Lecture 14: Limits of Functions in Terms of Sequences and Continuity（用序列刻画函数极限与连续性）

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Lecture 14: Limits of Functions in Terms of Sequences and Continuity（用序列刻画函数极限与连续性）

概述

上一讲（Lecture 13）我们做了三件事：定义了集合的聚点 (cluster point)、定义了函数极限 $\lim_{x\to c}f(x)=L$ 的 $\epsilon$-$\delta$ 形式、并证明了本课程最重要的”翻译器”—— 函数极限的序列刻画（源文件 Lecture 13 的 Theorem 157）：函数极限存在且等于 $L$， 当且仅当把任意一串趋近于 $c$ 的点送进函数，输出都趋近于 $L$。

本讲的任务不是再引入新工具，而是收获上一讲的投资：既然函数极限与序列极限是同一件事， 那么 Lecture 8 里关于序列极限的所有定理（夹逼定理、保序性、和差积商的极限法则、绝对值极限） 都可以原封不动地搬到函数极限上，一行都不用重证。这是本讲的第一个高潮， 源文件用 Theorem 158、159、160 连续展示了这种”结构复用 (structural reuse)”的威力。

本讲的第二个高潮是连续 (continuity) 的定义（源文件 Definition 167）。讲义给出了 一段非常有洞察力的铺垫：“正如我们已经看到的，当 $x=c$ 时极限根本不关心 $f(x)$ 是什么。 连续性就是把 $\lim_{x\to c}f(x)$ 与 $f(c)$ 联系起来的条件。” 一句话点明了连续与极限的分界。

在补充层面（源文件本讲未展开、但在 [JL] §3.2 与 Lecture 15 中完成、并直接在 Assignment 8 与 Final 中考到），我们还要把连续性推广到代数运算、复合、多项式与有理函数， 并给出连续性的拓扑刻画：$f$ 连续 $\iff$ 每个开集的原像是开集。这最后一条不依赖度量， 是连续概念走向一般拓扑空间的原型。

本讲回答了什么问题？ ① 怎样用序列去”计算”和”否定”函数极限？② 单侧极限与双侧极限的关系是什么？ ③ “连续”的精确定义是什么，它与极限差在哪里？④ 连续性对四则运算、复合、开集原像是否封闭？

核心定义与直观解释

定义 A：左极限与右极限（源文件 Definition 161、163 与 Notation 162、164）

（严格定义）

源文件的 Definition 161（左极限）与 Definition 163（右极限）原文如下。

设 $S\subset\mathbb R$。

• 若 $c$ 是 $S\cap(-\infty,c)$ 的聚点，我们说 $f(x)$ 当 $x\to c^-$ 时收敛到 $L$，如果

这记作（源文件 Notation 162）$L=\lim_{x\to c^-}f(x)$，称为 $f$ 在 $c$ 处的左极限 (left-hand limit)。

• 若 $c$ 是 $S\cap(c,\infty)$ 的聚点，我们说 $f(x)$ 当 $x\to c^+$ 时收敛到 $L$，如果

这记作（源文件 Notation 164）$L=\lim_{x\to c^+}f(x)$，称为 $f$ 在 $c$ 处的右极限 (right-hand limit)。 两者合称单侧极限 (one-sided limits)。

直观解释（”它到底在说什么？”）

普通的双侧极限说：”从左右两边任意方式靠近 $c$，$f$ 的值都必须靠近 $L$。” 单侧极限把这个要求砍掉一半：

• 右极限只说”从右边过来”（$x>c$，且 $x$ 越来越接近 $c$）；
• 左极限只说”从左边过来”（$x<c$）。

一个生活类比：想象一条路在 $c$ 处有一座桥。双侧极限等于 $L$ 意味着”无论你从桥的哪一头走过来， 看到的风景都趋近于同一个画面 $L$”。右极限只考察”从东边来”的旅客看到的画面， 左极限只考察”从西边来”的旅客看到的画面。如果东边来的人看到的是 $1$、 西边来的人看到的是 $0$，那么”桥上的风景”这个统一说法就失败了——但两个单侧说法各自成立。

为什么需要这个条件？

关键在两条聚点前提，它们不是技术赘述，而是单侧极限能定义的必要条件：

1. 定义左极限时需要 “$c$ 是 $S\cap(-\infty,c)$ 的聚点”。如果没有这个前提， 即 $S$ 中根本没有点位于 $c$ 左侧、或它们离 $c$ 有一个正距离， 那么”$c-\delta<x<c$ 且 $x\in S$”这个条件对足够小的 $\delta$ 永远为空， 于是任何 $L$ 都满足定义（空真命题），极限就不唯一了。
2. 注意这里要求聚点的是 $S\cap(-\infty,c)$，而不是 $S$。如果错写成”$c$ 是 $S$ 的聚点”， 那么当 $c$ 只被 $S$ 中右侧的点逼近时（例如 $S=\{1/n:n\in\mathbb N\}$、$c=0$， 左边一个点都没有），左极限就会被”定义”出来，而且是任意值——荒谬。

具体示例

取源文件 Example 165 的阶梯函数

则 $\lim_{x\to0^-}f(x)=0$，$\lim_{x\to0^+}f(x)=1$。这里 $f(0)$ 根本没有定义， 但两个单侧极限都存在——这再次说明”极限不关心 $x=c$ 处发生了什么”（源文件原话： “even though $f(0)$ is undefined”）。

再取 $f(x)=\dfrac{\vert x\vert }{x}$（定义域 $S=\mathbb R\setminus\{0\}$）。对 $x<0$，$\vert x\vert =-x$， 故 $f(x)=-1$；对 $x>0$，$f(x)=1$。于是

验算：$x=-0.5$ 时 $\vert x\vert /x=0.5/(-0.5)=-1$ ✓；$x=0.5$ 时 $=1$ ✓（用 python3 核对）。 两个单侧极限不相等，故双侧极限不存在。

反例（条件不可省）

设 $S=\{0\}\cup\{1,2\}$，$c=0$。此时 $S\cap(-\infty,0)=\varnothing$，$0$ 不是 $S\cap(-\infty,0)$ 的聚点，所以”$\lim_{x\to0^-}f(x)$”对方程无意义。 若忽略聚点前提强行套定义，会得到”极限可以是 $1$ 也可以是 $7$”这种荒唐结论 （因为条件句的前件恒假）。这正是 [JL] Exercise 3.1.15 想让学生体会的点： 聚点条件是”极限唯一”的前提。

定义 B：连续（源文件 Definition 167，Continuous Functions）

（严格定义） 设 $S\subset\mathbb R$，$c\in S$。我们说 $f$ 在 $c$ 处连续 (continuous at $c$)，如果

若 $f$ 在 $U\subset S$ 的每一点都连续，就说 $f$ 在 $U$ 上连续 (continuous on $U$)； 若 $f:S\to\mathbb R$ 在 $S$ 上处处连续，就简单地说 $f$ 是一个连续函数 (continuous function)。 （这一段与 [JL] Definition 3.2.1 逐字一致。）

直观解释（”它到底在说什么？”）

三种说法，按精确程度递增：

1. “输入微变，输出微变”：只要 $x$ 与 $c$ 足够接近，$f(x)$ 就与 $f(c)$ 足够接近。 注意是”与 $f(c)$ 接近”，不是”与某个外部数字 $L$ 接近”。
2. “没有跳跃”：图像在 $c$ 处不会被撕开。反过来说，如果图像在 $c$ 处断了， 那么在断口附近总能找到一个 $\epsilon>0$（例如断口高度的一半）， 使得无论 $\delta$ 多小，总有 $x$ 落在 $\delta$-窗口里却跑到 $\epsilon$-带之外。
3. “可一笔画”（高中直觉）：图像可以不断笔地画出来。 这个直觉只在”定义域是区间”时基本正确，一旦定义域有孤立点或更古怪的结构就会误导人 （见下文的孤立点问题）。[JL] 特别提醒：这个直觉”在简单情形下有用， 但我们需要严格”——严格定义由 Bolzano、Cauchy、Weierstrass 三人接力， 到 19 世纪晚期才定型。

与极限定义的两处关键差别——请务必刻在脑子里

把 Definition 167 与 Lecture 13 的 Definition 150 并排放在一起看，差别只有两处，但两处都是本质的：

+--------------------------+-------------------------------+--------------------------------+
|        项目              |  极限 lim_{x->c} f(x) = L     |   在 c 处连续 (f(c) 已有定义)  |
+--------------------------+-------------------------------+--------------------------------+
| 前提                     |  c 是 S 的聚点                |  c ∈ S（不要求是聚点！）       |
| x 的取值范围             |  x ∈ S 且 0 < |x-c| < δ       |  x ∈ S 且 |x-c| < δ（含 x=c）  |
|                          |  (即 x ≠ c，把 c 挖掉)        |  (不挖掉 c)                    |
| 目标不等式               |  |f(x) - L| < ε               |  |f(x) - f(c)| < ε             |
| 参照值是谁               |  外部给定的候选值 L           |  函数在 c 处的值 f(c)          |
| f 在 c 处必须有定义吗    |  不需要（无关紧要）           |  必须有                        |
| x = c 这一点的要求       |  不要求；f(c) 可以任意         |  自动满足（左边=0 < ε）        |
+--------------------------+-------------------------------+--------------------------------+

差别 ①：去掉了 $0<$。 极限定义写 $0<\vert x-c\vert <\delta$，故意把 $x=c$ 排除在外； 连续定义写 $\vert x-c\vert <\delta$，允许 $x=c$。这看起来是放松，其实是必须的： 因为连续要谈 $f(c)$ 本身，如果把 $c$ 排除掉，那么”函数在自己这一点上的行为” 就完全不受约束，定义就空了。而当 $x=c$ 时，$\vert f(c)-f(c)\vert =0<\epsilon$ 对任何 $\epsilon>0$ 自动成立，所以”允许 $x=c$”不会增加任何实质负担——它只是让定义把 $c$ 点也算进来。

差别 ②：右端是 $\vert f(x)-f(c)\vert $ 而不是 $\vert f(x)-L\vert $。 这就是连续性的全部内容： 极限值必须恰好等于函数值。换成 [JL] 的等价说法： “连续函数正是那些与极限相处融洽的函数”（the functions that behave nicely with limits）。

为什么需要这个条件（”极限存在”为什么不够）？

因为”极限存在”完全可以与”函数值”脱钩。源文件 Lecture 13 的 Example 155 给了标准例子：

极限存在（为 $1$），但函数在 $0$ 处不连续。Lecture 14 的 Example 169 又把这个例子 拿来正面证明”不连续”，并配上了 Negation 170（见定义 C）。后面我们还会讲： 这种”极限存在但与函数值不符”的间断叫可去间断 (removable discontinuity)—— 只要把 $f(0)$ 改成 $1$ 就连续了。

具体示例（把 $\epsilon,\delta$ 取成具体数字）

示例 1（源文件 Example 168）： $f(x)=ax+b$ 在 $\mathbb R$ 上连续。 源文件取 $\delta=\dfrac{\epsilon}{1+\vert a\vert }$。取具体数值 $a=3,b=1,c=2,\epsilon=0.01$：

验证：取 $x=2.003$，则 $\vert x-c\vert =0.003<0.0025$ 不成立，说明这个 $x$ 超出窗口； 换成 $x=2.001$，$\vert x-c\vert =0.001<0.0025$，而 $\vert f(x)-f(2)\vert =\vert 3\cdot2.001+1-7\vert =0.003<0.01$ ✓。 再用 $x=2.0024$ 复核：$\vert f(x)-f(2)\vert =\vert 7.0072-7\vert =0.0072<0.01$ ✓（Python 验算通过）。 而恰好取到临界点时 $x=c+\delta=2.0025$，$\vert f(x)-f(2)\vert =0.0075<0.01$， 可见 $\delta=\epsilon/(1+\vert a\vert )$ 是”带安全余量”的选取（因为 $\vert a\vert \delta=\frac{\vert a\vert }{1+\vert a\vert }\epsilon<\epsilon$）。

示例 2： $f(x)=x^2$ 在 $c=3$ 处连续。给定 $\epsilon=0.01$，取

验算：$x=3.0014$ 时 $\vert x-c\vert =0.0014<\delta$，而 $\vert x^2-9\vert =0.008402<0.01$ ✓； $x=3.0016$ 时 $\vert x-c\vert =0.0016>\delta$（超出窗口，不保证），实际 $\vert x^2-9\vert =0.009603<0.01$ （说明 $\delta$ 保守但安全）。关键是恒等式 $\vert x^2-c^2\vert =\vert x-c\vert \cdot\vert x+c\vert $，当 $\vert x-c\vert <1$ 时 $\vert x+c\vert \le\vert x-c\vert +2\vert c\vert <2\vert c\vert +1=7$， 故 $\vert x^2-9\vert <7\delta\le\epsilon$ ✓（Python 验算 $7\delta=0.01$ 恰好落在边界上）。

反例（不满足定义的对象）

源文件 Lecture 13 Example 155 / Lecture 14 Example 169 的函数 $f(x)=1\ (x\neq0)$，$f(0)=2$ 在 $c=0$ 不连续：取 $\epsilon_0=1$， 对任意 $\delta>0$ 取 $x=\delta/2$，则 $\vert x-0\vert =\delta/2<\delta$ 但 $\vert f(x)-f(0)\vert =\vert 1-2\vert =1\ge\epsilon_0$。$\square$（Python 验算：$\delta=1\Rightarrow x=0.5$， $\vert f(x)-f(0)\vert =1\ge1$ ✓。）

定义 C：不连续的否定形式（源文件 Negation 170，Not Continuous）

（严格定义） 源文件在证明 Example 169 之前，先把连续性定义的否定写清楚：

直观解释

原文的连续定义是 $\forall\epsilon\exists\delta\forall x$。否定就是把三个量词逐个翻转：

连续:      ∀ε>0   ∃δ>0   ∀x∈S :  |x-c|<δ  ⇒  |f(x)-f(c)|<ε
不连续:    ∃ε₀>0  ∀δ>0   ∃x∈S :  |x-c|<δ  且  |f(x)-f(c)| ≥ ε₀

注意最后一行把蕴含 $P\Rightarrow Q$ 正确否定成了 $P\wedge\neg Q$（不是 $P\Rightarrow\neg Q$！）， 这是学生最常写错的地方。

为什么需要这个形式？

因为”证明不连续”必须有一个可操作的靶子。定义 C 告诉我们：想证明不连续， 只需要找到一个具体的 $\epsilon_0$（通常取断口高度的一半或全部）， 然后对每个 $\delta$ 展示一个”漏网的 $x$”。量词顺序是 $\exists\epsilon_0\forall\delta\exists x$： $\epsilon_0$ 一旦选定就固定，$\delta$ 由对手任意给，$x$ 允许依赖 $\delta$。

具体示例

对 $f(x)=1\ (x\neq0)$，$f(0)=2$：取 $\epsilon_0=1$；对任意 $\delta>0$ 取 $x=\delta/2$ （也可以取 $x=-\delta/2$，甚至 $x=\delta/3$）。由于 $\delta/2\neq0$，$f(\delta/2)=1$， 故 $\vert x-c\vert =\delta/2<\delta$ 且 $\vert f(x)-f(0)\vert =1\ge\epsilon_0$。注意 $x=\delta/2$ 依赖 $\delta$， 这完全合法——否定的定义里 $x$ 就在 $\forall\delta$ 之后。

反例（如果把 $\ge$ 写成 $>$ 会怎样）

若把否定写成 $\vert f(x)-f(c)\vert >\epsilon_0$，则对某些”恰好落在边界”的函数会判错。 例如常数函数 $f\equiv0$：对任何 $\epsilon_0>0$，$\vert f(x)-f(0)\vert =0>\epsilon_0$ 永不成立， 所以用这个错误版本会得到”常函数不连续”的荒唐结论。正确写法用 $\ge$， 再配合”取 $\epsilon_0$ 为断口高度”就万无一失。

定义 D（补充）：开集与开集原像

重要声明：这一小节的内容不在 Lecture 14 源文件内。 它来自 Assignment 3 第 5 题给出的定义、Midterm 第 2 题、以及 Assignment 8 第 5 题。 我们把它放在这里，是因为它在逻辑上是”连续”概念的下一步， 而且 Assignment 8 第 5 题与 Final 第 2(b) 题都要用到。凡本笔记标注”补充”的定理， 均非 Lecture 14 源文件的 Theorem 编号，请勿混淆出处。

（严格定义） 一个集合 $U\subset\mathbb R$ 称为开集 (open set)，如果

（这是 Midterm 第 2 题开头与 Assignment 3 第 5 题给出的本题工作定义； [JL] 在 §7.2 才有更一般的拓扑定义。）

设 $f:\mathbb R\to\mathbb R$，$U\subset\mathbb R$。$U$ 关于 $f$ 的原像 (preimage) 定义为

直观解释

• 开集 = “每个点都带着一小段属于自己的呼吸空间”。区间 $(a,b)$ 是开集， 因为任取 $x\in(a,b)$，取 $\epsilon=\min\{x-a,b-x\}/2$ 即可； $[a,b]$ 不是开集，因为 $a$ 的左边没有呼吸空间。
• 原像 $f^{-1}(U)$ 是”所有被 $f$ 送进 $U$ 的输入”。注意原像是集合层面的操作， 不要求 $f$ 可逆（这一点学生极易误解：$f^{-1}(U)$ 与被反函数作用无关）。
• 原像与并、交交换得很好：$f^{-1}(C\cap D)=f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)$ （这正是 Midterm 第 1(a) 题），$f^{-1}(C\cup D)=f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)$。 像 (image) 则不与交交换，这就是为什么拓扑刻画用原像而不用像。

为什么需要这个条件 / 这个定义好在哪？

因为它把”连续”从”逐点的 $\epsilon$-$\delta$ 条件”翻译成了”集合的整体性质”： $f$ 连续 $\iff$ 开集的原像开。这个命题没有出现任何 $\epsilon$ 和 $\delta$， 因此可以整体推广到一般拓扑空间（那里根本没有距离，无从谈 $\epsilon$）。 它是现代数学中”连续映射”的定义原型。

具体示例

$f(x)=x^2$，$U=(1,4)$（开区间）。$f^{-1}(U)=\{x:x^2\in(1,4)\}=(-2,-1)\cup(1,2)$， 这是两个开区间的并，仍是开集 ✓（Python 验算：$\sqrt 4=2$，边界点 $\pm1,\pm2$ 都被排除在外）。

