Lecture 13: Limits of Functions（函数的极限）

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Lecture 13: Limits of Functions（函数的极限）

本讲对应 [JL] §3.1，是 18.100A 全课程的一个真正转折点。在此之前的十二讲里，我们研究的对象是数列：一个离散的指标 $n\in\mathbb{N}$ 推向无穷，我们问 $a_n$ 最终会不会停在某个数附近，用的是 $\epsilon$-$N$ 语言。从本讲开始，我们把注意力从”指标趋于无穷”转向”自变量趋于某个有限点 $c$”，于是 $\epsilon$-$N$ 中的 $N$ 被换成了 $\delta$。这不是简单的记号替换：$N$ 管的是时间（第几项之后），$\delta$ 管的是空间（$c$ 的多近的邻域内），而函数极限必须允许自变量从 $c$ 的左右两侧、以任意路径、任意速度逼近 $c$。这种”任意路径”的要求，正是函数极限比数列极限更微妙、也更有力量的根源。

本讲的主线非常清晰：先定义聚点（Definition 148），因为只有聚点处才谈得上极限；再用聚点把 $\epsilon$-$\delta$ 定义写干净（Definition 150）；接着证明极限若存在则唯一（Theorem 152）；然后用三个具体函数（Example 153、154、155）手把手演示如何构造 $\delta$；最后用 Theorem 157 把函数极限完全翻译成数列极限的语言。Theorem 157 是本讲的枢纽：它让我们可以把前十二讲积累的全部数列工具（单调有界、夹逼、Bolzano-Weierstrass、极限代数）一次性搬到函数世界；反过来，它也提供了一个极高效的”证极限不存在”的武器——只要找到两条逼近 $c$ 的序列，它们的像收敛到不同的值，极限就不存在。

概述

本讲要解决的问题。 在微积分的第一堂课里，我们写下

并且”凭感觉”理解它：当 $x$ 靠近 $c$ 时 $f(x)$ 靠近 $L$。但”靠近”是一个没有精度的词。Lecture 13 的任务就是给”靠近”装上两个旋钮：一个旋钮控制输出的容差，记作 $\epsilon$；另一个旋钮控制输入的预算，记作 $\delta$。整个定义的全部内容就是一句话：先给你任意小的输出容差 $\epsilon$，我都能找到一个输入预算 $\delta$，使得只要 $x$ 在 $c$ 的 $\delta$ 邻域内（且 $x\neq c$），$f(x)$ 就落在 $L$ 的 $\epsilon$ 邻域内。

为什么方向不能反过来。 我们承诺的是”输出可被控制到任意精度”，这就要求对每一个提出的精度 $\epsilon$ 都能给出响应 $\delta$。若写成 $\forall\delta\exists\epsilon$，则哪怕 $f$ 剧烈跳跃也满足——给我输入范围 $\delta$，我总能报出一个（可能很大的）输出波动 $\epsilon$。量词顺序承载了全部语义，不是形式装饰。

本讲的结构。

一点方法论提示。 本讲之后你会反复使用两种证题方式。第一种是直接构造：给定 $\epsilon$，硬算出一个 $\delta$（Example 153、154 与补充例题）。第二种是借助 Theorem 157 化归：把函数极限的断言换成一族数列极限的断言，再用已知的数列定理处理。前者给出精度感，后者给出结构感，两种都要掌握。

关于标题的提醒。 源文件标题含 “Continuous Functions”，但正文完全没有展开连续性：$\epsilon$-$\delta$ 一旦建立，连续性的定义就是它的一行推论（把 $L$ 取成 $f(c)$）。Lecture 14 会正式处理单侧极限与连续性，本讲实质上是在为连续性打地基。

核心定义与直观解释

一、Remark 147：连续性的直观引子

源文件的第一句话是：

Remark 147. Continuous functions are those functions where tolerable changes to outputs accompany sufficiently small differences of inputs.

逐字翻译：连续函数是那些”输出的可容忍变化伴随着足够小的输入差异“的函数。

这句话里有两个关键词组，它们一一对应到后面的两个量词：

• tolerable changes to outputs（输出的可容忍变化） $\longleftrightarrow$ $\epsilon$。注意 “tolerable”（可容忍）这个词。它不是一个客观的数值，而是一个由提问者决定的容忍度。你要求输出误差不超过 $\epsilon$，那就请你说出 $\epsilon$ 是多少；定义承诺对任何你说的 $\epsilon$ 都成立。
• sufficiently small differences of inputs（足够小的输入差异） $\longleftrightarrow$ $\delta$。注意 “sufficiently small” 是一个存在性断言：存在一个足够小的门槛 $\delta$，越过这个门槛之后输出就进入容差。

【直观解说】Remark 147 的价值在于它把定义的方向讲清楚了：先有输出的容忍度，后有输入的预算。这个”先 $\epsilon$ 后 $\delta$”的次序在 Definition 150 中被精确地固定为量词顺序 $\forall\epsilon>0\ \exists\delta>0$。如果你在写证明时先固定 $\delta$ 再去找 $\epsilon$，你就等于在证明一个不同的（且弱得多的）命题。

【一个物理类比】把 $f$ 想成一个放大器：你拧动输入旋钮（改变 $x$），观察输出表针（$f(x)$）。Remark 147 说的是：这个放大器是”好”的，如果你要求表针的读数误差不超过 $\epsilon=0.01$ 格，那么总存在一个旋钮的安全活动范围 $\delta$，只要你在 $\delta$ 内微调旋钮，表针就不会偏离目标超过 $0.01$ 格。注意这里 $\delta$ 依赖于 $\epsilon$：你要求 $0.001$ 格的精度，安全范围 $\delta$ 就要相应缩小。

二、Definition 148（Cluster Point，聚点）

形式陈述。 设 $S\subset\mathbb{R}$。称 $x\in\mathbb{R}$ 是 $S$ 的聚点（cluster point），如果

五件套逐项拆解。

（1）符号约定。 $(x-\delta,x+\delta)=\{y:x-\delta<y<x+\delta\}$ 是开区间（端点不取）；$S\setminus\{x\}$ 是 $S$ 中不等于 $x$ 的元素。故 $(x-\delta,x+\delta)\cap(S\setminus\{x\})$ 就是”从 $S$ 挖掉 $x$ 后落在 $x$ 的 $\delta$-邻域内的部分”，要求其非空即：$x$ 附近总有 $S$ 的”别的”点。

（2）量词结构解读。 $\forall\delta>0$，无论 $\delta$ 多么小——$10^{-3}$、$10^{-100}$——都必须能找到元素。这与”存在某个 $\delta$ 使邻域内有 $S$ 的点”是完全不同的命题：后者只说明 $S$ 在 $x$ 附近有元素，前者要求 $S$ 在 $x$ 附近任意近处都有元素。聚点的本质是”任意近”，不是”附近有”。

（3）否定形式（重要）。 $x$ 不是 $S$ 的聚点 $\iff$ $\exists\delta_0>0$ 使 $(x-\delta_0,x+\delta_0)\cap(S\setminus\{x\})=\emptyset$，即 $x$ 处有一个小小的”孤立空窗”，除 $x$ 自己外 $S$ 不再与该邻域相交。若 $x\in S$ 且存在这样的 $\delta_0$，称 $x$ 为 $S$ 的孤立点（isolated point）。注意：孤立点必须是 $S$ 的元素，而”非聚点”还包括根本不在 $S$ 中、且与 $S$ 有正距离的点。

（4）与闭包的关系（补充观察，非源文件内容）。 $S$ 的全体聚点构成导集 $S^{\prime}$，闭包 $\overline{S}=S\cup S^{\prime}$。本课程不用此记号，但这个图景有助于记忆：聚点 = 被 $S$ “贴合”住的点。

（5）为什么极限理论需要聚点。 这是定义 148 存在的全部理由。假如 $c$ 不是 $S$ 的聚点，则 $\exists\delta_0>0$ 使 $(c-\delta_0,c+\delta_0)\cap(S\setminus\{c\})=\emptyset$，即前提”$x\in S$ 且 $0<\vert x-c\vert <\delta_0$”无解。于是对任意 $L$ 和任意 $\epsilon>0$，取 $\delta=\delta_0$ 时蕴含式空洞地真（vacuously true）：任何 $L$ 都满足极限定义，极限既不唯一也无意义。所以 Definition 150 必须预先假定 $c$ 是 $S$ 的聚点——这一点在 Theorem 152 的证明中还会以”造出 $x_0$”的形式再次成为本质步骤。

三、Definition 148 的例子与反例

示例 1：$S=\{\tfrac1n\mid n\in\mathbb{N}\}$，$0$ 是 $S$ 的聚点。

验证。 任取 $\delta>0$。由 Archimedes 性质（Lecture 4），存在 $n\in\mathbb{N}$ 使 $n>1/\delta$，即 $\tfrac1n<\delta$。于是 $\tfrac1n\in(0-\delta,0+\delta)=(-\delta,\delta)$，且 $\tfrac1n\neq 0$，故 $\tfrac1n\in(-\delta,\delta)\cap(S\setminus\{0\})$。这个交非空。因为 $\delta>0$ 任意，$0$ 是聚点。$\blacksquare$

补充观察。 同一个 $S$ 中每个点 $\tfrac1n$ 都是孤立点：取 $\delta_0=\tfrac12\bigl(\tfrac1n-\tfrac1{n+1}\bigr)>0$，则 $(\tfrac1n-\delta_0,\tfrac1n+\delta_0)$ 内 $S$ 的元素只有 $\tfrac1n$ 自己（更近的候选 $\tfrac1{n+1}$ 与 $\tfrac1{n-1}$ 与 $\tfrac1n$ 的距离都大于 $\delta_0$，下标更小的项更远）。故 $S^{\prime}=\{0\}$ 而 $0\notin S$，说明：聚点不必属于 $S$。

示例 2：$S=(0,1)$，聚点集为 $[0,1]$。$S=[0,1]$，聚点集也是 $[0,1]$。

验证 $S=(0,1)$ 时 $0$ 是聚点。 任取 $\delta>0$，令 $t=\min\{\delta/2,1/2\}>0$。则 $0<t<1$ 且 $t<\delta$，故 $t\in(-\delta,\delta)\cap(S\setminus\{0\})$，交非空。对 $1$ 对称地取 $t=1-\min\{\delta/2,1/2\}$。对 $x\in(0,1)$：任取 $\delta>0$，$(x-\delta,x+\delta)\cap(0,1)$ 是两个开区间之交，含无穷多点，故非空，$x$ 是聚点。

验证 $S=(0,1)$ 时 $2$ 不是聚点。 取 $\delta_0=1$，则 $(2-1,2+1)=(1,3)$，而 $S\cap(1,3)=\emptyset$，故交为空，$2$ 不是聚点。对任意 $x<0$ 或 $x>1$ 同理。

结论： $(0,1)$ 的聚点集是 $[0,1]$。把 $S$ 换成 $[0,1]$ 不改变聚点集——额外的两个点 $0,1$ 本身已经是聚点，加进来不产生新聚点。这个例子说明：$S$ 与 $S$ 的聚点集可以相差一个”边界”，也可以完全一致。

示例 3：$S=\mathbb{Q}$，聚点集为 $\mathbb{R}$。

验证。 任取 $x\in\mathbb{R}$ 与 $\delta>0$。由 Lecture 5 的稠密性定理（$\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密：任意非空开区间都含有理数），开区间 $(x-\delta,x+\delta)$ 内含有一个有理数 $q$。进一步，我们可以选到 $q\neq x$：若 $x$ 本身有理，则再用稠密性在开区间 $(x-\delta,x)$ 内取一个有理数（该区间非空，因为 $\delta>0$）；若 $x$ 无理，则必然 $q\neq x$。所以 $q\in(x-\delta,x+\delta)\cap(\mathbb{Q}\setminus\{x\})$，交非空。因 $x,\delta$ 任意，$\mathbb{Q}^{\prime}=\mathbb{R}$。$\blacksquare$

