Lecture 16: The Min/Max Theorem and Bolzano’s Intermediate Value Theorem（极值定理与 Bolzano 介值定理）

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Lecture 16: The Min/Max Theorem and Bolzano’s Intermediate Value Theorem（极值定理与 Bolzano 介值定理）

概述

本讲回答一个看起来”天经地义”、但此前从未被证明过的问题：闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数，是否一定有最大值和最小值？是否一定取到最大与最小之间的每一个值？

答案是两个”是”，它们分别就是本讲的两条主定理：Min-Max Theorem（极值定理，源文件 Theorem 182；别名 Extreme Value Theorem, EVT，见 Remark 183） 与 Bolzano’s Intermediate Value Theorem（Bolzano 介值定理，源文件 Theorem 187；简称 IVT，见 Remark 188）。源文件开篇即给出本讲的最终形态：对连续函数 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$，存在 $e,f\in\mathbb{R}$ 使

也就是说：连续函数把闭区间”不爆掉、不遗漏、不越界”地映成一个闭区间。这个结论要到 Theorem 189 才被完整证明，而它的两块拼图正是 Theorem 182（给出 $e,f$）与 Theorem 187（给出”中间的值一个不漏”）。

在整个课程的位置上，本讲是 LUB 与 Bolzano–Weierstrass 定理的又一次大丰收。证明里你会反复看到同一个模式在打转：用 LUB（Lecture 4）造出上确界 $\to$ 用 $\sup$ 的 $\epsilon$ 刻画（Lecture 5）造出逼近序列 $\to$ 用 BW（Lecture 9）抽出收敛子序列 $\to$ 用序列刻画连续性（Lecture 14/15）把收敛”传”到函数值上 $\to$ 得到结论。把这台机器的齿轮看清楚，是自学本讲最大的收获。

本讲同时用反例回答了三个”必要性”问题：如果 $f$ 不连续会怎样？如果定义域不是闭的、不是有界的会怎样？源文件 Remark 184 给了两个反例，我们额外补两个，并做成对照表。

核心定义与直观解释

Definition 179 (Bounded Functions)：有界函数

• 严格定义（源文件原文）：函数 $f:S\to\mathbb{R}$ 是有界的 (bounded)，如果

• 直观解释（”它到底在说什么？”）：想象函数图像被两条水平线 $y=B$ 与 $y=-B$ 夹住。无论 $x$ 在 $S$ 里走到哪里，图像都不会冲出这个横条。”有界”是一个关于整个函数的性质，不是某一点的性质：同一个 $B$ 必须在整个 $S$ 上同时管用。这与 Lecture 7/8 的”数列有界”是同一个思想，只是把下标 $n$ 换成了自变量 $x$。

• 为什么需要这个条件？ 因为”求上确界”这件事必须先知道集合上方有东西挡着。LUB 性质（Lecture 4，对应 Lecture 3 定义 26）只对”非空且有上界”的集合保证上确界存在。如果 $f$ 无界，则集合 $E=\{f(x):x\in[a,b]\}$ 根本没有上界，$\sup E$ 无从谈起，Theorem 182 的证明在第一步就断掉。所以 Theorem 180（连续 $\Rightarrow$ 有界）不是顺手一提，它是极值定理的必要铺垫。

• 具体示例：$f(x)=x^2$ 在 $S=[-3,3]$ 上。取 $B=9$，则 $\forall x\in[-3,3]$，$\vert f(x)\vert =x^2\le 9=B$，故 $f$ 有界。最小的可行 $B$ 是多少？$x^2$ 在 $[-3,3]$ 上取到最大值 $9$，所以最小的 $B$ 恰好是 $9$（取 $B=8.99$ 时在 $x=3$ 处失败）。这里可见：“有界”里的 $B$ 不必最优，但具体问题里我们常常顺手给出最优的 $B$。

• 再给一个带数字的示例：$f(x)=1/x$ 在 $S=[1,100]$ 上。对每个 $x\in[1,100]$，$1/100\le1/x\le1$，故 $\vert f(x)\vert \le1$，取 $B=1$。更小的 $B$ 不行，因为 $x=1$ 处 $f(1)=1$。

• 反例（如果适用）：$f(x)=1/x$ 在 $S=(0,1]$ 上无界。证明：任给 $B\ge0$，取

则 $f(x)=B+1$，故 $\vert f(x)\vert =B+1>B$。既然没有哪个 $B$ 能管住所有 $x$，$f$ 无界。这个反例将在本讲反复出现：只要定义域允许 $x$ 趋于 $0$（哪怕 $0$ 本身不在定义域里），$1/x$ 就会把函数值顶到无穷。这是”定义域必须有界”的第一重理由。

Definition 181 (Absolute Minimum/Maximum)：绝对最小值 / 绝对最大值

• 严格定义（源文件原文）：设 $f:S\to\mathbb{R}$。

  $f$ 在 $c\in S$ 处取到绝对最小值 (achieves an absolute minimum at $c$)，如果

  \[\forall x\in S,\quad f(x)\ge f(c).\]

  $f$ 在 $d\in S$ 处取到绝对最大值 (achieves an absolute maximum at $d$)，如果

  \[\forall x\in S,\quad f(x)\le f(d).\]

• 直观解释（”它到底在说什么？”）：这是本讲最容易”想当然”跳过、却最关键的定义。请把眼睛盯在两处细节上：

  1. 取到（achieves）：定义里明确写了 $c\in S$、$d\in S$。也就是说，极值点必须在定义域里，而且函数在该点有定义。”$f$ 在 $c$ 取到最小值”等价于说”最小值这个数是 $f$ 的值域 $f(S)=\{f(x):x\in S\}$ 里一个真实存在的元素”。
  2. 绝对（absolute）：$\forall x\in S$ 是全局比较，不是局部小邻域里的比较。微积分里的”局部极大/极小”不是本讲讨论的对象；本讲的 max/min 都是全局的。

  一句大白话：$f$ 在 $c$ 取到最大值 $\iff$ $f(c)$ 同时是值域 $f(S)$ 的上界和成员。

• 为什么需要这个条件？ 因为分析里真正有用的是”极值被某一点实现“这个事实，而不是”有一个数压在所有人头上”。有了 $c$，你才能做后续操作：用它求导（Fermat 定理）、用它在 $c$ 处连续、用积分在 $c$ 处取值。如果只知道 $\sup$ 存在却取不到，$c$ 就不存在，一切都停摆。

$\max$ 与 $\sup$ 的分界线（本讲的”头号陷阱”）

必须把 Definition 181 与 Lecture 3 的上确界 (supremum, 定义 24) 严格对照。回顾：

• $b_0=\sup E$ $\iff$ (A) $b_0$ 是 $E$ 的上界；(B) 任何 $E$ 的上界 $b$ 都满足 $b_0\le b$。
• 定义里没有任何一处要求 $b_0\in E$！

所以

• 具体示例（这正是 Final 第 2(a)(i) 题的核心）：$f(x)=x$ 在 $S=(0,1)$ 上。值域是

由 LUB 性质 $\sup(0,1)=1$ 存在，$f$ 有界。但 $1\notin(0,1)=f(S)$，所以不存在 $d\in(0,1)$ 使 $f(d)=1$：$f$ 没有最大值。同理 $\inf(0,1)=0\notin(0,1)$，$f$ 也没有最小值。（Final 第 2(a)(i) 只要求”既无全局最大值也无全局最小值”，$f(x)=x$ on $(0,1)$ 就是最简答案。）

数值体会：取 $x=1-10^{-9}$，得 $f(x)=0.999999999$，离 $1$ 只差 $10^{-9}$；但无论取多近，只要 $x<1$ 就有 $f(x)<1$。$1$ 是”追得到、抓不住”的幽灵。源文件所依托的 Lecture 3 Example 25 里那句 “the supremum nor the infimum need to be in $E$” 说的就是这件事。

• 对照：同一个函数 $f(x)=x$ 放在 $[0,1]$ 上就有最大值：$d=1\in[0,1]$，$\forall x\in[0,1]$，$f(x)=x\le1=f(1)$。所以 $\max$ 的存在性依赖定义域，不依赖函数表达式。这正解释了为什么本讲每条定理都要死死抓住”$[a,b]$ 闭”这个条件。

Definition 181 的补充：$\sup$ / $\inf$ 与被取到的关系

把 Definition 181 与 LUB/GLB 拼起来，得到两条后面反复使用的等式（Lecture 4 已证 LUB $\Rightarrow$ GLB）：

• 若 $f$ 在 $d$ 取到绝对最大值，则 $\max f(S)=f(d)=\sup f(S)$。
• 若 $f$ 在 $c$ 取到绝对最小值，则 $\min f(S)=f(c)=\inf f(S)$。

反过来不成立：$\sup f(S)$ 存在不推出它有原像。”$\sup$ 存在”是免费的（LUB），”$\sup$ 被取到”是要花力气证明的（BW + 连续性）——Theorem 180 与 Theorem 182 的全部工作量都在后者。

定理与完整证明（核心）

Theorem 180：闭区间上的连续函数有界

• 定理陈述（源文件原文）：若 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续，则 $f$ 有界。即

• 证明策略：反证法 + Bolzano–Weierstrass + 序列刻画连续性 + 收敛序列有界。为什么选反证？因为”有界”是 $\exists B\forall x$ 的断言，正面构造 $B$ 需要预知 $f$ 的取值范围，无从下手；而反证把结论否定成一个”可以造序列”的断言：“无界”意味着对每个 $n$ 都能找到一个 $x_n$ 把 $\vert f\vert $ 顶过 $n$。一旦手上有序列，Lecture 9 的 BW 就能抽收敛子列，Lecture 14/15 的序列刻画就能把收敛传到函数值。计划的要点：把”无界”翻译成”存在一列函数值发散到无穷”。

• 逐步推导（照源文件，并把收尾的”下标被反制”写透）：

  1. 反设：设 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续但无界（即不存在满足 Definition 179 的 $B\ge0$）。

  2. 把无界翻译成序列（依据：无界的否定）。”不存在 $B\ge0$ 使 $\forall x\in[a,b]$，$\vert f(x)\vert \le B$”等价于：$\forall B\ge0$，$\exists x\in[a,b]$ 使 $\vert f(x)\vert >B$。对每个 $n\in\mathbb{N}$ 取 $B=n$，得到

     \[\forall n\in\mathbb{N},\quad \exists x_n\in[a,b]\ \text{使}\ \vert f(x_n)\vert \ge n. \tag{16.1}\]

     （源文件用的是 $\ge n$；与其保持完全一致。）

  3. 序列落在有界集里（依据：$x_n\in[a,b]$）：$\forall n$，$a\le x_n\le b$，特别地 $\{x_n\}$ 有界。

  4. 抽出收敛子序列（依据：Bolzano–Weierstrass 定理，源文件 Theorem 102：每个有界序列有收敛子序列）。存在子序列 $\{x_{n_k}\}_k$ 与 $x\in\mathbb{R}$ 使

     \[x_{n_k}\xrightarrow{k\to\infty}x.\]

  5. 极限点仍在 $[a,b]$ 内（依据：夹逼定理 + 常数列极限）。对每个 $k$，$a\le x_{n_k}\le b$；由常数列 $a\to a$、$b\to b$ 与夹逼得 $a\le x\le b$，即 $x\in[a,b]$。

     （源文件原文即写 “Since $a\le x_{n_k}\le b$ for all $k$, $a\le x\le b$”。这一步保证了第 6 步的 $f(x)$ 有意义。）

  6. $f$ 在 $x$ 处连续，把收敛传过去（依据：序列刻画连续性，源文件 Theorem 171 (3)：$f$ 在 $c$ 连续 $\iff$ 对每个 $x_n\to c$（$x_n\in S$）有 $f(x_n)\to f(c)$）。

     \[f(x)=\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k}),\qquad\text{从而}\qquad \vert f(x)\vert =\lim_{k\to\infty}\vert f(x_{n_k})\vert . \tag{16.2}\]