反例

$f(x)=x^2$，$U=[1,4)$。虽然 $U$ 不是开集，但 $f^{-1}(U)$ 是 $[-2,-1]\cup[1,2)$ 的 “去心”版本……实际上 $f^{-1}([1,4))=(-2,-1]\cup[1,2)$，不是开集（$1$ 处没有呼吸空间： $1-\epsilon$ 的平方 $<1$ 不在 $U$ 内），这说明原像运算是忠实的。 更有教育意义的反例是”不连续函数把开集的原像弄成非开集”： 取阶梯函数 $f(x)=0\ (x<0)$，$f(x)=1\ (x\geq0)$，$U=(-0.5,0.5)$ 是开集， 但 $f^{-1}(U)=(-\infty,0)$——这是个开集！要得到非开集请取 $U=(0.5,1.5)$： $f^{-1}(U)=[0,\infty)$，不是开集（$0$ 的左侧没有呼吸空间）。 这正是”不连续 $\Rightarrow$ 存在开集的原像非开”的具体见证。

—#### 定理与完整证明（核心）

本节先按源文件的编号顺序完整重述 Theorem 158、Theorem 159、Theorem 160、Theorem 166， 再补上 Lecture 15 的 Theorem 171（连续性的三个等价刻画）、[JL] Proposition 3.2.5（代数运算）、 [JL] §3.2 的复合与多项式结论、以及 Assignment 8 第 2、5 题。凡是补充的定理， 都明确标注”（补充）”并写明其真正出处，绝不含糊。

定理与完整证明（核心）

定理 158（源文件 Theorem 158）：$\lim_{x\to c}x^2=c^2$

定理陈述

证明策略

这是全课程最短的几个证明之一，因为它一个字都不需要 $\epsilon$-$\delta$： 直接把 Lecture 13 Theorem 157 的序列刻画当作”黑箱”， 把问题翻译成一个纯粹的序列问题，再用 Lecture 8 里已经证好的序列极限法则。 策略可以概括为三步：① 任取一条合法的序列；② 交给序列定理；③ 翻译回来。

逐步推导

1. 设 $\{x_n\}$ 是 $\mathbb R\setminus\{c\}$ 中的序列，且 $x_n\to c$。 （依据：序列刻画的”任意性”前提——要对所有这样的序列都验证， 所以我们从”任取一条”开始，且它必须落在 $S\setminus\{c\}$ 里。）
2. 由 Lecture 8 的定理（乘积的极限法则，源文件 Theorem 89 第 3 条： $x_n\to x,y_n\to y\Rightarrow x_ny_n\to xy$），取 $y_n=x_n$、$y=x$，得 $x_n^2\to c^2$。 （依据：Theorem 89(3)，配对两条同一条序列。）
3. 由于第 1 步的 $\{x_n\}$ 是任意的，结论”$f(x_n)\to c^2$”对所有满足 $x_n\in S\setminus\{c\},x_n\to c$ 的序列都成立。 （依据：$\forall$ 引入规则——任取后证得，即可全称推广。）
4. 由 Lecture 13 Theorem 157 的 “$2.\Rightarrow1.$” 方向，得 $\lim_{x\to c}x^2=c^2$。 $\blacksquare$

【证明机制解说】

这个证明的”灵光一现”是：根本不需要灵光一现。这正是设计序列刻画的目的。 Lecture 13 花了大力气证明 Theorem 157（两个方向，其中一个方向还是反证 + 构造 $x_n$ 使 $0<\vert x_n-c\vert <1/n$），那笔投资在此刻开始分红： 任何”对序列已经成立”的命题，都能自动升级为”对函数极限成立”， 代价是零行新证明。

如果要自己重新发明这个思路，可以这样想：函数极限的定义里已经有 $\forall x$ 的 量词（$0<\vert x-c\vert <\delta$ 内的所有 $x$），而序列极限的定义里是 $\forall n$。 两者结构相似但不同步。序列刻画的作用就是找到一座双向桥， 把 $\forall x$（连续统上的量词）换成 $\forall\{x_n\}$（可数层级的量词）。 具体地：如果”某个 $\epsilon_0$ 有反例 $x$”能升级成”某个 $\epsilon_0$ 有反例序列 $x_n$”， 那么”序列层面无破绽”就能压住”连续统层面无破绽”——这就是 Theorem 157 的 $(2\Rightarrow1)$ 方向（用 $1/n$ 把”反例存在”具体化为一条序列）。

【证明技巧总结】

• “翻译器”模式：想证函数极限的命题 $P$，先证对应的序列命题 $Q$，再用序列刻画桥接。
• 验证序列刻画时要”任取”：证明 $1.\Rightarrow2.$ 或 $2.\Rightarrow1.$ 时， 序列必须是任意的，不能只挑好用的那条。
• 序列必须避开 $c$：调用序列刻画时 $x_n\in S\setminus\{c\}$ 是硬性要求， 否则会误用（$f(c)$ 本身不该影响极限）。

定理 159（源文件 Theorem 159）：$\sin(1/x)$ 与 $x\sin(1/x)$

定理陈述（两项合写）

证明策略

第 1 项是用序列刻画证明极限不存在的教科书范例，策略是 “两条序列、两个不同的极限”：找到两条都趋近于 $0$ 的序列， 使 $f$ 沿它们的取值分别恒定在两个不同的数上，从而极限不可能存在。 第 2 项是夹逼 (Squeeze Theorem)：用 $\vert \sin(\cdot)\vert \le1$ 把振荡”驯服”，留下可算的因子 $\vert x\vert $。

逐步推导（第 1 项）

1. 定义 $x_n=\dfrac{2}{(2n-1)\pi}$。（依据：构造——这是使 $\frac1{x_n}=\frac{(2n-1)\pi}{2}$ 恰好落在正弦的”峰/谷”上的点。）
2. 验证 $x_n\neq0$：分母 $(2n-1)\pi\neq0$，故 $x_n\neq0$ ✓。 （依据：$\pi\neq0$ 且 $2n-1\neq0$。）
3. 验证 $x_n\to0$：$\vert x_n-0\vert =\frac{2}{(2n-1)\pi}\le\frac2{n\pi}$（因为 $2n-1\ge n$ 对 $n\ge1$）， 而 $\frac{2}{n\pi}\to0$。由夹逼（Lecture 8 Theorem 82）得 $x_n\to0$ ✓。 （依据：Lecture 8 夹逼定理 + $\{1/n\}$ 的极限。）
4. 计算 $\sin\frac1{x_n}$：由第 1 步 $\frac1{x_n}=\frac{(2n-1)\pi}{2}$，故 \(\sin\frac1{x_n}=\sin\Bigl(\frac{(2n-1)\pi}{2}\Bigr)=(-1)^{n+1}\qquad\text{对全部}\ n .\) （依据：$\sin\bigl(k\pi+\frac\pi2\bigr)=(-1)^k$；取 $k=n-1$。）
5. 序列 $\{(-1)^{n+1}\}=1,-1,1,-1,\dots$ 不收敛： 它的项在 $1$ 与 $-1$ 之间反复跳跃，取 $\epsilon_0=1$ 即可看出任何 $L$ 都无法靠近 （若 $L\ge0$ 则奇数项 $-1$ 满足 $\vert (-1)-L\vert \ge1$；若 $L<0$ 则偶数项 $1$ 满足 $\vert 1-L\vert >1$）。 （依据：序列收敛的唯一性 + 反证。）
6. 于是存在一条序列 $x_n\in\mathbb R\setminus\{0\}$、$x_n\to0$，但 $f(x_n)=\sin\frac1{x_n}$ 不收敛。由 Lecture 13 Theorem 157 的逆否（若极限存在则所有序列的输出都收敛到同值）， $\lim_{x\to0}\sin\frac1x$ 不存在。$\blacksquare$

验算（Python）：取 $n=1,\dots,5$，$x_n=2/((2n-1)\pi)$ 依次为 $0.6366,0.2122,0.1273,0.0909,0.0707$，而 $\sin(1/x_n)$ 依次为 $1.0,-1.0,1.0,-1.0,1.0$，与 $(-1)^{n+1}$ 完全吻合 ✓。

逐步推导（第 2 项）

1. 设序列 $\{x_n\}$ 满足 $x_n\neq0$ 且 $x_n\to0$（任意一条）。 （依据：序列刻画要求任取。）
2. 对每个 $n$，因为 $\vert \sin\theta\vert \le1$ 对一切实数 $\theta$ 成立（正弦值域为 $[-1,1]$）， 故 \(0\le\bigl\|x_n\sin\tfrac1{x_n}\bigr\|=\|x_n\|\cdot\bigl\|\sin\tfrac1{x_n}\bigr\|\le\|x_n\| .\) （依据：绝对值的乘法性质 $\vert ab\vert =\vert a\vert \vert b\vert $（Lecture 5 Theorem 50(3)）+ $\vert \sin\vert \le1$。）
3. 由 Lecture 8 Theorem 84（$x_n\to0\iff\vert x_n\vert \to0$）得 $\vert x_n\vert \to0$。 （依据：$x_n\to0$ 的假设 + Theorem 84。）
4. 由 Lecture 8 夹逼定理（Theorem 82）：左边序列恒为 $0$、右边序列 $\vert x_n\vert \to0$， 中间量被夹住，故 $\bigl\vert x_n\sin\frac1{x_n}\bigr\vert \to0$。源文件原话即 “By the Squeeze Theorem, $\lim_{n\to\infty}\vert x_n\sin(1/x_n)\vert =0$”。 （依据：夹逼定理，取 $a_n=0$、$b_n=\vert x_n\vert $、$x_n$ 位置换成 $\bigl\vert x_n\sin\frac1{x_n}\bigr\vert $。）
5. 再用 Theorem 84 的另一个方向：$\vert y_n\vert \to0\Rightarrow y_n\to0$， 故 $x_n\sin\frac1{x_n}\to0$。 （依据：Theorem 84。）
6. 由第 1 步序列的任意性 + Lecture 13 Theorem 157，得 $\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0$。 $\blacksquare$

验算（Python）：$x=0.001$ 时 $\vert x\sin(1/x)\vert =0.0008269\le0.001$ ✓； $x=10^{-6}$ 时 $=3.4999\times10^{-7}\le10^{-6}$ ✓。夹逼的两个”夹板”确实把振荡函数夹住了。

【证明机制解说】

第 1 项的机制是“用两条路径制造矛盾”。极限不存在是一个否定性命题， 最好的攻击方式是找到两条都合法的序列，让输出走散。 $x_n=\frac{2}{(2n-1)\pi}$ 的设计不是巧合：它让 $\frac1{x_n}$ 恰好是 $\frac\pi2,\frac{3\pi}2,\frac{5\pi}2,\dots$， 即正弦的正峰、负谷、正峰、负谷。为什么不选 $x_n=\frac{1}{n\pi}$？ 因为那样 $\sin(1/x_n)=\sin(n\pi)=0$ 恒为 $0$，输出收敛（到 $0$）， 只能证明”若极限存在则必须是 $0$”，不足以否定存在性。 否定存在性必须让输出发散——这是本题最容易踩的坑。 （Python 验算也确认了：$x_n=1/(n\pi)$ 时 $\sin=1.2\times10^{-16}\approx0$，无用。） 同样地，$x_n=\frac{1}{2n\pi}$ 也不行（输出恒 $0$）。

第 2 项的机制是“振荡 × 衰减 = 消失”。$\sin(1/x)$ 在 $0$ 附近振荡无限快（没有极限）， 但 $x$ 这个因子以线性速度趋于 $0$，把振荡的幅度压住了。 $\vert \sin\vert \le1$ 是全部秘密：它提供一个与 $n$ 无关的常数上界， 于是”振荡”被降级为一个有界因子，不再影响极限。 一般模式：$\text{有界}\times\text{趋于零}=\text{趋于零}$（Lecture 8 Theorem 89(3) 的证明核心也是这一条）。

【证明技巧总结】

• 证极限不存在：找两条序列，输出极限不同；或找一条序列，输出发散。
• 别用输出恒定的序列去否定存在性：输出收敛只能逼出”极限若存在则等于该值”。
• 构造性序列：用 $\frac{2}{(2n-1)\pi}$ 把相位锁死在峰谷上；用 $\frac{1}{n}$ 制造 $<1/n$ 的逼近。
• 夹逼的三件套：$0\le\vert g(x)\vert \le h(x)$、$h(x)\to0$、$\vert g\vert \to0\iff g\to0$。

定理 160（源文件 Theorem 160）：函数极限的保序性

定理陈述

设 $S\subset\mathbb R$，$c$ 是 $S$ 的聚点，$f,g:S\to\mathbb R$。 假设 $\forall x\in S,\ f(x)\le g(x)$，且 $\lim_{x\to c}f(x)$ 与 $\lim_{x\to c}g(x)$ 都存在，则

证明策略

逐字搬运 Lecture 8 Theorem 87(1)（序列极限的保序性：$x_n\le y_n\Rightarrow\lim x_n\le\lim y_n$）。 思路是：任取序列 $\to$ 代入不等式 $\to$ 用序列定理 $\to$ 翻译回来。 证明只有三行，因为难的部分（反证 + 取 $\frac{x-y}{2}$ 制造矛盾）已经在 Lecture 8 做完了。

逐步推导

1. 记 $L_1=\lim_{x\to c}f(x)$，$L_2=\lim_{x\to c}g(x)$。（依据：存在性假设。）
2. 任取序列 $\{x_n\}$，$x_n\in S\setminus\{c\}$，$x_n\to c$。 （依据：序列刻画要求对所有这样的序列验证。）
3. 由假设 $\forall x\in S,\ f(x)\le g(x)$，代入 $x=x_n\in S$，得 $\forall n\in\mathbb N,\ f(x_n)\le g(x_n)$。 （依据：全称实例化。）
4. 由序列刻画（Theorem 157）得 $f(x_n)\to L_1$、$g(x_n)\to L_2$。 （依据：Lecture 13 Theorem 157 的 $1.\Rightarrow2.$ 方向，对 $f$、$g$ 各用一次。）
5. 由 Lecture 8 Theorem 87(1)（序列保序性），$f(x_n)\le g(x_n)\ \forall n$ 蕴含 $\lim_n f(x_n)\le\lim_n g(x_n)$，即 $L_1\le L_2$。$\blacksquare$ （依据：Theorem 87(1)。）

【证明机制解说】

整个证明的”重量”为零：一行是”任取”，一行是”代入”，一行是”引用序列定理”。 这就是讲义那句 “We can use the ‘sequential limit’ characterization to prove analogs of previous theorems for limits of sequences” 的真正含义。

值得体会的是：Lecture 8 Theorem 87 的证明为什么要用 $\frac{x-y}{2}$？ 因为它是反证：假设 $y<x$，取中点把 $x,y$ 分开， 让 $y_n$ 靠近 $y$、$x_n$ 靠近 $x$， 于是下标足够大时出现 $y_n<\frac{x+y}{2}<x_n$，与 $\forall n\ x_n\le y_n$ 矛盾。 这个”中点分割”技巧是序列保序性的全部难度所在。搬过来时， 我们一个字都不用重写——这正是序列刻画”结构复用”的意义。

【证明技巧总结】

• 保号/保序类命题：结论中的 $\le$（非严格）不能加强为 $<$。 真的例子：$f\equiv0$，$g(x)=\vert x\vert $（$x\neq0$），$f\le g$ 但两个极限都是 $0$，不满足 $0<0$。
• 中点分割法：证 $a\le b$ 时反设 $b<a$，取中点 $\frac{a+b}{2}$ 分离两者。
• 序列刻画的”逐条搬运”流程：任取序列 → 用定理假设获得不等式/等式 → 用序列定理 → 翻译回函数语言。

定理（补充）：极限的代数运算——序列刻画的第二次分红

出处说明：源文件在本讲只写了 “Similarly, we have analogs of the Squeeze Theorem, limits of algebraic operations, and limits of absolute values. You may read the end of Section 3.1.3 [L] for this.” —— 即源文件只给出结论的提示，未写证明。 下面按作业与教材要求把四个运算完整写出，编号用 J1–J4 标示为本笔记自拟， 对应 [JL] Corollary 3.1.12（代数运算）、Corollary 3.1.11（夹逼）、Corollary 3.1.13（绝对值）。

定理陈述（补充）

设 $S\subset\mathbb R$，$c$ 是 $S$ 的聚点，$f,g:S\to\mathbb R$，且 $\lim_{x\to c}f(x)=L$、$\lim_{x\to c}g(x)=M$ 都存在。则

\(\textbf{J1.}\ \lim_{x\to c}(f+g)(x)=L+M;\qquad \textbf{J2.}\ \lim_{x\to c}(fg)(x)=LM;\) \(\textbf{J3.}\ \text{若}\ M\neq0\ \text{且}\ \forall x\in S\ g(x)\neq0,\ \text{则}\ \lim_{x\to c}\frac fg(x)=\frac LM;\qquad \textbf{J4.}\ \lim_{x\to c}\|f\|(x)=\|L\| .\)

另外还有夹逼定理的函数版本（J5）：若 $\forall x\in S\ f(x)\le h(x)\le g(x)$， 且 $\lim_{x\to c}f=\lim_{x\to c}g=L$，则 $\lim_{x\to c}h=L$。

证明策略

全部采用统一的”三步流水线”：任取序列 → 用序列定理 → 翻译回来。 唯一需要留意的是 J3 的额外条件 $g(x)\neq0$ 与 $M\neq0$—— 这两个条件属于序列定理 Theorem 89(4) 的前提 （”若 $\forall n\ y_n\neq0$ 且 $y\neq0$”），必须逐字继承。

逐步推导（J1）

1. 任取 $\{x_n\}$，$x_n\in S\setminus\{c\}$，$x_n\to c$。
2. 由 Theorem 157，$f(x_n)\to L$ 且 $g(x_n)\to M$。
3. 由 Lecture 8 Theorem 89(1)（和的极限法则），$(f+g)(x_n)=f(x_n)+g(x_n)\to L+M$。
4. 第 1 步序列任意 + Theorem 157，得 $\lim_{x\to c}(f+g)=L+M$。$\blacksquare$

逐步推导（J2）

1. 任取 $\{x_n\}$ 如上。
2. $f(x_n)\to L$，$g(x_n)\to M$（Theorem 157）。
3. 由 Theorem 89(3)（积的极限法则），$f(x_n)g(x_n)\to LM$。 （依据：Theorem 89(3)；注意其证明里用到”收敛序列 $\{g(x_n)\}$ 必有界”， 这是 Lecture 8 的关键引理，不能跳过。）
4. 翻译回来：$\lim_{x\to c}fg=LM$。$\blacksquare$