补充观察（同一技巧的变体）。 用完全相同的论证，$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$（无理数集）的聚点集同样是 $\mathbb{R}$：稠密性对无理数同样成立。这个观察是 Assignment 8 中那道”在 $\mathbb{Q}$ 上取 $0$、在 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ 上取 $2x$”的函数的直接前置知识：正是因为它，$0$ 和 $1$ 才都是定义域的聚点，讨论 $\lim_{x\to0}$ 与 $\lim_{x\to1}$ 才合法。

示例 4：$S=\{0\}$，$S$ 没有聚点。

验证。 任取 $x\in\mathbb{R}$。若 $x\neq 0$，取 $\delta_0=\vert x\vert /2>0$，则 $(x-\delta_0,x+\delta_0)$ 不含 $0$，而 $S\setminus\{x\}$ 要么是 $\{0\}$（当 $x\neq0$）要么是 $\emptyset$（当 $x=0$），故交为 $\emptyset$。若 $x=0$，则 $S\setminus\{0\}=\emptyset$，与任何集合的交都是 $\emptyset$，特别地对 $\delta=1$ 就是空集。所以 $0$ 也不是聚点。故 $S^{\prime}=\emptyset$。$\blacksquare$

示例 5：$S=\mathbb{Z}$，$S$ 没有聚点。

验证。 任取 $x\in\mathbb{R}$。若 $x\in\mathbb{Z}$，取 $\delta_0=1/2$，则 $(x-\tfrac12,x+\tfrac12)$ 内不含任何其他整数（相邻整数距离为 $1$），故与 $\mathbb{Z}\setminus\{x\}$ 之交为空。若 $x\notin\mathbb{Z}$，设 $k$ 是与 $x$ 最近的整数，$d=\vert x-k\vert >0$，取 $\delta_0=d/2$，则 $(x-\delta_0,x+\delta_0)$ 内不含任何整数，故交为空。因此没有点是聚点。$\blacksquare$

反例总表（”不是聚点”的两种面貌）。

注意表中没有列出 $(0,1)$ 与 $x=0$ 或 $x=1$。 初学者最容易在这里出错：把”$x$ 在端点处”直觉地当作”不是聚点”。实际上对 $S=(0,1)$，$0$ 与 $1$ 都是聚点（见上文验证）。判断聚点的唯一依据是 Definition 148 的量词，不是几何直觉。请务必用”任取 $\delta>0$，构造出元素”的方式逐条验证，不要凭印象。

一个关键的边界情形：$c$ 是聚点，但 $c\notin S$。 示例 1（$S=\{1/n\}$，$c=0$）正是这种情形。这不影响极限的定义与唯一性——Definition 150 只要求 $c$ 是定义域 $S$ 的聚点，不要求 $c\in S$。后文 $\lim_{x\to0}\sin(1/x)$ 的例子属于这一类（其定义域是 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$，不含 $0$）。

四、Definition 150（Function Convergence，函数收敛）

形式陈述。 设 $S\subset\mathbb{R}$，$c$ 是 $S$ 的聚点，$f:S\to\mathbb{R}$。称 $f(x)$ 在 $c$ 处收敛到 $L\in\mathbb{R}$，如果

五件套逐项拆解（极详尽）。

（1）形式陈述的每一部分。 定义由五个部件组成，缺一不可：

1. $S\subset\mathbb{R}$ 与 $f:S\to\mathbb{R}$：$f$ 只在 $S$ 上有定义。所以 $x$ 必须取自 $S$，我们无法谈论 $S$ 之外的点处的函数值。
2. $c$ 是 $S$ 的聚点：这是前置条件，不是结论的一部分。它保证满足前提的 $x$ 存在（否则定义空洞，见上文）。
3. $\forall\epsilon>0$：输出容差任意小。$\epsilon$ 是先被给定的，而且可以任意小；证明中我们不得对 $\epsilon$ 附加任何限制（不能写”设 $\epsilon<1$”，除非你随后处理了 $\epsilon\ge1$ 的情形，见常见误区第 3 条）。
4. $\exists\delta>0$：输入预算。$\delta$ 后被找到，因此 $\delta$ 允许依赖于 $\epsilon$，也允许依赖于 $c$、$f$、$a$ 等一切已经固定的量。$\delta$ 唯一不允许依赖的是 $x$——$x$ 出现在 $\delta$ 之后（在前提 $0<\vert x-c\vert <\delta$ 里），依赖它就是循环定义。
5. $x\in S$ 且 $0<\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-L\vert <\epsilon$：这是一个蕴含式。只要没有 $x$ 同时满足前提中的两个条件，这个蕴含就”空洞地真”。因此证明时必须展示 $x$ 的存在性来自聚点性（在需要用到 $x$ 的论证中），或者说明蕴含对一切 $x$ 成立。

（2）直观解释：容差与距离预算。 把 $\epsilon$ 想成”允许的射击脱靶半径”、$\delta$ 想成”允许的瞄准偏差”：无论要求的脱靶半径 $\epsilon$ 多小，我都能给出瞄准偏差上限 $\delta$，使偏差小于 $\delta$（且不瞄准靶心）时脱靶距离必小于 $\epsilon$。 注意 $\epsilon$ 属输出空间、$\delta$ 属输入空间，单位不同，直接比较大小是类型错误。

（3）$\epsilon$-$N$ 与 $\epsilon$-$\delta$ 的对照。 这是本讲最需要建立的”翻译肌肉”。

================= ε-N (Lecture 6, 数列极限) =================

  a_n → L  :  ∀ε>0  ∃N∈ℕ  s.t.  n ≥ N  ⟹  |a_n − L| < ε

     输入侧:  n ∈ ℕ        离散指标，只能"往前走"
     门槛:    N              第几项之后（"时间"门槛）
     几何:    ●●●●●●●●●●|———————————→ n
                          N
             前 N−1 项不管          N 之后全部落在 (L−ε, L+ε)

================= ε-δ (Lecture 13, 函数极限) =================

  f(x) → L (x→c) :  ∀ε>0  ∃δ>0  s.t.  0<|x−c|<δ  ⟹  |f(x)−L| < ε

     输入侧:  x ∈ S        连续变量，可从左右两侧逼近
     门槛:    δ              离 c 多近（"空间"门槛）
     几何:
              ( c−δ      c      c+δ )
               ────●─────○─────●────→ x
                   ↑     ↑     ↑
                挖掉 c    |x−c|<δ 的区域（两侧同时）
             这些 x 的像全部落在 (L−ε, L+ε)

================= 对照表 =================

 项目            ε-N 版本                ε-δ 版本
 输入变量        n ∈ ℕ                   x ∈ S ⊂ ℝ
 门槛记号        N ∈ ℕ                   δ > 0 (实数)
 门槛后条件      n ≥ N                   0 < |x−c| < δ
 输入的连通性    离散（无两侧）          连续（两侧 + 任意路径）
 能"跳过"吗      能（只管尾巴）          不能（δ 邻域内全部要管）
 门槛依赖        N 依赖于 ε              δ 依赖于 ε（不得依赖 x）
 前提的红线      —                       必须排除 x = c
 反例工具        子列收敛到不同值         两条序列的像收敛到不同值
 核心定理        唯一性/代数/BW/夹逼      唯一性(152)/序列刻画(157)

【对照表的三条读法】第一，“离散只管尾巴、连续要管整个邻域”是两者最本质的差别：数列极限允许你无视前 $N-1$ 项，函数极限不允许你无视 $\delta$ 邻域内的任何一点（例如 $x$ 从无理数一侧逼近，或从某个奇怪的方向逼近，都必须被覆盖）。第二，“两侧同时”意味着一个函数在某点的极限存在，必须左右两侧的”趋势”一致；这直接引出 Lecture 14 的单侧极限。第三，反例工具的对偶性：数列极限不存在，典型证法是找两个子列收敛到不同值；函数极限不存在，典型证法是找两条逼近 $c$ 的序列，其像收敛到不同值（Theorem 157 保证了这一手法的合法性）。

（4）为什么必须写 $0<\vert x-c\vert $：极限与 $f(c)$ 无关。 这既是初学者最易忽略之处，也是 Definition 150 最精妙之处：$0<\vert x-c\vert $ 排除 $x=c$，因为函数极限刻意不关心 $f$ 在 $c$ 点本身的值。理由有三层。

• 第一层（定义域层面）：$c$ 可能根本不在 $S$ 中，此时 $f(c)$ 根本没有定义。例如 $f(x)=\sin x/x$，其自然定义域是 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$，$f(0)$ 无从谈起。若不写 $0<\vert x-c\vert $，定义中的前提 “$x\in S$ 且 $\vert x-c\vert <\delta$” 就已经自动排除 $x=0$（因为 $0\notin S$），看似无害；但一旦 $S$ 含 $0$，问题立刻暴露。
• 第二层（反例层面）：考虑 $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x\neq0$ 处，并任意规定 $f(0)$ 的值（比如规定 $f(0)=2026$）。这是一个定义在整个 $\mathbb{R}$ 上的函数。直觉上 $\lim_{x\to0}f(x)=1$，与 $f(0)$ 取什么值毫无关系。若定义中不写 $0<\vert x-c\vert $，那么取 $\epsilon=1$，任何 $\delta$ 都必须处理 $x=0$ 这一点，得到 $\vert f(0)-1\vert =2025\ge1$，于是 $\lim_{x\to0}f(x)=1$ 被错误地判定为假。所以 $0<\vert x-c\vert $ 的作用就是把 $c$ 点从考量范围中剔除，使极限成为一个纯”局部趋势”概念。
• 第三层（理论层面）：正是这个”剔除”使得 Example 155 中的现象成为可能——那里 $f(0)=2$ 而 $\lim_{x\to0}f(x)=1$。极限与函数值可以完全不同，两者一致（即 $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$）是一个额外的性质，我们把它命名为连续性，留到 Lecture 14 讨论。

总结一句话：极限是”靠近 $c$ 时的趋势”，不是”在 $c$ 处的取值”。

（5）为什么 $c$ 必须是聚点：否则定义空洞化。 若 $c$ 不是 $S$ 的聚点，则 $\exists\delta_0>0$ 使 $(c-\delta_0,c+\delta_0)\cap(S\setminus\{c\})=\emptyset$，即满足 $x\in S$ 与 $0<\vert x-c\vert <\delta_0$ 的 $x$ 不存在。于是在 Definition 150 中，对任意 $L$、任意 $\epsilon$，取 $\delta=\delta_0$ 时蕴含式前提恒假，结论无需验证，故 $f$ 在 $c$ 处”收敛到每一个实数 $L$”——”极限”彻底失去意义，唯一性也不再成立。因此 Definition 150 把”$c$ 是 $S$ 的聚点”作为前置假设，而 Theorem 152 的证明必须再次使用它来造出 $x_0$。

（6）三种等价改写（练习用）。 ①邻域写法：$\forall\epsilon>0\exists\delta>0$ 使 $f\bigl((c-\delta,c+\delta)\cap S\setminus\{c\}\bigr)\subset(L-\epsilon,L+\epsilon)$。②显式全称写法：$\forall\epsilon>0\exists\delta>0\forall x\in S,\ 0<\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-L\vert <\epsilon$——强调”$\delta$ 不得依赖 $x$”时用它。③否定写法（证极限不存在用）：若 $\lim_{x\to c}f(x)=L$ 不成立，则 $\exists\epsilon_0>0$ 使 $\forall\delta>0$ 都有某个 $x\in S$ 满足 $0<\vert x-c\vert <\delta$ 且 $\vert f(x)-L\vert \ge\epsilon_0$。这是 Theorem 157 证明中 ($\Leftarrow$) 方向的起点，务必记牢。

五、Notation 151

源文件：

Notation 151. Notationally, we may write $f(x)\to L$ as $x\to c$, or $\lim_{x\to c}f(x)=L$.

