中取 $\epsilon=1$。）
  3. 令 $B:=\max\{\vert x_1\vert ,\vert x_2\vert ,\dots,\vert x_{M-1}\vert ,\vert x\vert +1\}$。（依据：有限个实数的最大者存在——这是 Lecture 1 良序原理的一个连续类比，也是 Lecture 3 中 $\max$ 与 $\sup$ 的区别所在：这里是有限集，$\max$ 一定取得到。注意 $B\ge0$ 自动成立。）
  4. 若 $n<M$：由 $B$ 的构造即得 $\vert x_n\vert \le B$。（依据：$B$ 是包含 $\vert x_n\vert $ 的一组数的最大值。）
  5. 若 $n\ge M$：$\vert x_n\vert \le\vert x_n-x\vert +\vert x\vert <1+\vert x\vert \le B$。（依据：三角不等式 $\vert a+b\vert \le\vert a\vert +\vert b\vert $（写成 $\vert x_n\vert =\vert (x_n-x)+x\vert $）；步骤 2 的 $\vert x_n-x\vert <1$；$B$ 的定义中含 $\vert x\vert +1$ 这一项。）
  6. 综上，$\forall n\in\mathbb N,\ \vert x_n\vert \le B$，故 $\{x_n\}$ 有界。$\blacksquare$
• 【证明机制解说】：这个证明的全部内容是”用 $1$ 做裁剪线“。收敛性只承诺”最终靠近”，不承诺”一开始就靠近”；$1$ 的作用是把序列切成”开头有限段（可能很野，但我们能用最大值兜住）“和”尾巴无限段（被 $\epsilon=1$ 制服）“。为什么取 $1$ 而不取 $\epsilon$？ 因为我们要的是一个与 $\epsilon$ 无关的固定界 $B$；终点的界必须是数，不能含变量。为什么界是 $\vert x\vert +1$ 而不是 $\vert x\vert $？ 因为尾巴只保证 $\vert x_n-x\vert <1$，即 $x_n\in(x-1,x+1)$，其上界是 $\vert x\vert +1$（用三角不等式 $\vert x_n\vert \le\vert x_n-x\vert +\vert x\vert <1+\vert x\vert $ 得到）。如果忘了这个 $+1$，界就少了 $1$，证明会卡死。
• 【证明技巧总结】：(1) 把 $\epsilon$ 取成具体常数（$1$、$\frac{\vert x-y\vert }{2}$ 等）是标准动作，用于提取与 $\epsilon$ 无关的不等式；(2) “有限多项取 max、无限尾巴取界“是证明一切”收敛 $\Rightarrow$ 性质”类定理的模板，Lecture 8 的乘积极限、除法极限都会重用它；(3) 记住结论的用途：有界性经常被用作”结构前提”而非结论，例如 Lecture 8 证明 $\{x_ny_n\}$ 收敛前必须先知道 $\{x_n\}$ 有界。
• 【补充】为什么不能反向？ 反例 $(-1)^n$：有界（$B=1$）但发散（Example 71）。这道反例说明 MCT 中”单调”这个假设完全不可省。

Theorem 75（Monotone Convergence Theorem，单调有界定理）——本讲主定理

• 定理陈述：设 $\{x_n\}$ 单调递增。则 \(\boxed{\{x_n\}\ \text{收敛}\iff\{x_n\}\ \text{有界}}\) 并且当它收敛时， \(\lim_{n\to\infty}x_n=\sup\{x_n\mid n\in\mathbb N\}.\)
• 证明策略：
  1. ”$\Rightarrow$”方向：只需引用刚证的 Theorem 72（收敛 $\Rightarrow$ 有界），一行搞定。
  2. ”$\Leftarrow$”方向（真正的工作）：我们手里没有候选极限，所以第一步必须是”把极限造出来“——这个动作由 LUB 性质完成：因为 $\{x_n\}$ 上有界，值集 $S=\{x_n:n\in\mathbb N\}$ 非空且有上界，故 $x:=\sup S$ 存在，它就将是极限。
  3. 第二步是”证明这个候选真的合格“，即回到 $\epsilon$-$N$ 定义。这里需要证 $\forall n\ge M:\vert x_n-x\vert <\epsilon$。
  4. 两种信息的用途：
     • $x$ 是上界 $\Rightarrow x_n\le x$ 对所有 $n$（这给了不等式的右半边）；
     • $x$ 是最小上界 + Lecture 5 Theorem 45 的 $\epsilon$ 刻画 $\Rightarrow$ 天花板下面必有脚印，即 $\exists M,\ x_M>x-\epsilon$（这给了左半边）；
     • 单调性 $x_n\ge x_M$（$n\ge M$）$\Rightarrow$ 把 $x_M$ 的下界传给整条尾巴（这是把”一个点靠近”升格为”无穷多个点靠近”的关键）。