逐步推导（J3）

1. 任取 $\{x_n\}$，$x_n\in S\setminus\{c\}$，$x_n\to c$。
2. $f(x_n)\to L$，$g(x_n)\to M$（Theorem 157）。
3. 由假设 $\forall x\in S\ g(x)\neq0$ 得 $\forall n\ g(x_n)\neq0$；又 $M\neq0$。 两个前提齐备。 （依据：全称实例化 + 定理假设。这两个条件一个都不能少： 缺 $M\neq0$ 则 $\frac LM$ 无意义；缺 $g(x_n)\neq0$ 则 $\frac{f(x_n)}{g(x_n)}$ 无定义。）
4. 由 Theorem 89(4)，$\dfrac{f(x_n)}{g(x_n)}\to\dfrac LM$。
5. 翻译回来：$\lim_{x\to c}\frac fg=\frac LM$。$\blacksquare$

逐步推导（J4）

1. 任取 $\{x_n\}$ 如上。
2. $f(x_n)\to L$（Theorem 157）。
3. 由 Lecture 8 Theorem 93（$x_n\to x\Rightarrow\vert x_n\vert \to\vert x\vert $），$\vert f(x_n)\vert \to\vert L\vert $。
4. 翻译回来：$\lim_{x\to c}\vert f\vert =\vert L\vert $。$\blacksquare$

逐步推导（J5，夹逼的函数版）

1. 任取 $\{x_n\}$ 如上。
2. 由 $\forall x\in S,\ f(x)\le h(x)\le g(x)$ 得 $\forall n,\ f(x_n)\le h(x_n)\le g(x_n)$。
3. $f(x_n)\to L$、$g(x_n)\to L$（Theorem 157）。
4. 由 Lecture 8 夹逼定理（Theorem 82），$h(x_n)\to L$。
5. 翻译回来：$\lim_{x\to c}h=L$。$\blacksquare$

具体数值验算（把 $\epsilon,\delta$ 落成数字）

设 $f(x)=x^2$，$g(x)=1$，$c=2$。由 J2，$\lim_{x\to2}x^2\cdot1=4$。 取 $\epsilon=0.01$：由于 $\vert x^2-4\vert =\vert x-2\vert \vert x+2\vert $，对 $\vert x-2\vert <1$ 有 $\vert x+2\vert <5$， 故取 $\delta=\min\{1,0.01/5\}=\min\{1,0.002\}=0.002$。 验算 $x=2.0019$：$\vert x-2\vert =0.0019<0.002$，$\vert x^2\cdot1-4\vert =\vert x^2-4\vert $， Python 计算得 $0.007603<0.01$ ✓。这说明”乘法”这件事在数值层面确实是”两个小误差的乘积级别”。

再验算 J3 的除法：$f(x)=3x+1$，$g(x)=x+1$，$c=1$。 $L=4$，$M=2\neq0$，$\forall x\neq-1,\ g(x)\neq0$。 $L/M=2$。取 $\epsilon=0.01$：Python 验算 $x=1.0001$ 时 $\frac{3x+1}{x+1}=\frac{4.0003}{2.0001}=2.00005$，误差 $5\times10^{-5}<0.01$ ✓。

【证明机制解说】

这一整节的机制解说只有一句话，但它是本讲最重要的思想：

函数的极限定理不需要重新证一遍，直接借用序列的定理。

为什么可以这样”偷懒”？因为 Lecture 13 的 Theorem 157 是一个等价（iff）命题， 它建立了一个双向的字典：

   函数语言                              序列语言
   ------------------                    ------------------
   lim_{x→c} f(x) = L        <───→       ∀{x_n}⊂S\{c}, x_n→c : f(x_n)→L
   ∀ε∃δ 的 ε-δ 推理          <───→       只有 ε-N 一种推理
   （需要处理"连续统上的所有 x"）           （只需处理"可数条序列"）

字典一旦建好，任何已经用序列语言写好的定理（Lecture 8 的全部内容） 都可以机械地翻译到函数语言。这就是”结构复用 (structural reuse)”。

如果让你自己重新发明这套策略，动机会是这样：Lecture 8 里关于序列极限的定理有 五六个（夹逼、保序、和、积、商、绝对值、根号），每个的 $\epsilon$-$\delta$ 版本 都要重写一遍（还要处理”取 $x_0$ 使 $0<\vert x_0-c\vert <\delta$ 存在”这种聚点细节）， 工作量巨大且机械重复。而定理 157 告诉你： 函数极限这一层没有新信息，它只是序列极限的一个”连续统包装”。 既然如此，把所有精力投在序列层，函数层只做翻译。

一个必须警惕的陷阱：翻译是单向可靠的，但结论不能反向使用。 Theorem 160 的保序性只在”$f(x)\le g(x)$ 对所有 $x\in S$”时成立； 如果只有”某条序列上 $f(x_n)\le g(x_n)$”，那是序列的结论，不能升级成函数的结论。

【证明技巧总结】

• 极限代数运算的通用模板：任取 $\{x_n\}$ → Theorem 157 → 序列定理 → Theorem 157 反向。
• 条件继承清单：商法则要继承 $M\neq0$ 与 $g(x_n)\neq0$； 积法则要继承”收敛序列有界”这条引理；绝对值法则用 Theorem 93。
• 不要漏掉聚点前提：$\lim_{x\to c}$ 的一切结论都以”$c$ 是 $S$ 的聚点”为前提。

定理 166（源文件 Theorem 166）：双侧极限 = 左右极限相等

定理陈述

设 $S\subset\mathbb R$，$c$ 同时是 $S\cap(-\infty,c)$ 与 $S\cap(c,\infty)$ 的聚点。 则 $c$ 是 $S$ 的聚点，并且

证明策略

先单独处理”$c$ 是 $S$ 的聚点”这一附加断言（因为 $(-\infty,c)$ 与 $(c,\infty)$ 中的点都在 $S$ 中，去心邻域非空即得）。

主命题两个方向：

• $(\Rightarrow)$ “砍掉一半还是成立”：双侧定义允许 $x$ 取左或取右， 所以把它限制到左半边，定义自动满足。这一方向”显然但必须写”—— 它的内容是”$0<\vert x-c\vert <\delta$ 的 $\epsilon$-$\delta$ 条件蕴含 $c-\delta<x<c$ 版本与 $c<x<c+\delta$ 版本”。
• $(\Leftarrow)$ “两个半边拼成整体”：这是有技术含量的一边。 给定 $\epsilon$，左极限给出 $\delta_-$，右极限给出 $\delta_+$， 取 $\delta=\min\{\delta_-,\delta_+\}$，则任何满足 $0<\vert x-c\vert <\delta$ 的 $x$ 要么在左半边（用 $\delta_-$），要么在右半边（用 $\delta_+$），两条路都通向 $\vert f(x)-L\vert <\epsilon$。

逐步推导（附加断言：$c$ 是 $S$ 的聚点）

1. 由假设，$c$ 是 $S\cap(-\infty,c)$ 的聚点。 （依据：定理前提。）
2. 由聚点定义（Lecture 13 Definition 148），$\forall\delta>0$， $(c-\delta,c+\delta)\cap\bigl(S\cap(-\infty,c)\bigr)\setminus\{c\}\neq\varnothing$。 （依据：全称实例化。）
3. 而 $S\cap(-\infty,c)\subset S$，故 $(c-\delta,c+\delta)\cap S\setminus\{c\}\neq\varnothing$。 （依据：$A\subset B\Rightarrow(A\cap X)\subset(B\cap X)$。）
4. 由聚点定义，$c$ 是 $S$ 的聚点。$\blacksquare$ （依据：Definition 148。）

逐步推导（$\Rightarrow$ 方向）

1. 设 $\lim_{x\to c}f(x)=L$，即 $\forall\epsilon>0\exists\delta>0:\ (x\in S\wedge0<\vert x-c\vert <\delta)\Rightarrow\vert f(x)-L\vert <\epsilon$。 （依据：Lecture 13 Definition 150。）
2. 取任意 $\epsilon>0$，令 $\delta$ 为第 1 步所给的 $\delta$。 （依据：$\exists$ 实例化。）
3. 设 $x\in S$ 且 $c-\delta<x<c$。则 $\vert x-c\vert =c-x\in(0,\delta)$， 故 $0<\vert x-c\vert <\delta$ 成立。 （依据：代数：$x<c\Rightarrow x-c<0\Rightarrow\vert x-c\vert =c-x>0$；$x>c-\delta\Rightarrow c-x<\delta$。）
4. 由第 1 步的蕴含，$\vert f(x)-L\vert <\epsilon$。 （依据：蕴含消去（modus ponens）。）
5. 由于 $\epsilon>0$ 任意、第 3、4 步对所有满足 $c-\delta<x<c$ 的 $x\in S$ 成立， 得 $\lim_{x\to c^-}f(x)=L$。 （依据：Definition 161 + $\forall$ 引入。）
6. 同理（把 $c-\delta<x<c$ 换成 $c<x<c+\delta$，$\vert x-c\vert =x-c$），得 $\lim_{x\to c^+}f(x)=L$。 $\blacksquare$ （依据：Definition 163，推理与第 3–5 步逐字对称。）

逐步推导（$\Leftarrow$ 方向）

1. 设 $\lim_{x\to c^-}f(x)=L$，即 $\forall\epsilon>0\exists\delta_+’>0$……（改写清楚） \(\forall\epsilon>0\ \exists\delta_->0:\ (x\in S\wedge c-\delta_-<x<c)\Rightarrow\|f(x)-L\|<\epsilon .\) （依据：Definition 161。）
2. 设 $\lim_{x\to c^+}f(x)=L$，即 \(\forall\epsilon>0\ \exists\delta_+>0:\ (x\in S\wedge c<x<c+\delta_+)\Rightarrow\|f(x)-L\|<\epsilon .\) （依据：Definition 163。）
3. 给定任意 $\epsilon>0$。由第 1 步取 $\delta_->0$，由第 2 步取 $\delta_+>0$。 （依据：对同一个 $\epsilon$ 分别实例化两次 $\exists$。）
4. 令 $\delta:=\min\{\delta_-,\delta_+\}$。因为 $\delta_-,\delta_+$ 都是正数， 两个正数的最小值仍为正，故 $\delta>0$ ✓。 （依据：$\min$ 的性质；这一步保证了 $\delta$ 是合法的， 正是 Lecture 13 Theorem 152 证明里用过的同一个技巧。）
5. 设 $x\in S$ 且 $0<\vert x-c\vert <\delta$。 （依据：要证的目标定义的前提。）
6. 二分情形：
   • 情形 $x<c$：则 $\vert x-c\vert =c-x<\delta\le\delta_-$，即 $c-\delta_-<x<c$ 成立， 由第 1 步得 $\vert f(x)-L\vert <\epsilon$。
   • 情形 $x>c$：则 $\vert x-c\vert =x-c<\delta\le\delta_+$，即 $c<x<c+\delta_+$ 成立， 由第 2 步得 $\vert f(x)-L\vert <\epsilon$。 （依据：$\vert x-c\vert <\delta=\min\{\delta_-,\delta_+\}\Rightarrow\vert x-c\vert <\delta_-$ 且 $\vert x-c\vert <\delta_+$； 再按符号去掉绝对值。注意 $x\neq c$ 保证二分穷尽且互斥。）
7. 两种情形都得 $\vert f(x)-L\vert <\epsilon$，故 $\forall\epsilon>0\exists\delta>0:(x\in S\wedge0<\vert x-c\vert <\delta)\Rightarrow\vert f(x)-L\vert <\epsilon$， 即 $\lim_{x\to c}f(x)=L$。$\blacksquare$ （依据：Definition 150 + $\forall$ 引入。）

具体示例 1（阶梯函数，源文件 Example 165）

• $\lim_{x\to0^-}f=0$：取任意 $\epsilon>0$，令 $\delta=1$。 若 $x\in S$ 且 $-1<x<0$，则 $f(x)=0$，$\vert f(x)-0\vert =0<\epsilon$ ✓。 （这里 $\delta$ 可以取任何正数，因为在该区域内 $f$ 恒等于 $0$。）
• $\lim_{x\to0^+}f=1$：同样取 $\delta=1$。若 $0<x<1$，$f(x)=1$，$\vert f(x)-1\vert =0<\epsilon$ ✓。
• 由于 $0\neq1$，由 Theorem 166 的逆否，双侧极限 $\lim_{x\to0}f(x)$ 不存在。 这就是跳跃间断 (jump discontinuity) 的原型。
• 注意 $f(0)$ 未定义——双侧极限存在与否与 $f(0)$ 无关， 但连续性就会因此无从谈起（连续要求 $c\in S$）。

具体示例 2：$f(x)=\vert x\vert /x$

对 $x<0$，$f\equiv-1$，故 $\lim_{x\to0^-}f=-1$（取任意 $\delta>0$，误差恒为 $0$）； 对 $x>0$，$f\equiv1$，故 $\lim_{x\to0^+}f=1$。两者不等，双侧极限不存在。 （Python 验算：$f(-0.5)=-1$，$f(0.5)=1$ ✓。）这也是跳跃间断。

具体示例 3：$f(x)=x\sin(1/x)\ (x\neq0)$，$f(0)=0$

由定理 159 第 2 项，$\lim_{x\to0}f=0=f(0)$。左右极限当然也都等于 $0$ （因为双侧极限存在，由 Theorem 166 的 $\Rightarrow$ 方向自动得到）。 所以这个函数在 $0$ 处连续——尽管 $\sin(1/x)$ 在 $0$ 附近疯狂振荡， 但乘上 $x$ 之后振荡被压平，图像虽然”抖”却不断地穿过原点。

具体示例 4（$\delta=\min$ 技巧必须用）： 设

在 $c=0$ 处：左极限为 $1$（取 $\delta_-=1$），右极限为 $1$（取 $\delta_+=1$）， 故双侧极限为 $1$，且 $\delta=\min\{1,1\}=1$。若左极限只需 $\delta_-=0.1$、右极限只需 $\delta_+=0.5$， 则 $\delta=\min\{0.1,0.5\}=0.1$ —— 必须取小的那个， 因为双侧窗口 $(-0.1,0.1)$ 要同时落在两个单侧窗口内。

反例（前提不可省）：取 $S=\{1/n:n\in\mathbb N\}\cup\{2\}$，$c=0$。 此时 $0$ 是 $S$ 的聚点，但 $S\cap(0,\infty)$ 的聚点只有 $0$， 而 $S\cap(-\infty,0)=\varnothing$，故 $0$ 不是左半边的聚点。 若强行谈左极限，定义前件恒假、任何 $L$ 都满足，定理失效。 这说明两个”半边聚点”的前提是定理的一部分。

【证明机制解说】

$\Leftarrow$ 方向的”灵光一现”是$\min$ 技巧：把两个分别给左右半边的窗口 合并成一个对称窗口，只需取两者中较小的半径。 为什么必须取 $\min$ 而不能取平均或取大者？ 因为 $\delta$ 必须同时满足两个要求：$\vert x-c\vert <\delta$ 要能推出 $\vert x-c\vert <\delta_-$ 且 $\vert x-c\vert <\delta_+$。取 $\min$ 是唯一能同时保证这两条的对称选择 （取大者会破坏 $\delta_-$ 那条；取平均也可能超过较小的那个）。 这个技巧在 Lecture 13 Theorem 152（极限唯一性）里已经用过一次 （$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$），在 Lecture 8 Theorem 89(1) 里用的是 $M=\max\{M_0,M_1\}$ —— 一边取 $\min$、一边取 $\max$，方向感要清楚：

   要保证 δ 同时"小于等于"两个候选 δ  →  取 min   （δ 越小，条件越容易满足）
   要保证 M 同时"大于等于"两个候选 M  →  取 max   （M 越大，条件越容易满足）

为什么”$\Rightarrow$ 显然也要写”？ 因为”显然”里藏着 $0<\vert x-c\vert <\delta$ 与 “$c-\delta<x<c$”之间的转换，而这个转换需要正确使用绝对值（$x<c$ 时 $\vert x-c\vert =c-x$）。 把这一步写出来，才能保证读者不会在符号上翻车。

【证明技巧总结】

• $\min$ 合并窗口 / $\max$ 合并截断：左右拼整体用 $\min$；有限多项用 $\max$。
• 双向证明的分工：$\Rightarrow$ 通常是”限制/削弱条件”，$\Leftarrow$ 通常是”合并/拼装条件”。
• 否定定理结论前先检查前提：本定理要求 $c$ 是两个半边的聚点。
• 跳跃间断的判定流程：算左极限、算右极限、比较。

定理（补充，Lecture 15 Theorem 171）：连续性的三个等价刻画

出处说明：这是 Lecture 15 源文件的 Theorem 171（OCW 编号）， 对应 [JL] Proposition 3.2.2。Lecture 14 定义了连续性（Definition 167） 但没有给出这个等价刻画；它紧接着在下一讲出现。 由于 Assignment 8 第 2、5 题都要用它，我们前置到本讲完整证明。

定理陈述

设 $S\subset\mathbb R$，$c\in S$，$f:S\to\mathbb R$。则

1. 若 $c$ 不是 $S$ 的聚点，则 $f$ 在 $c$ 处自动连续；
2. 若 $c$ 是 $S$ 的聚点，则 \(f\ \text{在}\ c\ \text{连续}\iff\lim_{x\to c}f(x)=f(c);\)
3. $f$ 在 $c$ 处连续 $\iff$ 对每一条满足 $x_n\in S$、$x_n\to c$ 的序列， 都有 $f(x_n)\to f(c)$。

证明策略

• 第 1 条：找出孤立点的”真空窗口”。$c$ 不是聚点意味着存在一个 $\delta_0$， 使 $S$ 在 $(c-\delta_0,c+\delta_0)$ 内除 $c$ 外什么都没有。 取 $\delta=\delta_0$，窗口里唯一可能的 $x$ 就是 $c$ 本身，误差为 $0$。
• 第 2 条：两边都靠”去掉 $0<$”来对照定义。一个方向把极限定义里的 $x\neq c$ 放宽到允许 $x=c$（这一点自动成立）；另一个方向把连续定义里的 $\vert x-c\vert <\delta$ 收紧到 $0<\vert x-c\vert <\delta$（条件更强，结论自然继承）。
• 第 3 条：$(\Rightarrow)$ 直接 $\epsilon$-$\delta$ 套 $\epsilon$-$N$； $(\Leftarrow)$ 反证 + 构造 $x_n$ 使 $\vert x_n-c\vert <1/n$ 且误差 $\ge\epsilon_0$， 再用夹逼让 $x_n\to c$，最终用序列极限与 $\epsilon_0$ 的矛盾收尾。

