Lecture 8: The Squeeze Theorem and Operations Involving Convergent Sequences（夹逼定理与收敛序列的运算）

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Lecture 8: The Squeeze Theorem and Operations Involving Convergent Sequences（夹逼定理与收敛序列的运算）

概述

Lecture 6 建立了”序列收敛”的 $\epsilon$-$M$ 定义，Lecture 7 证明了”收敛 $\Rightarrow$ 有界”“单调有界 $\Rightarrow$ 收敛”以及”子序列继承极限”。但到目前为止，我们能真正算出极限的序列少得可怜：几乎只有 $\{1/n\}$ 和它的直接变体（Lecture 7 Example 70 把 $1/(n^2+2n+100)$ 硬夹到 $1/(2n)$ 上）。

本讲回答两个问题（源文件用两个 Question 明确点出）：

• Question 86: How do limits interact with ordering?（极限与序关系如何互动？）——Theorem 87。
• Question 88: How do limits interact with algebraic operations?（极限与代数运算如何互动？）——Theorem 89。

而为回答这两个问题，本讲先给出三件基础设施：夹逼定理（Theorem 82）、收敛的绝对值等价刻画（Theorem 84）、以及由它们派生的一整套”能不能把 $\lim$ 推进括号里”的规则（Theorem 89、Remark 90、Theorem 91、Theorem 93、Theorem 94）。

一句话概括本讲在课程中的位置：Lecture 6–7 教会你”什么叫收敛”，Lecture 8 教会你”怎么合法地算极限”。 从此以后，”求极限”不再需要每次回到 $\epsilon$-$M$ 定义硬算，而是像在微积分里一样做代数运算——前提是每一步都能引用本讲的某一条定理。这也正是 [JL] 把本节命名为 “Facts about limits of sequences” 的原因：它是一张许可证清单。

本讲的技术高潮是 Theorem 89 第 3 条（乘积极限），它是整门课里第一个真正需要”灵光一现”的证明；Theorem 91 与 Theorem 94 则是后面判别级数收敛（Lecture 11–12）的直接工具。

核心定义与直观解释

本讲没有引入任何新定义（源文件中没有 Definition 编号），它做的是三件事：

1. 给已有定义（收敛、有界）配一个新的等价刻画——Theorem 84；
2. 给已有定义配上保序性——Theorem 87；
3. 给已有定义配上代数兼容性——Theorem 89 及其推广。

因此本小节不写”五件套”，而是把三个”基础设施型”的概念工具讲透：（A）收敛的绝对值刻画、（B）有界性作为”可吸收误差的容器”、（C）夹逼的几何图像。

（A）收敛的绝对值刻画（Theorem 84）——本讲的”接口”

严格陈述（Theorem 84）：

它到底在说什么？

收敛定义（Lecture 6 Definition 63）本身就是用绝对值写的：

而”$\vert x_n-x\vert \to 0$”展开后是：

两个句子的差别只有一个：后者把 $\vert x_n-x\vert $ 看成一个非负序列去谈它趋于 $0$。由于 $\vert x_n-x\vert \ge 0$，恒有 $\bigl\vert \vert x_n-x\vert -0\bigr\vert =\vert x_n-x\vert $。所以这两句话在逻辑上是同一句话的两种写法。

为什么它是本讲最重要的一句话？

因为它把”证明 $x_n\to x$”这个任务翻译成：

证明非负序列 $u_n:=\vert x_n-x\vert $ 有极限 $0$。

而非负序列趋于 $0$ 有一个极其好用的充分条件——夹逼：只要找到一个上界序列 $u_n\le t_n$ 且 $t_n\to 0$，就得到 $u_n\to 0$。于是整个工作流程变成：

   目标: x_n → x
        │  Theorem 84（等价改写）
        ▼
   目标: |x_n − x| → 0
        │  造一個容易控制的"误差界" t_n
        ▼
   0 ≤ |x_n − x| ≤ t_n 且 t_n → 0
        │  Theorem 82（夹逼）
        ▼
   完成

这条流水线是本讲后文每一次证明的骨架。请把它记住。

具体示例（把 $\epsilon$ 取成具体数字）

设 $x_n=1/n$，$x=0$。Theorem 84 说 $1/n\to0 \iff \vert 1/n\vert \to0$。现在取 $\epsilon=0.01$：

所以 $M=101$。我们把 $n=100,101$ 都代进去验算：

（验算见本文档末尾的数值记录。）注意 $n=100$ 时恰好等于 $0.01$，不满足严格小于——这就是为什么 $M$ 要取 $101$ 而不是 $100$。这是学生最常犯的”差一”错误。

为什么需要这个刻画？

如果没有它，每次要估计 $\vert x_n-x\vert $ 都得重新背一遍 $\epsilon$-$M$ 句式；有了它，你只需要做代数放缩，剩下的交给夹逼定理。它把”逻辑量词”的工作量一次性打包，之后你只在”不等式”的世界里干活。

（B）有界性——”可吸收误差的容器”

严格定义（Lecture 6 Definition 61，回顾）：序列 $\{y_n\}$ 有界 (bounded) 是指

直观解释：有界 = 这个序列被关在某个对称区间 $[-B,B]$ 里，跑不出去。

为什么它是本讲的”主角配角”？ Theorem 89 第 3 条（乘积极限）的整个证明，就是把误差 $x_ny_n-xy$ 拆成”小 $\times$ 有界“的形状，然后用有界性把”小”吸收掉。这里有一条必须刻进肌肉记忆的黄金事实：

小 $\times$ 有界 $\to 0$。（小的那个因子趋于 $0$，有界的那个因子就算不收敛也没关系。）

它的严格证明就是夹逼：若 $\vert u_n\vert \to 0$、$\vert v_n\vert \le B$，则 $0\le\vert u_nv_n\vert \le B\vert u_n\vert \to0$，由 Theorem 82 得 $u_nv_n\to0$。（这里 $B=0$ 时也成立：此时 $\vert u_nv_n\vert \le 0$。）

具体示例：$u_n=1/n\to 0$，$v_n=(-1)^n$（有界，$B=1$，但发散）。则 $u_nv_n=(-1)^n/n\to 0$。这个例子说明：有界不需要收敛，这是它如此好用的原因——Lecture 7 Theorem 72 保证”收敛 $\Rightarrow$ 有界”，但反过来不必。

反例（条件不可省）：$u_n=1/n\to0$，$v_n=n$（无界），则 $u_nv_n=1$ 不趋于 $0$。所以”有界”这个条件不能丢。

（C）夹逼定理的几何图像

直观解释：$\{a_n\}$ 是”地板”，$\{b_n\}$ 是”天花板”，两者都朝同一个高度 $x$ 收拢；$\{x_n\}$ 被夹在中间，除了跟着 $x$ 走别无选择。用画面说：

                       b_n  ╲
      ┌───────────────────────╲──────────  b_n → x
      │  ← x_n 被夹在这条夹缝里  ╲
      └───────────────────────╱──────────  a_n → x
                       a_n  ╱
                            n → ∞

再看 $\epsilon$ 邻域的版本（这张图就是源文件 Theorem 82 证明的全部内容）：

            x-ε        a_n   x_n   b_n        x+ε
       ──────(──────────[─────|─────]──────────)──────→
              \____________________/
               n ≥ M 时，a_n 和 b_n 都已落进 (x-ε, x+ε)，
               于是被夹在中间的 x_n 也只能落在 (x-ε, x+ε) 内

为什么需要”两端极限相同”？ 如果 $a_n\to 0$、$b_n\to 1$，那 $x_n$ 在 $[0,1]$ 里可以自由晃荡，例如 $x_n=\sin^2 n$，毫无收敛性可言。两端必须撞到同一个点，夹缝才会闭合。

定理与完整证明（核心）

前置约定（本讲统一符号）：与源文件一致，收敛证明中的临界下标一律记作 $M$（或 $M_0,M_1,\dots$），而不用 $\epsilon$-$N$ 里的 $N$。全讲统一，不再前后混用。 源文件 OCR 说明：源文件由 PDF 提取，若干处有排版/OCR 讹误（例如 Theorem 82 陈述里的 “$a_n\le x_n\le b_k$” 应为 “$b_n$”；证明末行的 “$x-\epsilon<a_n\le x_n\le b_n<x-\epsilon$” 末尾应为 “$x+\epsilon$”；Theorem 87 第 2 条里的 “$x\le x_n\le b_n$” 应为 “$a\le x_n\le b$”；Theorem 94 里的 “$(1+(1-c))^n$” 应为 “$(1+(c-1))^n$”）。以下按正确的数学内容书写，并在每处注明源文件的原样写法，以便对照。

定理 82（Squeeze Theorem，夹逼定理）

• 定理陈述：设 $\{a_n\},\{b_n\},\{x_n\}$ 是实序列，满足

设 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 都收敛，且

则 $\{x_n\}$ 收敛，且 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$。

Remark 83（源文件）：我们有时把 Squeeze Theorem 缩写为 ST。做习题时看到 “by ST” 就是引用了这条定理。

• 证明策略：这是一个直接证明。计划如下：
  1. 给定任意 $\epsilon>0$，我们唯一的目标是造出一个 $M$，使 $n\ge M$ 时 $\vert x_n-x\vert <\epsilon$；
  2. 要用”$<\epsilon$”，只能靠两条已知的收敛性——$a_n\to x$ 给下界、$b_n\to x$ 给上界；
  3. 两条收敛性各自给出一个临界下标，取 $\max$ 同时满足两者；
  4. 把四个不等式串成一条不等式链，直接读出 $\vert x_n-x\vert <\epsilon$。

  为什么选直接证明？因为结论是一个不等式，而我们手上恰好有两个不等式（$a_n$ 的上/下界）。把不等式”首尾相接”是这类问题的自然做法，不需要反证。

• 逐步推导：

步骤 1（取定 $\epsilon$） 设 $\epsilon>0$ 任意给定。（依据：收敛定义的 $\forall\epsilon>0$ 要求我们处理任意正数。）

步骤 2（下界 $a_n$ 给出的临界下标） 因为 $\lim_{n\to\infty}a_n=x$，由收敛的 $\epsilon$-$M$ 定义（Lecture 6 Definition 63），存在 $M_0\in\mathbb N$，使得

而 $\vert a_n-x\vert <\epsilon$ 等价于 $-\epsilon<a_n-x<\epsilon$（依据：Lecture 5 Theorem 50 第 5 条，$\vert u\vert \le y\iff -y\le u\le y$ 的严格版本），取其左半支得

（依据：代数变形。）

步骤 3（上界 $b_n$ 给出的临界下标） 因为 $\lim_{n\to\infty}b_n=x$，存在 $M_1\in\mathbb N$，使得

取其右半支得

（依据：同上。）

步骤 4（取 $\max$ 合并两个临界下标） 令

则 $n\ge M$ 时同时有 $n\ge M_0$ 与 $n\ge M_1$。（依据：$\max$ 的定义——$M\ge M_0$ 且 $M\ge M_1$，而 $n\ge M$ 与 $\ge$ 的传递性给出 $n\ge M_0$、$n\ge M_1$。）

步骤 5（串不等式链） 设 $n\ge M$。把 (1)、题设 $a_n\le x_n\le b_n$、(2) 依序拼接：

（依据：不等式的传递性；题设给出中间那一段。）

步骤 6（读出结论） 由 (3) 得 $x-\epsilon<x_n<x+\epsilon$，即 $-\epsilon<x_n-x<\epsilon$（依据：三边同减 $x$），这正是

（依据：Lecture 5 Theorem 50 第 5 条。）

步骤 7（完成量词） 因为 $\epsilon>0$ 是任取的，我们已证明

即 $\{x_n\}$ 收敛且 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：这个证明的精髓只有一句话：“把两个单边估计拼成一条双边夹链”。

  想清楚为什么只要单边就够了：要证 $\vert x_n-x\vert <\epsilon$，我们需要两件事——$x_n>x-\epsilon$（下压）和 $x_n<x+\epsilon$（上压）。而 $a_n\to x$ 恰好能提供 $a_n>x-\epsilon$（因为 $a_n$ 越来越靠近 $x$，不可能一直低到 $x-\epsilon$ 以下），$b_n\to x$ 恰好能提供 $b_n<x+\epsilon$。于是：

  • 下方：$x-\epsilon<a_n\le x_n$（用 $a_n\to x$ 的”左侧”信息 + 夹逼假设的左半边）；
  • 上方：$x_n\le b_n<x+\epsilon$（用夹逼假设的右半边 + $b_n\to x$ 的”右侧”信息）。

  注意一个极易被忽略的细节：$\vert a_n-x\vert <\epsilon$ 同时给了两条信息（$a_n>x-\epsilon$ 和 $a_n<x+\epsilon$），我们在步骤 2 只用了前一条，另一条故意丢弃。同理步骤 3 只用了 $b_n<x+\epsilon$，丢弃了 $b_n>x-\epsilon$。这是完全正当的：多余的信息可以不用，缺少的信息才要命。初学者常犯的错误是”既然拿到了就要全用上”，结果把不等式方向搞乱。

  如果你要自己重新发明这个证明，你会怎么想？ 从目标倒推：目标 $\vert x_n-x\vert <\epsilon$ 是双边不等式；手上的资源是两条单边极限。于是自然的想法是”把两条单边资源分配到目标的上下两侧”。分配完毕，剩下的只是把临界下标合并（$\max$）。

• 【证明技巧总结】
  1. 取 $M=\max\{M_0,M_1\}$：凡是”需要同时满足若干个来自不同定理的条件”的证明，都用 $\max$ 合并临界下标。这是全课程出现频率最高的招式。
  2. 不等式链：把 $\text{左界}<\text{中间}\le\text{中间}\le\text{右界}$ 写成一行，比零散地分三段讨论清晰得多，也不容易漏掉方向。
  3. 只用需要的半边：$\vert u\vert <\epsilon\iff -\epsilon<u<\epsilon$ 提供两条信息，按需取用。

• 【正文思考题 A（示范中的问题）：为什么取 $\max$ 而不是 $\min$？】

  这是本讲第一个真正的概念题，必须答透。

  答：因为我们需要的 $M$ 必须同时满足两个条件：”$n\ge M$ 时 (1) 成立”和”$n\ge M$ 时 (2) 成立”。

  • 条件 (1) 的”允许范围”是 $n\ge M_0$；
  • 条件 (2) 的”允许范围”是 $n\ge M_1$；
  • 我们要的范围是两个范围的交集 $n\ge M_0$ 且 $n\ge M_1$，即 $n\ge\max\{M_0,M_1\}$。

  用集合语言：$\{n:n\ge M_0\}\cap\{n:n\ge M_1\}=\{n:n\ge\max\{M_0,M_1\}\}$。这是两个”尾巴”的相交，而尾巴的交是更短的那条尾巴，对应更大的下标。

  如果取 $M=\min\{M_0,M_1\}$，例如 $M_0=10,M_1=100$，取 $M=10$，那么 $n=50$ 就通过了门槛，但 (2) 在 $n=50<100$ 时根本不成立——我们不能宣称 $b_{50}<x+\epsilon$。于是不等式链 (3) 会断掉，证明失效。

  更一般的原则：

  情形	该取	原因
  需要”条件 A 且 条件 B”（绝大多数情况）	$\max$	取交集，两条尾巴都要够长
  需要”条件 A 或 条件 B”（少见，如分类讨论后合并）	$\min$	取并集，任一成立即可
  需要”$n\ge M_0$ 或 $n<M_0$”分情形讨论（如 Theorem 91、Theorem 89(4)）	都不用，直接分情况	两种情形的论证方式不同

  一句话记忆：“同时满足”用 $\max$，”其中之一满足”用 $\min$。 本讲 90% 的场合都是 $\max$。

• 补充：一个具体的 $\epsilon$ 演算（把 Theorem 82 落到数字上）

  设 $a_n=1-1/n$，$b_n=1+1/n$，$x=1$。要求 $n\ge M_0$ 时 $\vert a_n-1\vert =1/n<\epsilon$，即 $n>1/\epsilon$；要求 $n\ge M_1$ 时 $\vert b_n-1\vert =1/n<\epsilon$，同样 $n>1/\epsilon$。取 $\epsilon=0.01$：

  \[M_0=M_1=101,\qquad M=\max\{101,101\}=101.\]

  于是 $n\ge101$ 时 $0.99<1-1/n\le x_n\le 1+1/n<1.01$，故 $\vert x_n-1\vert <0.01$。任何被 $1\pm1/n$ 夹住的序列（例如 $x_n=1+\frac{\sin n}{n}$）都满足 $\lim x_n=1$。

定理 84（收敛的绝对值等价刻画）

• 定理陈述：设 $\{x_n\}$ 是实序列，$x\in\mathbb R$。则

• 证明策略：这是一个定义层面的恒等改写，两个方向都是”把定义展开再收回去”。关键观察是 $\vert x_n-x\vert \ge 0$，所以对任意 $\epsilon>0$，

也就是说，”$\vert x_n-x\vert $ 与 $0$ 的距离小于 $\epsilon$”和”$x_n$ 与 $x$ 的距离小于 $\epsilon$”是同一个不等式。

• 逐步推导：

  记 $u_n:=\vert x_n-x\vert $，则 $u_n\ge0$（依据：Lecture 5 Theorem 50 第 1 条，$\vert y\vert \ge0$）。

（$\Rightarrow$） 假设 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$，即

要证 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$，即

给定 $\epsilon>0$，取 (4) 中同一个 $M$；对 $n\ge M$，

（依据：$u_n$ 的定义、绝对值非负、以及 (4) 的结论。）因此 $u_n\to0$。

（$\Leftarrow$） 假设 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$，即

给定 $\epsilon>0$，取 (5) 中同一个 $M$；对 $n\ge M$，

（依据：$u_n$ 的定义、(5) 的结论。）因此 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：这个证明”短得可疑”，但这恰恰是它的价值所在：当两个命题只是同一件事的两种写法时，证明就是翻译。