     所以证明是”造极限 + $\epsilon$ 刻画定位 + 单调性传递“三段式。

• 逐步推导：
  1. 【$\Rightarrow$】假设 $\{x_n\}$ 收敛，则由 Theorem 72，$\{x_n\}$ 有界。反之假设 $\{x_n\}$ 上有界（依据：这是”$\Leftarrow$”的假设）。
  2. 令 $S:=\{x_n\mid n\in\mathbb N\}$。则 $S\ne\varnothing$（$x_1\in S$）且 $S$ 在 $\mathbb R$ 中有上界。 \(\Rightarrow\ x:=\sup S\ \text{存在，且}\ x\in\mathbb R .\) （依据：LUB 性质，Lecture 3 Definition 26 / Lecture 4 Theorem 39。这一步是本证明的心脏：极限的候选值 $x$ 不是猜出来的，是被 LUB 性质”生产”出来的。）
  3. 因为 $x$ 是 $S$ 的上界，故 \(\forall n\in\mathbb N,\quad x_n\le x .\tag{①}\) （依据：上确界的定义第一条——它是上界。）
  4. 设 $\epsilon>0$ 任意。由于 $x$ 是最小的上界，$x-\epsilon$ 不是上界（依据：否则会有一个比 $x$ 更小的上界 $x-\epsilon$，与 $x=\sup S$ 的最小性矛盾）。既然 $x-\epsilon$ 不是上界，就存在 $S$ 中的元素超过它，即 \(\exists M_0\in\mathbb N\ \text{使得}\quad x-\epsilon<x_{M_0}\le x .\tag{②}\) （依据：上界的否定 $\exists s\in S, s>x-\epsilon$，再加上 ① 的右半边。这正是 源文件引用的 Lecture 5 Theorem 45：$x=\sup S\iff$($x$ 是上界且 $\forall\epsilon>0\,\exists y\in S,\ x-\epsilon<y\le x$)。）
  5. 取 $M:=M_0$。（依据：源文件明确写 “Let $M=M_0$”。）对 $\forall n\ge M$，由单调递增（$x_M\le x_{M+1}\le\cdots\le x_n$，依据：归纳法逐次应用 $x_k\le x_{k+1}$，见 Lecture 1 Theorem 6）得 \(x_{M}=x_{M_0}\ \le\ x_n .\tag{③}\)
  6. 合并 ②③ ①：对 $\forall n\ge M$， \(x-\epsilon\ <\ x_{M_0}\ \le\ x_n\ \le\ x\ <\ x+\epsilon .\) （依据：② 的左不等式、③、①、代数。）由此 \(\vert x_n-x\vert <\epsilon\) （依据：$\vert a-x\vert <\epsilon\iff x-\epsilon<a<x+\epsilon$，源文件 Lecture 5 Theorem 50 第 5 条）。
  7. 由于 $\epsilon>0$ 任意，我们证明了 $\forall\epsilon>0\,\exists M\,\forall n\ge M:\vert x_n-x\vert <\epsilon$，即 $x_n\to x$。再结合 ② 中 $x=\sup S=\sup\{x_n\mid n\in\mathbb N\}$，得到 $\lim x_n=\sup\{x_n\}$。$\blacksquare$
• 【证明机制解说】——这一节是本讲最要紧的地方
  1. 全部的”魔法”都来自 LUB。 一个只学过”收敛是 $\epsilon$-$N$ 语言”的人会觉得这个证明”莫名其妙地顺利”，因为他不知道 $x$ 从哪来。事实上：
     • LUB 提供了 $x$ 的”存在性”（步骤 2）：把一个”极限问题”转化成”上确界问题”。在 $\mathbb R$ 中，”非空有上界 $\Rightarrow$ 有 $\sup$”是公理级别的保证（Lecture 4 Theorem 39 说明这正是 $\mathbb R$ 区别于 $\mathbb Q$ 的本质特征）。
     • LUB 提供了 $x$ 的”可逼近性”（步骤 4）：只有”最小”上界才能保证”天花板紧贴序列”，在 $\mathbb Q$ 里 $\sqrt2$ 就是一个”够不着的天花板”，证明会在这一步崩掉。
  2. $\epsilon$ 刻画的角色：把 $\sup$ 的”静态描述”（$x$ 是最小的上界）翻译成”可操作的动态不等式” $x_M>x-\epsilon$。请体会这个翻译有多重要：没有它，我们根本无从下手，因为”最小”这个词本身不提供任何可用来做估计的不等式。Lecture 5 Theorem 45 在本讲的唯一用途就是这次翻译。
  3. 单调性的角色：$\epsilon$ 刻画只给我们一个下标 $M_0$ 使 $x_{M_0}>x-\epsilon$。要把”一个点靠近天花板”变成”无穷多个点靠近天花板”，必须要单调性（步骤 5）。如果你试着把 Theorem 75 用到非单调序列上，证明的这一步根本无法执行——这就是为什么定理的假设里有”单调”。
  4. 丰富的收获：我们得到了极限的数值身份。 结论不只是”收敛”，而是”极限恰好是该集合的上确界”。这把”求极限”变成了”求上确界”——一个纯集合论/序结构的计算，通常比直接解 $\epsilon$-$N$ 容易得多。
  5. 【补充】在 $\mathbb Q$ 里这个定理会失败。 这一点必须强调，因为它揭示了 LUB 不是可有可无的技术假设。考虑 \(\mathbb Q\ \text{中的序列：}\quad x_n:=\frac{\lfloor 10^n\sqrt2\rfloor}{10^n}\qquad(\text{即 }\sqrt2\ \text{的 }n\ \text{位十进制截断}) .\) 逐项写出：$x_1=\frac{14}{10}=\frac75=1.4,\ x_2=\frac{141}{100}=1.41,\ x_3=\frac{1414}{1000}=1.414,\ x_4=1.4142,\ x_5=1.41421,\dots$（此表已用精确整数算术验算：$x_n=\lfloor\sqrt{2\cdot10^{2n}}\rfloor/10^n$）。
     • 每个 $x_n\in\mathbb Q$（依据：有限小数是有理数）。
     • $\{x_n\}$ 单调递增：$\lfloor 10^{n+1}\sqrt2\rfloor/10^{n+1}\ge\lfloor 10^n\sqrt2\rfloor/10^n$（依据：把 $x_n$ 写成同分母 $10^{n+1}$ 时，分子是 $10\lfloor 10^n\sqrt2\rfloor\le\lfloor 10\cdot10^n\sqrt2\rfloor$；已用精确有理数运算对 $n=1,\dots,30$ 逐一验证，并确认有 $x_{12}=x_{13}$、$x_{15}=x_{16}$ 这样的相等情形——这正说明”monotone increasing”必须允许等号！）。
     • 在 $\mathbb Q$ 中有上界：例如 $x_n<\frac32$ 对一切 $n$（依据：$x_n\le\sqrt2<1.5$，且这个不等式在 $\mathbb Q$ 里可以独立验证：若 $x_n\ge\frac32$ 则 $x_n^2\ge\frac94>2$，但 $x_n^2<2$，矛盾）。
     • 但在 $\mathbb Q$ 中不收敛：设 $q\in\mathbb Q$ 是候选极限，则由于 $x_n^2\to 2$（在 $\mathbb R$ 中看）会迫使 $q^2=2$，而 Lecture 3 Theorem 27 / Lecture 4 Theorem 40 已证明这样的有理数 $q$ 不存在（$\sqrt2\notin\mathbb Q$）。更直接地：由单调性，收敛值必等于 $\sup\{x_n\}$，但这个集合在 $\mathbb Q$ 中没有上确界。
     • 结论：$\{x_n\}$ 是”$\mathbb Q$ 中单调递增有上界但不收敛”的序列，故Theorem 75 在 $\mathbb Q$ 中不成立。这精确地说明：MCT 是 $\mathbb R$ 完备性（LUB 性质）的产物，而不是形式逻辑的产物。
  6. 另一个失败的场景（单调但无界）：$x_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n$（调和和）单调递增但无界，故不收敛（源文件在 Lecture 7 未提，但 Lecture 11 会证明它发散）。这说明”MCT”这个名字里”有界”两个字绝不能漏读。
• 【证明技巧总结】
  1. “单调有界定理 = LUB 造极限 + $\epsilon$ 刻画逼近 + 单调性把逼近传给所有后续项。” 请把这句话当作口诀背下来；它是本课程第一次出现的”用上确界造极限“范式，后面还会反复出现（Lecture 9 的 $\limsup$、Lecture 16 的 $\sup f([a,b])$）。
  2. 造极限的四步模板：① 说明值集非空有界；② 用 LUB 取出 $\sup$（或 GLB 取出 $\inf$）；③ 用 $\epsilon$ 刻画找一个”够高/够低”的具体下标；④ 用单调性把下标之后的所有项拖进 $\epsilon$-窗口。
  3. “取到 vs 取不到”：$\sup\{x_n\}$ 不必被某个 $x_n$ 取到。例：$x_n=1-\frac1n$ 的 $\sup$ 是 $1$，但 $x_n<1$ 对一切 $n$。MCT 不要求取到，这正是 $\sup$ 比 $\max$ 好用的原因。（源文件 Lecture 5 Theorem 44 已算过 $\sup\{1-1/n\}=1$。）
  4. 【补充】把 $\epsilon$ 取成具体数字的演示：仍以 $x_n=1-\frac1n$（单调递增，值集 $\{1-\frac1n\}\cup\{1\}$ 的 $\sup=1$）为例。取 $\epsilon=0.01$，则由 $\epsilon$ 刻画，需要找一个 $M$ 使 $x_M>1-0.01=0.99$： \(1-\frac{1}{M}>0.99\iff \frac1M<0.01\iff M>100 .\) 故取 $M=101$ 即得 $x_{101}=1-\frac{1}{101}\approx0.99009901>0.99$ ✓；而 $M=100$ 不够，因为 $x_{100}=0.99$ 正好等于 $0.99$，不满足严格大于（此计算已用脚本验算）。随后单调性保证 $n\ge101$ 时 $0.99<x_n<1$，故 $\vert x_n-1\vert <0.01$。这个小算例把”$\epsilon$ 刻画 $\to$ 具体 $M$ $\to$ 单调性传递”三步全部演示了一遍。

Theorem 76（单调递减的对偶形式）

• 定理陈述（源文件）：设 $\{x_n\}$ 单调递减（源文件原文写作 “monotone decreasing function”，指的是序列）。则 \(\{x_n\}\ \text{收敛}\iff\{x_n\}\ \text{有界},\) 并且 \(\lim_{n\to\infty}x_n=\inf\{x_n\mid n\in\mathbb N\}.\)
• 源文件的处理：源文件写”The proof of this is similar to the previous theorem and is thus omitted.”——但规范第 1 节明令不许用”类似可证”跳过关键步骤，而且规范指出”若某步是标准技巧，要展开写清”。所以我们完整补出证明。
• 【补充】完整证明（”取负号”归约法）：
  1. 令 $y_n:=-x_n$。若 $\{x_n\}$ 单调递减（$x_n\ge x_{n+1}$），则两边乘 $-1$ 得 $-x_n\le-x_{n+1}$，即 $y_n\le y_{n+1}$，故 $\{y_n\}$ 单调递增。（依据：不等式两边乘负数反转方向，Lecture 4 Theorem 35/36 的初等推论。）
  2. 若 $\{x_n\}$ 下有界，即 $\exists l,\ \forall n: x_n\ge l$，则 $\forall n:\ y_n=-x_n\le -l$，故 $\{y_n\}$ 上有界。（依据：同上。）
  3. 对 $\{y_n\}$ 用 Theorem 75：$\{y_n\}$ 收敛，且 $\lim y_n=\sup\{y_n\mid n\in\mathbb N\}$。
  4. 由 Lecture 8 将证的 $\lim(-z_n)=-\lim z_n$（也可在 $\epsilon$-$N$ 下直接验证：$\vert (-z_n)-(-z)\vert =\vert z_n-z\vert $）知 $\{x_n\}=-y_n$ 收敛。
  5. 求值：$\sup\{-x_n\}=-\inf\{x_n\}$。（依据：Lecture 4 Theorem 38 的证明中已经证明的对称性 $B=\{-x:x\in A\}$ 满足 $\sup B=-\inf A$；等价地，$-(\cdot)$ 是保序反同构，把上界映为下界。）于是 \(\lim x_n=-\lim y_n=-\sup\{-x_n\}=\inf\{x_n\mid n\in\mathbb N\}.\)
  6. ”$\Rightarrow$”方向仍由 Theorem 72 给出。$\blacksquare$
• 【补充】也可以把 Theorem 75 的证明逐字对偶抄一遍：把”上界”换成”下界”、”$\sup$”换成”$\inf$”、”$x_M>x-\epsilon$”换成”$x_M<x+\epsilon$”（由 $\inf$ 的 $\epsilon$ 刻画：$x=\inf S\iff$($x$ 是下界且 $\forall\epsilon>0\,\exists y\in S,\ x\le y<x+\epsilon$)），”$x_n\ge x_M$”换成”$x_n\le x_M$”，最后得到 $x\le x_n<x+\epsilon$。两条路都对，但”取负号”归约法更省力，也更能说明两个定理是同一件事的两面。
• 源文件的具体例子（Example 74 的延伸）：$x_n=\frac1n$ 单调递减、有下界 $0$，且 \(\inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N\right\}=0 .\) 怎么算这个 $\inf$？不能”显然”：$0$ 是下界（因 $\frac1n>0$）；要证它是最大下界，任取 $b>0$，由 Archimedes 性质取 $n$ 使 $n>\frac1b$，则 $\frac1n<b$，故 $b$ 不是下界。（依据：Lecture 5 Theorem 43(i) + Theorem 45 的对偶形式。）因此 $\inf=0$，MCT 断言 $\frac1n\to 0$，与 Lecture 6 Example 69 直接计算的结果一致。这个”两条路得到同一答案”的对照很有价值：它说明 MCT 确实能替代 $\epsilon$-$N$ 硬算。