逐步推导（第 1 条：孤立点自动连续）

1. 设 $c$ 不是 $S$ 的聚点。由聚点定义的否定（Lecture 13 Definition 148）， \(\exists\delta_0>0\ \text{s.t. } (c-\delta_0,c+\delta_0)\cap S\setminus\{c\}=\varnothing .\) （依据：$\forall\delta>0,\ \text{非空}$ 的否定是 $\exists\delta>0,\ \text{空}$。）
2. 给定任意 $\epsilon>0$，令 $\delta:=\delta_0>0$。 （依据：第 1 步给出的 $\delta_0$；注意 $\delta_0$ 无需依赖 $\epsilon$。）
3. 设 $x\in S$ 且 $\vert x-c\vert <\delta=\delta_0$。 （依据：连续性定义的前提。）
4. 则 $x\in(c-\delta_0,c+\delta_0)\cap S$。 （依据：$\vert x-c\vert <\delta_0\iff c-\delta_0<x<c+\delta_0$。）
5. 若 $x\neq c$，则 $x\in(c-\delta_0,c+\delta_0)\cap S\setminus\{c\}=\varnothing$，矛盾。 故必有 $x=c$。 （依据：第 1 步 + 反证。）
6. 于是 $\vert f(x)-f(c)\vert =\vert f(c)-f(c)\vert =0<\epsilon$。 （依据：绝对值的正定性，Lecture 5 Theorem 50(1)；$\epsilon>0$。）
7. 由 $\epsilon>0$ 任意，$f$ 在 $c$ 处连续。$\blacksquare$ （依据：Definition 167。）

逐步推导（第 2 条 $(\Rightarrow)$：极限 = 函数值 $\Rightarrow$ 连续）

1. 设 $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$，即 $\forall\epsilon>0\exists\delta>0:(x\in S\setminus\{c\}\wedge\vert x-c\vert <\delta)\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。 （依据：Definition 150，其中 $L:=f(c)$。）
2. 给定 $\epsilon>0$，取第 1 步的 $\delta>0$。（依据：$\exists$ 实例化。）
3. 设 $x\in S$ 且 $\vert x-c\vert <\delta$。
4. 二分：
   • 若 $x\neq c$：则 $x\in S\setminus\{c\}$ 且 $\vert x-c\vert <\delta$，由第 1 步得 $\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。
   • 若 $x=c$：则 $\vert f(x)-f(c)\vert =\vert f(c)-f(c)\vert =0<\epsilon$。 （依据：第 1 步的蕴含 + 绝对值的正定性。）
5. 两种情形都成立，故 $\forall\epsilon>0\exists\delta>0:(x\in S\wedge\vert x-c\vert <\delta)\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$， 即 $f$ 在 $c$ 连续。$\blacksquare$ （依据：Definition 167。）

逐步推导（第 2 条 $(\Leftarrow)$：连续 $\Rightarrow$ 极限 = 函数值）

1. 设 $f$ 在 $c$ 连续，即 $\forall\epsilon>0\exists\delta>0:(x\in S\wedge\vert x-c\vert <\delta)\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。 （依据：Definition 167。）
2. 给定 $\epsilon>0$，取第 1 步的 $\delta>0$。（依据：$\exists$ 实例化。）
3. 设 $x\in S\setminus\{c\}$ 且 $\vert x-c\vert <\delta$。 （依据：Definition 150 的前提；注意 $S\setminus\{c\}\subset S$。）
4. 由 $x\in S\setminus\{c\}\subset S$ 与 $\vert x-c\vert <\delta$，第 1 步的蕴含给出 $\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。 （依据：蕴含消去 + 集合包含。）
5. 故 $\forall\epsilon>0\exists\delta>0:(x\in S\setminus\{c\}\wedge\vert x-c\vert <\delta)\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$， 即 $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$。$\blacksquare$ （依据：Definition 150。） 注意：这里没有说”极限存在是因为右边收敛”——恰恰相反， 我们直接构造出了极限的定义满足，而 $L=f(c)$ 就是那个极限值。

逐步推导（第 3 条 $(\Rightarrow)$：连续 $\Rightarrow$ 序列刻画）

1. 设 $f$ 在 $c$ 连续。任取序列 $\{x_n\}$，$x_n\in S$，$x_n\to c$。 （依据：要对所有这样的序列验证。）
2. 给定 $\epsilon>0$。由连续性，$\exists\delta>0$ 使 $x\in S\wedge\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。 （依据：Definition 167 + $\exists$ 实例化。）
3. 由 $x_n\to c$（Definition：$\forall\epsilon^{\prime}\exists M\forall n\ge M,\ \vert x_n-c\vert <\epsilon^{\prime}$）， 取 $\epsilon^{\prime}=\delta>0$，得 $\exists M_0\in\mathbb N$ 使 $\forall n\ge M_0,\ \vert x_n-c\vert <\delta$。 （依据：序列收敛定义 + $\exists$ 实例化。）
4. 令 $M:=M_0$。设 $n\ge M$。 （依据：构造。）
5. 因为 $x_n\in S$ 且 $\vert x_n-c\vert <\delta$，由第 2 步得 $\vert f(x_n)-f(c)\vert <\epsilon$。 （依据：蕴含消去。）
6. 由 $\epsilon>0$ 任意，$\forall\epsilon>0\exists M\forall n\ge M,\ \vert f(x_n)-f(c)\vert <\epsilon$， 即 $f(x_n)\to f(c)$。$\blacksquare$ （依据：序列收敛定义。）

逐步推导（第 3 条 $(\Leftarrow)$：序列刻画 $\Rightarrow$ 连续）

1. 设对每条 $x_n\in S$、$x_n\to c$ 的序列都有 $f(x_n)\to f(c)$。 （依据：反证的前提。）
2. 反设 $f$ 在 $c$ 不连续。由 Negation 170（源文件 Negation 170）， \(\exists\epsilon_0>0\ \text{s.t. }\forall\delta>0\ \exists x\in S:\ \|x-c\|<\delta\ \text{且}\ \|f(x)-f(c)\|\ge\epsilon_0 .\) （依据：Definition 167 的否定。）
3. 对每个 $n\in\mathbb N$，取 $\delta=1/n>0$，由第 2 步得 \(\exists x_n\in S\ \text{s.t. }\ \|x_n-c\|<\tfrac1n\ \text{且}\ \|f(x_n)-f(c)\|\ge\epsilon_0 .\) （依据：$\forall\delta$ 实例化 + $\exists$ 实例化； 注意 $x_n$ 允许依赖 $n$，这正是量词顺序 $\forall\delta\exists x$ 所允许的。）
4. 由 $0\le\vert x_n-c\vert <\frac1n$ 与 $\frac1n\to0$，用夹逼定理（Lecture 8 Theorem 82）得 $\vert x_n-c\vert \to0$，再由 Theorem 84 得 $x_n\to c$。 （依据：夹逼定理 + Theorem 84。）
5. 又 $x_n\in S$，故第 1 步的假设适用，给出 $f(x_n)\to f(c)$，即 $\vert f(x_n)-f(c)\vert \to0$。 （依据：第 1 步 + Theorem 84。）
6. 但由第 3 步，$\forall n,\ \vert f(x_n)-f(c)\vert \ge\epsilon_0>0$。 由 Lecture 8 Theorem 87(1)（保序性）， \(0=\lim_{n\to\infty}\|f(x_n)-f(c)\|\ge\epsilon_0>0,\) 这是矛盾。 （依据：Theorem 87(1) + 极限唯一性；$0\ge\epsilon_0>0$ 不可能。）
7. 故反设不成立，$f$ 在 $c$ 处连续。$\blacksquare$ （依据：反证法。）

具体示例（把数值走一遍）

（a）孤立点自动连续。 取 $S=\mathbb Z$（整数集），$c=5$， $f(x)=x^2$（其实任何 $f$ 都行）。$5$ 不是 $\mathbb Z$ 的聚点： 取 $\delta_0=\frac12$，则 $(4.5,5.5)\cap\mathbb Z\setminus\{5\}=\varnothing$ ✓。 于是对任意 $\epsilon>0$（比如 $\epsilon=10^{-6}$），取 $\delta=\frac12$： 窗口内唯一的整数是 $5$，$\vert f(5)-f(5)\vert =0<10^{-6}$ ✓。自动连续，不用算。 （这正是 [JL] Exercise 3.2.12 的内容。）

（b）极限 = 函数值。 $f(x)=3x+1$，$c=2$。Lecture 13 Example 153 已证 $\lim_{x\to2}f=7$，而 $f(2)=7$，故连续。 $\epsilon=0.03$ 时取 $\delta=\frac{0.03}{1+3}=0.0075$； 验算 $x=2.005$：$\vert x-2\vert =0.005<0.0075$，$\vert f(x)-7\vert =0.015<0.03$ ✓（Python 核对）。

（c）序列刻画。 $f(x)=x^2$，取 $x_n=1+\frac1n\to1$， 则 $f(x_n)=(1+\frac1n)^2\to1=f(1)$ ✓。这正是 Theorem 158 的序列证明的重演。

反例（序列刻画的反面）

$f(x)=1\ (x\neq0)$，$f(0)=2$，$c=0$。取 $x_n=\frac1n\to0$， 则 $f(x_n)=1\to1\neq2=f(0)$，序列刻画直接判定不连续—— 比 $\epsilon_0=1$ 的证法更省事，这也说明序列刻画在”证不连续”时特别好用： 只要找到一条序列让输出收敛到错误的值（或发散）即可。

【证明机制解说】

第 1 条的思想是“孤立点附近没有别的点，因此没有约束”。 这是一个极其容易被忽略的细节：很多学生把”连续”等同于”图像一笔画”， 于是觉得定义域是 $\mathbb Z$ 这种散点的函数”处处断”； 但按定义它们处处连续，因为在每个整数点附近， 函数根本没有”邻居”可以比较。连续性是局部性质， 它只约束”定义域内的点”，不约束定义域外的空白。

第 3 条的 $(\Leftarrow)$ 方向是全定理最有技术含量的部分， 其思想是“把连续性的失败量化为一条序列”。 关键观察：不连续的定义是 $\exists\epsilon_0\forall\delta\exists x(\dots)$， 其中的 $x$ 允许依赖 $\delta$。既然 $\delta$ 可以任意小， 我们就让 $\delta=\frac1n$ 跑一遍，每一步抽出一个”坏点” $x_n$， 于是把不可数的 $\delta$ 集合压缩成可数的序列。 这条序列 $x_n\to c$（被 $\frac1n$ 夹住）， 但 $f(x_n)$ 始终离 $f(c)$ 至少 $\epsilon_0$——矛盾。

如果要”自己发明”这个证明，可以这样想：我们要把”$\forall\delta\exists x$” 变成”$\exists\{x_n\}$”。最自然的做法就是让 $\delta$ 取一个趋于 $0$ 的序列 （$\frac1n$ 是最常用的选择），每次取出对应的 $x$。 这正是 Lecture 13 Theorem 157 里 $(\Leftarrow)$ 方向用过的同一招 （当时取 $0<\vert x_n-c\vert <\frac1n$ 且 $\vert f(x_n)-L\vert \ge\epsilon_0$）。 同一个技巧在极限与连续两个场景中复用，是极好的记忆锚点。

【证明技巧总结】

• 孤立点判定：先问”$c$ 是 $S$ 的聚点吗？”不是 → 连续免费。
• ”$\frac1n$ 量化法”：把 $\forall\delta\exists x$ 中的 $\delta$ 取为 $\frac1n$， 抽出一条反例序列，再用夹逼 + 保序性制造矛盾。
• 序列刻画的两个用途：证连续（流水线翻译）；证不连续（找一条坏序列， 比 $\epsilon$-$\delta$ 简单得多）。
• 连续定义里 $x=c$ 无害：写证明时不要怕”取 $x=c$”，那一步误差为 $0$。

—##### 定理（补充，[JL] Proposition 3.2.5 / Lecture 15 Theorem 174）：连续函数的代数运算

出处说明：Lecture 15 源文件 Theorem 174 陈述了这三条但写 “These proofs are left to the reader.” [JL] 给的是 Proposition 3.2.5。Final 第 2(b) 题正是本条的第 2 项（乘积）， 所以下面把完整证明写出，供考试直接使用。

定理陈述（补充）

设 $f:S\to\mathbb R$、$g:S\to\mathbb R$ 在 $c\in S$ 连续。则

1. $f+g$ 在 $c$ 连续；
2. $f\cdot g$ 在 $c$ 连续；
3. 若 $\forall x\in S,\ g(x)\neq0$，则 $\dfrac fg$ 在 $c$ 连续。

证明策略

不用 $\epsilon$-$\delta$，用序列刻画 + 上一条的代数运算法则（J1–J3）。 这是本讲的”再分红”：连续性的序列刻画（Theorem 171 第 3 条）+ 极限的代数运算（J1–J3）= 连续的代数运算，零额外难度。

逐步推导（第 1 项：$f+g$）

1. 设 $c$ 是 $S$ 的聚点或孤立点，分两种情形处理（因为 Theorem 171 的两条分支前提不同）。 情形 A：$c$ 是 $S$ 的聚点。 （依据：情形划分。）
2. 由 Theorem 171 第 2 条，$f$ 连续 $\Rightarrow\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$； 同理 $\lim_{x\to c}g(x)=g(c)$。 （依据：Theorem 171(2) 的 $(\Leftarrow)$ 方向。）
3. 由 J1（和的极限法则），$\lim_{x\to c}(f+g)(x)=f(c)+g(c)=(f+g)(c)$。 （依据：本笔记定理 J1，其前提”两个极限都存在”已在第 2 步满足。）
4. 由 Theorem 171 第 2 条反向，$f+g$ 在 $c$ 连续。 （依据：Theorem 171(2) 的 $(\Rightarrow)$ 方向。）
5. 情形 B：$c$ 不是 $S$ 的聚点。 由 Theorem 171 第 1 条，$f$ 与 $g$ 都在 $c$ 连续 （自动连续），而任何函数在孤立点都连续，故 $f+g$ 也在 $c$ 连续。 （依据：Theorem 171(1) 对 $f+g$ 再用一次。）
6. 两种情形都成立，第 1 项证毕。$\blacksquare$

逐步推导（第 2 项：$fg$，Final 第 2(b) 题的标准答案）

1. 设 $c\in S$。
2. 情形 A：$c$ 是 $S$ 的聚点。 由 Theorem 171 第 2 条， $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ 且 $\lim_{x\to c}g(x)=g(c)$。 （依据：Theorem 171(2)，连续性 $\Rightarrow$ 极限等于函数值。）
3. 由 J2（积的极限法则，其自身依据是 Lecture 8 Theorem 89(3)）， \(\lim_{x\to c}(fg)(x)=\Bigl(\lim_{x\to c}f(x)\Bigr)\Bigl(\lim_{x\to c}g(x)\Bigr)=f(c)\,g(c)=(fg)(c).\) （依据：J2 + 第 2 步。注意 Theorem 89(3) 的证明用到”$\{g(x_n)\}$ 有界”， 而这条由”收敛序列必有界”（Lecture 8）保证，链条完整。）
4. 由 Theorem 171 第 2 条反向，$fg$ 在 $c$ 连续。$\blacksquare$ （依据：Theorem 171(2)。）
5. 情形 B：$c$ 不是 $S$ 的聚点。 由 Theorem 171(1)，$fg$ 在 $c$ 连续。$\blacksquare$

逐步推导（第 3 项：$f/g$）

1. 设 $c\in S$，$\forall x\in S,\ g(x)\neq0$。
2. 情形 A：$c$ 是 $S$ 的聚点。 由 Theorem 171(2)， $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$、$\lim_{x\to c}g(x)=g(c)$。 （依据：Theorem 171(2)。）
3. 由 $g(x)\neq0\ \forall x\in S$ 的假设，特别地 $g(c)\neq0$。 （依据：全称实例化，$c\in S$。这一步不可省：若 $g(c)=0$ 则 $f/g$ 在 $c$ 无定义。）
4. 由 J3（商的极限法则），$\lim_{x\to c}\frac fg(x)=\frac{f(c)}{g(c)}=(\frac fg)(c)$。 （依据：J3；其两个前提——$g(c)\neq0$ 与 “$g(x_n)\neq0$ 对一切 $n$”—— 分别由第 3 步与假设 $\forall x\in S\ g(x)\neq0$ 保证。）
5. 由 Theorem 171(2) 反向，$f/g$ 在 $c$ 连续。$\blacksquare$ （依据：Theorem 171(2)。）

推论（补充）：常数倍、绝对值、平方根

• $cf$ 连续（$c\in\mathbb R$ 常数）：取 $g\equiv c$（常函数连续，见下文）后用乘积法则。
• $\vert f\vert $ 连续：在聚点情形用 J4（$\lim\vert f\vert =\vert \lim f\vert =\vert f(c)\vert $）与 Theorem 171(2)； 在孤立点情形用 Theorem 171(1)。
• $\sqrt f$ 连续（要求 $f\ge0$）：在聚点情形， 先由 $f$ 连续得 $f(x_n)\to f(c)$，再由 Lecture 8 Theorem 91 （$\sqrt{\cdot}$ 与极限交换：$x_n\to x,x_n\ge0\Rightarrow\sqrt{x_n}\to\sqrt x$）得 $\sqrt{f(x_n)}\to\sqrt{f(c)}$；最后用 Theorem 171(3) 翻译回连续。 这里必须要求 $f\ge0$，否则 $\sqrt f$ 无定义。

验算：连续性的代数运算（把 $\epsilon$ 取成数字）

$f(x)=x$（连续，这是恒等函数）、$g(x)=x$，$c=3$。由乘积法则 $x^2$ 连续。 取 $\epsilon=0.01$，$\delta=\min\{1,\frac{0.01}{2\cdot3+1}\}=\frac1{700}\approx0.0014286$。 验算 $x=3.0014$：$\vert x^2-9\vert =0.008402<0.01$ ✓（Python）。$7\delta=0.01$，恰好卡在边界， 说明这个 $\delta$ 是紧的。

再验算商：$f(x)=x^2$，$g(x)=x+1$，$c=2$。$f(2)=4$，$g(2)=3\neq0$， $(\frac fg)(2)=\frac43$。取 $x=2.001$：$\frac{x^2}{x+1}=\frac{4.004001}{3.001}=1.334222$， 而 $\frac43=1.333333$，误差 $8.9\times10^{-4}$（Python 核对通过）。

【证明机制解说】

这里的核心思想是“连续性的所有代数性质都是极限代数性质的免费推论”。 链条是这样的：

   连续性 (Theorem 171(2))  ⟺  lim f = f(c)          ← 把连续翻译成极限等式
   极限的代数运算 (J1–J4)    ⟹  lim(fg) = (lim f)(lim g)  ← 在极限层做运算
   Theorem 171(2) 反向       ⟹  fg 连续                ← 翻译回连续

所以证明中不出现任何 $\epsilon$ 和 $\delta$。这与 $\epsilon$-$\delta$ 直接证明相比， 节省的不只是篇幅，更是思路：直接证明需要”先证局部有界再控误差”一大堆技术准备， 而在序列层，这些准备早在 Lecture 8 就完成了。