  那么为什么课程还要专门把它列为一条 Theorem？因为它改变了解题的工作流。它是一条”接口”（interface）：把”收敛”这个逻辑命题（带 $\forall\exists$ 量词）转换成”非负序列趋于零”这个可放缩的目标。请对比两种写法：

  直接写法	使用 Theorem 84 后的写法
  目标：$\forall\epsilon>0\ \exists M,\ \forall n\ge M:\ \vert x_n-x\vert <\epsilon$	目标：造 $t_n\to0$ 使 $0\le\vert x_n-x\vert \le t_n$
  每次都要处理量词、处理”$n\ge M$”	量词只在 $t_n\to0$ 那一处处理一次（通常 $t_n=1/n$，已由 Lecture 7 处理过）
  需要”$\epsilon$ 给定后再设计放缩”	放缩与 $\epsilon$ 无关，先放缩后收口

  它的作用用一句话说清：Theorem 84 是 Lecture 8 之后所有”用夹逼证收敛”的入口。Example 85、Theorem 89(3)、Theorem 89(4)、Theorem 91 全都走这条路：先证 $\vert {\rm 误差}\vert \to0$，再引 Theorem 84 得极限。

• 【证明技巧总结】

  1. 定义等价改写：当两个命题的差别只在”同一不等式的不同拼写”时，证明就是两次展开定义。
  2. 接口思维：把难用的定义转换成好用的等价形式，之后所有问题都在好用形式上做。本课的后续版本还有：$\limsup$（Lecture 9）、Cauchy 判别（Lecture 10）、连续性的序列刻画（Lecture 14）。

Example 85（源文件）：证明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+n+1}=1$

• 证明策略：这是 Theorem 84 + Theorem 82 的第一次实战。计划：
  1. 计算误差 $x_n-1$，合并成一个分式；
  2. 用分母变小则分式变大把误差压到一个简单的上界 $1/n$；
  3. 用 $1/n\to0$（Lecture 7）+ 夹逼（Theorem 82）收口；
  4. 最后用 Theorem 84 把”$\vert x_n-1\vert \to0$”翻译回”$x_n\to1$”。
• 逐步推导：

步骤 1（合并误差） 令 $x_n:=\dfrac{n^2}{n^2+n+1}$。计算

（依据：通分——分母相同，分子相减，这是纯代数。）

步骤 2（取绝对值）

（依据：$\vert -a\vert =\vert a\vert $ 与分子分母均为正；分母 $n^2+n+1>0$ 因为 $n\ge1$ 时 $n^2+n+1\ge3>0$。）

步骤 3（关键放缩：分母变小，分式变大）

（依据：$n^2+n+1\ge n^2+n$，即分母减小；在分子 $n+1>0$ 固定的情况下，分母越小分式越大。）

步骤 4（约分）

（依据：因式分解 $n^2+n=n(n+1)$，并注意 $n+1\ne0$。）

步骤 5（夹逼收口） 由步骤 2–4，

取 $a_n\equiv0$（常序列，极限为 $0$）、$b_n=1/n$（极限为 $0$）、中间序列为 $\vert x_n-1\vert $，由 Theorem 82（ST） 得

（依据：Theorem 82；两端极限相同，均为 $0$。）

步骤 6（翻译回原目标） 由 (8) 与 Theorem 84 得

• 【证明机制解说】

  （i）为什么把分母放小？——不等式方向是本讲第一大坑。

  我们的目标是给误差造一个上界，即要证

  \[\vert x_n-1\vert \le(\text{某个趋于}0\text{的东西}).\]

  现在误差是 $\dfrac{n+1}{n^2+n+1}$。要让这个分式变大（才能充当上界），分子变大或分母变小。我们显然不能动分子（$n+1$ 已经很简洁，改成 $n+2$ 会让界变差但也没关系——不过没必要），所以动分母：把 $n^2+n+1$ 换成更小的 $n^2+n$。

  方向的逻辑链如下，务必逐字读：设 $0<D_2\le D_1$，$N>0$，则 $\dfrac{N}{D_1}\le\dfrac{N}{D_2}$。也就是：

      分母 ↓   ⟹   分式 ↑
      分母 ↑   ⟹   分式 ↓
    
      例: 1/3 = 0.333…  ≤  1/2 = 0.5      （分母 3 → 2 变小，分式变大）
  

  学生最常见的错误是写成

  \[\frac{n+1}{n^2+n+1}\le\frac{n+1}{n^2+n+2}\quad(\text{错！})\]

  把分母放大了。这给出的是一个下界（而且是错的界），完全无法配合夹逼定理使用——我们要的是上界。

  （ii）为什么保留 $\dfrac1n$ 而不继续放粗？

  有人可能想：”$n+1\le n^2$（$n\ge2$ 时），所以 $\dfrac{n+1}{n^2+n}\le\dfrac{n^2}{n^2+n}\le\dfrac{n^2}{n^2}=\boxed1$。” 这个界完全没用：夹逼定理要求上界趋于 $0$，而常数 $1$ 不趋于 $0$，你会卡死。

  反过来，能不能放得更细？当然可以，比如保留 $\dfrac{n+1}{n^2+n+1}$ 直接证它 $\to0$——但那就得回到 $\epsilon$-$M$ 硬算，白折腾。$\dfrac1n$ 的妙处在于三件事同时成立：

  1. 上界（方向正确）；
  2. 趋于 $0$（能被夹逼用）；
  3. 已经在 Lecture 7 被证明过（$\lim 1/n=0$ 是已知定理，直接引用，不必重证）。

  这就是放缩的艺术：放缩的终点应该是”一个你已知趋于 $0$ 的最简序列”。$1/n$、$1/n^2$、$c^n$（$0<c<1$）是本课程最常用的三个”终点”。

  （iii）$\epsilon$ 具体化：取 $\epsilon=0.01$。由步骤 3–4，只要 $1/n<0.01$ 即 $n>100$，就有 $\vert x_n-1\vert <0.01$。所以 $M=101$。数值验算：

  $n$	$x_n=n^2/(n^2+n+1)$	$\lvert x_n-1\rvert$	$1/n$	是否 $<0.01$
  100	0.99009900…	0.00999901	0.010000	否（$1/n$ 不足，但真实误差其实已达标）
  101	0.99019607…	0.00990003	0.009900	是

  注意第 100 行：真实误差 $0.00999901<0.01$ 已经达标，但我们的界 $1/n=0.01$ 不达标，所以按我们的放缩只能说 $M=101$。这是完全正常的——放缩是有代价的，代价就是 $M$ 可能比理论最优值大一点。收敛性证明只要求”存在 $M$”，不要求最小。

• 【证明技巧总结】
  1. “误差 = 通分后的分式”：处理有理式的极限，第一步永远是算 $\left\vert \dfrac{P(n)}{Q(n)}-L\right\vert $ 并合并成一个分式，让分子中出现 $n$ 的最高次项抵消（这里是 $n^2-n^2=0$）。分子抵消掉最高次项，是”极限就是最高次项系数比”这一直觉的代数根源。
  2. 分母放小、分子放大 ⟹ 分式变大（方向口诀：“小分母、大分子，分式大”）。
  3. 放缩的终点要选”已知趋于 0 的最简序列”（$1/n$ 是首选）。
  4. 最后一步别忘了 Theorem 84：夹逼给出的是 $\vert x_n-1\vert \to0$，要”翻译”回 $x_n\to1$。

• 补充练习（同类题，全部写出完整过程）

  练习 85.1：求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^3+n}{3n^3-5}$。

  解答：猜测极限为最高次系数比 $\dfrac23$。计算

  \[\frac{2n^3+n}{3n^3-5}-\frac23=\frac{3(2n^3+n)-2(3n^3-5)}{3(3n^3-5)}=\frac{6n^3+3n-6n^3+10}{9n^3-15}=\frac{3n+10}{9n^3-15}.\]

  （依据：通分。注意分子中 $n^3$ 项恰好抵消。）当 $n\ge2$ 时 $9n^3-15>0$，故

  \[\left\vert \frac{2n^3+n}{3n^3-5}-\frac23\right\vert =\frac{3n+10}{9n^3-15}.\]

  （需要 $n\ge2$ 保证分母为正，这样才能去掉绝对值符号；$n=1$ 时分母为 $-2<0$，绝对值会变号——这就是”有限多项可以不管”的典型情形，因为收敛性只关心 $n$ 足够大以后的行为。我们可以在 $n\ge2$ 的尾巴上做放缩，有限项（$n=1$）自动被回顾性处理：按惯例取 $M\ge2$ 即可。）

  放缩：分子放大、分母放小。当 $n\ge2$ 时 $3n+10\le3n+10n=13n$（依据：$10\le10n$）；$9n^3-15\ge9n^3-\frac{15}{8}n^3=\frac{57}{8}n^3$（因为 $n^3\ge8$ 使 $15\le\frac{15}{8}n^3$）。于是

  \[\frac{3n+10}{9n^3-15}\le\frac{13n}{\frac{57}{8}n^3}=\frac{104}{57}\cdot\frac1{n^2}\le\frac{2}{n^2}\cdot\dots\]

  这个界够用但有点丑。更干净的放缩：分母放小用 $9n^3-15\ge4n^3$（当 $n\ge2$ 时 $9n^3-15\ge9\cdot8-15=57\ge4\cdot8=32$ ✓；更简单地：$n\ge2\Rightarrow 15\le\frac{15}{8}n^3\Rightarrow 9n^3-15\ge\frac{57}{8}n^3\ge4n^3$ ✓），分子放大用 $3n+10\le4n$（当 $n\ge10$）：

  \[\frac{3n+10}{9n^3-15}\le\frac{4n}{4n^3}=\frac1{n^2}\qquad(n\ge10).\]

  于是 $0\le\left\vert \dfrac{2n^3+n}{3n^3-5}-\dfrac23\right\vert \le\dfrac1{n^2}\to0$，由 Theorem 82 与 Theorem 84，

  \[\lim_{n\to\infty}\frac{2n^3+n}{3n^3-5}=\frac23.\]

  数值验算：$n=2$ 时真实误差 $0.280702$，界 $3/(2n)=0.75$ ✓（更粗但方向正确）；$n=100$ 时真实误差 $3.44\times10^{-5}$。（完整数值记录见文末。）

  练习 85.2（示范中的思考题）：求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}$。

  解答：这里不能用 Theorem 89(4)（除法的极限），因为 $\{\sin n\}$ 不收敛（它在 $[-1,1]$ 里跳动，是发散的，正如 Lecture 7 Example 71 的 $(-1)^n$ 一样）。但我们不需要它收敛——我们只需要它有界！

  对一切 $n\in\mathbb N$，$\vert \sin n\vert \le1$（依据：正弦函数的值域；本课程在 Lecture 15 会严格证明之，此前把它当作已知的三角学事实使用，并在那里回填证明）。因此

  \[0\le\left\vert \frac{\sin n}{n}-0\right\vert =\frac{\vert \sin n\vert }{n}\le\frac1n\to0.\]

  （依据：$\vert ab\vert =\vert a\vert \vert b\vert $（Lecture 5 Theorem 50 第 3 条）、$\vert \sin n\vert \le1$、$1/n\to0$（Lecture 7）。）由 Theorem 82（夹逼） 得 $\left\vert \dfrac{\sin n}{n}\right\vert \to0$，再由 Theorem 84 得

  \[\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}=0.\]

  这个例子是本讲精神的缩影：序列本身不收敛（Oscillates），但只要你有一个有界因子乘上一个趋于 0 的因子，乘积就趋于 $0$。$1/n$ 是”小的部分”，$\sin n$ 是”有界的部分”，小 $\times$ 有界 $\to 0$，夹逼定理负责把它写严格。

  数值验算：取 $\epsilon=0.01$ 时 $M=101$；在 $n\ge101$ 上实际最大值 $\vert \sin n\vert /n\le0.0097532<0.01$ ✓（因 $\vert \sin\vert \le1$，上界 $1/101=0.009901$ 也达标）。

  练习 85.3（示范中的思考题）：用夹逼的思路处理 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}$。

  思路：要点是造出 $\dfrac{n}{2^n}\le\dfrac{2}{n}\to0$。这需要一个关于 $2^n$ 增长速度的初等不等式。我们用数学归纳法（Lecture 1）证明

  \[\forall n\ge4,\qquad 2^n\ge n^2. \tag{9}\]

  基础情形 $n=4$：$2^4=16=4^2$ ✓。 归纳步骤：设 $2^k\ge k^2$（$k\ge4$）。则

  \[2^{k+1}=2\cdot2^k\ge2k^2,\]

  （依据：归纳假设 + 两边乘 $2>0$。）而

  \[2k^2-(k+1)^2=k^2-2k-1=(k-1)^2-2\ge9-2=7>0\qquad(k\ge4),\]

  （依据：展开并配方；$k\ge4\Rightarrow(k-1)^2\ge9$。）故 $2k^2\ge(k+1)^2$，于是 $2^{k+1}\ge(k+1)^2$。(9) 证毕。

  顺带检查 $n=1,2,3$ 不满足 (9)：$2^1=2<1$（否，$2\ge1$ ✓）、$2^2=4=4$ ✓、$2^3=8<9$ ✗。所以 (9) 从 $n=4$ 起成立；$n=1,2$ 也恰好成立，$n=3$ 不成立——这对极限毫无影响，因为极限只看尾巴。

  由 (9)，当 $n\ge4$ 时

  \[0\le\frac{n}{2^n}\le\frac{n}{n^2}=\frac1n\to0.\]

  （依据：分母放大 ⟹ 分式变小，方向正确；$1/n\to0$。）由 Theorem 82 与 Theorem 84，

  \[\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}=0.\]

  数值验算：$n=4$ 时 $n/2^n=0.25=1/n$（界取等）；$n=10$ 时 $9.77\times10^{-3}\le0.1$ ✓；$n=20$ 时 $1.91\times10^{-5}\le0.05$ ✓。取 $\epsilon=0.001$ 时 $M=1001$ 即可。

  另一条更”分析味”的路线（预告）：还可以用二项式展开 $2^n=(1+1)^n\ge\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}2$（$n\ge2$），从而 $\dfrac{n}{2^n}\le\dfrac{2}{n-1}\to0$。这条路线给出更干净的界 $\dfrac{2}{n-1}$，而且对任何 $c>1$ 都能推广（Lecture 9 会用这一招处理 $c^n$ 与 $n^{1/n}$）。此处仅作提示，二项式定理在 Lecture 11 正式引入。

定理 87（极限与序关系）

• 定理陈述：设 $\{x_n\}$、$\{y_n\}$ 是实序列。则

  （1） 若 $\{x_n\}$、$\{y_n\}$ 都收敛且 $\forall n\in\mathbb N,\ x_n\le y_n$，则

  \[\lim_{n\to\infty}x_n\le\lim_{n\to\infty}y_n.\]

  （2） 若 $\{x_n\}$ 收敛且 $\forall n\in\mathbb N,\ a\le x_n\le b$（$a,b\in\mathbb R$ 为常数），则

  \[a\le\lim_{n\to\infty}x_n\le b.\]

  源文件对照：源文件第 2 条写作 “if $\{x_n\}$ is a convergent sequence and $\forall n\in\mathbb N$ $x\le x_n\le b_n$ then $a\le\lim x_n\le b$”——这是 OCR 讹误（$x$ 应为 $a$，$b_n$ 应为 $b$）。正确陈述如上。

• 证明策略（第 1 条）：使用反证法。假设结论不成立，即 $\lim y_n<\lim x_n$。令 $d:=x-y>0$，把两条收敛性都以 $\epsilon=d/2$ 的形式展开，得到”从某一项起 $y_n$ 很小、$x_n$ 很大”，于是找出某一项 $M$ 使 $y_M<x_M$，与题设 $x_n\le y_n$ 矛盾。

  为什么用反证法？因为结论是不等式 $x\le y$，它等价于”$\lnot(y<x)$”。而 $\lnot(y<x)$ 这个假设给了我们一个正数 $d=x-y>0$，正数可以充当 $\epsilon$——反证法在这里的作用是制造一个正的 $\epsilon$。这是本课程”反证 + 取 $d/2$”套路的标准模板（回忆 Lecture 6 Theorem 66 证明唯一性时取 $\epsilon=\vert x-y\vert /2$）。

• 逐步推导（第 1 条）：

步骤 1（记极限） 设 $x:=\lim_{n\to\infty}x_n$，$y:=\lim_{n\to\infty}y_n$。（依据：两个极限都存在，可以命名。）

步骤 2（反证假设） 反设 $y<x$。（依据：反证法假设；因为要证 $x\le y$，其否定即 $y<x$。）令

（依据：$x>y$。）

步骤 3（用 $\epsilon=d/2$ 展开 $y_n\to y$） 取 $\epsilon=\dfrac d2=\dfrac{x-y}2>0$。因 $\lim y_n=y$，存在 $M_0\in\mathbb N$，使得

（依据：收敛定义，$\epsilon$ 取为 $d/2$。）

步骤 4（用 $\epsilon=d/2$ 展开 $x_n\to x$） 同理存在 $M_1\in\mathbb N$，使得

（依据：收敛定义，再次取 $\epsilon=d/2$。）

步骤 5（合并临界下标） 令

由于 $M_0,M_1\in\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}$，有 $M_0\ge1$ 与 $M_1\ge1$，故

从而 $M\ge\max\{M_0,M_1\}$。

源文件原样写法：源文件写的是 “Then, if $M=M_0+M_1\ge\max\{M_0,M_1\}$”。这个写法的意思正是上面这两行：取 $M=M_0+M_1$，并注意到它自动 $\ge\max\{M_0,M_1\}$，因此 $M$ 同时 $\ge M_0$ 和 $\ge M_1$。所以 $n\ge M$ 时 (10) 与 (11) 同时成立。

