Lecture 5: The Archimedian Property, Density of the Rationals, and Absolute Value（阿基米德性质、有理数稠密性与绝对值）

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Lecture 5: The Archimedian Property, Density of the Rationals, and Absolute Value（阿基米德性质、有理数稠密性与绝对值）

概述

Lecture 4 我们花了一整讲才把”实数到底是什么”讲清楚：$\mathbb{R}$ 是唯一具有最小上界性质 (least upper bound property, LUB) 的有序域（源文件 Theorem 39）。那一刻你可能会怀疑：这么抽象的一条公理，凭什么叫”分析的发动机”？

本讲就是这台发动机的第一次点火。我们从 LUB 这一条公理里榨出三条此后每一讲都要用的工具：

1. 阿基米德性质 (Archimedean property)：$\mathbb{N}$ 在 $\mathbb{R}$ 中无上界。它保证了”用自然数去超越任何实数”这件事永远做得到，是后面所有 $\epsilon$-$N$ 论证里”取 $N$ 足够大”的合法性来源。
2. 有理数的稠密性 (density of $\mathbb{Q}$)：任意两个实数之间都夹着一个有理数。它告诉你”$\mathbb{R}$ 虽然比 $\mathbb{Q}$ 大得多，但 $\mathbb{Q}$ 已经像灰尘一样撒满了整条数轴”。
3. 绝对值的完整性质表：包括那个我们此后每天都要用的三角不等式 (triangle inequality) 的雏形（严格证明在 Lecture 6）。

本讲回答的核心问题是：LUB 公理除了定义 $\sup$ 之外，究竟还能给我们什么可操作的工具？ 答案就是上面三条。同时，本讲还顺手建立了两个使用 $\sup$/$\inf$ 的标准操作：$\sup$ 的 $\epsilon$ 刻画（Theorem 45），以及 $\sup(x+A)=x+\sup A$、$\sup(xA)=x\sup A$ 这类”$\sup$ 与代数运算交换”的法则（Theorem 47）。

一条提醒：本讲的内容表面上很”碎”（定理编号从 43 跳到 50），但它们是同一个思想的三副面孔——“用 LUB 把’任意小’变成’存在一个具体的 $n$’“。读的时候请始终盯住这条主线。

核心定义与直观解释

本讲源文件引入的新定义只有一个（Definition 49 绝对值），外加一个记号约定（Notation 46）。但为了让定理 43–48 读得动，我们必须先把 Lecture 3 的 $\sup$/$\inf$ 定义和 Lecture 4 的 LUB 性质重新摆到桌面上——本讲所有证明都在反复使用它们。

（定义回顾：上界与最小上界，源文件 Lecture 3 Definition 24 及紧随其后的定义）

• 严格定义：设 $E\subset\mathbb{R}$。

  若存在 $b\in\mathbb{R}$ 使得对一切 $x\in E$ 有 $x\le b$，则称 $E$ 有上界 (bounded above)，$b$ 是 $E$ 的一个上界 (upper bound)。 若 $b_0$ 满足 \(\text{A) } b_0 \text{ 是 } E \text{ 的上界},\qquad \text{B) 若 } b \text{ 是 } E \text{ 的上界，则 } b_0\le b,\) 则称 $b_0$ 是 $E$ 的最小上界 (least upper bound) 或上确界 (supremum)，记作 $b_0=\sup E$。 对称地，若 $c_0$ 满足 \(\text{A) } c_0 \text{ 是 } E \text{ 的下界},\qquad \text{B) 若 } c \text{ 是 } E \text{ 的下界，则 } c\le c_0,\) 则称 $c_0$ 是 $E$ 的下确界 (infimum)，记作 $c_0=\inf E$。

• 最小上界性质（LUB 公理，源文件 Lecture 3 Definition 26 + Lecture 4 Theorem 39）：$\mathbb{R}$ 的每个非空且有上界的子集都在 $\mathbb{R}$ 中有上确界。
• 直观解释（”它到底在说什么？”）：想象 $E$ 是钉在数轴上的一把钉子。一个上界就是”一根从左往右推、最终把所有钉子挡住”的挡板。上确界就是所有挡板中最靠左的那一根的位置。关键点在于：这根”最靠左的挡板”本身不一定钉着一颗钉子。例如 $E=\{q\in\mathbb{Q}:0\le q<1\}$ 的 $\sup E=1$，而 $1\notin E$（源文件 Lecture 3 Example 25 的原例）。这是 $\sup$ 与 $\max$ 最本质的区别：$\max$ 必须属于集合，$\sup$ 不必。
• 为什么需要这个条件（”非空且有上界”）？ LUB 公理的两个前提都不可省：
  • 去掉”非空”：$E=\varnothing$ 时任何实数都是上界，谈不上”最小上界”（这个集合没有最小元，因为它就是整个 $\mathbb{R}$）。所以 $\sup\varnothing$ 无定义。
  • 去掉”有上界”：$E=\mathbb{N}$ 在 $\mathbb{Z}$ 中就没有上确界（源文件 Lecture 3 Example 25：$\sup\mathbb{N}$ 不存在）。请注意，本讲 Theorem 43 要证的恰恰是 $\mathbb{N}$ 在 $\mathbb{R}$ 中也没有上界——所以对 $E=\mathbb{N}$ 我们永远不能写 $\sup\mathbb{N}$，否则整个证明都垮掉。
• 具体示例：
  • $E_1=\{1-\tfrac1n:n\in\mathbb{N}\}=\{0,\tfrac12,\tfrac23,\tfrac34,\dots\}$：$\sup E_1=1\notin E_1$，$\inf E_1=0\in E_1$（本讲 Theorem 44 会严格证明 $\sup E_1=1$）。
  • $E_2=\mathbb{N}$：$\inf E_2=1\in\mathbb{N}$，但 $\sup E_2$ 不存在（本讲 Theorem 43(i)）。
  • $E_3=\{q\in\mathbb{Q}:q>0,\ q^2<2\}$：在 $\mathbb{Q}$ 中没有上确界（Lecture 3 Theorem 28），但在 $\mathbb{R}$ 中 $\sup E_3=\sqrt2$（Lecture 4 Theorem 40）。同一个集合，换个”宇宙”就有/没有上确界——这正是 $\mathbb{Q}$ 与 $\mathbb{R}$ 的分界线。
• 反例（如果适用）：把 $\sup$ 当成 $\max$ 是最常见的致命错误。$E_1=\{1-\tfrac1n\}$ 中没有任何元素等于 $1$：因为 $1-\tfrac1n=1$ 会推出 $\tfrac1n=0$，而由 $n\ge1>0$ 得 $\tfrac1n>0$。所以 $\max E_1$ 不存在，但 $\sup E_1=1$ 存在。”$\sup$ 存在”与”$\max$ 存在”是两个完全独立的命题。

（定义 49：绝对值，Definition 49）

• 严格定义：设 $x\in\mathbb{R}$，定义 \(\|x\|:= \begin{cases} x, & x\ge 0,\\[2pt] -x, & x\le 0. \end{cases}\) （注：源文件在第二行写的是 $x\le 0$ 而不是 $x<0$。两支在 $x=0$ 处重叠，但因为 $-0=0$，两个分支给出的值相同，所以定义是良定义 (well-defined) 的。Lebl 教材 §1.3 写的是 $x<0$，两种写法等价。这里我们照抄源文件的写法，但你要知道这个重叠是无害的。）