必须提醒的一个细节：孤立点情形不能省略。因为 Theorem 171(2) 只覆盖聚点情形， 如果 $c$ 是孤立点（例如 $S=\mathbb Z$），”$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$”这句话 根本没有定义（极限只在聚点处谈）。正确写法是引用 Theorem 171(1)： 孤立点处一切函数都连续，所以 $fg$ 也连续。考试中如果把这两种情形混为一谈， 严格说是有逻辑漏洞的（虽然很多教材默认 $S$ 是区间从而回避了这个问题）。

【证明技巧总结】

• 连续 + 代数运算 = 连续：一律走”翻译成极限 → 用极限运算法则 → 翻译回来”。
• 除法的两个前提：$g(c)\neq0$ 与 $g$ 在整个 $S$ 上非零，一个都不能漏。
• 孤立点/聚点分情形：这是严谨性要求，尤其当 $S$ 不是区间时。
• $\sqrt f$ 需要 $f\ge0$：否则函数本身无定义，谈不上连续。

定理（补充，[JL] Theorem 3.2.6 / Lecture 15 Theorem 173）：多项式与有理函数的连续性

出处说明：Lecture 15 源文件 Theorem 173 用序列刻画证明了多项式连续； [JL] 的路线是”常函数与恒等函数连续 + 代数运算 + 归纳”。两条路线都对， 我们把 [JL] 路线写出（因为它展示了归纳结构），并指出与源文件路线的等价性。

定理陈述（补充）

若 $f$ 是多项式，即 $f(x)=a_dx^d+\cdots+a_1x+a_0$（$a_i\in\mathbb R$）， 则 $f$ 在整个 $\mathbb R$ 上连续。 若有理函数 $R(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$（$p,q$ 为多项式）， 则 $R$ 在其定义域 $\{x\in\mathbb R:q(x)\neq0\}$ 上连续。

证明策略

“从两块积木出发，用代数运算搭起整座大厦”。两块积木是：

• 常函数 $f(x)\equiv a$ 连续（取 $\delta=1$，误差恒为 $0$）；
• 恒等函数 $f(x)=x$ 连续（取 $\delta=\epsilon$，误差恰为 $\vert x-c\vert $）。

然后：由乘积法则得到 $x^k$ 连续（对 $k$ 归纳）；由数乘法则得到 $a_kx^k$ 连续； 由加法法则（对项数归纳）得到整个多项式连续。有理函数再用商法则。

逐步推导

1. 常函数连续：设 $f\equiv a$（$a\in\mathbb R$）。给定 $\epsilon>0$，取 $\delta=1$（或任何正数）。 若 $\vert x-c\vert <\delta$，则 $\vert f(x)-f(c)\vert =\vert a-a\vert =0<\epsilon$ ✓。 （依据：Definition 167；绝对值的正定性。）
2. 恒等函数连续：设 $f(x)=x$。给定 $\epsilon>0$，取 $\delta=\epsilon>0$。 若 $\vert x-c\vert <\delta$，则 $\vert f(x)-f(c)\vert =\vert x-c\vert <\delta=\epsilon$ ✓。 （依据：Definition 167。）
3. $x^k$ 连续（$k\in\mathbb N$）：对 $k$ 归纳。
   • $k=1$：即第 2 步。
   • 归纳步骤：设 $x^k$ 连续，则由乘积法则（本笔记第 2 项）， $x^{k+1}=x^k\cdot x$ 是两个连续函数之积，故连续。 （依据：数学归纳法 + 乘积法则。）
4. $a_kx^k$ 连续：$a_k$ 是常函数（连续），$x^k$ 连续， 由乘积法则 $a_kx^k$ 连续。 （依据：乘积法则。）
5. 有限和连续：对项数做归纳。设 $h_1,\dots,h_m$ 都连续，则 $h_1+\cdots+h_m$ 连续（每加一项用一次加法法则）。 （依据：数学归纳法 + 和的法则。）
6. 于是 $f(x)=a_dx^d+\cdots+a_0$ 是有限个连续函数之和，故连续。 （依据：第 4、5 步。）
7. 有理函数：$R=p/q$ 是 $p$、$q$ 之商。在 $D=\{x:q(x)\neq0\}$ 上， $q$ 处处非零，由商的法则 $R$ 在 $D$ 上连续。$\blacksquare$ （依据：商的法则，其前提 $g(c)\neq0$ 对每个 $c\in D$ 由 $D$ 的定义保证。）

与源文件路线的对照：源文件 Lecture 15 Theorem 173 的证明是 “任取 $x_n\to c$，由 Lecture 8 的序列极限法则 $\lim f(x_n)=a_d(\lim x_n)^d+\cdots+a_0=f(c)$，再由序列刻画得连续”。 两条路线逻辑等价，但源文件路线更短——因为它把归纳的负担也转嫁给了序列定理 （序列版本的代数运算本身就包含了归纳）。这正是”结构复用”的又一次体现。

验算（把 $\delta$ 取成数字）

• 取恒等函数 $f(x)=x$，$c=7$，$\epsilon=0.01$：由第 2 步取 $\delta=\epsilon=0.01$。 验算 $x=7.009$：$\vert f(x)-f(7)\vert =0.009<0.01$ ✓（Python）。
• 取 $f(x)=x^2-3x+1$，$c=2$：$f(2)=4-6+1=-1$。 取 $\epsilon=0.05$：因为 $f(x)+1=x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$， 对 $\vert x-2\vert <1$ 有 $\vert x-1\vert <2$，故 $\vert f(x)-f(2)\vert =\vert x-2\vert \vert x-1\vert <2\vert x-2\vert $， 取 $\delta=\min\{1,\frac{0.05}{2}\}=0.025$。 验算 $x=2.02$：$\vert f(x)+1\vert =\vert (0.02)(1.02)\vert =0.0204<0.05$ ✓（Python）。

反例（有理函数的定义域必须排除零点）

$R(x)=\dfrac1{x^2-1}$ 在 $x=\pm1$ 处无定义，所以”在 $x=1$ 处连续”这句话 既不真也不假，而是没有意义（连续性要求在 $c$ 处有定义）。 同理 $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 无定义，尽管 $\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ 存在。 这正是”极限存在但函数无定义”的典型，也是 Lecture 13 Example 165 提到的 “$\lim_{x\to0^-}f=0$，$\lim_{x\to0^+}f=1$，although $f(0)$ is undefined”的同一类现象。

【证明机制解说】

这个证明的思想是“代数的可组合性”。整个构造可以画成一棵生成树：

        常数函数 (连续)        恒等函数 x (连续)
              │                     │
              │                     ├── 乘积 ──→ x²  ──乘积──→ x³ ──→ ...
              │                     │
              └──── 乘积 ───────────┴──→ a_k x^k  (连续)
                                            │
                                     有限和（归纳）──→ 多项式 (连续)
                                            │
                                       商法则 ──→ 有理函数 (在其定义域上连续)

这个”生成树”思维是分析课程的主线之一：先确立最简单的构件， 再用封闭性定理（运算封闭、复合封闭、取极限封闭）向外扩张。 只要封闭性定理证一次，就永久可用。

【证明技巧总结】

• 构件 + 封闭性 = 整类函数：这是把”逐点 $\epsilon$-$\delta$”升级为”整体结论”的标准范式。
• 归纳的两个层次：幂次归纳（$x^k$）与项数归纳（有限和），别混淆。
• 定义域先行：涉及除法/根号前，先把定义域写清楚。

定理（补充，[JL] Theorem 3.2.7 / Lecture 15 Theorem 175）：复合函数的连续性

定理陈述（补充）

设 $B\subset\mathbb R$，$A\subset\mathbb R$，$g:A\to B$，$f:B\to\mathbb R$。 若 $g$ 在 $c\in A$ 连续，且 $f$ 在 $g(c)\in B$ 连续，则 $f\circ g$ 在 $c$ 连续。

证明策略

两条路都写：

• 路线 1（源文件 Lecture 15 Theorem 175 的做法，三行）：用序列刻画。 $x_n\to c\Rightarrow g(x_n)\to g(c)\Rightarrow f(g(x_n))\to f(g(c))$。
• 路线 2（$\epsilon$-$\delta$，两次数 $\epsilon$-$\delta$）： 先把外层的 $\epsilon$ 换成内层的 $\delta_g$，再把 $\delta_g$ 换成 $\delta_f$。 这条路线展示了$\delta$ 的选取顺序，是本讲必须掌握的技能。

逐步推导（路线 1：序列刻画，三行）

1. 任取序列 $\{x_n\}$，$x_n\in A$，$x_n\to c$。 （依据：序列刻画要求任意。）
2. 由 $g$ 在 $c$ 连续与 Theorem 171(3)，$g(x_n)\to g(c)$。 （依据：Theorem 171(3) 的 $(\Rightarrow)$。）
3. 注意 $g(x_n)\in B$ 对一切 $n$（因为 $g$ 的值域含于 $B$）， 且 $g(x_n)\to g(c)$，故序列 $\{g(x_n)\}$ 是 $B$ 中收敛到 $g(c)$ 的序列。 （依据：$g:A\to B$ 的值域条件。）
4. 由 $f$ 在 $g(c)$ 连续与 Theorem 171(3)，$f(g(x_n))\to f(g(c))$。 （依据：Theorem 171(3) 对 $f$ 使用。）
5. 即 $(f\circ g)(x_n)\to(f\circ g)(c)$。由第 1 步序列任意 + Theorem 171(3)， $f\circ g$ 在 $c$ 连续。$\blacksquare$ （依据：Theorem 171(3) 的 $(\Leftarrow)$。）

逐步推导（路线 2：$\epsilon$-$\delta$，注意 $\delta$ 的嵌套顺序）

1. 给定任意 $\epsilon>0$。 （依据：要证的目标定义。）
2. 第一层（外层 $f$）：由 $f$ 在 $g(c)$ 连续， \(\exists\delta_g>0\ \text{s.t. }\ \forall y\in B,\ \|y-g(c)\|<\delta_g\Rightarrow\|f(y)-f(g(c))\|<\epsilon .\) （依据：Definition 167 应用于 $f$、点 $g(c)$、误差上界 $\epsilon$。 注意这里把外层的 $\epsilon$ 用作 $f$ 的误差上界。这一步给出的 $\delta_g$ 可能依赖 $g(c)$ 与 $\epsilon$，但不依赖 $x$。）
3. 第二层（内层 $g$）：把 $\delta_g$ 当作新的”误差上界”， 由 $g$ 在 $c$ 连续， \(\exists\delta_f>0\ \text{s.t. }\ \forall x\in A,\ \|x-c\|<\delta_f\Rightarrow\|g(x)-g(c)\|<\delta_g .\) （依据：Definition 167 应用于 $g$、点 $c$、误差上界 $\delta_g>0$ ——这一步合法的前提正是第 2 步保证了 $\delta_g>0$。）
4. 令 $\delta:=\delta_f>0$。 （依据：命名。）
5. 设 $x\in A$ 且 $\vert x-c\vert <\delta=\delta_f$。 （依据：目标定义的前提。）
6. 由第 3 步的蕴含，$\vert g(x)-g(c)\vert <\delta_g$。 （依据：蕴含消去。）
7. 又 $g(x)\in B$（值域条件），把第 6 步的 $y:=g(x)\in B$ 代入第 2 步的蕴含， 得 $\vert f(g(x))-f(g(c))\vert <\epsilon$。 （依据：第 2 步的蕴含消去；$y=g(x)$ 满足 $y\in B$ 与 $\vert y-g(c)\vert <\delta_g$。）
8. 即 $\vert (f\circ g)(x)-(f\circ g)(c)\vert <\epsilon$。由 $\epsilon>0$ 任意， $f\circ g$ 在 $c$ 连续。$\blacksquare$ （依据：Definition 167。）

具体数值验算（两次 $\epsilon$-$\delta$，全部落成数字）

取 $g(x)=2x$，$f(y)=y^2$，故 $(f\circ g)(x)=4x^2$，取 $c=1$，$g(c)=2$。

• 给定外层 $\epsilon=0.04$。对 $f(y)=y^2$ 在 $y_0=2$ 处： $\vert y^2-4\vert =\vert y-2\vert \vert y+2\vert $，对 $\vert y-2\vert <1$ 有 $\vert y+2\vert <5$， 故取 $\delta_g=\min\{1,\frac{0.04}{5}\}=\min\{1,0.008\}=0.008$。 （验算：$y=2.007\Rightarrow\vert y^2-4\vert =\vert 0.007\vert \vert 4.007\vert =0.028049<0.04$ ✓，Python 核对。）
• 再把 $\delta_g=0.008$ 当作误差上界，对 $g(x)=2x$ 在 $c=1$ 处： $\vert 2x-2\vert =2\vert x-1\vert <0.008\iff\vert x-1\vert <0.004$，故取 $\delta_f=0.004$。
• 综合：$\delta=0.004$。
• 验算：取 $x=1.003$，$\vert x-1\vert =0.003<0.004$； $g(x)=2.006$，$\vert g(x)-g(1)\vert =0.006<0.008$ ✓； $(f\circ g)(x)=4(1.003)^2=4.024036$，$\vert 4.024036-4\vert =0.024036<0.04$ ✓（Python 核对）。 两层都通过。

反例（顺序搞反就会出错）

常见错误是”先给 $g$ 找 $\delta$，再给 $f$ 找 $\delta$”—— 即把上文的第 2、3 步顺序调换。那样得到的 $\delta_f$ 会依赖一个假的 $f$-窗口，无法保证 $\vert g(x)-g(c)\vert $ 落进 $f$ 要求的范围内。 正确的顺序永远是由外向内：先定 $f$ 的 $\delta_g$，再为达到 $\delta_g$ 去定 $g$ 的 $\delta_f$。 一个具体的思维图像：

   x ──(g 的 δf-窗口)──→ g(x) ──(f 的 δg-窗口)──→ f(g(x))
   |x-c| < δf        ⇒   |g(x)-g(c)| < δg   ⇒   |f(g(x))-f(g(c))| < ε
   目标 δ = δf            中间的"传递量"是 δg         最外层目标是 ε

另一个反例（前提不可省）：$g$ 在 $c$ 连续、$f$ 在 $g(c)$ 连续，两个条件都要。 取 $g\equiv0$（连续），取 $f(y)=1\ (y\neq0)$、$f(0)=5$（在 $y=0$ 不连续）。 则 $f\circ g\equiv5$……实际上这是常数，连续——所以这个例子不理想。 换个方向：取 $g(x)=0\ (x\neq0)$、$g(0)=0$，这不改。真正需要说明的是： “$f$ 连续”这个条件不能换成”$f$ 在别处连续”。 取 $g(x)=x$（连续），$f(y)=1\ (y\neq0)$、$f(0)=5$（在 $0$ 不连续）， 则 $f\circ g=f$ 在 $0$ 处不连续。可见”$f$ 在 $g(c)$ 这一点连续”是必需的。

【证明机制解说】

复合的连续性有一个非常漂亮的”一句话证明”（路线 1）： 连续性在序列语言里就是”可以与极限交换位置”， 而复合就是连续做两次交换：

$\epsilon$-$\delta$ 路线（路线 2）的价值在于揭示”$\delta$ 的嵌套”： 外层函数的 $\delta$ 变成了内层函数的”$\epsilon$”。 这个”把一个证明的输出当作另一个证明的输入”的模式， 在分析中反复出现（例如 Lecture 17 的 Lipschitz 与一致连续、 Lecture 19 的链式法则、Lecture 24 的极限交换）。 把这个模式叫“误差传递链 (error relay)” 会很形象： 误差 $\epsilon$ 从最外层出发，被逐层翻译成越来越小的中间指标， 最后落到最内层的 $\delta$。

为什么路线 2 里 $y\in B$ 的限定必须显式写出？ 因为 $f$ 只在 $B$ 上有定义， 而第 2 步的连续定义里的 $y$ 必须取自 $f$ 的定义域。 在路线 1 里这个限定由”$g$ 的值域含于 $B$”隐含地保证， 在路线 2 里如果忘记写，逻辑链上就出现了一个未经许可的代入。 这是一个常被忽略的严谨性细节。

【证明技巧总结】

• 复合连续性的最省力证法：序列刻画，两行。
• $\delta$ 嵌套顺序：由外向内（先 $f$ 的 $\delta_g$，再 $g$ 的 $\delta_f$）。
• 定义域追踪：代入外层函数前，先确认内层输出落在外层定义域内。
• “极限交换”视角：连续 $\iff$ 可与 $\lim$ 交换；复合 = 交换两次。

定理（补充，Assignment 8 第 5 题）：连续性的拓扑刻画

出处说明：Assignment 8 第 5 题原文： “Let $f:\mathbb R\to\mathbb R$. Recall that if $U\subset\mathbb R$, the inverse image of $U$ is the set $f^{-1}(U):=\{x\in\mathbb R:f(x)\in U\}$. Prove that $f$ is continuous if and only if for every open set $U\subset\mathbb R$, $f^{-1}(U)$ is open.” 它的经典出处是 [JL] §3.2 的练习，以及更一般的 §7.5。 Lecture 14 源文件没有这一条，但它是本讲连续概念的”下一站”， 也是本讲最重要的补充。

定理陈述（补充）

设 $f:\mathbb R\to\mathbb R$（定义域取全空间 $\mathbb R$ 是为了让”开集”的定义直接可用； 对一般 $S\subset\mathbb R$ 需把”开”改成”在 $S$ 中的相对开”，见文末说明）。则

其中”开”用的是 Definition D 的工作定义： $U$ 开 $\iff\forall x\in U\exists\epsilon>0,\ (x-\epsilon,x+\epsilon)\subset U$。

证明策略

关键是把两个定义”接上”：

• 连续的 $\epsilon$-$\delta$ 定义讨论的是”$\vert x-c\vert <\delta$ 蕴含 $f(x)\in(f(c)-\epsilon,f(c)+\epsilon)$”， 也就是”以 $f(c)$ 为中心的开区间“的原像包含”以 $c$ 为中心的某个开区间”。
• 拓扑定义讨论的是”任意开集 $U$ 的原像”。

于是两个方向的策略分别是：

• $(\Rightarrow)$ 连续 $\Rightarrow$ 原像开：给定开集 $U$ 与点 $c\in f^{-1}(U)$， 先用开集定义取 $\epsilon$ 使 $(f(c)-\epsilon,f(c)+\epsilon)\subset U$， 再用连续定义取 $\delta$，于是 $(c-\delta,c+\delta)\subset f^{-1}(U)$。 “连续的 $\epsilon$ 恰好是开集定义需要的 $\epsilon$”——这是全部秘密。
• $(\Leftarrow)$ 原像开 $\Rightarrow$ 连续：给定 $c$ 与 $\epsilon$， 构造开集 $U=(f(c)-\epsilon,f(c)+\epsilon)$，则 $c\in f^{-1}(U)$； 由原像开定义取出 $\delta>0$ 使 $(c-\delta,c+\delta)\subset f^{-1}(U)$， 这正是连续定义要的 $\delta$。