这里为什么不能直接取 $M=\max\{M_0,M_1\}$？其实完全可以——见下面的【证明机制解说】。源文件用加法，好处是不需要任何关于 $\max$ 的额外推理：$M_0+M_1$ 显然同时大于等于两者（因为两者都是正整数），一步到位。

步骤 6（从 (10) 得到 $y_M$ 的上界） 因 $M\ge M_0$，由 (10)：

（依据：$\vert u\vert <c\iff -c<u<c$，取右半支；再移项。注意这里只用了右半支——我们只需要 $y_M$ 的一个上界。）

步骤 7（从 (11) 得到 $x_M$ 的下界） 因 $M\ge M_1$，由 (11)：

（依据：$\vert u\vert <c\Longrightarrow u>-c$，即 $-c<u$，取左半支；再移项。注意这里只用了左半支。）

步骤 8（制造矛盾） 把 (12) 与 (13) 并排：

于是 $y_M<x_M$，即 $x_M>y_M$。（依据：不等式的传递性。）

步骤 9（与题设冲突） 但题设给出 $\forall n\in\mathbb N,\ x_n\le y_n$，特别地 $x_M\le y_M$。这与 $y_M<x_M$ 矛盾。（依据：$a<b$ 与 $a\le b$ 不可同时成立。）

步骤 10（结论） 假设 $y<x$ 导致矛盾，故 $y\ge x$，即

• 逐步推导（第 2 条）：

步骤 1（构造常序列） 令 $y_n\equiv a$（即 $\forall n,\ y_n=a$），$z_n\equiv b$。（依据：常序列的定义。）

步骤 2（常序列收敛到自身） 常序列 $\{a\}$ 收敛且 $\lim_{n\to\infty}a=a$：对任意 $\epsilon>0$，取 $M=1$，则 $n\ge1$ 时 $\vert a-a\vert =0<\epsilon$。（依据：收敛定义；$0<\epsilon$ 因 $\epsilon>0$。）

步骤 3（应用第 1 条——下界） 由题设 $\forall n,\ a\le x_n$，即 $\forall n,\ y_n\le x_n$。对序列 $\{y_n\}$ 与 $\{x_n\}$ 应用第 1 条，得

步骤 4（应用第 1 条——上界） 由题设 $\forall n,\ x_n\le b$，即 $\forall n,\ x_n\le z_n$。应用第 1 条得

步骤 5（合并）

（依据：步骤 3 与步骤 4。）这与源文件 “Apply part 1 to prove part 2, by considering $y_n=a\le x_n\le b=z_n$ for all $n\in\mathbb N$” 完全一致。

• 【证明机制解说】

  （i）$M=M_0+M_1$ 与 $M=\max\{M_0,M_1\}$ 的关系。

  源文件用加法，是因为它不需要任何辅助事实：$M_0,M_1$ 都是正整数，$M_0+M_1$ 自然不小于两者中的任何一个。这是一种”用最笨但最不需要思考的办法合并门槛“的风格。

  更常见的写法是取 $M=\max\{M_0,M_1\}$，理由是它给出最小的可用门槛，与 Theorem 82 的写法保持统一，读者读起来也更顺。两种写法在逻辑上都完全正确——证明只要求存在一个 $M$，不要求它是最优的。

  这里要特别澄清一点：源文件那行 “$M=M_0+M_1\ge\max\{M_0,M_1\}$” 的用途是：

  \[M\ge\max\{M_0,M_1\}\ \Longrightarrow\ \bigl(M\ge M_0\bigr)\wedge\bigl(M\ge M_1\bigr)\ \Longrightarrow\ \text{(10) 与 (11) 同时可用于 }n=M.\]

  也就是说，这行不等式的唯一功能就是保证 $M$ 同时大于等于 $M_0$ 和 $M_1$。理解这一点，你就理解了整段证明的”接口”。

  写法	优点	缺点
  $M=M_0+M_1$	无需任何关于 $\max$ 的说明，一步到位	门槛可能远大于必要值；与 Theorem 82 风格不统一
  $M=\max\{M_0,M_1\}$	门槛最小；全讲风格统一	需要一句话说明 $\max$ 的含义

  建议：自己写作业时用 $\max$（更标准、更清晰）；读源文件时要能识别出加法版本与它等价。

  （ii）反证法在这里到底做了什么？

  整段证明的”燃料”是 $d/2$ 这个正数。反证假设 $y<x$ 的唯一作用，就是造出一个正数 $d=x-y>0$。有了正数，才能取 $\epsilon=d/2$；有了 $\epsilon=d/2$，才能让 $y_n$ 落到 $\frac{x+y}2$ 以下、让 $x_n$ 升到 $\frac{x+y}2$ 以上，从”中间那条线”$\frac{x+y}2$ 的两侧穿过去，形成 $y_M<\frac{x+y}2<x_M$ 的剪刀。

  请把这个”取中点、两侧穿过、形成矛盾“的画面记住，它是分析中”反证 + $\epsilon=d/2$”的标准图像：

      y_M           (x+y)/2           x_M
   ─────●───────────────┼───────────────●─────→
        │               │               │
        │  由(10)知 y_M 落在中线左侧     │
        │               │  由(11)知 x_M 落在中线右侧
        └───────────────┴───────────────┘
              于是 y_M < x_M，与 x_n ≤ y_n 矛盾
  

  另一种更”正面”的证法（源文件未用，但值得知道）：Lebl 的 [JL] Lemma 2.2.3 用的是直接证明：取 $\epsilon>0$，用 $\epsilon/2$ 控制两个误差，相加得 $y_n-x_n<x-y+\epsilon$；由 $x_n\le y_n$ 得 $0\le y_n-x_n$，故 $x-y<-\epsilon$ 不成立……完整推导为：$x-x_n<\epsilon/2$ 且 $y_n-y<\epsilon/2$，相加得 $y_n-x_n+x-y<\epsilon$，即 $x-y<\epsilon-(y_n-x_n)\le\epsilon$；故对一切 $\epsilon>0$ 有 $x-y<\epsilon$，由 Lecture 6 Theorem 66 得 $x-y\le0$，即 $x\le y$。两种证法都对，反证法更短，直接证明更”构造性”。

• 【证明技巧总结】
  1. 反证时取 $\epsilon=d/2$：把”两数距离 $d$”劈成两半，是制造矛盾的标准武器（Lecture 6 Theorem 66、Theorem 87、后续 Lecture 14 都会再用）。
  2. 取中点 $\frac{x+y}2$ 作为”分界线”：两个由 $\epsilon$ 控制的不等式一旦落在中线两侧，就自动矛盾。
  3. 合并门槛用 $\max$ 或加法：加法版无脑正确，$\max$ 版最标准。
  4. 常序列是”把不等式变成序关系”的桥梁：Theorem 87(2) 就是把 (1) 用在 $\{a\}$、$\{b\}$ 两个常序列上。

• 【关键警示：严格不等式取极限后会变 $\le$！】

  这是本讲最重要的一条警告，也是学生最常丢分的点。

  定理 87 只保证非严格不等式（$\le$）被极限保持。 也就是说：如果只知道 $\forall n,\ x_n<y_n$（严格），你能推出的只有 $\lim x_n\le\lim y_n$——不能推出 $\lim x_n<\lim y_n$。

  反例（源文件与 [JL] 都强调的那个）：取 $x_n\equiv0$，$y_n=1/n$。则对一切 $n\in\mathbb N$，

  \[0<\frac1n\qquad(\text{严格成立}),\]

  但

  \[\lim_{n\to\infty}0=0=\lim_{n\to\infty}\frac1n.\]

  极限相等，严格性丢失了。

  $n$	$x_n=0$	$y_n=1/n$	$x_n<y_n$ ？
  1	0	1.0	✓ 严格
  10	0	0.1	✓ 严格
  1000	0	0.001	✓ 严格
  $\to\infty$	0	0	极限比较：$0\le0$，不是 $0<0$

  为什么严格性会丢？ 因为”严格”是逐项的性质（每一对 $(x_n,y_n)$ 的比较），而极限是整体的性质（整条尾巴的聚拢位置）。两条尾巴可以永远保持正距离，却同时朝同一点收拢；当 $n\to\infty$ 时这个正距离被压平了。

  正确用法：

  • 已知 $x_n<y_n\ \forall n$ ⟹ 只能写 $\lim x_n\le\lim y_n$；
  • 若想得到严格的 $\lim x_n<\lim y_n$，必须额外假设”差距有一致的正下界“，即 $\exists\delta>0$ 使 $y_n-x_n\ge\delta$ 对一切 $n$ 成立（此时 $\lim y_n-\lim x_n\ge\delta>0$，由 Theorem 87(1) 应用于 $y_n-x_n\ge\delta$）；
  • 同理，Theorem 87(2) 中的 $a$、$b$ 也不能换成严格的 $a<x_n<b$ 而指望得到 $a<\lim x_n<b$。
  • 一个特例是可以的：如果其中一个不等式是严格的且另一端是常数且常数本身就是极限……不，仍然不行，请看上面的反例（$x_n\equiv0$ 是常序列，$a=0$，$x_n<a$ 不成立）。结论：任何”严格 ⟹ 严格”的推断都必须有额外的一致间隔假设。

定理 89（代数运算，4 条）

• 定理陈述：设 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$，$\lim_{n\to\infty}y_n=y$。则

  1. $\{x_n+y_n\}$ 收敛，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+y$。
  2. 对任意 $c\in\mathbb R$，$\{cx_n\}$ 收敛，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}cx_n=cx$。
  3. $\{x_n\cdot y_n\}$ 收敛，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_ny_n=xy$。
  4. 若 $\forall n\in\mathbb N,\ y_n\ne0$ 且 $y\ne0$，则 $\{x_n/y_n\}$ 收敛，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac xy$。

  源文件 OCR 对照：源文件第 1 条写作 “$\{xy+y_n\}_n$ is convergent”——应为 $\{x_n+y_n\}$。其余三条与源文件一致。

  这四条合起来就是一句口号：四则运算可以穿过 $\lim$。（严格地说，前提是涉及的极限都存在——这一点在常见误区里要反复强调。）

定理 89 第 1 条（加法）

• 证明策略：$\epsilon/2$ 技巧 + $\max$ 合并 + 三角不等式。目标是把 $\vert (x_n+y_n)-(x+y)\vert $ 拆成两个各自可控的误差之和。

• 逐步推导：

步骤 1 设 $\epsilon>0$ 给定。（依据：$\forall\epsilon>0$。）

步骤 2 因 $x_n\to x$，存在 $M_0\in\mathbb N$ 使

（依据：收敛定义，$\epsilon$ 取 $\epsilon/2$；注意 $\epsilon/2>0$。）

步骤 3 因 $y_n\to y$，存在 $M_1\in\mathbb N$ 使

步骤 4 令 $M:=\max\{M_0,M_1\}$。则 $n\ge M$ 时 (14)、(15) 同时成立。（依据：$\max$ 的定义——同时满足用 $\max$，与 Theorem 82 步骤 4 同理。）

步骤 5（三角不等式） 对 $n\ge M$，

（依据：Lecture 6 Theorem 51（Triangle Inequality，三角不等式）：$\forall u,v\in\mathbb R,\ \vert u+v\vert \le\vert u\vert +\vert v\vert $。这里取 $u=x_n-x,\ v=y_n-y$。同时用了代数结合律把 $(x_n+y_n)-(x+y)$ 重组为 $(x_n-x)+(y_n-y)$。）

步骤 6（收口） 由 (16)、(14)、(15)，

（依据：步骤 4 保证两个估计同时可用。）

步骤 7 因 $\epsilon>0$ 任取，$\forall\epsilon>0\exists M\forall n\ge M$ 的不等式 (17) 成立，故 $\{x_n+y_n\}$ 收敛到 $x+y$。$\blacksquare$

$\epsilon$ 具体化：取 $x_n=1+1/n\to1$，$y_n=2+1/n\to2$，则 $x_n+y_n=3+2/n\to3$。若要求 $\vert (x_n+y_n)-3\vert <0.02$，即 $2/n<0.02$，即 $n>100$，故 $M=101$。验算：$n=100$ 时 $2/n=0.02$ 不严格小于 $0.02$；$n=101$ 时 $2/101=0.019802<0.02$ ✓。

• 【证明机制解说】 核心是三角不等式把”和的误差”分解为”误差的和”。这一步之所以可行，是因为 $\vert u+v\vert \le\vert u\vert +\vert v\vert $：两个误差可能同号而叠加（最坏情况），所以上界必须是两者之和，不能取其中之一。这就是为什么要在步骤 2、3 里各留一半配额 $\epsilon/2$ 而不是整份 $\epsilon$——预留额度。

  为什么要 $\epsilon/2$ 而不是 $\epsilon/3$ 或 $\epsilon$？ 因为最终要加两项。一般原则：如果最终要把 $k$ 个误差相加，就给每个误差配额 $\epsilon/k$。（Theorem 89(1) 用 $\epsilon/2$；Theorem 89(3) 的严格版本会用 $\epsilon/3$，见 [JL] Proposition 2.2.5(iii)。）

• 【证明技巧总结】：$\epsilon/k$ 配额法 + 三角不等式 + $\max$ 合并门槛。这三件套可以批量生产所有”和、差、有限线性组合”的极限定理。

定理 89 第 2 条（数乘）

• 证明策略：直接证明。把 $\vert cx_n-cx\vert $ 提出 $\vert c\vert $，然后要求 $\vert x_n-x\vert $ 小于 $\epsilon/(\vert c\vert +1)$，利用 $\dfrac{\vert c\vert }{\vert c\vert +1}<1$ 收口。

• 逐步推导：

步骤 1 设 $\epsilon>0$ 给定。

步骤 2 因 $x_n\to x$，存在 $M_0\in\mathbb N$ 使

注意：这里的 $\epsilon$ 被换成了 $\dfrac{\epsilon}{\vert c\vert +1}$，而 $\dfrac{\epsilon}{\vert c\vert +1}>0$ 恒成立，因为分母 $\vert c\vert +1\ge1>0$ 永远不为零。这正是选用 $\vert c\vert +1$ 而非 $\vert c\vert $ 的原因（见下）。依据：收敛定义。

步骤 3 令 $M:=M_0$。则 $n\ge M_0$ 时 (18) 成立。

步骤 4 对 $n\ge M$，

（依据：Lecture 5 Theorem 50 第 3 条 $\vert uv\vert =\vert u\vert \vert v\vert $；以及代数分配律 $cx_n-cx=c(x_n-x)$。）

步骤 5 把 (18) 代入 (19)：

步骤 6 因 $\vert c\vert \ge0$，有 $\vert c\vert <\vert c\vert +1$，故

（依据：两边同加 $1$ 得 $\vert c\vert +1<\vert c\vert +2$，或直接移项 $0<1$；分母为正故不等号方向不变。）

步骤 7 由 (20)(21)：

（依据：一个正数乘以 $<1$ 的正数仍小于该正数。）

步骤 8 因 $\epsilon>0$ 任取，得 $cx_n\to cx$。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：为什么用 $\vert c\vert +1$ 而不是 $\vert c\vert $？

  这是本讲的第二个”概念题”，必须在正文里答透。

  （i）直接答案：$c=0$ 时 $\vert c\vert =0$ 不能做分母。

  如果照搬加法的写法，我们”自然”想取 $\epsilon/\vert c\vert $，因为步骤 4 会给出 $\vert cx_n-cx\vert =\vert c\vert \vert x_n-x\vert <\vert c\vert \cdot\frac{\epsilon}{\vert c\vert }=\epsilon$。这看起来很干净——但前提是 $\vert c\vert \ne0$。当 $c=0$ 时 $\vert c\vert =0$，$\epsilon/\vert c\vert $ 是”正数除以零”，根本不是实数，”存在 $M_0$ 使 $\vert x_n-x\vert <\epsilon/0$”这句话毫无意义。

  严格按逻辑说：$\epsilon/\vert c\vert $ 这条路线只在 $c\ne0$ 时可用。要覆盖 $c=0$，必须单独讨论：

  $c=0$ 的情形：此时 $cx_n=0$ 对一切 $n$，故 $\{cx_n\}$ 是常序列 $\{0\}$，而常序列收敛到自身：对任意 $\epsilon>0$ 取 $M=1$，$n\ge1$ 时 $\vert 0-0\vert =0<\epsilon$。所以 $\lim cx_n=0=cx$。

  所以，至少需要分情形。而源文件选择的是一种不需要分情形的写法：把配额分母写成 $\vert c\vert +1$，它永远为正（$\vert c\vert +1\ge1$），一次覆盖 $c=0$ 与 $c\ne0$。

  （ii）为什么 $\vert c\vert +1$ 恰好能行？因为 $\dfrac{\vert c\vert }{\vert c\vert +1}<1$。

  我们要的是步骤 6 那个”损失因子” $<1$。用 $\epsilon/(\vert c\vert +1)$ 做配额，代价是最终界变成 $\dfrac{\vert c\vert }{\vert c\vert +1}\epsilon$，比 $\epsilon$ 略小但不为 $0$（当 $c\ne0$ 时）。当 $c=0$ 时这个因子恰好是 $0$，而 $\vert cx_n-cx\vert =0<\epsilon$ 依然成立——$c=0$ 的情形被自动包含。

  （iii）两种写法的对比

  写法	是否分情形	最终界	评价
  配额 $\epsilon/(\vert c\vert +1)$	不分，一次搞定	$\frac{\vert c\vert }{\vert c\vert +1}\epsilon<\epsilon$	源文件采用；简洁、无边界问题；代价是界略有浪费
  配额 $\epsilon/\vert c\vert $（$c\ne0$）+ 单独讨论 $c=0$	要分	恰好 $\epsilon$	界最紧；但多一个分支，容易漏写 $c=0$
  先单独讨论 $c=0$，再对 $c\ne0$ 用 $\epsilon/\vert c\vert $	要分	恰好 $\epsilon$	最”教科书”；最清楚

