Lecture 15: The Continuity of Sine and Cosine and the Many Discontinuities of Dirichlet’s Function（正弦余弦的连续性与 Dirichlet 函数的处处不连续）

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Lecture 15: The Continuity of Sine and Cosine and the Many Discontinuities of Dirichlet’s Function（正弦余弦的连续性与 Dirichlet 函数的处处不连续）

概述

上一讲（Lecture 14）我们有了连续性的 $\epsilon$-$\delta$ 定义（Definition 167），也第一次见到了”用序列来刻画函数极限”的想法。本讲要做的第一件事，是把这个想法升级成一条可以真正干活的定理：Theorem 171 指出，$f$ 在 $c$ 连续当且仅当“任何收敛到 $c$ 的序列 $x_n$，其像序列 $f(x_n)$ 都收敛到 $f(c)$”。这条序列刻画 (sequential characterization of continuity) 是整门课此后最常用的工具——本讲几乎所有的证明都建立在它上面。

有了这台机器，本讲一口气解决两类问题：

1. 证明”好函数”是连续的：Theorem 172 证明 $\sin x$ 与 $\cos x$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上连续；Theorem 173 证明多项式处处连续；Theorem 174 证明连续函数的和、积、商连续；Theorem 175 证明复合保持连续。它们的证明都不再需要从零开始凑 $\delta$，而是”把已知的连续函数拼装起来”。
2. 造出”坏函数”：Question 177 问”是否每个 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 都至少在某一点连续？” Theorem 178 用 Dirichlet 函数 (Dirichlet function) \(f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\0,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{cases}\) 给出了否定回答：它在每一个实数点都不连续。

所以本讲回答的问题是：连续性如何用序列来检验？三角函数的连续性为什么如此容易？以及”处处不连续的函数”到底长什么样？

核心定义与直观解释

（定义：连续，源文件 Definition 167，回顾）

• 严格定义：设 $S\subset\mathbb{R}$，$c\in S$。称 $f:S\to\mathbb{R}$ 在 $c$ 连续 (continuous at $c$)，如果 \(\forall\epsilon>0\ \exists\delta>0\ \text{s.t.}\ \forall x\in S,\ \vert x-c\vert <\delta\ \Longrightarrow\ \vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon .\) 若 $f$ 在 $U\subset S$ 的每一点都连续，称 $f$ 在 $U$ 上连续。

• 直观解释（”它到底在说什么？”）：想象你在画 $y=f(x)$ 的图像。你希望”输出的小误差由输入的小误差保证”。挑战者给你一个误差预算 $\epsilon$（比如 $\epsilon=0.01$），你必须报出一个”安全半径” $\delta$，使得只要输入落在 $c$ 的 $\delta$-邻域里，输出就一定落在 $f(c)$ 的 $\epsilon$-邻域里。

                    y
                    ↑
        f(c)+ε ─ ─ ─┼─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─
                    │      ┌─────────┐
                    │      │ 图像必须 │
           f(c) ─ ─ ┼─ ─ ─ ─│ 完全落在 │─ ─ ─
                    │      │ 这个盒子里│
        f(c)-ε ─ ─ ─┼─ ─ ─ ─┴─────────┴─ ─ ─
                    │   ↑         ↑
                    │   c-δ   c   c+δ        → x

• 为什么需要”$\delta$ 可以依赖 $c$”这个条件？ 因为这是逐点连续的定义。Lecture 17 会把它升级成”一致连续 (uniform continuity)”，要求一个 $\delta$ 对全体 $c$ 同时有效。本讲 $\sin,\cos$ 的证明之所以漂亮，就是因为算出来的 $\delta=\epsilon$ 根本不依赖 $c$——这正是它们一致连续（乃至 Lipschitz 连续）的伏笔。

• 具体示例（把 $\epsilon$ 取成具体数字）：取 $f=\sin$，$c=\pi/6$，$\epsilon=0.01$。Theorem 172 的证明将给出 $\delta=\epsilon=0.01$。验算（python3，math.sin）：

  $\sin(\pi/6)=0.4999999999999999$，而 \(\left\vert \sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}+0.01\right)-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)\right\vert =0.0086351099093314<0.01 .\) 在 $\vert x-c\vert <0.01$ 的整个窗口上取上确界也可数值求得： \(\sup_{\vert x-\pi/6\vert <0.01}\vert \sin x-\sin(\pi/6)\vert \approx 0.0086807546<0.01 .\) 可见 $\delta=0.01$ 是够用的（而且有余量——因为真实的 Lipschitz 常数是 $1$，而上确界出现在窗口端点，比 $\delta$ 略小是因为 $\cos$ 因子 $<1$）。

• 反例（条件不可省）：源文件 Example 169 的 \(f(x)=\begin{cases}1,&x\neq0\\2,&x=0\end{cases}\) 在 $c=0$ 不连续。它的否定形式（源文件 Negation 170）是： \(f\ \text{在}\ c\ \text{不连续}\iff \exists\epsilon_0>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in S:\ \vert x-c\vert <\delta\ \text{且}\ \vert f(x)-f(c)\vert \ge\epsilon_0 .\) 源文件的证明取 $\epsilon_0=1$，对任意 $\delta>0$ 取 $x=\delta/2$： \(\vert x-0\vert =\delta/2<\delta,\qquad \vert f(x)-f(0)\vert =\vert 1-2\vert =1\ge1=\epsilon_0 .\) 注意这里$\delta$ 依赖的对象：$\epsilon_0$ 是”存在一个坏的预算”，$\delta$ 是”任给”，$x$ 是”存在一个反例点”。三个量词的顺序一个都不能动。

（定义：Dirichlet 函数，源文件 Theorem 178 中定义）

• 严格定义： \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\0,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{cases}\) 源文件在 Theorem 178 中给出这个定义，并称它为 Dirichlet 函数 (Dirichlet function)。

• 直观解释（”它到底在说什么？”）：请把这个函数的图像在脑子里画出来。它在有理点上高度为 $1$，在无理点上高度为 $0$。由于有理数与无理数在实数轴上互相缠绕、彼此稠密（Lecture 5 Theorem 43），你在任何一个开区间 $(a,b)$ 里都能同时找到有理数和无理数——所以它的图像在每一条竖直线附近都同时在高度 $0$ 和高度 $1$ 上”闪”。它不是一条曲线，而是两条稠密点云的叠加。

   Dirichlet 函数在任意小区间里的"密集跳跃"（示意）

   y=1  •  •   •• • ••  • •• •  • ••  •  •• • •   ← 有理点（稠密）
        │╲ │╱ │╲│╱│╲╱│╲│╱╲│╱│╲╱│╲│╱╲│╱│╲╱│  ← 没有"跳跃线"，
        │ ╲│╱ ╲╱ ╲│╱ ╲│╱ ╲╱ ╲│╱ ╲│╱ ╲╱ ╲│╱     只有孤立点，
   y=0  • • ••• •  •••  • •• • •  • • •••  • ••   ← 无理点（也稠密）
        └──┬───┬────┬───┬────┬───┬────┬──→ x
          0  0.2  0.4 0.6  0.8  1.0

   放大任意一段 (c-δ, c+δ)：
   里面既有无数的 •(高 1)，也有无数的 •(高 0)。
   所以无论 δ 多小，"输出误差"都能达到 |1-0| = 1。

• 为什么需要这个函数？ 因为在微积分里形成的直觉是”函数图像都是连着的曲线”。Dirichlet 函数彻底打破了这个直觉：它是一个在每一点都”碎掉”的函数。更深刻的是，它说明了“连续”是一个非常强的条件，而不是”默认成立”的性质——Question 177 问”是否存在一点 $c$ 使 $f$ 在 $c$ 连续”，答案竟然是”不一定”。

• 具体示例（把 $\epsilon/\delta$ 取成具体数字）：取 $c=\sqrt{2}$（无理点，$f(c)=0$），$\epsilon_0=1/2$。检验者声称 $\delta=0.001$ 可以工作。我们只需在 $(\sqrt2-0.001,\ \sqrt2+0.001)$ 里找到一个有理数 $q$，就有 $\vert q-\sqrt2\vert <0.001$ 而 $\vert f(q)-f(c)\vert =\vert 1-0\vert =1\ge\epsilon_0$。数值上（python3，fractions）：
  • $140/99=1.4141414141\cdots$，$\vert 140/99-\sqrt2\vert =7.2148\times10^{-5}<0.001$。✓
  • 所以 $\delta=0.001$ 立刻被击破。若把 $\delta$ 缩小到 $10^{-6}$，取 $1393/985=1.4142131979\cdots$，$\vert 1393/985-\sqrt2\vert =3.6440\times10^{-7}<10^{-6}$，照样击破。无论 $\delta$ 多小，稠密性总是愿意提供一个反例——这正是证明的关键机制。
• 反例（对照）：作为对照，Assignment 8 第 2 题的函数 \(f(x)=\begin{cases}0,&x\in\mathbb{Q}\\2x,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}\) 在 $x=0$ 连续、在 $x=1$ 不连续。可见”有理/无理型病态定义”并不必然处处不连续：在 $x=0$ 处两个分支的值吻合（$0$ 与 $2\cdot0=0$），所以它幸免。

（定义：Lipschitz 连续，补充概念，源文件未定义，来自 Assignment 9）

【补充/前向引用】 本讲源文件没有给出下面这个定义。但 Theorem 172 的证明会顺带产生它，而它在 Lecture 17 与 Assignment 9 中会正式登场，所以在这里提前点出。

• 严格定义：设 $S\subset\mathbb{R}$，$f:S\to\mathbb{R}$。若 $\exists L\ge0$ 使得 \(\forall x,y\in S,\quad \vert f(x)-f(y)\vert \le L\vert x-y\vert ,\) 则称 $f$ 在 $S$ 上 Lipschitz 连续 (Lipschitz continuous)，$L$ 称为一个 Lipschitz 常数。

• 直观解释：这是连续性的定量加强版。”$\epsilon$-$\delta$ 版”只要求”输入小 $\Rightarrow$ 输出小”，而 Lipschitz 版直接给出统一的汇率：输出差不超过输入差的 $L$ 倍。几何上，$L$ 是图像所有割线斜率的绝对值上界。

• 为什么需要这个条件？ 因为它自动蕴含一致连续（Assignment 9 第 4 题要你证：取 $\delta=\epsilon/L$ 即可），而一致连续是 Lecture 17 的主角。但反过来不成立：Assignment 9 第 5(b) 题要你证 $f(x)=x^{1/3}$ 在 $[0,1]$ 上一致连续但不是 Lipschitz 连续——因为它在 $0$ 附近割线斜率趋于 $\infty$。

• 具体示例：本讲定理将给出 $\vert \sin x-\sin c\vert \le\vert x-c\vert $，故 $\sin$ 在 $\mathbb{R}$ 上 Lipschitz 连续，$L=1$。数值验证：在 $[-10,10]$ 上网格扫描所有割线斜率 $\frac{\vert \sin x-\sin y\vert }{\vert x-y\vert }$，最大值 $\approx 0.9999999992<1$，与 $L=1$ 吻合（python3 验证）。$\cos$ 同理，最大值 $\approx 0.9999999991$。