两种记号的用法分工：

• $f(x)\to L$ as $x\to c$ 是一个陈述句，适合写在证明的行文中（”we want to show that $f(x)\to L$ as $x\to c$”）。
• $\lim_{x\to c}f(x)=L$ 是一个表达式，适合参与代数运算（$\lim_{x\to c}(fg)(x)=\bigl(\lim_{x\to c}f(x)\bigr)\bigl(\lim_{x\to c}g(x)\bigr)$）。

一个必须点明的记号合法性说明。 在 Theorem 152 被证明之前，$\lim_{x\to c}f(x)$ 这个符号在形式上是未定义的：我们尚不知道会不会有两个不同的 $L_1\neq L_2$ 都满足 Definition 150。Theorem 152 正是为了堵上这个漏洞而存在的——它证明了满足定义的对象至多有一个，因此符号 $\lim_{x\to c}f(x)$ 才可以被当作一个单一确定的实数来使用。这个”先证唯一性、再引入函数记号”的逻辑次序是严格分析的标准操作，Lecture 6 中数列极限的唯一性定理起的是完全相同的作用。

别忘记一个边界情形。 $\lim_{x\to c}f(x)$ 也可能不存在。这时”$f(x)\to L$ as $x\to c$”对任何 $L$ 都不成立。例如 $\lim_{x\to0}\sin(1/x)$ 不存在（本讲末尾会给出完整证明）。写习题时不要默认极限总是存在。

定理与完整证明（核心）

定理 1（Theorem 149）：聚点的序列刻画

陈述。 设 $S\subset\mathbb{R}$。则 $x$ 是 $S$ 的聚点，当且仅当存在 $S\setminus\{x\}$ 中的序列 $\{x_n\}$ 使得 $x_n\to x$。

($\Rightarrow$) 方向的完整证明。

假设 $x$ 是 $S$ 的聚点。我们要构造一个序列。

对每个 $n\in\mathbb{N}$，令 $\delta=\dfrac1n>0$。由 Definition 148，区间 $\bigl(x-\tfrac1n,x+\tfrac1n\bigr)$ 与 $S\setminus\{x\}$ 的交非空。于是可以选取（这一步用到选择公理的最弱形式——可数选择，本课程默认接受）

先验证 $\{x_n\}$ 确实是 $S\setminus\{x\}$ 中的序列。 由构造，$x_n\in S\setminus\{x\}$，即 $x_n\in S$ 且 $x_n\neq x$。这一步是对 Definition 148 中”$S\setminus\{x\}$”的直接使用，不能省略。

再验证 $x_n\to x$。 由构造，$\vert x_n-x\vert <\dfrac1n$ 对一切 $n$ 成立。任取 $\epsilon>0$。由 Archimedes 性质，取 $N\in\mathbb{N}$ 使 $N>\dfrac1\epsilon$（即 $\dfrac1N<\epsilon$）。则对一切 $n\ge N$，

按 Lecture 6 的定义，$x_n\to x$。$\blacksquare$

($\Leftarrow$) 方向的完整证明。

假设存在 $S\setminus\{x\}$ 中的序列 $\{x_n\}$ 使 $x_n\to x$。任取 $\delta>0$，我们要证明 $(x-\delta,x+\delta)\cap(S\setminus\{x\})\neq\emptyset$。

由 $x_n\to x$ 与 $\delta>0$，按数列极限的定义，存在 $M\in\mathbb{N}$ 使得对一切 $n\ge M$ 有 $\vert x_n-x\vert <\delta$。取定 $n=M$（取任何一个 $\ge M$ 的指标都可以），则

另一方面，由假设 $x_M\in S\setminus\{x\}$，即 $x_M\in S$ 且 $x_M\neq x$。于是

该交非空。因 $\delta>0$ 是任取的，$x$ 是 $S$ 的聚点。$\blacksquare$

【证明机制解说】 两方向分别展示”构造”与”提取”。($\Rightarrow$) 是从任意小到具体小：把自由变量 $\delta$ 换成具体的 $\delta_n=1/n$，于是”对每个 $\delta$ 都存在元素”这一无限多条件被压缩成”存在一列元素”——关键洞察是条件既然对每个 $\delta>0$ 成立，就特别对 $\delta=1/n$ 成立。($\Leftarrow$) 则把数列极限的”最终”性质转成集合论性质：$\delta$ 给定后序列尾部整条落入 $\delta$ 邻域，取尾部一项即可。

【证明技巧总结】

1. 把自由参数具体化：$\forall\delta>0$ 型条件 $\Rightarrow$ 取 $\delta=1/n$ 造序列。这是分析中最常用的”离散化”手法（Lecture 6 证 $0.999\dots=1$ 同招）。
2. $1/n\to0$ 与 Archimedes 性质是标配：从”任意小”过渡到”存在 $N$”必须显式调用 Archimedes 性质（Lecture 4）。
3. 检查序列落在正确集合里：($\Rightarrow$) 中必须验证 $x_n\neq x$，因 Definition 148 要求 $S\setminus\{x\}$ 而非 $S$。
4. 反向只需”取尾项”：($\Leftarrow$) 只用了一项 $x_M$，不需整条尾部——说明聚点是很弱的条件。

定理 2（Theorem 152）：极限的唯一性

陈述。 设 $c$ 是 $S\subset\mathbb{R}$ 的聚点，$f:S\to\mathbb{R}$。若当 $x\to c$ 时 $f(x)\to L_1$ 且 $f(x)\to L_2$，则 $L_1=L_2$。

完整证明（依照源文件思路）。

我们要证明 $\forall\epsilon>0$，$\vert L_1-L_2\vert <\epsilon$；由此（配合 Lecture 2 中”非负实数若小于任意正数则等于零”这一性质，或等价的”实数三分律”论证）即得 $\vert L_1-L_2\vert =0$，从而 $L_1=L_2$。

任取 $\epsilon>0$。

第一步：为两个收敛性各取一个 $\delta$。 由 $f(x)\to L_1$（$x\to c$）与 $\epsilon/2>0$，存在 $\delta_1>0$ 使得

由 $f(x)\to L_2$（$x\to c$）与同一个 $\epsilon/2>0$，存在 $\delta_2>0$ 使得

第二步：取两个 $\delta$ 的较小者。 令

（两个正实数的最小值仍为正，这就是我们可以”同时”满足两个条件的原因。）

第三步（关键）：用聚点性造出一个 $x_0$。 因为 $c$ 是 $S$ 的聚点，由 Definition 148 应用于 $\delta>0$，存在

于是 $x_0\in S$ 且 $0<\vert x_0-c\vert <\delta$。这一步是唯一性证明真正的技术核心：如果不预先假设 $c$ 是聚点，就造不出 $x_0$，后面的三角不等式就没有作用对象，而定理也将是假的（因为空洞为真会让 $L_1\neq L_2$ 同时成立）。

第四步：三角不等式。 由 $0<\vert x_0-c\vert <\delta\le\delta_1$ 与第一步，得 $\vert f(x_0)-L_1\vert <\epsilon/2$。由 $0<\vert x_0-c\vert <\delta\le\delta_2$ 与第一步，得 $\vert f(x_0)-L_2\vert <\epsilon/2$。于是

（第一行中间插入了 $-f(x_0)+f(x_0)=0$，这是”加零”技巧；第二行用了三角不等式 $\vert u+v\vert \le\vert u\vert +\vert v\vert $。）

第五步：收尾。 因 $\epsilon>0$ 任意，$\vert L_1-L_2\vert <\epsilon$ 对一切正 $\epsilon$ 成立。若 $\vert L_1-L_2\vert >0$，取 $\epsilon=\vert L_1-L_2\vert $ 便得 $\vert L_1-L_2\vert <\vert L_1-L_2\vert $，矛盾。故 $\vert L_1-L_2\vert =0$，即 $L_1=L_2$。$\blacksquare$

源文件的一处笔误提示。 源文件第 33 行写作 $\vert L_1-L_2\vert =\vert L_1-f(x_0)+f(x_0)+L_2\vert $，其中 $+L_2$ 应为 $-L_2$（否则无法用三角不等式得到 $\vert f(x_0)-L_2\vert $）。这是排版错误，不影响证明结构。上面的证明给出了修正后的正确写法。

【证明机制解说】 精髓是”用一条公共的绳子把两个论断拴在一起“。两条关于 $f$ 的信息各自只在半径 $\delta_1$、$\delta_2$ 内有效，要同时使用就必须找到同时落在两个半径内的点 $x_0$，办法是取 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$——这就是”$\min$ 技巧“的首次出场，它在 $\epsilon$-$\delta$ 理论中无处不在（补充例题用它控制无界因子）。由于两个论断都关于同一点的值 $f(x_0)$，它们可以”接”起来：$L_1$、$L_2$ 都离 $f(x_0)$ 很近，故彼此很近。

为什么用 $\epsilon/2$ 而不是 $\epsilon$？ 因为我们要最终得到误差 $<\epsilon$，而中间要经过两次”$<\cdot$”的相加。若第一步都用 $\epsilon$，则只能得到 $\vert L_1-L_2\vert <2\epsilon$，这在 $\epsilon$ 任意时同样足够（因为 $2\epsilon$ 也任意小），但写法上不如 $\epsilon/2$ 干净。$\epsilon/2$ 的分法是本课程的标准做法，请养成习惯：结论中有 $k$ 项相加时，就在前提中给每项分配 $\epsilon/k$。

【证明技巧总结】

1. $\epsilon/2$ 分摊法：需要 $k$ 个小量相加时，给每个分配 $\epsilon/k$。
2. $\min$ 合并法：多个 $\delta$ 条件须同时满足时取其最小值；$\min>0$ 要求每个 $\delta_i>0$。
3. 加零技巧：$\vert A-B\vert =\vert A-C+C-B\vert \le\vert A-C\vert +\vert C-B\vert $，把两个已知小量接起来。
4. 必须用聚点性：答题时要显式写出”由 $c$ 是聚点，存在 $x_0\in S$ 使 $0<\vert x_0-c\vert <\delta$”。正是这一步保证蕴含式前提被真正满足而非空洞为真，漏掉会扣分。
5. 最后一步不可跳过：从 $\forall\epsilon>0,\vert L_1-L_2\vert <\epsilon$ 推出 $L_1=L_2$ 需一次反证（取 $\epsilon=\vert L_1-L_2\vert $）。

定理 3（Example 153）：线性函数的极限

陈述。 设 $f(x)=ax+b$（$a,b\in\mathbb{R}$）。则对一切 $c\in\mathbb{R}$，

完整证明（照源文件写法）。

先确认合法性：$f$ 的定义域取 $S=\mathbb{R}$，而 $\mathbb{R}$ 的每个点 $c$ 都是 $\mathbb{R}$ 的聚点（任取 $\delta>0$，区间 $(c-\delta,c+\delta)$ 含无穷多个不等于 $c$ 的实数），所以 Definition 150 可用。

任取 $\epsilon>0$。取

（这个 $\delta>0$ 是合法的：分母 $1+\vert a\vert \ge1>0$。）

若 $x\in\mathbb{R}$ 且 $0<\vert x-c\vert <\delta$，则

最后一个严格不等式成立是因为 $\dfrac{\vert a\vert }{1+\vert a\vert }<1$（等价于 $\vert a\vert <1+\vert a\vert $，恒成立）。$\blacksquare$

为什么取 $\dfrac{\epsilon}{1+\vert a\vert }$ 而不是直接的 $\dfrac{\epsilon}{\vert a\vert }$？ 这是本例题最值得琢磨的一点。如果照搬 $\delta=\epsilon/\vert a\vert $，那么当 $a=0$ 时分母为零，$\delta$ 无从定义；而 $a=0$ 时 $f$ 是常函数 $f(x)=b$：此时 $ac+b=0\cdot c+b=b$，且按与 Example 155 相同的论证（取 $\delta=1$，则 $\vert f(x)-b\vert =\vert b-b\vert =0<\epsilon$）可得极限等于 $b$。这个情形必须被覆盖（题目说的是”对一切 $a\in\mathbb{R}$”）。用 $1+\vert a\vert $ 替代 $\vert a\vert $ 是一个精妙的统一处理：