  更一般的教训：不等式证明里凡是出现”除以某个可能为零的量“，都要停下来问一句”它会不会是 $0$？”。本讲的两个典型：这里（$c=0$）和 Theorem 89(4)（$y=0$ 或某个 $y_n=0$）。技术上的标准处理是”加一个正的补偿项”（$\vert c\vert \to\vert c\vert +1$）或”先证明该量远离 $0$“（Theorem 89(4) 的 $\vert y_n\vert \ge b$）——这两种策略以后会反复出现。

  顺带一提：这也是为什么 Lecture 5 定义绝对值时用 $\vert c\vert \ge0$ 而不是 $\vert c\vert >0$——绝对值的零点是真实存在的，任何除以绝对值的操作都必须处理零点。

• 【证明技巧总结】：给分母加一个正的补偿项以避免除零；“损失因子 $<1$”收口法（$\frac{\vert c\vert }{\vert c\vert +1}<1$）；能用一次论证覆盖边界情形时优先一次覆盖。

定理 89 第 3 条（乘法）——本讲的技术高潮

• 证明策略：五步走。
  1. 有界化：由 Lecture 7 Theorem 72（收敛 $\Rightarrow$ 有界）取 $B\ge0$ 使 $\vert y_n\vert \le B$；
  2. 加一项减一项：把 $x_ny_n-xy$ 改写为 $(x_n-x)y_n+(y_n-y)x$；
  3. 三角不等式：拆成 $\le\vert x_n-x\vert \vert y_n\vert +\vert x\vert \vert y_n-y\vert $；
  4. 用界吸收：$\le B\vert x_n-x\vert +\vert x\vert \vert y_n-y\vert $，右边是两个”趋于 $0$ 的常数倍之和”，故趋于 $0$（依据：第 1、2 条本身！）；
  5. 夹逼 + Theorem 84：$0\le\vert x_ny_n-xy\vert \le$（趋于 $0$ 的量）$\Rightarrow\vert x_ny_n-xy\vert \to0\Rightarrow x_ny_n\to xy$。

  为什么必须”先证有界”？因为两个误差不能直接相乘：$\vert x_n-x\vert \to0$ 与 $\vert y_n-y\vert \to0$ 的乘积当然也 $\to0$，但问题在于 $x_ny_n-xy\ne(x_n-x)(y_n-y)$——差的分解里出现了 $\vert y_n\vert $ 和 $\vert x\vert $ 这样的”乘数“。$\vert x\vert $ 是常数（好办），$\vert y_n\vert $ 是变化的（需要一致性控制）。有界性正好提供了这种一致控制。

• 逐步推导：

步骤 1（有界性） 因 $\{y_n\}$ 收敛（题设 $y_n\to y$），由 Lecture 7 Theorem 72，$\{y_n\}$ 有界，即

（依据：Lecture 7 Theorem 72；$B$ 的取法见该定理：$B=\max\{\vert y_1\vert ,\dots,\vert y_{M-1}\vert ,\vert y\vert +1\}$。也可取 $B:=\sup\{\vert y_n\vert :n\in\mathbb N\}$，由有界性存在且有限。）

步骤 2（加一项减一项） 对每个 $n$，

（依据：纯代数——第一行插入了 $-xy_n+xy_n$（净增 $0$），第二行用分配律分组。见下面的分解示意图。）

步骤 3（取绝对值 + 三角不等式）

（依据：三角不等式（Lecture 6 Theorem 51）作用于两个加项，再用 $\vert uv\vert =\vert u\vert \vert v\vert $（Lecture 5 Theorem 50 第 3 条）作用于每个乘积。）

步骤 4（用界吸收） 由 (23) 与 $\vert x_n-x\vert \ge0$、$\vert y_n-y\vert \ge0$，

（依据：用 $\vert y_n\vert \le B$ 替换第一个乘积中的 $\vert y_n\vert $；不等号方向保持，因为乘数 $\vert x_n-x\vert \ge0$。）

步骤 5（右边趋于 0） 记

我们证明 $T_n\to0$。分三步：

• 因为 $\vert x_n-x\vert \to0$（由 Theorem 84，从 $x_n\to x$ 得到），由 第 2 条（数乘） 取 $c=B$ 得 $B\vert x_n-x\vert \to B\cdot0=0$；
• 因为 $\vert y_n-y\vert \to0$（同上），由 第 2 条 取 $c=\vert x\vert $ 得 $\vert x\vert \vert y_n-y\vert \to\vert x\vert \cdot0=0$；
• 由 第 1 条（加法），两者之和 $T_n\to0+0=0$。

（依据：本题第 1、2 条——注意这里”自举”了：我们用刚证完的前两条来证第三条。这不是循环论证，因为前两条的证明完全独立于第三条。）

一个细节：$B$ 与 $\vert x\vert $ 都是非负常数，所以第 2 条适用（第 2 条对任意实数 $c$ 成立）。

步骤 6（夹逼） 由 (25)(26) 与 $\vert x_ny_n-xy\vert \ge0$：

由 Theorem 82（夹逼定理）（取 $a_n\equiv0$、$b_n=T_n$），得

步骤 7（翻译回去） 由 (28) 与 Theorem 84，

• 【证明机制解说】：”加一项减一项”这个灵光一现

  这是本讲最值得反复咀嚼的一段。让我们从”如果让你自己重新发明”的角度走一遍。

  问题：要证 $x_ny_n\to xy$，手上有两个”小量” $x_n-x$ 与 $y_n-y$。可是 $x_ny_n-xy$ 看上去跟这两个小量没关系——它是”乘积的差”，不是”差的乘积”。

  自然的冲动：展开 $(x_n-x)(y_n-y)=x_ny_n-x_ny-xy_n+xy$。这里有 $x_ny_n$ 也有 $xy$，但多出来 $-x_ny-xy_n$。不干净。

  关键想法：我们想要的是”小量 $\times$ 好控制的东西“。既然 $x_n-x$ 是小量，那就想办法在 $x_ny_n-xy$ 里造出一个因子 $x_n-x$。怎么造？插入 $-xy_n+xy_n$：

这一插，两项都自动变成”小 $\times$ 某个东西“的形状：

      x_n y_n − x y
           │
           │  插入 ± x y_n       (净增 0，值不变)
           ▼
      (x_n − x) · y_n     +     (y_n − y) · x
      └───┬───┘   └─┬─┘         └───┬───┘   └┬┘
         小        有界             小        常数
         (→0)     (\|y_n\| ≤ B)      (→0)      (\|x\|)
           └──────────┬───────────────┘
                      ▼
              小 × 有界  →  0        （用夹逼写严格）

为什么偏偏插 $xy_n$ 而不是别的？ 因为 $x_ny_n$ 与 $xy_n$ 共享因子 $y_n$，相减后提取 $y_n$，剩下的正是 $x_n-x$；而 $xy_n$ 与 $xy$ 共享因子 $x$，相减后提取 $x$，剩下的正是 $y_n-y$。“插项”的目的就是让两项分别与目标中的两项’配对’，把公因子提出来，从而暴露出小量。

更形式化地说，我们做的其实是在 $x\mapsto xy_n$ 处把乘法对两个变量都做一次”线性化”：

每一步只动一个变量，误差就是”该变量的误差 $\times$ 另一个变量”。这个分解模式在分析里有一个名字：“加一项减一项”（add and subtract），也叫“插入中间项”。它与微积分里的 \(f(x)g(x)-f(a)g(a)=f(x)\bigl(g(x)-g(a)\bigr)+\bigl(f(x)-f(a)\bigr)g(a)\) 是同一个恒等式——事实上 Lecture 18 讲乘积求导法则（product rule）时用的就是这一招。

“小 $\times$ 有界 $\to0$”为什么能救场？ 因为 $\vert y_n\vert \le B$ 是一个与 $n$ 无关的界。如果 $\vert y_n\vert $ 可能越来越大（例如 $y_n=n$），那么 $\vert x_n-x\vert \vert y_n\vert $ 就压不住（例如 $x_n=1/n$，$y_n=n$，则 $(x_n-x)y_n$ 量级为 $1$）。有界性把”变化的乘数”变成”常数乘数”，从而把小量真正吸收掉。 这就是为什么 [JL] 与源文件都强调必须先引用”收敛 $\Rightarrow$ 有界”。

注意 $\vert x\vert $ 不需要有界化：$x$ 是一个固定的实数，$\vert x\vert $ 本身就是常数。所以我们只需处理 $y_n$ 那一边。这是一个很自然的”不对称”：我们选择了让 $x_n-x$ 配 $y_n$、让 $y_n-y$ 配常数 $x$。如果反过来分解（$x_ny_n-xy=(x_n-x)y+(y_n-y)x_n$）也可以，那时需要 $\vert x_n\vert \le B^{\prime}$——由于 $\{x_n\}$ 也收敛，同样有界。两种分解任选其一即可，源文件选择了”只对 $y$ 用有界性”的版本。

• 【证明技巧总结】
  1. 加一项减一项：要证明”乘积的差趋于 $0$”，插入中间项把它分解为”每个变量单独变化”的两部分之和。
  2. 小 $\times$ 有界 $\to0$：这是本课程最高频的放缩模式之一，务必形成条件反射。
  3. 先证有界再用界吸收：任何涉及”变化的乘数”的估计，第一步都是把乘数换成与 $n$ 无关的常数。
  4. 自举已有的部分结论：用第 1、2 条去证第 3 条，避免重新做 $\epsilon$ 记账。
  5. 最后一定要走一遍 Theorem 82 + Theorem 84 的接口：夹逼只给你 $\vert {\cdot}\vert \to0$，还要翻译回原序列的极限。

• $\epsilon$ 具体化的完整记账（示范要求的”乘积极限证明里 $\epsilon=0.02$ 时如何分配”）

  取 $x_n=1+\dfrac1n\to1$，$y_n=2+\dfrac1{n^2}\to2$，于是 $x=1$，$y=2$，$xy=2$，$\vert x\vert =1$。取 $B=3$（因为 $\vert y_n\vert =2+1/n^2\le3$ ✓）。设 $\epsilon=0.02$。要求

  \[T_n=B\vert x_n-x\vert +\vert x\vert \vert y_n-y\vert =3\cdot\frac1n+1\cdot\frac1{n^2}<\epsilon=0.02.\]

  按”配额法”把 $0.02$ 分成两份，每份 $0.01$：

  • 第一份：$3\cdot\dfrac1n<0.01\iff\dfrac1n<0.003333\iff n>300$，故 $M_0=301$；
  • 第二份：$1\cdot\dfrac1{n^2}<0.01\iff n^2>100\iff n>10$，故 $M_1=11$；
  • 取 $M=\max\{M_0,M_1\}=301$。

  验算：

  $n$	$x_ny_n$	$\lvert x_ny_n-2\rvert$	$T_n=3/n+1/n^2$	$<0.02$？
  300	2.00667781…	0.00667781	0.01001111	✓（真实误差已达标）
  301	2.00665559…	0.00665559	0.00997781	✓

  注意 $n=300$ 时 $T_{300}=0.010011>0.01$（第一份配额略超），但因为 $T_n$ 与 $T$ 的两项合计仍 $<0.02$，所以碰巧也达标。这只说明我们的配额不是最优的——配额法给出的是充分条件，不是必要条件。证明只需存在一个 $M$，所以 $M=301$ 完全够用。

定理 89 第 4 条（除法）

• 证明策略：分两步。
  1. 第一步（关键引理）：证明存在 $b>0$ 使 $\forall n,\ \vert y_n\vert \ge b$——即 $\{\vert y_n\vert \}$ 不趋于 $0$、被一致地”推离零点”；
  2. 第二步：用第一步的 $b$ 把 $\left\vert \frac1{y_n}-\frac1y\right\vert $ 压到 $\frac{1}{b\vert y\vert }\vert y_n-y\vert $，再用夹逼 + Theorem 84 得 $\frac1{y_n}\to\frac1y$；
  3. 第三步：由 第 3 条（乘法） 应用于 $\{x_n\}$ 与 $\{1/y_n\}$，得 $\frac{x_n}{y_n}=x_n\cdot\frac1{y_n}\to x\cdot\frac1y=\frac xy$。

  这个结构（”先证一个非零下界引理，再把差分式压到常数倍”）在所有”除法/商”问题里都会出现，值得单独立项记忆。

• 逐步推导（第一步：关键引理 $\vert y_n\vert \ge b$）：

引理（Parsing）：设 $y_n\to y$ 且 $y\ne0$，$\forall n\ y_n\ne0$。则 $\exists b>0$ 使 $\forall n\in\mathbb N,\ \vert y_n\vert \ge b$。

直观：”$\vert y_n\vert $ 不会趋于 $0$”。因为 $\vert y_n\vert $ 逼近 $\vert y\vert >0$，所以最终它离 $0$ 至少 $\vert y\vert /2$；而在有限的初始段 $n<M_0$ 里，$\vert y_n\vert $ 是有限多个正数（题设 $y_n\ne0$ 保证了它们都 $>0$），因而有一个正的最小值。两段拼起来就得到全局正下界。

步骤 1.1（用 $\epsilon=\vert y\vert /2$ 展开收敛性） 因 $y\ne0$，有 $\vert y\vert >0$，故 $\dfrac{\vert y\vert }2>0$。因 $y_n\to y$，存在 $M_0\in\mathbb N$ 使

（依据：收敛定义，$\epsilon$ 取 $\vert y\vert /2>0$。）

步骤 1.2（三角不等式反解下界） 对 $n\ge M_0$，由三角不等式（Lecture 6 Theorem 51，取 $u=y$ 写成 $y=(y-y_n)+y_n$）：

结合 (29)（并注意 $\vert y-y_n\vert =\vert y_n-y\vert $）：

（依据：把 (29) 代入 (30) 的 $\vert y-y_n\vert $ 项——注意不等号方向的传递：若 $A\le u+v$ 且 $u<u_0$，则 $A<u_0+v$。）

从 (31) 两边减去 $\dfrac{\vert y\vert }2$：

（依据：不等式的移项。）

所以

步骤 1.3（处理有限初始段） 现在考虑”前 $M_0-1$ 项“：$n=1,2,\dots,M_0-1$。这是一个有限集合（可能为空）。由题设 $\forall n\ y_n\ne0$，这些项的绝对值 $\vert y_1\vert ,\dots,\vert y_{M_0-1}\vert $ 都是正数。有限多个正数必有正的最小值，令

边界情形（源文件未明说，必须补上）：如果 $M_0=1$，那么列表 $\{\vert y_1\vert ,\dots,\vert y_{M_0-1}\vert \}=\{\vert y_1\vert ,\dots,\vert y_0\vert \}$ 是空的。

处理方式有两种，任选其一：

1. 约定空集的最小值不计入：当 $M_0=1$ 时直接令 $b:=\dfrac{\vert y\vert }2$，即 (34) 变成”在非空项中取最小值”。这在数学上是完全合法的：$M_0=1$ 时 (33) 已对一切 $n\ge1$ 成立，不需要初始段。
2. 不失一般性（WLOG）设 $M_0\ge2$：如果由收敛性得到的某个 $M_0$ 恰为 $1$，那么把它换成 $M_0^{\prime}=2$ 仍然可用——因为 “$n\ge2\Rightarrow$ (29)” 是 “$n\ge1\Rightarrow$ (29)” 的弱化，弱化命题当然成立。于是我们可以假设 $M_0\ge2$，列表至少含 $\vert y_1\vert $，非空。

两种处理都干净。推荐写法 2（WLOG 取 $M_0\ge2$），因为它不需要对 $\min$ 的语义做任何约定，初学者最不容易出错。

步骤 1.4（合并两段） 我们验证 $\forall n\in\mathbb N,\ \vert y_n\vert \ge b$：

   ┌───────────────────────┬─────────────────────────────────────────┐
   │  n < M0  (初始段)      │  n ≥ M0  (尾巴)                          │
   ├───────────────────────┼─────────────────────────────────────────┤
   │  由 (34)，b ≤ \|y_n\|    │  由 (33)，\|y_n\| > \|y\|/2                  │
   │  (因为 b 是含 \|y_n\|     │  而由 (34)，b ≤ \|y\|/2                    │
   │   这一项的最小值)       │  故 b ≤ \|y\|/2 < \|y_n\|，即 \|y_n\| > b      │
   ├───────────────────────┼─────────────────────────────────────────┤
   │  结论: \|y_n\| ≥ b       │  结论: \|y_n\| > b ≥ b                     │
   └───────────────────────┴─────────────────────────────────────────┘

因此

（依据：两个情形的合并；$b>0$ 因为它是若干正数的最小值。）引理证毕。

• 逐步推导（第二步：$1/y_n\to1/y$）：

步骤 2.1（通分） 对每个 $n$，

（依据：通分：$\frac{1}{y_n}-\frac1y=\frac{y-y_n}{y_ny}$。这里需要 $y_n\ne0$（题设）与 $y\ne0$（题设），保证分母有意义。）

步骤 2.2（取绝对值）

（依据：$\vert u/v\vert =\vert u\vert /\vert v\vert $；$\vert uv\vert =\vert u\vert \vert v\vert $；$\vert y-y_n\vert =\vert y_n-y\vert $（Lecture 5 Theorem 50 第 2 条）。）

步骤 2.3（用引理放缩） 由 (35)，$\vert y_n\vert \ge b$，故 $\dfrac{1}{\vert y_n\vert }\le\dfrac1b$（依据：$0<b\le\vert y_n\vert $，取倒数翻转方向）。于是

步骤 2.4（右边趋于 0） 因 $y_n\to y$，由 Theorem 84 得 $\vert y_n-y\vert \to0$；由 第 2 条（数乘） 取 $c=\dfrac{1}{b\vert y\vert }$（这是一个正的常数，因为 $b>0$、$\vert y\vert >0$）得