• 直观解释（”它到底在说什么？”）：$\vert x\vert $ 是 $x$ 到 $0$ 的距离。这个”距离”的解读方式非常重要，因为它把关于绝对值的代数不等式翻译成几何陈述： \(\vert x-c\vert <\epsilon \quad\Longleftrightarrow\quad \text{"}x\text{ 落在以 }c\text{ 为中心、半径为 }\epsilon\text{ 的开区间内。}\) 请把这句话读三遍。Lecture 6 之后的每一个 $\epsilon$-$N$、$\epsilon$-$\delta$ 定义，说的都是”距离 $<\epsilon$”；而每次你用”$\vert x-a\vert <\epsilon$ 就是 $a-\epsilon<x<a+\epsilon$”去展开它时，用的正是本讲 Theorem 50(5) 的等价刻画。

• 为什么需要这个条件（为什么定义里要分两支）？ 因为我们要的是一个非负的量。$x$ 本身可能是负数，直接用 $x$ 表示”大小”会在 $x=-5$ 时给出 $-5$，比任何正数都小，无法比较大小。分两支定义就是强制输出非负数：$x$ 已经是非负的就不用变，$x$ 是负的就取 $-x$ 把它翻成正的。
• 具体示例：
  • $x=3$：$3\ge0$，故 $\vert 3\vert =3$。
  • $x=-3$：$-3\le0$，故 $\vert -3\vert =-(-3)=3$。
  • $x=0$：$0\ge0$，故 $\vert 0\vert =0$（若走第二支 $x\le0$，则 $-0=0$，结果一致）。
  • $x=0.001$：$\vert 0.001\vert =0.001$；$x=-0.001$：$\vert -0.001\vert =0.001$。
  • 距离解读的具体数字：$\vert x-2\vert <0.01\iff 1.99<x<2.01$——”$x$ 到 $2$ 的距离小于百分之一”。
• 反例（如果适用）：$\vert x\vert <a$ 与 $x<a$ 完全不等价。取 $x=-100$、$a=1$：$x<a$ 成立，但 $\vert x\vert =100<1$ 不成立。同样 $\vert x\vert >a$ 与 $x>a$ 也不等价。这就是为什么下面 Theorem 50(5) 的”双向夹逼刻画”值得单独成为一个定理：只有把 $\vert x\vert \le a$ 换成 $-a\le x\le a$（两边都要），才是等价的。

（记号 46：集合的平移与伸缩，Notation 46）

• 严格定义：设 $x\in\mathbb{R}$，$A\subset\mathbb{R}$，定义 \(x+A:=\{x+a\mid a\in A\},\qquad xA:=\{xa\mid a\in A\}.\)

• 直观解释（”它到底在说什么？”）：$x+A$ 是把整个集合 $A$ 沿数轴整体平移 $x$（$x>0$ 向右，$x<0$ 向左）；$xA$ 是把 $A$ 整体拉伸 $x$ 倍（$x>1$ 放大，$0<x<1$ 缩小，$x<0$ 还带一次镜像翻转）。这两个记号本身没有难度，它的价值在于：它让我们能把”$\sup$ 在平移/伸缩下如何变化”写成一个漂亮的公式（Theorem 47）。
• 为什么需要这个条件（$x>0$ 的限制是从哪来的）？ Theorem 47 的第二条要求 $x>0$。原因是伸缩会翻转序：当 $x<0$ 时 $a\le\sup A$ 两边乘 $x$ 得到 $xa\ge x\sup A$，$x\sup A$ 从”上界”变成了”下界”，于是 $\sup(xA)=x\inf A$ 而不是 $x\sup A$。这正是”乘负数要变号”这条中学规则在 $\sup$ 层面的后果。
• 具体示例：取 $A=\{1-\tfrac1n:n\in\mathbb{N}\}=\{0,\tfrac12,\tfrac23,\tfrac34,\dots\}$（已知 $\sup A=1$，见 Theorem 44）。
  • $x=3$ 时 $3+A=\{3,\ 3.5,\ 3.666\ldots,\ 3.75,\dots\}$，$\sup(3+A)=4=3+1=3+\sup A$。✓
  • $x=3$ 时 $3A=\{0,\ 1.5,\ 2,\ 2.25,\dots\}$，$\sup(3A)=3=3\cdot1=3\sup A$。✓
  • 取 $x=-1$ 做反例：$-A=\{0,-0.5,-0.666\ldots,\dots\}$，它的上确界是 $0$，而 $x\sup A=(-1)\cdot1=-1\ne0$。所以 $x>0$ 这个条件真的不能去掉。
• 反例（如果适用）：若 $A$ 无上界，则 $x+A$ 与 $xA$（$x\ne0$）也无上界，公式 $\sup(x+A)=x+\sup A$ 两边都无意义。所以 Theorem 47 必须假设 $A$ 有上界。

（概念：稠密性 dense）

• 严格定义：设 $D\subset\mathbb{R}$。若对任意 $x,y\in\mathbb{R}$ 且 $x<y$，都存在 $d\in D$ 使 $x<d<y$，则称 $D$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密 (dense)。等价说法：$\mathbb{R}$ 的每个非空开区间 $(x,y)$ 都含有 $D$ 中的元素。
• 直观解释（”它到底在说什么？”）：假设你是数轴上的一个质点，你无论站在哪里，用任意小的放大镜去看，视野里总有一颗 $D$ 的”灰尘”。无论把区间 $(x,y)$ 缩得多窄（比如 $(0.3333333,\ 0.3333334)$），里面还是有理数。这就是稠密的画面感。
• 为什么需要这个条件？ 注意定义里必须要求 $x<y$（严格小于）。如果允许 $x=y$，那么区间 $(x,x)$ 是空集，任何集合都不可能与它相交，稠密性就变成了一句错话。“开区间非空”是稠密性定义的隐含前提。

• 具体示例：区间 $(\tfrac13,\ 0.34)$ 宽度只有 $0.34-\tfrac13=\tfrac1{150}\approx6.667\times10^{-3}$。Theorem 43(ii) 的构造给出 $n=151$、$m=51$，于是 $q=\tfrac{51}{151}\approx 0.3377483$ 满足 \(\tfrac13\approx0.33333<0.3377483<0.34.\) 验算：$q-\tfrac13\approx4.415\times10^{-3}>0$，$0.34-q\approx2.252\times10^{-3}>0$。✓

• 反例（如果适用）：$\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{R}$ 不稠密：区间 $(0.1,0.9)$ 中一个整数都没有。$E=\{1-\tfrac1n\}$ 也不稠密：区间 $(-1,-0.5)$ 中不含 $E$ 的元素。稠密性是一个很强的要求。