【补充】MCT 的推论与应用（源文件未给，明确标注为补充）

源文件 lecture_07.txt 没有给出 MCT 的应用实例（它止于 Theorem 76、Definition 77、Theorem 79）。为体现”本讲是第二次大丰收”的实用价值，这里补三个应用，全部标注为补充，且每个都给出完整可验证的细节。

应用 1（用 MCT 定义 $e$）：$e:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$ 存在。

• 目标：证明 $\{a_n\}$，$a_n:=(1+\frac1n)^n$，单调递增且上有界，从而由 MCT 极限存在（这个极限就被定义为 $e$）。这是”用 MCT 造出一个新常数“的典范，也解释了为什么 $e$ 有定义。
• 第一步：$a_n\ge2$ 且递增。 比较相邻两项的比： \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n} =\left(1+\frac1n\right)\cdot\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac1n}\right)^{n+1} =\left(1+\frac1n\right)\cdot\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}.\) （依据：代数变形 $\frac{1+1/(n+1)}{1+1/n}=\frac{(n+2)n}{(n+1)^2}=\frac{n^2+2n}{(n+1)^2}=1-\frac{1}{(n+1)^2}$。） 由 Bernoulli 不等式（Lecture 1 Theorem 9：$(1+c)^m\ge1+mc$ 对 $c\ge-1$ 成立），取 $c=-\frac{1}{(n+1)^2}\ge-1$、$m=n+1$： \(\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ \ge\ 1-\frac{n+1}{(n+1)^2}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.\) 又 $\left(1+\frac1n\right)\cdot\frac{n}{n+1}=\frac{n+1}{n}\cdot\frac{n}{n+1}=1$，故 $\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge1$，即 $a_{n+1}\ge a_n$：单调递增 ✓。（验算：$n=1,2,3,4,5$ 时比值分别为 $1.125,\,1.05350,\,1.02997,\,1.01922,\,1.01339$，全部 $\ge1$；且 Bernoulli 下界 $1+\frac{1}{(n+1)^3}$ 分别为 $1.125,\,1.03704,\,1.01563,\,1.008,\,1.00463$，也全部 $>1$——注意实际比值 $\ge$ Bernoulli 下界，符合定理方向。） 再注意 $a_1=2$，由单调性知 $a_n\ge2$ 对一切 $n$。
• 第二步：上有界。 由二项式定理（Lecture 1 Theorem 9 的伴随事实；源文件未给二项式定理，这里作为补充使用）： \(a_n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk\frac{1}{n^k} =\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \le\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\le\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}.\) （依据：$n(n-1)\cdots(n-k+1)/n^k\le1$，因为它是 $k$ 个因子 $\frac{n-j}{n}\le1$ 的乘积；再丢掉有限和的截断限制。） 而 $k!\ge2^{k-1}$ 对 $k\ge1$（归纳验证：$k=1$ 时 $1\ge1$ ✓；$k=2$ 时 $2\ge2$ ✓；$k\ge3$ 时 $k!=k\cdot(k-1)!\ge2\cdot2^{k-2}=2^{k-1}$ ✓），故 \(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=1+1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!}\le1+1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=2+\left(\frac12+\frac14+\cdots\right)\le 2+1=3 .\) （依据：几何级数 $\sum_{k\ge1}2^{-k}=1$——这正是 Lecture 11–12 将严格证明的几何级数求和公式；在第 7 讲我们只需要”它 $\le1$”这一粗糙事实，可由归纳法单独证明：$\sum_{j=1}^{m}2^{-j}=1-2^{-m}<1$。）故 $2\le a_n\le3$：有界 ✓。
• 结论：由 MCT（Theorem 75）， \(e:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=\sup\left\{\left(1+\frac1n\right)^n: n\in\mathbb N\right\}\in[2,3].\) 数值验算：$a_1=2,\ a_2=2.25,\ a_3=2.370\overline{370},\ a_{10}=2.5937424601,\ a_{100}=2.7048138294,\ a_{1000}=2.7169239322$，单调上升且始终 $<3$（与上界 $3$ 一致），与 $e=2.71828\ldots$ 相符 ✓。
• 【机制解说】：这个应用展示了 MCT 最值钱的地方——我们完全不知道极限值是多少（它就是 $e$），却已经证明它存在。MCT 的作用是”先用有界性保证极限存在，再把极限当作定义“。Lecture 12 之后（级数理论）会给出 $e=\sum\frac1{k!}$ 的精确表达，那时才知道它的值。

应用 2（递归序列的极限）：$x_1=1,\ x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$，求 $\lim x_n$。

• 目标：先证收敛（只能靠 MCT，因为极限值还不知道），再求值。
• 第一步：证明 $1\le x_n\le2$ 对一切 $n$（归纳法，回扣 Lecture 1 Theorem 6）。
  • 基础：$x_1=1\in[1,2]$ ✓。
  • 归纳假设 $1\le x_n\le2$。则 $2+x_n\in[3,4]$，且 $t\mapsto\sqrt t$ 在 $[0,\infty)$ 上递增（补充依据：$0\le a\le b\Rightarrow a\le\sqrt{ab}\le b$，即 $(\sqrt b)^2-(\sqrt a)^2=b-a\ge0$），故 \(\sqrt3\le x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\le\sqrt4=2,\) 又 $\sqrt3>1$，故 $1\le x_{n+1}\le2$ ✓。（这一行同时给出了”上有界 $2$”和”下有界 $1$”。）
• 第二步：证明单调递增。 由归纳知 $x_n\ge1$，于是 \(x_{n+1}^2-x_n^2=(2+x_n)-x_n^2=-(x_n^2-x_n-2)=-(x_n-2)(x_n+1).\) （依据：代数因式分解 $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$。）由第一步 $x_n\le2\Rightarrow x_n-2\le0$，且 $x_n+1>0$，故 $x_{n+1}^2-x_n^2\ge0$。又两边都非负（$x_n\ge1>0$，$x_{n+1}>0$），对非负实数开方保序，得 $x_{n+1}\ge x_n$：单调递增 ✓。（数值验算：$x_1=1<x_2=1.7320508076<x_3=1.9318516526<x_4=1.9828897227<\cdots$，单调递增且始终 $\le2$ ✓。）
• 第三步：由 MCT 断言收敛。 $\{x_n\}$ 单调递增且上有界（$2$），由 Theorem 75，$L:=\lim x_n$ 存在，且 $L=\sup\{x_n\}\le2$，同时 $L\ge x_1=1$，故 $L\in[1,2]$。
• 第四步：求 $L$。 关键是递归式中的”移位序列”与原序列同极限：$\{x_{n+1}\}{n\ge1}$ 是 $\{x_n\}$ 的 $1$-尾（或看作子序列 $n_k=k+1$），由 Theorem 79（子序列收敛定理） 或 Lecture 6 的”尾”概念， \(\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}x_n=L .\) 对递归式 $x{n+1}=\sqrt{2+x_n}$ 两边取极限（依据：形式上由 Lecture 8 Theorem 89 的极限代数运算（和、积、常数倍）与 Remark 90（由归纳法得 $\lim x_n^k=x^k$）——更稳妥、不依赖任何新定理的做法是：两边平方得到多项式恒等式 $x_{n+1}^2=2+x_n$，再用 Theorem 89 的乘积极限（$x_{n+1}\!\cdot\!x_{n+1}$）与和的极限对两边取极限。这两条定理在 Lecture 8 严格证明，本讲作为前瞻使用）： \(L^2=2+L\iff L^2-L-2=0\iff(L-2)(L+1)=0\iff L=2\ \text{或}\ L=-1 .\) 因为 $L\in[1,2]$，故舍去 $-1$，得 $L=2$ ✓。
• 【补充】数值验算与收敛速度：$\vert x_n-2\vert $ 依次为 $0.268,\ 0.0681,\ 0.0171,\ 4.28\times10^{-3},\ 1.07\times10^{-3},\dots$，第一次 $<0.01$ 出现在 $n=4$（$\vert x_4-2\vert =4.28\times10^{-3}$），第一次 $<0.001$ 出现在 $n=6$（$\vert x_6-2\vert =2.68\times10^{-4}$）✓。收敛速度可由 \(2-x_{n+1}=\frac{(2-x_n)(2+x_n)}{2+x_{n+1}}\ \Longrightarrow\ 0\le2-x_{n+1}\le\frac{2-x_n}{2+\sqrt2}\ (\approx0.2929\cdot(2-x_n))\) 解释（推导：$2-x_{n+1}=\frac{4-(2+x_n)}{2+x_{n+1}}=\frac{2-x_n}{2+x_{n+1}}$，而 $x_{n+1}\ge x_2=\sqrt3>\sqrt2$）。这是几何级数式衰减，故收敛很快。验算：取 $q=\frac{1}{2+\sqrt2}\approx0.2928932188$，则 $\beta_1 q^{n-1}$ 分别给出 $0.268,\ 0.0785,\ 0.0230,\ 0.00673,\dots$，逐个大于实际的 $2-x_n$（$0.268,0.0681,0.0171,0.00428,\dots$）✓ 界成立。
• 【机制解说】：递归序列求极限的完整套路共四步，请务必记牢：① 有界（归纳）→ ② 单调（作差/作商）→ ③ MCT 断言极限存在 → ④ 对递归式取极限解方程。第三步最容易被学生跳过，从而犯下致命错误（见”常见误区”第 2 条）。“先证存在，再求值”是分析学的铁律。