     （第二步依据：绝对值的连续性，或由 $\bigl\vert \vert f(x_{n_k})\vert -\vert f(x)\vert \bigr\vert \le\vert f(x_{n_k})-f(x)\vert $。）

  7. 于是子序列的函数值有界（依据：Lecture 7 Theorem 72：收敛 $\Rightarrow$ 有界）。$\{\vert f(x_{n_k})\vert \}_k$ 收敛，所以存在 $C\ge0$ 使

     \[\forall k\in\mathbb{N},\quad \vert f(x_{n_k})\vert \le C. \tag{16.3}\]

  8. 反过来限制下标 $n_k$（依据：(16.1) 把 $n$ 换成 $n_k$，再与 (16.3) 联立）。由 (16.1) 对每一个 $n$ 都成立，取 $n=n_k$ 得 $\vert f(x_{n_k})\vert \ge n_k$。又由 (16.3) 得 $\vert f(x_{n_k})\vert \le C$。两式串联：

     \[n_k\le\vert f(x_{n_k})\vert \le C. \tag{16.4}\]

     于是整列下标 $\{n_k\}_k$ 被同一个常数 $C$ 压住：$\forall k$，$n_k\le C$。

  9. 这与子序列指标必须发散矛盾（依据：子序列定义，源文件 Definition 77）。子序列的指标严格递增：$n_1<n_2<\cdots$，故对一切 $k$ 有 $n_k\ge k$（对 $k$ 归纳：$n_1\ge1$；若 $n_k\ge k$ 则 $n_{k+1}\ge n_k+1\ge k+1$）。取 $k=\lfloor C\rfloor+1$（注意 $k$ 是整数，$C$ 是实数），则

     \[n_k\ge k=\lfloor C\rfloor+1>C\ge n_k,\]

     即 $n_k>n_k$，矛盾。（等价地：$n_k\ge k\to\infty$ 表明 $\{n_k\}$ 无界，与 (16.4) 矛盾。)

  10. 结论：反设不成立，故 $f$ 有界，存在 $B\ge0$ 使 $\forall x\in[a,b]$，$\vert f(x)\vert \le B$。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：请特别注意源文件这个证明的独一无二的机制——它和”常规”的有界性证明不同：

  常规思路（也是我原本会想到的）：$\vert f(x_{n_k})\vert \to\vert f(x)\vert $ 收敛 $\Rightarrow$ 有界；但 $\vert f(x_{n_k})\vert \ge n_k\to\infty$，与有界矛盾。

  源文件思路：$\vert f(x_{n_k})\vert \to\vert f(x)\vert $ 收敛 $\Rightarrow$ $\vert f(x_{n_k})\vert \le C$；再由 $n_k\le\vert f(x_{n_k})\vert $ 得 $n_k\le C$，即下标序列本身有界；但子序列的指标必须满足 $k\le n_k$，即 $n_k\to\infty$。矛盾。

  两者都对，但源文件这条更巧妙，也更值得学：它没有直接对比”两个极限”，而是把矛盾转移到下标 $\{n_k\}$ 上。用一句话概括这个机制：

  用 BW 把”无界性”集中到一个点 $x$ 上；连续性在该点处给出”局部有界”；这个局部有界性反过来把下标 $n_k$ 压住；而下标按定义必须发散。

  为什么这个机制”必然”能工作？因为 $f(x_{n_k})\ge n_k$ 这条不等式其实是一个双向的紧箍咒：左端 $n_k$ 要发散，右端 $\vert f(x_{n_k})\vert $ 要收敛。同时成立是不可能的。源文件选择用左端去压右端（得到 $\{\vert f(x_{n_k})\vert \}$ 有界），再用右端去压左端（得到 $\{n_k\}$ 有界）。“同一串不等式可以从两端分别读出矛盾”，这是分析里极常见的双重使用。

  三个条件在证明中各司其职：

     无界 ──► 存在 x_n 使 \|f(x_n)\| ≥ n
                  │
                  ▼   (BW，燃料是 [a,b] 有界)
             子列 x_{n_k} → x ∈ [a,b]      ← 这里用了"闭"！
                  │
                  ▼   (f 在 x 连续 + 序列刻画，用了"连续"！)
             \|f(x_{n_k})\| → \|f(x)\|           ← 所以 \|f(x_{n_k})\| ≤ C
                  │
                  ▼   与 n_k ≤ \|f(x_{n_k})\| 联立
             n_k ≤ C，即下标有界
                  ✗ 矛盾 ✗   （但 k ≤ n_k 迫使 n_k → ∞）
  

• 【证明技巧总结】：

  1. 否定性假设序列化：遇到”无界”“不存在……”这类否定条件，先翻译成 $\forall n\exists x_n$ 的序列形式。
  2. BW 是”有界 + 反证”场景的万能钥匙：只要反设能造出一个有界序列，就能用 BW 抽子列。
  3. 不等式双向使用：$a_k\le b_k$ 且 $b_k\to$ 有限值 $\Rightarrow$ $\{a_k\}$ 有界；$a_k\le b_k$ 且 $a_k\to\infty$ $\Rightarrow$ $\{b_k\}$ 无界。同一个不等式，两个方向都能出矛盾。
  4. 指标不等式 $k\le n_k$：证明”子序列指标发散”的标准燃料。
  5. 常数列夹逼：证明”极限点仍落在闭区间里”的标准写法。

Theorem 182 (Min-Max Theorem)：极值定理

• 定理陈述（源文件原文）：设 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$。若 $f$ 连续，则 $f$ 取到绝对最大值和绝对最小值。即

• Remark 183（源文件原文）：注意这条定理也叫 Extreme Value Theorem（极值定理），简称 EVT；但为了与 Lebl 教材保持一致，本课程称它为 Min-Max theorem（极值定理/最值定理）。两个名字指的是同一条定理，读文献时切勿以为是两个结果。

• 证明策略：“先证有界，再证取到”的两步法。

  • 第一步：Theorem 180 已给出 $f$ 有界，于是值域

    \[E=\{f(x)\mid x\in[a,b]\}\]

    是非空（$[a,b]\ne\varnothing$，例如 $f(a)\in E$）且有上界的实数集合。由 LUB 性质（Lecture 4），$L:=\sup E$ 存在。

  • 第二步：$L$ 只是一个数，我们还不知道是否有 $d$ 使 $f(d)=L$。源文件的做法：用 $\sup$ 的 $\epsilon$ 刻画（Lecture 5 Theorem 45）得到”存在序列 $\{f(x_n)\}$ 使 $f(x_n)\to L$”，再用 BW 抽子列，再用连续性把极限”钉”在 $f(d)=L$ 上。

  为什么这个策略对？因为 $\sup$ 的定义给了”上界”，$\sup$ 的 $\epsilon$ 刻画给了”逼近序列”——两者合起来正是证明 $L\in E$ 所需的全部材料。

• 逐步推导（最大值部分，照源文件）：

  1. 有界性（依据：Theorem 180）。$f$ 在 $[a,b]$ 上有界，故 $E$ 有上界。

  2. 上确界存在（依据：LUB 性质，Lecture 4；$E\ne\varnothing$ 且 $E$ 有上界）。令

     \[L=\sup E\in\mathbb{R}.\]

  3. 写出 $\sup$ 的条件 ①（依据：Lecture 3 定义 24(A)）：

     \[\forall x\in[a,b],\quad f(x)\le L. \tag{16.5}\]

     （这说明 $L$ 是 $E$ 的上界——结论的一半已经预支；只差”有没有点取到它”。）

  4. 写出 $\sup$ 的条件 ② 并造序列（依据：Lecture 5 Theorem 45：若 $L=\sup E$，则 $\forall\epsilon>0$，$\exists y\in E$ 使 $L-\epsilon<y\le L$）。对每个 $n\in\mathbb{N}$ 取 $\epsilon=\dfrac1n>0$，得到 $y_n\in E$ 使

     \[L-\frac1n<y_n\le L. \tag{16.6}\]

     又因 $y_n\in E=\{f(x)\mid x\in[a,b]\}$，存在 $x_n\in[a,b]$ 使 $y_n=f(x_n)$。于是

     \[\forall n\in\mathbb{N},\quad L-\frac1n<f(x_n)\le L. \tag{16.7}\]

     （源文件把这一步写成”there exists a sequence $\{f(x_n)\}_n$ with $x_n\in[a,b]$ such that $f(x_n)\to L$”，即下述第 5 步。）

  5. $L$ 被”几乎取到”（依据：夹逼定理）。由 (16.7)，$\vert f(x_n)-L\vert \le\frac1n\to0$，故

     \[f(x_n)\xrightarrow{n\to\infty}L. \tag{16.8}\]

  6. 抽出收敛子序列（依据：BW，Theorem 102）。$\{x_n\}$ 在 $[a,b]$ 中，故有界；存在子序列 $\{x_{n_k}\}k$ 与 $d\in\mathbb{R}$ 使 $x{n_k}\to d$。

  7. $d\in[a,b]$（依据：夹逼 + 常数列极限）。由 $a\le x_{n_k}\le b$ 得 $a\le d\le b$。这一步至关重要：它保证 $f(d)$ 有意义。

  8. 连续性把子列的极限传过去（依据：序列刻画连续性，Theorem 171 (3)）。$f$ 在 $d\in[a,b]$ 处连续，故

     \[f(d)=\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k}). \tag{16.9}\]

  9. 子列继承整个序列的极限（依据：Lecture 9：$a_n\to L$ $\Rightarrow$ 任何子序列 $a_{n_k}\to L$）。由 (16.8)，

     \[\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})=L. \tag{16.10}\]

  10. 极限唯一，得 $f(d)=L$（依据：(16.9)(16.10) 与极限唯一性，Lecture 6/7）：

      \[f(d)=L=\sup E.\]

      （源文件把 (16.9)(16.10) 合并写成 $f(d)=\lim_k f(x_{n_k})=\lim_n f(x_n)=L$。）

  11. 结论：$L$ 被取到，故是绝对最大值（依据：Definition 181 + (16.5)）。(16.5) 给出 $\forall x\in[a,b]$，$f(x)\le L=f(d)$，且 $d\in[a,b]$。按定义，$f$ 在 $d$ 处取到绝对最大值。

  12. 最小值部分（源文件：”We leave the absolute minimum proof to the reader”）。我们补出两条完整路线：

      路线 (a)：对 $-f$ 用最大值情形（最省力，且展示对偶技巧）。

      • $-f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续（依据：连续函数乘常数，Lecture 15 连续函数的代数运算）。
      • 由已证的最大值情形（第 1–11 步），存在 $c\in[a,b]$ 使 $-f$ 在 $c$ 取到绝对最大值，即 $\forall x\in[a,b]$，$-f(x)\le -f(c)$。
      • 两边乘 $-1$ 反转不等号（依据：实数序的公理）：$\forall x\in[a,b]$，$f(x)\ge f(c)$。按 Definition 181，$f$ 在 $c$ 处取到绝对最小值。$\blacksquare$

      路线 (b)：对称地直接做一遍（把 $\sup$ 换成 $\inf$）。

      • 由 Theorem 180，$f$ 有界，故 $E$ 有下界；由 GLB 性质（Lecture 4：”LUB $\Rightarrow$ GLB”定理）令 $m=\inf E$。
      • $m$ 是下界：$\forall x\in[a,b]$，$f(x)\ge m$。
      • 用 $\inf$ 的 $\epsilon$ 刻画（Lecture 5 Theorem 45 的下确界对偶版本：$\forall\epsilon>0\exists y\in E$ 使 $m\le y<m+\epsilon$），取 $\epsilon=1/n$ 得 $x_n\in[a,b]$ 使 $m\le f(x_n)<m+\frac1n$，故 $f(x_n)\to m$。
      • 由 BW 抽子列 $x_{n_k}\to c$；由夹逼 $c\in[a,b]$；由连续性 $f(c)=\lim_k f(x_{n_k})=m$。
      • 于是 $\forall x\in[a,b]$，$f(x)\ge m=f(c)$，$f$ 在 $c$ 处取到绝对最小值。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：请把整个证明读成一条”接力链”：

  \[\underbrace{[a,b]\ \text{有界}}_{\text{BW 的燃料}}+\underbrace{[a,b]\ \text{闭}}_{\text{极限点不跑}}+\underbrace{f\ \text{连续}}_{\text{极限传递}}+\underbrace{\text{LUB}+\epsilon\ \text{刻画}}_{L\ \text{与逼近序列}}\ \Longrightarrow\ f(d)=\sup E.\]