• 反例：$f(x)=x^{2}$ 在 $[0,1]$ 上 Lipschitz（$L=2$，因为 $\vert x^2-c^2\vert \le\vert x+c\vert \vert x-c\vert \le2\vert x-c\vert $），但在 $\mathbb{R}$ 上不 Lipschitz（割线斜率 $\vert x+c\vert $ 无界）——这正说明 Lipschitz 性质依赖定义域。

（定义：间断点的三类，补充概念）

【补充】 本讲源文件没有给间断点分类（源文件 Lecture 14 的 Negation 170 只写了”不连续”的否定）。下面三类是标准教材内容，在此作为背景补上，并在”定理与完整证明”里各配一个完整验证。

设 $c$ 是定义域 $S$ 的聚点（cluster point，源文件 Definition 148），$f$ 在 $c$ 不连续。

为什么需要把间断点分类？ 因为”不连续”这个否定命题信息量太少：它只告诉你”$\exists\epsilon_0\forall\delta\exists x$”，却分不清”图像只是破了个洞”还是”图像彻底失控”。分类让你知道能补救多少：可去间断改一个点就能变连续；跳跃间断只需在两个区间上分别连续；本质间断则无可救药。

具体示例：$f(x)=1/x$ 在 $c=0$（若扩充定义 $f(0)=0$）属于本质间断，因为 $\lim_{x\to0^+}1/x$ 不存在（无界）。

反例：$f(x)=\sin(1/x)$（$x\neq0$，$f(0)=0$）在 $0$ 处不是跳跃间断。数值验证（python3）：取 $x_n=\frac{1}{\pi/2+2\pi n}$，得 $x_0=0.63661977,\ x_1=0.12732395,\ x_2=0.07073553,\ x_3=0.04897075$，而 $\sin(1/x_n)=1$ 对每个 $n$ 都成立。于是 $x_n\to0^+$ 但 $f(x_n)=1\not\to0$，右极限不存在，故为本质间断。

定理与完整证明（核心）

定理 171（连续性的序列刻画；源文件 Theorem 171）

• 定理陈述：设 $S\subset\mathbb{R}$，$c\in S$，$f:S\to\mathbb{R}$。则
  1. 若 $c$ 不是 $S$ 的聚点，则 $f$ 在 $c$ 连续。
  2. 若 $c$ 是 $S$ 的聚点，则 $f$ 在 $c$ 连续 $\iff$ $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$。
  3. $f$ 在 $c$ 连续 $\iff$ 对每一个满足 $x_n\in S$、$x_n\to c$ 的序列 $\{x_n\}$，都有 $f(x_n)\to f(c)$。
• 证明策略：三个部分各有各的武器。
  • 第 1 部分用“邻域里只剩 $c$ 一个点”这一事实：非聚点意味着存在一个空邻域，那么 $x$ 除了等于 $c$ 之外别无选择，误差恒为 $0$，因此任何 $\delta$ 都行。
  • 第 2 部分比较两个定义的唯一差别：函数极限定义里有 $0<\vert x-c\vert $（排除 $c$ 本身），连续定义里没有。补上 $x=c$ 这一点不会破坏不等式，因为那时左右都是 $0$。源文件把这一部分”留作练习”，下面给出完整证明。
  • 第 3 部分是本讲的发动机。正向是”$\epsilon$-$\delta$ 与 $\epsilon$-$N$ 的接力”；反向用反证 + 取 $\delta=1/n$ 造序列，这是分析里极其常用的”对角线式构造”。

• 逐步推导：

  (1) 证明第 1 部分。

  1. 设 $\epsilon>0$。（依据：要证 $\forall\epsilon>0\exists\delta$）
  2. 因 $c$ 不是聚点，由聚点定义（Definition 148）的否定，$\exists\delta_0>0$ 使 $(c-\delta_0,c+\delta_0)\cap S=\{c\}$。（依据：非聚点的定义）
  3. 取 $\delta=\delta_0$。（依据：构造）
  4. 设 $x\in S$ 且 $\vert x-c\vert <\delta$。则 $x\in(c-\delta,c+\delta)\cap S=\{c\}$，故 $x=c$。（依据：第 2 步）
  5. 于是 $\vert f(x)-f(c)\vert =\vert f(c)-f(c)\vert =0<\epsilon$。（依据：$x=c$ 与 $\epsilon>0$）
  6. 故 $f$ 在 $c$ 连续。$\blacksquare$

  (2) 证明第 2 部分（源文件留作练习，此处补全）。 设 $c$ 是 $S$ 的聚点。

  （$\Leftarrow$）设 $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$。

  1. 设 $\epsilon>0$。（依据：$\forall\epsilon>0$）
  2. 由函数极限的 $\epsilon$-$\delta$ 定义（源文件 Definition 150），$\exists\delta>0$ 使得若 $x\in S$ 且 $0<\vert x-c\vert <\delta$，则 $\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。（依据：极限定义）
  3. 现设 $x\in S$ 且 $\vert x-c\vert <\delta$。分两种情形：
     • 若 $x\neq c$，则 $0<\vert x-c\vert <\delta$，由第 2 步得 $\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$；
     • 若 $x=c$，则 $\vert f(x)-f(c)\vert =0<\epsilon$。
  4. 两种情形都成立，故 $f$ 在 $c$ 连续。$\blacksquare$

  （$\Rightarrow$）设 $f$ 在 $c$ 连续。

  1. 设 $\epsilon>0$。（依据：要证极限定义中的 $\forall\epsilon>0\exists\delta$）
  2. 由连续性定义，$\exists\delta>0$ 使得 $\forall x\in S$，$\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。（依据：Definition 167）
  3. 若 $x\in S$ 且 $0<\vert x-c\vert <\delta$，则特别有 $\vert x-c\vert <\delta$，故由第 2 步 $\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。（依据：条件的加强化——$0<\vert x-c\vert <\delta$ 蕴含 $\vert x-c\vert <\delta$）
  4. 故按 Definition 150 有 $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$。$\blacksquare$

  (3) 证明第 3 部分之正向：连续 $\Rightarrow$ 序列刻画。

  1. 假设 $f$ 在 $c$ 连续。设 $\{x_n\}$ 满足 $x_n\in S$ 且 $x_n\to c$。（依据：命题的假设）
  2. 设 $\epsilon>0$。（依据：要证 $f(x_n)\to f(c)$，即 $\forall\epsilon>0\exists M\forall n\ge M$）
  3. 由连续性，$\exists\delta>0$ 使得若 $x\in S$ 且 $\vert x-c\vert <\delta$，则 $\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。（依据：Definition 167）
  4. 因 $x_n\to c$（$\epsilon$-$N$ 定义，取同一个 $\epsilon$ 换成 $\delta$ 的角色），$\exists M_0\in\mathbb{N}$ 使得 $\forall n\ge M_0$，$\vert x_n-c\vert <\delta$。（依据：收敛的 $\epsilon$-$N$ 定义）
  5. 取 $M=M_0$。则 $\forall n\ge M$：$\vert x_n-c\vert <\delta$，且 $x_n\in S$，故由第 3 步 $\vert f(x_n)-f(c)\vert <\epsilon$。（依据：第 3、4 步）
  6. 故 $f(x_n)\to f(c)$。（依据：$\epsilon$-$N$ 定义）$\blacksquare$

  (4) 证明第 3 部分之反向：序列刻画 $\Rightarrow$ 连续（反证）。

  1. 假设：对每个满足 $x_n\in S,\ x_n\to c$ 的序列都有 $f(x_n)\to f(c)$。（依据：命题假设）
  2. 反设 $f$ 在 $c$ 不连续。（依据：反证法）
  3. 则 $\exists\epsilon_0>0$ 使得 $\forall\delta>0$，$\exists x\in S$ 满足 $\vert x-c\vert <\delta$ 且 $\vert f(x)-f(c)\vert \ge\epsilon_0$。（依据：源文件 Negation 170，即连续性定义的否定）
  4. 对每个 $n\in\mathbb{N}$，取 $\delta=1/n>0$，由第 3 步得到 $x_n\in S$ 满足 \(\vert x_n-c\vert <\frac1n\quad\text{且}\quad\vert f(x_n)-f(c)\vert \ge\epsilon_0 .\) （依据：第 3 步 + 选择公理式的逐项选取，这是”构造序列”的标准手法）
  5. $0\le\vert x_n-c\vert <\frac1n$ 且 $\frac1n\to0$，由夹逼定理 (Squeeze Theorem)（Lecture 8 Theorem 82）得 $\vert x_n-c\vert \to0$，即 $x_n\to c$。（依据：夹逼定理）
  6. 由第 1 步的假设（$x_n\to c$ 且 $x_n\in S$），应有 $f(x_n)\to f(c)$。由 Lecture 8 Theorem 84（$x_n\to x\iff\vert x_n-x\vert \to0$），$f(x_n)\to f(c)$ 等价于 $\vert f(x_n)-f(c)\vert \to0$，故该序列的极限为 $0$。（依据：第 1 步 + Theorem 84）
  7. 另一方面，第 4 步给出 $\vert f(x_n)-f(c)\vert \ge\epsilon_0>0$ 对所有 $n$ 成立。由 Lecture 8 Theorem 87(1)（若 $x_n\le y_n$ 对全体 $n$ 且两者收敛，则 $\lim x_n\le\lim y_n$），把常数列 $\{\epsilon_0\}$ 与 $\{\vert f(x_n)-f(c)\vert \}$ 相比，得 $\epsilon_0\le\lim_{n\to\infty}\vert f(x_n)-f(c)\vert $，于是 \(0=\lim_{n\to\infty}\vert f(x_n)-f(c)\vert \ge\epsilon_0>0,\) 矛盾。（依据：第 6 步与序关系的传递性）
  8. 矛盾说明反设不成立，故 $f$ 在 $c$ 连续。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】 这个证明的精髓全在第 (4) 部分。我们面对的是一个否定命题：”$f$ 不连续”意味着 \(\exists\epsilon_0\ \forall\delta\ \exists x\ \bigl(\vert x-c\vert <\delta\ \wedge\ \vert f(x)-f(c)\vert \ge\epsilon_0\bigr).\) 注意这个命题里有一个自由变量 $\delta$：只要 $\delta$ 一变，反例点 $x$ 就可以跟着变。我们要把它升级成一条序列——方法是把 $\delta$ 依次取成 $\delta=1,1/2,1/3,\dots$，于是得到一串反例点 $x_1,x_2,x_3,\dots$，每个都满足 $\vert x_n-c\vert <1/n$。取 $1/n$ 而不是别的，是因为我们需要一个趋于 $0$ 的量来做夹逼，而 $1/n$ 是课程里现成的、被 Archimedes 性质保证趋于 $0$ 的序列（Lecture 5 Theorem 43(i)）。

  这个”把 $\forall\delta$ 的自由选择实例化成 $\delta=1/n$，从而把逐点存在性拧成一条序列“是分析中最重要的构造技巧之一。Lecture 9 的 Bolzano–Weierstrass 证明里有它的影子，Lecture 16 的极值定理证明里也用它。如果你要自己重新发明这个证明，思路应该是这样：

  “序列刻画说’每个序列都行’。反证就是找一条不行的序列。连续性的否定给了我一堆零散的坏点，每给定一个半径都能抓到一个。我需要把它们串起来让半径趋于 $0$——那就让半径本身是 $1/n$。”