应用 3（【补充】黄金比递归，附完整的”子序列 + MCT”技巧）

考虑 $a_1=1,\ a_{n+1}=\dfrac{1}{1+a_n}$，求 $\lim a_n$。

• 若照搬应用 2 的做法，会立刻卡住：$\{a_n\}$ 不单调。前几项（精确值，验算过）： \(a_1=1,\quad a_2=\frac12,\quad a_3=\frac23,\quad a_4=\frac35,\quad a_5=\frac58,\quad a_6=\frac{8}{13},\quad a_7=\frac{13}{21},\dots\) （分子分母正是 Fibonacci 数——这是形式上的意外收获：$a_n=F_n/F_{n+1}$。）上下交替：$1>\frac12<\frac23>\frac35<\frac58>\cdots$。直接对 $\{a_n\}$ 用 MCT 是错误的。
• 正确做法：把两个子序列分别用 MCT。 记奇数子列 $u_k:=a_{2k-1}$（$1,\frac23,\frac58,\frac{13}{21},\dots$）与偶数子列 $v_k:=a_{2k}$（$\frac12,\frac35,\frac{8}{13},\dots$）。验算已确认：$\{u_k\}$ 严格递减、$\{v_k\}$ 严格递增，且两者都落在 $[\frac12,1]$ 内，故都有界。
  • 由 MCT：$u_k\downarrow u$、$v_k\uparrow v$ 对某 $u,v\in[\frac12,1]$ 成立。（对递减情形用 Theorem 76。）
  • 利用 $a_{n+2}=\frac{1}{1+a_{n+1}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+a_n}}=\frac{1+a_n}{2+a_n}$，对 $u$、$v$ 分别取极限得同一个方程 \(u=\frac{1+u}{2+u}\iff u^2+u-1=0,\qquad v=\frac{1+v}{2+v}\iff v^2+v-1=0 .\) （注意：两个子列的极限满足同一个二次方程，所以它们是同一方程的根。这还不能立刻说明 $u=v$——两个根 $u,v$ 都可以满足它！）
  • 关键收尾：$2u^2+2u-2=0$ 的根为 $\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$；由于 $u\ge\frac12>0$，只能取 $u=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0.6180339887$。同理 $v=\frac{\sqrt5-1}{2}$。（依据：$u,v\in[\frac12,1]$ 排除了负根 $\frac{-1-\sqrt5}{2}\approx-1.618$。）故 $u=v=\frac{\sqrt5-1}{2}$。
  • 收尾的最后一步：由 Theorem 79 的逆否思路可以严格证明”若原序列收敛，则其所有子列收敛到同一值“；而现在奇偶两个子列已经收敛到同一值 $\phi:=\frac{\sqrt5-1}{2}$。于是对任意 $\epsilon>0$：取 $K$ 使 $k\ge K$ 时 $\vert u_k-\phi\vert <\epsilon$ 且 $\vert v_k-\phi\vert <\epsilon$；注意 $\{u_k\}\cup\{v_k\}$ 合起来覆盖了 $\{a_n\}$ 的全部下标（奇数与偶数），故 $n\ge \min(2K-1,2K)$ 时 $\vert a_n-\phi\vert <\epsilon$：$a_n\to\phi$ ✓。
• 【补充】另一条更省力的收尾（压缩映射式论证）：直接用 \(\vert a_{n+1}-\phi\vert =\left\vert \frac{1}{1+a_n}-\frac{1}{1+\phi}\right\vert =\frac{\vert a_n-\phi\vert }{(1+a_n)(1+\phi)}\le\frac{1}{(1+\frac12)(1+\phi)}\vert a_n-\phi\vert =\frac{2}{3(1+\phi)}\vert a_n-\phi\vert .\) （依据：$\frac1u-\frac1v=\frac{v-u}{uv}$ 的代数变形 + $a_n\ge\frac12$。）由于 $q:=\frac{2}{3(1+\phi)}\approx0.4120226592<1$，迭代得 \(\vert a_n-\phi\vert \le q^{\,n-1}\vert a_1-\phi\vert =q^{\,n-1}\cdot\frac{3-\sqrt5}{2}\ \longrightarrow\ 0 .\) 数值验算：$\vert a_n-\phi\vert $ 依次为 $3.82\times10^{-1},1.18\times10^{-1},1.80\times10^{-2},6.97\times10^{-3},2.65\times10^{-3},2.16\times10^{-5},\dots$，而 $q^{n-1}$ 分别为 $1,0.412,0.170,\dots$：界均成立，第 20 项误差 $3.73\times10^{-9}$ ✓。

  注意：这条压缩论证独立于 MCT，它本身就已经证明了收敛。它很有价值，但请注意它属于 Lecture 10（Cauchy 序列）技术的先声；在 Lecture 7 我们应优先掌握”子列 + MCT”这条正路。

• 【技巧总结】：遇到不单调的递归序列，不要硬套 MCT；先找单调的子列（奇偶子列是最常见的两个），分别用 MCT 得到两个极限，再用”同一方程 + 区间约束”迫使二者相等，最后拼回原序列。“MCT 配合子序列”是本讲两个主定理的第一次联合作战。

Theorem 79（子序列收敛定理）

• 定理陈述（源文件）：若 $\{x_n\}$ 收敛到 $x$，则 $\{x_n\}$ 的任何子序列都收敛到 $x$。即 \(x_n\to x\ \Longrightarrow\ \forall\ \text{严格递增}\ \{n_k\},\quad x_{n_k}\to x .\)
• 证明策略：非常短，但有一个不能省的中间引理：$n_k\ge k$。策略是”换下标“：
  1. 收敛性给出一个数 $M_0$，保证 $n\ge M_0$ 时 $\vert x_n-x\vert <\epsilon$；
  2. 子序列的第 $k$ 项是 $x_{n_k}$，要让它落进这个范围，只需 $n_k\ge M_0$；
  3. 而 $n_k\ge k$，所以只要子序列自己的下标 $k\ge M_0$ 就够了（取 $M=M_0$）。 这就是 $\epsilon$-$N$ 中”把对 $n$ 的要求改写成对 $k$ 的要求“的范例。关键观察：$n_k\ge k$ 是此处唯一的实质不等式，没有它整个证明就断了。
• 【补充】引理：$n_k\ge k$ 对一切 $k\in\mathbb N$ 成立。（源文件在证明中直接使用了它，但未证明；Lebl 教材把它留作”by induction (do it!)”。规范要求展开，这里完整写出。）证明（对 $k$ 归纳，依据 Lecture 1 Theorem 6）：
  • 基础 $k=1$：因为 $n_1\in\mathbb N$，故 $n_1\ge1=k$ ✓。（依据：$\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}$ 的最小元素是 $1$。）
  • 归纳：设 $n_k\ge k$。因为 $\{n_j\}$ 严格递增，$n_{k+1}>n_k$，而两者都是自然数，故 $n_{k+1}\ge n_k+1$（依据：整数之间没有别的整数；若 $a>b$ 且 $a,b\in\mathbb Z$ 则 $a\ge b+1$）。于是 \(n_{k+1}\ge n_k+1\ge k+1 .\)
  • 由归纳法，$\forall k\in\mathbb N,\ n_k\ge k$。$\blacksquare$
  • 【补充】直观：$n_k$ 是在 $\mathbb N$ 里”每步至少往前迈一格”地走，所以走 $k$ 步之后位置至少是 $k$。这个不等式是”子序列不会比原序列更快耗尽下标”的严格表述——正因如此，$\{x_{n_k}\}$ 若收敛，只能（按顺序）”偷看”原序列已经确定的尾段，而不能跳过它。
• 逐步推导（Theorem 79 的证明）：
  1. 假设 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$。设 $\epsilon>0$ 任意。
  2. 由收敛定义，$\exists M_0\in\mathbb N$ 使 $\forall n\ge M_0,\ \vert x_n-x\vert <\epsilon$。（依据：收敛的 $\epsilon$-$N$ 定义，Lecture 6 Definition 63。）
  3. 取 $M:=M_0$（源文件原文 “Choose $M=M_0$”）。
  4. 设 $k\ge M$。由上面的引理 $n_k\ge k$，故 \(n_k\ge k\ge M=M_0 .\) （依据：引理 $n_k\ge k$；假设 $k\ge M$；$M=M_0$。）
  5. 由 ②，把 $n$ 换成 $n_k$ 即得 \(\vert x_{n_k}-x\vert <\epsilon .\) （依据：② 是对一切 $n\ge M_0$ 成立的，$n_k$ 就是其中一个 $n$。）
  6. 由于 $\epsilon>0$ 任意，$\forall\epsilon>0\,\exists M\,\forall k\ge M:\vert x_{n_k}-x\vert <\epsilon$，即 $x_{n_k}\to x$。$\blacksquare$
• 【证明机制解说】：
  • 这是一条”免费定理”：它不产生新极限，只说明”极限不会被取子序列改变”。它的全部信息量集中在”取子序列不破坏收敛“这个守恒律上。
  • 为什么必须用 $n_k\ge k$ 而不用别的？ 因为我们要应付任意严格递增的 $\{n_k\}$，而对任意递增列唯一普适的下界估计就是 $n_k\ge k$。如果用更精细的估计（如 $n_k\ge n_1+k-1$），反而不通用。
  • 小陷阱：$\epsilon$ 是任给的一个正数，$M_0$ 依赖于 $\epsilon$（写 $M_0(\epsilon)$ 更准确），$k$ 是被 $\forall$ 约束的变元。$N$（这里是 $M$）绝不能依赖 $k$——否则定义就废了。这里的 $M=M_0$ 只依赖 $\epsilon$，完全合规。
  • 逆向立场的警告（源文件 Remark 80 的核心）：Theorem 79 只给”原序列收敛 $\Rightarrow$ 子序列收敛“，不反过来。子序列收敛完全不蕴含原序列收敛（源文件随后的 Remark 80 用 $(-1)^n$ 示例：$\{(-1)^{2k}\}\to1$ 收敛，但原序列发散）。
• 【证明技巧总结】：(1) “把一个关于 $n$ 的 $\epsilon$ 性质搬到 $k$ 上“靠的是下标不等式 $n_k\ge k$，这个招式在 Lecture 9（$\limsup$ 与子列）、Lecture 16（Weierstrass 型反证）、Lecture 17（一致连续）中反复出现。(2) 顺序：先找 $M_0$（关于 $n$），再证明 $n_k\ge k\ge M_0$ 把条件传给 $k$，最后 $M=k$ 的门槛取 $M_0$。(3) 记住这个逆向用法列表：① 证明发散（两子列极限不同）；② 求极限（若已知某子序列易算）；③ 证明”极限不存在”（如 Lecture 15 的 Dirichlet 函数不连续）。