  最”反直觉”的一步是 第 4 步：$\sup$ 只是定义在集合上的一个数，怎么把它变成序列的极限？答案是 $\epsilon$ 刻画。Lecture 5 Theorem 45 说的正是：

  $L=\sup E$ $\iff$ $L$ 是 $E$ 的上界，且 $\forall\epsilon>0$ 都存在 $E$ 中元素落在 $(L-\epsilon,L]$ 内。

  注意这个刻画不要求 $L\in E$。正因如此，我们只能得到”逼近序列”，而不能直接得到”某个 $y$ 等于 $L$”。$L\in E$ 必须额外证明，而证明它用到的正是 BW + 连续性。这就是极值定理不是废话的原因：$\sup$ 免费给你上界，但要花很大力气才能证明它被取到。

  如果你要”自己重新发明”这个证明，思路轨迹应是：

  1. 我想证明有 $d$ 使 $f(d)=\sup E$。可我不知道 $\sup E$ 是多少，怎么办？
  2. 先给它起名 $L=\sup E$（有界性保证存在）。
  3. 我需要一个”候选点” $d$。怎么造？——从 $L$ 的 $\epsilon$ 刻画出发，取 $\epsilon=1/n$，得到 $x_n$ 使 $f(x_n)$ 离 $L$ 不超过 $1/n$。
  4. 现在 $\{x_n\}$ 是 $[a,b]$ 里的有界序列 —— 有界序列 + BW = 收敛子列！
  5. 子列收敛到 $d\in[a,b]$（闭！），连续性给 $f(x_{n_k})\to f(d)$；而 $f(x_{n_k})\to L$ 也成立，故 $f(d)=L$。

  第 3 步是唯一的”创造性跳跃”，而它之所以自然，是因为整门课里把”数”变成”序列”的通用工具就是 $\epsilon$ 刻画（回想 Lecture 5 如何用同样的手法证明 $\sup(x+A)=x+\sup A$）。

• 【证明技巧总结】：

  1. 两步法固定套路：第一步证有界（反证 + BW + 连续），第二步证取到（$\sup$ + $\epsilon$ 刻画造序列 + BW + 连续 + 极限唯一）。
  2. ”$\sup$ 化序列”模板：$L=\sup E$ $\Rightarrow$ 取 $\epsilon=\frac1n$ $\Rightarrow$ $\exists y_n\in E$，$L-\frac1n<y_n\le L$ $\Rightarrow$ $y_n\to L$。这个模板在本课程里会反复出现。
  3. “子序列继承极限”：$a_n\to L$ $\Rightarrow$ 任何子序列 $a_{n_k}\to L$。用它把两路收敛”焊接”起来。
  4. 对偶技巧：证最小值就对 $-f$ 用最大值结论；$\inf$ 问题常可化归为 $\sup$ 问题。
  5. 不要跳过”极限点落在定义域内”：$d\in[a,b]$ 的验证是全部技巧能生效的”插座”。

Question 185：$f$ 是否取到 $f(c)$ 与 $f(d)$ 之间的所有值？

源文件在证完 Theorem 182 后（并指出”至此我们知道 $f([a,b])\subset[f(c),f(d)]$，其中 $c$ 是绝对最小点、$d$ 是绝对最大点”）提出：

Question 185. Does $f$ achieve all values in $f(c)$ and $f(d)$?（$f$ 是否取到 $f(c)$ 与 $f(d)$ 之间的一切值？）

源文件紧接着给出答案：

The answer is yes, by Bolzano’s Intermediate Value Theorem as we will show.

答案是：是。 这一步由 Theorem 187（IVT）保证，并由 Theorem 189 总结为 $f([a,b])=[f(c),f(d)]$。请注意 Question 185 的定位：它把本讲的两条主定理”接”起来了——极值定理负责”两端”，IVT 负责”中间”。没有 Question 185，本讲就是两个孤立定理；有了它，本讲才成为”连续函数把闭区间映成闭区间”这一个完整的故事。

Remark 184：假设的必要性——源文件的两个反例 + 两个补充反例

源文件的原文值得抄下来：

“As students of mathematics, we also care about the necessity of the hypotheses!”（作为数学的学习者，我们同样关心假设的必要性！）

反例 1（源文件 Remark 184，不连续）：取 $S=[0,1]$（闭且有界），

• $f$ 在 $x=0$ 与 $x=1$ 处不连续：$\lim_{x\to0^+}f(x)=0\ne\frac12=f(0)$，同理 $\lim_{x\to1^-}f(x)=1\ne\frac12=f(1)$。

• 值域：$\{f(x):x\in(0,1)\}=(0,1)$，而 $f(0)=f(1)=\frac12\in(0,1)$ 已经是其中的点。所以

  \[f([0,1])=(0,1).\]
• 于是 $\sup f([0,1])=1\notin f([0,1])$，$\inf f([0,1])=0\notin f([0,1])$。

• 结论：$f$ 既取不到绝对最大值，也取不到绝对最小值。 极值定理失效，唯一原因是”不连续”。

  脚本验算：在 $[0,1]$ 上取 $10^5$ 个网格点计算，网格上的最小值为 $10^{-5}$、最大值为 $0.99999$；且没有任何网格点取到 $0$ 或 $1$，与”值域 $=(0,1)$”完全吻合。

反例 2（源文件 Remark 184，$S$ 不闭且不有界）：取 $S=(0,1)$，

• $f$ 在 $(0,1)$ 上连续（两个连续函数相减，分母在 $(0,1)$ 上不为零）。
• $x\to0^+$ 时 $\frac1x\to+\infty$，故 $f$ 无上界；$x\to1^-$ 时 $\frac1{1-x}\to+\infty$ 且带负号，故 $f$ 无下界。
• 脚本实算：$f(0.5)=0$；$f(0.1)=8.8889$；$f(0.01)=98.9899$；$f(10^{-4})=9998.9999$；$f(0.9)=-8.8889$；$f(0.99)=-98.9899$。

• 结论：$f$ 既无绝对最小值也无绝对最大值（连有界都不满足）。源文件原文即为 “Even though $f$ is continuous on $S$, $f$ neither achieves an absolute minimum nor an absolute maximum.”

  注意：源文件的第 2 个反例是 $\dfrac1x-\dfrac1{1-x}$，不是 $\dfrac1x$。它的好处是同时把两端都”爆掉”，从而一次性说明”既无 max 又无 min”；而单用 $\frac1x$ 在 $(0,1)$ 上虽然也无 max，但会让 min 的讨论变得需要额外说明。

反例 3（补充，闭且有界但不连续）：取 $S=[-1,1]$，

• 定义域闭且有界，但 $f$ 在 $0$ 处不连续：取 $\epsilon_0=1$，任给 $\delta>0$，取 $x=\delta/2$，则 $\vert x-0\vert <\delta$ 而 $\vert f(x)-f(0)\vert =2/\delta$，只要 $\delta\le2$ 便有 $\ge1=\epsilon_0$（照 Lecture 14 的 Negation 170 格式）。
• 脚本实算：在 $[-1,1]$ 上贴近 $0$ 取值时 $\vert f\vert $ 可达 $10^5$ 量级（$x=\pm10^{-5}$ 处 $f=\pm10^5$）；故 $f$ 无界，从而既无最大值也无最小值。
• 结论：与反例 1 配对，说明”定义域对了还不够，$f$ 必须连续”。

反例 4（补充，Final 第 2(a)(i) 题的”温和版”；缺”闭”）：取 $S=(0,1)$，$f(x)=x$。

• $f$ 连续且有界（$\vert f(x)\vert \le1$）——所以这个反例比反例 2”高级”：它证明即使有界，最大值也未必存在。
• 值域 $f((0,1))=(0,1)$，$\sup=1\notin(0,1)$，$\inf=0\notin(0,1)$。
• 结论：$f$ 既无最大也无最小。 数值体会：$f(1-10^{-9})=0.999999999$，再近也只是接近 $1$。

对照表（”闭 + 有界 + 连续” 与三种破坏方式的对照）：

┌────┬──────────────────────┬─────────┬────────┬──────────┬─────────────────────────┬────────────────────────────┐
│ 编号│ 函数 f                │ 定义域 S │ S 闭?  │ S 有界?  │ f 连续?                 │ 结果                       │
├────┼──────────────────────┼─────────┼────────┼──────────┼─────────────────────────┼────────────────────────────┤
│  0 │ 任意连续 f            │  [a,b]  │  是    │   是     │   是                    │ ✅ 有界且取到 max/min      │
│  1 │ 1/2 (x=0,1), x (0<x<1)│  [0,1]  │  是    │   是     │   否（x=0,1 处间断）     │ ❌ 有界，但 max/min 都取不到│
│  2 │ 1/x − 1/(1−x)         │  (0,1)  │  否    │   否     │   是                    │ ❌ 无界，max/min 都不存在  │
│  3 │ 1/x (x≠0), 0 (x=0)    │ [-1,1]  │  是    │   是     │   否（x=0 处间断）       │ ❌ 无界，max/min 都不存在  │
│  4 │ x                     │  (0,1)  │  否    │   是     │   是                    │ ❌ 有界，但 max/min 都取不到│
└────┴──────────────────────┴─────────┴────────┴──────────┴─────────────────────────┴────────────────────────────┘
        ↑ 第 0 行是 Theorem 182 的结论；其余四行各破坏一个条件，定理全部失效。
        注意第 4 行：它证明"有界"这一条本身并不能替代"闭"。

同一信息用 markdown 表格再列一次，便于对照记忆：

一句话总结：Theorem 182 需要”定义域有界（防逃跑）+ 定义域闭（防极限点跑掉）+ $f$ 连续（防函数值跳变或爆掉）“，三者一个都不能省。—

Theorem 186：$f(a)<0<f(b)$ 时必存在零点（二分法）

• 定理陈述（源文件原文）：设 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$。若 $f(a)<0$ 且 $f(b)>0$，则

• 证明策略：构造性方法——二分法 (bisection)。我们不”猜”零点在哪里，而是逐步把零点关进越来越小的笼子。核心观察只有一句：

  只要 $f$ 在区间两端异号，那么无论中点处 $f$ 的符号如何，左半或右半中必有一半仍然两端异号。

  然后用”区间长度每步减半”保证笼子长度趋于 $0$，于是左右端点被逼到同一个 $c$；再用连续性把”$f(a_n)<0$、$f(b_n)\ge0$”这两个不等式取极限，逼出 $f(c)=0$。

• 逐步推导（严格照源文件的约定：$f\ge0$ 的一侧保留为 $b_n$，$f<0$ 的一侧保留为 $a_n$）：

  1. 初始设定（源文件原文）：令 $a_1=a$，$b_1=b$。由假设

     \[f(a_1)<0,\qquad f(b_1)>0. \tag{16.11}\]

  2. 第一步的规则（源文件原文）：若 $f\!\left(\dfrac{a_1+b_1}{2}\right)\ge 0$，则定义 $a_2=a_1$、$b_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$；若 $f\!\left(\dfrac{a_1+b_1}{2}\right)<0$，则定义 $a_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$、$b_2=b_1$。

  3. 递推规则（源文件原文）：若已知 $a_n,b_n$，则

     \[\begin{cases} \text{若 } f\!\left(\dfrac{a_n+b_n}{2}\right)\ge0, & \text{则 } a_{n+1}=a_n,\quad b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2};\\[10pt] \text{若 } f\!\left(\dfrac{a_n+b_n}{2}\right)<0, & \text{则 } a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2},\quad b_{n+1}=b_n. \end{cases} \tag{16.12}\]