逐步推导（$(\Rightarrow)$：连续 $\Rightarrow$ 每个开集的原像开）

1. 设 $f$ 在 $\mathbb R$ 上连续，$U\subset\mathbb R$ 是开集。 （依据：定理前提。）
2. 要证 $f^{-1}(U)$ 是开集，按 Definition D，只需证 \(\forall c\in f^{-1}(U)\ \exists\delta>0\ \text{s.t. } (c-\delta,c+\delta)\subset f^{-1}(U).\) （依据：开集定义的展开。）
3. 取任意 $c\in f^{-1}(U)$。 （依据：$\forall$ 引入的开始。）
4. 由原像定义，$f(c)\in U$。 （依据：$f^{-1}(U):=\{x:f(x)\in U\}$。）
5. 由 $U$ 是开集与 Definition D（对点 $f(c)\in U$ 实例化）， \(\exists\epsilon>0\ \text{s.t. } \bigl(f(c)-\epsilon,f(c)+\epsilon\bigr)\subset U .\) （依据：开集定义 + $\exists$ 实例化。）
6. 对第 5 步得到的 $\epsilon>0$，由 $f$ 在 $c$ 连续（Definition 167）， \(\exists\delta>0\ \text{s.t. }\ \forall x\in\mathbb R,\ \|x-c\|<\delta\Rightarrow\|f(x)-f(c)\|<\epsilon .\) （依据：Definition 167 + $\exists$ 实例化。 注意：这里正好用第 5 步的 $\epsilon$ 作为连续定义中的误差上界， 这一步是”两个定义的桥梁”。）
7. 断言 $(c-\delta,c+\delta)\subset f^{-1}(U)$。 （依据：要证的目标。）
8. 证明第 7 步：取任意 $x\in(c-\delta,c+\delta)$。 （依据：集合包含的定义。）
9. 则 $\vert x-c\vert <\delta$（由第 8 步）。 （依据：$c-\delta<x<c+\delta\iff\vert x-c\vert <\delta$。）
10. 由第 6 步的蕴含，$\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$，即 $f(c)-\epsilon<f(x)<f(c)+\epsilon$。 （依据：蕴含消去 + $\vert a\vert <\epsilon\iff-\epsilon<a<\epsilon$，Lecture 5 Theorem 50(5)。）
11. 由第 5 步的包含关系 $(f(c)-\epsilon,f(c)+\epsilon)\subset U$，得 $f(x)\in U$。 （依据：包含关系 + 第 10 步。）
12. 由原像定义，$x\in f^{-1}(U)$。 （依据：$f(x)\in U$。）
13. 由第 8 步 $x$ 任意，$(c-\delta,c+\delta)\subset f^{-1}(U)$ ✓。 （依据：$\forall$ 引入。）
14. 由第 3 步 $c$ 任意、第 6 步给了 $\delta>0$，得”$\forall c\in f^{-1}(U)\exists\delta>0$， 以 $c$ 为中心半径 $\delta$ 的开区间含于 $f^{-1}(U)$”，即 $f^{-1}(U)$ 开。$\blacksquare$ （依据：Definition D。）

逐步推导（$(\Leftarrow)$：每个开集的原像开 $\Rightarrow$ 连续）

1. 设 $\forall U\subset\mathbb R$ 开，$f^{-1}(U)$ 开。 （依据：定理前提。）
2. 要证 $f$ 连续，按 Definition 167，只需证 \(\forall c\in\mathbb R\ \forall\epsilon>0\ \exists\delta>0\ \text{s.t. }\ \|x-c\|<\delta\Rightarrow\|f(x)-f(c)\|<\epsilon .\) （依据：连续性定义的展开。注意 $\mathbb R$ 上每点都是聚点，故这是全部要求。）
3. 取任意 $c\in\mathbb R$ 与任意 $\epsilon>0$。 （依据：两次 $\forall$ 引入。）
4. 构造开集 $U:=\bigl(f(c)-\epsilon,\ f(c)+\epsilon\bigr)$。 （依据：构造。）
5. 断言 $U$ 是开集。 （依据：要证。）
6. 证明第 5 步：取任意 $y\in U$，即 $f(c)-\epsilon<y<f(c)+\epsilon$。 令 $\eta:=\min\{y-(f(c)-\epsilon),\ (f(c)+\epsilon)-y\}$。 两个量都是正数（由 $y$ 严格位于区间内部），故 $\eta>0$。 若 $\vert z-y\vert <\eta$，则 $z>y-\eta\ge y-(y-(f(c)-\epsilon))=f(c)-\epsilon$ 且 $z<y+\eta\le y+((f(c)+\epsilon)-y)=f(c)+\epsilon$，即 $z\in U$。 故 $(y-\eta,y+\eta)\subset U$，$U$ 开。$\square$ （依据：Definition D。这一步是”开区间是开集”的具体证明， 对应 Assignment 3 第 5(a) 题。）
7. 由第 1 步（对 $U$ 实例化）与第 5 步，$f^{-1}(U)$ 是开集。 （依据：$\forall U$ 实例化 + 蕴含消去。）
8. 又 $f(c)\in U$（因为 $\vert f(c)-f(c)\vert =0<\epsilon$），故 $c\in f^{-1}(U)$。 （依据：原像定义。）
9. 由 $f^{-1}(U)$ 是开集与 Definition D（对点 $c\in f^{-1}(U)$ 实例化）， \(\exists\delta>0\ \text{s.t. } (c-\delta,c+\delta)\subset f^{-1}(U).\) （依据：开集定义 + $\exists$ 实例化。这个 $\delta$ 就是连续定义要的 $\delta$。）
10. 断言 $\delta$ 有效：设 $x\in\mathbb R$ 且 $\vert x-c\vert <\delta$。 （依据：目标蕴含的前提。）
11. 则 $x\in(c-\delta,c+\delta)\subset f^{-1}(U)$，故 $f(x)\in U$。 （依据：第 9 步 + 原像定义。）
12. 由 $U$ 的定义，$f(c)-\epsilon<f(x)<f(c)+\epsilon$，即 $\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。 （依据：第 4 步 + Lecture 5 Theorem 50(5)。）
13. 由第 10 步的 $x$ 任意、第 3 步的 $c$ 与 $\epsilon$ 任意， $f$ 在 $\mathbb R$ 上连续。$\blacksquare$ （依据：Definition 167。）

具体示例（把 $\epsilon,\delta$ 落成数字）

取 $f(x)=x^2$，$U=(1,4)$。$f^{-1}(U)=(-2,-1)\cup(1,2)$。

• 取 $c=1.5\in f^{-1}(U)$，则 $f(c)=2.25\in U=(1,4)$。 $U$ 给出的最大 $\epsilon$ 是 $\min\{2.25-1,4-2.25\}=\min\{1.25,1.75\}=1.25$。 取 $\epsilon=1$（安全）。 由 $f(x)=x^2$ 在 $c=1.5$ 连续：$\vert x^2-2.25\vert =\vert x-1.5\vert \vert x+1.5\vert $， 对 $\vert x-1.5\vert <1$ 有 $\vert x+1.5\vert <4$，故取 $\delta=\min\{1,\frac14\}=0.25$。 验算 $x=1.7$：$\vert x-1.5\vert =0.2<0.25$，$\vert x^2-2.25\vert =2.89-2.25=0.64<1$ ✓， 且 $f(x)=2.89\in(1,4)$ ✓（Python 核对）。 同时 $1.7\in(1.5-0.25,1.5+0.25)=(1.25,1.75)\subset(1,2)\subset f^{-1}(U)$ ✓。
• 取 $c=-1.5$（在负半支）：$f(c)=2.25$，同法得 $\delta=0.25$， 窗口 $(-1.75,-1.25)\subset(-2,-1)\subset f^{-1}(U)$ ✓。

反例（不连续函数会把某个开集的原像弄成非开集）

取阶梯函数

取开集 $U=(0.5,1.5)$。则 $f^{-1}(U)=\{x:f(x)\in(0.5,1.5)\}=\{x:f(x)=1\}=[0,\infty)$。 $[0,\infty)$ 不是开集：点 $0\in[0,\infty)$，但任何 $\epsilon>0$ 给出的 $(-\epsilon,\epsilon)$ 都含负点，其 $f$ 值为 $0\notin U$。 故 $f^{-1}(U)\not\subset$……准确地说 $(-\epsilon,\epsilon)\not\subset f^{-1}(U)$， $0$ 没有呼吸空间。这从拓扑角度再次确认了阶梯函数在 $0$ 处不连续， 与 Theorem 166 的左右极限分析（$0\neq1$）完全一致。 两种语言给出同一结论，这是极好的交叉验证。

再一个反例（可去间断的拓扑见证）

$f(x)=1\ (x\neq0)$，$f(0)=2$。取 $U=(0.5,1.5)$ 开。 $f^{-1}(U)=\{x\neq0\}\cup\varnothing=\mathbb R\setminus\{0\}$。 $\mathbb R\setminus\{0\}$ 不是开集（$0$ 不在里面，但……更准确地说： $0\notin f^{-1}(U)$，而 $f^{-1}(U)$ 的补集是 $\{0\}$， 问题在于 $f^{-1}(U)$ 中任一点确实都有呼吸空间，所以 $\mathbb R\setminus\{0\}$ 却是开集？—— 不，$\mathbb R\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$，它是开集！ 所以这个 $U$ 没有暴露不连续。）换一个 $U$：取 $U=(1.5,2.5)$ 开。 则 $f^{-1}(U)=\{x:f(x)=2\}=\{0\}$，而 $\{0\}$ 不是开集（$0$ 的任意邻域都含 $\neq0$ 的点， 其 $f$ 值为 $1\notin U$）。 所以 $\{0\}$ 这个单点集的原像非开，正是可去间断的拓扑指纹。 这个例子很有教学价值：它说明必须”对所有开集”检查，只试一个 $U$ 可能漏掉。

【证明机制解说】

这条定理的”灵光一现”是看穿了两个定义共用同一个 $\epsilon$：

   连续性的定义:     ∀ε ∃δ :  |x-c|<δ  ⇒  f(x) ∈ (f(c)-ε, f(c)+ε)
                                          └──────────┬──────────┘
   开集的定义:       U 开 ⟺ ∀y∈U ∃ε : (y-ε, y+ε) ⊂ U
                                          └─────┬─────┘
                                    当 y = f(c) 时，两者是同一个 ε！

也就是说：连续性说的是”以 $f(c)$ 为中心的小开区间的原像包含以 $c$ 为中心的小开区间“， 而拓扑定义说的是”任意开集的原像开”。 从一个（中心化的）推广到另一个（任意的）靠的是开集的定义： 任意开集在每个点附近都含有一个以该点为中心的开区间， 所以”中心化版本”逐点成立就能拼出”任意版本”。

反过来，从”任意”到”中心化”更简单：直接把以 $f(c)$ 为中心的开区间当作那个”任意开集”。 这就是数学中常见的”最强形式 = 对最一般的对象成立“的思维方式。

【证明机制的进一步解说：为什么这个刻画重要？】

1. 它不依赖度量。整个命题里只出现”开集”这个概念， 而开集可以用”拓扑”（一族满足并、有限交封闭且含空集与全集的集合）来公理化定义， 不需要距离、不需要 $\epsilon$。因此这个定理成为连续映射在一般拓扑空间中的定义。 历史上，正是这一观察把”连续”从 $\mathbb R$ 的专属概念变成了拓扑学的核心概念。
2. 它把”点态性质”变成”整体性质”。$\epsilon$-$\delta$ 是逐点的（每个 $c$ 一个 $\delta$）， 而拓扑刻画是整体的一句话说清楚。这使得很多定理的陈述与证明变短 （例如”连续函数的复合连续”在拓扑语言里是”原像的原像还是原像”， 一行写完：$(f\circ g)^{-1}(U)=g^{-1}(f^{-1}(U))$，两个开集的原像还是开集）。
3. 它是后续课程的接口。将来学度量空间、拓扑空间、泛函分析， 连续性的定义就是这条。Rudin、Munkres 等教材都从这里出发。
4. 它给出了判断不连续的新工具：找一个开集 $U$ 使 $f^{-1}(U)$ 非开。 我们在上文的两个反例中都用了这个工具，效果非常好。

关于定义域的一般情形（严谨性补充）：如果 $f$ 的定义域是 $S\subsetneq\mathbb R$ （本课程中常见），那么上述定理要改成”相对开 (relatively open)“版本： $f:S\to\mathbb R$ 连续 $\iff$ 对每个开集 $U\subset\mathbb R$， $f^{-1}(U)$ 是在 $S$ 中相对开的，即 $\forall c\in f^{-1}(U)\exists\delta>0,\ (c-\delta,c+\delta)\cap S\subset f^{-1}(U)$。 证明与上文逐字相同，只是把 $(c-\delta,c+\delta)$ 全部换成 $(c-\delta,c+\delta)\cap S$ （因为连续定义里的 $x$ 本来就限定在 $S$ 内，第 6 步给出的条件也是关于 $x\in S$ 的）。 Assignment 8 第 5 题把定义域取成 $\mathbb R$，正是为了避开这个技术细节。

【证明技巧总结】

• 两个方向各有”桥梁”：$(\Rightarrow)$ 用开集定义产出 $\epsilon$ 喂给连续性； $(\Leftarrow)$ 用连续性的 $\epsilon$ 造出开集 $U$。
• “逐点中心化 ⟺ 整体任意化”：这是开集定义的标准操作模式。
• “可去间断”的拓扑指纹：单点集的原像非开； “跳跃间断”的拓扑指纹：左闭半轴型集合的原像非开（如 $[0,\infty)$）。
• 检验不连续要”对所有开集”：只试一个 $U$ 可能漏判（见上文反例）。

定理（补充，Assignment 8 第 2 题）：$\mathbb Q$ 上取 $0$、无理数上取 $2x$

出处说明：Assignment 8 第 2 题原文： “Let $f(x)=0$ if $x\in\mathbb Q$, $f(x)=2x$ if $x\notin\mathbb Q$. Prove that $f$ is continuous at $x=0$ and discontinuous at $x=1$.” 它精确对应 [JL] Example 3.2.6 / Exercise 3.2.6 这一类”稠密拼接”函数。 源文件 Lecture 14 没有这个例子，但它是本讲连续性定义的绝佳练习题， 也是”用 $\epsilon$-$\delta$ 做完整计算”的样板。

定理陈述（补充）

设

则 $f$ 在 $x=0$ 处连续，在 $x=1$ 处不连续。

证明策略

• 在 $0$ 处：注意 $f(0)=0$（$0\in\mathbb Q$）。关键的统一估计是 \(\|f(x)-f(0)\|=\|f(x)\|\le 2\|x\|\qquad\text{对一切}\ x\in\mathbb R ,\) 因为无论 $x$ 是有理数（$\vert f(x)\vert =0$）还是无理数（$\vert f(x)\vert =\vert 2x\vert =2\vert x\vert $）， 这个上界都成立。取 $\delta=\epsilon/2$ 即可。 这个”分情形但取最坏上界”的技巧是本题的核心。
• 在 $1$ 处：$f(1)=0$（$1\in\mathbb Q$）。取 $\epsilon_0=1$。 对任意 $\delta>0$，在 $(1-\delta,1+\delta)$ 里找一个无理数 $x$， 则 $f(x)=2x\approx2$，而 $f(1)=0$，误差约 $2$，远超 $\epsilon_0$。 需要用到 $\mathbb Q$ 与 $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ 在 $\mathbb R$ 中都稠密 （Assignment 3 第 1 题：任意 $x<y$ 之间存在无理数）。

逐步推导（在 $0$ 处连续）

1. 注意 $0\in\mathbb Q$，故 $f(0)=0$。 （依据：$f$ 的定义中 $x\in\mathbb Q$ 的分支。）
2. 断言：$\forall x\in\mathbb R,\ \vert f(x)\vert \le2\vert x\vert $。 （依据：要证的分情形断言。）
3. 证明第 2 步：任取 $x\in\mathbb R$。二分：
   • 情形 $x\in\mathbb Q$：$f(x)=0$，故 $\vert f(x)\vert =0\le2\vert x\vert $ ✓（因为 $\vert x\vert \ge0$）。
   • 情形 $x\notin\mathbb Q$：$f(x)=2x$，故 $\vert f(x)\vert =\vert 2x\vert =2\vert x\vert $ ✓（取等号）。 （依据：$f$ 的分段定义 + 绝对值的乘法性质。）
4. 给定任意 $\epsilon>0$，令 $\delta:=\dfrac{\epsilon}{2}>0$。 （依据：构造。因为 $\epsilon>0$，所以 $\delta>0$ 合法。）
5. 设 $x\in\mathbb R$ 且 $\vert x-0\vert <\delta$，即 $\vert x\vert <\epsilon/2$。 （依据：连续定义的前提。）
6. 则由第 2 步与第 5 步， \(\|f(x)-f(0)\|=\|f(x)\|\le2\|x\|<2\cdot\frac{\epsilon}{2}=\epsilon .\) （依据：第 2 步的估计 + 第 5 步 + 代数。）
7. 由 $\epsilon>0$ 任意，$f$ 在 $0$ 处连续。$\blacksquare$ （依据：Definition 167。）

验算（把 $\epsilon$ 落成数字）

取 $\epsilon=0.01$，则 $\delta=0.005$。

• 取有理点 $x=0.0048$：$\vert x\vert =0.0048<0.005$，$f(x)=0$，$\vert f(x)-f(0)\vert =0<0.01$ ✓。
• 取无理点 $x=0.0049\sqrt2$ 的近似值 $x=0.006929\ldots$——这个超出了窗口，换用 $x=0.001\sqrt2\approx0.0014142$：$\vert x\vert =0.0014142<0.005$， $f(x)=2x=0.0028284$，$\vert f(x)-f(0)\vert =0.0028284<0.01$ ✓。
• Python 核对：$x=0.004$ 时 $\vert f(x)\vert =0.008<0.01$ ✓； $x=0.0049$ 时 $\vert f(x)\vert =0.0098<0.01$ ✓（对无理点取此值）。 极端情形 $x\to0.005$ 时误差 $0.01$ 恰好触界，说明 $\delta=\epsilon/2$ 是紧的。