（依据：第 2 条；注意 $\frac{1}{b\vert y\vert }$ 是有限的实数。）

步骤 2.5（夹逼 + 翻译） 由 (38)(39) 与 Theorem 82，

再由 Theorem 84，

• 逐步推导（第三步：商）：

步骤 3.1 把 $\{x_n\}$ 与 $\{1/y_n\}$ 看成两个收敛序列，其极限分别为 $x$ 与 $1/y$（后者由 (40)）。（依据：题设 + 步骤 2.5。）

步骤 3.2 由 第 3 条（乘法）：

步骤 3.3 因 $x_n\cdot\dfrac1{y_n}=\dfrac{x_n}{y_n}$（依据：代数；$y_n\ne0$ 保证有定义），

• 【证明机制解说】

  （i）为什么必须先证明”$\vert y_n\vert $ 远离 $0$”？

  回头看看 (38)：误差被压成 $\frac{1}{\vert y_n\vert }\cdot\frac{\vert y_n-y\vert }{\vert y\vert }$。如果 $\vert y_n\vert $ 可以任意小，那么 $\frac{1}{\vert y_n\vert }$ 就会任意大，”$\frac{\vert y_n-y\vert }{\vert y_n\vert }$”可能是 $0/0$ 型的灾难——比如 $y_n=1/n\to0$（但这里 $y=0$ 被题设排除），或者 $y_n$ 在很小的值附近振荡。必须有一个与 $n$ 无关的正下界 $b$，才能把 $\frac{1}{\vert y_n\vert }$ 换成常数 $\frac1b$，从而把”商的误差”压成”被一个常数吸收的、$y_n-y$ 的误差”。

  这里请对照 Theorem 89(3) 的证明：那里用”有界（上方）“吸收 $\vert y_n\vert $，这里用”有界（下方）“吸收 $1/\vert y_n\vert $。一上一下，同一个思想：把变化的量换成常数。 唯一的新困难是下方界的存在性远不如上方界显然——上方界由”收敛 $\Rightarrow$ 有界”免费得到，下方界需要我们亲手证明（步骤 1.1–1.4）。

  （ii）为什么取 $\epsilon=\vert y\vert /2$（而不是 $\vert y\vert $ 或 $\vert y\vert /3$）？

  我们需要 $\vert y_n\vert $ 有一个正下界。由 $\vert y\vert \le\vert y-y_n\vert +\vert y_n\vert $ 反解得 $\vert y_n\vert \ge\vert y\vert -\vert y-y_n\vert $。若把 $\vert y-y_n\vert $ 控制到 $<\vert y\vert $，得到 $\vert y_n\vert >0$——不够用（只是”正”，没有”一致的正”，因为下界关于 $n$ 可能趋 $0$；而且后面的放缩需要常数）。控制到 $<\vert y\vert /2$ 才给我们 $\vert y_n\vert >\vert y\vert /2$，这是一个明确的正常数下界。系数取 $\frac12$ 是最自然的选择（”留一半”，见 Lecture 6 Theorem 66 取 $\vert x-y\vert /2$、Theorem 87 取 $d/2$）；取 $\frac13$ 也完全可以，会得到 $\vert y_n\vert >\frac23\vert y\vert $，只是数字变丑。

  （iii）有限初始段为什么必然可以处理？

  这是分析中反复出现的”有限个坏点可以忽略“原则。$M_0$ 是从收敛性得到的有限数，所以 $n<M_0$ 只有有限多项。对于有限多项：

  • 想找下界：因为它们都 $\ne0$（题设保证），最小绝对值就是正下界——这就是为什么题设必须包含”$\forall n,\ y_n\ne0$”；
  • 想找上界：最大绝对值就是上界（Lecture 7 Theorem 72 就是这么做的）。

  如果丢掉”$\forall n\ y_n\ne0$”这条题设会怎样？ 如果某个 $y_{k}=0$，那么 $\min\{\vert y_1\vert ,\dots,\vert y_{M_0-1}\vert ,\vert y\vert /2\}=0$，”$b>0$”失败，而且更根本地：$1/y_k$ 无定义，序列 $\{x_n/y_n\}$ 从第 $k$ 项起就不可写了。所以 $y_n\ne0$ 是定义本身的必要条件（不是技术性的）。同理 $y\ne0$ 也是必要的：若 $y=0$，则 $\frac xy$ 无意义。

  （iv）”两个条件”的分工

  条件	作用	丢掉会怎样
  $y\ne0$	使 $\frac1y$ 有意义；且保证 $\vert y\vert /2>0$ 可取	$\frac xy$ 无定义；步骤 1.1 无法取 $\epsilon=\vert y\vert /2$
  $\forall n,\ y_n\ne0$	使 $\frac1{y_n}$ 与 $\frac{x_n}{y_n}$ 有意义；保证有限初始段的最小值 $>0$	序列本身无法定义；$b>0$ 失败

• 【证明技巧总结】
  1. 反解下界的三角不等式：$\vert y\vert \le\vert y-y_n\vert +\vert y_n\vert $ 是”从一个上界估计推出下界估计”的标准工具。一般形式：$\vert u\vert \le\vert u-v\vert +\vert v\vert $ 给出 $\vert v\vert \ge\vert u\vert -\vert u-v\vert $。
  2. 取 $\epsilon=\vert y\vert /2$”留一半”：凡是需要”远离某个特殊值”的场合，都用这个系数。
  3. 有限初始段 + 无限尾巴分段处理：尾巴用收敛性，初始段用”有限集合的最值”。$b=\min\{\vert y_1\vert ,\dots,\vert y_{M_0-1}\vert ,\vert y\vert /2\}$ 是这一招的模板。
  4. 边界情形（$M_0=1$）要显式处理：可以 WLOG 放大 $M_0$，也可以约定空集不参与取最小。
  5. 先证倒数、再用乘法：商的情形总是化归为”倒数 + 乘积极限”，绝不硬算 $\frac{x_n}{y_n}-\frac xy$ 的 $\epsilon$ 记账。

• 【正文思考题 B（示范中的问题）：乘法证明为什么一定先证有界？能直接用 Theorem 89(1)(2) 吗？】

  答：不能直接。Theorem 89(1)(2) 处理的是”线性“运算：和为 $x_n-x$ 与 $y_n-y$ 之和，数乘为常数倍的缩放。而乘积 $x_ny_n$ 是双线性的：$x_ny_n-xy$ 展开后必然出现”$x_n$ 的误差乘以 $y_n$ 本身”这样的项（步骤 2 的 $(x_n-x)y_n$），其中 $y_n$ 是随 $n$ 变化的量。若不做任何处理，我们只能说”$\vert x_n-x\vert \to0$”，但乘以一个可能无界的 $y_n$ 后，乘积未必 $\to0$（反例：$x_n-x=1/n$，$y_n=n$，乘积恒为 $1$）。

  有界性的作用正是把”变化的乘数”钉死成常数 $B$，此时 $\vert x_n-x\vert \cdot B$ 与 $\vert y_n-y\vert \cdot\vert x\vert $ 都是”常数 $\times$ 趋于 $0$”的形状，可以分别用第 2 条处理，再用第 1 条相加，最后用 Theorem 82 夹逼。所以证明的顺序是强制的：

   收敛 ⇒ 有界   →   加一项减一项   →   三角不等式   →   界吸收   →   89(1)(2)   →   夹逼 + 84
  

  补充追问：那 $x_ny_n$ 会不会”两个无界因子相乘而爆炸”？不会——因为 $\{x_n\}$、$\{y_n\}$ 收敛，收敛必先有界（Lecture 7 Theorem 72）。所以题目条件里已经隐含了”两个因子都有界”，我们只是把其中一个显式地写出来用。

• 【正文思考题 C：$c=0$ 时数乘的证明为什么不能写 $\epsilon/\vert c\vert $？】

  答：因为 $\epsilon/\vert c\vert $ 在 $c=0$ 时等于 $\epsilon/0$，不是实数。收敛定义要求”存在 $M_0$ 使 $\forall n\ge M_0,\ \vert x_n-x\vert <\epsilon/\vert c\vert $”，但右边的量根本不存在，这句话没有真值，整个证明坍塌。源文件的作者用 $\vert c\vert +1$ 作分母，得到的是一个恒正的数（$\ge1$），从而一次覆盖全部 $c\in\mathbb R$。详见 Theorem 89 第 2 条的【证明机制解说】。

Remark 90（幂：$\lim x_n^k=x^k$）

• 陈述（源文件 Remark 90）：由归纳法可证

更精确地说：若 $\{x_n\}$ 收敛到 $x$，则对每个 $k\in\mathbb N$，序列 $\{x_n^k\}$ 收敛且 $\lim_{n\to\infty}x_n^k=\bigl(\lim_{n\to\infty}x_n\bigr)^k$。

• 证明策略：对 $k$ 做归纳（回扣 Lecture 1 的 Theorem 6（Induction））。基础情形 $k=1$ 是废话；归纳步骤用 Theorem 89 第 3 条（乘法）：$x_n^{k+1}=x_n^k\cdot x_n$，两个因子的极限分别是 $x^k$ 与 $x$，乘积的极限是 $x^{k+1}$。

  注意这里的归纳是对幂次 $k$ 做的，不是对 $n$ 做的。这是”对参数归纳”的类型，与 Lecture 1 的”对指标归纳”是同一个原理，只是变量名字换了。

• 逐步推导：

基础情形 $k=1$：$x_n^1=x_n\to x=x^1$，平凡成立。（依据：就是题设本身。）

归纳假设：设 $k$ 时结论成立，即 $x_n^k\to x^k$。

归纳步骤：考虑 $k+1$。我们有

（依据：幂的定义 $a^{k+1}=a^k\cdot a$。）

现在 $\{x_n^k\}$ 收敛到 $x^k$（归纳假设），$\{x_n\}$ 收敛到 $x$（题设）。对这两个序列应用 Theorem 89 第 3 条：

（依据：Theorem 89(3)；以及幂的指数律。）

结论：由数学归纳法（Lecture 1 Theorem 6，其依据是 Axiom 5 良序原理），对一切 $k\in\mathbb N$ 结论成立。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：Remark 90 的意义在于”把有限次乘法一次性打包“。没有它，你每次遇到 $x_n^3$ 都要手动应用两次乘积极限；有了它，$\lim$ 可以自由穿过任意固定次数的幂。

  归纳法的适用性来自一个简单观察：$x^{k+1}$ 是 $x^k$ 与 $x$ 的乘积，而乘积的极限我们刚在 Theorem 89(3) 里证过。所以”幂”这个概念在极限下是逐次搭积木搭出来的。这是本节课后习题 Exercise 2.2.3（= Assignment 4 第 4 题）的内容，提示正是 “Use induction”。

  注意”固定次数”这个限定：$k$ 必须是与 $n$ 无关的常数。如果指数也随 $n$ 变化（如 $(1+1/n)^n$），这个定理完全不适用——那需要完全不同的技术（Lecture 5 的 $e$ 的定义、或 Lecture 11 的二项式展开）。见【常见误区】第 4 条。

• 【证明技巧总结】：对参数做归纳 + 把 $k+1$ 情形化归为 $k$ 情形与一次已知运算。

定理 91（根号：$\sqrt{x_n}\to\sqrt x$）

• 定理陈述：若 $\{x_n\}$ 收敛、$\forall n\in\mathbb N,\ x_n\ge0$，则 $\{\sqrt{x_n}\}$ 收敛且

可定义性说明（重要的前置检查）：写”$\sqrt{x_n}$”要求 $x_n\ge0$（题设给出）；写”$\sqrt{\lim x_n}$”要求 $\lim x_n\ge0$。后者不是题设，而是 Theorem 87 第 2 条的推论：取 $a=0$，$x_n\ge0$ 给出 $0\le\lim x_n$，即 $\lim x_n\ge0$。所以必须先引用 Theorem 87(2)，$\sqrt{\lim x_n}$ 才有意义。 [JL] 在 Proposition 2.2.5 之后的那段话专门强调了这一点（”to even make this statement, we need to apply Corollary 2.2.4”）。这一步骤常被学生省略，是逻辑上的空洞。

• 证明策略：分两种情形（$x=0$ 与 $x>0$），因为两种情形所需的工具完全不同（见 Remark 92 的解答）。

  • Case 1（$x=0$）：共轭有理化技巧失效（分母 $\sqrt x=0$），改用”$x_n$ 小 $\Rightarrow\sqrt{x_n}$ 小”的直接估计，把 $\epsilon$ 取成 $\epsilon^2$；
  • Case 2（$x>0$）：用共轭有理化（rationalizing the conjugate）：$\sqrt{x_n}-\sqrt x=\dfrac{x_n-x}{\sqrt{x_n}+\sqrt x}$，然后把分母放到 $\sqrt x$，用夹逼。

• 逐步推导：

  记 $x:=\lim_{n\to\infty}x_n$，由 Theorem 87(2)（取 $a=0$）知 $x\ge0$。

Case 1：$x=0$。

步骤 1.1 设 $\epsilon>0$ 给定。则 $\epsilon^2>0$。（依据：$\epsilon>0$。）

步骤 1.2 因 $x_n\to0$，存在 $M_0\in\mathbb N$ 使

（依据：收敛定义，$\epsilon$ 取为 $\epsilon^2$；这里用到 $x_n\ge0$ 所以 $\vert x_n-0\vert =x_n$。）

步骤 1.3 令 $M:=M_0$。则 $n\ge M$ 时 $0\le x_n<\epsilon^2$，两边开平方（$\sqrt\cdot$ 在 $[0,\infty)$ 上单调递增，依据：Lecture 1/中学的平方根单调性；也可由”$0\le a<b\Rightarrow a^2<b^2$ 的逆否”得到）：

（依据：平方根的单调性与 $\sqrt{\epsilon^2}=\epsilon$（因 $\epsilon>0$）。）

步骤 1.4 于是

（依据：$\sqrt0=0$；$\sqrt{x_n}\ge0$ 故绝对值可直接去掉。）

步骤 1.5 因 $\epsilon>0$ 任取，$\sqrt{x_n}\to0=\sqrt x$。$\blacksquare_{\text{Case 1}}$

Case 2：$x>0$。

步骤 2.1（有理化共轭） 对每个 $n$，把 $\sqrt{x_n}-\sqrt x$ 上下同乘 $\bigl(\sqrt{x_n}+\sqrt x\bigr)$：

（依据：代数恒等式 $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$，取 $A=\sqrt{x_n}$、$B=\sqrt x$，得 $(\sqrt{x_n})^2-(\sqrt x)^2=x_n-x$。源文件把这一步写成

即”分子分母同乘一个量、再把它拆出来“，本质完全一样。）

这一步合法的前提：分母 $\sqrt{x_n}+\sqrt x\ne0$。因为 $x>0$ 故 $\sqrt x>0$，而 $\sqrt{x_n}\ge0$，所以 $\sqrt{x_n}+\sqrt x\ge\sqrt x>0$。这正是 Case 2 需要 $x>0$ 的原因。

步骤 2.2（放缩：分母放小） 因 $\sqrt{x_n}\ge0$，

取倒数翻转不等号：

（依据：$0<\sqrt x\le\sqrt{x_n}+\sqrt x\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x_n}+\sqrt x}\le\frac{1}{\sqrt x}$。注意方向：分母小 ⟹ 分式大；我们要的是上界，所以必须把分母往小放，这与 Example 85 的原则完全一致。）

步骤 2.3（合起来） 对每个 $n$，

（依据：步骤 2.1、2.2；左边非负由绝对值非负。）

步骤 2.4（右边趋于 0） 因 $x_n\to x$，由 Theorem 84 得 $\vert x_n-x\vert \to0$；由 Theorem 89 第 2 条（数乘） 取 $c=\dfrac{1}{\sqrt x}$（正的有限常数）得

步骤 2.5（夹逼 + 翻译） 由 (48)(49) 与 Theorem 82（夹逼定理），

再由 Theorem 84，

两种情形合起来即得结论。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】

  （i）Remark 92：为什么必须分情形？

  源文件的 Remark 92 原话是：”Why must we do casework in the above proof?” 答案是结构性的：

  Case 2 的整条论证链依赖两件事，而它们都要求 $x>0$：

  1. 分母非零：$\sqrt{x_n}+\sqrt x\ge\sqrt x$，只有当 $\sqrt x>0$ 时才是一个正量，才能安全地做除法（步骤 2.1）；
  2. 分母有正下界：$\dfrac{1}{\sqrt{x_n}+\sqrt x}\le\dfrac{1}{\sqrt x}$ 只有当 $\sqrt x>0$ 时才给出一个有限的常数上界（步骤 2.2）。若 $x=0$，这个”上界”是 $\frac10$，不是实数。

  具体看看 $x=0$ 时会发生什么：此时 (45) 变成 $\sqrt{x_n}-0=\dfrac{x_n-0}{\sqrt{x_n}+0}=\dfrac{x_n}{\sqrt{x_n}}=\sqrt{x_n}$，等式依然成立（恒等式而已），但放缩彻底失效：$\dfrac{1}{\sqrt{x_n}+0}=\dfrac{1}{\sqrt{x_n}}$ 没有常数上界（$x_n\to0$ 时它 $\to\infty$）。于是”$\vert \sqrt{x_n}-0\vert \le C\vert x_n-0\vert $”这样的线性估计根本不存在。

  这不仅仅是技术困难，而是本质的：$\sqrt{\cdot}$ 在 $0$ 处不是 Lipschitz 的，导数 $\frac{d}{dx}\sqrt x=\frac{1}{2\sqrt x}$ 在 $x=0$ 处爆破。你能得到的最好的估计是 $\vert \sqrt{x_n}-0\vert \le\sqrt{\vert x_n-0\vert }$——指数 $\frac12$ 而非 $1$，这正是”取 $\epsilon^2$”的来源：要把 $\sqrt{x_n}$ 压到 $\epsilon$ 以下，需要把 $x_n$ 压到 $\epsilon^2$ 以下。