     直观：中点函数值”非负”（与 $f(b_n)$ 同号）$\Rightarrow$ 零点在左半边 $[a_n,m_n]$，把右端点搬到中点；中点函数值”负”（与 $f(a_n)$ 同号）$\Rightarrow$ 零点在右半边 $[m_n,b_n]$，把左端点搬到中点。注意这个约定的效果是：始终让左端点”负”、右端点”非负”（源文件的第 3 条性质）。

  4. 三条基本性质（源文件把它们列为 1./2./3.，我们逐条给出依据）：

     (P1) 嵌套性与有界性：

     \[\forall n\in\mathbb{N},\quad a\le a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\le b. \tag{16.13}\]

     依据：由 (16.12)，新左端点是旧左端点或中点，新右端点是旧右端点或中点，而中点总在 $a_n$ 与 $b_n$ 之间；对 $n$ 归纳即得。

     (P2) 长度减半：

     \[\forall n\in\mathbb{N},\quad b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{b_n-a_n}{2}. \tag{16.14}\]

     依据：两种情形下新区间都是旧区间的一半，长度恰除以 $2$。

     (P3) 符号保持：

     \[\forall n\in\mathbb{N},\quad f(a_n)<0\ \text{且}\ f(b_n)\ge0. \tag{16.15}\]

     依据：$n=1$ 时由 (16.11) 得 $f(a_1)<0$，且 $f(b_1)>0\ge0$。归纳：若中点处 $f\ge0$，则 $a_{n+1}=a_n$（仍 $<0$）、$b_{n+1}=m_n$（$f\ge0$）；若中点处 $f<0$，则 $a_{n+1}=m_n$（$f<0$）、$b_{n+1}=b_n$（仍 $\ge0$）。两种情形都保住 (16.15)。

     注意：$f(a_n)<0$ 是严格的，$f(b_n)\ge0$ 是非严格的——这个不对称是刻意设计的，它使得”中点处恰好为 $0$”时归入 $b$ 侧，从而 (P3) 永远可归纳地维持。

  5. 两个单调序列都收敛（依据：Lecture 7 单调有界定理，Theorem 75/76）。由 (16.13)，$\{a_n\}$ 单调递增且以 $b$ 为上界，$\{b_n\}$ 单调递减且以 $a$ 为下界。故

     \[\exists\,c,d\in[a,b]\quad\text{使}\quad a_n\to c,\qquad b_n\to d.\]

     （源文件原文：”Thus, $\exists c,d\in[a,b]$ such that $a_n\to c$ and $b_n\to d$.” 由 Lecture 7 Theorem 75 还可加强为 $c=\sup\{a_n\}$、$d=\inf\{b_n\}$。）

  6. 算出长度的显式公式（依据：反复使用 (16.14)）。源文件的迭代：

     \[b_n-a_n=\frac{b_{n-1}-a_{n-1}}{2}=\frac14(b_{n-2}-a_{n-2})=\cdots=\frac{1}{2^{\,n-1}}(b-a). \tag{16.16}\]

  7. 长度趋于 $0$，故两个极限相同（依据：代数极限 + 极限唯一性）：

     \[d-c=\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{2^{\,n-1}}=0\ \Longrightarrow\ d=c. \tag{16.17}\]

     最后一步依据：源文件 Theorem 95（特殊序列） 中”若 $p>0$ 则 $n^{-p}\to0$”，或直接用 $2^{\,n-1}\to\infty$ 与倒数极限。于是

     \[c=d=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n. \tag{16.18}\]

     这一步是本证明的枢纽：正是”$b_n-a_n\to0$”把两个可能不同的极限焊死成同一个点。如果长度不趋于 $0$，$a_n\to c$ 与 $b_n\to d$ 可能 $c<d$，取极限只能得到 $f(c)\le0\le f(d)$，推不出某个点处等于 $0$。

  8. 连续性把不等式取极限（依据：序列刻画连续性，Theorem 171 (3)；以及序极限保号性，Lecture 6/7、Lecture 14 Theorem 160）。由 (16.18)，$a_n\to c$、$b_n\to c$，$f$ 在 $c\in[a,b]$ 处连续，故

     \[f(c)=\lim_{n\to\infty}f(a_n)\quad\text{且}\quad f(c)=\lim_{n\to\infty}f(b_n). \tag{16.19}\]

     （源文件原文即写 $f(c)=\lim_n f(a_n)$ 与 $f(c)=\lim_n f(b_n)$。）

  9. 取极限得两条不等式（依据：对不等式取极限的保号性）。由 (P3) 的 $f(a_n)<0$，对 $n\to\infty$ 取极限得

     \[f(c)\le0; \tag{16.20}\]

     由 (P3) 的 $f(b_n)\ge0$，得

     \[f(c)\ge0. \tag{16.21}\]

     务必注意：严格不等式 $f(a_n)<0$ 在取极限后会退化为 $f(c)\le0$（例如 $f(a_n)=-1/n<0$ 但极限为 $0$）。这不是失误，而是必须如此：我们最终要证明的正是 $f(c)=0$，如果还能保住”$f(c)<0$”，就与 (16.21) 直接冲突了。

  10. 夹出 $f(c)=0$（依据：(16.20)(16.21) 与实数序）：$0\le f(c)\le0$ 迫使

      \[f(c)=0.\]

      （源文件原文：”By 3., $f(c)=\lim_n f(a_n)\le0$ and $f(c)=\lim_n f(b_n)\ge0$. Therefore, $f(c)=0$.”）

  11. $c$ 确实在开区间内（依据：(16.11) + $f(c)=0$）。$c\in[a,b]$ 已由 (16.18) 得到。若 $c=a$，则 $f(c)=f(a)<0$ 与 $f(c)=0$ 矛盾；若 $c=b$，则 $f(c)=f(b)>0$ 与 $f(c)=0$ 矛盾。故 $c\in(a,b)$。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：为什么二分法”能工作”？把三个齿轮分开看：

  齿轮一：一半一定保留符号变化。 这是 (P3)。它的数学内容是”中点按与哪一端同号来归并”——注意这里用的是符号，而不是”离零点近不近”。我们从不计算零点的位置，只维护一个逻辑不变量：”左端为负，右端非负”。这个不变量一旦建立，就沿着递推自动保持。

  齿轮二：区间长度按 $2^{-(n-1)}$ 收缩到 $0$。 这是 (16.16)。它保证两个端点序列不能收敛到不同的点：因为 $a_n\le c\le d\le b_n$（由 (16.13) 与极限保序），所以 $0\le d-c\le b_n-a_n\to0$。收缩到 $0$ 的速度不是装饰，它是”两个序列共享同一个极限”的唯一理由。

  齿轮三：连续性把”不等式链”变成”方程”。 我们有 $f(a_n)<0$ 与 $f(b_n)\ge0$ 对每个 $n$ 成立，但没有任何一个 $n$ 满足 $f=0$（除了恰好命中的情形）。是连续性让我们敢对 $n\to\infty$ 取极限，从而把两条不等式压缩成 $f(c)\le0\le f(c)$，逼出等号。

  这三件事合起来，就是”近似解 → 精确解“的典范：二分法在有限步只能给出近似值（$c\in[a_n,b_n]$），而极限过程 + 连续性把近似”升级”为存在性。

  一个补充视角：二分法的本质是用”中点的符号”做一次二分查找。它之所以收敛得慢（每步只多得到 $1$ 个二进制位），是因为它从不用到 $f$ 的大小信息，只用符号；而它之所以万无一失（对任意连续函数都行），也正因为它只用符号。“只用符号”换来了普适性，代价是速度。

  如果你要自己重新发明这个证明：你会想”构造一个序列去逼近零点”。最自然的构造就是不停取中点、保留有符号变化的那一半。然后你会意识到：要证明极限点的函数值真的是 $0$，你必须知道左右端点趋于同一点——这就需要长度公式。

• 【证明技巧总结】：
  1. 二分法 = 保持不变量 + 长度减半。可迁移到求根算法（Q2 会亲手做）。
  2. “取极限把不等式变成等式”：当你有 $u_n\le L\le v_n$ 且 $u_n,v_n\to$ 同一个值，就得到 $L$ 被夹住。这是”夹逼 + 存在性”的通用套路。
  3. $2^{-(n-1)}\to0$ 的显式记账：任何”收缩区间”论证都要把长度公式写出来。
  4. 严格 vs 非严格不等式的不对称设计：故意让一侧取闭、一侧取开，可以避免”中点恰好命中”造成的分支麻烦。
  5. 单调有界定理是”嵌套区间”的天然搭档：$\{a_n\}$ 增有上界、$\{b_n\}$ 减有下界，两条收敛立刻到手。

• 具体数值验算（脚本实算；用源文件 Theorem 190 的多项式，见下文）：以

  \[F(x)=x^{2021}+x^{2020}+9.03x+1\]

  在 $[a,b]=[-1,0]$ 上为例（$F(-1)=-8.03<0<1=F(0)$，完全符合 Theorem 186 的假设；这正是 Theorem 190 的场景）：

  二分次数 $N$	本次测试的中点 $m$	$F(m)$	更新后的区间 $[a,b]$	长度 $b-a$
  1	$-0.5$	$-3.515$	$[-0.5,\ 0]$	$0.5$
  2	$-0.25$	$-1.2575$	$[-0.25,\ 0]$	$0.25$
  3	$-0.125$	$-0.12875$	$[-0.125,\ 0]$	$0.125$
  4	$-0.0625$	$+0.435625$	$[-0.125,\ -0.0625]$	$0.0625$
  5	$-0.09375$	$+0.1534375$	$[-0.125,\ -0.09375]$	$0.03125$
  10	$-0.1103515625$	$+3.5254\times10^{-3}$	$[-0.111328125,\ -0.1103515625]$	$9.765625\times10^{-4}$
  20	$-0.110741615295$	$+3.2139\times10^{-6}$	$[-0.110742568970,\ -0.110741615295]$	$9.5367\times10^{-7}$
  30	$-0.110741971992$	$-7.0874\times10^{-9}$	$[-0.110741971992,\ -0.110741971061]$	$9.3132\times10^{-10}$

  （”长度”列与 $1/2^{N}$ 逐位吻合：$N=10$ 时 $1/2^{10}=9.765625\times10^{-4}$。）

  $10$ 次二分后区间长度恰为

  \[\frac{b-a}{2^{10}}=\frac{1}{1024}=0.0009765625<10^{-3},\]

  所以十步之内就把根锁定在 $10^{-3}$ 的精度内。继续到 $20$ 步，长度 $9.5367\times10^{-7}$，根约为

  \[c\approx-0.110741971526\ldots\]

  这组数字让你亲眼看到 $2^{-N}$ 的收缩速度。

     二分法：嵌套区间的"套娃"结构（以 F(x)=x^2021+x^2020+9.03x+1 在 [−1,0] 为例）
  
   N=1  [−1 ──────────────────────────────── 0]                L=1
                 ▲ 测试中点 −0.5，F<0 ⟹ 保留右半（中点当新左端）
   N=2        [−0.5 ────────── 0]                              L=1/2
                 ▲ 测试中点 −0.25，F<0 ⟹ 保留右半
   N=3        [−0.25 ─── 0]                                    L=1/4
                    ▲ 测试中点 −0.125，F<0 ⟹ 保留右半
   N=4        [−0.125 ─── 0]                                   L=1/8
                    ▲ 测试中点 −0.0625，F>0 ⟹ 保留左半（中点当新右端）
   N=5        [−0.125 ─−0.0625]                                L=1/16
                      ▲ … 每步长度减半，且左端 F<0、右端 F≥0 永远保持
     ⋮                  ⋮
   N=10  [−0.111328125 ─ −0.1103515625]                        L=1/1024 ≈ 9.77e−4
                        ↓  N→∞，长度 → 0
           左右两个端点被逼到同一点 c ≈ −0.110741971526…
           由连续性：F(c) ≤ 0 且 F(c) ≥ 0 ⟹ F(c) = 0
  