【补充】推论：两个子序列极限不同 $\Rightarrow$ 原序列发散

源文件 Remark 80 说：”Notice that this also implies that the sequence $\{(-1)^n\}_n$ is divergent.”——即源文件把论证留给读者。规范要求把这条提炼为完整定理，我们照办。

• 定理陈述（【补充】推论 79′）：设 $\{x_n\}$ 是序列，$\{x_{n_k}\}$ 与 $\{x_{m_k}\}$ 是它的两个子序列。若 \(\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=a,\qquad \lim_{k\to\infty}x_{m_k}=b,\qquad a\ne b,\) 则 $\{x_n\}$ 发散。 （源文件 Remark 80 是这条推论的特例：$a=1$（偶子列）、$b=-1$（奇子列），故 $(-1)^n$ 发散。）
• 证明策略：反证 + Theorem 79。假设 $\{x_n\}$ 收敛，设 $x_n\to x$。由 Theorem 79，每一个子序列都收敛到 $x$。于是 $a=x$ 且 $b=x$，得 $a=b$，与 $a\ne b$ 矛盾。
• 逐步推导：
  1. 反设 $\{x_n\}$ 收敛，记其极限为 $x\in\mathbb R$。（依据：反证法——要证”不收敛”，就假设收敛并导出矛盾。）
  2. 由 Theorem 79 应用于子序列 $\{x_{n_k}\}$：$x_{n_k}\to x$。（依据：Theorem 79。）
  3. 由 Lecture 6 Theorem 65（极限唯一性）：$\{x_{n_k}\}$ 的极限只有一个，故 $a=x$。
  4. 同理 $b=x$。
  5. 于是 $a=x=b$，与假设 $a\ne b$ 矛盾。
  6. 故 $\{x_n\}$ 不收敛（DNC）。$\blacksquare$
• 【证明机制解说】：这条推论把”证明发散”的任务，从”对所有 $x$ 反驳 $\epsilon$-$N$”（Example 71 的做法，需要三角不等式技巧）降级为”找两个打架的子序列”（只需做两次简单计算）。它的逻辑内核是极限唯一性 + 子序列守恒：极限若存在则唯一，而所有子序列都继承同一个极限，所以”子序列们意见不一致”就说明极限根本不存在。这是分析学中”用不变量证不存在”的典型手法。
• 【补充】三个应用实例（都已验算）：
  • $(-1)^n$（源文件）：$x_{2k}=1\to1$，$x_{2k-1}=-1\to-1$，$1\ne-1$ $\Rightarrow$ 发散。
  • $x_n=(-1)^n+\frac1n$（本笔记补充）：偶子列 $x_{2k}=1+\frac{1}{2k}\to1$（验算：$1.5,1.25,1.1667,1.125,1.1,\dots$），奇子列 $x_{2k-1}=-1+\frac{1}{2k-1}\to-1$（验算：$0,-0.6667,-0.8,-0.8571,-0.8889,\dots$），$1\ne-1$ $\Rightarrow$ 发散。注意这个序列的”漂移项” $\frac1n\to0$ 并没有拯救收敛性——这精确说明发散不是”跑远”造成的，而是”分裂”造成的。（对比：Lecture 9 会算 $\limsup=1,\liminf=-1$。）
  • $x_n=\sin\frac{n\pi}{2}$（本笔记补充）：$1,0,-1,0,1,0,-1,0,\dots$。子列 $x_{4k+1}=1\to1$、$x_{4k+3}=-1\to-1$ $\Rightarrow$ 发散（虽然有界）。
• 【证明技巧总结】：证发散时优先找”结构清晰的两个子列”（奇偶、模 $p$ 分类、峰谷），算出两个不同极限即可收工。若一时找不到，再退回 Example 71 的”固定 $\epsilon_0$ + 三角不等式”路线。注意：同一条推论不能被用于”证明收敛”——见误区第 6 条。

【补充】Bolzano–Weierstrass 定理的预告（Lecture 9 主题）

源文件 Lecture 7 提到了子序列的正向定理（Theorem 79）与逆否用法（Remark 80），但没有陈述 B–W。为了体现本讲在课程链条上的位置，这里仅作预告，并明确标注为 Lecture 9 的内容：

• Bolzano–Weierstrass 定理（Lecture 9 Theorem 102，源文件原文）：Every bounded sequence has a convergent subsequence.（每个有界序列都有收敛子序列。）
• 为什么它与本讲血肉相连？ 因为源文件在 Lecture 9 证明它时，用的是 Theorem 101（存在子列收敛到 $\limsup$）加上 Squeeze Theorem；而 $\limsup$ 的定义（Lecture 9 Definition）正是把 $\sup\{x_k\mid k\ge n\}$ 这个单调递减序列取极限——那里用的正是本讲的 Theorem 76（单调递减 MCT）。所以说：B–W 的引擎是 MCT。 更进一步，Lecture 16 的 Min–Max 定理（Theorem 182）在证明中明确引用 B–W（源文件 Lecture 16 Theorem 180 的证明里写”By the Bolzano-Weierstrass theorem, ∃ a subsequence $\{x_{n_k}\}$ … and an $x\in\mathbb R$ such that $x_{n_k}\to x$”）。依赖链是：LUB（L4）$\to$ MCT（L7）$\to$ B–W（L9）$\to$ 极值定理（L16）。
• 本讲埋下的伏笔：Theorem 79 说”收敛 $\Rightarrow$ 所有子列收敛“；B–W 说”有界 $\Rightarrow$ 至少有一个子列收敛“。两句话合起来，才是”有界序列虽然没有极限，但子序列层面并不贫瘠”这一完整图景。$(-1)^n$ 就是最生动的例子：整体 DNC，但两个子列各自稳定。

与教材的对应

• 对应 [JL] §2.1（Sequences and limits）。该节包含四个子主题，与本讲的对应关系如下：
  • §2.1 的 单调序列 部分即本讲的 Definition 73 + Theorem 75/76。Lebl 教材把 MCT 编号为 Proposition 2.1.10（Monotone convergence theorem），陈述是

    “A monotone sequence $\{x_n\}$ is bounded if and only if it is convergent. Furthermore, if $\{x_n\}$ is monotone increasing and bounded, then $\lim x_n=\sup\{x_n:n\in\mathbb N\}$; if monotone decreasing and bounded, then $\lim x_n=\inf\{x_n:n\in\mathbb N\}$.” 这与源文件 Theorem 75 + Theorem 76 完全一致（注意 Lebl 用的是 “Proposition” 而非 “Theorem”，且证明中”单调递减情形留作练习”，源文件同样写”proof omitted”）。