定理与完整证明（核心）

定理 43(i)（阿基米德性质，Archimedean property）

• 定理陈述：若 $x,y\in\mathbb{R}$ 且 $x>0$，则存在 $n\in\mathbb{N}$ 使得 \(nx>y.\) 等价形式（本讲最常用的一版）：对任意 $\epsilon>0$，存在 $n\in\mathbb{N}$ 使得 \(\frac1n<\epsilon .\) 另一等价形式（令 $y$ 任意、取 $x=1$）：对任意 $y\in\mathbb{R}$，存在 $n\in\mathbb{N}$ 使得 $n>y$。特别地，$\mathbb{N}$ 在 $\mathbb{R}$ 中无上界。

• 证明策略：反证法 + LUB。我们想要 $\mathbb{N}$ 无上界，但 LUB 公理偏偏是”有上界就能取 $\sup$”——这两句话方向相反。所以标准套路是：先假设结论不成立（即 $\mathbb{N}$ 有上界），让 LUB 出场造出 $a=\sup\mathbb{N}$，再回头用 $a$ 是”最小”上界这一条把 $a$ 自己推翻。 目标很明确：造出一个比 $\sup\mathbb{N}$ 还大的自然数。造它的工具就是 $+1$。

• 逐步推导：设 $x,y\in\mathbb{R}$，$x>0$。

  1. 把结论翻译成关于 $\mathbb{N}$ 的陈述。 我们要证存在 $n\in\mathbb{N}$ 使 $nx>y$。因为 $x>0$，两边除以 $x$ 不改变不等号方向： \(nx>y\iff n>\frac yx .\) （依据：有序域的除法保序性质；$x>0$ 是这里的关键，若 $x<0$ 则不等号要反向。） 于是等价地，我们要证：存在 $n\in\mathbb{N}$ 使 $n>\dfrac yx$。
  2. 反设（即否定目标，得到 $\mathbb{N}$ 有上界）。 假设不存在这样的 $n$，即 \(\forall n\in\mathbb{N},\quad n\le \frac yx .\) （依据：量词否定，”$\exists n,\ n>y/x$”的否定是”$\forall n,\ n\le y/x$”。） 这句话的意思正是：$\dfrac yx$ 是 $\mathbb{N}$ 的一个上界，即 $\mathbb{N}$ 在 $\mathbb{R}$ 中有上界。
  3. 调用 LUB 公理取 $\sup$。 $\mathbb{N}\ne\varnothing$（因为 $1\in\mathbb{N}$），且由第 2 步它有上界。由 $\mathbb{R}$ 的最小上界性质（源文件 Lecture 4 Theorem 39 / Lecture 3 Definition 26），存在实数 \(a:=\sup\mathbb{N}\in\mathbb{R}.\) （依据：LUB 公理，前提”非空 + 有上界”由第 2 步保证。）
  4. 用”$a$ 是最小上界”制造出一个靠近 $a$ 的自然数。 考察 $a-1$。因为 $a$ 是 $\mathbb{N}$ 的最小上界，任何严格小于 $a$ 的数都不可能是 $\mathbb{N}$ 的上界。$a-1<a$，所以 $a-1$ 不是 $\mathbb{N}$ 的上界。 （依据：$\sup$ 定义中的条件 B——比 $a$ 小的数都不是上界。注意这里必须用 “$<a$” 这个事实，而 $1>0$ 保证了 $a-1<a$。） “不是上界”意味着什么？意思是存在一个自然数没有被子挡住： \(\exists m\in\mathbb{N}\quad\text{使得}\quad a-1<m .\) （依据：”$b$ 是上界”的定义的否定：若 $b$ 不是上界，则 $\exists m\in E,\ m>b$。）
  5. 把 $m$ 加 $1$，得到超过 $a$ 的自然数。 对第 4 步的不等式 $a-1<m$ 两边加 $1$： \(a<m+1 .\) （依据：有序域的加法保序，$x<y\Rightarrow x+1<y+1$。）
  6. 矛盾。 因为 $m\in\mathbb{N}$，由 $\mathbb{N}$ 对后继封闭（$n\in\mathbb{N}\Rightarrow n+1\in\mathbb{N}$），有 $m+1\in\mathbb{N}$。而第 5 步给出 $m+1>a=\sup\mathbb{N}$。也就是说，我们找到了 $\mathbb{N}$ 中的一个元素，它严格大于 $\mathbb{N}$ 的上确界。这与”$a$ 是 $\mathbb{N}$ 的上界”（即 $\forall n\in\mathbb{N},\ n\le a$）直接矛盾。 （依据：上界的定义；$m+1\le a$ 与 $m+1>a$ 不能同时成立。）
  7. 结论。 第 2 步的反设导致矛盾，故反设不成立。因此 \(\exists n\in\mathbb{N}\quad\text{使得}\quad n>\frac yx ,\) 两边乘 $x>0$ 得 $nx>y$。$\blacksquare$ 等价形式的证明（$1/n<\epsilon$）：设 $\epsilon>0$。在已证命题中取 $x=\epsilon>0$、$y=1$，得存在 $n\in\mathbb{N}$ 使 $n\epsilon>1$。两边除以 $n\epsilon>0$（$n\ge1>0$ 且 $\epsilon>0$）得 \(\frac1n<\epsilon .\) （依据：已证的 Theorem 43(i) 取特殊参数；除法保序。）$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：这个证明是“用 LUB 证明某个集合无上界”的范式，值得逐字拆解。它的骨架只有三步：

  1. 把”无上界”翻译成”若有上界则有 $\sup$”。这是整个证明的枢纽。因为 LUB 公理只对”有上界”的集合说话，我们想要的是否定性的结论（无上界），所以必须先站在反面：假设有上界，才能触发公理。这一步是”反证法 + 公理”的典型配合。
  2. 用 $\sup$ 的”$\epsilon$ 刻画”取 $\epsilon=1$ 找到 $m$。第 4 步用的其实是 Theorem 45（本讲后半段会严格证明）的一个特例：$a=\sup\mathbb{N}$ 且 $1>0$，所以存在 $m\in\mathbb{N}$ 使 $a-1<m\le a$。这正是”$a$ 是最小上界”的可操作形式——它把一句抽象的”没有比 $a$ 更小的上界”变成了一个具体的、可以作为代数对象操作的 $m$。
  3. 用 $+1$ 造出超过 $\sup$ 的元素。这是最”灵光一现”的一步。为什么是 $+1$ 而不是 $+\delta$？因为我们需要新元素仍然是自然数（否则无法与”$a$ 是 $\mathbb{N}$ 的上界”矛盾），而 $\mathbb{N}$ 只在 $+1$ 下封闭。如果我们只知道 $a-0.001<m$，那么 $m+0.001$ 未必是自然数，矛盾就造不出来。”$\mathbb{N}$ 对 $+1$ 封闭”这一代数事实，正好配得上”$a-1$ 不是上界”这一 $\sup$ 事实——这是一个天造地设的配对。 “如果让你自己重新发明这个证明，你会怎么想出来？” 从目标出发倒推：你要证”$\mathbb{N}$ 无上界”。你手里唯一的公理是”有上界 $\Rightarrow$ 有 $\sup$”。那么假设有上界、拿到 $a=\sup\mathbb{N}$ 是自然的第一步。拿到 $a$ 之后你手上有什么武器？只有一个：$a$ 是最小的上界。这句”最小”的否定形式必然给你一个 $\mathbb{N}$ 的元素 $m$ 靠近 $a$。然后你需要把这个 $m$ 变成一个”不可能存在”的东西。唯一能用的封闭运算是 $+1$。所以证明是被目标逼出来的，不是被灵感砸出来的。 为什么在 $\mathbb{Q}$ 里这个证明会失败？ 这是一个极重要的问题，请务必分清两件事：
  • 在 $\mathbb{Q}$ 里，结论仍然成立：$\mathbb{N}$ 在 $\mathbb{Q}$ 中同样无上界。你可以这样看：$\mathbb{Q}$ 的”上界”必须是 $y/x\in\mathbb{Q}$，而 $y/x$ 本身是一个有理数，取 $n=\lfloor y/x\rfloor+1$ 即可——但这需要整数部分的存在性，实际上等价于良序原理。无论如何，阿基米德性质在 $\mathbb{Q}$ 中是真的。
  • 但在 $\mathbb{Q}$ 里，上面这个证明跑不起来：因为 $\mathbb{Q}$ 没有 LUB 性质（Lecture 3 Theorem 28：$E=\{q\in\mathbb{Q}:q>0,q^2<2\}$ 在 $\mathbb{Q}$ 中没有上确界）。第 3 步 “$\exists a=\sup\mathbb{N}\in\mathbb{R}$” 无法在 $\mathbb{Q}$ 内被替换成 “$a\in\mathbb{Q}$”：你在 $\mathbb{Q}$ 里假设 $\mathbb{N}$ 有上界，只能说有有理数上界，取不出 $a\in\mathbb{Q}$ 当上确界。