  另外，正向证明里有一个漂亮的变量角色互换：收敛定义里的”$\epsilon$”位置，被我们塞进了连续性的”$\delta$”。同一句话”$\forall\epsilon>0\exists N$”，既可以读成”误差”，也可以读成”半径”。$\epsilon$ 和 $\delta$ 只是字母，它们是可以互相扮演对方的。

• 【证明技巧总结】
  1. ”$\delta=1/n$ 造序列”（反证不连续 $\Rightarrow$ 造出坏序列）——本讲及 Lecture 16、17 反复使用。
  2. ”$\epsilon/\delta$ 角色互换”（用连续性的 $\delta$ 去当收敛定义里的 $\epsilon$）——从”函数的一致性”翻译到”序列的收敛性”的通用桥。
  3. “极限保不等式方向”（$y_n\ge\epsilon_0\ \forall n\Rightarrow\lim y_n\ge\epsilon_0$）——把开的 $\epsilon$ 结论升级为闭的 $\ge$ 结论，从而与 $0$ 相撞产生矛盾。
  4. “补上被排除的那一点”（第 2 部分：把 $0<\vert x-c\vert $ 改成 $\vert x-c\vert $ 不影响结果，因为 $x=c$ 时误差为 $0$）。

引理 15.A（三角函数的四条前置事实；源文件 Theorem 172 证明开头所列）

• 引理陈述：本课程从单位圆的几何定义出发，把下列事实当作已知（源文件原话：”From their definitions in terms of the unit circle, we have that $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$. Also note the following:”）：
  1. $\forall x\in\mathbb{R}$，$\vert \sin x\vert \le1$ 且 $\vert \cos x\vert \le1$；
  2. $\forall x\in\mathbb{R}$，$\vert \sin x\vert \le\vert x\vert $；
  3. 和角公式：$\sin(a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b$；
  4. 和差化积公式：$\sin a-\sin b=2\sin\!\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$；
  5. （由 1 得到的）$\sin^2x+\cos^2x=1$。

  【关于”这些事实从哪来”的诚实交代】 本课程是分析课，但它在三角函数上不重起炉灶。源文件明确写着这些事实来自”单位圆定义”，并把它们与 $\sin^2+\cos^2=1$ 并列列出，没有在 Lecture 15 里证明它们。这与 Final Assignment 首页的明确授权完全一致：

  “You may freely use any knowledge of the functions $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ and $\log x$ (the natural logarithm) that you retained from calculus.”

  也就是说：在本课程中，三角函数的几何定义与基本恒等式是被”自由使用”的已知知识。$\vert \sin x\vert \le\vert x\vert $ 的几何来源是”弦长不超过弧长“：单位圆上角度为 $x$ 的弦长为 $2\vert \sin(x/2)\vert $，对应弧长为 $\vert x\vert $，于是 $2\vert \sin(x/2)\vert \le\vert x\vert $，即 $\vert \sin(x/2)\vert \le\vert x\vert /2$；把 $x$ 换成 $2x$ 就得到 $\vert \sin x\vert \le\vert x\vert $。这个不等式在本讲里是关键的一步（见下文定理 172 的第 5 步）。

  若要在分析体系内部严格重建三角函数（完全不依赖几何直观），标准做法是用幂级数 \(\sin x:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cos x:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\) 定义它们，再从级数推出全部恒等式。这属于本教材第二卷 §11.4（Complex exponential and trigonometric functions）的内容，本课程不展开。

• 由上述事实推出的两条”补充推论”（源文件未列出，此处标明为补充，并给出推导）：
  • 补充推论 1（倍角/半角）：$\cos 2x=1-2\sin^2x$，等价地 $\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$。 推导：由和角公式的”$\cos$ 版本”。先用事实 3 导出 $\cos$ 的和角公式：对任意 $t$ 有 $\cos t=\sin(t+\pi/2)$（这是单位圆定义中 $\cos,\sin$ 相差 $\pi/2$ 相位的直接结果，也是源文件证明 $\cos$ 连续时所使用的等式）。于是 \(\cos(x+y)=\sin\!\left(x+y+\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(x+\left(y+\tfrac{\pi}{2}\right)\right)=\cos x\sin\!\left(y+\tfrac{\pi}{2}\right)+\sin x\cos\!\left(y+\tfrac{\pi}{2}\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\) 最后一步用了 $\sin(y+\pi/2)=\cos y$ 与 $\cos(y+\pi/2)=-\sin y$。取 $y=x$ 得 $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$；再由事实 5 的 $\cos^2x=1-\sin^2x$，得 $\cos 2x=1-2\sin^2x$。$\blacksquare$ 数值核对（python3）：$x=1.2$ 时 $\cos 2.4=-0.7373937155$，$1-2\sin^2 1.2=-0.7373937155$。✓
  • 补充推论 2（$\cos$ 的和差化积）： \(\cos x-\cos c=-2\sin\!\left(\frac{x+c}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-c}{2}\right).\) 推导：$\cos x-\cos c=\sin(x+\pi/2)-\sin(c+\pi/2)$，对事实 4 取 $a=x+\pi/2,\ b=c+\pi/2$： \(=2\sin\!\left(\frac{x-c}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x+c}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\!\left(\frac{x-c}{2}\right)\cdot\left(-\sin\!\left(\frac{x+c}{2}\right)\right),\) 即得。$\blacksquare$ 数值核对（python3）：$x=1.0,c=0.5$ 时两式之差为 $0.0$（机器精度内）；$x=3.0,c=2.0$ 时为 $1.1\times10^{-16}$。✓

• 【证明机制解说】 值得停下来看清一件事：源文件把 $\vert \sin x\vert \le\vert x\vert $ 与和角公式并列成”注意以下事实”，而不是当成定理去证。这是刻意的课程设计：Lecture 15 的目标不是重建三角函数，而是展示连续性的序列/拼装机器有多强。把三角恒等式当”零件”，把连续性定理当”机床”——这正是为什么 Lecture 14–15 之后，你可以一口气宣布”$\cos(1/x^2)^2$ 在 $(0,\infty)$ 上连续”（源文件 Example 176(ii)）而不写任何 $\epsilon$-$\delta$。

• 【证明技巧总结】
  1. “承认零件、专注装配”：分析课允许你把初等函数的初等性质当作既得知识（Final Assignment 明确授权），把精力放在逻辑结构上。
  2. “弦长 ≤ 弧长” 是 $\vert \sin x\vert \le\vert x\vert $ 的唯一几何来源——记住这个图像，比记公式可靠。
  3. ”$\cos t=\sin(t+\pi/2)$” 是把 $\sin$ 的全部结果免费搬运给 $\cos$ 的传送带（源文件正是这么做的）。

定理 172（$\sin$ 与 $\cos$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续；源文件 Theorem 172）

• 定理陈述：函数 $f(x)=\sin x$ 与 $g(x)=\cos x$ 都在 $\mathbb{R}$ 上连续。

• 证明策略：目标是控制 $\vert \sin x-\sin c\vert $。直接摊开 $\epsilon$-$\delta$ 无从下手，因为 $\sin$ 本身没有代数表达式。关键动作是”和差化积”：把 $\sin x-\sin c$ 写成两个因子的乘积 \(2\sin\!\left(\frac{x-c}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x+c}{2}\right).\) 这个分解的好处是一个因子只含 $x-c$（可控），另一个因子的绝对值被 $1$ 卡住（一致有界）。于是乘积被”$2\times$（可控量）$\times1$”控制住，而可控量 $\vert \sin((x-c)/2)\vert $ 又被 $\vert x-c\vert /2$ 控制。三块拼起来恰好给出 $\vert x-c\vert $，于是 $\delta=\epsilon$ 就够了。

这个”拆成一个可控因子乘一个一致有界因子“的结构，与 Lecture 8 证明乘积极限 $\lim x_ny_n=xy$ 时把 $x_ny_n-xy$ 拆成 $(x_n-x)y_n+(y_n-y)x$、再用”$\{y_n\}$ 有界”吸收掉 $\vert x_n-x\vert $ 前面的系数，是同一个思想。请看下表对照：

• 逐步推导：

  1. 设 $c\in\mathbb{R}$ 任意固定。（依据：要证在每一点连续，即 $\forall c$）
  2. 设 $\epsilon>0$。（依据：$\forall\epsilon>0\exists\delta$）
  3. 取 $\delta=\epsilon$。（依据：构造；注意这个 $\delta$ 不依赖 $c$，这是后面要强调的）
  4. 设 $x\in\mathbb{R}$ 且 $\vert x-c\vert <\delta$。（依据：连续性定义的条件部分）
  5. 和差化积：由引理 15.A 事实 4，取 $a=x,\ b=c$： \(\sin x-\sin c=2\sin\!\left(\frac{x-c}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x+c}{2}\right).\) （依据：和差化积公式）
  6. 取绝对值（利用 $\vert uv\vert =\vert u\vert \vert v\vert $，源文件 Lecture 5 Theorem 50(3)）： \(\vert \sin x-\sin c\vert =\left\vert 2\sin\!\left(\frac{x-c}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x+c}{2}\right)\right\vert =2\left\vert \sin\!\left(\frac{x-c}{2}\right)\right\vert \cdot\left\vert \cos\!\left(\frac{x+c}{2}\right)\right\vert .\) （依据：绝对值的乘法性质）
  7. 下界界住余弦因子：对任意实数 $u=\frac{x+c}{2}$，由引理 15.A 事实 1， \(\left\vert \cos\!\left(\frac{x+c}{2}\right)\right\vert \le1 .\) （依据：$\vert \cos u\vert \le1$）
  8. 界住正弦因子：对 $u=\frac{x-c}{2}$，由引理 15.A 事实 2， \(\left\vert \sin\!\left(\frac{x-c}{2}\right)\right\vert \le\left\vert \frac{x-c}{2}\right\vert =\frac{\vert x-c\vert }{2}.\) （依据：$\vert \sin u\vert \le\vert u\vert $）
  9. 合并第 6–8 步： \(\vert \sin x-\sin c\vert \le2\cdot\frac{\vert x-c\vert }{2}\cdot1=\vert x-c\vert .\) （依据：第 7、8 步代入第 6 步；乘法的不等式保序性，因为两个因子都非负）
  10. 代入 $\delta$：$\vert x-c\vert <\delta=\epsilon$。（依据：第 3、4 步）
  11. 故 $\vert \sin x-\sin c\vert <\epsilon$。（依据：第 9、10 步的传递性）
  12. 由于 $c$ 任意，$\sin$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。$\blacksquare$

  源文件此处写作 \(\vert \sin x-\sin c\vert =2\left\vert \sin\frac{x-c}{2}\cos\frac{x+c}{2}\right\vert \le2\left\vert \sin\frac{x-c}{2}\right\vert \le2\frac{\vert x-c\vert }{2}=\vert x-c\vert <\delta=\epsilon .\) 中间的第二步（丢掉 $\vert \cos\vert $ 因子）用的就是 $\vert \cos\vert \le1$，第三步用的就是 $\vert \sin u\vert \le\vert u\vert $。与上面第 6–9 步完全一致，只是省略了拆开写的中间量。