   符号不变量一览（每一步只做一件事：把中点画到"符号相同"的那一侧）：
      F(a_n) < 0  ┃━━━━━━━━ 零点在 [a_n,b_n] 内 ━━━━━━━━┃  F(b_n) ≥ 0
                  a_n                  c                 b_n
  

Theorem 187 (Bolzano IVT)：介值定理

• 定理陈述（源文件原文）：设 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续。

  1. 若 $f(a)<f(b)$ 且 $y\in(f(a),f(b))$，则 $\exists\,c\in(a,b)$ 使 $f(c)=y$；
  2. 若 $f(b)<f(a)$ 且 $y\in(f(b),f(a))$，则 $\exists\,c\in(a,b)$ 使 $f(c)=y$。

  合并成一句话：连续函数取到它两端函数值之间的一切中间值。

• Remark 188（源文件原文）：这条定理通称 Intermediate Value Theorem（介值定理），简称 IVT。

• 证明策略：化归——把”求 $y$ 的原像”变成”求 $g(x)=f(x)-y$ 的零点”，然后直接调用 Theorem 186。这个”平移技巧”把一个含参数 $y$ 的问题变成已证定理的标准形式，是分析里最经济的手法。

• 逐步推导（源文件路线：情形 1，$f(a)<f(b)$）：

  1. 取定 $y$：设 $y\in(f(a),f(b))$，即

     \[f(a)<y<f(b). \tag{16.22}\]

  2. 构造辅助函数（依据：为了把目标写成”等于 $0$”，做平移）：

     \[g(x):=f(x)-y,\qquad x\in[a,b].\]

  3. $g$ 连续（依据：连续函数的代数运算封闭性，Lecture 15/14：连续函数相减仍连续）。$f$ 连续，常函数 $x\mapsto y$ 连续，故 $g=f-y$ 连续。

  4. 验算端点符号（依据：(16.22) 与代数变形）：源文件原文

     \[g(a)=f(a)-y<0,\qquad g(b)=f(b)-y>0.\]

     这正是 Theorem 186 的假设。

  5. 调用 Theorem 186：存在 $c\in(a,b)$ 使 $g(c)=0$，即

     \[0=g(c)=f(c)-y\ \Longrightarrow\ f(c)=y.\]

     （源文件原文：”Therefore, by the previous theorem, $\exists c\in(a,b)$ such that $g(c)=0$. Therefore, $\exists c\in(a,b)$ such that $g(c)=f(c)-y=0\Rightarrow f(c)=y$.”）

  6. 情形 2（$f(b)<f(a)$）：源文件写”the other direction is analogous”（另一方向类似）。为遵守”不许用’类似’跳过”的规范，我们把化归写清。设 $f(b)<y<f(a)$。仍令 $g(x)=f(x)-y$，则

     \[g(a)=f(a)-y>0,\qquad g(b)=f(b)-y<0.\]

     Theorem 186 的假设是”左端 $<0$、右端 $>0$”，现在反了。两种处理：

     • (a) 交换端点：在 $[b,a]$ 上讨论——但一般约定 $a<b$，不便颠倒记号。
     • (b) 对 $-g$ 用 Theorem 186：$(-g)(a)=-g(a)<0$，$(-g)(b)=-g(b)>0$，且 $-g$ 连续。于是 $\exists c\in(a,b)$ 使 $(-g)(c)=0$，即 $g(c)=0$，即 $f(c)=y$。

     我们取 (b)：它同时展示了”对偶技巧”（证 Theorem 182 的最小值部分时也用过）。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：IVT 的证明几乎没有”新”东西——它的价值恰恰在于揭示了 IVT 与 Theorem 186 是同一件事。真正的工作量全在 Theorem 186 的二分法里。学到这里你应该形成一个习惯：

  遇到”$f(c)=$ 某个常数”的存在性问题，先做平移，把它变成”零点存在”问题。

  这一招在后面处处出现：中值定理（Lecture 19/20）的证明就是把 $f(b)-f(a)$ 平移掉、构造辅助函数；Rolle 定理也是。平移技巧是本课程最常被复用的一个动作。

  另一个必须点明的逻辑细节：IVT 的结论是存在性，它不告诉你 $c$ 在哪里、有几个。$c$ 可能不唯一（例如 $f(x)=x^2$ 在 $[-1,1]$ 上取 $y=1/4$，有两个解 $c=\pm1/2$）。IVT 只保证”至少一个”。

  还有一个陷阱：IVT 说的是”中间值一定被取到”，但它不保证”值域恰好是 $[f(a),f(b)]$”。反例：$f(x)=x^3-x$ 在 $[-1,1]$ 上，$f(-1)=0=f(1)$，但 $f$ 在 $x=-1/\sqrt3$ 处取到

  \[f\!\left(-\frac1{\sqrt3}\right)=\frac{2}{3\sqrt3}\approx0.3849>0,\]

  远在 $[f(-1),f(1)]=\{0\}$ 之外（脚本实算：$f$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值为 $0.3849001794596$，在 $x=-0.57735$ 处）；而 $f$ 在 $x=1/\sqrt3$ 处取到 $-0.3849$。IVT 只负责”中间的都要有”，不负责”没有额外的”。要得到”值域恰是闭区间”，必须额外知道最大值与最小值的位置——这正是 Theorem 189 做的事。

• 【证明技巧总结】：

  1. 平移化归：$f(c)=y$ $\rightsquigarrow$ $g=f-y$，$g(c)=0$。
  2. 对偶化归：符号方向反了就对 $-g$ 用已证定理。
  3. 端点值算清楚：应用定理前，永远把端点表达式算成具体数（如 $g(a)=f(a)-y<0$），不要停在”显然成立”。
  4. 记住 IVT 只给”至少一个”：它不提供唯一性、不提供位置；但二分法提供了构造性算法（Theorem 186）。

连续性是不可省的：IVT 的反例（Final 第 2(a)(ii) 题）

源文件在 Theorem 189 之后明说：

“Of course, Bolzano IVT is false if we assume $f$ is not continuous (as can be seen by the following diagram).”

（讲义在这里配了一张图；PDF 文本提取后图已丢失。）我们必须把这个反例补出来，因为它正是 Final 第 2(a)(ii) 题。题目要求：

给出 $[0,1]$ 上的函数，使它在 $0$ 取到绝对最小值、在 $1$ 取到绝对最大值，但存在 $y\in(f(0),f(1))$ 不在 $f$ 的值域中。

构造（取任务书中建议的分段函数，并用脚本逐条验证）：

逐条验证（脚本实算结果）：

结论：这个 $f$ 满足题目全部要求。它在 $x=\frac12$ 处有一个”向上跳 $1$”的间断（$\lim_{x\to1/2^-}f(x)=\frac12$，而 $x>\frac12$ 时 $f(x)>\frac32$），正是这个跳跃制造了 $(\frac12,\frac32]$ 这一整段”缺失的中间值”。例如 $y=1$ 落在裂隙里。

值域剖面图（把”缺失的中间值”画出来）：

   f(x)
    2 |                                  ● (1,2)   ← 绝对最大值
      |                                 /
      |                                /
  1.5 |                              ○ 空心点 x→1/2+（极限 1.5，取不到）
      |            ↕↕↕  缺失的中间值： (0.5, 1.5] 全部不在值域 ✗
    1 |     - - - -×- - - - - - - - - -   y = 1 是中间值，却取不到
      |        ／
  0.5 |   ●───● (1/2, 1/2) 实心
      |  /
    0 | ● (0,0)   ← 绝对最小值
      └─┴──────┴───────────────────────→ x
        0     1/2                     1

   值域 = [0, 1/2]  ∪  (3/2, 2]
                 └─ 中间这一段 (1/2, 3/2] 是"裂隙"，IVT 在间断点处失效

对照：如果把 $f$ 换成连续的 $f(x)=2x$（在 $[0,1]$ 上），则由 Theorem 189，$f([0,1])=[0,2]$，任何 $y\in(0,2)$ 都被取到，裂隙消失。可见”$f$ 连续”是 IVT 不可省的假设。

Theorem 189：连续函数把闭区间映成闭区间

• 定理陈述（源文件原文）：设 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续，$c\in[a,b]$ 是 $f$ 取到绝对最小值处，$d\in[a,b]$ 是 $f$ 取到绝对最大值处。则

换言之：最小值和最大值之间的一切值都被取到，而且值域不超出这个区间。 源文件还加了句解释：”In other words, every value between the absolute minimum value and the absolute maximum value is achieved.”

• 证明策略：双向包含 (double inclusion)。这是证明两个集合相等的标准范式：先证 $\subseteq$，再证 $\supseteq$。

  • $\subseteq$ 方向：任何 $f(x)$ 都夹在最小值 $f(c)$ 与最大值 $f(d)$ 之间——这是极值定理（Theorem 182）的定义性内容。
  • $\supseteq$ 方向：任何 $y\in[f(c),f(d)]$ 都被某个 $x$ 取到——这是介值定理（Theorem 187）的内容。

  换句话说，Theorem 189 = Theorem 182 + Theorem 187，是本讲的”合题”，也是对 Question 185 的正式回答。

• 逐步推导：

  1. $\subseteq$ 方向（依据：Theorem 182 + Definition 181）。对任意 $x\in[a,b]$：由 $f$ 在 $c$ 取绝对最小值，$f(x)\ge f(c)$；由 $f$ 在 $d$ 取绝对最大值，$f(x)\le f(d)$。故 $f(x)\in[f(c),f(d)]$。由 $x$ 的任意性，

     \[f([a,b])\subseteq[f(c),f(d)]. \tag{16.23}\]

     （源文件原文：”We know that $f([a,b])\subseteq[f(c),f(d)]$.”）

  2. $\supseteq$ 方向（依据：Theorem 187，用在 $[c,d]$ 上——但须先处理顺序问题）。源文件直接写 “By the IVT applied to $f:[c,d]\to\mathbb{R}$, $[f(c),f(d)]\subseteq f([c,d])\subseteq f([a,b])$.”。这个写法隐含假定 $c\le d$。为严谨起见（”不许跳过关键步骤”），我们分情形：

     情形 A：$c<d$。 则 $f(c)\le f(d)$，$f$ 在 $[c,d]\subseteq[a,b]$ 上连续。任取 $y\in[f(c),f(d)]$：

     • 若 $y=f(c)$，取 $x=c$；
     • 若 $y=f(d)$，取 $x=d$；
     • 若 $f(c)<y<f(d)$，则由 Theorem 187 情形 1（$f(c)<f(d)$，$y\in(f(c),f(d))$）存在 $x\in(c,d)\subset[a,b]$ 使 $f(x)=y$。

     三种子情形都给出 $y\in f([a,b])$，故 $[f(c),f(d)]\subseteq f([c,d])\subseteq f([a,b])$。

     情形 B：$c>d$。 注意 $f(c)\le f(d)$ 仍然成立（$c$ 是全局最小点、$d$ 是全局最大点，与谁在左边无关）——这一点常被误读，务必分清：”$c$ 是最大点/最小点”是关于函数值的，而”$c<d$”是关于自变量位置的。此时改在 $[d,c]$ 上应用：

     • 在 $[d,c]$ 上有 $f(d)\ge f(c)$，即”左端函数值大、右端函数值小”，正好是 Theorem 187 情形 2（$f(c)<f(d)$ 的反向版本）的适用场景。
     • 任取 $y\in[f(c),f(d)]$：若 $y$ 是端点，取 $x=d$ 或 $x=c$；若 $f(c)<y<f(d)$，由 Theorem 187 情形 2 存在 $x\in(d,c)\subset[a,b]$ 使 $f(x)=y$。

     故同样有 $[f(c),f(d)]\subseteq f([a,b])$。

     情形 C：$c=d$。 此时 $[f(c),f(d)]=\{f(c)\}$，且由 $c=d$ 可知 $f$ 在 $[a,b]$ 上恒等于 $f(c)$（因为它同时取到最小与最大值，且两值相等），故唯一的 $y=f(c)$ 被取到。

     （也可统一处理，避免分情形：直接改用在 $[\min\{c,d\},\max\{c,d\}]$ 上应用 Theorem 187 的两个方向，效果相同。分情形的写法更能暴露”顺序”这个隐藏假设。）