  关键结论（不要记错方向）：阿基米德性质不是 LUB 的等价物，也不是 $\mathbb{R}$ 独有的；它只是 LUB 的一个推论。LUB 比它强得多。而 $\mathbb{Q}$ 的”洞”真正破坏的，是另一类论证——那些必须取 $\sup$ 才能继续的论证，比如 Lecture 4 Theorem 40（$\sqrt2\in\mathbb{R}$）和 Lecture 3 Theorem 28（$\mathbb{Q}$ 无 LUB）。本讲的稠密性定理（Theorem 43(ii)）恰好是”不需要 LUB、只需要阿基米德性质”的例子，这就是为什么它在 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$ 里都成立。

• 【证明技巧总结】：
  • 要证某集合无上界，先假设有上界并取 $\sup$，再用 $\sup$ 的定义（”比它小的都不是上界”）造出更大的元素。 这是本讲最值得背下来的套路。它把”不存在性”（无上界）转化为”存在性 + 矛盾”。
  • 反证法 + 公理：当你的目标是否定性命题，而唯一的公理是存在性命题（有上界 $\Rightarrow$ 有 $\sup$）时，先把目标的否定拿出来当假设，公理立刻可用。
  • ”$\epsilon$ 取具体值”是激活 $\sup$ 的标准手段：$\sup$ 的定义本身不好用（”任何上界都不小于它”），但它的 $\epsilon$ 形式（Theorem 45）非常好用。取 $\epsilon=1$ 是这里最有用的特例。
  • 封闭性配对：证明中反复出现”用 $E$ 对某运算封闭 + 用 $\sup$ 造出 $E$ 中靠近它的元素 $\Rightarrow$ 造出超越 $\sup$ 的元素”。这个模式在 Lecture 6（$\mathbb{Q}$ 可数、$\mathbb{R}$ 不可数）和 Lecture 9（Bolzano–Weierstrass）里会以不同面貌再出现。

推论 43(i)-A（$1/n\to 0$ 与 $\inf\{1/n\}=0$）

• 定理陈述：设 \(S:=\left\{\frac1n\ \middle\vert \ n\in\mathbb{N}\right\}=\left\{1,\ \tfrac12,\ \tfrac13,\ \tfrac14,\dots\right\}.\) 则 (a) $\inf S=0$，且 $0\notin S$（即 $\min S$ 不存在）； (b) 序列表述：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$。

• 证明策略：（a）用”$\inf$ = 下界中最大的”这个定义：先证 $0$ 是下界，再证任何正的下界都不可能。（b）是 $\epsilon$-$N$ 定义，等价形式由阿基米德性质直接给出；严格的 $\epsilon$-$N$ 论证留到 Lecture 6，这里只给出直觉与陈述。

• 逐步推导（只有 (a)）：

  1. $S$ 非空且有下界。 $1\in S$，故 $S\ne\varnothing$。又对一切 $n\in\mathbb{N}$ 有 $n\ge1>0$，故 $\tfrac1n>0$，即 $0$ 是 $S$ 的一个下界。 （依据：$\mathbb{N}$ 的最小元为 $1$；正数的倒数仍为正。）
  2. $0$ 是最大的下界。 设 $c$ 是 $S$ 的任意一个下界，要证 $c\le0$。反设 $c>0$。对 $\epsilon:=c>0$ 用阿基米德性质的等价形式（Theorem 43(i) 已证）：存在 $n\in\mathbb{N}$ 使 $\tfrac1n<\epsilon=c$。这说明 $c$ 不是 $S$ 的下界（因为 $S$ 中有元素 $\tfrac1n$ 比 $c$ 小），矛盾。故 $c\le0$。 （依据：阿基米德性质；下界定义的否定。）
  3. 结论。 由第 1、2 步，$0$ 是 $S$ 的下界且不小于任何下界，故 $\inf S=0$。又 $\tfrac1n>0$ 对一切 $n$ 成立，故 $0\notin S$。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：第 2 步是“证明某个数是最优下界”的标准动作：不要直接去证明”$0$ 最大”，而是假设有一个比 $0$ 更大的候选 $c$，然后用阿基米德性质把它击落。注意这里的逻辑强度：我们不是”找不到比 $0$ 大的下界”，而是”任何 $c>0$ 都必然不是下界”。这正是”最优”二字的精确含义。

  和第 2 步相比，阿基米德性质在这里的用法已经变了：Theorem 43(i) 的证明里它是结论，这里它是工具。这就是本讲的”丰收”——第一条定理马上变成了后面所有定理的引擎。

• 【证明技巧总结】：
  • 证 $\inf S=c$（或 $\sup S=c$）的两步法：① 证 $c$ 是下界（上界）；② 取任意更大的候选 $c^{\prime}>c$（更小的候选 $c^{\prime}<c$），用阿基米德性质或 $\sup$/$\inf$ 刻画把它否定掉。
  • “任意 $\epsilon>0$” ⇒ “存在 $n$”：阿基米德性质的等价形式 $1/n<\epsilon$ 是把”任意小”变成”某个具体的 $n$”的唯一桥梁。此后每次你想说”取足够大的 $n$”，引用的都是它。

• 补充（$1/n\to0$ 的直觉与陈述）：序列收敛的严格定义要到 Lecture 6（源文件 Definition 60–61 及其后的极限定义）才给出。这里先陈述结果并给直觉：