  (2) $\cos$ 的连续性——源文件的路线（用复合 + 序列刻画）。

  1. 回忆恒等式 $\forall x\in\mathbb{R}$，$\cos x=\sin(x+\pi/2)$。（依据：单位圆定义）
  2. 设 $c\in\mathbb{R}$，设 $\{x_n\}$ 满足 $x_n\to c$。（依据：准备使用序列刻画 Theorem 171(3)）
  3. 由收敛序列的加法律（Lecture 8），$x_n+\pi/2\to c+\pi/2$。（依据：$\lim(x_n+a)=\lim x_n+a$）
  4. 第 1 步已证 $\sin$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，故由序列刻画， \(\lim_{n\to\infty}\sin\!\left(x_n+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(c+\frac{\pi}{2}\right).\) （依据：Theorem 171(3) 的正向）
  5. 于是 \(\lim_{n\to\infty}\cos x_n=\lim_{n\to\infty}\sin\!\left(x_n+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(c+\frac{\pi}{2}\right)=\cos c .\) （依据：第 1、3、4 步）
  6. 由序列刻画（Theorem 171(3) 的反向），$\cos$ 在 $c$ 连续；$c$ 任意，故 $\cos$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。$\blacksquare$

  (3) $\cos$ 的连续性——直接的和差化积路线（补充写法，与原路线等价）。

  1. 设 $c\in\mathbb{R}$，$\epsilon>0$，取 $\delta=\epsilon$。（依据：构造）
  2. 设 $\vert x-c\vert <\delta$。由补充推论 2， \(\cos x-\cos c=-2\sin\!\left(\frac{x+c}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-c}{2}\right).\) （依据：补充推论 2）
  3. 取绝对值并用 $\vert {-1}\vert =1$、$\vert uv\vert =\vert u\vert \vert v\vert $： \(\vert \cos x-\cos c\vert =2\left\vert \sin\!\left(\frac{x+c}{2}\right)\right\vert \cdot\left\vert \sin\!\left(\frac{x-c}{2}\right)\right\vert .\) （依据：绝对值的乘法性质，Lecture 5 Theorem 50(2)(3)）
  4. 由 $\vert \sin u\vert \le1$（引理 15.A 事实 1）与 $\vert \sin u\vert \le\vert u\vert $（事实 2）： \(\vert \cos x-\cos c\vert \le2\cdot1\cdot\frac{\vert x-c\vert }{2}=\vert x-c\vert <\delta=\epsilon .\) （依据：与 $\sin$ 的情形完全平行的两步估计）
  5. 故 $\cos$ 在 $c$ 连续，$c$ 任意故在 $\mathbb{R}$ 上连续。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】 这个证明的”灵光一现”在于：我们不必知道 $\sin$ 具体是多少，只需要知道它”差得不多”。而”差得不多”的信息恰好可以被和差化积打包成”一半的差角”——角减半是个压缩动作，$\vert x-c\vert $ 变成 $\vert x-c\vert /2$，再乘上前面的系数 $2$ 恰好抵消，只剩下 $\cos$ 因子需要被封顶，而它的封顶值是现成的 $1$。

  如果你要自己重新发明它，思考路径是这样的：

  “我要估 $\vert \sin x-\sin c\vert $。$\sin$ 没有代数表达式，但我有一堆恒等式。哪个恒等式能把差变成乘积？——和差化积。为什么我要乘积？因为我需要其中一个因子随 $x\to c$ 变小，另一个因子不随 $x$ 乱跑。$\sin((x-c)/2)$ 随 $x\to c$ 变小，$\cos((x+c)/2)$ 反正有界。完美。”

  这正是“小 × 有界 = 小”这条黄金法则的又一次胜利。请把这条法则背下来，它在 Lecture 8（乘积极限）、Lecture 15（三角函数连续）、Lecture 21（黎曼积分估计）、Lecture 24（Weierstrass M-判别法）里会以不同面目反复出现。

  下面是这个证明的分解结构图——把 $\vert \sin x-\sin c\vert $ 看成两棵”因子树”，一棵负责变小，一棵负责封顶：

   |sin x - sin c|
          |
          |  和差化积（引理 15.A 事实 4）
          v
   2 · | sin((x-c)/2) | · | cos((x+c)/2) |
        \_______/          \________/
            |                   |
   "可控因子"（随 x→c 变小）  "有界因子"（被 1 封顶）
            |                   |
   |sin u| <= |u|          |cos u| <= 1
            |                   |
            v                   v
        |x-c| / 2              1
            \_______  _______/
                    \/
   2 · (|x-c|/2) · 1  =  |x-c|   <  delta = epsilon
                             ^         ^
                             |         |
                  连续性定义的条件    我们选的 δ（不依赖 c！）

   与 Lecture 8 乘积极限证明的同构关系：
     |x_n y_n - x y| = |(x_n-x) y_n + (y_n-y) x|
                        \_____/   \__/   \_____/  \_/
                        可控       有界    可控     有界
                        （→0）   （|y_n|≤B）（→0） （|x|固定）
   ---------------------------------------------------------
   共同骨架：把目标量拆成一个"会变小的因子"×"被封顶的因子"，
             再乘上一个常数。变小的部分负责吃掉 epsilon，
             有界的部分保证它不会被放大到失控。

另一个值得注意的机制是源文件处理 $\cos$ 的方式：它没有重新做一遍估计，而是用 $\cos x=\sin(x+\pi/2)$ 把一个新问题归约到一个旧问题。这是数学中最高效的思维模式——“能不能不改证明，只改问题？”

• 【证明技巧总结】
  1. “和差化积”：证三角函数的连续性 = 和差化积 + 把 $\vert \sin u\vert \le\vert u\vert $ 用上。$\sin$ 与 $\cos$ 各自走一遍（或把 $\cos$ 归约到 $\sin$）。
  2. “小 × 有界”：$2\left\vert \sin\frac{x-c}{2}\right\vert \left\vert \cos\frac{x+c}{2}\right\vert \le 2\cdot\frac{\vert x-c\vert }{2}\cdot1$。与 Lecture 8 乘积极限同构。
  3. ”$\delta=\epsilon$ 而且不依赖 $c$”：算出来的 $\delta$ 恰好只含 $\epsilon$。这不是巧合，而是副产品——Lipschitz 连续性。
  4. “归约而非重做”：$\cos x=\sin(x+\pi/2)$ 让 $\cos$ 的结果免费得到。
  5. “序列刻画搬运加法律”：$x_n\to c\Rightarrow x_n+a\to c+a$ 用的是 Lecture 8 的序列极限运算，而不是 $\epsilon$-$\delta$。

• 【副产品：Lipschitz 连续（前向引用）】 第 9 步给出的是更强的结论： \(\vert \sin x-\sin c\vert \le 1\cdot\vert x-c\vert \quad\text{与}\quad\vert \cos x-\cos c\vert \le1\cdot\vert x-c\vert ,\qquad \forall x,c\in\mathbb{R}.\) 也就是说 $\sin$ 与 $\cos$ 都是 Lipschitz 连续 的，Lipschitz 常数 $L=1$。这件事将在下面几处被反复使用：

  • Lecture 17：一致连续 (uniform continuity) 的正式定义要求 $\delta$ 不许依赖 $c$，而本讲的 $\delta=\epsilon$ 已经满足这一点；
  • Assignment 9 第 4 题：Lipschitz $\Rightarrow$ 一致连续，取 $\delta=\epsilon/L$；
  • Assignment 9 第 5(a) 题：”Prove that $f(x)=\cos x$ is Lipschitz continuous on $\mathbb{R}$” —— 正是本讲的副产品。

现在就把它记下来：本讲顺手证明了 Assignment 9 第 5(a) 题。

定理 173（多项式处处连续；源文件 Theorem 173）

• 定理陈述：设 $f$ 是多项式，即 $f(x)=a_dx^d+\cdots+a_1x+a_0$（$a_0,\dots,a_d\in\mathbb{R}$，$d\in\mathbb{N}\cup\{0\}$）。则 $f$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上连续。

• 证明策略：不再做任何估计，而是把多项式看成”常数函数与恒等函数的反复乘加”，然后用序列刻画 + Lecture 8 的极限运算法则一次性升级。这是”拼装式证明“的第一次示范。

• 逐步推导：
  1. 设 $c\in\mathbb{R}$，设 $\{x_n\}$ 满足 $x_n\to c$。（依据：准备用序列刻画 Theorem 171(3)）
  2. 由 Lecture 8 中”$\lim x_n^k=(\lim x_n)^k$”（可由乘法律对 $k$ 归纳证明），$\forall k$，$x_n^k\to c^k$。（依据：序列乘法的归纳）
  3. 由数乘法则，$a_kx_n^k\to a_kc^k$。（依据：Lecture 8 数乘法则）
  4. 由加法律（对有限项反复使用）， \(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}\left(a_dx_n^d+\cdots+a_1x_n+a_0\right)=a_dc^d+\cdots+a_1c+a_0=f(c).\) （依据：Lecture 8 极限的加法与数乘法则，有限次使用）
  5. 由序列刻画，$f$ 在 $c$ 连续；$c$ 任意，故 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】 源文件此处跳过了”$x_n^k\to c^k$”的说明，直接写 $\lim(a_dx_n^d+\cdots)=a_d(\lim x_n)^d+\cdots$。这一步用到的正是 Lecture 8 建立的极限四则运算。要注意的是：“有限次”这个限定是必需的。若求和有无穷多项，加法律不保证可以搬进极限里面——这正是 Lecture 24 要花整讲讨论的”极限能否交换”问题。

• 【证明技巧总结】
  1. “把函数表达式翻译成一串极限运算”：多项式 = 有限次加法 + 乘法 + 数乘，每一种都在 Lecture 8 里被证明过对极限兼容。
  2. “有限 vs 无限是分水岭”：四则运算可以搬进极限，是因为只用有限次；无限次的和需要一致收敛（Lecture 24）。

定理 174（连续函数的和、积、商；源文件 Theorem 174）

• 定理陈述：若 $f:S\to\mathbb{R}$、$g:S\to\mathbb{R}$ 在 $c\in S$ 连续，则
  1. $f+g$ 在 $c$ 连续；
  2. $f\cdot g$ 在 $c$ 连续；
  3. 且若 $\forall x\in S,\ g(x)\neq0$，则 $\dfrac{f}{g}$ 在 $c$ 连续。

• 证明策略：源文件写”These proofs are left to the reader”（留给读者）。方法是序列刻画 + Lecture 8 的相应法则，逐条照搬。下面补全。

• 逐步推导：
  1. 设 $\{x_n\}$ 满足 $x_n\in S$、$x_n\to c$。（依据：序列刻画）
  2. 由 $f,g$ 在 $c$ 连续及 Theorem 171(3)：$f(x_n)\to f(c)$ 且 $g(x_n)\to g(c)$。（依据：Theorem 171(3) 正向）
  3. 第 1 条：由 Lecture 8 加法律，$(f+g)(x_n)=f(x_n)+g(x_n)\to f(c)+g(c)=(f+g)(c)$。再由 Theorem 171(3) 反向得 $f+g$ 在 $c$ 连续。$\blacksquare$
  4. 第 2 条：由 Lecture 8 乘法律，$(f\cdot g)(x_n)=f(x_n)g(x_n)\to f(c)g(c)=(f\cdot g)(c)$。再由 Theorem 171(3) 反向得结论。$\blacksquare$
  5. 第 3 条：由假设 $g(c)\neq0$（因 $c\in S$ 且 $g$ 处处非零），且 $g(x_n)\neq0$ 对全体 $n$。由 Lecture 8 除法律（其条件正是 $y\neq0$ 且 $y_n\neq0$）， \(\left(\frac fg\right)(x_n)=\frac{f(x_n)}{g(x_n)}\to\frac{f(c)}{g(c)}=\left(\frac fg\right)(c).\) 再由 Theorem 171(3) 反向得结论。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】 这里的”读者作业”之所以简单，是因为连续性的序列刻画把所有工作外包给了 Lecture 8。如果不用序列刻画，你要面对的是”给定 $\epsilon$ 找 $\delta$”，还要处理 $\vert f(x)g(x)-f(c)g(c)\vert $ 的”加一项减一项”——那是 Lecture 8 已经做过一遍的苦活。Theorem 171(3) 的全部价值，就是让连续性的证明可以复用序列极限的证明。