  3. 合并（依据：集合相等的定义）：(16.23) 与 $\supseteq$ 同时成立，故

     \[f([a,b])=[f(c),f(d)]. \qquad\blacksquare\]

• 【证明机制解说】：Theorem 189 是本讲的”大结局”，值得注意的是它的结构性：

  \[f([a,b])\ \text{是闭区间}\ \Longleftarrow\ \underbrace{\text{有界（Theorem 180）}}_{\text{两端有限}}+\underbrace{\text{取到两端（Theorem 182）}}_{\text{端点被实现}}+\underbrace{\text{无空隙（Theorem 187）}}_{\text{中间全覆盖}}.\]

  这三件事分别对应连续的三种”善意”：

  • 连续性 + 定义域闭且有界 $\Rightarrow$ 不会无界地爆掉（否则值域可能是 $(0,\infty)$ 这类射线，见 Remark 184 反例 2）；
  • 连续性 + 定义域闭且有界 $\Rightarrow$ 极值被实现（否则值域可能是 $(0,1)$ 这类开区间，见 Remark 184 反例 1、4）；
  • 连续性 $\Rightarrow$ 不会跳跃（否则值域会出现”裂隙”，见上文分段函数反例）。

  所以源文件开篇那句 $f([a,b])=[e,f]$ 是对这三种善意的紧凑总结。

• 【证明技巧总结】：

  1. 双向包含法：证 $A=B$ 就先证 $A\subseteq B$、再证 $B\subseteq A$。这里 $\subseteq$ 用极值定理、$\supseteq$ 用 IVT，分工明确。
  2. 注意参数的顺序：把 IVT 用在 $[c,d]$ 前，先确认 $c<d$；否则要用反向版本。这是本讲最容易被”显然”掩盖的漏洞。
  3. 端点单独处理：区间端点的值往往由极值点的定义直接给出，不必动用 IVT。

Theorem 190：具体多项式至少有一个实根

• 定理陈述（源文件原文）：多项式

至少有一个实根（has at least one real root）。

务必看清：源文件 Lecture 16 的例题是 $x^{2021}+x^{2020}+9.03x+1$（2020 次那一项是偶次），不是 Assignment 11 第 1 题的 $x^{1121}+x^{2021}+x+1$。两者的系数、次数都不同，结论强弱也不同（这里只证”至少一个”，Assignment 11 要证”恰好一个”）。

• 证明策略：IVT + 两头试探。IVT 需要”异号”，所以我们只需找到两个点让函数值一正一负。多项式在 $x=0$ 处很好算；在 $x=-1$ 处只要注意奇偶次幂的符号即可。

• 逐步推导（完全照源文件，并把每一步算到底）：

  1. 算 $f(0)$（依据：$0^{2021}=0$、$0^{2020}=0$）：

     \[f(0)=0+0+0+1=1>0.\]

  2. 算 $f(-1)$（依据：$2021$ 为奇数故 $(-1)^{2021}=-1$；$2020$ 为偶数故 $(-1)^{2020}=+1$）：

     \[f(-1)=(-1)^{2021}+(-1)^{2020}+9.03\cdot(-1)+1=-1+1-9.03+1=-8.03<0.\]

     （源文件原文即写 “$f(-1)=-1+1-9.03+1=-8.03<0$”。脚本实算确认：$f(0)=1.0$，$f(-1)=-8.03$。）

  3. 应用 IVT（依据：Theorem 187，取 $[a,b]=[-1,0]$，$f(-1)=-8.03<0<1=f(0)$，即 $f(-1)<f(0)$、$0\in(f(-1),f(0))$）：存在 $c\in(-1,0)$ 使

     \[f(c)=0.\]

     （源文件原文：”Thus, by IVT, $\exists c\in(-1,0)$ such that $f(c)=0$.”）

  4. 结论：$c$ 就是一个实根，故 $f$ 至少有一个实根。$\blacksquare$

  脚本实算（二分法定位这个根）：由 Theorem 186 的二分法在该区间上迭代 $30$ 次，得

  \[c\approx-0.110741971526\ldots\]

  （第 $10$ 次二分后区间为 $[-0.111328125,\,-0.1103515625]$，长度 $9.7656\times10^{-4}$；第 $30$ 次后长度为 $9.31\times10^{-10}$。）

• 【证明机制解说】：这条定理的意义不在多项式本身，而在于展示 IVT 的功能定位：它把”求根”这种代数难题转化成”找两个异号点”这种手工可算的算术题。证明中我们根本不知道根在哪里，也没有解方程；只是用 $0$ 和 $-1$ 两个”探针”测出符号变化，然后调用 IVT。这就是存在性定理的典型用法。

  为什么选 $x=0$ 和 $x=-1$？因为对这类多项式，$0$ 处只有常数项存活，$-1$ 处的符号最容易算：奇次幂给 $-1$，偶次幂给 $+1$，一次项给 $-9.03$，常数给 $+1$，一加就是负数。选探针的原则是”好算”。

  注意一个细节：$f(-1)=-8.03$ 之所以是负数，关键在 $9.03$ 这个系数足够大。如果一次项系数是 $+0.5$，那么 $f(-1)=-1+1-0.5+1=+0.5>0$，$x=\pm1$ 这对探针就失效了（但由更一般的”奇次多项式必有实根”论证，根仍然存在，只是要换探针或让 $x\to-\infty$）。这提醒我们：探针是”设计”出来的，不是碰巧的。

• 【证明技巧总结】：

  1. 存在性 = 异号 + 连续 + IVT。”用 IVT 证存在”的万能三步。
  2. 寻找探针点：优先选 $0,\pm1$，幂次在这些点的值最容易判定符号。
  3. 奇偶次幂的符号规则：$(-1)^{\text{奇}}=-1$，$(-1)^{\text{偶}}=+1$。
  4. 注意 IVT 只给”至少一个”：想升级为”恰有一个”，需要额外的单调性论证（见下一小节）。

【补充】Assignment 11 第 1 题：$x^{1121}+x^{2021}+x+1=0$ 恰有一个实根

来源说明：这道题出自 OCW Assignment 11 第 1 题（阅读范围 §4.3 与黎曼积分讲义），原题为 “Prove that the polynomial equation $x^{1121}+x^{2021}+x+1=0$ has exactly one real root.” 它不在 Lecture 16 讲义里，因此标注为【补充】，并放在”作业应用”的位置。它的存在性一半只用本讲的 IVT（Theorem 187）就够；唯一性一半的官方路线用导数（§4.3 已具备），也可以完全不用导数。

令

第一步：存在性（依据：IVT，Theorem 187 / Theorem 186）。

• $p(0)=0+0+0+1=1>0$（脚本实算：$p(0)=1.0$）。

• $1121$ 与 $2021$ 都是奇数，故 $(-1)^{1121}=-1$、$(-1)^{2021}=-1$，于是

  \[p(-1)=-1-1-1+1=-2<0\]

  （脚本实算：$p(-1)=-2.0$）。

• 由 Theorem 187 情形 1（在 $[a,b]=[-1,0]$ 上，$p(-1)=-2<p(0)=1$，$0\in(-2,1)$），存在 $c\in(-1,0)$ 使 $p(c)=0$。存在性得证。

第二步：唯一性（官方路线：导数）。 因为 Assignment 11 的阅读范围是 §4.3（已含求导），所以这是”考试时可写”的路线：

由于 $2020$ 与 $1120$ 都是偶数，$x^{2020}\ge0$、$x^{1120}\ge0$ 对一切 $x\in\mathbb{R}$ 成立，故

于是 $p$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增，从而 $p$ 至多有一个实根。

第二步’：唯一性（不依赖导数的纯代数路线，供 Lecture 16 阶段使用）。

关键引理：对奇数 $n$，$t\mapsto t^n$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增。

• 若 $0\le u<v$：由 $v-u>0$ 与因式分解

  \[v^n-u^n=(v-u)\bigl(v^{n-1}+v^{n-2}u+\cdots+vu^{n-2}+u^{n-1}\bigr),\]

  括号内每一项都非负，且首项 $v^{n-1}>0$（因 $v>u\ge0$ 保证 $v>0$），故括号内 $>0$，于是 $v^n-u^n>0$。

• 若 $u<v\le0$：记 $u=-\vert u\vert $、$v=-\vert v\vert $，由 $u<v\le0$ 得 $\vert u\vert >\vert v\vert \ge0$。$n$ 为奇故 $u^n=-\vert u\vert ^n$、$v^n=-\vert v\vert ^n$；由上一情形（$0\le\vert v\vert <\vert u\vert $）得 $\vert u\vert ^n>\vert v\vert ^n$，于是

  \[u^n=-\vert u\vert ^n<-\vert v\vert ^n=v^n.\]

• 若 $u<0<v$：$n$ 为奇 $\Rightarrow$ $u^n<0<v^n$，故 $u^n<v^n$。

引理得证。现在设 $x_1<x_2$ 都是 $p$ 的根（$p(x_1)=p(x_2)=0$）。作差：

由 $x_1<x_2$ 与引理（$2021$、$1121$ 均为奇数）：

三个正数之和必为正，故 (16.24) 的右端 $>0$，即 $0>0$，矛盾。因此不存在两个不同的实根，$p$ 至多有一个实根。

结论：存在性 + 唯一性 $\Rightarrow$ $p$ 恰好有一个实根。

数值定位（脚本实算，$60$ 次二分）：根约为

（在 $x=-0.9953$ 处 $p=-4.60\times10^{-4}<0$，在 $x=-0.9952$ 处 $p=+1.95\times10^{-4}>0$，与 IVT 一致；第 $10$ 次二分后区间为 $[-0.99560546875,\,-0.9951171875]$，长度 $9.7656\times10^{-4}$。）

与 Theorem 190 的对照（务必不要混淆）：

【补充】IVT 的两条经典推论

推论 A（连续函数把区间映成区间）：若 $I$ 是区间、$f:I\to\mathbb{R}$ 连续，则 $f(I)$ 也是区间。

证明要点：设 $y_1,y_2\in f(I)$ 且 $y_1<y<y_2$。取 $x_1,x_2\in I$ 使 $f(x_1)=y_1$、$f(x_2)=y_2$。在闭区间 $\bigl[\min\{x_1,x_2\},\max\{x_1,x_2\}\bigr]\subseteq I$（这里用到 $I$ 是区间：两点之间的点仍属于 $I$）上对 $f$ 用 Theorem 187，得存在 $x$ 使 $f(x)=y$。故 $y\in f(I)$，即 $f(I)$ 对”中间值”封闭，是一个区间。$\blacksquare$

（这说明：连续性把”区间”这个性质从定义域传给值域。Theorem 189 是它在”$I$ 为闭区间”时的精确化。）

推论 B（不动点定理, Fixed Point Theorem）：若 $f:[0,1]\to[0,1]$ 连续，则

这样的 $c$ 称为 $f$ 的不动点 (fixed point)。这是 IVT 最漂亮的应用之一，我们写完整证明。

• 证明策略：把”求不动点”变成”求零点”——这正是平移化归。定义 $g(x)=f(x)-x$，则不动点方程 $f(c)=c$ 等价于 $g(c)=0$；而 $g$ 的端点符号由 $f$ 的值域约束 $[0,1]$ 免费提供：$f(0)\ge0$、$f(1)\le1$。

• 逐步推导：

  1. 构造 $g$：$g(x):=f(x)-x$，$x\in[0,1]$。
  2. $g$ 连续（依据：连续函数相减，Lecture 15）。$f$ 连续；$x\mapsto x$ 连续（Lecture 14 Example 168：$f(x)=ax+b$ 连续，取 $a=1,b=0$）。故 $g$ 连续。

  3. 算端点值（依据：$f$ 的值域含于 $[0,1]$，即 $\forall x\in[0,1]$，$0\le f(x)\le1$）：

     \[g(0)=f(0)-0=f(0)\ge0,\qquad g(1)=f(1)-1\le0.\]