逐步推导（在 $1$ 处不连续）

1. 注意 $1\in\mathbb Q$，故 $f(1)=0$。 （依据：$f$ 的分段定义。）
2. 令 $\epsilon_0:=1>0$。 （依据：Negation 170 要求选出 $\epsilon_0$。）
3. 任取 $\delta>0$。 （依据：Negation 170 的 $\forall\delta>0$。）
4. 我们需要在 $(1-\delta,1+\delta)$ 中找一个无理数。由 $\mathbb Q$ 与 $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ 的稠密性（Assignment 3 第 1 题：$\forall x<y\ \exists i\in\mathbb R\setminus\mathbb Q,\ x<i<y$）， 取 $x=1,\ y=1+\delta$，得无理数 $i$ 使 $1<i<1+\delta$。 （依据：Assignment 3 第 1 题；也可用更一般的”任意非退化区间含无理点”。）
5. 记这个 $i$ 为 $x$。则 $\vert x-1\vert =i-1\in(0,\delta)$，故 $\vert x-1\vert <\delta$ ✓。 （依据：第 4 步的 $1<i<1+\delta$。）
6. 且 $x\notin\mathbb Q$，故 $f(x)=2x$。 （依据：$f$ 的分段定义。）
7. 于是 \(\|f(x)-f(1)\|=\|2x-0\|=2x>2\cdot1=2\ \ge\ 1=\epsilon_0 .\) （依据：$x>1$ + $\vert f(1)\vert =0$ + 代数。）
8. 由第 3 步 $\delta>0$ 任意，我们已证明 \(\exists\epsilon_0=1>0\ \text{s.t. }\forall\delta>0\ \exists x\in\mathbb R:\ \|x-1\|<\delta\ \text{且}\ \|f(x)-f(1)\|\ge\epsilon_0 ,\) 这正是 Negation 170 的形式，故 $f$ 在 $1$ 处不连续。$\blacksquare$ （依据：Negation 170。）

验算（把 $\epsilon_0$ 与 $\delta$ 落成数字）

• 取 $\delta=0.1$：无理数 $x=1+\frac{0.1}{\sqrt2}\approx1.0707107$ 落在 $(1,1.1)$ 内， $\vert x-1\vert =0.0707<0.1$ ✓，而 $\vert f(x)-f(1)\vert =\vert 2(1.0707107)-0\vert =2.1414\ge1$ ✓（Python 核对）。
• 取 $\delta=0.001$：无理数 $x=1+0.001/\sqrt2\approx1.0007071$， $\vert f(x)-f(1)\vert =2.0014142\ge1$ ✓（Python 核对：$0.0014142$ 与 $2.0014$）。
• 注意：$\epsilon_0=1$ 也可以用 $\epsilon_0=2$（当 $\delta$ 足够小时 $2x>2$） 或 $\epsilon_0=0.5$（更容易满足）。选 $\epsilon_0=1$ 是最稳的， 因为 $2x\ge2$ 只要 $x\ge1$，与 $\delta$ 无关。

一个更强的观察（补充）

同样的论证可以证明：$f$ 在每一个 $x_0\neq0$ 处都不连续， 且只在 $x=0$ 处连续。 （对 $x_0\neq0$：若 $x_0\in\mathbb Q$ 则 $f(x_0)=0$，取无理点列逼近得误差 $\approx2\vert x_0\vert >0$； 若 $x_0\notin\mathbb Q$ 则 $f(x_0)=2x_0\neq0$，取有理点列逼近得误差 $\approx\vert 2x_0\vert >0$。 关键是 $x_0\neq0$ 时两个分支的值 $0$ 与 $2x_0$ 不相等。） 而在 $x=0$ 处两支的值 $0=2\cdot0$ 恰好相等，这就是连续性的几何含义： “两个稠密分支在这一点上汇合”。这与 Lecture 15 的 Dirichlet 函数 （$\mathbb Q$ 上 $1$、无理数上 $0$，处处不连续）形成了鲜明对照： Dirichlet 函数没有任何一点让两支汇合。

反例对照表

关于 [JL] Exercise 3.2.11（Assignment 8 第 3 题）的联系（补充）

Assignment 8 第 3 题是 [JL] Exercise 3.2.11：“Let $f:\mathbb R\to\mathbb R$ be continuous. Suppose $f(c)>0$. Show that there exists an $\alpha>0$ such that for all $x\in(c-\alpha,c+\alpha)$, we have $f(x)>0$.” 它是”连续函数保持符号”的命题，证明只需在定义中取 $\epsilon_0=\frac{f(c)}{2}$： 由连续性取 $\delta>0$ 使 $\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert <\frac{f(c)}{2}$， 于是 $f(x)>f(c)-\frac{f(c)}{2}=\frac{f(c)}{2}>0$。 取 $\alpha=\delta$ 即得。 注意这里必须取 $\frac{f(c)}{2}$ 而不是 $f(c)$： 取 $f(c)$ 只能得到 $f(x)>0$ 的非严格版本在极限意义下成立， 取一半才能得到严格不等式（这正是 [JL] 在 §3.2 强调”通常预留 $\epsilon=\frac{f(c)}2$”的原因）。 数值验算：若 $f(c)=3$，取 $\epsilon=1.5$，则 $f(x)>3-1.5=1.5>0$ ✓（Python 核对）。

关于 [JL] Exercise 3.2.14（Assignment 8 第 4 题）的联系（补充）

Assignment 8 第 4 题是 [JL] Exercise 3.2.14：“Suppose $f:[-1,0]\to\mathbb R$ and $g:[0,1]\to\mathbb R$ are continuous and $f(0)=g(0)$. Define $h:[-1,1]\to\mathbb R$ by $h(x):=f(x)$ if $x<0$ and $h(x):=g(x)$ if $x>0$. Show that $h$ is continuous.” （注意题目中区间写作 $[-1,0]$ 与 $[0,1]$；$h$ 在 $0$ 处的值由 $f(0)=g(0)$ 单值确定。） 这是”拼接函数“的标准题，其证明骨架与本讲的一切都相关：

1. 对 $c\in(-1,0)$：$h$ 在 $c$ 附近与 $f$ 相同，由 $f$ 连续（并注意 $h(x)=f(x)$ 对 $\vert x-c\vert $ 足够小的一切 $x$ 成立），得 $h$ 连续。 严格做法：取 $\delta_0=\frac{\vert c\vert }{2}>0$，则 $\vert x-c\vert <\delta_0\Rightarrow x<0$， 于是 $h(x)=f(x)$，从而 $\vert h(x)-h(c)\vert =\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。
2. 对 $c\in(0,1]$：同理，用 $g$ 的连续性。
3. 对 $c=0$（关键点）：给定 $\epsilon>0$。
   • 由 $f$ 在 $0$ 处右连续（$f$ 定义在 $[-1,0]$ 上，”在 $0$ 连续”意味着 从左边逼近）取 $\delta_1>0$ 使 $-1\le x<0,\ \vert x\vert <\delta_1\Rightarrow\vert f(x)-f(0)\vert <\epsilon$；
   • 由 $g$ 在 $0$ 处右连续取 $\delta_2>0$ 使 $0\le x\le1,\ \vert x\vert <\delta_2\Rightarrow\vert g(x)-g(0)\vert <\epsilon$；
   • 取 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}>0$（又一次 $\min$ 技巧！）。
   • 若 $\vert x\vert <\delta$ 且 $x<0$，则 $h(x)=f(x)$、$h(0)=f(0)$，故 $\vert h(x)-h(0)\vert =\vert f(x)-f(0)\vert <\epsilon$；
   • 若 $x>0$，则 $h(x)=g(x)$、$h(0)=g(0)$，故 $\vert h(x)-h(0)\vert =\vert g(x)-g(0)\vert <\epsilon$；
   • 若 $x=0$，误差为 $0<\epsilon$。 三种情形都成立，$h$ 在 $0$ 连续。
4. 综合，$h$ 在 $[-1,1]$ 上连续。$\blacksquare$

这道题与本讲 Theorem 166 的关系：$h$ 在 $0$ 处连续的本质是 “左极限 = 右极限 = 函数值“，即 $\lim_{x\to0^-}h=f(0)$、$\lim_{x\to0^+}h=g(0)$， 而 $f(0)=g(0)$。证明中用的正是 Theorem 166 的 $\Leftarrow$ 方向的 $\min$ 技巧， 只不过这里没有用”单侧极限”的语言，而是直接分情形讨论。 建议读者把两种写法都练一遍，体会它们说的是同一件事。

—#### 与教材的对应

对应 [JL] §3.1（Limits of functions）

§3.1 的核心命题：序列刻画（Lemma 3.1.7）是这一节的枢纽， 它把 §3.1 后半部分的所有推论都变成序列定理的免费搬运（源文件原句： “You may read the end of Section 3.1.3 [L] for this.”）。

对应 [JL] §3.2（Continuous functions）

对应 OCW Assignment 8（Reading Sections 3.1, 3.2）

原始题目（hw_all.txt 中 hw/hw8.pdf 段落）与本讲的对应关系：

1. Exercise 3.1.3 —— 证明 [JL] Corollary 3.1.11（即本笔记的 J5，夹逼定理的函数版）。 练什么：把序列夹逼定理通过序列刻画搬运到函数极限， 体会”函数极限定理不需要重证”这一结构复用思想。 （考据说明：[JL] 第 3 版把 Exercise 3.1.3 定为”Prove Corollary 3.1.11”； 本题正是源文件那句 “Similarly, we have analogs of the Squeeze Theorem…” 的具体化。）
2. $\mathbb Q$ 上 $f(x)=0$、无理数上 $f(x)=2x$，证在 $0$ 连续、在 $1$ 不连续 —— 练什么：用 $\epsilon$-$\delta$ 定义做完整的连续/不连续证明， 特别是”稠密分支取最坏上界”与”找一条坏序列/坏点”两种技术。 对应 [JL] Example 3.2.6 与 Exercise 3.2.6 类问题。本笔记 Part 3 给了完整证明。
3. Exercise 3.2.11 —— $f$ 连续、$f(c)>0$，证 $\exists\alpha>0$ 使 $(c-\alpha,c+\alpha)$ 上 $f>0$。 练什么：连续函数的局部保号性，关键技巧是取 $\epsilon=f(c)/2$（预留余量）。 本笔记给出了含数值验算的完整证明。
4. Exercise 3.2.14 —— $f:[-1,0]\to\mathbb R$、$g:[0,1]\to\mathbb R$ 连续且 $f(0)=g(0)$， 定义 $h(x)=f(x)\ (x<0)$、$h(x)=g(x)\ (x>0)$，证 $h$ 连续。 练什么：分段拼接函数的连续性，核心是接点处用 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ 合并左右两侧的窗口（与 Theorem 166 的 $\Leftarrow$ 方向同构）。 本笔记给出了完整三种情形的证明。
5. 连续 $\iff$ 每个开集的原像开 —— 练什么：连续性的拓扑刻画，需要同时用到 ① $U$ 开 $\iff$ 每点带 $\epsilon$-邻域（Midterm 第 2 题 / Assignment 3 第 5 题的工作定义）； ② 连续的 $\epsilon$-$\delta$ 定义； ③ 原像与包含关系的操作。 这是本讲最”高级”的一题，也是把连续性推广到一般拓扑空间的原型。本笔记完整证明。

对应 Midterm 第 2 题

Midterm 第 2 题原文（hw_all.txt）：

A subset of real numbers $U\subset\mathbb R$ is open if for all $x\in U$, there exists $\epsilon>0$ such that $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset U$. A subset $F\subset\mathbb R$ is closed if $F^c$ is open. (a) State what it means to say $U$ is not open. (b) Prove that if $U$ is not open, then there exists $x\in U$ and a sequence $\{x_n\}_n$ of elements of $U^c$ such that $\lim_n x_n=x$. (c) Suppose $F\subset\mathbb R$ has the following property: for every convergent sequence $\{x_n\}_n$ of elements of $F$ we have $\lim_n x_n\in F$. Prove that $F$ is closed. Hint: Argue by contradiction using (b).

与本讲的联系（三条，都很实质）：

• 第 (a) 问是量词否定的练习，与源文件 Negation 170 完全同型的技巧： 把 $\forall x\exists\epsilon(\dots)$ 否定成 $\exists x\forall\epsilon(\dots)$。 标准答案： \(U\ \text{不是开集}\iff\exists x\in U\ \text{s.t. }\forall\epsilon>0,\ (x-\epsilon,x+\epsilon)\not\subset U .\) 而 $(x-\epsilon,x+\epsilon)\not\subset U$ 等价于 $\exists y\notin U$ 使 $\vert y-x\vert <\epsilon$。
• 第 (b) 问是”用序列刻画把聚点/开集性质翻译出来”的练习， 证明思路与本讲 Theorem 171 第 3 条 $(\Leftarrow)$ 方向用过的 “取 $\epsilon=\frac1n$ 抽出序列“技巧一模一样： 由 (a) 的结论，$\forall n\exists x_n\in U^c$ 使 $\vert x_n-x\vert <\frac1n$， 再由夹逼得 $x_n\to x$。 （顺带可得：$x$ 是 $U^c$ 的聚点，这正是”$U$ 开 $\iff$ $U^c$ 无自身聚点”的另一说法。）
• 第 (c) 问用 (b) 反证：若 $F$ 不闭，则 $F^c$ 不开，由 (b) 存在 $x\in F^c$ 与 $F$ 中序列 $x_n\to x$（注意 $F=(F^c)^c$，所以 $U^c=F$）， 于是 $F$ 中序列收敛到 $F$ 外一点，与题设矛盾。 这道题说明”序列刻画”不仅能刻画极限与连续，还能刻画拓扑性质（闭性）。

对应 Final 第 2 题

Final 第 2 题原文（hw_all.txt）：

1. (a) Give explicit examples satisfying the stated conditions. … (b) (5 points) Let $f:S\to\mathbb R$ and $g:S\to\mathbb R$ be functions continuous at $c\in S$. Prove that the product $fg:S\to\mathbb R$ is continuous at $c$.

• 第 (b) 问就是本笔记 Part 3 的”连续函数的代数运算“第 2 项， 完整证明已在上面给出。答题要点： ① 分聚点/孤立点两种情形（或引用 [JL] Proposition 3.2.2 处理孤立点）； ② 聚点情形把连续翻译成 $\lim f=f(c)$、$\lim g=g(c)$； ③ 用极限的乘法法则（Lecture 8 Theorem 89(3)，其证明依赖”收敛序列有界”）； ④ 翻译回连续。 不要用 $\epsilon$-$\delta$ 硬做——那样需要”局部有界”的额外准备，冗长且易错。
• 第 1 题 (i)（Complete the negations：$f$ 在 $c$ 不连续）正是 Negation 170。 标准写法：$\exists\epsilon_0>0$ 使 $\forall\delta>0\ \exists x\in S$， $\vert x-c\vert <\delta$ 且 $\vert f(x)-f(c)\vert \ge\epsilon_0$。
• 第 4 题 (a)(i)（可导 $\Rightarrow$ 连续）在 Lecture 17/19 讲， 但它用的正是本讲的连续定义与极限运算法则。

与教材的对应

• 对应 [JL] §3.1（Limits of functions）、§3.2（Continuous functions）。本讲把 Lecture 13 的 序列刻画彻底吃透，并第一次给出连续性的完整理论（左右极限、连续性三等价、拓扑刻画）。
• Assignment 8（Reading §3.1, 3.2）：Exercise 3.1.3 用序列刻画验证函数极限； 第 2 题 $f(x)=0$（$x\in\mathbb Q$）、$f(x)=2x$（$x\notin\mathbb Q$），证 $f$ 在 $0$ 连续、 在 $1$ 不连续——练”用两个序列（有理/无理各取一列）判定连续性”，本题完整解答见上文 「$\mathbb Q$ 上取 $0$、无理数上取 $2x$」一节。
• Assignment 9 第 5 题：$\cos x$ 是 Lipschitz 的、$x^{1/3}$ 在 $[0,1]$ 上一致连续但非 Lipschitz——练”一致连续与 Lipschitz 的严格强弱关系”（本讲只用到连续性，一致连续见 Lecture 17）。
• Midterm 第 1 题：Complete the negations（$f$ 在 $c$ 不连续）——正是 Negation 170； Midterm 第 2、3 题用序列刻画处理具体极限，Midterm 第 4 题练 $\epsilon$-$\delta$ 与 序列刻画的互译。
• Final 第 2 题：(a) 举出满足指定条件的显式例子；(b) 证两个在 $c$ 连续的函数之积在 $c$ 连续——解答要点见上文（分聚点/孤立点两情形 + Lecture 8 Theorem 89(3)）。
• Final 第 1 题 (i)：写出”$f$ 在 $c$ 不连续”的完整否定式（= Negation 170）。

与其他讲次的关联

• 依赖 Lecture 13（Limits of Functions）——本讲的”发动机”： Lecture 13 Theorem 157（函数极限的序列刻画，iff）是本讲 Theorem 158、159 第 2 项、 160、以及全部 J1–J5 的唯一工具； Lecture 13 Definition 150（$\epsilon$-$\delta$ 极限定义）是本讲 Theorem 166 与 Theorem 171 第 2 条里 $(\Leftarrow)$/$(\Rightarrow)$ 对照的基准； Lecture 13 Definition 148（聚点）决定了单侧极限与连续性中”孤立点自动连续”的讨论方式。 没有 Lecture 13 的序列刻画，本讲的所有”计算型”证明都要重写。
• 依赖 Lecture 8（Squeeze Theorem and Operations）——本讲的”零件库”： Theorem 82（夹逼）、Theorem 84（$x_n\to x\iff\vert x_n-x\vert \to0$）、 Theorem 87(1)（保序性）、Theorem 89(1)(3)(4)（和、积、商）、 Theorem 91（$\sqrt{\cdot}$ 与极限交换）、Theorem 93（$\vert \cdot\vert $ 与极限交换）。 本讲的 J1–J5 逐条对应它们。特别地，Theorem 89(3) 的证明里用到的 “收敛序列必有界“是本讲乘积法则链条上不可缺的一环（常见误区之一见下节）。
• 依赖 Lecture 5（Absolute Value；Definition 49、Theorem 50）： $\vert a\vert <\epsilon\iff-\epsilon<a<\epsilon$（Theorem 50(5)）是 Theorem 166 与拓扑刻画中把绝对值不等式翻译成区间包含的关键； $\vert ab\vert =\vert a\vert \vert b\vert $（Theorem 50(3)）是定理 159 第 2 项夹逼的依据。
• 依赖 Assignment 3 第 5 题 / Midterm 第 2 题（开集的定义与性质）： 连续性的拓扑刻画（Assignment 8 第 5 题）必须用 “$U$ 开 $\iff$ 每点有一个 $\epsilon$-邻域含于 $U$”这个工作定义， 并且在 $(\Leftarrow)$ 方向要证明开区间是开集（即 Assignment 3 第 5(a) 题的结论）。
• 为 Lecture 15 铺路：Lecture 15 Theorem 171（连续性的三条等价刻画） 是紧接着本讲的定理，本笔记已前置证明； Lecture 15 Theorem 172（$\sin,\cos$ 连续）、Theorem 173（多项式连续， 完全用序列刻画）、Theorem 174（代数运算）、Theorem 175（复合）、 Theorem 178（Dirichlet 函数处处不连续）都在本讲的定义与工具之上直接展开。 Lecture 15 的 Dirichlet 函数是”Assignment 8 第 2 题”的极端版本： 前者两支永不相等，后者只在 $x=0$ 汇合。
• 为 Lecture 16（Min/Max Theorem 与 IVT）铺路： Lecture 16 的极值定理与介值定理的陈述里”$f$ 在 $[a,b]$ 上连续” 用的是本讲的 Definition 167；其证明还要用到本讲的序列刻画 （Bolzano–Weierstrass 抽出收敛子列 → 用序列刻画得 $f(x_{n_k})\to f(c)$）。
• 为 Lecture 17（一致连续）铺路： 一致连续的定义就是把本讲 Definition 167 里的 $\delta$ 从”依赖 $c$”改成”不依赖 $c$”。 本讲”$f(x)=x^2$ 在 $c$ 处取 $\delta=\min\{1,\frac{\epsilon}{2\vert c\vert +1}\}$”的例子 正好说明了 $\delta$ 依赖 $c$ 的方式，是理解一致连续的最好的起点。