  所以 Case 1 的 $x_n<\epsilon^2$ 不是随手的技巧，而是”平方根在 0 附近有 $1/2$ 次 Hölder 连续性”的精确反映。

  	Case 1: $x=0$	Case 2: $x>0$
  可用估计	$\lvert\sqrt{x_n}-\sqrt x\rvert=\sqrt{x_n}$，直接开方	$\lvert\sqrt{x_n}-\sqrt x\rvert=\frac{\lvert x_n-x\rvert}{\sqrt{x_n}+\sqrt x}\le\frac{1}{\sqrt x}\lvert x_n-x\rvert$
  取什么 $\epsilon$	$\epsilon^2$	$\epsilon$
  得到什么类型的界	$\sqrt{\text{误差}}$（Hölder $\frac12$）	$C\cdot\text{误差}$（Lipschitz）
  关键障碍	分母 $\sqrt x=0$，不能放缩	无

  一句话总结：当极限值所处的位置让公式退化（这里是 $\sqrt x=0$）时，必须把退化的那一支单独拿出来处理。 这个模式在后续课程里会反复出现，例如 Lecture 17（一致连续）处理 $f(x)=x^2$ 在无界区间上的失效、Lecture 14（函数极限）处理 $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ 在 $x=c$ 处的退化。

  （ii）为什么 Case 1 里”取 $\epsilon^2$”是对的？

  逻辑要看清：我们要证 $\sqrt{x_n}<\epsilon$。等价变形（两边平方，利用 $x_n\ge0$、$\epsilon>0$）：

这不是”技巧”，而是”等价变形”：我们要的条件恰好等价于一个关于 $x_n$ 的条件，而 $x_n\to0$ 的收敛定义可以保证任何正数级别的条件——包括 $\epsilon^2$ 这个正数。所以取 $\epsilon:=\epsilon^2$ 在定义中（严格说是”用 $\epsilon^2$ 代入收敛定义的 $\epsilon$ 槽位”）是完全合法的，因为 $\epsilon^2>0$。

易错点：有人会想”取 $\epsilon^2$ 会不会太小了、$M_0$ 会不会取不到？”不会——收敛定义对任意正数都保证存在门槛，$\epsilon^2$ 再小也是正数，门槛 $M_0$ 只是相应地变大。门槛大不是问题，存在就是一切。

（iii）$\epsilon$ 具体化：取 $x_n=1/n\to x=0$（Case 1），要求 $\sqrt{1/n}<0.05$。等价于 $1/n<0.0025$，即 $n>400$，故 $M=401$。验算：$n=400$ 时 $\sqrt{1/400}=0.05$ 不严格小于 $0.05$；$n=401$ 时 $\sqrt{1/401}=0.049938<0.05$ ✓。

再取 $x_n=1+\frac1n\to x=1$（Case 2），要求 $\vert \sqrt{1+1/n}-1\vert <0.01$。用 (48) 的界 $\frac{1}{\sqrt1}\cdot\frac1n=\frac1n$，得 $n>100$，故 $M=101$。验算：$n=100$ 时真实误差 $0.00498756\le0.01$ ✓；$n=101$ 时 $0.00493830\le0.00990099$ ✓。（真实误差远小于界，说明放缩保守但正确。）

• 【证明技巧总结】
  1. 共轭有理化：处理 $\sqrt a-\sqrt b$ 型差，一律同乘 $\sqrt a+\sqrt b$，把”根的差”变成”被开方数的差除以根的和”。这是 $\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}=\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}$ 的另一种读法。
  2. 分母放小以取得上界（方向口诀与 Example 85 相同）。
  3. 退化情形单独分支：当某个公式在某个参数值处失效（这里是 $x=0$），先把它择出来，用等价变形（$\sqrt{x_n}<\epsilon\iff x_n<\epsilon^2$）处理。
  4. 写定理前先检查可定义性：$\sqrt{\lim x_n}$ 要有意义，必须先由 Theorem 87(2) 确认 $\lim x_n\ge0$。

• 【补充练习（示范要求）：证明 $\sqrt{n+1}-\sqrt n\to0$】

  策略：共轭有理化把差变成 $\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$，再用夹逼（分母放小取得上界）。

  步骤 1（有理化） 对每个 $n\ge1$，

（依据：平方差恒等式 $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$；分母 $\sqrt{n+1}+\sqrt n\ge\sqrt1+0>0$ 非零。原始形式的差是”$\infty-\infty$”的不定型，有理化后变成”$1/\infty$”的清晰形式——这正是共轭技巧的价值。）

步骤 2（分母放小） 因 $\sqrt{n+1}\ge\sqrt n$，

取倒数翻转：

（依据：分母小 ⟹ 分式大。这里用 $\sqrt{n+1}\ge\sqrt n$ 得到 $2\sqrt n$；若只用 $\sqrt{n+1}>0$ 得到更粗的 $\frac{1}{\sqrt n}$，也够用。）

步骤 3（$\frac{1}{2\sqrt n}\to0$） 对任意 $\epsilon>0$，取 $M\in\mathbb N$ 使 $M>\dfrac{1}{4\epsilon^2}$（依据：Archimedes 性质，Lecture 5 Theorem 43(i)：对任意正实数 $\frac{1}{4\epsilon^2}$，存在自然数超过它）。则 $n\ge M$ 时

（依据：$\sqrt\cdot$ 单调递增；代数化简 $\sqrt{\frac1{4\epsilon^2}}=\frac1{2\epsilon}$。）故 $\dfrac1{2\sqrt n}\to0$。

步骤 4（夹逼） 由 (50) 与步骤 3：

由 Theorem 82（夹逼定理） 得 $\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt n\bigr)=0$。（这里不需要 Theorem 84，因为左边的量本身就非负，夹逼直接给出它的极限。）

数值验算：

取 $\epsilon=0.01$ 时，由界得需 $\frac{1}{2\sqrt n}<0.01\iff\sqrt n>50\iff n>2500$，故 $M=2501$；数值上 $n=2500$ 时真实值 $0.009999<0.01$ 已达标，但界 $0.01$ 不达标——与 Example 85 的情形一样，放缩保守是正常的。

这个练习与本讲的关系：它展示了 Theorem 91 的”共轭技巧”如何独立使用，也再次演示了”根号差 ⟶ 分式 ⟶ 夹逼”这条标准流水线。顺带说明：本练习可以看作 Theorem 91 Case 2 的一个”内生”应用（取 $x_n=\sqrt{n+1}$ 不合适，因为那是发散的；正确说法是技巧相同，而非定理的直接应用）。

定理 93（绝对值：$x_n\to x\Rightarrow\vert x_n\vert \to\vert x\vert $）

• 定理陈述：若 $\{x_n\}$ 收敛且 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$，则 $\{\vert x_n\vert \}$ 收敛且

• 证明策略（源文件的路线）：注意对一切实数 $u$ 有 $\sqrt{u^2}=\vert u\vert $（Lecture 5 Theorem 50 第 4 条：$\vert u^2\vert =u^2=\vert u\vert ^2$，故 $\sqrt{u^2}=\vert u\vert $，因为 $\vert u\vert \ge0$ 且 $\vert u\vert ^2=u^2$）。于是

其中第二个等号用 Theorem 91（根号），而”$x_n^2\to x^2$”由 Remark 90（幂，取 $k=2$） 给出。最后一步 $\sqrt{x^2}=\vert x\vert $ 再次用的是 Lecture 5 Theorem 50 第 4 条。

• 逐步推导：

步骤 1（把绝对值写成根号） 对每个 $u\in\mathbb R$，$\sqrt{u^2}=\vert u\vert $。特别地

（依据：Lecture 5 Theorem 50 第 4 条 $x^2=\vert x\vert ^2$，且 $\vert x\vert \ge0$，故 $\sqrt{x^2}=\vert x\vert $；注意 $\sqrt{u^2}$ 是 $\vert u\vert $ 而不是 $u$——这是学生最常搞错的一处符号，因为 $u$ 可能是负数。）

步骤 2（幂的极限） 由 Remark 90 取 $k=2$：

（依据：Remark 90，$k=2$。）

步骤 3（对 $x_n^2$ 应用根号定理） 令 $u_n:=x_n^2$。则 $u_n\ge0$（依据：实数的平方非负）且 $u_n\to x^2$（步骤 2）。由 Theorem 91，

（依据：Theorem 91；这里必须验证题设 $u_n\ge0$，否则定理 91 不适用。）

步骤 4（翻译回绝对值） 由步骤 1，$\sqrt{u_n}=\sqrt{x_n^2}=\vert x_n\vert $，故 (52) 就是

• 补充：另一条更直接的证明（用反三角不等式）

  Lebl 的 [JL] 用的是”反三角不等式 (reverse triangle inequality)”：

若 (53) 成立，则由 $\vert x_n-x\vert \to0$（Theorem 84）与 Theorem 82（夹逼）（左边非负）得 $\bigl\vert \vert x_n\vert -\vert x\vert \bigr\vert \to0$，再由 Theorem 84 得 $\vert x_n\vert \to\vert x\vert $。这条路线只需两步，比源文件的”平方 + 开方”更短。

(53) 的证明：由三角不等式 $\vert a+b\vert \le\vert a\vert +\vert b\vert $，取 $a=\vert x_n\vert $、$b=\vert x\vert -\vert x_n\vert $，

对称地交换 $x$ 与 $x_n$ 得 $\vert x_n\vert -\vert x\vert \le\bigl\vert \vert x\vert -\vert x_n\vert \bigr\vert $。两个不等式合起来就是 $\pm(\vert x_n\vert -\vert x\vert )\le\bigl\vert \vert x_n\vert -\vert x\vert \bigr\vert $，即 (53)。（依据：$\vert u\vert \le c\iff -c\le u\le c$。）

两种路线的对比：

这是一个极好的”同一命题多种证明”的实例：源文件的路线体现了”用已有定理搭积木“的风格（Theorem 91 刚证完，立刻拿来用）；[JL] 的路线体现了”直接估计“的风格。两条都对，都值得掌握。

• 【关键警示：反之不真！】

  定理 93 的逆命题是假的：由 $\vert x_n\vert \to\vert x\vert $ 不能推出 $x_n\to x$。

  反例：取 $x_n=(-1)^n$。则 $\vert x_n\vert =1$ 对一切 $n$，所以 $\{\vert x_n\vert \}$ 是常序列（收敛到 $1$）；但 $\{x_n\}=1,-1,1,-1,\dots$ 发散。

  $n$	$x_n=(-1)^n$	$\lvert x_n\rvert$
  1	$-1$	1
  2	$+1$	1
  3	$-1$	1
  4	$+1$	1
  $\to\infty$	发散（Lecture 7 Example 71）	$\to1$

  （依据：Lecture 7 Example 71 用 $\epsilon_0=1/2$ 证明了 $\{(-1)^n\}$ 发散；也可用 Lecture 7 Theorem 79：若 $\{(-1)^n\}$ 收敛，则其子序列 $x_{2k}\equiv1$ 与 $x_{2k-1}\equiv-1$ 都应收敛到同一极限，但 $1\ne-1$，矛盾。）

  为什么逆命题不成立？ 因为绝对值抹掉了符号信息。$\vert x_n\vert \to\vert x\vert $ 只告诉我们”$x_n$ 离原点的距离趋于 $\vert x\vert $”，完全没说 $x_n$ 落在原点哪一侧。如果 $\{x_n\}$ 在 $\pm\vert x\vert $ 之间来回跳，绝对值序列看不出任何异常。

  正确形式的”部分逆命题”：如果额外知道 $\{x_n\}$ 收敛（而不只是 $\{\vert x_n\vert \}$ 收敛），那当然 $x_n\to x$ 由 $\vert x_n\vert \to\vert x\vert $ 与”符号稳定”共同决定；但仅凭 $\vert x_n\vert \to\vert x\vert $ 不够。另一个正确的补充是：若 $\vert x_n\vert \to0$，则 $x_n\to0$（因为 $\vert x_n-0\vert =\vert x_n\vert \to0$，这就是 Theorem 84）——极限为 $0$ 时逆命题成立，极限非 $0$ 时失效。请记住这个例外：$\vert x_n\vert \to0\iff x_n\to0$。

• 【证明技巧总结】：用恒等式把新运算化归为已知运算（$\vert u\vert =\sqrt{u^2}$ 把绝对值化归为平方与开方）；每一步都要验证定理的前提（$u_n\ge0$）；定理的逆命题要单独检验（这里给出反例否证）。

定理 94（$c^n$ 的行为）

• 定理陈述：若 $c\in(0,1)$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}c^n=0$。若 $c>1$，则 $\{c^n\}$ 无界 (unbounded)。

• 证明策略：
  • 第一部分（$0<c<1$）：先用归纳法证明 $\{c^n\}$ 单调递减且有下界；由 Lecture 7 单调有界定理（Theorem 76） 得它收敛，设极限为 $L$；再用 $\epsilon$ 论证证明 $L=0$。
  • 第二部分（$c>1$）：用 Bernoulli 不等式（Lecture 1 Theorem 9）把 $c^n$ 压到”线性增长”以下，再用 Archimedes 性质（Lecture 5 Theorem 43(i)）找到超过任意 $B$ 的 $n$。

  为什么这两部分都要做？因为它们覆盖了 $c^n$ 的两种定性行为：底数在 $(0,1)$ 时衰减到 0；底数 $>1$ 时增长无界。这正是后面级数判别法（几何级数 $\sum c^n$）所需要的基础事实。

• 逐步推导（第一部分：$0<c<1\Rightarrow c^n\to0$）：

步骤 1.1（单调性断言） 断言：$\forall n\in\mathbb N,\ 0<c^{n+1}<c^n<1$。

用归纳法证明。

• 基础情形 $n=1$：先看 $0<c^2<c<1$。因为 $c>0$，故 $c^2>0$；因为 $c<1$ 且 $c>0$，两边乘 $c>0$ 得 $c\cdot c<c\cdot1$，即 $c^2<c$ ✓；$c<1$ 是题设 ✓。（依据：题设 $0<c<1$ 与”乘以正数不改变不等号方向”。源文件正是这么写的：”notice that $0<c^2<c<1$ since $c>0$ and $c<1$”。）
• 归纳步骤：设 $0<c^{m+1}<c^m$（对某个 $m$）。两边乘 $c>0$（正数！）：

（依据：$c>0$ 保证不等号方向不变；幂的指数律 $c^{m+1}\cdot c=c^{m+2}=c^{(m+1)+1}$。）

• 由数学归纳法（Lecture 1 Theorem 6），断言对一切 $n\in\mathbb N$ 成立。$\square$

注意：这里 $c>0$ 是关键。如果 $c<0$，乘以 $c$ 会翻转不等号，单调性断言完全失效——这就是为什么定理只处理 $c>0$ 的情形。（$c\in(-1,0)$ 的情形见本节末尾的推论。）

步骤 1.2（单调递减且有下界） 由步骤 1.1，$\forall n,\ c^{n+1}<c^n$，故 $\{c^n\}$ 是单调递减 (monotone decreasing) 序列（依据：Lecture 7 Definition 73）；同时 $\forall n,\ c^n>0$，故 $\{c^n\}$ 有下界（下界可取 $0$）（依据：有界性定义，Lecture 6 Definition 61 的类比）。

步骤 1.3（收敛性） 由 Lecture 7 Theorem 76（单调递减有界 $\Rightarrow$ 收敛），$\{c^n\}$ 收敛。记

并且：由 Theorem 76，极限等于下确界，$L=\inf\{c^n:n\in\mathbb N\}\ge0$；或者更简单地，由 Theorem 87 第 2 条（取 $a=0$，因 $c^n>0$）：

（依据：Theorem 87(2)；或 Theorem 76 的”极限 $=\inf$”加上 $\inf\ge0$。）

步骤 1.4（用 $\epsilon$ 论证证明 $L=0$） 设 $\epsilon>0$ 给定。因 $c^n\to L$，存在 $M\in\mathbb N$ 使

（依据：收敛定义，取 $\epsilon^{\prime}:=\frac{(1-c)\epsilon}{2}>0$——这是正数，因为 $c<1$ 故 $1-c>0$。）

考察 (55) 与 (56) 在 $n=M$ 与 $n=M+1$ 两处的取值（源文件的证明中写作 $M$ 与 $M+1$）：

(a) 由 (56) 在 $n=M+1$：$\vert c^{M+1}-L\vert <\frac{(1-c)\epsilon}{2}$。 (b) 由 (56) 在 $n=M$：$\vert c^M-L\vert <\frac{(1-c)\epsilon}{2}$。

现在做加一项减一项并取绝对值：

（依据：代数，$(1-c)L=L-cL$。）

插入中间项 $c^{M+1}$：

（依据：加一项减一项，净增 $0$。）

取绝对值并用三角不等式：

（依据：Lecture 6 Theorem 51（三角不等式）。）

第二项提出因子 $c$：

（依据：$\vert uv\vert =\vert u\vert \vert v\vert $ 与 $c>0$ 故 $\vert c\vert =c$。）

把 (60) 代入 (59)，并用 (a)(b)：

（依据：(59) 与 (a)(b) 的代入。注意 $L-c^{M+1}$ 与 $c^{M+1}-cL$ 的绝对值只与 $\vert c^{M+1}-L\vert $、$\vert c^M-L\vert $ 有关——因为 $\vert u\vert =\vert -u\vert $（Lecture 5 Theorem 50 第 2 条），所以可以把顺序调成 (56) 里的形式。）

右边化简：

（依据：代数提取公因子。关键：$c<1$ 故 $1+c<2$，于是 $\frac{(1-c)(1+c)\epsilon}{2}<\frac{(1-c)\cdot2\epsilon}{2}=(1-c)\epsilon$。）

所以

（依据：(61)+(62) 与 $1+c<2$。）

两边除以 $(1-c)>0$（正数，方向不变）：

对一切 $\epsilon>0$ 都成立。

步骤 1.5（$L=0$） 由 (64)：$\forall\epsilon>0,\ \vert L\vert <\epsilon$。这正是 Lecture 6 Theorem 66 的假设（”若 $\forall\epsilon>0,\ \vert x-y\vert <\epsilon$，则 $x=y$”），取 $x=L$、$y=0$，得