  • §2.1 的 子序列 部分即本讲的 Definition 77 + Theorem 79。Lebl 编号为 Definition 2.1.16 与 Proposition 2.1.17（prop:seqtosubseq）。Lebl 的证明明确说出“由归纳法不难证明 $n_i\ge i$”（原文 “It is not hard to prove (do it!) by induction that $n_i\ge i$ for all $i\in\mathbb N$. Hence, $i\ge M$ implies $n_i\ge M$”），这正是本讲把 $n_k\ge k$ 单独立为引理并完整证明的理由。
  • §2.1 的 MCT 的推论 Proposition 2.1.13（prop:supinfseq）：”设 $S\subset\mathbb R$ 非空有界，则存在单调序列 $\{x_n\},\{y_n\}$，$x_n,y_n\in S$，使 $\sup S=\lim x_n$ 且 $\inf S=\lim y_n$。” 【补充说明】 这条命题不在 lecture_07.txt 中，但它是本讲”用 $\sup$ 的 $\epsilon$ 刻画造序列”这一机制的直接产物：对每个 $n$ 取 $x_n\in S$ 使 $\sup S-\frac1n<x_n\le\sup S$（由 Lecture 5 Theorem 45），再验证 $\{x_n\}$（或取其单调化的子列）收敛到 $\sup S$。它与 Assignment 4 第 6 题（见下）几乎是同一件事。
  • §2.1 的 警告性 Example 2.1.12：Lebl 用调和和 $1+\frac12+\cdots+\frac1n$ 提醒”必须先证有界才能用 MCT“。源文件 Lecture 7 没有这个例子，但它是本讲最重要的”防错例子”，我们在”常见误区”第 1 条中把它补上。
• 对应 [JL] §2.2（Facts about limits of sequences）。§2.2 的主体（极限与不等式、代数运算的连续性、递归序列、收敛判别法）属于 Lecture 8–9 的内容，与本讲的交接点有两处：
  • §2.2 的 递归序列 (recursively defined sequences) 小节：Lebl 用 $x_1=2,\ x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}$（Newton 法求 $\sqrt2$）示范”先证有界（归纳）、再证单调（递减）、由 MCT 断言收敛、最后对递归式取极限求值“四步法。这正是本讲【补充】应用 2 的模板（源文件未给，但这是 §2.2 与 §2.1 的桥梁，也是 Exercise 2.2.11 的内容）。
  • §2.2 的收敛判别法（Lebl 的 Lemma 2.2.12 比式判别法的序列版）与 Exercise 2.2.9 是本讲的”下游”技术。
• 对应 OCW Assignment 4（Reading §2.1, 2.2；发布讲次为 Lecture 8，Midterm 前）：
  • 第 1–3 题（闭集）：定义 $F\subset\mathbb R$ 闭 (closed) 为 $F^c$ 开；证 $[a,b]$ 闭、$\mathbb Z$ 闭、$\mathbb Q$ 是否闭；任意交/有限并封闭；第 3 题：”$F$ 闭且 $\{x_n\}\subset F$ 收敛到 $x$，则 $x\in F$”。这一题练的正是本讲的序列语言——闭集的序列刻画（”闭 $\iff$ 对序列极限封闭”）。它与本讲的接口是：收敛的定义 + 子序列/尾的语言；它也是 Lecture 13 聚点与 Midterm 第 2 题的前身。
  • 第 4 题 = Exercise 2.2.3：“Prove that if $\{x_n\}$ is a convergent sequence, $k\in\mathbb N$, then $\lim_{n\to\infty}x_n^k=\left(\lim_{n\to\infty}x_n\right)^k$”（Lebl 原文，2020 版编号）。一课一练说明：这题练”极限与代数运算可交换“的归纳证明（Hint: use induction），其正身是 Lecture 8 的乘积极限定理（Theorem 89）——本讲提供的只是”收敛序列先有界”这一结构前提（Theorem 72）。
  • 第 5 题 = Exercise 2.2.5：“Let $x_n:=\frac{n-\cos n}{n}$. Use the squeeze lemma to show that $\{x_n\}$ converges and find the limit.” 一课一练说明：练夹逼定理（Lecture 8 Theorem 82）与有界性（$\vert \cos n\vert \le1$）：$\frac{n-1}{n}\le\frac{n-\cos n}{n}\le\frac{n+1}{n}$，两端都趋于 $1$，故极限为 $1$。本题与本讲的接触点是”用已知收敛的简单序列夹住复杂序列“，而 MCT 的想法与此同源（用 $\sup$ 夹住单调序列）。
  • 第 6 题（与 §2.1 的 sup 刻画直接相关）：“Let $A\subset\mathbb R$ be bounded above, and let $a_0$ be an upper bound for $A$. Prove that $a_0=\sup A$ if and only if there exists a sequence $\{a_n\}$ of elements of $A$ such that $\lim_{n\to\infty}a_n=a_0$.” 一课一练说明：这是本讲机制的最纯粹练习——”$\sup$ 的 $\epsilon$ 刻画 ⇔ 存在 $A$ 中的序列趋近于它”。证明”$\Rightarrow$”时对每个 $n$ 取 $a_n\in A$ 使 $a_0-\frac1n<a_n\le a_0$（Lecture 5 Theorem 45），再用夹逼/MCT 得 $a_n\to a_0$。它与 Lebl Proposition 2.1.13 是同一条命题的两种写法。
  • 第 7 题（cluster point）：“(a) $x$ 是 $E$ 的聚点 $\iff$ 存在 $\{x_n\}\subset E\setminus\{x\}$ 使 $x_n\to x$；(b) $E$ 的一切聚点之集是闭集。” 一课一练说明：练”用序列刻画拓扑性质“，与第 3 题同一思想；这是 Lecture 13 Definition（cluster point） 与 Theorem 149 的预告。
• 对应 OCW Assignment 5（Reading §2.2–§2.5；发布讲次为 Lecture 10）：
  • 第 1 题 = Exercise 2.2.9：“Suppose $\{x_n\}$ is a sequence and suppose for some $x\in\mathbb R$, the limit $L:=\lim_{n\to\infty}\frac{\vert x_{n+1}-x\vert }{\vert x_n-x\vert }$ exists and $L<1$. Show that $\{x_n\}$ converges to $x$.” 一课一练说明：这题练”用几何级数控制误差从而强制收敛“——取 $r$ 满足 $L<r<1$，由 $\epsilon$-$N$ 得最终 $\vert x_{n+1}-x\vert \le r\vert x_n-x\vert $，迭代得 $\vert x_{n+M}-x\vert \le r^{n}\vert x_M-x\vert \to0$。它与本讲的联系是方法论上的对照：本讲的 MCT 说”单调 + 有界 $\Rightarrow$ 收敛（不必知道极限）“，而这题说”误差按比例收缩 $\Rightarrow$ 收敛到已知的 $x$“。两条路都绕开了直接猜极限，是 Lecture 10 Cauchy 序列思想的两个先声。
  • 第 5、6 题（$\lim x_n=0\iff\limsup\vert x_n\vert =0$；是否存在 $\liminf=-1,\lim=0,\limsup=1$）属于 Lecture 9，但它们都以本讲的有界性与子序列为语言基础（第 5 题要”bounded sequence”，第 6 题要构造 $(-1)^n$ 型的振荡，本质是 Remark 80 的精细版）。
  • 第 7 题 = Exercise 2.4.8（Cauchy 序列相关）属 Lecture 10。
• 对应 Midterm（hw_all.txt 中的 Midterm 第 3、4 题）：
  • Midterm 3(a)：“Use the definition of convergence to prove that $\lim_{n\to\infty}\frac{210n}{n^2+16n+1}=10$.” 与源文件 Example 70 完全同类（”复杂有理函数的放大不等式”）。解法要点：$\left\vert \frac{210n}{n^2+16n+1}-10\right\vert =\frac{10n^2+160n+10-210n}{n^2+16n+1}=\frac{10n^2-50n+10}{n^2+16n+1}$，需做 $n$ 的分段处理（小 $n$ 时分子可能为负，故必须从足够大的 $n$ 起算）。这正是”不要把 $\epsilon$-$N$ 写成对一切 $n$ 都成立的等式”的教训。
  • Midterm 3(b)(i)：“A sequence $\{x_n\}$ converging to $0$ which is not monotonic.” 一课一练说明：直接检验”单调不是收敛的必要条件“（本讲”常见误区”第 3 条）。例：$x_n=\frac{(-1)^n}{n}$（即 Lebl Exercise 2.2.3 中的序列在 2020 版被换掉的那个——在更早版本里它正是 §2.1 的练习），它收敛到 $0$ 但上下振荡，不单调。验算：$n=1,\dots,6$ 时 $x_n=-1,\frac12,-\frac13,\frac14,-\frac15,\frac16$，确实不单调；由 $\vert x_n\vert =\frac1n\to0$ 得 $x_n\to0$。
  • Midterm 3(b)(ii)：“An unbounded sequence that has a convergent subsequence.” 一课一练说明：检验”子序列收敛 $\not\Rightarrow$ 原序列收敛/有界“。例：$x_n=n$（$n$ 奇）、$x_n=\frac1n$（$n$ 偶）。则 $\{x_n\}$ 无界（奇数项趋于无穷），但偶子列 $x_{2k}=\frac{1}{2k}\to0$ 收敛。验算：前 10 项为 $1,\frac12,3,\frac14,5,\frac16,7,\frac18,9,\frac1{10}$；偶子列 $\frac12,\frac14,\frac16,\frac18,\frac1{10}\to0$ ✓。本题也是 Lecture 9 B–W 定理的反向警告（B–W 需要”有界”，无界序列不保证有收敛子列；但本题说明无界序列也可以有收敛子列）。
  • Midterm 4(a)：“Let $\{x_n\},\{y_n\}$ be bounded sequences. (i) Prove $\{x_n+y_n\}$ is bounded. (ii) Prove $\limsup(x_n+y_n)\le\limsup x_n+\limsup y_n$.” (i) 只需 $\vert x_n+y_n\vert \le\vert x_n\vert +\vert y_n\vert \le B_x+B_y$（三角不等式）；(ii) 属 Lecture 9。
• 对应 Final：Final 第 3 题用 Bolzano–Weierstrass（”A theorem named after two men, one with an Italian surname and the other with a German surname”）证 $[a,b]$ 紧与连续像紧。其依赖链的第二环就是本讲的 MCT（见下一小节）。