关键要点

1. 序列刻画是本讲的总钥匙（Lecture 13 Theorem 157）： \(\lim_{x\to c}f(x)=L\iff \forall\{x_n\}\subset S\setminus\{c\},\ x_n\to c:\ f(x_n)\to L .\) 它是一座双向桥。桥的一边是函数语言（$\epsilon$-$\delta$，处理连续统上的 $\forall x$）， 另一边是序列语言（$\epsilon$-$N$）。任何已证的序列定理都能沿桥搬到函数层，零成本。

2. 单侧极限与双侧极限的关系（Theorem 166）： \(\lim_{x\to c}f(x)=L\iff\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^+}f(x)=L .\) 前提是 $c$ 同时是 $S\cap(-\infty,c)$ 与 $S\cap(c,\infty)$ 的聚点。 证明的 $(\Leftarrow)$ 方向靠 $\delta=\min\{\delta_-,\delta_+\}$； $(\Rightarrow)$ 方向靠”把 $0<\vert x-c\vert <\delta$ 按符号拆成两半”。 推论（最常用的形式）：左右极限存在但不相等 $\Rightarrow$ 双侧极限不存在（跳跃间断）。

3. 连续的定义（Definition 167）与极限定义只差两处： \(\forall\epsilon>0\ \exists\delta>0\ \text{s.t. }\ \bigl(x\in S\ \wedge\ \|x-c\|<\delta\bigr)\Rightarrow\|f(x)-f(c)\|<\epsilon .\) ① 去掉了 $0<$（允许 $x=c$，此时两边自动为 $0$）； ② 右端参照值是 $f(c)$ 而不是外部候选值 $L$。 一句话记住：连续 = 极限存在且恰好等于函数值（$c$ 为聚点时）。 而若 $c$ 是 $S$ 的孤立点，$f$ 自动连续（Theorem 171 第 1 条）。

4. 连续性有五种等价表述，考试按需选用： ① $\epsilon$-$\delta$ 定义；② $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$（$c$ 为聚点时）； ③ 序列刻画：$x_n\to c\Rightarrow f(x_n)\to f(c)$（对一切 $S$ 中序列）； ④ 拓扑刻画：每个开集的原像是开集； ⑤ 换一种记忆：连续 $\iff$ 可以与 $\lim$ 交换位置。 证连续用 ②③，证不连续用 ③（找坏序列）或 Negation 170，做题用 ④。

5. “构件 + 封闭性”的生成模式（本讲的第二大主题）： \(\text{常数}、\ x\ \text{连续}\ \xrightarrow{\text{和·积·商}}\ \text{多项式}、\text{有理函数连续};\qquad f,g\ \text{连续}\Rightarrow f+g,\ fg,\ f/g,\ cf,\ \|f\|,\ \sqrt f,\ f\circ g\ \text{连续}.\) 除法要 $g(c)\neq0$（且 $g$ 在 $S$ 上处处非零）；$\sqrt f$ 要 $f\ge0$； 复合要”$g$ 在 $c$ 连续 且 $f$ 在 $g(c)$ 连续”。 证明一气呵成：全都走”翻译成极限 → 用序列运算法则 → 翻译回来”，不写一个 $\delta$。

6. 黄金法则：$\min$ 合并”且”，$\max$ 合并”或”。 要 $\delta$ 同时满足两个上界 → 取 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$； 要 $N$ 同时超过两个门槛 → 取 $N=\max\{N_0,N_1\}$。 本讲 Theorem 166、Assignment 8 第 4 题（拼接函数）都用 $\min$； Lecture 8 Theorem 89 用 $\max$。

常见误区与注意事项

误区 1：把 $x_n\to c$ 理解成”存在某条序列”，而不是”对任意序列”。

• 错误做法：想证 $\lim_{x\to c}f(x)=L$，只验证了 $x_n=c+\frac1n$ 这一条序列就有 $f(x_n)\to L$， 然后宣布极限存在。
• 为什么错：序列刻画是一个 iff，其中”$2.$”是 $\forall\{x_n\}$（全称量词）。只验一条序列，甚至连”极限存在”都推不出来。 反例：$f(x)=\vert x\vert /x$ 在 $c=0$，取 $x_n=\frac1n$（正数）得 $f(x_n)=1\to1$， 但取 $x_n=-\frac1n$ 得 $-1\to-1$，极限根本不存在。
• 正确做法：证存在性要用”任取一条序列”（$\forall$ 引入）， 然后只能靠序列的普遍定理，不能靠具体构造。 反过来，证不存在只需一条坏序列——这里的量词方向是相反的，别搞混。

误区 2：序列刻画里忘记 $x_n\in S\setminus\{c\}$，把 $x_n\equiv c$ 代进去。

• 错误做法：为了”验证”$\lim_{x\to0}f(x)=f(0)$，就取 $x_n=0$ 常序列， 发现 $f(x_n)\to f(0)$，于是断言连续。
• 为什么错：极限定义里 $x\neq c$。（在连续性的序列刻画里允许 $x_n=c$， 但那是因为连续的定义允许 $x=c$；在极限的序列刻画里不行。） 把 $x_n\equiv c$ 代进去，只能验证 $f(c)\to f(c)$，是恒真的废话。
• 正确做法：严格区分两个序列刻画的条件： 极限版要求 $x_n\in S\setminus\{c\}$；连续版允许 $x_n\in S$（可含 $c$）。 在证连续的 $(\Leftarrow)$ 时，如果要用反证构造坏序列，构造出的 $x_n$ 可能恰好等于 $c$ 吗？可能——但这没有关系， 因为 Negation 170 里允许 $\vert x-c\vert <\delta$（含 $x=c$）， 而 $x=c$ 时误差为 $0<\epsilon_0$ 不可能满足 $\ge\epsilon_0$， 所以自动地 $x_n\neq c$。这个细节值得自己想清楚。

误区 3：量词否定写错——从”$\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$” 否定成”$\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert \ge\epsilon$”。

• 错误做法：把蕴含的否定写成”前件不变、后件取反”。
• 为什么错：$\neg(P\Rightarrow Q)$ 等价于 $P\wedge\neg Q$，不是 $P\Rightarrow\neg Q$。 另外”$\forall\delta\exists x$”的顺序不能交换——$x$ 依赖 $\delta$。
• 正确做法：源文件 Negation 170 的完整形式： \(\exists\epsilon_0>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in S:\ \|x-c\|<\delta\ \wedge\ \|f(x)-f(c)\|\ge\epsilon_0 .\) 注意最后是 $\ge$ 而不是 $>$（见定义 C 的反例说明）。 实际做题时，$x$ 通常取成 $\delta/2$、$\frac1n$ 或某个依赖 $\delta$ 的无理数。

误区 4：把”$f$ 在 $c$ 处不连续”与”$\lim_{x\to c}f(x)$ 不存在”混为一谈。

• 错误做法：看到不连续就去找”极限不存在”的证据。
• 为什么错：可去间断 (removable discontinuity) 的例子 $f(x)=1\ (x\neq0)$、$f(0)=2$ 满足 $\lim_{x\to0}f(x)=1$（极限存在）， 但在 $0$ 处不连续，因为 $1\neq2=f(0)$。 不连续有三种典型样态： | 类型 | 例子 | 左右极限 | 双侧极限 | 与 $f(c)$ 的关系 | |—|—|—|—|—| | 可去间断 removable | $1\ (x\neq0)$，$2\ (x=0)$ | 都是 $1$ | $=1$ 存在 | $\neq f(0)=2$ | | 跳跃间断 jump | $0\ (x<0)$，$1\ (x\geq0)$ | $0$ 与 $1$ | 不存在 | $f(0)=1$，两侧不等 | | 振荡间断（本质） | $\sin(1/x)\ (x\neq0)$，$0\ (x=0)$ | 都不存在 | 不存在 | 无从比较 |
• 正确做法：判断不连续时，先问三个问题： ① $f(c)$ 有定义吗？② $\lim_{x\to c}f(x)$ 存在吗？③ 两者相等吗？ 任一条不满足（在 $c$ 为聚点的情形）就是不连续。

误区 5：在证明”$fg$ 连续”时，直接写 $\vert f(x)g(x)-f(c)g(c)\vert \le\vert f(x)\vert \vert g(x)-g(c)\vert +\vert g(c)\vert \vert f(x)-f(c)\vert $ 然后说”后面是 $0$”。

• 错误做法：写成”$\vert f(x)\vert $ 有界，所以第一项趋于 $0$”——但 $\vert f(x)\vert $ 有界不是免费的， 需要先证；而且”趋于 $0$”在 $\epsilon$-$\delta$ 语言里需要把 $\epsilon$ 分配成两份。
• 为什么错：这正是 Lecture 8 Theorem 89(3) 的证明里需要”收敛序列有界”的原因。 在 $\epsilon$-$\delta$ 里做，必须： ① 先由 $f$ 在 $c$ 连续得存在 $\delta_1$ 使 $\vert f(x)\vert <\vert f(c)\vert +1$（先证局部有界）； ② 再分配 $\epsilon$，取 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}$； ③ 最后拼出 $\vert fg-f(c)g(c)\vert <\epsilon$。步骤冗长。
• 正确做法：走序列路线。任取 $x_n\to c$， 由序列刻画 $f(x_n)\to f(c)$、$g(x_n)\to g(c)$， 由 Lecture 8 Theorem 89(3) 得 $f(x_n)g(x_n)\to f(c)g(c)$， 再由序列刻画翻译回连续。五行写完，且不用碰 $\delta$。 这正是 Final 第 2(b) 题的推荐解法。

误区 6：忽略”孤立点自动连续”，导致在 $S=\mathbb Z$ 这类定义域上判错。

• 错误做法：看到 $f:\mathbb Z\to\mathbb R$，说”整数点之间都是断的，所以不连续”。
• 为什么错：连续的 $\epsilon$-$\delta$ 定义只约束定义域内的点。 取 $\delta=\frac12$，窗口 $(c-\frac12,c+\frac12)$ 内唯一的整数是 $c$ 本身， 误差为 $0$。所以任何函数在 $\mathbb Z$ 上都连续。
• 正确做法：先判断”$c$ 是不是 $S$ 的聚点”。 不是 → 连续免费（Theorem 171 第 1 条）； 是 → 用”极限 = 函数值”或序列刻画。 这也是 [JL] Exercise 3.2.12 的答案。

误区 7：商的极限漏条件。

• 错误做法：只验证 $M\neq0$ 就写 $\lim\frac fg=\frac LM$。
• 为什么错：$\frac{f(x_n)}{g(x_n)}$ 要有定义，必须 $g(x_n)\neq0$。 这是 Lecture 8 Theorem 89(4) 的显式前提 （”若 $\forall n\in\mathbb N,\ y_n\neq0$ 且 $y\neq0$”）。 在函数版里对应”$\forall x\in S,\ g(x)\neq0$”。
• 正确做法：两条都写。另外注意商法则的另一个隐蔽前提是分母极限非零， 它保证 $\left\vert \frac1{g(x_n)}\right\vert $ 有界（用 $\vert y\vert /2$ 的下界保护）。 记忆口诀：分子分母都要”离零远一点”。

误区 8：把拓扑刻画里的”开集原像是开集”错记成”开集的像是开集”。

• 错误做法：用 $f$ 把开集 $U$ 映成 $f(U)$ 并声称 $f(U)$ 开。
• 为什么错：连续函数不保持开集。反例：$f(x)=x^2$（连续）， $U=(-1,1)$ 是开集，但 $f(U)=[0,1)$，不是开集（$0$ 处没有呼吸空间）。 连续函数保持的是紧集（Final 第 3 题 (b)）与连通集， 开集的对应性质要用”开映射“（open mapping）另行定义。
• 正确做法：永远用原像。原像与并、交、差交换得好 （$f^{-1}(C\cap D)=f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)$，Midterm 第 1(a) 题）， 而像不保持交，这就是原像在这套理论中不可替代的原因。

误区 9：把 $\delta=\min\{\delta_-,\delta_+\}$ 写成 $\max$。

• 错误做法：觉得”两边都要覆盖，取大的更保险”。
• 为什么错：$\delta$ 的作用是”窗口半径“，窗口越小条件越容易满足。 若取 $\delta=\max\{\delta_-,\delta_+\}=\delta_+$（设 $\delta_+>\delta_-$）， 则存在 $x$ 满足 $\vert x-c\vert <\delta_+$ 但 $\vert x-c\vert \ge\delta_-$， 即落在左半边的”盲区”里，无法用左极限的结论。证明立刻断裂。
• 正确做法：$\delta=\min$；对称地，序列证明里 $N=\max$。判断口诀： ”$\delta$ 取小，$N$ 取大”。

思考题（带答案）

Q1.（$\epsilon$-$\delta$ 计算题） 用连续的 $\epsilon$-$\delta$ 定义（Definition 167）证明 $f(x)=x^3$ 在 $c=2$ 处连续。 并把 $\epsilon$ 取成具体数字 $\epsilon=0.1$，算出对应的 $\delta$，再取一个点验算。

Q2.（判断并证明连续性；含可去间断与跳跃间断） 考察两个函数：

分别判断 $f$ 在 $x=1$、$g$ 在 $x=0$ 处是否连续；若不连续，指出间断类型 （可去间断 removable discontinuity / 跳跃间断 jump discontinuity）并给出证明。

Q3.（概念理解题） 设 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 在 $c$ 处连续，且 $f(c)>0$。 证明：存在 $\alpha>0$，使得对一切 $x\in(c-\alpha,c+\alpha)$ 都有 $f(x)>0$。 （这是 Assignment 8 第 3 题 / [JL] Exercise 3.2.11。） 再回答：为什么取 $\epsilon=\frac{f(c)}{2}$，而不是 $\epsilon=f(c)$？

附：本讲全部核心公式速查（供复习）

  ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
  │  序列刻画（Lecture 13 Thm 157，本讲的发动机）                                 │
  │    lim_{x→c} f(x) = L  ⟺  ∀{x_n}⊂S\{c}, x_n→c : f(x_n)→L                     │
  ├─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
  │  单侧极限（Def 161/163）与双侧极限（Thm 166）                                  │
  │    lim_{x→c} f = L  ⟺  lim_{x→c⁻} f = lim_{x→c⁺} f = L                      │
  │    证明的 ⇐ 方向： δ = min{δ₋, δ₊}                                            │
  ├─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
  │  连续（Def 167）                                                              │
  │    ∀ε>0 ∃δ>0 : x∈S ∧ |x-c|<δ  ⇒  |f(x)-f(c)|<ε                               │
  │    与极限定义的两处差别：① 去掉 0<   ② 参照值是 f(c) 而非 L                    │
  │    c 为聚点时： 连续 ⟺ lim_{x→c} f = f(c)                                     │
  │    c 为孤立点时： 自动连续                                                     │
  │    序列刻画： 连续 ⟺ ∀{x_n}⊂S, x_n→c : f(x_n)→f(c)                            │
  │    拓扑刻画： 连续 ⟺ ∀开集 U, f⁻¹(U) 开                                        │
  ├─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
  │  不连续（Negation 170）                                                        │
  │    ∃ε₀>0 ∀δ>0 ∃x∈S : |x-c|<δ  ∧  |f(x)-f(c)| ≥ ε₀                            │
  ├─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
  │  封闭性                                                                        │
  │    f,g 连续 ⟹ f+g, fg, f/g (g≠0), cf, |f|, √f (f≥0), f∘g 连续                 │
  │    常数、x 连续 ⟹ 多项式连续 ⟹ 有理函数在其定义域上连续                        │
  └─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘

附：阶梯函数与可去间断的 ASCII 图像

  (1) 跳跃间断 jump discontinuity： f(x)=0 (x<0), f(x)=1 (x≥0), c=0
                                     ▲ y
                                     │
                                   1 ┤         ●━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
                                     │         ┃
                                     │         ┃   ← 跳跃高度 1
         ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┿━━━━━━━━━○   ← 空心点: 左侧取不到
                                   0 ┤         ┃      lim_{x→0⁻} f = 0
                                     │         ┃      lim_{x→0⁺} f = 1
         ────────────────────────────┼─────────┼──────────→ x
                                   0 │         1
                                     c=0
         ❌ 双侧极限不存在（左右极限 0 ≠ 1）→ 跳跃间断

  (2) 可去间断 removable discontinuity： f(x)=1 (x≠0), f(0)=2, c=0
                                     ▲ y
                                   2 ┤         ○   ← f(0)=2（孤立的"钉"）
                                     │
                                   1 ┤ ━━━━━━━━╳━━━━━━━━   ← 极限 = 1
                                     │         ↑
                                     │      空心点 (0,1): 极限值在此
         ────────────────────────────┼─────────┼──────────→ x
                                   0 │         0
                                     c=0
         ⚠️ 双侧极限存在（= 1），但 f(0) = 2 ≠ 1 → 可去间断
         ✔ 修复办法：令 f(0) := 1，立刻连续

  (3) 振荡间断（本质间断）： f(x)=sin(1/x) (x≠0), c=0
                                     ▲ y
                                   1 ┤▌█▌█▌█▌█▌█   ← 无限次振荡，(0,1) 内取无穷多次
                                     │▌█▌█▌█▌█▌█
                                   0 ┤▌█▌█▌█▌█▌█
                                     │▌█▌█▌█▌█▌█
                                  -1 ┤▌█▌█▌█▌█▌█
         ────────────────────────────┼───────────────→ x
                                   0
         ❌ 左右极限都不存在 → 本质间断（不可去、不可跳）
         ✔ 乘上 x 之后： f(x)=x·sin(1/x) 在 0 处连续（Thm 159 第 2 项）