• 【证明技巧总结】
  1. “连续性的代数运算 = 序列极限的代数运算 + 序列刻画”——两行搞定。
  2. 商的情形必须检查分母：既要有 $g(c)\neq0$，也要有 $g(x_n)\neq0$。源文件在第 3 条里明确写了假设 $\forall x\in S,\ g(x)\neq0$，正是为了喂饱 Lecture 8 除法律的两个前提。

定理 175（复合保持连续；源文件 Theorem 175）

• 定理陈述：设 $A,B\subset\mathbb{R}$，$f:B\to\mathbb{R}$，$g:A\to B$。若 $g$ 在 $c\in A$ 连续且 $f$ 在 $g(c)\in B$ 连续，则 $f\circ g$ 在 $c$ 连续。

• 证明策略：这是序列刻画的”三行证明”典范：$x_n\to c$ 推 $g(x_n)\to g(c)$，再推 $f(g(x_n))\to f(g(c))$。

• 逐步推导：
  1. 设 $\{x_n\}$ 满足 $x_n\in A$、$x_n\to c$。（依据：序列刻画）
  2. 由 $g$ 在 $c$ 连续及 Theorem 171(3)：$g(x_n)\to g(c)$。（依据：Theorem 171(3) 正向）
  3. 注意 $g(x_n)\in B$ 且 $g(c)\in B$，且 $f$ 在 $g(c)$ 连续，故由 Theorem 171(3) 正向：$f(g(x_n))\to f(g(c))$。（依据：Theorem 171(3) 正向，应用于以 $g(c)$ 为极限的序列 $\{g(x_n)\}$）
  4. 于是 $(f\circ g)(x_n)\to(f\circ g)(c)$；由 Theorem 171(3) 反向，$f\circ g$ 在 $c$ 连续。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】 这个证明看起来”什么都没做”，其实它示范了复合的传递性：连续性像接力棒一样穿过两层函数。源文件只用了两行，因为序列刻画把”$\epsilon$-$\delta$ 的两级嵌套”（这一般是复合证明中最容易出错的地方）完全藏进了定理 171。这正是抽象的价值：一旦定理被证明，后续使用就变得平凡。

• 【证明技巧总结】
  1. “$g(x_n)$ 当作新序列”：复合的序列证明只需把中间序列看成”下一段推理的输入序列”。
  2. “链条式传递”：连续 $\to$ 连续 $\to$ 连续，每一步都调用同一个定理。

例 176（用拼装法免去 $\epsilon$-$\delta$ 大证明；源文件 Example 176）

• 例 176(i)：$\dfrac{1}{x^2}$ 在 $(0,\infty)$ 上连续。 推导：$g(x)=x^2$ 是多项式，由 Theorem 173 在 $\mathbb{R}$ 上连续，特别在 $(0,\infty)$ 上连续；在 $(0,\infty)$ 上 $g(x)=x^2\neq0$；由 Theorem 174(3)，$\frac1g(x)=\frac1{x^2}$ 在 $(0,\infty)$ 上连续。$\blacksquare$

• 例 176(ii)：$\left(\cos\dfrac1{x^2}\right)^2$ 在 $(0,\infty)$ 上连续。 推导：设 $h(x)=1/x^2$，由 (i) 在 $(0,\infty)$ 连续；$\cos$ 由 Theorem 172 在 $\mathbb{R}$ 上连续。它们的复合 $k(x)=\cos(1/x^2)$ 由 Theorem 175 在 $(0,\infty)$ 上连续。再由 Theorem 174(2)，$k^2(x)=\left(\cos\frac1{x^2}\right)^2$ 在 $(0,\infty)$ 上连续。$\blacksquare$ 对照：若直接从定义出发，你需要对每个 $c>0$ 估计 $\left\vert \cos\frac1{x^2}-\cos\frac1{c^2}\right\vert $ 并凑出一个 $\delta$（实际上由 $\vert \cos u-\cos v\vert \le\vert u-v\vert $ 与 $\left\vert \frac1{x^2}-\frac1{c^2}\right\vert =\frac{\vert x-c\vert \vert x+c\vert }{x^2c^2}$ 配合 $\min\{\cdots\}$ 技巧可以做到，但明显更繁琐）。这就是”定理拼装”的威力。

• 【证明机制解说】 Example 176 的存在本身就是本讲的教学信息：Lecture 13–14 花了大力气把 $\epsilon$-$\delta$ 一砖一瓦砌好；Lecture 15 起，你要开始住进这栋房子，而不是继续搬砖。

问题 177（源文件 Question 177）

“Let $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be a function. Does there exists a point $c\in\mathbb{R}$ such that $f$ is continuous at $c$?”

源文件紧接着用 Theorem 178 给出答案：不一定存在。这个提问的作用是制造张力——在直觉上，”函数”似乎总该有点连续的地方（哪怕是分段函数也只在”接缝”处断）。Dirichlet 函数把这个直觉击碎。

定理 178（Dirichlet 函数处处不连续；源文件 Theorem 178）

• 定理陈述：函数 \(f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\0,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{cases}\) 在 $\mathbb{R}$ 上并非处处连续。（源文件的措辞是 “is not continuous on all of $\mathbb{R}$”；但下面给出的证明实际上给出了更强的结论：$f$ 在每一个 $c\in\mathbb{R}$ 处都不连续。）这个函数被称为 Dirichlet 函数。

• 证明策略：用序列刻画（Theorem 171(3) 的逆向使用）+ 稠密性（Lecture 5 Theorem 43）。要对每个 $c$ 制造一条 $x_n\to c$ 但 $f(x_n)\not\to f(c)$ 的序列。武器是：$c$ 附近永远有理数，也永远有无理数。因此分成两个情形：

  • 若 $c$ 是有理点，就朝它逼近一列无理数：这些点的函数值恒为 $0$，而 $f(c)=1$；
  • 若 $c$ 是无理点，就朝它逼近一列有理数：这些点的函数值恒为 $1$，而 $f(c)=0$。

  两种情形都会得到”像序列的极限 $\neq f(c)$”，于是违反 Theorem 171(3)。

  【关于稠密性的引用与源文件的排版说明】 源文件直接写 “For each $n\in\mathbb{N}$, $\exists x_n\notin\mathbb{Q}$ such that $c<x_n<c+1/n$”，没有解释存在性。它的依据是：

  • 有理数稠密性：Lecture 5 Theorem 43(ii)——”If $x,y\in\mathbb{R}$ and $x<y$ then $\exists r\in\mathbb{Q}$ such that $x<r<y$”；
  • 无理数稠密性：Assignment 3 第 1 题——”Suppose $x,y\in\mathbb{R}$ and $x<y$. Prove that there exists $i\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ such that $x<i<y$”。

  有了这两条，取 $x=c$、$y=c+1/n$ 即可得 $x_n\in(c,c+1/n)$ 且具有所需的有理/无理属性。

  【源文件的一处笔误，必须提醒】 提取出的源文件在证明两个情形时把函数值写反了：情形 1（$c\in\mathbb{Q}$）写成 “$\exists x_n\notin\mathbb{Q}$ … but $f(x_n)=1$ for all $n$ so $1=\lim f(x_n)\neq f(c)=0$”；情形 2（$c\notin\mathbb{Q}$）写成 “$\exists x_n\in\mathbb{Q}$ … $f(x_n)=0$ … $0=\lim f(x_n)\neq f(c)=1$”。按定义，有理点处函数值为 $1$，无理点处为 $0$，所以这两句里的 $1$ 与 $0$ 恰好互换。下面给出修正后的证明。笔误不影响结论（两个情形照样各自矛盾），但读者若照着原文字面抄写会写出自相矛盾的句子，特此标注。

• 逐步推导：

  1. 设 $c\in\mathbb{R}$ 任意。（依据：要证”在每一点都不连续”）
  2. 情形 A：$c\in\mathbb{Q}$。
     1. 对每个 $n\in\mathbb{N}$，区间 $(c,\ c+1/n)$ 非空。由无理数稠密性（Assignment 3 第 1 题），$\exists x_n\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ 使得 $c<x_n<c+1/n$。（依据：无理数稠密性）
     2. 由 $f$ 的定义，$f(x_n)=0$ 对全体 $n$ 成立。（依据：$x_n\notin\mathbb{Q}$）
     3. $0<x_n-c<1/n$，故 $\vert x_n-c\vert <1/n$。因 $1/n\to0$，由夹逼定理 $x_n\to c$。（依据：夹逼定理，Lecture 8 Theorem 82）
     4. 若 $f$ 在 $c$ 连续，则由 Theorem 171(3)，$f(x_n)\to f(c)$。但 $f(x_n)\equiv0$，故 $f(x_n)\to0$；而 $f(c)=1$（因 $c\in\mathbb{Q}$）。于是由极限的唯一性（Lecture 6）必须 $0=1$，矛盾。（依据：Theorem 171(3) + 极限唯一性）
     5. 故 $f$ 在 $c$ 不连续。$\blacksquare$
  3. 情形 B：$c\notin\mathbb{Q}$。
     1. 对每个 $n\in\mathbb{N}$，由有理数稠密性（Lecture 5 Theorem 43(ii)），$\exists x_n\in\mathbb{Q}$ 使得 $c<x_n<c+1/n$。（依据：$\mathbb{Q}$ 稠密性）
     2. 由 $f$ 的定义，$f(x_n)=1$ 对全体 $n$ 成立。（依据：$x_n\in\mathbb{Q}$）
     3. 同上，$x_n\to c$。（依据：夹逼定理）
     4. 若 $f$ 在 $c$ 连续，则由 Theorem 171(3)，$f(x_n)\to f(c)$。但 $f(x_n)\equiv1$，故 $f(x_n)\to1$；而 $f(c)=0$（因 $c\notin\mathbb{Q}$）。于是必须 $1=0$，矛盾。（依据：Theorem 171(3) + 极限唯一性）
     5. 故 $f$ 在 $c$ 不连续。$\blacksquare$
  4. 两种情形穷尽了 $c\in\mathbb{R}$ 的所有可能（$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$，且两者不交），故 $f$ 在每一个 $c\in\mathbb{R}$ 处都不连续。$\blacksquare$
• 用 $\epsilon$-$\delta$ 语言重述同一个结论（补充，等价写法）：对任意 $c$ 与任意 $\delta>0$，
  • 在 $(c-\delta,c+\delta)$ 中取一个有理点 $q$，则 $\vert q-c\vert <\delta$ 但 $\vert f(q)-f(c)\vert $ 等于 $1$ 或 $0$；
  • 再取一个无理点 $i$，则 $\vert i-c\vert <\delta$ 但 $\vert f(i)-f(c)\vert $ 等于另一个值；
  • 于是 $\max\{\vert f(q)-f(c)\vert ,\ \vert f(i)-f(c)\vert \}=1$。