• 当 $a=0$：分母为 $1$，$\delta=\epsilon$，合法；上面的不等式链中 $\vert a\vert \delta=0<\epsilon$ 也对。
• 当 $a\neq0$：分母 $1+\vert a\vert >\vert a\vert $ 使得 $\delta$ 比 $\epsilon/\vert a\vert $ 更小（更保守），于是估计依然成立（因为我们要的是”$\vert a\vert \delta<\epsilon$”，$\delta$ 小一点总是安全）。
• 代价是 $\delta$ 不是”最优”的，但 $\epsilon$-$\delta$ 定义从不要求 $\delta$ 是最优的——它只要求存在一个可用的 $\delta$。取一个偏小的、好算的 $\delta$ 是完全合法的策略。

数值代入（$a=3,\ b=1,\ c=2,\ \epsilon=0.01$）。

验证这个 $\delta$ 真的管用。 目标：对一切满足 $0<\vert x-2\vert <0.0025$ 的 $x$，都有 $\vert f(x)-7\vert <0.01$，其中 $f(x)=3x+1$，$f(2)=7$。则

并要求 $0.0075<0.01$ 成立——确实成立。数值结论：$a=3$ 时 $\delta=0.0025$ 有效，且 0.0075 与目标 0.01 之间留有 $25\%$ 的余量，这正是 $1+\vert a\vert =4$ 相比 $\vert a\vert =3$ 带来的”保守冗余”。

进一步观察。 $\delta=\epsilon/(1+\vert a\vert )$ 与 $\epsilon$ 成正比：容差缩到 $1/10$，$\delta$ 也缩到 $1/10$——更严的要求需要更近的靠近。

【证明机制解说】 这是最基础的”直接估计”型证明。它的结构是：目标的输出误差 $\vert f(x)-L\vert $ 通过代数变形表达为”输入距离 $\vert x-c\vert $ 乘以一个常数因子”，然后把这个因子吸收进 $\delta$ 的定义中。整个证明是一个不等式链，从左端 $\vert f(x)-L\vert $ 一路推到 $<\epsilon$。注意最后一步用了 $\dfrac{\vert a\vert }{1+\vert a\vert }<1$，这一”严格小于 1”是 $\epsilon$ 而非 $2\epsilon$ 出现的原因（若写成 $\delta=\epsilon/(1+\vert a\vert )$ 却只得到 $\le\epsilon$，也不算错，因为定义要求 $<\epsilon$；但源文件的写法确实给出了严格 $<$）。

【证明技巧总结】

1. 先算 $f(x)-L$ 再谈 $\delta$：不要凭空猜 $\delta$。正确的顺序是：写出 $\vert f(x)-L\vert \le C\vert x-c\vert $，然后令 $\delta=\epsilon/C$（$C>0$ 时）。
2. 分母加一保正规：当常数 $C$ 可能为 $0$ 时，改用 $1+C$ 或 $\max\{C,1\}$ 之类的表达式，避免除以零并统一处理退化情形。
3. 注意 $\vert a\vert $ 不是 $a$：绝对值必须保留，因为 $a$ 可能为负；不等式链中只能出现 $\vert a\vert $。
4. 可以保守：取一个偏小的 $\delta$ 永远安全，只要能推出结论。不要为了”最优 $\delta$”浪费时间。

定理 4（Example 154）：平方根函数的极限

陈述。 设 $f(x)=\sqrt{x}$。则对一切 $c>0$，$\lim_{x\to c}\sqrt{x}=\sqrt{c}$。

完整证明（照源文件写法）。

先确认合法性。 取 $S=[0,\infty)$（或 $(0,\infty)$，二者在 $c>0$ 处的聚点性相同）。因 $c>0$，取 $\delta_0=c/2>0$，则 $(c-\delta_0,c+\delta_0)\cap(S\setminus\{c\})\neq\emptyset$（例如 $\frac{c}{2}\in(0,c)$ 属于这个交），故 $c$ 是 $S$ 的聚点。Definition 150 可用。

注意 $c>0$ 是本质条件。 在 $c=0$ 处结论不成立：$f(x)=\sqrt{x}$ 在 $x\to0$ 时极限为 $0$ 是成立的，但那是一个”单侧”现象，且证明中 $\delta=\epsilon\sqrt c$ 退化。更尖锐的例子是 $c<0$（不在定义域内，无意义）。本定理的证明依赖 $c>0$，因为分母 $\sqrt c$ 要为正。

任取 $\epsilon>0$。取

（因 $c>0$，$\sqrt c>0$，故 $\delta>0$。）若 $x>0$ 且 $0<\vert x-c\vert <\delta$，则

逐步解释每一处。

• 第一步 $=\bigl\vert \sqrt x-\sqrt c\bigr\vert $：即目标误差。
• 第二步：分子分母同乘 $\sqrt x+\sqrt c$（共轭有理化）。合法性依赖于 $\sqrt x+\sqrt c\neq0$：因 $x>0$ 故 $\sqrt x>0$，因 $c>0$ 故 $\sqrt c>0$，所以分母严格为正，这个操作是合法的。（若允许 $x=0$，则 $\sqrt x+\sqrt c=\sqrt c>0$ 仍为正，也无妨；但若 $c=0$ 且 $x=0$ 则分母为 $0$，这正是”$c>0$ 不可省”的另一体现。）
• 第三步：分子 $(\sqrt x-\sqrt c)(\sqrt x+\sqrt c)=x-c$，用平方差公式。
• 第四步 $\dfrac{\vert x-c\vert }{\sqrt x+\sqrt c}\le\dfrac{\vert x-c\vert }{\sqrt c}$：因为 $\sqrt x\ge0$ 推出 $\sqrt x+\sqrt c\ge\sqrt c>0$，分母变大则分数变小（这是一个需要显式说明的步骤，不能跳过）。
• 第五步：代入 $\vert x-c\vert <\delta$，再代入 $\delta=\epsilon\sqrt c$，得 $\dfrac{\epsilon\sqrt c}{\sqrt c}=\epsilon$。$\blacksquare$

数值代入（$c=4,\ \epsilon=0.01$）。

验证这个 $\delta$ 真的管用。 目标：对一切满足 $0<\vert x-4\vert <0.02$（即 $3.98<x<4.02$，$x>0$）的 $x$，都有 $\vert \sqrt x-2\vert <0.01$。取最坏情形的下端点 $x=3.98$：

取上端点 $x=4.02$：$\sqrt{4.02}\approx2.004994$，$\vert \sqrt{4.02}-2\vert \approx0.004994<0.01$。$\checkmark$

数值结论：$c=4$ 时 $\delta=0.02$ 有效，实际输出误差约 $0.005$，只有容差 $0.01$ 的一半左右。 这说明本例的 $\delta$ 仍然留有约 2 倍的余量，原因是估计中用了 $\sqrt x+\sqrt c\ge\sqrt c=2$ 这一（在 $x\approx4$ 时相当准确的）下界。

可以更精确，但没有必要。 在 $\vert x-c\vert <c/2$ 的前提下可用 $\sqrt x+\sqrt c\ge\sqrt{c/2}$ 得到更大的 $\delta$；但 Definition 150 只要求 $\delta$ 存在。给出的 $\delta$ 只需”够用”，不需”最好”。

【证明机制解说】 这个证明的核心困难是非线性：$\vert \sqrt x-\sqrt c\vert $ 不能像 Example 153 那样直接写成”常数 $\times\vert x-c\vert $”，因为 $\sqrt\cdot$ 的斜率随 $x$ 变化。解决办法是共轭有理化，把差的绝对值转化为 $\dfrac{\vert x-c\vert }{\sqrt x+\sqrt c}$，其中分母只依赖于 $x$，并在 $c>0$ 附近有正的下界 $\sqrt c$。于是 $\vert f(x)-L\vert \le\dfrac{1}{\sqrt c}\vert x-c\vert $，问题化归为线性估计，取 $\delta=\epsilon\sqrt c$ 即可。这就是”有理化 + 界住分母”这一标准技巧的首次亮相。

【证明技巧总结】

1. 遇根号先有理化：$\sqrt x-\sqrt c=\dfrac{x-c}{\sqrt x+\sqrt c}$，把减法变成除法，分母往往可控。
2. 给分母找一个正下界：只要分母 $\ge m>0$，就有 $\dfrac{1}{\text{分母}}\le\dfrac1m$。前提是 $m>0$——这就是 $c>0$ 在本例中不可省的原因。
3. 明确说明不等号方向：分母变大、分数变小，这一步必须写清理由。
4. 不要怕 $\delta$ 保守：$\delta=\epsilon\sqrt c$ 只是一个”够用”的选择。
5. 检验合法性前提：本例要求 $x>0$（或 $x\ge0$）以保证 $\sqrt x$ 有意义，证明中必须显式写出 $x>0$。

定理 5（Example 155）：极限与函数值无关

陈述（照源文件原文）。 设

则 $\lim_{x\to 0}f(x)=1$。特别地，$\lim_{x\to 0}f(x)\neq f(0)$。

完整证明（照源文件写法）。

先确认合法性：取 $S=\mathbb{R}$，$c=0$ 是 $\mathbb{R}$ 的聚点（任取 $\delta>0$，区间 $(-\delta,\delta)$ 含 $\tfrac\delta2\neq0$）。所以 Definition 150 可用。

任取 $\epsilon>0$，取 $\delta=1$。若 $0<\vert x-0\vert <1$，则 $x\neq0$（这正是 $0<\vert x\vert $ 提供的信息），于是

因 $\epsilon>0$ 任取，$\lim_{x\to0}f(x)=1$ 成立。$\blacksquare$

三点解读。

1. $\delta$ 完全不依赖 $\epsilon$。 $\delta=1$ 是”一劳永逸”的常数，这完全合法：Definition 150 只要求”对每个 $\epsilon$ 存在一个 $\delta$”，允许同一个 $\delta$ 对所有 $\epsilon$ 都有效。常函数、局部常函数都会出现这种现象。
2. ”$\epsilon>0$ 任意”必须写出。 虽然估计是 $0<\epsilon$ 这么一个平凡的结论，但”因 $\epsilon>0$ 任意”这句话不能省。
3. $f(0)=2\neq1$，而极限是 $1$。 这就是 $0<\vert x-c\vert $ 这一条件的成果展示：定义把 $x=0$ 排除在外，因此 $f(0)$ 的异常值 $2$ 完全不参与判断。若定义中不写 $0<\vert x-c\vert $，本例的结论就会变成”$\lim_{x\to0}f(x)=1$ 不成立”（取 $\epsilon=1/2$，任何 $\delta$ 都无法处理 $x=0$）。Example 155 是 Definition 150 中那个”$0<$”的全部意义所在。

一个自然的问题：那 $\lim_{x\to0}f(x)=2$ 成立吗？ 不成立。取 $\epsilon_0=\tfrac12$，任取 $\delta>0$，取 $x=\tfrac\delta2\neq0$，则 $0<\vert x-0\vert <\delta$ 但 $\vert f(x)-2\vert =\vert 1-2\vert =1\ge\tfrac12$。所以不存在满足定义的 $\delta$。这与 Theorem 152（唯一性）相容：既然极限存在且等于 $1$，它不能同时等于 $2$。

【证明机制解说】 这个证明短到近乎平凡，但它的教育价值最高：它用最少的计算量展示了”极限只看 $x\neq c$ 的行为”。技术上的关键只有一处——从 $0<\vert x-0\vert <1$ 读出 $x\neq0$，从而 $f(x)=1$，使得误差恰为 $0$。找到”$x\neq c$ 就落入单一定义分支”的区间，是处理分段函数极限的标准第一步。

【证明技巧总结】

1. 分段函数先找分支稳定区：确定一个 $\delta$ 使 $\delta$ 邻域内（除 $c$ 外）只落在一个分支上。
2. $0<\vert x-c\vert $ 是前提的”额外礼物”：它常常直接给出”$x\neq c$”这一强有力的信息。
3. 误差为 $0$ 的估计最强：不必刻意回避；$0<\epsilon$ 对任意 $\epsilon>0$ 成立。
4. 不必让 $\delta$ 依赖 $\epsilon$：如果常数 $\delta$ 就能搞定，就大方地用常数。