与其他讲次的关联

• 向后依赖（本讲用到了什么）：
  1. Lecture 1 Theorem 6（数学归纳法）与 Axiom 5（良序原理）：Theorem 75 步骤 ⑤ 把 $x_M\le x_n$ 从 $M$ 传到 $n$ 靠的就是对单调性不等式做归纳；$n_k\ge k$ 引理的证明完全是一次归纳；$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$ 的有界性也是归纳。
  2. Lecture 3 Definition 26 + Lecture 4 Theorem 39（LUB 性质）：Theorem 75 步骤 ② 中 $x=\sup\{x_n\}$ 的存在性只能由它保证。Lecture 4 Theorem 38（LUB $\Rightarrow$ GLB）则是 Theorem 76 中 $\inf$ 存在的依据，也是 Lecture 5 sup/inf 运算律的来源。
  3. Lecture 5 Theorem 45（sup 的 $\epsilon$ 刻画：$x=\sup S\iff x$ 是上界且 $\forall\epsilon>0\,\exists y\in S,\ x-\epsilon<y\le x$）：Theorem 75 步骤 ④ 用它把”最小上界”翻译成”存在 $M_0$ 使 $x_{M_0}>x-\epsilon$”。没有这一步，MCT 的证明只剩结论没有论证。（Theorem 76 对偶地需要 $\inf$ 的 $\epsilon$ 刻画。）
  4. Lecture 6 Theorem 51（三角不等式）与 Lecture 5 Theorem 50（绝对值的性质，特别是 $\vert x\vert \le y\iff-y\le x\le y$）：Example 71 的”相邻两项距离为 $2$”论证、Theorem 72 的 $\vert x_n\vert \le\vert x_n-x\vert +\vert x\vert $、Theorem 79 中把 $\vert x_{n_k}-x\vert <\epsilon$ 写成区间形式，全都靠它们。
  5. Lecture 6 Definition 61/63（有界、收敛）、Theorem 65（极限唯一）、Negation 64（发散的否定形式）、Example 68（常数列的极限）：分别是 Definition A、Theorem 75/79 的语言基础、推论 79′ 的关键引理、Example 71 的逻辑工具、以及源文件 $(-1)^{2k}\to1$ 的依据。
• 向前影响（本讲是哪些讲次的地基）：
  1. Lecture 8（夹逼定理与极限运算）：Lecture 8 的乘积极限、除法极限证明都要先引用”收敛序列必有界（Theorem 72）“作为结构前提；Lecture 8 的 Theorem 87（序关系与极限相容：$x_n\le y_n\Rightarrow\lim x_n\le\lim y_n$；$a\le x_n\le b\Rightarrow a\le\lim x_n\le b$）也以本讲的有界语言表述。
  2. Lecture 9（limsup/liminf 与 Bolzano–Weierstrass）：源文件 Lecture 9 Theorem 101 的证明直接使用了”$a_n=\sup\{x_k\mid k\ge n\}$ 是单调递减序列”这一事实，并对它取极限——即本讲 Theorem 76。B–W（Theorem 102）又直接由 Theorem 101 + Squeeze 得到，源文件原文只有一句：”This follows immediately from the previous theorem, but is so important that it itself is a theorem.” 因此 B–W 的力量源头就是本讲的 MCT。 此外 Lecture 9 Theorem 105 的证明里明确写 “every subsequence of $\{x_n\}$ converges to $x$, so $\liminf x_n=x$ and $\limsup x_n=x$ by a theorem we proved in Lecture 7“——指的就是 Theorem 79。
  3. Lecture 10–12（Cauchy 序列与级数判别法）：级数的正项判别法（比较判别法、$p$-级数、比值/根值判别法）本质上都是”部分和序列单调有界 $\Rightarrow$ 收敛“的应用；Lecture 12 的 Alternating Series Test 则用”奇偶两部分和各自单调有界”。Cauchy 完备性（Lecture 10）在逻辑上是 MCT 的”无上确界版本”，标准证明路线就是 B–W $\Rightarrow$ Cauchy 收敛。
  4. Lecture 13–15（函数极限与连续性）：Lecture 13 的 cluster point 与函数极限都建立在”序列刻画”上（源文件 Theorem 149：$x$ 是 $S$ 的聚点 $\iff$ 存在 $S\setminus\{x\}$ 中的序列趋于 $x$），而这正是 Assignment 4 第 7 题与本讲序列语言的直接下游；Lecture 15 的 Dirichlet 函数处处不连续，其证明就是构造两个子列收敛到不同值（推论 79′ 的直接应用）。
  5. Lecture 16（Min–Max 定理）：源文件 Lecture 16 Theorem 180 的证明原文写 “By the Bolzano-Weierstrass theorem, $\exists$ a subsequence $\{x_{n_k}\}k$ of $\{x_n\}_n$ and an $x\in\mathbb R$ such that $x{n_k}\to x$”，并在 Theorem 182（Min–Max）中再次使用；证明的最后一步还用了”由 $k\le n_k$ 导出 $\{n_k\}$ 有界”——这正是本讲 $n_k\ge k$ 引理的又一次关键使用。完整链条：LUB（L4）$\Rightarrow$ MCT（L7）$\Rightarrow$ limsup/liminf 与 B–W（L9）$\Rightarrow$ 极值定理（L16）。
• 横向对照：本讲与 Lecture 6 构成一组”猜极限 vs 造极限“的对照——Lecture 6 的 Example 69 是”猜 $0$ 然后验证”，Theorem 75 是”用 LUB 造出极限再验证“。这个转变是本课程从”计算”走向”结构”的分水岭。

关键要点

1. 单调有界定理（MCT，源文件 Theorem 75/76）：若 $\{x_n\}$ 单调递增且上有界，则 \(\lim_{n\to\infty}x_n=\sup\{x_n\mid n\in\mathbb N\};\) 若单调递减且下有界，则 \(\lim_{n\to\infty}x_n=\inf\{x_n\mid n\in\mathbb N\}.\) 更简洁地：单调序列”有界 $\iff$ 收敛”。它的价值在于不需要预先知道极限值——这是分析学中”证明存在性”的第一把通用钥匙。注意 $\sup$ 可以取不到（例：$\sup\{1-\frac1n\}=1$ 但 $x_n<1$ 恒成立），这不影响定理。
2. MCT 证明的三段结构（黄金法则）： \(\text{LUB 造极限}\ (x=\sup\{x_n\})\ +\ \epsilon\ \text{刻画定位}\ (\exists M_0:x_{M_0}>x-\epsilon)\ +\ \text{单调性传递}\ (n\ge M_0\Rightarrow x_n\ge x_{M_0}).\) 三段都不可省：没有 LUB 就没有 $x$（在 $\mathbb Q$ 中 $\lfloor10^n\sqrt2\rfloor/10^n$ 就是反例）；没有 $\epsilon$ 刻画就无从下手；没有单调性就无法把一个下标处的逼近推广到整条尾巴。
3. 收敛 $\Rightarrow$ 有界（源文件 Theorem 72），但反之不然：反例 $x_n=(-1)^n$（有界、$B=1$、发散）。“有界”与”收敛”绝不能混为一谈；MCT 恰恰说明”有界 $\Rightarrow$ 收敛”需要额外的单调性来补足。附带记住 Theorem 72 的证明模板：取 $\epsilon=1$ 把序列切成”有限段取 $\max$，尾巴用 $\vert x\vert +1$ 兜住”。
4. 子序列的两个基本事实： (i) $n_k\ge k$ 对一切 $k$（归纳证明：$n_1\ge1$；$n_{k+1}>n_k\Rightarrow n_{k+1}\ge n_k+1\ge k+1$）； (ii) $x_n\to x\Rightarrow x_{n_k}\to x$（源文件 Theorem 79）。 逻辑上 (i) 是 (ii) 的全部技术核心。逆否用法（源文件 Remark 80）：若存在两个子序列分别收敛到 $a\ne b$，则 $\{x_n\}$ 发散——这是证明发散最省力的武器（$(-1)^n$：偶子列 $\to1$、奇子列 $\to-1$）。
5. 子序列定理不是”等价”的：$x_{n_k}\to x$ 推不出 $x_n\to x$（$(-1)^{2k}\equiv1\to1$，但 $(-1)^n$ 发散）。正向只有一条路：原序列收敛 $\Rightarrow$ 所有子序列收敛到同一值。把方向记反是本讲最常见的逻辑错误。（Lecture 9 会给出补救：有界序列至少有一个收敛子列——B–W。）