  换句话说，取 $\epsilon_0=1$ 就在每个点上都成立（”坏的 $\epsilon_0$”可以选得与 $c$ 无关！）： \(\forall c\in\mathbb{R},\ \ \exists\epsilon_0=1\ \ \text{使得}\ \ \forall\delta>0\ \exists x\in\mathbb{R}:\ \ \vert x-c\vert <\delta\ \ \text{且}\ \ \vert f(x)-f(c)\vert \ge1 .\) 数值验证（python3）：取 $c=\sqrt2$，$\delta=0.001$ 时 $140/99$ 满足 $\vert 140/99-\sqrt2\vert =7.2148\times10^{-5}<0.001$ 且 $\vert f(140/99)-f(\sqrt2)\vert =\vert 1-0\vert =1\ge\epsilon_0$；取 $\delta=10^{-6}$ 时 $1393/985$ 满足 $\vert 1393/985-\sqrt2\vert =3.6440\times10^{-7}<10^{-6}$，同样 $\vert f(1393/985)-f(\sqrt2)\vert =1$。✓

• 【证明机制解说】 为什么这个函数如此重要？三个层面：

  1. 它是”反例工厂”（counterexample factory）。数学史上一大批重要概念都是被病态函数逼出来的：Dirichlet 函数在 Lecture 21 的语境下不是黎曼可积的（因为上和与下和的差恒为区间长度，无法被压到任意小——这一结论请以 Lecture 21 的正式内容为准，此处仅作前向提示）；它也没有原函数（在任何区间上都不满足达布性质）；它是”不连续点集可以极其庞大”的最极端例子。更重要的是，它证明了一个逻辑事实：“函数处处不连续”是可以实现的，因此”连续”是一个真正的限制，不是自动成立的性质。这就是 Question 177 的答案。
  2. 它是”稠密性是关键武器”的展示台。整个证明只用了一件事：$\mathbb{Q}$ 与 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ 都在 $\mathbb{R}$ 中稠密（Lecture 5 Theorem 43(ii) 与 Assignment 3 第 1 题）。如果把定义域换成 $\mathbb{Z}$，$f$ 会在每一点都连续（因为 $\mathbb{Z}$ 的点都是孤立点，Theorem 171(1) 直接给出连续性）。同一个公式，换一个定义域，连续性彻底反转。
  3. 它是”序列刻画比 $\epsilon$-$\delta$ 更好用”的实证。用 $\epsilon$-$\delta$ 写这个证明，你要反复做”取点 $q\in(c-\delta,c+\delta)\cap\mathbb{Q}$”这种操作；用序列刻画，你只需要”造一条序列，它的像序列有错误的极限”，一切矛盾由极限唯一性（Lecture 6）自动完成。这种”用唯一性制造矛盾”的模式，是本讲最值得带走的证明范式。

  如果你要自己重新发明这个证明，思路是：

  “我要让 $f$ 在每个点都不连续。连续要求’输入靠近 $\Rightarrow$ 输出靠近’。这里的输出只有两个可能值 $0,1$，任何跨越它们的变化都是距离 $1$ 的大变化。所以我只要保证：在 $c$ 的任意小邻域里，$f$ 同时取到 $0$ 和 $1$。而在实数轴上，任意小邻域里同时有有理数和无理数——这正是稠密性。”

• 【证明技巧总结】
  1. “两类别 + 互相逼近”：把点按属性分成两类（有理／无理），每类都用对方的序列去逼近，得到”值不动、位置在动”的像序列。
  2. “取 $\epsilon_0=1$”：当一个函数的取值集合是 $\{0,1\}$ 时，最自然的”坏预算”就是 $1$。
  3. “用极限唯一性制造矛盾”：$f(x_n)\to0$ 与 $f(x_n)\to1$ 不能同真。
  4. “稠密性 = 无处可逃”：只要某个集合在两个互补方向上稠密，任何邻域都会露出它的成员。这个模式在 Lecture 16（介值定理的证明里用中点的两侧取点）和 Lecture 21 都会重现。

补充例 15.B（Dirichlet 函数的两个经典变体）

【补充】 源文件没有包含这两个变体，但它们与 Theorem 178 是同一思想的延伸，且Assignment 8 第 2 题与Assignment 8 第 3 题（Exercise 3.2.11）正好在这个主题上训练，所以在此给出，并标明为补充。

变体一（Assignment 8 第 2 题，源文件作业原文） \(f(x)=\begin{cases}0,&x\in\mathbb{Q}\\2x,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}\)

• 结论：$f$ 在 $x=0$ 连续，在 $x=1$ 不连续。
• $x=0$ 连续性的完整证明（$\epsilon$-$\delta$ 直接做法）：
  1. 设 $\epsilon>0$，取 $\delta=\epsilon/2$。（依据：构造，我们要用 $\vert 2x\vert =2\vert x\vert $ 的形式）
  2. 设 $\vert x-0\vert <\delta$。分两种情形：
     • 若 $x\in\mathbb{Q}$：$\vert f(x)-f(0)\vert =\vert 0-0\vert =0<\epsilon$。
     • 若 $x\notin\mathbb{Q}$：$\vert f(x)-f(0)\vert =\vert 2x-0\vert =2\vert x\vert <2\delta=\epsilon$。
  3. 两种情形都有 $\vert f(x)-f(0)\vert <\epsilon$，故 $f$ 在 $0$ 连续。$\blacksquare$ 具体数字验算：$\epsilon=0.01\Rightarrow\delta=0.005$。取 $x=0.0049$（无理数，例如 $0.0049$ 的小数有限展开是有理数——严格地说我们应取 $x=0.0049+\sqrt2\times10^{-9}$ 之类的无理数；数值上 $\vert f(x)-0\vert =2\times0.0049=0.0098<0.01$ ✓）。取 $x=0.001$ 时 $\vert f(x)\vert =0.002<0.01$ ✓。（python3 验算：2*0.0049=0.0098，2*0.001=0.002。）
• $x=1$ 不连续的证明（序列刻画）：
  1. 对每个 $n$，由无理数稠密性取 $x_n\notin\mathbb{Q}$ 满足 $1<x_n<1+1/n$。（依据：Assignment 3 第 1 题）
  2. 则 $x_n\to1$ 而 $f(x_n)=2x_n\to2$。（依据：夹逼 + Lecture 8 数乘法则）
  3. 但 $f(1)=0$（因 $1\in\mathbb{Q}$）。若 $f$ 在 $1$ 连续，由 Theorem 171(3) 须有 $2=f(1)=0$，矛盾。（依据：Theorem 171(3) + 极限唯一性）
  4. 故 $f$ 在 $1$ 不连续。$\blacksquare$
• 【机制解说】 连续性要求两个分支在 $c$ 处会师：$0=c$ 的”有理分支值”与”无理分支极限值 $2c$”必须相等。$0=2\cdot0$ 成立，$0\neq2\cdot1$ 不成立。这正是 Dirichlet 函数”处处断”的量化原因：它的两个分支在每一点都差 $1$。

变体二（Thomae 函数 / 爆米花函数，popcorn function） \(T(x)=\begin{cases}\dfrac1q,&x=\dfrac pq\ \text{为既约分数},\ q>0\\[4pt]0,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}\)

• 结论：$T$ 在每个无理点连续，在每个有理点不连续。这是”不连续点集可以是可数稠密集“的经典例子——与 Dirichlet 函数（处处不连续）形成鲜明对照。
• 证明思路（无理点 $c$ 处连续）：
  1. 设 $\epsilon>0$，取 $Q=\lceil1/\epsilon\rceil$（即分母 $q\le Q$ 时 $1/q\ge\epsilon$）。（依据：Archimedes 性质）
  2. 分母 $\le Q$ 的有理数在 $c$ 的某个有限邻域内只有有限多个（因为固定分母 $q$ 时，$c$ 附近最多 $1$ 个这样的点）。设它们中离 $c$ 最近的距离为 $d>0$（因 $c$ 无理，$d>0$）。（依据：有限集有最小值）
  3. 取 $\delta=d$。若 $\vert x-c\vert <\delta$ 且 $x$ 是有理数 $p/q$（既约），则必须 $q>Q$，故 $\vert T(x)-T(c)\vert =1/q<1/Q\le\epsilon$；若 $x$ 无理，则 $\vert T(x)-T(c)\vert =0<\epsilon$。（依据：构造）
  4. 故 $T$ 在无理点 $c$ 连续。$\blacksquare$ 数值核对（python3）：取 $c=\sqrt2$，$\epsilon=0.1\Rightarrow Q=10$；在 $c$ 附近分母 $\le10$ 的最近有理数是 $7/5=1.4$，距离 $0.014214$；在 $(1.41,1.42)$ 内分母 $\le10$ 的有理数个数为 $0$。$\epsilon=0.01\Rightarrow Q=100$，最近的是 $140/99$，距离 $7.215\times10^{-5}$。可见 $\delta$ 随 $\epsilon\to0$ 缩小，但始终为正——这正是连续性的要求。
• 证明思路（有理点 $c=p/q$ 处不连续）：取一列无理数 $i_n\to c$，则 $T(i_n)=0\to0$ 而 $T(c)=1/q>0$；由 Theorem 171(3) 与极限唯一性得矛盾。（依据：不变性同 Theorem 178 情形 A）
• 【为什么这个例子值得记住】 它说明”不连续点集的大小“是一个真正的分析概念：Dirichlet 函数的不连续点集是整个 $\mathbb{R}$（不可数），而 Thomae 函数的不连续点集是 $\mathbb{Q}$（可数）。Lebesgue 的判据（黎曼可积 $\iff$ 不连续点集是零测集）正是在这类例子的推动下产生的——这属于第二卷的内容，此处仅作提示。

补充例 15.C（三类间断点的验证）

【补充】 前面已给出三类间断点的定义表，这里补上每类的完整验证。

（1）可去间断：源文件 Lecture 14 Example 169 的 \(f(x)=\begin{cases}1,&x\neq0\\2,&x=0\end{cases}\) 在 $c=0$ 处：$\lim_{x\to0}f(x)=1$ 存在，但 $f(0)=2\neq1$。故 $0$ 是可去间断点。 验证极限为 $1$：设 $\epsilon>0$，取 $\delta=1$（任何正数都行）。若 $0<\vert x-0\vert <1$，则 $x\neq0$，故 $\vert f(x)-1\vert =\vert 1-1\vert =0<\epsilon$。✓ 注意：如果把 $f(0)$ 改成 $1$，函数立刻在 $0$ 连续——这就是”可去”的含义。

（2）跳跃间断：源文件 Lecture 14 Example 165 的 \(f(x)=\begin{cases}1,&x>0\\0,&x<0\end{cases}\) 在 $c=0$ 处：由源文件 Definition 161/163 与 Example 165，$\lim_{x\to0^-}f(x)=0$ 而 $\lim_{x\to0^+}f(x)=1$；由 Theorem 166，两个单侧极限不等故 $\lim_{x\to0}f(x)$ 不存在，$f$ 在 $0$ 不连续。两极限都存在但不等，故为跳跃间断。 用序列验证：取 $x_n=1/n\to0^+$，$f(x_n)=1\to1$；取 $y_n=-1/n\to0^-$，$f(y_n)=0\to0$。若 $f$ 在 $0$ 连续则两条像序列须同趋于 $f(0)$，不可能。