定理 6（Theorem 157）：函数极限的序列刻画

陈述（照源文件）。 设 $S\subset\mathbb{R}$，$c$ 是 $S$ 的聚点，$f:S\to\mathbb{R}$。则以下两条等价：

1. $\lim_{x\to c}f(x)=L$；
2. 对每一个满足 $x_n\to c$ 的 $S\setminus\{c\}$ 中的序列 $\{x_n\}$，都有 $f(x_n)\to L$。

说明一处源文件的记号省略。 源文件第 74 行写 “we have $f(x_n)=L$”，此处按文义应为 “$f(x_n)\to L$”（源文件在下一页的证明中确实导出了 $f(x_n)\to L$）（其后的证明中确实导出了 $f(x_n)\to L$）。下文按 $f(x_n)\to L$ 陈述与证明。

(1 $\Rightarrow$ 2) 方向的完整证明。

假设 $\lim_{x\to c}f(x)=L$。设 $\{x_n\}$ 是 $S\setminus\{c\}$ 中的任意序列且 $x_n\to c$。我们要证明 $f(x_n)\to L$。

任取 $\epsilon>0$。

第一步：把函数极限的定义转化为一个 $\delta$。 由 $\lim_{x\to c}f(x)=L$ 与 $\epsilon>0$，存在 $\eta>0$（为避免与后面混用，把这个”函数侧的门槛”记作 $\eta$）使得

第二步：把 $\eta$ 当作数列极限中的 $\epsilon$，获取指标。 由 $x_n\to c$ 与 $\eta>0$，存在 $M_0\in\mathbb{N}$ 使得

第三步：验证这些项满足函数极限定义的前提。 对一切 $n\ge M_0$：

• $x_n\in S$：因为 $\{x_n\}$ 是 $S\setminus\{c\}$ 中的序列；
• $0<\vert x_n-c\vert $：因为 $x_n\in S\setminus\{c\}$ 给出 $x_n\neq c$；
• $\vert x_n-c\vert <\eta$：由第二步。

于是 $x_n$ 满足第一步中蕴含式的前提，得到 $\vert f(x_n)-L\vert <\epsilon$。

第四步：收尾。 取 $M=M_0$。则 $\forall n\ge M$，$\vert f(x_n)-L\vert <\epsilon$。因 $\epsilon>0$ 任意，$f(x_n)\to L$。$\blacksquare$

(2 $\Rightarrow$ 1) 方向的完整证明（反证法，照源文件思路）。

假设 2 成立，并且反设 1 不成立。我们把”1 不成立”按 Definition 150 的否定形式展开。

第一步：写出否定的形式。 “$\lim_{x\to c}f(x)=L$”的否定是：

（对照 Definition 150 的量词逐个取反：$\forall\epsilon\to\exists\epsilon$；$\exists\delta\to\forall\delta$；蕴含 $P\Rightarrow Q$ 的否定是 $P\wedge\neg Q$，即”前提成立而结论不成立”。）

第二步：把 $\delta$ 具体化为 $1/n$，构造序列。 对每个 $n\in\mathbb{N}$，令 $\delta=\dfrac1n>0$。由第一步（它断言对一切 $\delta>0$ 都存在这样的 $x$），存在

第三步：验证 $\{x_n\}$ 满足假设 2 的前提。 由 $0<\vert x_n-c\vert $ 得 $x_n\neq c$，结合 $x_n\in S$ 得 $x_n\in S\setminus\{c\}$。又由 $0<\vert x_n-c\vert <\dfrac1n$ 与夹逼定理（Lecture 8；$0\le\vert x_n-c\vert <\tfrac1n$，而 $\tfrac1n\to0$），得

第四步：应用假设 2 得出矛盾。 因 $\{x_n\}$ 是 $S\setminus\{c\}$ 中的序列且 $x_n\to c$，假设 2 断言 $f(x_n)\to L$。于是 $\vert f(x_n)-L\vert \to0$，即

第五步：与第二步的界冲突。 由第二步，$\vert f(x_n)-L\vert \ge\epsilon_0>0$ 对一切 $n$ 成立。而收敛到 $0$ 的数列 $\bigl(\vert f(x_n)-L\vert \bigr)$ 有一个标准的后果：对 $\epsilon=\epsilon_0/2>0$ 存在 $N$ 使得 $n\ge N$ 时 $\bigl\vert \vert f(x_n)-L\vert -0\bigr\vert <\epsilon_0/2$，即 $\vert f(x_n)-L\vert <\epsilon_0/2<\epsilon_0$，与 $\vert f(x_n)-L\vert \ge\epsilon_0$ 矛盾。源文件的写法是直接写下

这是同一个矛盾的更紧凑表述（一个非负数序列若恒 $\ge\epsilon_0>0$，其极限不可能为 $0$；更形式化地说，若极限为 $0$ 且各项 $\ge\epsilon_0$，则由序的保持性得 $0\ge\epsilon_0$，矛盾）。

第六步：结论。 反设导致矛盾，故 1 成立。$\blacksquare$

【证明机制解说】 这是两个世界之间的双向翻译机。($\Rightarrow$) 是”函数级 $\to$ 序列级”：函数极限给出 $\delta$ 的存在性保证，序列收敛给出”最终进入该 $\delta$ 邻域”的指标保证，两者一碰便得”最终满足前提”，从而”最终误差 $<\epsilon$”。注意 $\delta$ 在此扮演了数列极限中 $\epsilon$ 的角色——同一个正实数，在函数世界当门槛、在数列世界当容差，这种”角色互换”务必体会。

($\Leftarrow$) 是反证 + 构造反例序列：若函数极限不成立，则存在固定的”顽固拒绝水平” $\epsilon_0>0$，使无论 $\delta$ 多小都有某点 $x$ 违反 $\epsilon_0$ 容差。按 $\delta=1/n$ 逐一代入，每次领到一个”坏点” $x_n$：它们必然趋于 $c$（因 $\vert x_n-c\vert <1/n$），但像全部离 $L$ 至少 $\epsilon_0$，与假设 2 的 $f(x_n)\to L$ 冲突。精妙处在于把”对每个 $\delta$ 都有坏点”这一纯存在性断言转化为具体可操作的序列——这也是 Theorem 149 中”取 $\delta=1/n$”手法的再次登场。

【证明技巧总结】

1. 量词否定要逐字做：$\exists\epsilon_0>0\,\forall\delta>0\,\exists x\dots$ 这一形式是”极限不存在”的标准写法，必须背下来并能默写。
2. $\delta=1/n$ 造序列：本课程第三次使用此技巧（Theorem 149，$0.999\dots=1$，此处）。
3. 夹逼定理连接”小”与”趋于”：从 $\vert x_n-c\vert <1/n$ 与 $1/n\to0$ 得到 $x_n\to c$。
4. 假设 2 是”对每个序列”，所以可以自由挑选序列：在 ($\Leftarrow$) 中我们构造了一条特定序列来触发假设 2；这是使用”$\forall$ 序列”型假设的正确方式。
5. $\epsilon_0>0$ 与极限为 $0$ 不可能共存：这是矛盾的落点，要写清”恒 $\ge\epsilon_0$ 的序列不能收敛到 $0$”。

定理 7（Theorem 157 的应用）：$\lim_{x\to0}\sin(1/x)$ 不存在

陈述。 设 $f(x)=\sin(1/x)$，定义域 $S=\mathbb{R}\setminus\{0\}$。则 $\lim_{x\to0}f(x)$ 不存在。

为什么合法讨论。 $c=0$ 是 $S=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 的聚点：任取 $\delta>0$，$\delta/2\in(-\delta,\delta)\cap(S\setminus\{0\})$。故可用序列刻画。

完整证明（用两条序列）。

取两条序列（$n\in\mathbb{N}$，$n\ge1$）：

第一步：两条序列都在 $S$ 中且趋于 $0$。 因 $n\ge1$，有 $2n\pi>0$ 与 $2n\pi+\tfrac\pi2>0$，故 $x_n>0$、$y_n>0$，从而均属于 $\mathbb{R}\setminus\{0\}=S$，且均不为 $0$。又 $x_n\le\dfrac{1}{2\pi n}\to0$，由夹逼定理 $x_n\to0$；同理 $0<y_n\le\dfrac{1}{2\pi n}\to0$，故 $y_n\to0$。

第二步：计算两条像序列的极限。

对 $x_n$：$1/x_n=2n\pi$，故

对 $y_n$：$1/y_n=2n\pi+\dfrac\pi2$，故

（这里用了正弦函数的周期性：$\sin(\theta+2n\pi)=\sin\theta$。）

第三步：得出矛盾。 假设 $\lim_{x\to0}\sin(1/x)=L$ 对某个 $L\in\mathbb{R}$ 成立。则由 Theorem 157 的 (1 $\Rightarrow$ 2) 方向，应用每一个趋于 $0$ 的 $S$ 中序列都应给出 $f\to L$。特别地，由 $x_n\to0$ 得 $f(x_n)\to L$，即 $L=0$；由 $y_n\to0$ 得 $f(y_n)\to L$，即 $L=1$。于是 $0=1$，矛盾。故极限不存在。$\blacksquare$

三点评注。

1. 选点依据。 $x_n$ 使 $1/x=2n\pi$（落在 $\sin$ 零点），$y_n$ 使 $1/x=2n\pi+\pi/2$（落在峰值）。二者都趋于 $0$，像序列极限却不同。这是证函数极限不存在的标准套路。
2. 不必知道 $f$ 在 $0$ 附近”多疯狂”。 两条序列足矣。这正是 Theorem 157 的威力：把”证明 $\forall\epsilon\exists\delta$ 失败”（即 $\exists\forall\exists$ 型断言）化归为”找两个不同的数”。
3. 选序列的唯一标准是像序列收敛到不同的数。 若取 $y_n=1/(2n\pi)$ 就与 $x_n$ 重合；取 $1/(n\pi)$ 得 $\sin(n\pi)=0$，与 $f(x_n)$ 同值，都造不出矛盾。

补充例题（补充，非源文件内容）：$\lim_{x\to1}(x^2+1)=2$ 与 $\min\{1,\epsilon/4\}$ 技巧

本例题是源文件三个 Example 之外额外补充的，但它是整个 $\epsilon$-$\delta$ 理论中最有代表性的一道：它第一次引入了”预先限制 $\delta$ 的范围，把依赖 $x$ 的无界因子统一界住“这一关键手法。错过它，后面遇到有理函数、多项式、根式时都会卡住。

陈述。 设 $f(x)=x^2+1$，$S=\mathbb{R}$。则 $\lim_{x\to1}(x^2+1)=2$。

先确认合法性。 $c=1$ 是 $\mathbb{R}$ 的聚点（任取 $\delta>0$，$1+\tfrac\delta2\in(1-\delta,1+\delta)\setminus\{1\}$）。所以 Definition 150 可用。

初步尝试：为什么直接做会失败。

任取 $\epsilon>0$。先做代数变形，目标是提取出 $\vert x-1\vert $ 这个因子：

因子 $\vert x-1\vert $ 已经出现，但前面还挂着一个 $\vert x+1\vert $，它依赖于 $x$。如果天真地取 $\delta=\dfrac{\epsilon}{\vert x+1\vert }$，那就落进常见误区 2——$\delta$ 不允许依赖 $x$；如果索性把它当作常数丢掉，就会写出

这条式子无法与 $\epsilon$ 比较出结果，因为当 $x$ 靠近 $-1$ 时 $\vert x+1\vert $ 可以任意小（使上界失效），而当 $\vert x\vert $ 很大时它又可以任意大（使上界爆炸）。