（具体数值核对 (62)） $c=0.9$、$\epsilon=1$ 时：$(1-c)\epsilon/2+c(1-c)\epsilon/2=0.05+0.045=0.095<(1-c)\epsilon=0.1$ ✓。对 $c=0.1,0.5,0.99$ 也逐一验证成立。

• 逐步推导（第二部分：$c>1\Rightarrow\{c^n\}$ 无界）：

步骤 2.1（明确”无界”的含义） 要证 $\{c^n\}$ 无界，即

（依据：Lecture 6 Definition 61 的否定：”有界”是 $\exists B\forall n,\ \vert c^n\vert \le B$，故”无界”是 $\forall B\exists n,\ \vert c^n\vert >B$；因 $c>1>0$ 时 $c^n>0$，故 $\vert c^n\vert =c^n$。）

步骤 2.2（Bernoulli 不等式的激活） 把底数拆开：

其中 $c-1>0$（因 $c>1$）。由 Lecture 1 Theorem 9（Bernoulli 不等式）：

取 $u=c-1\ge-1$（实际上 $u>0>-1$，条件满足），得

源文件原文：”To see why this center inequality is true, see the last theorem shown in Lecture 1.”——指的就是 Lecture 1 的 Theorem 9：$\forall c\ge-1,\ (1+c)^n\ge1+nc$（源文件里那个 $\forall c\ge-1$ 的 $c$ 是”增量”，与本讲的底数 $c$ 不同名，注意区分）。

源文件 OCR 讹误：源文件把 (65) 写成 “$c^n=(1+(1-c))^n\ge1+n(c-1)$”。底数应为 $1+(c-1)=c$，而非 $1+(1-c)=2-c$；后者在 $c>1$ 时小于 $1$，会给出完全错误的结论。正确写法是 $c^n=(1+(c-1))^n$。

步骤 2.3（用 Archimedes 性质取 $n$） 给定 $B\ge0$。注意 $c-1>0$，故 $\dfrac{B}{c-1}\ge0$ 是一个实数。由 Archimedes 性质（Lecture 5 Theorem 43(i)）——”若 $x,y\in\mathbb R$ 且 $x>0$，则 $\exists n\in\mathbb N$ 使 $nx>y$”——取

得：存在 $n\in\mathbb N$ 使

即

（依据：Archimedes 性质（Lecture 5 Theorem 43(i)）与代数；这一步不能省——我们无法”取整数 $n>B/(c-1)$”，因为实数的稠密性只保证有实数超过它，只有 Archimedes 性质保证有自然数超过它。）

实践中更常见的写法是直接引用 Archimedes 性质得到”$\exists n\in\mathbb N$ 使 $n>B/(c-1)$”，这正是 (66)。注意本课程里 Archimedes 性质的等价常用形式是”$\forall y>0\ \exists n\in\mathbb N,\ n>y$”（取 $x=1$ 即得），所以也可以直接说”由 Archimedes 性质存在 $n>B/(c-1)$”。

步骤 2.4（合并） 对步骤 2.3 给出的这个 $n$，

（依据：(65) 给出第一个不等号；$n(c-1)>B$ 与 $1+B>B$ 给出后两个。）

于是对任意 $B\ge0$ 都存在 $n$ 使 $c^n>B$，即 $\{c^n\}$ 无界。$\blacksquare_{\text{第二部分}}$

具体数值核对：$c=1.1$、$B=100$：$B/(c-1)=100/0.1=1000$，取 $n=1001$，则 $1+n(c-1)=1+100.1=101.1>100$ ✓（而实际 $1.1^{1001}$ 是个天文数字，界非常松——这正是 Bernoulli 不等式的特点：松但简单）。$c=1.5$、$B=1000$：$n>1000/0.5=2000$，取 $n=2001$，$1+n(c-1)=1+1000.5=1001.5>1000$ ✓。

• 推论（源文件未列编号，但为标准结论，作为”补充”给出）

  推论 94.1：若 $c>1$，则 $c^{-n}\to0$。

  证明：令 $d:=1/c$。由 $c>1$ 得 $0<d<1$（依据：两边取倒数，正数取倒数翻转不等号）。由 Theorem 94 第一部分，$d^n\to0$。而 $c^{-n}=(1/c)^n=d^n$（依据：幂的指数律 $(a^{-1})^n=a^{-n}$）。故 $c^{-n}\to0$。$\blacksquare$

  推论 94.2：若 $\vert c\vert <1$，则 $c^n\to0$。

  证明：分两种情形。

  • 情形 $0\le c<1$：$c=0$ 时 $c^n=0$ 恒成立，显然 $\to0$；$0<c<1$ 时由 Theorem 94 第一部分直接得 $c^n\to0$。
  • 情形 $-1<c<0$：此时 $0<-c<1$，由 Theorem 94 第一部分 $(-c)^n\to0$。而 $\vert c^n\vert =\vert c\vert ^n=(-c)^n\to0$（依据：$\vert uv\vert =\vert u\vert \vert v\vert $ 推广到幂；$\vert c\vert =-c>0$）。由 Theorem 84，$\vert c^n-0\vert \to0$ 即 $c^n\to0$。

  （依据：Theorem 84 把”$\vert c^n\vert \to0$”翻译为”$c^n\to0$”。这里 Theorem 84 又一次是”接口”——注意如果我们只有”$\vert x_n\vert \to L$”而没有 $L=0$，就无法反推 $x_n\to L$（见 Theorem 93 的反例）；但 $L=0$ 时是可以的。）

  推论 94.3：$\vert c\vert >1$ 时 $\{\vert c\vert ^n\}$ 无界，从而 $\{c^n\}$ 也无界（因为 $\vert c^n\vert =\vert c\vert ^n$ 无界）。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】

  （i）为什么源文件不直接用 “$L=cL$” 而要绕道 $\epsilon$ 论证？

  请先看清楚一个事实：Theorem 89(3)（乘积极限）其实可以直接给出 $L=cL$。 推理如下：

  • 已知 $c^{n+1}=c\cdot c^n$（幂的指数律）；
  • 已知 $c^n\to L$（步骤 1.3）；
  • 常序列 $c\to c$；
  • 由 Theorem 89 第 3 条，$c\cdot c^n\to c\cdot L$，即 $c^{n+1}\to cL$；
  • 而 $\{c^{n+1}\}$ 是 $\{c^n\}$ 的移位，与 $\{c^n\}$ 有相同的极限：$\lim_{n\to\infty}c^{n+1}=L$；
  • 由 极限的唯一性（Lecture 6 Theorem 65），$L=cL$；
  • 于是 $(1-c)L=0$，而 $1-c\ne0$（因 $c\ne1$），故 $L=0$。

  这条路线只有五行，而且每一步都是引用已证定理。 源文件却选择了更长的 $\epsilon$ 论证。为什么？

  源文件的选择有其教学理由：Theorem 94 出现在本讲的最末，而作者希望借此再演示一次”$\forall\epsilon>0,\ \vert L\vert <\epsilon\Rightarrow L=0$”这一基本技巧（即 Lecture 6 Theorem 66 的用法）。这个技巧是实分析里最重要的”收口”手段之一，多练一遍很有价值。另外，$\epsilon$ 论证只用到”$c^{M+1}$ 与 $c^M$ 都很靠近 $L$”这一事实，不需要引用极限的唯一性，也不需要引用 $c^{n+1}$ 与 $c^n$ 同极限这一额外的移位事实——从依赖链上看，它更”自足”。

  两种路线的对比表：

  路线	依赖的定理	步数	教学价值
  $\epsilon$ 论证（源文件）	Lecture 7 Theorem 76 + Lecture 6 Theorem 66（$\forall\epsilon>0,\vert L\vert <\epsilon\Rightarrow L=0$）+ 三角不等式 + 加一项减一项	约 8 步	强化”$\epsilon$ 收口”技巧；不需要移位极限
  代数路线（$L=cL$）	Lecture 7 Theorem 76 + Theorem 89(3) + 极限唯一性（Lecture 6 Theorem 65）	约 5 步	体现”用代数运算定理代替 $\epsilon$ 记账”的简洁性

  这就是”同一命题多种证明”的价值：源文件的证明让你看清”$\epsilon$ 论证长什么样”；代数路线让你看清”有了 Theorem 89 之后，很多 $\epsilon$ 记账都可以省略”。建议你自己写作业时用代数路线（更快），但必须能读懂源文件的 $\epsilon$ 版本（考试可能要求）。

  追问：既然 Theorem 89(3) 已经在同一讲里证过了，源文件为什么还担心”那时还没证级数/连续性”？

  这里要澄清一个常见误传：Theorem 89(3) 的证明只依赖 Lecture 5 的 $\vert uv\vert =\vert u\vert \vert v\vert $、Lecture 6 的三角不等式、Lecture 7 的”收敛 $\Rightarrow$ 有界”，以及 Theorem 84 与 Theorem 82。它完全不依赖连续性、不依赖级数、也不依赖任何”函数极限”的概念。 所以”不能对 $c^{n+1}\to cL$ 用乘积极限”这个说法是错误的——在 Lecture 8 内部，我们完全可以用 Theorem 89(3)。

  真正需要小心的是另一个方向的误用：不能用”函数 $f(x)=x^k$ 连续”或”$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$”来论证幂的极限（那是 Lecture 14–15 的内容，本讲尚未建立）。用 Theorem 89(3) 是合法的，因为它处理的是序列的乘积极限。

  （ii）第一部分证明的”骨架”是什么？

  整个第一部分其实是三步曲：

      ①  单调有界  ⟹  收敛（Lecture 7）
              │  设极限 L
              ▼
      ②  用 ε 论证证明 L = 0
              │  （核心是 (57)–(64) 那串估计）
              ▼
      ③  结论 c^n → 0
  

  第 ② 步的技术核心是那个”加一项减一项 + 提取 $c$“的组合 (58)–(60)。为什么这么干？因为我们想要一个关于 $L$ 的方程（$(1-c)L=0$），但手上只有”$c^n$ 逼近 $L$”这种不等式信息。解法是：把 $L-cL$ 分解成”$L$ 与某一项 $c^{M+1}$ 的差”加上”$c^{M+1}$ 与 $cL$ 的差”，而后者可以提出 $c$ 变成 $c(c^M-L)$——于是两个差都被 $\vert c^n-L\vert <\frac{(1-c)\epsilon}2$ 控制住了。这正是 Theorem 89(3) 证明里”加一项减一项”思想的第二次登场（只不过这次是在”极限 $L$ 自身”上做，而不是在序列项上做）。

  （iii）为什么 $c>1$ 只能说”无界”，不能说”$\to\infty$”？

  因为本讲（Lecture 8）尚未定义”序列趋于 $+\infty$”（那需要扩充实数系统，Lecture 9 的 “Infinite limits” 一节才做）。所以源文件只能说 $\{c^n\}$ 无界。事实上由步骤 2.4，对任意 $B\ge0$ 最终都有 $c^n>B$，这正是 $\lim c^n=+\infty$ 的直观内容；在 Lecture 9 之后可以正式写成 $\lim_{n\to\infty}c^n=+\infty$。这是符号约定的限制，不是数学内容的限制。

• 【证明技巧总结】

  1. 先用归纳法建立”单调 + 有界”，再用单调有界定理得到”存在极限 $L$”——这是处理”递推型/幂型”序列的标准两步。
  2. $\epsilon$ 论证证明 $L=0$ 的套路：假设 $L$ 是极限 → 把 $(1-c)L$ 加一项减一项 → 用 $\epsilon$ 控制两个差 → 得到 $\forall\epsilon>0,\ \vert L\vert <\epsilon$ → 引用”$\forall\epsilon>0,\vert L\vert <\epsilon\Rightarrow L=0$”。
  3. Bernoulli 不等式把指数增长压到线性增长：$c^n\ge1+n(c-1)$，这是”用线性函数下界指数函数”的最经济手段。
  4. Archimedes 性质把”实数界”变成”自然数 $n$”：任何”取 $n>(\text{某实数})$”的步骤都必须引用它（Lecture 5 Theorem 43(i)）。
  5. 先证 $(0,1)$ 与 $(1,\infty)$ 两个基本情形，再用推论覆盖 $c<0$（推论 94.1–94.3 的写法）。

与教材的对应

对应教材 [JL]（Lebl, Basic Analysis I, Vol. 1）

[JL] §2.2 的四个小节（与 Lecture 8 的对应关系）：

• §2.2.1 Limits and inequalities $\leftrightarrow$ Theorem 82、Theorem 87（本讲前半）；
• §2.2.2 Continuity of algebraic operations $\leftrightarrow$ Theorem 89、Remark 90、Theorem 91、Theorem 93（本讲主体）；
• §2.2.3 Recursively defined sequences $\leftrightarrow$ Lecture 8 未涉及（课程跳到 Lecture 9；这是 Lecture 8 与 [JL] 的一处内容差）；
• §2.2.4 Some convergence tests $\leftrightarrow$ Theorem 94（$c^n$）。

[JL] 相关练习（原文，来自 Lebl 官方源码）

• Exercise 2.2.1：”Prove Corollary 2.2.4.（Hint: Use constant sequences and Lemma 2.2.3.）” —— 就是本讲 Theorem 87 第 2 条。[JL] 留作练习，本讲源文件给了完整证明。
• Exercise 2.2.2：”Prove part (ii) of Proposition 2.2.5.” —— 减法 $x_n-y_n\to x-y$。
• Exercise 2.2.3：”Prove that if $\{x_n\}$ is a convergent sequence, $k\in\mathbb N$, then $\lim_{n\to\infty}x_n^k=(\lim_{n\to\infty}x_n)^k$. Hint: Use induction.” —— 本讲 Remark 90。
• Exercise 2.2.4：”Suppose $x_1:=1/2$ and $x_{n+1}:=x_n^2$. Show that $\{x_n\}$ converges and find $\lim x_n$. Hint: You cannot divide by zero!” —— 用到 Theorem 94（$c=1/2$）。
• Exercise 2.2.5：”Let $x_n:=\frac{n-\cos(n)}{n}$. Use the squeeze lemma to show that $\{x_n\}$ converges and find the limit.” —— 本讲 Theorem 82 的直接应用（见下方思考题 Q1 的同类做法）。
• Exercise 2.2.6：”Let $x_n:=1/n^2$, $y_n:=1/n$. Define $z_n:=x_n/y_n$ 和 $w_n:=y_n/x_n$. Do $\{z_n\}$ and $\{w_n\}$ converge? …Can you apply Proposition 2.2.5? Why or why not?” —— 考察 Theorem 89(4) 的条件 $y\ne0$：$w_n=n$ 发散，因为 $x_n\to0$，即”分母的极限为 $0$”，Theorem 89(4) 不适用。
• Exercise 2.2.7：判断题：”若 $\{x_n^2\}$ 收敛，是否 $\{x_n\}$ 必收敛？” —— 答案是假，反例 $x_n=(-1)^n$。这是 Theorem 93 的反例的兄弟题（那里是 $\vert x_n\vert $，这里是 $x_n^2$；两者都被”抹掉符号”）。
• Exercise 2.2.8：”Show that $\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{2^n}=0$.” —— 本讲练习 85.3。
• Exercise 2.2.9：”Suppose $\{x_n\}$ is a sequence, $x\in\mathbb R$, $x_n\ne x$ for all $n$. Suppose $L:=\lim_{n\to\infty}\frac{\vert x_{n+1}-x\vert }{\vert x_n-x\vert }$ exists and $L<1$. Show that $\{x_n\}$ converges to $x$.” —— 综合运用 Theorem 89(4)（商的极限）+ Theorem 94（$c^n\to0$，取 $c\in(L,1)$）+ Theorem 82。见下方思考题 Q2。
• Exercise 2.2.10（Challenging）：$\lim x_n^{1/k}=(\lim x_n)^{1/k}$ —— Theorem 91 的 $k$ 次根推广。
• Exercise 2.2.11：牛顿迭代 $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-r}{2x_n}$ 收敛到 $\pm\sqrt r$ —— 综合运用 [JL] §2.2.3（递推序列）与 Theorem 91。
• Exercise 2.2.12：（三段） (a) 若 $\{a_n\}$ 有界、$b_n\to0$，证 $a_nb_n\to0$；(b) 找 $\{a_n\}$ 无界、$b_n\to0$ 而 $a_nb_n$ 发散的例子；(c) 找 $\{a_n\}$ 有界、$b_n\to x\ne0$ 而 $a_nb_n$ 发散的例子。 —— (a) 正是 Theorem 89(3) 证明中”小 $\times$ 有界 $\to0$”的核心引理；(c) 取 $a_n=(-1)^n$、$b_n\equiv1$。

对应 OCW Assignment 4（Reading Sections 2.1, 2.2；见 hw_all.txt 第 388–433 行）

对应 OCW Assignment 5（Reading Sections 2.2–2.5；见 hw_all.txt 第 447–467 行）

对应 Midterm（2020 年 10 月 16 日；见 hw_all.txt 第 645–722 行）

本讲未涉及的内容（避免混淆）：源文件 Lecture 8 的范围严格是 Theorem 82 到 Theorem 94（外加 Remark 83、Remark 90、Remark 92，以及 Question 86、Question 88）。Theorem 95 属于 Lecture 9（”Some Special Sequences”：$n^{-p}\to0$、$p^{1/n}\to1$、$n^{1/n}\to1$），请勿归入本讲。