（3）本质间断：$f(x)=\sin(1/x)$（$x\neq0$），$f(0)=0$，在 $c=0$ 处。 证明：取 $x_n=\dfrac{1}{\pi/2+2\pi n}$，则 $x_n\to0^+$ 且 $f(x_n)=\sin(\pi/2+2\pi n)=1$ 对全体 $n$ 成立。若 $f$ 在 $0$ 连续，须 $1=f(0)=0$，矛盾。故右极限不存在，为本质间断。 数值验证（python3）：$x_0=0.63661977,\ x_1=0.12732395,\ x_2=0.07073553,\ x_3=0.04897075$，对应的 $\sin(1/x_n)$ 全部等于 $1.0000000000$。✓ 另一个本质间断的例子：若把 Dirichlet 函数在某点考察，其两个单侧极限都不存在（因为每个单侧邻域里都有理数与无理数），故也是本质间断——只不过它”处处”都是本质间断。

补充讨论 15.D（$\lim_{x\to0}\sin x=0$、$\lim_{x\to0}\cos x=1$ 与 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$）

【补充，并明确交代课程立场】 源文件 Lecture 15 没有讨论 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$。这个极限在 Assignment 11 第 3(a) 题（”Compute $\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}$”）与 Assignment 11 第 3(b) 题（”Compute $\lim_{x\to\pi/2}\frac{1-\sin x}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}$”）中作为计算题出现，而这两题依赖 Taylor 定理（Lecture 20–21），不是依赖面积不等式。

• 前两个极限是定理 172 的直接推论：由连续性定义，若 $f$ 在 $0$ 连续则 $\lim_{x\to0}f(x)=f(0)$。故 \(\lim_{x\to0}\sin x=\sin0=0,\qquad \lim_{x\to0}\cos x=\cos0=1 .\) （这里用了 $\sin0=0$、$\cos0=1$，属于引理 15.A 层面上”从单位圆定义可自由使用”的已知值。） $\epsilon$-$\delta$ 的显式版本：由 $\vert \sin x-\sin 0\vert \le\vert x-0\vert $，取 $\delta=\epsilon$ 即可。

• 关于 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$：经典的几何证明走”面积夹逼”路线： \(0<x<\frac{\pi}{2}\ \Longrightarrow\ \sin x<x<\tan x\ \Longrightarrow\ \cos x<\frac{\sin x}{x}<1 .\) 本课程在这一讲并未建立面积不等式 $\sin x<x<\tan x$；源文件 Theorem 172 只列出了较弱的 $\vert \sin x\vert \le\vert x\vert $。因此，在本课程体系里要说 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，更自然的路线是先建立 Taylor 展开 $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$（Lecture 20 Theorem 225 (Taylor)），再取极限。Assignment 11 第 3 题正是这条路线：它要求算 $\frac{x-\sin x}{x^3}$，答案 $1/6$ 来自 $\sin$ 的四阶（奇次到三次）Taylor 多项式 —— 数值核对（python3）：$x=0.1$ 时 $\frac{x-\sin x}{x^3}=0.16658335$，$x=0.01$ 时 $=0.16666583$，$x=0.001$ 时 $=0.16666666$，收敛到 $1/6=0.16666666\cdots$ ✓；而第 3(b) 题 $\lim_{x\to\pi/2}\frac{1-\sin x}{(x-\pi/2)^2}$ 的答案是 $1/2$（用 $\sin(\pi/2+h)=\cos h=1-\frac{h^2}{2}+O(h^4)$），数值核对：$h=0.1$ 时 $\frac{1-\sin(\pi/2+h)}{h^2}=0.49958347$，$h=0.01$ 时 $=0.49999583$，收敛到 $0.5$ ✓。所以：不要在本讲用面积不等式去”证明”这个极限，因为本课程尚未把它作为定理列出。

与教材的对应

• 对应 [JL] §3.1（Limits of functions）：该节的核心命题是
  • 聚点 (cluster point) 的定义与序列刻画（源文件 Lecture 13 Definition 148 / Theorem 149）；
  • 函数极限的 $\epsilon$-$\delta$ 定义与唯一性（源文件 Definition 150 / Theorem 152）；
  • $\S3.1.3$ 序列极限：函数极限的序列刻画——这是本讲 Theorem 171 第 2、3 部分的直接来源（源文件 Lecture 14 亦提示 “You may read the end of Section 3.1.3 [L] for this.”）；
  • $\S3.1.4$ Limits of restrictions and one-sided limits：单侧极限（源文件 Lecture 14 Definition 161/163/Theorem 166），本讲用它来讨论跳跃间断。
• 对应 [JL] §3.2（Continuous functions）：
  • $\S3.2.1$ Definition and basic properties：连续性的 $\epsilon$-$\delta$ 定义（源文件 Definition 167 = 教材 Definition 3.2.1）；连续性的基本性质（源文件 Theorem 171 = 教材 Proposition 3.2.2 的三条）。
  • $\S3.2.2$ Composition of continuous functions：复合的连续性（源文件 Theorem 175 = 教材 Theorem 3.2.7 的对应命题），以及连续函数四则运算（源文件 Theorem 174）。
  • $\S3.2.3$ Discontinuous functions：间断函数的例子，包含 Dirichlet 函数（源文件 Theorem 178）与可去间断的例子（教材 §3.2.3 讨论 removable discontinuity，源文件 Lecture 14 Example 169 是其对应）。
  • $\S3.2.4$ Exercises：见下面的作业对应。
• 对应 OCW Assignment 8（Reading Sections 3.1, 3.2）：
  1. Exercise 3.1.3 —— 练习 §3.1 的函数极限/聚点基础（给定题号，OCW 作业原文未附题干）。
  2. 第 2 题（原文）：”Let $f(x)=0$ if $x\in\mathbb{Q}$, $f(x)=2x$ if $x\notin\mathbb{Q}$. Prove that $f$ is continuous at $x=0$ and discontinuous at $x=1$.” —— 直接演练本讲 Theorem 178 的”两类点互相逼近”技巧，但结论相反（在 $0$ 连续）；本讲已给出完整解答（补充例 15.B 变体一）。
  3. Exercise 3.2.11 —— §3.2 的连续性判定题（给定题号）。就本讲主题而言，它训练”用定义/序列刻画判定一个分段函数的连续与间断”（该题涉及在 $0$ 处含 $\sin(1/x)$ 型表达式的分段函数）。
  4. Exercise 3.2.14 —— §3.2 的连续性习题（给定题号；OCW 作业原文仅列题号，未附题干）。
  5. 第 5 题（原文）：”Let $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Recall that if $U\subset\mathbb{R}$, the inverse image of $U$ is the set $f^{-1}(U):=\{x\in\mathbb{R}:f(x)\in U\}$. Prove that $f$ is continuous if and only if for every open set $U\subset\mathbb{R}$, $f^{-1}(U)$ is open.” —— 这是本讲连续性的”拓扑刻画”。它的证明要同时用到 Definition 167（$\epsilon$-$\delta$）与”开集”的定义（Assignment 3 第 5 题定义的 open set）；它与 Theorem 171(3) 是同一枚硬币的两面（一个用序列，一个用开集）。注意本课程为了这道题，在 Assignment 3 第 5 题里已经建立了开集的基本性质（$(-\infty,a),(a,b),(b,\infty)$ 是开的；任意并是开的；有限交是开的；$\mathbb{Q}$ 不是开的）。
• 对应 OCW Assignment 9（Reading Sections 3.3, 3.4, 3.5）：
  1. Exercise 3.3.11 —— §3.3（极值定理 / 介值定理）的习题（给定题号）。它与本讲的连接在于：本讲证明的连续性是 Lecture 16 全部结论的前提。
  2. Exercise 3.4.3、Exercise 3.4.8 —— §3.4（一致连续）的习题（给定题号）。
  3. 第 4 题（原文）：”Let $S\subset\mathbb{R}$. We say that $f:S\to\mathbb{R}$ is Lipschitz continuous on $S$ if there exists $L\ge0$ such that for all $x,y\in S$, $\vert f(x)-f(y)\vert \le L\vert x-y\vert $. Prove that if $f:S\to\mathbb{R}$ is Lipschitz continuous on $S$ then $f$ is uniformly continuous on $S$.” —— 本讲定理 172 的副产品（$L=1$）在此被正式使用。
  4. 第 5(a) 题（原文）：”Prove that $f(x)=\cos x$ is Lipschitz continuous on $\mathbb{R}$.” —— 本讲已证完（$\vert \cos x-\cos c\vert \le\vert x-c\vert $，取 $L=1$）。
  5. 第 5(b) 题（原文）：”Prove that $f(x)=x^{1/3}$ is uniformly continuous on $[0,1]$ and is not Lipschitz continuous on $[0,1]$.” —— 反面例子，说明 Lipschitz 严格强于一致连续。
  6. 第 6(b) 题（原文）：”Prove that $\lim_{x\to\infty}\sin x$ does not exist.” —— 这题的直接工具是本讲的连续性 + 序列刻画：取 $x_n=2\pi n\to\infty$ 得 $\sin x_n\to0$，取 $y_n=\pi/2+2\pi n\to\infty$ 得 $\sin y_n\to1$；两个”沿不同路径的极限”不同，故极限不存在。同样的”取两条路径”思想就是本讲 Theorem 178 的证明骨架。
• 对应 Midterm / Final（hw_all.txt）：
  • Final Assignment 第 1(i) 题：”Let $S\subset\mathbb{R}$. A function $f:S\to\mathbb{R}$ is not continuous at $c\in S$ if ___” —— 要求写出不连续的精确定义。这正是源文件 Negation 170（本讲反复使用的工具）。
  • Final Assignment 第 1(ii) 题（非一致连续的否定）与 Lecture 17 相关，但同样以本讲的量词结构为基础。
  • Final Assignment 第 2(b) 题：”Let $f,g:S\to\mathbb{R}$ be functions continuous at $c\in S$. Prove that the product $fg$ is continuous at $c$.” —— 本讲 Theorem 174 第 2 条。
  • Final Assignment 第 3(b) 题（连续函数把 $[a,b]$ 映成紧集）与 Lecture 16 相关，前提是本讲的连续性。
  • Final Assignment 第 4(a)(ii) 题：”Give an explicit example of a function showing the converse of part (i) is false.”（可微 $\Rightarrow$ 连续，反之不真）—— 可用绝对值的折点，也可用本讲 Dirichlet 型的病态构造来强化印象。
  • Final Assignment 第 4(b) 题：$f(x)=x^2\sin(1/x)$（$x\neq0$），$f(0)=0$，用导数定义证 $f$ 在 $0$ 可微 —— 这题要用 $\vert \sin u\vert \le\vert u\vert $（引理 15.A 事实 2）与夹逼，与本讲 $\sin$ 连续性证明用的是同一把钥匙。
  • Final Assignment 首页的授权：”You may freely use any knowledge of the functions $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ and $\log x$ … that you retained from calculus.” —— 这是引理 15.A 中”三角函数基本事实可自由使用”的官方依据。