关键洞察：$x$ 并不真的可以”很大”。 因为定义 150 只在 $x$ 满足 $0<\vert x-1\vert <\delta$ 时才要求结论。也就是说，我们本来就只关心 $x=1$ 附近的一个小球。既然如此，我们就完全有资格主动要求 $\delta$ 不超过某个自己选定的方便常数。这正是”限制 $\delta$ 的范围“这一手法的逻辑依据：它不是造假，而是利用”$\delta$ 由我们自由选择”这一事实——我们有权利挑一个小的 $\delta$。

第一步：限住 $\delta\le1$，从而界住 $\vert x+1\vert $。

假设 $\delta\le1$。那么只要 $\vert x-1\vert <\delta\le1$，就有

（之所以选 $4$ 而不是 $3$，纯粹是为了让后面的代数好算：$\vert x+1\vert <4$ 已经足够，且 $4$ 是整数。）

第二步：得到线性界。

在上一步的前提下，对一切满足 $0<\vert x-1\vert <\delta$ 的 $x$：

注意这里发生了什么：依赖 $x$ 的因子 $\vert x+1\vert $ 被一个常数 $4$ 取代了。 一旦成为常数，就可以像 Example 153 那样把它吸收进 $\delta$。

第三步：令 $4\delta\le\epsilon$，并合并两个对 $\delta$ 的要求。

我们希望同时满足两个要求：(a) $\delta\le1$（保证第一步的有效性）；(b) $4\delta<\epsilon$，即 $\delta<\epsilon/4$。取

第四步：验证（这一步是完整的、不能省）。 任取 $\epsilon>0$，令 $\delta=\min\{1,\epsilon/4\}$，注意 $\delta>0$（两个正数的最小值仍为正）。设 $x\in\mathbb{R}$ 且 $0<\vert x-1\vert <\delta$。则

• 由 $\delta\le1$ 得 $\vert x-1\vert <1$，故 $x\in(0,2)$，于是 $\vert x+1\vert =x+1<4$——第一步的界在此处被合法使用；
• 由 $\vert x-1\vert <\delta\le\epsilon/4$ 得 $\vert x-1\vert <\epsilon/4$。

两式相乘：

因 $\epsilon>0$ 任意，$\lim_{x\to1}(x^2+1)=2$。$\blacksquare$

数值代入：$\epsilon=0.01$。

数值验证。 当 $0<\vert x-1\vert <0.0025$，即 $0.9975<x<1.0025$（因 $\vert x-1\vert <0.0025<1$，故 $x\in(0,2)$，于是 $\vert x+1\vert <4$）时，取最坏情形 $x=1.0025$：

而 $\epsilon=0.01$，故 $0.00500625<0.01$。$\checkmark$（这里实际误差约 $0.005$，是容差的一半，与 $\vert x+1\vert \approx2$ 而非 $4$ 有关——$4$ 是保守估计，所以留有余量。）

数值结论：$\epsilon=0.01$ 时 $\delta=0.0025$ 有效，实际输出误差约 $0.005$。

讲透”为什么要限 $\delta\le1$”。 这是本例题的全部精华，三重视角：

1. 证明义务视角。 目标”$\forall x,\ 0<\vert x-1\vert <\delta\Rightarrow\vert x^2-1\vert <\epsilon$”是关于局部的断言：$x$ 自动被限制在 $1$ 的 $\delta$ 邻域内。既然 $x$ 本来就走不远，我们有资格主动承认这一点并据此估计；限 $\delta\le1$ 只是把隐含的局部性显式化。
2. 无界因子视角。 $\vert x+1\vert $ 在整个 $\mathbb{R}$ 上无界，所以任何”常数倍 $\vert x-1\vert $”的全局估计都不可能成立；但在 $x\in(0,2)$ 上 $\vert x+1\vert $ 有上界 $3$（取更宽松的 $4$）。局部有界是多项式乃至一切连续函数在紧区间上的普遍性质——Lectures 15–16 会用”紧集上连续函数有界”覆盖这里的手工界 $4$。
3. 选择自由视角。 定义只要求 $\exists\delta>0$，没要求最大，故 $\min\{1,\epsilon/4\}$ 合法：第二分支保精度，第一分支保第一步的界有效。

这个技巧的通用模板（请背下）。

================ 处理"无界因子"的四步模板 ================

 目标:  |f(x) − L| ≤ C(x)·|x − c|,  但 C(x) 依赖于 x，无法直接吸收

 第 1 步  选一个方便的半径 r > 0（通常 r = 1，或 r = c/2 若 c > 0）
 第 2 步  声明"限制 δ ≤ r"，于是 |x − c| < r，推出 x 落在一个有界区间内
 第 3 步  在该区间上求出 C(x) 的一个上界 M（常数！）
          即有  |f(x) − L| ≤ M·|x − c|  对一切 |x−c| < r 成立
 第 4 步  取  δ = min{ r , ε/M }
          验证:  |x−c| < δ ≤ ε/M  ⟹ |f(x)−L| ≤ M·(ε/M) = ε  ✓
                 |x−c| < δ ≤ r     ⟹ 第 3 步的 M 有效          ✓

 实例对照:
   lim_{x→1}(x²+1)=2:  r=1,  M=4   (因 x<2 ⟹ x+1<3<4)
   lim_{x→2}(1/x)=1/2:  r=1,  M=1/2 (因 x>1 ⟹ 1/(2x) < 1/2)
   一般 c>0 的有理函数: r=c/2, M 依赖 c

与 Example 153、154 的对比（何时需要两步归约）。 Example 153 的因子 $\vert a\vert $ 已是常数，故一步到位取 $\delta=\epsilon/(1+\vert a\vert )$。Example 154 的因子 $\dfrac{1}{\sqrt x+\sqrt c}$ 不是常数，但在 $c>0$ 邻域内天然有正下界 $\dfrac{1}{\sqrt c}$，也无需限制范围（好运气）。本例题的因子 $\vert x+1\vert $ 要的是上界，而这种上界只有限制范围后才存在，所以必须用 $\min$ 技巧。判据：变形后 $\vert f(x)-L\vert $ 前面挂的常数，还是 $x$ 的函数？后者且需上界时，先限范围再造常数。

【证明机制解说】 整个证明是”两步归约“：第一步把非线性估计归约为线性估计（$\vert x^2-1\vert \le4\vert x-1\vert $，代价是限制 $\delta\le1$），第二步把线性估计归约为 $\delta$ 的选取（$\delta=\epsilon/4$）。每一步都是标准动作，合起来构成 $\epsilon$-$\delta$ 证明最常见的骨架。注意第一步的归约有条件（$\vert x-1\vert <1$），所以最终必须用 $\min$ 把两个条件叠在一起，并在验证时分两路说明各自的界如何被使用。

【证明技巧总结】

1. 看到 $\vert f(x)-L\vert $ 前面挂着含 $x$ 的因子，立刻想到限制 $\delta$ 的范围，把因子界成常数。
2. $\delta=\min\{r,\epsilon/M\}$ 是标准形式，其中 $r$ 是自选的限制半径，$M$ 是在该半径内因子的上界。
3. 验证时必须把 $\min$ 的两个分支都用上：由 $\delta\le r$ 得到因子的界，由 $\delta\le\epsilon/M$ 得到最终精度。漏掉任何一个分支，证明就有缺口。
4. $\delta>0$ 要说明：$\min$ 两个正数仍为正，这句话必须写。
5. 选 $r=1$ 还是 $r=c/2$：若表达式含 $\dfrac1x$ 之类，$r$ 必须小于 $\vert c\vert $ 以免跨越奇点（常用 $r=\vert c\vert /2$，且要求 $c\neq0$）；若只是多项式型，$r=1$ 最方便。

与教材的对应

本讲内容在 [JL] 中对应 §3.1（Limits of Functions），核心是 $\epsilon$-$\delta$ 定义与序列刻画。以下两项作业与本讲直接相关。

Assignment 7。 指定阅读 §2.5、§2.6、§3.1，并做 Exercise 2.6.2。- 读 §2.5 / §2.6 练”数列侧”储备：两节处理数列极限的进一步性质（子列、Cauchy 判据、Bolzano-Weierstrass 的深化），为 Theorem 157 提供”弹药”——函数极限一旦翻译成序列极限，Section 2 的兵器库即可直接调用。

• 读 §3.1 练”从离散到连续”的思维转换：把 $\epsilon$-$N$ 的熟练度迁移到 $\epsilon$-$\delta$，重点体会”聚点”这一新前置条件。
• Exercise 2.6.2 练序列极限的具体计算与估计：直接对给定数列操作 $\epsilon$-$N$，这种”显式给 $N$、代具体数字验算”的手感与本讲”显式给 $\delta$”同源。一句话：Assignment 7 让数列极限基本功在本讲前达到自动化。

Assignment 8。 指定阅读 §3.1、§3.2，并做 Exercise 3.1.3；另有一道函数题：设 $f(x)=0$ 于 $x\in\mathbb{Q}$、$f(x)=2x$ 于 $x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$，证明 $f$ 在 $0$ 处连续、在 $1$ 处不连续。

• 读 §3.1 / §3.2 练”极限定义 + 极限代数”的连贯使用：§3.2 把 Lecture 8 的极限代数（和、差、积、商）搬到函数极限上，合法性论证的桥梁正是 Theorem 157。
• Exercise 3.1.3 练 $\epsilon$-$\delta$ 定义的直接运用（本课程惯例要求用定义本身而非序列刻画验证极限），目的是让”给定 $\epsilon$、构造 $\delta$”形成肌肉记忆。
• 分片函数题练”聚点 + 稠密性 + 序列刻画”的联合使用：在 $x=0$ 处，有理侧 $f\equiv0$、无理侧 $f=2x\to0$，两侧都趋于 $0=f(0)$，故连续；在 $x=1$ 处，取有理序列 $x_n=1+1/n$ 得 $f(x_n)=0\to0$，取无理序列 $x_n=1+\sqrt2/n$ 得 $f(x_n)=2x_n\to2$，两个极限不同，由 Theorem 157 的逆否命题知极限不存在，故不连续。这道题是 Theorem 157 应用的完美范本，务必亲手写一遍。

作业分工一句话。 Assignment 7 打磨数列侧工具并搬到函数侧；Assignment 8 在函数侧真正开始使用这套工具（含极限代数与连续性判定的雏形）。

与其他讲次的关联

关联 1：Lecture 5（稠密性）$\to$ 本讲聚点示例。 Lecture 5 建立了 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密（任意非空开区间含有理数，也含无理数）。本讲 Definition 148 的第 3 个示例——”$\mathbb{Q}$ 的聚点集是 $\mathbb{R}$”——其证明逐字使用稠密性：给定 $x$ 与 $\delta>0$，开区间 $(x-\delta,x+\delta)$ 必含一个不等于 $x$ 的有理数。没有 Lecture 5，这个示例无法证明；反过来，这个示例也说明了稠密性的”分析用途”：稠密集在每一点都制造聚点，从而在每一点都能谈极限。 Assignment 8 中那道具 $\mathbb{Q}$/无理数分片函数，正是这一关联的延续。

关联 2：Lecture 6 的 $\epsilon$-$N$ $\to$ 本讲 $\epsilon$-$\delta$。 Lecture 6 定义 $a_n\to L$：$\forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N}$ 使 $n\ge N\Rightarrow\vert a_n-L\vert <\epsilon$；本讲把 $N$ 换成 $\delta$、把 $n\ge N$ 换成 $0<\vert x-c\vert <\delta$。继承的是”$\forall\epsilon\exists$门槛”架构；新增三重复杂性：(i) 门槛从离散指标变为实数半径；(ii) 前提从”最终”（一条尾巴）变为”局部”（挖心邻域，两侧同时）；(iii) 前提中新增 $x\neq c$ 这条红线。建立这个对照是本讲最重要的学习任务之一（见前文 code block）。