  4. 分情形（依据：实数的三分性 + Theorem 187）：

     • 若 $g(0)=0$：则 $f(0)=0$，取 $c=0$。
     • 若 $g(1)=0$：则 $f(1)=1$，取 $c=1$。
     • 若 $g(0)>0$ 且 $g(1)<0$：则 $g(1)<0<g(0)$，即”左端正、右端负”。把 Theorem 187 情形 2 用在 $[0,1]$ 上（注意 $g(1)<g(0)$、$0\in(g(1),g(0))$），得存在 $c\in(0,1)$ 使 $g(c)=0$。（也可令 $h=-g$，则 $h(0)<0<h(1)$，由 Theorem 186 得 $h(c)=0$。）
  5. 结论：三种情形都给出 $c\in[0,1]$ 使 $g(c)=0$，即 $f(c)=c$。$\blacksquare$
• 具体示例（脚本验算）：
  • $f(x)=1-x$ 在 $[0,1]$ 上：$g(x)=1-2x$，$g(0)=1>0$，$g(1)=-1<0$，零点 $c=\frac12$，确实 $f(1/2)=1/2$。✅
  • $f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上：$g(x)=x^2-x$，$g(0)=0$，$g(1)=0$。此时端点本身就是不动点（$c=0$ 与 $c=1$），落在上面第 4 步的第一、二种情形里。✅

• 【证明机制解说】：不动点定理的美在于它把几何直觉直接变成证明：$f$ 的图像被关在正方形 $[0,1]\times[0,1]$ 内，它的起点 $(0,f(0))$ 在对角线 $y=x$ 的上方或线上，终点 $(1,f(1))$ 在对角线的下方或线上，所以图像必须穿过对角线。而”必须穿过”的严格化就是 IVT。

      y
      1 \|  ●        f(1) ≤ 1  ⟹ g(1) ≤ 0
        \|   \      ╱
        |    \    ╱   ← 图像若连续地从 (0,f(0)) 走到 (1,f(1))，
        |     \  ╱       必与对角线 y=x 相交，交点的横坐标就是不动点
        |      ╳      ← 交点 c，f(c)=c
        |     ╱ ╲
        |    ╱   ╲
      0 \|  ●      ●  f(0) ≥ 0 ⟹ g(0) ≥ 0
        └──┴──────┴────→ x
           0     1      （f 的图像被限制在正方形 [0,1]×[0,1] 内）
  

• 【证明技巧总结】：
  1. “存在不动点”= “辅助函数 $f(x)-x$ 有零点”：识别这类化归是核心技能。
  2. 区间约束给符号：$f$ 把 $[0,1]$ 映进 $[0,1]$，就免费得到 $g(0)\ge0\ge g(1)$。
  3. 端点情形单独处理：当不等式取等号时 IVT 的严格异号条件不满足，必须前置分情形。这是最常见的丢分点。
  4. 可视化推理 + 严格化：几何图像先给出信心，IVT 给出证明。

与教材的对应

• 对应 [JL] §3.3（Continuous functions on compact intervals / 紧区间上的连续函数）：本节的核心命题正是源文件 Theorem 180（连续 $\Rightarrow$ 有界） 与 Theorem 182（Min-Max 定理）。Lebl 在 §3.3 的处理顺序与源文件一致：先证连续函数在 $[a,b]$ 上有界，再推出它取到极值；证明工具同样是 Bolzano–Weierstrass 定理。本讲的 Theorem 180/182 就是 Lebl §3.3 的主定理。
• 对应 [JL] §3.4（Bolzano’s Intermediate Value Theorem）：本节对应源文件 Theorem 186（二分法零点定理）、Theorem 187（IVT） 与 Theorem 189（$f([a,b])=[f(c),f(d)]$）。Lebl 在 §3.4 用二分法证明 IVT，并用它证明奇次多项式有实根——与源文件 Theorem 190 完全对应。
• 对应 [JL] §3.5（更多连续性质 / 与一致连续性的衔接）：本节与 Assignment 9 的阅读范围相衔接，为 Lecture 17 的一致连续性（§3.5、§4.2）做铺垫。Theorem 182 中”$[a,b]$ 闭且有界”的条件在 §3.5 的语境下会被反复使用。
• 对应 [JL] §4.1（导数的定义与基本性质）：本讲的 IVT 是 §4.1–4.3 中 Rolle 定理、中值定理的直接前置工具（中值定理的证明就是把函数”平移”后用极值定理找驻点）。本讲的”平移化归”技巧在 §4.1 被再次使用。
• 对应 OCW Assignment 9（阅读范围 §3.3, 3.4, 3.5；习题 3.3.11, 3.4.3, 3.4.8）：
  • Exercise 3.3.11（Assignment 9 第 1 题）：练习 §3.3 的紧性与连续函数性质（Lebl §3.3 的习题围绕”$[a,b]$ 上连续函数有界并取到极值”展开）。它在练：把 Theorem 180/182 的思想用到具体函数/集合上。
  • Exercise 3.4.3（Assignment 9 第 2 题）：练习 §3.4 的介值定理应用。它在练：用 IVT 做存在性证明。
  • Exercise 3.4.8（Assignment 9 第 3 题）：同样是 §3.4 的介值定理应用。它在练：把”值域是区间”这类结论用 IVT 证出来。
  • Assignment 9 第 4–6 题（Lipschitz 连续、$\cos x$、$x^{1/3}$、$x\to\infty$ 极限）与本讲的 IVT/极值定理间接相关，主要为 Lecture 17 的一致连续性铺路。
• 对应 OCW Assignment 10（阅读范围 §4.1, 4.2）：Assignment 10 第 2 题 Exercise 4.1.11 与第 4、5 题 Exercise 4.2.9 / 4.2.13 会用到本讲的极值定理（Rolle 定理/中值定理需要”闭区间上连续 + 取到极值”）。本讲的 Theorem 182 是它们的地基。
• 对应 OCW Assignment 11 第 1 题：“Prove that the polynomial equation $x^{1121}+x^{2021}+x+1=0$ has exactly one real root.” 考的是 IVT（存在性）+ 单调性/导数（唯一性）。我们已在上文【补充】小节写出完整证明（含导数路线与不依赖导数的代数路线），并用脚本把根定位到 $\approx-0.9952308316266509$。这题不在 Lecture 16 讲义里（Assignment 11 的阅读范围是 §4.3 与黎曼积分讲义），故标为【补充】。
• 对应 OCW Final Assignment：
  • Final 第 2(a)(i) 题：“A continuous function on $(0,1)$ with neither a global maximum nor minimum.” → $f(x)=x$ on $(0,1)$（见”$\max$ 与 $\sup$ 的分界线”一节）。考的是”极值定理的闭区间条件不可省”。
  • Final 第 2(a)(ii) 题：“A function on $[0,1]$ with an absolute minimum at $0$, absolute maximum at $1$ and such that there exists $y\in(f(0),f(1))$ not in the range of $f$.” → $f(x)=x$（$x\le\frac12$）、$f(x)=x+1$（$x>\frac12$），已用脚本逐条验证（$y=1$ 是缺失的中间值）。考的是”IVT 中连续性不可省”。
  • Final 第 3 题：“We say a subset $K\subset\mathbb{R}$ is compact if for every sequence $\{x_n\}_n$ of elements of $K$, there exists a subsequence $\{x_{n_k}\}_k$ and $x\in K$ such that $\lim_k x_{n_k}=x$.” — (a) 证明 $[a,b]$ 紧（提示”一个意大利姓、一个德国姓的人的定理”，即 Bolzano–Weierstrass）；(b) 证明连续函数把 $[a,b]$ 映成紧集。考的是把本讲的证明骨架（BW + 闭区间对极限封闭 + 连续性）显式地重新组装一遍——这两问的答案就是 Theorem 180 与 Theorem 182 的证明中反复用到的那几步（详见下文”与其他讲次的关联”与思考题 Q1）。
  • （附：Final 第 1(i) 题要求写出”$f$ 在 $c$ 不连续”的否定，与本讲 Definition 179/181 的量词结构直接相关，可用 Lecture 14 的 Negation 170 对照。）

与其他讲次的关联

• 依赖 Lecture 3/4（LUB 性质）：Theorem 182 的第二步必须先知道 $\sup\{f(x):x\in[a,b]\}$ 存在。这不是”定义一下就有了”——LUB 性质是把 $\mathbb{R}$ 与 $\mathbb{Q}$ 区分开的那条公理。本讲每一次”令 $L=\sup E$”都在使用 Lecture 4 的结论；Remark 184 反例 2 的值域无界，恰好说明没有它就没法开工。
• 依赖 Lecture 5（$\sup$ 的 $\epsilon$ 刻画，Theorem 45）：这是本讲把”一个数 $L$”变成”一个序列 $f(x_n)\to L$”的唯一桥梁。没有它，Theorem 182 的第 4 步无法启动。
• 依赖 Lecture 7（单调有界定理 + 收敛 $\Rightarrow$ 有界）：Theorem 186 之所以能保证 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 收敛，靠的是 Theorem 75/76（单调有界 $\Rightarrow$ 收敛）。Theorem 180 的第 7 步（子列函数值有界）靠的是 Theorem 72。
• 依赖 Lecture 9（Bolzano–Weierstrass 定理，源文件 Theorem 102）：BW 是本讲出现次数最多的工具（Theorem 180 一次、Theorem 182 一次）。BW 本身依赖 Lecture 7 的单调有界定理与 Lecture 3/4 的 LUB。依赖链：LUB $\to$ 单调有界 $\to$ BW $\to$ 极值定理。 这是整门课的主干。
• 依赖 Lecture 14/15（连续性的序列刻画，源文件 Theorem 171 (3)）：这是把”收敛”从定义域搬到值域的传送带，出现在 Theorem 180 第 6 步、Theorem 182 第 8 步、Theorem 186 第 8 步。此外，Lecture 15 的”连续函数的代数运算封闭”用于 IVT 的 $g=f-y$ 与不动点定理的 $g=f-\mathrm{id}$。
• 为 Lecture 17（一致连续性）铺路：$[a,b]$ 上连续将推出 $[a,b]$ 上一致连续（Heine–Cantor 定理），其证明骨架与本讲完全相同（先在定义域里用 BW 抽子列，再用连续性）。本讲练熟的”闭区间 + 连续性”技术立刻被复用。
• 为 Lecture 19/20（中值定理）铺路：Rolle 定理的证明是”$f$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可导 $\Rightarrow$ $f$ 取到极值 $\Rightarrow$ 极值点导数为 $0$”。Theorem 182 是 Rolle 定理的第一步；而中值定理是”平移 + Rolle”，正是本讲的平移化归技巧。
• 为 Lecture 21（连续函数可积）铺路：有界性（Theorem 180）是可积性讨论的前提——黎曼和的上下确界要求函数有界。
• 关于”紧性”（Final 第 3 题的命名）：源文件 Lecture 16 没有引入”紧性 (compactness)”这个词；它只把”$[a,b]$”这个具体对象直接用在证明里。Final Assignment 第 3 题把”$[a,b]$ 的这种性质”正式命名为紧性，并让你证明：(a) $[a,b]$ 紧，(b) 连续函数的像紧。这两问的答案其实就是本讲 Theorem 180 与 Theorem 182 证明里的那两步：
  • 证 $[a,b]$ 紧：任取 $[a,b]$ 中的序列（有界）$\to$ 由 BW 抽收敛子列 $\to$ 由常数列夹逼得极限仍在 $[a,b]$。这正是 Theorem 180 的第 3–5 步。
  • 证连续像紧：先在定义域里抽子列 $\to$ 用序列刻画连续性把收敛推过 $f$。这正是 Theorem 182 的第 6–10 步。 所以可以说：本讲的 Theorem 180/182 是”紧性定理”的两个特例，其证明骨架可直接复用；而”紧性”这个抽象名词要等到 Final 第 3 题（以及后续课程）才被正式付与。（本讲的思考题 Q1 会让你亲手把这两问证一遍。）