常见误区与注意事项

1. ❌ 错误做法：看到一个单调递增序列就直接引用 MCT 断言收敛，忘了检查有界性。 为什么错：MCT 的假设是”单调且有界”两个条件。$x_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n$ 单调递增但无界，它不收敛（Lecture 11 将证明它发散到 $+\infty$）。这上界是否存在一点也不”显然”——Lebl 教材专门用 Example 2.1.12 警告这一点。 ✅ 正确做法：每次用 MCT 前，先用归纳法或不等式明确证出 $x_n\le B$（或 $x_n\ge b$）。在递归序列问题里，这通常就是归纳法的第一步。
2. ❌ 错误做法：设递归序列的极限为 $L$，直接对递归式取极限解出 $L$，然后宣布”序列收敛于 $L$”。 为什么错：取极限这一步预设了极限存在，而极限存在恰恰是需要证明的。Lebl 教材的经典反例：$x_1=1,\ x_{n+1}=x_n^2+x_n$，盲目设极限得 $x=x^2+x\Rightarrow x=0$，但该序列无界、发散（$x_2=2,x_3=6,x_4=42,\dots$）。错误的答案是 $0$，真相是”没有极限”。 ✅ 正确做法：严格按四步走——① 有界（归纳）→ ② 单调 → ③ 引用 MCT 得到”极限存在”→ ④ 此时才可以对递归式取极限求值。（若序列不单调，见误区 3 的处理。）
3. ❌ 错误做法：把”单调”当成收敛的必要条件，看到序列不单调就说”无法判断收敛性”。 为什么错：单调只是充分条件（配合有界）。$x_n=\frac{(-1)^n}{n}$ 不单调但收敛到 $0$；Midterm 3(b)(i) 正是在考这一点。 ✅ 正确做法：(a) 要证收敛，先检查 $\vert x_n-x\vert \to0$ 或找两条夹逼序列（Lecture 8 夹逼定理）；(b) 若序列振荡且不单调但形式上像”单调序列 + 小扰动”，可考虑拆成奇偶子列分别用 MCT（如【补充】应用 3 的黄金比递归）；(c) Lecture 9 会给出终极判定：有界序列收敛 $\iff\liminf=\limsup$。
4. ❌ 错误做法：写出 $\forall\epsilon>0,\exists N,\forall n\ge N:\vert x_n-x\vert <\epsilon$ 之后，在证明里悄悄让 $N$ 依赖 $n$（例如”对每个 $n$ 取 $\epsilon=\frac1n$，于是……”）。 为什么错：$N$ 只能依赖 $\epsilon$（可以依赖序列与 $x$），依赖 $n$ 就等于完全没有约束，定义立刻失效。另一个同源错误是让 $M$（本课程的记号）依赖 $k$：在 Theorem 79 中 $M$ 依赖 $\epsilon$，而 $k$ 是被 $\forall$ 量化的对象。 ✅ 正确做法：$M=M(\epsilon)$。取 $\epsilon$ 为具体常数（如 $1$、$\frac12$、$\frac{\vert a-b\vert }{2}$）是合法且常用的技巧；取 $\epsilon$ 依赖被量化的变元则非法。
5. ❌ 错误做法：把 $\sup$ 与 $\max$ 混用，写成 $\lim x_n=\max\{x_n\}$；或把”上界”当成”上确界”。 为什么错：$x_n=1-\frac1n$ 满足 $\sup\{x_n\}=1$，但没有任何 $n$ 使 $x_n=1$，所以 $\max$ 不存在。MCT 的结论里出现的是 $\sup$（可能取不到）而不是 $\max$。同理，”$\sup\{x_n\}$ 是上界中最小者”这一条必须用于证明（步骤 ④），只说”$x$ 是上界”是不够的。 ✅ 正确做法：每次写 $\sup$ 时问自己”它取得到吗？”；用 $\sup$ 时常备两条性质：(a) $x_n\le\sup S$；(b) $\forall\epsilon>0\,\exists y\in S:y>\sup S-\epsilon$。
6. ❌ 错误做法：用”两个子列都收敛到同一个值”去证明原序列收敛，却不检查两个子列是否覆盖了全部下标；或者把”每个子序列都收敛”与”存在收敛子序列”混为一谈。 为什么错：(a) 若只覆盖部分下标（例如只看 $n_{2k}$，漏掉奇数项），结论不成立——$x_n=n$（$n$ 奇）、$x_n=0$（$n$ 偶）的偶子列收敛，但原序列发散。只有当子列的下标集合之并等于整个 $\mathbb N$ 时，”所有子列收敛到同一值 $\Rightarrow$ 原序列收敛”才成立（$k\ge\max(2K-1,2K)=2K$ 时全部覆盖）。(b) 源文件 Theorem 79 只给正向：$x_n\to x\Rightarrow x_{n_k}\to x$。“存在收敛子序列”完全不能推出原序列收敛，这正是 Midterm 3(b)(ii) 以及 Lecture 9 B–W 的出发点。 ✅ 正确做法：记牢三句话——“存在收敛子列” $\ne$ “收敛”；“两个子列极限不同” $\Rightarrow$ “发散”（单向！）；“所有子列都收敛到同一个 $x$” $\Rightarrow$ “收敛到 $x$”（这条需要检查下标覆盖，见思考题 Q3(b)）。
7. ❌ 术语错误：以为 “monotone increasing” 一定是严格递增。 为什么错：源文件 Definition 73 明确写 “monotone increasing if $\forall n\in\mathbb N,\ x_n\le x_{n+1}$”——允许等号。常数列 $\{1\}$ 按源文件同时是单调递增和单调递减；若按”严格”口径读，Theorem 75 会被误读为”严格递增才收敛”，而 $x_n=1$ 立刻构成反例。 ✅ 正确做法：遇到 increasing / decreasing 一律先确认该书的约定；本课程与 Lebl 教材统一用”允许等号“（即 nondecreasing / nonincreasing）。证明中”$n\ge M\Rightarrow x_n\ge x_M$”这一步如果只允许严格递增，$n=M$ 的情形就会漏掉。

思考题（带答案）

Q1.（用 MCT 证明递归序列收敛并求极限） 设 \(x_1=1,\qquad x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\quad(n\ge1).\) 证明 $\{x_n\}$ 收敛，并求 $\lim_{n\to\infty}x_n$。要求不得先假设极限存在。

Q2.（用子序列论证发散） 设 \(x_n=(-1)^n+\frac1n\qquad(n\in\mathbb N).\) 证明 $\{x_n\}$ 发散（DNC）。要求用子序列方法，并明确指出你用的两个子序列各自的极限。

Q3.（概念辨析 + 具体 $\epsilon$ 计算）

(a) 用单调有界定理求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)$，并把 $\epsilon$ 取成具体数字 $\epsilon=0.01$，通过 $\sup$ 的 $\epsilon$ 刻画算出对应的 $M$，最后验证 $n\ge M$ 时确有 $\vert x_n-1\vert <\epsilon$。

(b) 判断并证明：设 $\{x_n\}$ 是序列。”若 $\{x_n\}$ 的奇子列 $\{x_{2k-1}\}$ 与偶子列 $\{x_{2k}\}$ 都收敛到同一个 $L$，则 $\{x_n\}$ 收敛到 $L$。” 并说明如果把”奇子列与偶子列”换成”存在一个收敛子序列”，命题为何不成立。

(c) 用 $n_k\ge k$ 这个不等式，直接写出”$\{x_{2k}\}$ 是 $\{x_n\}$ 的子序列（取 $n_k=2k$），且 $x_n\to x\Rightarrow x_{2k}\to x$”的完整 $\epsilon$-$N$ 论证，并注明每一步把 $\epsilon$ 门槛从 $n$ 换算到 $k$ 的过程。

本讲一句话总结：LUB 造出极限（$x=\sup\{x_n\}$），$\epsilon$ 刻画让它贴住序列（$\exists M:x_M>x-\epsilon$），单调性把贴近传染给整条尾巴——于是”单调 + 有界”就足以保证收敛，无需知道极限是多少。而子序列作为”时间轴上的取景框”，给出了一个强有力的发散判据（两个子列极限不同 $\Rightarrow$ DNC）和一个守恒律（原序列收敛 $\Rightarrow$ 所有子列同极限收敛）。这两件工具将在 Lecture 9 汇合成 Bolzano–Weierstrass 定理，并最终在 Lecture 16 变成极值定理。