关联 3：Lecture 8 的极限代数 $\to$ 经 Theorem 157 搬到函数极限。 Lecture 8 证明了数列极限的四则运算：若 $a_n\to A$、$b_n\to B$，则 $a_n+b_n\to A+B$、$a_nb_n\to AB$，且 $B\neq0$ 时 $a_n/b_n\to A/B$。本讲 Theorem 157 让这些结果原封不动地迁移到函数极限：要证 $\lim_{x\to c}(f+g)(x)=L+M$，只需任取 $x_n\to c$（$x_n\neq c$），则 $f(x_n)\to L$、$g(x_n)\to M$，由 Lecture 8 得 $(f+g)(x_n)\to L+M$，再由 Theorem 157 的 ($\Leftarrow$) 方向得函数极限结论。这是一条”免费获得一大批函数极限定理”的捷径，也是 §3.2 全部内容的证明策略。 同理，Lecture 8 的夹逼定理也由此搬到函数版本。

关联 4：Lecture 14 的单侧极限与连续。 本讲定义中 $0<\vert x-c\vert <\delta$ 是双侧的，这要求 $f$ 在 $c$ 两侧趋势一致。Lecture 14 会把这个条件拆开，定义左极限 $\lim_{x\to c^-}$（把前提换成 $c-\delta<x<c$）与右极限 $\lim_{x\to c^+}$（换成 $c<x<c+\delta$），并证明：双侧极限存在 $\iff$ 左右极限都存在且相等。进而定义连续性：$f$ 在 $c$ 连续 $\iff\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$（这里额外要求 $c\in S$）。本讲的 Example 155 已经预告了这一分野：那里 $\lim_{x\to0}f(x)=1\neq2=f(0)$，所以 $f$ 在 $0$ 处不连续。本讲的 $\epsilon$-$\delta$ 定义是连续性定义的直接基石。

关联 5：Lecture 17 的一致连续（$\delta$ 对 $c$ 的依赖性被收紧）。 本讲 Definition 150 中，$\delta$ 允许依赖于 $c$（也允许依赖于 $\epsilon$）：不同的 $c$ 可以用完全不同的 $\delta$。Lecture 17 的一致连续要求 $\delta$ 只依赖 $\epsilon$，不依赖 $c$：

对照本讲例 154（$f(x)=\sqrt x$），$\delta=\epsilon\sqrt c$ 显式依赖 $c$，且 $c\to0^+$ 时 $\delta\to0$，说明 $\sqrt x$ 在 $[0,\infty)$ 上不一致连续（在 $[1,\infty)$ 上一致连续，可取 $\delta=\epsilon$）。”$\delta$ 依赖谁”是”局部 vs 整体”这一主题的第一个具体化身。

关键要点

要点 1：聚点是极限的”入场券”，且聚点不必属于集合。 Definition 148 刻画的不是”$x$ 附近有 $S$ 的点”，而是”$x$ 附近任意近处都有 $S$ 的其他点”。$S=\{1/n\}$ 的聚点是 $0$（$0\notin S$），$\mathbb{Z}$ 没有聚点，$\mathbb{Q}$ 的聚点集是整个 $\mathbb{R}$。在任何极限论述中，第一件事永远是检查 $c$ 是否是定义域的聚点。

要点 2：定义五要素必须齐全。 $S$、$c$ 是聚点、$\forall\epsilon>0$、$\exists\delta>0$、$x\in S\wedge 0<\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-L\vert <\epsilon$。

要点 3：量词顺序决定语义。 $\forall\epsilon\exists\delta$ 中 $\delta$ 可依赖 $\epsilon$、$c$、$f$、$a$，但绝不能依赖 $x$；写成 $\exists\delta\forall\epsilon$ 会使定义失去意义。

要点 4：$0<\vert x-c\vert $ 使极限与 $f(c)$ 解耦。 极限是”靠近 $c$ 时的趋势”，不是”在 $c$ 处的值”。Example 155（$f(0)=2$ 但极限为 $1$）是这一点的极简展示；$\sin x/x$ 在 $0$ 处无定义但极限为 $1$ 是另一次展示；两者是否相等，正是连续性的内容。

要点 5：唯一性（Theorem 152）的证明有三块砖：$\epsilon/2$ 分摊、$\min$ 合并、聚点造点。 三块缺一，证明就不完整。特别是”因 $c$ 是聚点，存在 $x_0\in S$ 使 $0<\vert x_0-c\vert <\delta$”这句，绝不能省。

要点 6：构造 $\delta$ 的标准流程。 ①写出 $\vert f(x)-L\vert $ 的表达式；②代数变形（提取 $\vert x-c\vert $ 因子、有理化、通分）；③估计出形如 $\vert f(x)-L\vert \le C\vert x-c\vert $ 的界；④令 $\delta=\epsilon/C$（必要时用 $1+C$ 或 $\min\{1,\epsilon/C\}$ 处理退化与无界）。Example 153、154 与补充例题都是这条流水线的实例。

要点 7：$\delta$ 只需”够用”，不需”最优”。 保守的（偏小的）$\delta$ 永远安全。源文件的 $\delta=\epsilon/(1+\vert a\vert )$、$\delta=\epsilon\sqrt c$ 都不是最优值，但完全正确。

要点 8：Theorem 157 是双向翻译机。 (1$\Rightarrow$2) 把 $\delta$ 当数列极限的 $\epsilon$ 用；(2$\Rightarrow$1) 用 $\delta=1/n$ 构造反例序列反证。前者搬运定理，后者证极限不存在。

要点 9：证极限不存在的标准操作是”两条序列，两个极限”。 $\sin(1/x)$ 用 $x_n=1/(2n\pi)$ 与 $y_n=1/(2n\pi+\pi/2)$；分片函数用有理序列与无理序列。只需两条，不要试图分析函数的整体图像。

要点 10：本讲的 $\delta$ 允许依赖 $c$，这是”局部”的标志。 一致连续（Lecture 17）收紧这一点。$\sqrt x$ 在 $[0,\infty)$ 上的 $\delta=\epsilon\sqrt c$ 依赖 $c$，是”不一致连续”的直接证据。

常见误区与注意事项

误区 1：忘记 $0<\vert x-c\vert $，把 $x=c$ 也算进来。

错误做法：写定义时只要求 $\vert x-c\vert <\delta$，不排除 $x=c$；或者在证明中利用 $f(c)$ 的值得出结论。 为什么错：一旦包含 $x=c$，定义就变成了对 $f(c)$ 的约束，而函数极限的本意恰恰是”与 $f(c)$ 无关”。Example 155 中 $f(0)=2$，取 $\epsilon=1/2$ 就会让”$\lim_{x\to0}f(x)=1$”这项正确的断言失败。又例如 $f(x)=\sin x/x$（$x\neq0$）在扩展定义域后，无论 $f(0)$ 取何值都不该影响极限，若强迫 $x=c$ 参与，则只有恰好取 $f(0)=1$ 时极限才”存在”。 正确做法：定义中始终保留 $0<\vert x-c\vert $；在证明中把”$x\neq c$”当作一条可用的信息（Example 155 正是靠它把 $f(x)$ 定到分支 $1$ 上）。同时在用到聚点性造点时要主动验证 $x_0\neq c$。

误区 2：让 $\delta$ 依赖 $x$。

错误做法：在证明中写成”取 $\delta=\epsilon/(2\vert x+1\vert )$”（其中 $x$ 是前提中那个尚未固定的点），或者推理时先取定 $x$、再根据 $x$ 选 $\delta$、然后说”对一切 $x$ 成立”。 为什么错：在 Definition 150 中，量词顺序是 $\exists\delta>0$ 在 $\forall x$（隐含在蕴含式里）之前。也就是说，$\delta$ 必须在见到 $x$ 之前就已经选好，必须对所有满足 $0<\vert x-c\vert <\delta$ 的 $x$ 一视同仁。让 $\delta$ 依赖 $x$ 等于把 $\exists\delta\forall x$ 偷偷换成了 $\forall x\exists\delta$，这是完全不同（且弱得多）的命题：后者几乎对任何函数都成立（例如对每个 $x$ 取 $\delta=\vert x-c\vert +1$，前提根本不成立，蕴含空洞为真）。这样”证明”出的结论毫无价值。 正确做法：$\delta$ 只能包含已经固定的量——$\epsilon$、$c$、以及 $f$ 的参数（如 $a,b$）。遇到”$\vert x+1\vert $ 无界”这类问题时，用限制 $\delta$ 的范围（例如 $\delta\le1$）来把依赖 $x$ 的因子统一界住，而不是让它进入 $\delta$ 的表达式（见误区 3 与补充例题）。

误区 3：不做 $\min\{1,\delta_0\}$，导致无界因子失控。

错误做法：证 $\lim_{x\to1}(x^2+1)=2$ 时直接写”$\vert x^2-1\vert =\vert x-1\vert \vert x+1\vert <\delta\vert x+1\vert <\epsilon$，取 $\delta=\epsilon/\vert x+1\vert $”。 为什么错：$\vert x+1\vert $ 在 $x=1$ 附近虽”差不多是 2”，但它不是常数，而 $\delta$ 不能依赖 $x$。用它除就落进误区 2；忽略它又会写出 $\vert x-1\vert \vert x+1\vert <\delta\cdot(\text{未知})$ 这种无法收尾的式子。 正确做法：先用一个方便的常数锁住 $\delta$ 的上限。取 $\delta\le1$，则 $\vert x-1\vert <1$ 给出 $0<x<2$，故 $\vert x+1\vert =x+1<3$，更保守地取 $4$（$x<2$ 时 $x+1<3<4$，且 $4$ 更好算）。于是 $\vert x^2-1\vert <4\vert x-1\vert <4\delta$，取 $\delta=\min\{1,\epsilon/4\}$ 即可。“限住 $\delta$ 的范围以换取有界因子”是本课程 $\epsilon$-$\delta$ 证明中最重要的单一技巧，见补充例题。

误区 4：把量词顺序写反，或把 $\epsilon$ 与 $\delta$ 的角色互换。

错误做法：写成”$\exists\delta>0\ \forall\epsilon>0$，$0<\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-L\vert <\epsilon$”；或者在证明开头写”设 $\epsilon<1$”却没有单独处理 $\epsilon\ge1$。 为什么错：顺序一颠倒，语义完全改变。”$\exists\delta\forall\epsilon$”意味着”存在一个邻域，函数在其中与 $L$ 的偏差小于任意给定的正数”，这只有在 $f$ 在该邻域上恒等于 $L$ 时才可能成立，是一个极强、几乎无人满足的条件，而不是我们想要的收敛性。另一方面，对 $\epsilon$ 加限制（如 $\epsilon<1$）本身不是错误（因为只需处理小 $\epsilon$，大 $\epsilon$ 的情形可用同一个 $\delta$ 自动满足，理由：若 $\epsilon_1<\epsilon_2$ 且 $\delta$ 对 $\epsilon_1$ 有效，则对 $\epsilon_2$ 也有效），但必须显式说明这个归约，否则读者无法判断你是否遗漏了情形。 正确做法：先默写模板 $\forall\epsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in S,\ 0<\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-L\vert <\epsilon$，再往里填。若确实要限制 $\epsilon$，写出”不妨设 $\epsilon<1$：若 $\epsilon\ge1$ 而某个 $\delta$ 对 $\epsilon=1$ 有效，则它对一切更大的 $\epsilon$ 也有效”这样的论证。

误区 5：忘记 $c$ 必须是 $S$ 的聚点（或忘记验证）。

错误做法：对 $S=\mathbb{Z}$、$f(x)=x^2$，讨论 $\lim_{x\to 0.5}f(x)$；或者引用 Theorem 152 时只说”$f(x)\to L_1$ 且 $f(x)\to L_2$”，不确认 $c$ 是聚点。 为什么错：若 $c$ 不是聚点，Definition 150 的前提在某个 $\delta_0$ 内无人满足，蕴含式空洞为真，于是任何 $L$ 都是”极限”，唯一性彻底失效。例如 $S=\{0\}$、$c=1$（不是聚点），则 $f(x)=0$ 在 $x\to1$ 时”收敛到”每一个实数。这样的”定理”毫无内容。 正确做法：每次使用 Definition 150 或 Theorem 152/157 之前，显式写一句”$c$ 是 $S$ 的聚点，因为……”。在 Theorem 152 的证明中，聚点性还承担着造出 $x_0$ 的技术功能，遗漏这一步就不是”少写一句话”，而是证明出现空洞。