  \(\forall\epsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \text{s.t.}\ \forall n\ge N,\quad \left\vert \frac1n-0\right\vert <\epsilon .\) 直觉：给定任何精度要求 $\epsilon$，阿基米德性质保证我总能找到一个 $N=\lceil 1/\epsilon\rceil+1$ 使 $\tfrac1N<\epsilon$；而 $n\ge N$ 时 $\tfrac1n\le\tfrac1N<\epsilon$ 自动成立。这就是”取 $N$ 依赖 $\epsilon$”这一关键结构的第一次露面——请记住 $N$ 可以依赖 $\epsilon$，但绝不能依赖 $n$。

• 具体数值验算（$\epsilon$ 取具体数字）：

  $\epsilon$	由 $\tfrac1n<\epsilon$ 定出的最小 $n$	$\tfrac1n$ 的实际值	检查 $\tfrac1n<\epsilon$
  $0.01$	$101$	$0.00990099\ldots$	✓
  $0.001$	$1001$	$0.000999000\ldots$	✓
  $0.0002$	$5001$	$0.000199960\ldots$	✓

  验算依据：$\tfrac1n<\epsilon\iff n>\tfrac1\epsilon$，取 $n=\left\lfloor\tfrac1\epsilon\right\rfloor+1$。例如 $\epsilon=0.001$ 时 $\tfrac1\epsilon=1000$，取 $n=1001$，此时 $\tfrac1{1001}=0.000999000999\ldots<0.001$。✓（注意 $n=1000$ 时 $\tfrac1{1000}=0.001$ 不 $<\epsilon$，所以必须取 $1001$——这个”必须多 $1$”的细节是学生最常错的地方。）

推论 43(i)-B（有理数可以”任意精细”）

• 定理陈述：对任意 $\epsilon>0$ 与任意 $M>0$，存在 $n\in\mathbb{N}$ 使 $\dfrac{M}{n}<\epsilon$。
• 证明：由 Theorem 43(i) 的等价形式，取常数 $\dfrac{\epsilon}{M}>0$ 作为”$\epsilon$”，得存在 $n\in\mathbb{N}$ 使 $\dfrac1n<\dfrac{\epsilon}{M}$。两边乘 $M>0$ 得 $\dfrac{M}{n}<\epsilon$。$\blacksquare$
• 【证明机制解说】：这条推论是”用有理数逼近实数“这一整套技术的合法性来源。它说的是：无论你要多细的分辨率 $\epsilon$，也无论起点多大（$M$），只要把 $n$ 取得足够大，$\tfrac{M}{n}$ 就能小于 $\epsilon$。下一段 Theorem 43(ii) 里”取 $n$ 使 $\tfrac1n<y-x$”用的就是 $M=1$ 的情形。
• 【证明技巧总结】：“给定 $\epsilon$ 和常数，先做代数变形把待证的不等式化成 $1/n<\text{某正数}$，再引用阿基米德性质。” 这个模式在后面估计误差时会出现几十次。

定理 43(ii)（有理数的稠密性，Density of $\mathbb{Q}$）

• 定理陈述：若 $x,y\in\mathbb{R}$ 且 $x<y$，则存在 $r\in\mathbb{Q}$ 使得 \(x<r<y .\)

• 证明策略：构造法，两步走：先选足够细的网格，再在最靠近 $x$ 的格点旁边找。

  1. 用阿基米德性质选一个 $n\in\mathbb{N}$ 使步长 $\tfrac1n$ 比区间宽度 $y-x$ 还小。
  2. 在网格 $\{\tfrac{k}{n}:k\in\mathbb{Z}\}$ 中，取使得 $\tfrac{m}{n}>x$ 的最小整数 $m$（这需要一个整数版的良序性质）。这个 $m$ 就是”刚跨过 $x$ 的那一步”。
  3. 证明这一步不会跨过头：因为步长小于区间宽度，从”$\tfrac{m-1}{n}\le x$”出发走一步必然还落在 $y$ 之内。 源文件按三种情形（$0\le x<y$；$x<0<y$；$x<y\le0$）分情况处理，核心是第二种与第三种归约到第一种。

• 逐步推导：

  情形划分（依据：实数三分律，$x<y$ 时对 $0$ 的位置只有这三种可能）： \(\text{(I) } 0\le x<y,\qquad \text{(II) } x<0<y,\qquad \text{(III) } x<y\le 0 .\) 情形 (II)：$x<0<y$。 取 $r:=0$。因为 $0=\tfrac01\in\mathbb{Q}$，且 $x<0<y$，故 $x<r<y$。证毕。 （依据：$0\in\mathbb{Q}$；情形假设。） 情形 (I)：$0\le x<y$。 因为 $y-x>0$，由阿基米德性质（等价形式，取 $\epsilon=y-x$）： \(\exists n\in\mathbb{N}\quad\text{使得}\quad \frac1n<y-x .\tag{5.1}\) （依据：Theorem 43(i) 的等价形式 $1/n<\epsilon$，这里 $\epsilon=y-x>0$。）