与其他讲次的关联

• ← Lecture 5（Theorem 43(ii)，稠密性）：Theorem 178 的证明完全依赖“任意两个实数之间有有理数”。而情形 A（$c$ 有理）还需要”任意两个实数之间有无理数”——这是 Assignment 3 第 1 题的结果。没有稠密性，Dirichlet 函数处处不连续这个结论根本无法证明：在 $\mathbb{Z}$ 上同一个公式处处连续。
• ← Lecture 8（Theorem 84 加法律、Theorem 87/89 乘法律与除法律、Theorem 82 夹逼定理）：Theorem 173（多项式）、Theorem 174（和积商）、Theorem 175（复合）的证明没有一步是自己的：全部搬运 Lecture 8 的序列极限运算。而 Theorem 171(3) 反向证明的收尾用的也是夹逼定理与”极限保不等式”。这就是 Lecture 8 存在的意义。
• ← Lecture 13–14（Definition 148/150/167、Negation 170、Theorem 166）：本讲的 Theorem 171 是 Lecture 13–14 的直接延续：Definition 167 给了连续性的 $\epsilon$-$\delta$ 版本，Theorem 171(3) 给了它的序列版本；Negation 170 是 Theorem 171(3) 反向证明与 Final Assignment 第 1(i) 题的模板；Theorem 166（单侧极限）用来鉴别跳跃间断。
• → Lecture 16（极值定理 Theorem 182、介值定理 Theorem 187）：本讲建立的 $\sin,\cos$ 连续性 + 多项式连续性 + 四则运算 + 复合，立刻成为 Lecture 16 的函数库存。例如介值定理可以直接用来证明”$\cos x$ 在 $[0,\pi/2]$ 上有零点”这类存在性命题。
• → Lecture 17（一致连续 Definition 193 与导数 Definition 198）：本讲的副产品 $\vert \sin x-\sin c\vert \le\vert x-c\vert $、$\vert \cos x-\cos c\vert \le\vert x-c\vert $ 是 Lecture 17 中”$\delta$ 不依赖 $c$”的第一个完整例子；而 Assignment 9 第 4、5 题正式把 Lipschitz $\Rightarrow$ 一致连续写进作业。另外，Lecture 17 证明 $(\sin x)’=\cos x$ 时要用到 $\frac{\sin h}{h}\to1$ 与和角公式——和角公式正是本讲引理 15.A 事实 3。
• → Lecture 21（连续函数黎曼可积 Theorem 235）：该定理的前提是 $f\in C([a,b])$，而”哪些函数属于 $C([a,b])$”这个清单正是本讲给出的（三角、多项式、四则、复合）。同时，Dirichlet 函数作为不可积的极端反例，正是 Lecture 21 讨论”连续这个假设不能去掉”时最有力的素材。
• → Lecture 25 / 第二卷 §11.4：若要在分析内部重建三角函数（不依赖单位圆几何），需要用幂级数定义 $\sin,\cos$ 并证明全部恒等式；这是本课程故意留在后面的内容，也解释了为什么本讲可以把三角恒等式”当作零件”。

关键要点

1. 连续性有第三个等价刻画（序列刻画，Theorem 171(3)）： \(f\ \text{在}\ c\ \text{连续}\iff \forall\{x_n\}\subset S,\ \bigl(x_n\to c\Rightarrow f(x_n)\to f(c)\bigr).\) 它的实用价值在于：一切关于序列极限的定理（Lecture 8）都可以免费搬到连续性上。本讲 4 个定理（173、174、175 及 178）中有 3 个只用了这一条。
2. 三角函数连续性的证明骨架： \(\vert \sin x-\sin c\vert \;\overset{\text{和差化积}}{=}\;2\left\vert \sin\tfrac{x-c}{2}\right\vert \left\vert \cos\tfrac{x+c}{2}\right\vert \;\le\;2\cdot\tfrac{\vert x-c\vert }{2}\cdot1\;=\;\vert x-c\vert \;\overset{\delta=\epsilon}{<}\;\epsilon .\) 记住三件事：和差化积、$\vert \sin u\vert \le\vert u\vert $、$\vert \cos u\vert \le1$。$\cos$ 可以走同样的和差化积路线，也可以用 $\cos x=\sin(x+\pi/2)$ 归约到 $\sin$。
3. 副产品（Lipschitz，$L=1$）：$\forall x,c\in\mathbb{R}$， \(\vert \sin x-\sin c\vert \le\vert x-c\vert ,\qquad \vert \cos x-\cos c\vert \le\vert x-c\vert .\) $\delta=\epsilon$ 不依赖 $c$，这预告了 Lecture 17 的一致连续，并且直接解决 Assignment 9 第 5(a) 题。
4. Dirichlet 函数处处不连续（Theorem 178）： \(f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\0,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}\qquad\Longrightarrow\qquad \forall c\in\mathbb{R},\ f\ \text{在}\ c\ \text{不连续}.\) 证明模板：每个 $c$ 的每个邻域里既有有理数又有无理数（稠密性）→ 存在一列点趋近 $c$ 而函数值恒为 $0$ 或恒为 $1$ → 用 Theorem 171(3) 与极限唯一性得 $0=1$ 矛盾。
5. 工具清单（Lecture 15 之后你可以宣布连续的函数）：多项式（Theorem 173）；$\sin,\cos$（Theorem 172）；它们的和、积、商（分母非零，Theorem 174）；它们的复合（Theorem 175）。示范：$\left(\cos\frac1{x^2}\right)^2$ 在 $(0,\infty)$ 连续（Example 176(ii)）。

常见误区与注意事项

1. 错误做法：证明 $\sin$ 连续时写 “$\lim_{x\to c}\sin x=\sin(\lim_{x\to c}x)=\sin c$，故连续”。 为什么错：这是在假设结论。把极限搬进函数内部（$\lim f(x_n)=f(\lim x_n)$）正是连续性本身，”$f$ 可以把极限符号吃掉”就是连续的定义内容。用它来证明它自己，是循环论证。 正确做法：从 $\vert \sin x-\sin c\vert $ 出发做具体估计（和差化积 + $\vert \sin u\vert \le\vert u\vert $ + $\vert \cos u\vert \le1$），或先证 $\sin$ 连续再用序列刻画搬运 $\cos$（源文件路线）。

2. 错误做法：在 Theorem 178 的证明里写 “因为 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密，所以存在有理数列 $q_n\to c$；又因为 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ 稠密，所以存在无理数列 $i_n\to c$；所以 $f$ 在 $c$ 不连续“。 为什么错：缺了最后的推理环节。存在两条不同极限的像序列本身还不构成矛盾——必须援引 Theorem 171(3)（”若连续，则每条序列的像都收敛到 $f(c)$”）与极限唯一性。少了这一步，逻辑链条是断的。 正确做法：明确写出”若 $f$ 在 $c$ 连续，则由 Theorem 171(3) 须有 $f(q_n)\to f(c)$ 与 $f(i_n)\to f(c)$；但左边两个极限分别是 $1$ 与 $0$，故 $f(c)=1$ 且 $f(c)=0$，矛盾”。

3. 错误做法：把 Dirichlet 函数的不连续说成”因为它在有理点和无理点取值不同”。 为什么错：取值不同只是一半原因，另一半是定义域的这个点本身属于其中一类。对照 Assignment 8 第 2 题的 $f(x)=0$（$x\in\mathbb{Q}$）、$f(x)=2x$（$x\notin\mathbb{Q}$）：它在 $0$ 处两个分支的值会师（都是 $0$），所以连续。可见”分支值不同”不是本质，“分支值与另一分支的极限是否吻合”才是本质。 正确做法：对每个 $c$ 分别计算”$c$ 所属分支的值”与”另一分支沿序列的极限”，比较二者。

4. 错误做法：认为 $\vert \sin x\vert \le\vert x\vert $ 是”显然”的，或认为它在 $\vert x\vert >1$ 时也需要证明。 为什么错：这个不等式在 $\vert x\vert \ge1$ 时确实”看起来显然”（因为 $\vert \sin x\vert \le1\le\vert x\vert $），但在 $\vert x\vert <1$ 时它是弦长 ≤ 弧长的几何事实，需要几何输入。本课程把它列为可自由使用的已知事实（源文件 Theorem 172 证明开头 + Final Assignment 首页授权），但不等于它不需要依据。 正确做法：引用时说明来源（单位圆上弦长 $\le$ 弧长；严格重建则用 Vol. II §11.4 的幂级数）。同时注意：真正需要小 $x$ 情形的是 $\vert \sin u\vert \le\vert u\vert $ 用在 $u=(x-c)/2$ 上——当 $\vert x-c\vert $ 很小、$c$ 很大时，$u$ 仍可能不小，但不等式对一切实数 $u$ 都成立，所以没问题。

5. 错误做法：把 Theorem 171(3) 的量词记成”存在一个序列”。 为什么错：Theorem 171(3) 要求的是”每一个满足 $x_n\to c$ 的序列”。若记成”存在”，则证明反向时就会把”找到一条坏序列”误当成”不连续”的充分条件——实际上能用坏序列否定连续，是因为”连续 $\Rightarrow$ 每条序列都好”这个全称命题的否定恰好是”存在一条坏序列”（Negation 170 的序列版）。量词全称/存在的位置一错，逻辑就整体崩塌。 正确做法：写成 \(\text{连续}:\ \forall\{x_n\}\bigl(x_n\to c\Rightarrow f(x_n)\to f(c)\bigr);\qquad \text{不连续}:\ \exists\{x_n\}\bigl(x_n\to c\ \wedge\ f(x_n)\not\to f(c)\bigr).\)

6. 错误做法：在 Theorem 178 中取 $x_n=c+1/n$ 并要求它是无理数（或直接写”取无理数 $x_n=c+1/n$”）。 为什么错：$c+1/n$ 是否无理数是不可控的（例如 $c=0$ 时它是有理数）。稠密性只保证区间 $(c,c+1/n)$ 里存在无理数，不保证某个具体形式是无理数。 正确做法：先用稠密性存在性地取到 $x_n$（无理数稠密性 / 有理数稠密性各自给出），再对这批选定的 $x_n$ 用夹逼 $\vert x_n-c\vert <1/n$ 得 $x_n\to c$。

思考题（带答案）

Q1（概念理解）：下面的”证明”错在哪里？

待证：$\sin$ 在 $c=0$ 连续。 “证明”：取 $x_n=1/n$。则 $x_n\to0$，且 $\sin x_n\to\sin0=0$。所以 $\sin$ 在 $0$ 连续。$\blacksquare$

Q2（完整的 $\epsilon$-$\delta$ 计算）：取 $f(x)=\cos x$，$c=\dfrac{\pi}{3}$，$\epsilon=0.01$。

(a) 按定理 172 的证明思路，给出一个显式的 $\delta$，并证明它在 $\epsilon$-$\delta$ 定义下确实有效。 (b) 用数值验算：在 $\vert x-c\vert <\delta$ 的窗口上，$\vert f(x)-f(c)\vert $ 的最大值是多少？是否 $<\epsilon$？有多大的余量？ (c) 如果把 $\epsilon$ 改成 $\epsilon=10^{-3}$，$\delta$ 应取多少？

Q3（Dirichlet 函数及其变体）：设

(a) 证明 $g$ 在 $\mathbb{R}$ 上处处不连续。 (b) 证明 $h$ 在 $c=0$ 连续，而在任意 $c\neq0$ 不连续。 (c) 比较 (a)(b)：为什么 $h$ 能在 $0$ 处”幸存”？请用一句话说出判别准则。