与其他讲次的关联

• 依赖链（本讲用到前面什么）
  • Lecture 6：Definition 61（有界）、Definition 63（收敛的 $\epsilon$-$M$ 定义）、Theorem 51（三角不等式，本讲用了至少 6 次）、Theorem 65（极限唯一性，Theorem 94 的代数路线用到）、Theorem 66（$\forall\epsilon>0,\vert x-y\vert <\epsilon\Rightarrow x=y$，Theorem 87 与 Theorem 94 第一部分的收口）。
  • Lecture 5：Theorem 43(i)（Archimedes 性质，Theorem 94 第二部分取 $n>B/(c-1)$ 时必需）、Theorem 50（绝对值的六条性质：$\vert uv\vert =\vert u\vert \vert v\vert $、$\vert u\vert =\vert -u\vert $、$\sqrt{u^2}=\vert u\vert $、$\vert u\vert \le c\iff -c\le u\le c$）。
  • Lecture 7：Theorem 72（收敛 $\Rightarrow$ 有界，Theorem 89(3) 的第一步）、Theorem 76（单调递减有界 $\Rightarrow$ 收敛，Theorem 94 第一步）、Theorem 79（子序列继承极限，用于 Theorem 93 反例的另一种证法）、Definition 73（单调）。
  • Lecture 1：Theorem 6（数学归纳法，Remark 90 与 Theorem 94 第一步用到；其公理依据是 Axiom 5 良序原理）、Theorem 9（Bernoulli 不等式 $(1+u)^n\ge1+nu$，$u\ge-1$；Theorem 94 第二部分的核心）。
  • Lecture 4：最小上界性质（LUB）——它”隐藏”在 Lecture 7 Theorem 76 背后，而 Theorem 76 是 Theorem 94 第一步的地基。
• 本讲是后面哪些讲次的地基
  • Lecture 9（Limsup / Liminf / Bolzano–Weierstrass）：Theorem 95（特殊序列）里的 $\lim n^{-p}=0$ 用本讲 Theorem 82 + 夹逼；$\lim p^{1/n}=1$ 与 $\lim n^{1/n}=1$ 用 本讲 Theorem 94 + Bernoulli 不等式 + 本讲 Theorem 87；$\limsup$ 的代数性质直接引用 Theorem 87(1)。
  • Lecture 10（Cauchy 完备性与级数）：级数的线性运算 $\sum(a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n$ 依赖 Theorem 89(1)(2)；几何级数 $\sum c^n$ 的收敛性直接依赖 Theorem 94（$\vert c\vert <1$ 时通项 $c^n\to0$）。
  • Lecture 11–12（级数判别法）：比较判别法 (comparison test) 用 Theorem 82（夹逼的级数版本）；比值判别法 (ratio test) 与根值判别法 (root test) 用的是 Theorem 94 的 $c^n\to0$ / 无界二分法；$p$-级数的证明用 Theorem 82。
  • Lecture 14（函数极限的序列刻画）与 Lecture 15（连续性）：连续性的序列定义 $x_n\to c\Rightarrow f(x_n)\to f(c)$ 直接照搬 Theorem 89 的”运算穿极限”精神；一个值得玩味的观察：Theorem 89 本质上就是在说”多项式函数是连续的”——这正是 Lecture 15 的第一个例子。
  • Lecture 17–20（导数与中值定理）：乘积求导法则 $ (fg)’=f^{\prime}g+fg^{\prime}$ 的证明用的正是 Theorem 89(3) 的”加一项减一项” 分解；商的求导法则用 Theorem 89(4) 的”$\vert y_n\vert \ge b$” 思想。
  • Lecture 23–25（函数列的一致收敛）：一致收敛要保持极限的连续性/可积性，关键工具就是”小 $\times$ 有界“的一致版本（Weierstrass M-判别法用 Theorem 82 的级数形式）。

• 一句话总结依赖链：

   Lecture 1 (归纳法, Bernoulli)  ┐
   Lecture 4 (LUB)                ├─► Lecture 7 (单调有界, 收敛⇒有界) ─┐
   Lecture 5 (Archimedes, 绝对值)  ┘                                     │
   Lecture 6 (三角不等式, ε-M 定义, ∀ε\|u\|<ε⇒u=0) ───────────────────────┼─► 【Lecture 8】
                                                                         │    夹逼 + 序关系 + 代数运算
                                                                         │        + 根号 + 绝对值 + c^n
                                                                         ▼
                     Lecture 9 (limsup, BW) ─► Lecture 10 (Cauchy, 级数) ─► Lecture 11–12 (判别法)
                                                                              │
                                                                              ▼
                                            Lecture 14–15 (连续) ─► Lecture 17–20 (导数/MVT/Taylor)
                                                                              │
                                                                              ▼
                                            Lecture 20–22 (积分/FTC) ─► Lecture 23–25 (函数列/逼近)
  

关键要点

1. 夹逼定理（Theorem 82）是本讲的发动机。 若 $\forall n,\ a_n\le x_n\le b_n$ 且 $\lim a_n=\lim b_n=x$，则 $\lim x_n=x$。证明的机制是取 $M=\max\{M_0,M_1\}$ 把两条单边估计拼成一条夹链 $x-\epsilon<a_n\le x_n\le b_n<x+\epsilon$。两端必须收敛到同一个数，否则不起作用。

2. Theorem 84 是”接口”，不是”新定理”。 $\lim x_n=x\iff\lim\vert x_n-x\vert =0$。它把”证明收敛”翻译成”证明非负序列趋于 $0$”，从而让夹逼定理得以介入。Lecture 8 之后几乎所有收敛性证明的末两步都是”Theorem 82 + Theorem 84”。

3. 极限与序关系（Theorem 87）：非严格不等式被保持，严格不等式不被保持。

   \[x_n\le y_n\ \forall n\ \Longrightarrow\ \lim x_n\le\lim y_n;\qquad a\le x_n\le b\ \forall n\ \Longrightarrow\ a\le\lim x_n\le b.\]

   反例：$0<\frac1n$ 对一切 $n$，但 $\lim0=\lim\frac1n=0$。想得到严格的 $\lim x_n<\lim y_n$，必须额外假设 $y_n-x_n\ge\delta>0$ 一致成立。

4. 四则运算可以穿过 $\lim$（Theorem 89），但每一步都有前提。

   \[\lim(x_n+y_n)=x+y,\quad\lim(cx_n)=cx,\quad\lim(x_ny_n)=xy,\quad \lim\frac{x_n}{y_n}=\frac xy\ (y\ne0,\ y_n\ne0).\]
   • 乘法证明的两件法宝：“加一项减一项”（$x_ny_n-xy=(x_n-x)y_n+(y_n-y)x$）与 “小 $\times$ 有界 $\to0$”（先由 Lecture 7 Theorem 72 取 $B$ 使 $\vert y_n\vert \le B$）；
   • 除法证明的两步：先证 $\exists b>0,\ \vert y_n\vert \ge b$（取 $\epsilon=\vert y\vert /2$，并用有限初始段的 $\min$），再化归为乘法；
   • 数乘证明的分母用 $\vert c\vert +1$ 而非 $\vert c\vert $，因为 $c=0$ 时 $\vert c\vert =0$ 不能做分母。

5. $c^n$ 的二分行为（Theorem 94）：$0<c<1\Rightarrow c^n\to0$（单调递减有界 + $\epsilon$ 论证收口，或更简洁地由 Theorem 89(3) 得 $L=cL$）；$c>1\Rightarrow\{c^n\}$ 无界（Bernoulli 不等式 $c^n\ge1+n(c-1)$ + Archimedes 性质）。推论：$\vert c\vert <1\Rightarrow c^n\to0$；$c>1\Rightarrow c^{-n}\to0$。

6. 黄金口诀表：

   情形	招式
   要同时满足多个门槛	取 $\max$
   要证明非负量趋于 $0$	造上界 + 夹逼，再用 Theorem 84 翻译
   要证商/差/乘积的极限	加一项减一项
   遇到变化的乘数	先证有界，再用界吸收
   出现除法	检查分母是否可能为 $0$；若是，加正补偿项（$\vert c\vert +1$）或证明一致正下界（$\vert y_n\vert \ge b$）
   需要”远离某值”	取 $\epsilon=$（距离的 $\frac12$）
   公式在某参数值退化	分情形（Theorem 91 的 $x=0$）
   需要自然数超过某个实数	Archimedes 性质（Lecture 5 Theorem 43(i)）
   要压住指数增长	Bernoulli 不等式（Lecture 1 Theorem 9）

常见误区与注意事项

误区 1：把严格不等式直接搬到极限上。 ⭐本讲最高频错误

• 错误做法：知道 $x_n<y_n$（对所有 $n$），就写 $\lim x_n<\lim y_n$。
• 为什么错：极限只继承非严格不等式（Theorem 87(1)）。反例：$x_n\equiv0$，$y_n=1/n$，则 $0<1/n$ 严格成立，但两个极限都是 $0$。
• 正确做法：只写 $\lim x_n\le\lim y_n$。若确实需要严格，必须额外证明 $\exists\delta>0,\ \forall n,\ y_n-x_n\ge\delta$，然后对序列 $\{y_n-x_n\}$ 用 Theorem 87(2)（取 $a=\delta$）得 $\lim y_n-\lim x_n\ge\delta>0$。
• 同一误区的另一面：Theorem 87(2) 里也不能把 $a\le x_n\le b$ 换成 $a<x_n<b$ 而指望 $a<\lim x_n<b$。

误区 2：把不等式方向搞反（分母放缩）。 ⭐第二大高频错误

• 错误做法：为给 $\frac{n+1}{n^2+n+1}$ 造上界，写 $\frac{n+1}{n^2+n+1}\le\frac{n+1}{n^2+n+2}$。
• 为什么错：这是把分母放大了，得到的是一个下界，而且方向写反了。夹逼需要上界趋于 $0$，下界是 $0$ 已经够了。
• 正确做法：分母放小、分子放大，分式才变大。 \(\frac{n+1}{n^2+n+1}\le\frac{n+1}{n^2+n}=\frac1n.\)
• 检查方法：代一个具体的 $n$（如 $n=1$）验算方向：$\frac{2}{3}\le\frac{2}{2}=1$ ✓，而 $\frac23\le\frac{2}{3}$ 是等号——用 $n=1$ 就能看出”放大的分母”那一版是错的。

误区 3：忘记”收敛 $\Rightarrow$ 有界”，就直接做乘积极限。

• 错误做法：写 $\vert x_ny_n-xy\vert \le\vert x_n-x\vert \vert y_n\vert +\vert y_n-y\vert \vert x\vert $，然后说”两个因子都趋于 $0$，所以右边趋于 $0$”。
• 为什么错：右边第一项是 $\vert x_n-x\vert \cdot\vert y_n\vert $，其中 $\vert y_n\vert $ 不趋于 $0$（它趋于 $\vert y\vert $，可能很大）。只有在 $\vert y_n\vert $ 被一个常数 $B$ 一致控制之后，才能说 $B\vert x_n-x\vert \to0$。若 $\vert y_n\vert $ 无界，结论就是错的（反例：$x_n=1/n$，$y_n=n$，$x_ny_n=1\not\to0$）。
• 正确做法：第一步先写”由 Lecture 7 Theorem 72，$\{y_n\}$ 有界，取 $B\ge0$ 使 $\forall n,\ \vert y_n\vert \le B$”，然后才用 $B$ 替换 $\vert y_n\vert $。

误区 4：把 Remark 90（幂）误用到”变指数”上。

• 错误做法：写 $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=\left(1+\lim\frac1n\right)^n=1^n=1$，或者 $\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=(\lim n)^{1/n}$。
• 为什么错：Remark 90 要求幂次 $k$ 是与 $n$ 无关的固定自然数。指数也随 $n$ 变化时，整个归纳法失效。
• 正确做法：$\left(1+\frac1n\right)^n$ 的极限是 $e$（Lecture 5 附近定义），$n^{1/n}\to1$（Lecture 9 Theorem 95(3)），都必须用专门技术处理。
• 记忆点：”$\lim$ 可以穿过固定次数的幂，不能穿过变化的指数”。

误区 5：除法极限漏条件，或者以为条件是可省的。

• 错误做法：见到 $\frac{x_n}{y_n}$ 就写 $\frac{\lim x_n}{\lim y_n}$，不检查 $y\ne0$ 与 $y_n\ne0$。
• 为什么错：$y=0$ 时 $\frac xy$ 无定义；某个 $y_n=0$ 时 $\frac{x_n}{y_n}$ 无定义（[JL] Exercise 2.2.6 就是考这个：$x_n=1/n^2$、$y_n=1/n$，$\frac{y_n}{x_n}=n$ 发散）。
• 正确做法：写定理前先核对两个条件。并且注意：$y\ne0$ 不能推出 $y_n\ne0$（例如 $y_n=1-1$ 型），反之也不能。两个条件必须分别假设。
• 边界细节：Theorem 89(4) 的证明里取 $b=\min\{\vert y_1\vert ,\dots,\vert y_{M_0-1}\vert ,\vert y\vert /2\}$，当 $M_0=1$ 时列表为空。处理方法：(i) 约定空列表不参与取最小，令 $b=\vert y\vert /2$；(ii) 不失一般性把 $M_0$ 换成 $M_0^{\prime}=\max\{M_0,2\}$（弱化不等式条件总是允许的）。漏掉这个讨论是不严谨的。

误区 6：Theorem 91 不分情形，直接对 $x=0$ 用共轭放缩。

• 错误做法：写 $\vert \sqrt{x_n}-\sqrt x\vert \le\frac{1}{\sqrt x}\vert x_n-x\vert $，然后对 $x=0$ 也照用。
• 为什么错：$x=0$ 时右边是 $\frac10\cdot\vert x_n-0\vert $，不是实数；且这个”界”根本不成立（$\sqrt\cdot$ 在 $0$ 处无界导数）。
• 正确做法：分情形。$x=0$ 时用等价变形 $\sqrt{x_n}<\epsilon\iff x_n<\epsilon^2$（即把 $\epsilon$ 取成 $\epsilon^2$）；$x>0$ 时才能用共轭放缩。
• 顺带注意：写定理 91 的结论前，要先用 Theorem 87(2) 确认 $\lim x_n\ge0$，否则 $\sqrt{\lim x_n}$ 无定义。

误区 7：把 Theorem 93 的逆命题当作成立。

• 错误做法：由 $\vert x_n\vert \to\vert x\vert $ 推出 $x_n\to x$。
• 为什么错：反例 $x_n=(-1)^n$：$\vert x_n\vert \equiv1\to1$，但 $x_n$ 发散。
• 正确做法：记住唯一的例外是极限为 $0$ 的场合：由 Theorem 84，$\vert x_n\vert \to0\iff x_n\to0$。一般地，$\vert x_n\vert \to L\ne0$ 时符号信息丢失，不能反推。

误区 8：数乘证明里写 $\epsilon/\vert c\vert $。

• 错误做法：$\vert cx_n-cx\vert =\vert c\vert \vert x_n-x\vert <\vert c\vert \cdot\frac{\epsilon}{\vert c\vert }=\epsilon$。
• 为什么错：$c=0$ 时 $\frac{\epsilon}{\vert c\vert }$ 是”除以零”，不存在，逻辑上写不下去。
• 正确做法：用 $\vert c\vert +1$ 作分母（源文件写法，永不为零），得界 $\frac{\vert c\vert }{\vert c\vert +1}\epsilon<\epsilon$；或者显式分情形（$c=0$ 平凡；$c\ne0$ 用 $\epsilon/\vert c\vert $）。不能装作没看见这个边界情形。

误区 9：混淆”无界”与”趋于无穷”。

• 注意：Theorem 94 第二部分只能说 $\{c^n\}$ 无界 (unbounded)。本讲尚未定义”$\lim x_n=+\infty$”（那是 Lecture 9 的 “Infinite limits” 一节）。虽然由证明可见”对任意 $B$，最终 $c^n>B$”正是趋于无穷的意思，但在本讲的符号系统内只能写成”无界”。

思考题（带答案）

Q1.（用夹逼定理算一个极限，并做一次完整的 $\epsilon$-$M$ 计算）

设

(a) 求 $\lim_{n\to\infty}x_n$； (b) 用夹逼定理严格证明你的答案； (c) 取 $\epsilon=0.01$，求出源文件中 $M_0$、$M_1$ 与最终 $M$ 的具体数值。（本题与 [JL] Exercise 2.2.5、Assignment 4 第 5 题同类。）

Q2.（概念 + 计算：$c^n$ 与比值的组合；考察”先证远离 $0$”与”$c<1$ 的选择”）

设 $\{x_n\}$ 是实序列，$x\in\mathbb R$，且 $\forall n\in\mathbb N,\ x_n\ne x$。假设极限

存在且 $L<1$。证明 $x_n\to x$。

（本题即 Assignment 5 第 1 题 = [JL] Exercise 2.2.9。它几乎用满了本讲的每一条定理。）

Q3.（概念题：三个陷阱各击一次——”严格不等号取极限”、”$c=0$ 时数乘为何用 $\vert c\vert +1$”、以及”$\vert x_n\vert \to\vert x\vert $ 不能反推”）

判断下列各命题的真假，并给出证明或反例：

(a) 若 $\forall n\in\mathbb N,\ x_n<y_n$，且两个序列都收敛，则 $\lim_{n\to\infty}x_n<\lim_{n\to\infty}y_n$。

(b) 对一切 $c\in\mathbb R$ 与一切收敛序列 $\{x_n\}$，$\lim_{n\to\infty}cx_n=c\lim_{n\to\infty}x_n$。并回答：在证明中，为什么取 $\epsilon/(\vert c\vert +1)$ 而不是 $\epsilon/\vert c\vert $？如果坚持用 $\epsilon/\vert c\vert $，需要怎么修改证明？

(c) 若 $\{\vert x_n\vert \}$ 收敛到 $\vert x\vert $，则 $\{x_n\}$ 收敛到 $x$。

本讲一句话总结：Lecture 8 把”极限”从一个需要每次回到 $\epsilon$-$M$ 定义才能使用的概念，变成了一个可以像代数一样操作的工具——代价是每一步都必须核对前提（$y\ne0$、$x>0$、$k$ 固定、有界性、非严格不等式）。这张”许可证清单”（Theorem 82、84、87、89、90、91、93、94）是整门课后续所有极限计算的常备工具箱。