  1. 再一次用阿基米德性质，得到 $l>nx$。 对 $x\ge0$：若 $x>0$，直接对 $x$ 与 $nx$ 用 Theorem 43(i)（注意此时”$x$”取为 $1$、”$y$”取为 $nx$）：存在 $l\in\mathbb{N}$ 使 $l>nx$。若 $x=0$，取 $l=1$ 亦有 $1>0=nx$。 （依据：Theorem 43(i)；$x=0$ 的边界情形单独处理。）
  2. 定义集合 $S$ 并用良序原理取最小元。 令 \(S:=\{k\in\mathbb{N}\mid k>nx\}\subset\mathbb{N}.\) 由第 1 步 $l\in S$，故 $S\ne\varnothing$。由 $\mathbb{N}$ 的良序性质 (well-ordering property)（源文件 Lecture 1 Axiom 5：[JL] §0.3），$S$ 有最小元，记作 $m\in S$。于是 \(m>nx\ \Longrightarrow\ nx<m\ \Longrightarrow\ x<\frac mn .\) （依据：良序原理；$n>0$ 故除法保序。） 注意这里必须用良序性质（而不是”取整函数”$\lfloor\cdot\rfloor$），因为在这门课里 $\lfloor\cdot\rfloor$ 本身还没有被定义过；而 $m$ 是最小元的这一事实马上还要用第二次。
  3. 用”$m$ 是最小元”得到下侧的不等式。 因为 $m$ 是 $S$ 的最小元，$m-1\notin S$（这里用到 $m\ge1$，故 $m-1\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ 有意义；若 $m=1$ 则 $m-1=0$ 更加不满足 $0>nx$，因 $nx\ge0$）。由 $S$ 的定义，”$m-1\notin S$”就是 \(m-1\le nx .\) （依据：$S$ 定义的否定——”$k>nx$”的否定是”$k\le nx$”；良序性质。） 两边加 $1$： \(m\le nx+1 .\tag{5.2}\)
  4. 用步长条件把 $m$ 压到 $y$ 以下。 从 (5.1) 出发：$\tfrac1n<y-x$，两边乘 $n>0$： \(nx+1<ny .\tag{5.3}\) （依据：(5.1) 两边乘 $n>0$；分配律。）
  5. 合并 (5.2) 与 (5.3)。 \(m\overset{(5.2)}{\le} nx+1\overset{(5.3)}{<} ny\ \Longrightarrow\ m<ny\ \Longrightarrow\ \frac mn<y .\) （依据：不等式的传递性；$n>0$ 故除法保序。）
  6. 收尾。 第 2 步给 $x<\tfrac mn$，第 5 步给 $\tfrac mn<y$。取 \(r:=\frac mn\in\mathbb{Q},\) 则 $x<r<y$。情形 (I) 证毕。（依据：$\mathbb{Q}$ 的定义——两个整数之比，$m\in\mathbb{Z}$，$n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$。） 情形 (III)：$x<y\le0$。 对不等式 $x<y\le 0$ 整体乘 $-1$（不等号反向）： \(0\le -y<-x .\) （依据：乘负数变号；$-0=0$。） 于是 $-y,-x$ 满足情形 (I) 的条件 $0\le(\text{左})<(\text{右})$。由情形 (I) 的结论，存在 $\tilde r\in\mathbb{Q}$ 使得 \(-y<\tilde r<-x .\) 再整体乘 $-1$： \(x<-\tilde r<y .\) （依据：乘负数变号。）因为 $\tilde r\in\mathbb{Q}$ 且 $\mathbb{Q}$ 对取负封闭，$-\tilde r\in\mathbb{Q}$。取 $r:=-\tilde r$ 即得 $x<r<y$。证毕。 $\blacksquare$ （情形 (I) 的具体数值演示） 取 $x=\tfrac13\approx0.333333$，$y=0.34$。
  • 宽度 $y-x=\tfrac1{150}\approx6.6667\times10^{-3}$。
  • 第一步选步长：需要 $\tfrac1n<\tfrac1{150}$，即 $n>150$，取 $n=151$。验算 $n(y-x)=151\cdot\tfrac1{150}=1.00666\ldots>1$。✓
  • 找格点：$nx=151\cdot\tfrac13=\tfrac{151}{3}\approx50.3333$。$S=\{k\in\mathbb{N}:k>50.3333\}$ 的最小元是 $m=51$。
  • 验算 $m-1=50\le 50.3333=nx$。✓
  • 验算 $m=51\le nx+1=51.3333$。✓
  • 验算 $nx+1=51.3333<ny=51.34$。✓
  • 结论：$q=\tfrac{51}{151}\approx0.33774834$，且 $\tfrac13<0.33774834<0.34$。✓

  （情形 (I) 对极小宽度的表现） 取 $x=0$，$y=0.001$。宽度 $10^{-3}$，需 $n>1000$，取 $n=1001$。$nx=0$，$S$ 的最小元 $m=1$，得 $q=\tfrac1{1001}\approx0.000999001$，确实 $0<0.000999001<0.001$。✓（顺带说明：$q$ 可以取到任意接近 $x$ 的位置，这正是稠密性的力量。）

• 【证明机制解说】：这个证明有两个”必须想明白”的点。

  格点示意图（以 x=1/3, y=0.34, n=151 为例，格点间距 1/151≈0.00662）：

     x=1/3≈0.33333            y=0.34
        \|                          \|
   ─────┼──●───●───●───●───●───●───┼──────►   m-1=50 → 50/151≈0.33113 (<x)
        │   ↑                ↑       │       m  =51 → 51/151≈0.33775 (在(x,y)内 ✓)
        │  50/151          51/151    │   ← 第一个跨过 x 的格点就是 m/n
        │                            │
        └── 间距 1/151 < 宽度 1/150 ──┘   ← (5.1) 保证格点比区间密
  

  第一点：为什么 $1/n<y-x$ 是关键？ 把数轴想象成每隔 $\tfrac1n$ 一个格点的尺子。区间 $(x,y)$ 的宽度是 $y-x$。如果格点间距 $\tfrac1n$ 大于等于宽度，那么完全可能出现”区间恰好卡在两个格点之间，一个格点都不含”的情形（例如 $n=1$、区间 $(0.2,0.8)$ 不含整数）。而一旦 $\tfrac1n<y-x$，格点间距就严格小于区间宽度，任何长度等于间距的两倍以内的区间都不可能避开所有格点——因为相邻格点之间的距离固定为 $\tfrac1n$，而 $(x,y)$ 的长度 $y-x>\tfrac1n$ 意味着它至少能容下一个完整的间隔。于是一定有格点落进去。这就是 (5.1) 在整个证明里的角色：把”密度”问题转化成”步长够细”问题。 第二点：为什么用”最小元 $m$”而不是随便找一个格点？ 因为我们需要同时控制两侧。任意拿一个落在 $(x,y)$ 里的格点，你没法保证它到底是哪个；但取”第一个跨过 $x$ 的格点”，我们就自动获得了两个信息：

  • 它在 $x$ 右边（因为 $m\in S$，$m>nx$）——这是上一步的位置，由 $m$ 的定义直接给出；
  • 它前一步在 $x$ 左边或正好在 $x$ 上（因为 $m-1\notin S$，$m-1\le nx$）——这是回退一步的位置，由 $m$ 的最小性给出。

  有了这两条，$\tfrac mn$ 就被夹在 $x$ 与 $nx+1$ 之间，而 (5.1) 保证 $nx+1<ny$。“最小性”提供回退信息，这是良序原理不可替代的原因。 如果换成”取任意 $k>nx$”，你只能得到 $x<\tfrac kn$，却无法排除 $\tfrac kn$ 已经跳过了 $y$。 “如果让你自己重新发明这个证明，你会怎么想出来？” 从目标想：我要在 $(x,y)$ 里造一个有理数。有理数的最自然形式是 $\tfrac mn$。那 $m$ 怎么选？我要 $\tfrac mn$ 落在 $(x,y)$，即 $nx<m<ny$。“在开区间 $(nx,ny)$ 里找一个整数 $m$”——这个问题的答案只剩一个：如果这个区间足够长（长度 $n(y-x)>1$），它必定含整数；而在所有这样的整数里，”大于 $nx$ 的最小整数”是最容易描述、也最容易证明存在的（良序原理）。所以整条证明其实是把”找有理数”归约成”找一个整数”，再用”区间长度 $>1$ $\Rightarrow$ 含整数”。整数的存在性由良序原理保证；区间的长度由阿基米德性质保证。两个工具各司其职，这就是稠密性证明的全部秘密。

• 【证明技巧总结】：

  • 稠密性证明 = 阿基米德选步长 + 良序选格点。 请把这句话抄在笔记本上。后续所有”用 $\mathbb{Q}$（或 $\mathbb{Q}^n$、或多项式）逼近”的论证都套这个模板。
  • “区间长度 $>1$ $\Rightarrow$ 含整数” 是一个可独立记忆的引理，其精确形式正是本证明的第 2–3 步：若 $a<b$ 且 $b-a>1$，则存在 $m\in\mathbb{Z}$ 使 $a<m<b$。（证明：取 $m=$ “大于 $a$ 的最小整数”，则 $m-1\le a$，故 $m\le a+1<b$。）
  • 分情形时先用对称性归约。 情形 (III) 完全不需要重新论证，乘 $-1$ 就化归情形 (I)。能归约就不要重复劳动，而且要显式写出归约用的变换（这里是 $x\mapsto -x$）。
  • 零的边界要单独处理。 情形 (II) 直接取 $r=0$，一步解决；如果硬套情形 (I)（要求 $0\le x$），会在这里卡住。看到 $x<0<y$ 就先看 $0$ 在不在区间里。