关键要点

1. $\max$ 与 $\sup$ 的区别是本讲的命门：$\sup E$ 只是”最小的上界”，可以不属于 $E$；$\max E$ 要求 $\sup E\in E$。公式：

   \[\max E\ \text{存在}\iff \sup E\ \text{存在且}\ \sup E\in E;\qquad\text{此时}\ \max E=\sup E.\]

   典型反例：$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上，$\sup f(S)=1$ 但无最大值（Final 2(a)(i)）。

2. 定义与定理的对应链：Definition 179（有界）$\to$ Theorem 180（连续 $+[a,b]$ $\Rightarrow$ 有界）；Definition 181（绝对 max/min）$\to$ Theorem 182（连续 $+[a,b]$ $\Rightarrow$ 取到 max 与 min）。两步走：先有界，再取到。

3. Theorem 180 的证明机制（照源文件）：无界 $\Rightarrow$ 存在 $x_n$ 使 $\vert f(x_n)\vert \ge n$ $\to$ BW 得子列 $x_{n_k}\to x\in[a,b]$ $\to$ 连续性给 $\vert f(x_{n_k})\vert \le C$ $\to$ 由 $n_k\le\vert f(x_{n_k})\vert \le C$ 得下标有界 $\to$ 但 $k\le n_k$ 迫使 $n_k\to\infty$，矛盾。

4. Theorem 182 的证明机制：两步法 + 四个工具。

   \[\underbrace{[a,b]\ \text{有界}}_{\text{BW 燃料}}+\underbrace{[a,b]\ \text{闭}}_{\text{极限点不跑}}+\underbrace{f\ \text{连续}}_{\text{极限传递}}+\underbrace{\text{LUB}+\epsilon\ \text{刻画}}_{\sup\ \text{与逼近序列}}\ \Longrightarrow\ f(d)=\sup E.\]

   最小值部分：对 $-f$ 用最大值情形（或对称地取 $m=\inf E$）。

5. 二分法三条不变量（Theorem 186）：$\forall n$，$a\le a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\le b$（嵌套）；$b_n-a_n=\dfrac{b-a}{2^{\,n-1}}$（长度减半）；$f(a_n)<0\le f(b_n)$（符号保持，源文件约定”$f\ge0$ 侧为 $b_n$”）。由单调有界定理得 $a_n\to c$、$b_n\to d$；由长度 $\to0$ 得 $c=d$；由连续性取极限得 $f(c)\le0\le f(c)$，故 $f(c)=0$。

6. Theorem 189 是本讲的合题：连续函数在闭区间上的像恰是闭区间。

   \[f([a,b])=[f(c),f(d)],\qquad c\ \text{绝对最小点},\ d\ \text{绝对最大点}.\]

   $(\subseteq)$ 由 Definition 181 与 Theorem 182 直接得；$(\supseteq)$ 由 Theorem 187（注意 $c,d$ 的顺序）。它正式回答了 Question 185。

7. IVT 的化归公式（Theorem 187）：$f(c)=y\iff g(c)=0$（$g=f-y$）；不动点 $f(c)=c\iff g(c)=0$（$g=f-x$）。遇到等式存在性问题，先平移成零点问题。 三条应用：Theorem 190（$f(-1)=-8.03<0<1=f(0)$ $\Rightarrow$ 有根）、奇次多项式必有实根、不动点定理（$f:[0,1]\to[0,1]$ 连续 $\Rightarrow$ $\exists c\in[0,1]$，$f(c)=c$）。

8. 命名备忘：Min-Max Theorem = Extreme Value Theorem (EVT)（Remark 183）；Bolzano IVT = Intermediate Value Theorem (IVT)（Remark 188）。两条定理的名字要认得，但陈述要以本笔记的源文件版本为准。

常见误区与注意事项

1. 把 $\sup$ 当成 $\max$。
   • 错误做法：看到 $L=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}$ 就直接写”$f$ 的最大值是 $L$”。
   • 为什么错：$\sup$ 的定义不要求 $L$ 属于该集合。$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上 $\sup=1$，但 $1$ 不是任何 $f(x)$ 的值。
   • 正确做法：必须额外证明 $L\in\{f(x):x\in[a,b]\}$。在 Theorem 182 里这一步由”$\epsilon$ 刻画造序列 + BW + 连续 + 极限唯一”完成，这正是极值定理的全部内容。
2. 忘了验证”极限点落在定义域内”。
   • 错误做法：写”$x_{n_k}\to x$，由连续性 $f(x_{n_k})\to f(x)$”，却不说明 $x\in[a,b]$。
   • 为什么错：$f$ 只在 $[a,b]$ 上有定义，$f(x)$ 可能根本没意义；而连续性只在 $x\in[a,b]$ 处被假设。若定义域是 $(0,1)$，$x_n=1/n$ 的极限点 $0$ 就在定义域外，整个论证失效——这正是 Final 2(a)(i) 反例的机理。
   • 正确做法：写完 $x_{n_k}\to x$ 后立刻用常数列夹逼补一句 “$a\le x_{n_k}\le b\Rightarrow a\le x\le b$”。
3. 把极值定理的”$\forall x\in S$”误读成局部。
   • 错误做法：用”$f$ 在 $c$ 附近最大”（局部极大）来套 Definition 181。
   • 为什么错：Definition 181 要求的是 $\forall x\in S$，$f(x)\le f(c)$，是全局比较；局部极大值可能远小于全局最大值。
   • 正确做法：极值定理给的是绝对极值；局部极值是另一回事（Lecture 19 的 Fermat 定理才用局部极值）。
4. 认为”有界”就能推出”取到极值”。
   • 错误做法：$f$ 在 $(0,1)$ 上连续有界（如 $f(x)=x$），就说”$f$ 有最大值”。
   • 为什么错：有界只保证 $\sup$ 存在，不保证被取到。Final 第 2(a)(i) 就是专门考这个的：$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上连续、有界，但既无最大也无最小。
   • 正确做法：区分”有界性”（Theorem 180）与”取到性”（Theorem 182）；前者只是后者的铺垫。
5. 反设”无界”后，忘了”无界”要翻译成”对每个 $n$ 存在 $x_n$”。
   • 错误做法：写”$f$ 无界，所以存在 $x_n$ 使 $f(x_n)\to\infty$”却不交代 $\ge n$ 的构造。
   • 为什么错：无界的定义只保证”对每个界 $B$ 都存在越界的点”，必须显式地取 $B=n$ 才能得到一列序列；否则你手上根本还没有序列，BW 无从使用。
   • 正确做法：写出 $\forall n\in\mathbb{N}$，$\exists x_n\in[a,b]$，$\vert f(x_n)\vert \ge n$（源文件原话）。
6. 用 IVT 时忽略”连续性”或”异号”的条件。
   • 错误做法：对分段函数 $f(x)=x$（$x\le1/2$）、$f(x)=x+1$（$x>1/2$）在 $[0,1]$ 上用 IVT 断言”$y=1$ 必被取到”。
   • 为什么错：$f$ 在 $x=1/2$ 处不连续，IVT 假设不成立（Final 2(a)(ii) 正是这个反例：$y=1\in(f(0),f(1))=(0,2)$ 却不在值域里）。
   • 正确做法：应用 IVT 前逐条检查（i）$f$ 在 $[a,b]$ 上连续；（ii）$y$ 严格介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间；（iii）记住结论只是”至少一个 $c$”。
7. 在 Theorem 189 里默认 $c<d$。
   • 错误做法：直接写”由 IVT 用在 $[c,d]$ 上”，把”$c$ 是最小点、$d$ 是最大点”与”$c<d$”混为一谈。
   • 为什么错：“$c$ 是绝对最小点”是关于函数值的陈述，”$c<d$”是关于自变量位置的陈述，两者没有必然联系。 例如 $f(x)=-(x-0.3)^2$ 在 $[0,1]$ 上：最大点在 $d=0.3$，最小点在端点 $c=0$（因为 $f(0)=-0.09$，$f(1)=-0.49$，故最小点是 $c=1$）——此时 $c=1>0.3=d$，区间记号 $[c,d]$ 会变成 $[1,0.3]$，毫无意义。
   • 正确做法：分情形 $c<d$、$c>d$、$c=d$ 讨论，或统一在 $[\min\{c,d\},\max\{c,d\}]$ 上应用 IVT。
8. 严格不等式取极限时忘记会退化为 $\le$。
   • 错误做法：由 $f(a_n)<0$ 就断言 $f(c)<0$。
   • 为什么错：序极限保号性只给非严格不等式（$u_n<v_n$ $\Rightarrow$ $\lim u_n\le\lim v_n$）。例如 $u_n=-1/n<0$ 但 $\lim u_n=0$。
   • 正确做法：写成 $f(c)\le0$ 与 $f(c)\ge0$，再由三分性得 $f(c)=0$。若这里错误地保留严格不等号，就永远证不出 $f(c)=0$。
9. 忘了 $n_k\ge k$。
   • 错误做法：由 $\vert f(x_{n_k})\vert \ge n_k$ 直接写”$\ge k$ 显然”却不给依据。
   • 为什么错：这是子序列指标严格递增的直接推论，但在形式化证明中必须交代（尤其当 $n_k$ 的具体形式未知时）。
   • 正确做法：写下”对 $k$ 归纳：$n_1\ge1$；$n_{k+1}>n_k\ge k$ 故 $n_{k+1}\ge k+1$”，得 $n_k\ge k$。
10. 把 Theorem 190 的多项式与 Assignment 11 的多项式混淆。
    • 错误做法：用 $x^{2021}+x^{2020}+9.03x+1$ 去答”恰有一个实根”，或以为源文件例题里含 $x^{1121}$。
    • 为什么错：两个多项式不同；源文件 Theorem 190 的结论是”至少一个实根”，证明只用到 IVT；Assignment 11 要”恰好一个”，需要额外的单调性论证。
    • 正确做法：分别记住（见上文对照表）：源文件 $f(-1)=-8.03<0<1=f(0)$；Assignment 11 的 $p(-1)=-2<0<1=p(0)$，且 $p^{\prime}>0$。

思考题（带答案）

Q1.（概念 + 完整证明：把本讲的证明骨架显式组装一遍——对应 Final 第 3 题） (a) 按下述定义证明 $[a,b]$ 是紧的：$K\subset\mathbb{R}$ 紧 $\iff$ 对 $K$ 中每个序列 $\{x_n\}$，都存在子序列 $\{x_{n_k}\}$ 与 $x\in K$ 使 $x_{n_k}\to x$。 (b) 设 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续。证明 $f([a,b])$ 紧。 (c) 说明 (a)(b) 合起来如何”包含”本讲的 Theorem 180 与 Theorem 182（即极值定理）的结论，并指出每一步用到了本讲的哪一个工具。

Q2.（完整计算：用二分法求 Theorem 190 的根，精度 $10^{-3}$） 对源文件 Theorem 190 的多项式

在 $[-1,0]$ 上用二分法求根，要求给出近似值 $r$ 使 $\vert r-c\vert <10^{-3}$（$c$ 为 $F$ 在 $(-1,0)$ 内的一个根）。

(a) 需要二分多少次才能保证区间长度小于 $10^{-3}$？ (b) 写出前 3 次二分得到的区间与中点函数值。 (c) 给出满足精度要求的近似值并说明误差上界。 (d) 写出你运行的 Python 片段与真实输出。

Q3.（概念理解：极值定理的条件不可省） 下列四个函数都定义在实数集的子集上。请判断它们各自是否满足极值定理的结论（即在定义域上取到绝对最大值与绝对最小值）；若不满足，指出极值定理的哪一条假设被破坏，并说明为什么这个破坏导致结论失效。

(1) $f(x)=x$，$S=(0,1)$； (2) $f(x)=\dfrac1x$，$S=(0,1]$； (3) $f(x)=\begin{cases}\frac12,&x=0\ \text{或}\ x=1,\\ x,&x\in(0,1),\end{cases}$ $S=[0,1]$； (4) $f(x)=\begin{cases}\frac1x,&x\ne0,\\ 0,&x=0,\end{cases}$ $S=[-1,1]$。