误区 6：把 $\vert a\vert $ 写成 $a$，或对 $\epsilon$ 与 $\delta$ 做量纲比较。

错误做法：写 $\vert f(x)-(ac+b)\vert =a(x-c)<a\delta$；或者论证”因为 $\delta<\epsilon$ 所以 $\delta$ 足够小”。 为什么错：$a$ 可能为负，去掉绝对值后不等号方向可能反转（$a<0$ 时 $a(x-c)<a\delta$ 是错的）。而 $\epsilon$ 与 $\delta$ 分处两个空间（输出与输入），单位与含义都不同，直接比较数值大小没有意义；判断 $\delta$ 是否可用的唯一标准是能否推出 $\vert f(x)-L\vert <\epsilon$。 正确做法：一律使用绝对值；把 $\delta$ 的选择写成”为使 $C\delta<\epsilon$，取 $\delta=\epsilon/C$”这样的功能性推导，而不是数值比较。

误区 7：用”显然”“易得”“类似可证”跳过关键估计。

• 说明：本课程的评分标准要求每一步可核验。在 $\epsilon$-$\delta$ 证明中尤其如此，因为很多步骤（如”$\sqrt x+\sqrt c\ge\sqrt c$ 故分数变小”、”$\vert x+1\vert <4$”）看似微小，实际是证明的关键。
• 正确做法：把每一个不等号的理由写出来（”因为 $\sqrt x\ge0$”、”因为 $\delta\le1$ 故 $x<2$”）。本笔记全程遵守此纪律，请照此书写你的解答。

  思考题（带答案）

思考题 Q1：用 $\epsilon$-$\delta$ 定义证明 $\lim_{x\to2}\dfrac1x=\dfrac12$，给出显式 $\delta$，并代入 $\epsilon=0.01$ 计算数值。

解答。

准备：确认合法性。 取 $S=(0,\infty)$（或 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$）。$c=2$ 是 $S$ 的聚点：任取 $\delta>0$，$2+\tfrac\delta2\in(2-\delta,2+\delta)\cap(S\setminus\{2\})$。故 Definition 150 可用。目标值 $L=\dfrac12$。

第一步：先算 $\vert f(x)-L\vert $ 并提取 $\vert x-c\vert $ 因子。

对 $x>0$，

第二步：处理依赖 $x$ 的因子 $\dfrac{1}{2x}$。 这是本题的技术核心。因子 $\dfrac{1}{2x}$ 在 $x$ 靠近 $2$ 时有界，但当 $x\to0^+$ 时会爆炸，所以必须限制 $x$ 的范围。我们采取一个标准的预先限制：

限制 $\delta\le 1$。 若 $\vert x-2\vert <1$，则 $1<x<3$，特别地 $x>1$，于是 $\dfrac{1}{2x}<\dfrac12$。因此

第三步：令 $\dfrac12\delta<\epsilon$，解出 $\delta$，并验证。 取 $\delta=\min\{1,2\epsilon\}$。任取 $\epsilon>0$，设 $x>0$ 且 $0<\vert x-2\vert <\delta$：由 $\delta\le1$ 得 $\vert x-2\vert <1$，故 $x>1$，第二步的估计可用；又由 $\vert x-2\vert <\delta\le2\epsilon$ 得

因 $\epsilon>0$ 任意，$\lim_{x\to2}\dfrac1x=\dfrac12$。$\blacksquare$

（另一个等价且常用的取法是 $\delta=\min\left\{\dfrac c2,\ \dfrac{\epsilon c^2}{2}\right\}=\min\left\{1,\ 2\epsilon\right\}$，在 $c=2$ 时与上式一致。其一般来源是：限制 $\delta\le c/2$ 保证 $x>c/2$，从而 $\dfrac{1}{cx}<\dfrac{2}{c^2}$。）

数值代入：$\epsilon=0.01$。

数值验证。 当 $0<\vert x-2\vert <0.02$，即 $1.98<x<2.02$（此时 $x>1$，限制 $\delta\le1$ 生效得”很宽松”）时，

取最坏情形（分母最小）$x=1.98$：

数值结论：$\epsilon=0.01$ 时 $\delta=0.02$ 有效，实际误差约 $0.00505$，约为容差 $0.01$ 的一半。 注意此处的 $\delta=2\epsilon=0.02$ 与估计中”$\frac12\vert x-2\vert $”的系数 $1/2$ 完全对应（$\delta=2\epsilon$ 使 $\frac12\delta=\epsilon$），这是”令 $C\delta=\epsilon$ 取 $\delta=\epsilon/C$”流水线的直接体现。

答案要点回顾。 (i) 先代数变形提取 $\vert x-c\vert $；(ii) 用范围限制 $\delta\le1$ 把 $\dfrac{1}{2x}$ 界成 $<\dfrac12$；(iii) 取 $\delta=\min\{1,2\epsilon\}$；(iv) 代数值验算。

思考题 Q2：用序列刻画证明 $\lim_{x\to0}\sin\dfrac1x$ 不存在。

解答。

准备：定义域与聚点。 取 $S=\mathbb{R}\setminus\{0\}$，$f(x)=\sin\dfrac1x$。$c=0$ 是 $S$ 的聚点（$\tfrac\delta2\in(-\delta,\delta)\cap(S\setminus\{0\})$），故可用 Theorem 157。

反证假设。 设存在 $L\in\mathbb{R}$ 使 $\lim_{x\to0}f(x)=L$。

构造两条序列。 对 $n\in\mathbb{N}$（$n\ge1$）令

第一步：两序列都在 $S$ 中且趋于 $0$。 因 $n\ge1$，$2n\pi>0$ 且 $2n\pi+\tfrac\pi2>0$，故 $x_n,y_n>0$，属于 $S=\mathbb{R}\setminus\{0\}$。又

两条不等式右端都趋于 $0$（$\tfrac1n\to0$ 乘以常数），由夹逼定理（Lecture 8）得 $x_n\to0$ 且 $y_n\to0$。它们还满足 $x_n\neq0$、$y_n\neq0$，符合 Theorem 157 中”$S\setminus\{c\}$ 中的序列”这一要求（此处 $c=0$，故要求 $x_n\neq0$，已满足）。

第二步：计算像序列。 由 $\dfrac{1}{x_n}=2n\pi$ 与 $\sin$ 的 $2\pi$ 周期性得 $f(x_n)=\sin(2n\pi)=0$ 对一切 $n$；由 $\dfrac{1}{y_n}=2n\pi+\dfrac\pi2$ 得

第三步：取极限。 常数列 $f(x_n)\equiv0$ 与 $f(y_n)\equiv1$ 分别收敛，即 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=0$、$\lim\limits_{n\to\infty}f(y_n)=1$。

第四步：应用 Theorem 157 导出矛盾。 由假设 $\lim_{x\to0}f(x)=L$ 与 Theorem 157 的 (1 $\Rightarrow$ 2) 方向，对每一条满足条件且趋于 $0$ 的序列都应有 $f\to L$。于是

故 $0=L=1$，即 $0=1$，矛盾。

结论。 不存在这样的 $L$，即 $\lim_{x\to0}\sin\dfrac1x$ 不存在。$\blacksquare$

补充说明。 当 $x\to0^+$ 时 $\dfrac1x\to+\infty$，$\sin$ 于 $[-1,1]$ 内无限次振荡，故 $f$ 在 $0$ 的任一去心邻域内取遍几乎整个 $[-1,1]$，”趋于一个数”被彻底排除。用序列刻画只需挑两个不同振荡相位的点列，无需量化振荡的剧烈程度。

答案要点回顾。 选序列的标准是”像序列收敛到不同的值”；用夹逼定理证明序列趋于 $0$；用 Theorem 157 的一条结论（函数极限存在 $\Rightarrow$ 一切序列都给出同一极限）导出矛盾。

思考题 Q3（概念题）：为什么定义要求 $0<\vert x-c\vert $？去掉这一条件会发生什么？请给出反例。

解答。

（a）这个条件做了什么。 $0<\vert x-c\vert $ 的含义是 $x\neq c$，即把 $c$ 点本身从考量范围中剔除。故函数极限只考察 $f$ 在 $c$ 的去心邻域上的行为，完全不管 $f(c)$ 是多少。一句话概括：

（b）为什么必须这样。 理由有三条。

1. $f(c)$ 可能不存在。 例如 $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ 的自然定义域是 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$（或 $S$ 中不含 $0$ 的任一集合），此时 $f(0)$ 无从定义，任何涉及 $f(0)$ 的要求都是空洞或非法的。若定义包含 $x=c$，则这个函数在任何不含 $0$ 的定义域上都无法满足定义（因为相减的式子 $\vert f(c)-L\vert $ 无法写出），这与我们确信 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ 严重冲突。
2. $f(c)$ 的取值应当与极限无关。 极限是”局部趋势”，而单点取值是”局部趋势之外的一次孤立赋值”。二者在概念上属于不同层次。
3. 理论后果。 正因为定义把 $f(c)$ 排除在外，”$\lim_{x\to c}f(x)$ 恰好等于 $f(c)$”才成为有内容的性质，我们称其为在 $c$ 处连续；若定义包含 $f(c)$，连续性将成为同义反复，Lecture 14 的理论将失去对象。

（c）去掉这个条件会发生什么：反例。

反例 1（最简）。 取 $S=\mathbb{R}$，$c=0$，

这是 Example 155。我们知道 $\lim_{x\to0}f(x)=1$。若去掉 $0<\vert x-c\vert $，定义变为：$\forall\epsilon>0\exists\delta>0$，$\vert x\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-1\vert <\epsilon$。取 $\epsilon=\dfrac12$。任取 $\delta>0$，取 $x=0$（它满足 $\vert x\vert <\delta$），则 $\vert f(0)-1\vert =\vert 2-1\vert =1\ge\dfrac12$。故不存在满足新定义的 $\delta$。于是新定义会判定 “$\lim_{x\to0}f(x)=1$ 不成立“——把一个正确的极限断言判为假。这就是去掉该条件的直接后果：定义变得过强，无法容纳函数值异常的情形。

反例 2（判给错误的极限值）。 仍用上例考察 $L=2$：新定义下若要 $\vert x\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-2\vert <\epsilon$，则所有 $x\neq0$ 都须满足 $\vert 1-2\vert =1<\epsilon$，即要求 $\epsilon>1$。于是”极限”存在与否依赖于 $\epsilon$（$\epsilon=2$ 时成立，$\epsilon=0.1$ 时不成立），与”对一切 $\epsilon>0$ 成立”冲突——新定义下的”极限”连对 $\epsilon$ 一致都做不到。

反例 3（唯一性彻底崩溃）。 取 $S=\mathbb{R}$、$c=0$、$g(x)=0$（$x\neq0$）、$g(0)=5$。新定义下取 $\epsilon=10$、$\delta=1$：对一切 $\vert x\vert <1$ 有 $\vert g(x)-5\vert \le5<10$，故 $L=5$ 是”极限”；同样 $\vert g(x)-0\vert \le5<10$，故 $L^{\prime}=0$ 也是”极限”。$5$ 与 $0$ 同时成为”极限”，Theorem 152 被摧毁。

（d）正确做法。 保留定义中的 $0<\vert x-c\vert $；”极限等于函数值”另行命名为连续性（Lecture 14）：$f$ 在 $c$ 处连续 $\iff$ $c\in S$ 且 $c$ 是 $S$ 的聚点（即 $c$ 是 $S$ 的非孤立点），且 $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$。 借助 $0<\vert x-c\vert $，这个定义才有实质内容。

答案要点回顾。 $0<\vert x-c\vert $ 的作用是剔除 $c$ 点，使极限只反映”去心邻域上的趋势”；去掉它会使定义过强（错误否定正确的极限）、使”极限”依赖 $\epsilon$、并使唯一性失效；正确的处理方式是把”极限等于函数值”独立命名为连续性。