推论 43(ii)-A（无理数的稠密性，Density of $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$）

• 定理陈述：若 $x,y\in\mathbb{R}$ 且 $x<y$，则存在 $i\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ 使得 \(x<i<y .\) 即无理数集在 $\mathbb{R}$ 中也稠密。

• 证明策略：平移技巧 (translation trick)。有理数已经稠密了；我需要”非有理数”的稠密，那就把已知的稠密集合整体平移一个无理数。最经典的平移量是 $\sqrt2$（Lecture 4 Theorem 40 证明过 $\sqrt2\in\mathbb{R}$ 且 $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$）。核心逻辑链：

  \(x<i<y\iff x-\sqrt2<q<y-\sqrt2\quad\text{其中 } i=q+\sqrt2,\ q\in\mathbb{Q},\) 而右边是一个纯粹关于有理数稠密性的陈述。还要补一步：$q+\sqrt2$ 一定是无理数（有理数加无理数必为无理数）。

• 逐步推导：

  1. 准备归约。 取 $x^{\prime}=x-\sqrt2$，$y^{\prime}=y-\sqrt2$。因为 $x<y$，两边减 $\sqrt2$ 得 \(x^{\prime}<y^{\prime} .\) （依据：加法保序；$\sqrt2$ 是确定的实数。）
  2. 对 $(x^{\prime},y^{\prime})$ 用有理数稠密性（Theorem 43(ii)），得到 $q\in\mathbb{Q}$ 使 \(x-\sqrt2<q<y-\sqrt2 .\) （依据：Theorem 43(ii) 已证，它对任意一对满足左 $<$ 右的实数都成立。）
  3. 平移回去。 三边各加 $\sqrt2$： \(x<q+\sqrt2<y .\) （依据：加法保序。）
  4. 验证 $q+\sqrt2$ 是无理数。 反设 $q+\sqrt2\in\mathbb{Q}$。因为 $\mathbb{Q}$ 对减法封闭且 $q\in\mathbb{Q}$，有 \((q+\sqrt2)-q=\sqrt2\in\mathbb{Q},\) 这与 Lecture 4 Theorem 40 的结论 $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$ 矛盾。故 $q+\sqrt2\notin\mathbb{Q}$。 （依据：$\mathbb{Q}$ 是域（对减法封闭）；Lecture 4 Theorem 40。）
  5. 结论。 取 $i:=q+\sqrt2$。由第 3、4 步，$i\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ 且 $x<i<y$。$\blacksquare$ （另一个可选的证明，等价于 Assignment 3 第 1 题） 也可以直接对 $(x/\sqrt2,\ y/\sqrt2)$ 取有理数 $q\ne0$，再令 $i=q\sqrt2$；验证 $i$ 无理用的是”有理数乘无理数（非零有理数）必为无理数”。逻辑与上面完全相同，只是平移换成伸缩。 （具体数值演示） 取 $x=1$，$y=2$，平移量 $\sqrt2\approx1.41421356$。则 \(x^{\prime}=1-\sqrt2\approx-0.41421356,\qquad y^{\prime}=2-\sqrt2\approx0.58578644 .\) 有理数稠密性给出 $q=-0.4=-\tfrac25\in\mathbb{Q}$ 落在 $(x^{\prime},y^{\prime})$ 中。于是 \(i=q+\sqrt2\approx-0.4+1.41421356=1.01421356 ,\) 确实满足 $1<1.01421356<2$，且 $i$ 是无理数。✓

• 【证明机制解说】：这条推论的”灵光”在于把新问题化归成已解决的问题。我们不知道怎么直接在 $(x,y)$ 里造无理数（无理数没有 $\tfrac mn$ 那样的简单描述），但我们知道有理数稠密。于是问：能不能把”无理数稠密”变成一个关于有理数的命题？答案是平移：

  \(\text{"无理数 }i\in(x,y)\text{"}\ \longleftrightarrow\ \text{"有理数 }q=i-\sqrt2\in(x-\sqrt2,\ y-\sqrt2)\text{"}.\) 左边的存在性完全等价于右边的存在性（给定一侧可通过 $i=q+\sqrt2$ 或 $q=i-\sqrt2$ 互相构造）。这是一个”双射搬家”论证：平移是 $\mathbb{R}$ 到自身的双射，它把无理数集搬到无理数集（因为 $q$ 有理 $\Leftrightarrow q+\sqrt2$ 无理），把开区间 $(x,y)$ 搬到开区间 $(x-\sqrt2,y-\sqrt2)$。 搬家不改变”有没有元素”这件事。 这里那个看似技术性的第 4 步（$q+\sqrt2$ 无理）其实是必需的：如果我们只证出”存在 $r\in\mathbb{R}$ 使 $x<r<y$”，那毫无新意（$\tfrac{x+y}2$ 就行，源文件第一行就是这么说的）。稠密性推论的全部内容就在于”这个中间元素不属于 $\mathbb{Q}$”，所以必须显式验证。这也解释了为什么必须挑一个我们手上有明确”非有理性”证明的数——$\sqrt2$ 是最方便的选择。

• 【证明技巧总结】：

  • 平移/伸缩归约（”搬家”技巧）：要证集合 $D$ 稠密，若已知 $D_0$ 稠密且存在一个双射 $\varphi$ 把 $D_0$ 搬到 $D$、把开区间搬到开区间，则 $D$ 稠密。这是”稠密性可以搬运”的一般原理。
  • “有理数 $+$ 无理数 $=$ 无理数” 要作为独立引理记住，并会写它的反证证明（用 $\mathbb{Q}$ 对减法封闭）。同类的还有”非零有理数 $\times$ 无理数 $=$ 无理数”。
  • 证”存在一个具有性质 P 的对象”时，先找一个具有性质 P 的具体候选（这里是 $\sqrt2$），再把问题归约到已知存在性定理。

定理 44（$\sup\{1-1/n:n\in\mathbb{N}\}=1$）

• 定理陈述： \(1=\sup\left\{1-\frac1n\ \middle\vert \ n\in\mathbb{N}\right\}.\) 记 $A:=\{1-\tfrac1n:n\in\mathbb{N}\}$，即 $\sup A=1$（且如后面所证，$1\notin A$）。

• 证明策略：直接使用 $\sup$ 的定义（A 条 + B 条）：① 证 $1$ 是上界；② 证任何 $x<1$ 都不是上界。第 ② 步正是阿基米德性质的用武之地——给定 $x<1$，用 $1-x>0$ 去要一个足够大的 $n$。

• 逐步推导：

  1. $1$ 是上界。 对任意 $n\in\mathbb{N}$：$n\ge1>0$ 故 $\tfrac1n>0$，所以 \(1-\frac1n<1 .\) （依据：$n\ge1$ 故 $\tfrac1n>0$；减法保序。） 因此对一切 $a\in A$ 有 $a<1$，即 $1$ 是 $A$ 的上界。
  2. 任何 $x<1$ 都不是上界。 设 $x$ 是 $A$ 的任意上界，我们要证 $x\ge1$。反设 $x<1$，则 $1-x>0$。 由阿基米德性质（Theorem 43(i)，取 $x$ 为 $1$、取 $y$ 为 $\dfrac1{1-x}>0$），存在 $n\in\mathbb{N}$ 使得 \(1<n(1-x).\) （依据：Theorem 43(i)：对任意正数 $u,v$，$\exists n$ 使 $nu>v$；这里取 $u=1$，$v=\tfrac1{1-x}$。） 两边除以 $n>0$： \(\frac1n<1-x .\) （依据：除法保序。）两边乘 $-1$（不等号反向）再加 $1$： \(1-\frac1n>x .\) （依据：乘负数变号；加法保序。）
  3. 得出矛盾。 由第 2 步，$A$ 中存在元素 $1-\tfrac1n$ 满足 $1-\tfrac1n>x$。这说明 $x$ 不是 $A$ 的上界，与 $x$ 是上界的假设矛盾。 （依据：上界定义的否定。）
  4. 结论。 第 2 步的反设不成立，故任何上界 $x$ 都满足 $x\ge1$；结合第 1 步 $1$ 是上界，得 $\sup A=1$。$\blacksquare$ （另外证明 $1\notin A$，这是 $\sup\ne\max$ 的活标本） 若 $1\in A$，则存在 $n\in\mathbb{N}$ 使 $1-\tfrac1n=1$，即 $\tfrac1n=0$，即 $1=0$，矛盾于 $1>0$（有序域性质）。故 $1\notin A$，$\max A$ 不存在。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：这个定理的证明结构与本讲推论 43(i)-A 几乎一模一样：“证 $\sup=c$ 就是证’没有更小的上界’“。它的技术核心是第 2 步那句不等式 \(x<1-\frac1n\quad\Longleftarrow\quad \frac1n<1-x ,\) 而这正是阿基米德性质”保证 $1/n$ 可以任意小”的直接兑现。请注意这里$n$ 依赖 $x$：不同的候选上界 $x$，会用不同的 $n$ 来击落它。这种”$\epsilon$（或这里的 $1-x$）变了，$n$ 就换”的结构，就是后面 $\epsilon$-$N$ 定义的雏形。 另外注意第 1 步用的是 严格 不等式 $1-\tfrac1n<1$，而 $\sup$ 定义只要求非严格的 $\le$。用更严格的不等式去证非严格的要求是完全合法且更安全的（也更方便，因为后面要说明 $1\notin A$）。

• 【证明技巧总结】：
  • “证 $x$ 是上界 $\Rightarrow$ $x\ge1$”：不要直接证 $x\ge1$，而是反设 $x<1$，然后用阿基米德性质在 $A$ 里造一个比 $x$ 大的元素。这是”证界的最优性”的标准动作。
  • 把待证不等式化成 $1/n<\text{正数}$ 的形式，再引用阿基米德性质。本证明里这个”正数”就是 $1-x$。
  • 判断 $\sup\ne\max$ 的快速方法：看集合是否有”取不到的极限位置”。$A$ 的每个元素都严格小于 $1$，所以 $1$ 必不是 $A$ 的元素。
• 具体数值验算：
  • 若有人声称 $x=0.99$ 是上界：$1-x=0.01$，需 $n>\tfrac1{0.01}=100$，取 $n=101$，则 $1-\tfrac1{101}=0.990099\ldots>0.99$。✓ 故 $0.99$ 不是上界。
  • 若 $x=0.999$：$1-x=0.001$，需 $n>1000$，取 $n=1001$，则 $1-\tfrac1{1001}=0.999000999\ldots>0.999$。✓（注意 $n=1000$ 时 $1-\tfrac1{1000}=0.999$ 不严格大于 $0.999$，所以必须取 $1001$。）
  • 若 $x=0.9999$：$1-x=0.0001$，需 $n>10000$，取 $n=10001$，则 $1-\tfrac1{10001}=0.99990001\ldots>0.9999$。✓

定理 38 / 下确界的存在性（infimum 定理，讲义 Lecture 4 Theorem 38，本讲作为使用工具重申）

• 定理陈述：设 $A\subset\mathbb{R}$ 非空且有下界，则 $A$ 在 $\mathbb{R}$ 中存在下确界 $\inf A$。
• 证明策略：镜像技巧。LUB 公理只对上界说话，所以把 $A$ 沿 $0$ 翻折成 $-A:=\{-x:x\in A\}$：下界翻折成上界，上确界翻折回下确界。上确界取负号就是下确界。

• 逐步推导：

  1. $A$ 有下界，即存在 $a\in\mathbb{R}$ 使 $\forall x\in A,\ a\le x$。 （依据：有下界的定义。）这个 $a$ 就是题目假设给的。
  2. 构造 $-A$ 并证明它有上界。 令 $-A:=\{-x:x\in A\}$。对任意 $x\in A$，由 $a\le x$ 两边乘 $-1$（变号）得 $-x\le -a$。于是 $-a$ 是 $-A$ 的一个上界。 （依据：乘负数变号；上界定义的验证。）
  3. 对 $-A$ 用 LUB 公理。 由第 2 步，$-A$ 非空（$A\ne\varnothing$，取 $-x$）且有上界。由 $\mathbb{R}$ 的最小上界性质，存在 \(c:=\sup(-A)\in\mathbb{R}.\) （依据：LUB 公理。）
  4. 证明 $-c$ 是 $A$ 的下界。 因为 $c$ 是 $-A$ 的上界，$\forall x\in A$ 有 $-x\le c$。两边乘 $-1$：$\forall x\in A,\ -c\le x$。故 $-c$ 是 $A$ 的下界。 （依据：乘负数变号；下界定义的验证。）
  5. 证明 $-c$ 是最大的下界。 设 $a$ 是 $A$ 的任意下界，即 $\forall x\in A,\ a\le x$。两边乘 $-1$：$\forall x\in A,\ -x\le -a$。这说明 $-a$ 是 $-A$ 的上界。 （依据：乘负数变号。） 因为 $c=\sup(-A)$ 是 $-A$ 的最小上界，故 $c\le -a$。再乘 $-1$： \(a\le -c .\) （依据：$\sup$ 定义的条件 B；乘负数变号。）
  6. 结论。 由第 4、5 步，$-c$ 是 $A$ 的下界且不小于任何下界，故 $-c=\inf A$，特别地 $\inf A$ 存在。$\blacksquare$ 形式上，本定理的内容就是那条漂亮的等式 \(\boxed{\ \inf A=-\sup(-A)\ }\) （对 $A$ 非空有下界的情形）。

• 【证明机制解说】：这个证明是“对称性搬运”的又一实例（与无理数稠密性用平移是同一个思想家族）。LUB 公理是一台单向机器：它只输出上确界。要得到下确界，就必须把”下”的问题翻译成”上”的问题。最省力的翻译就是乘 $-1$：它在数轴上是关于 $0$ 的镜像，把大小关系整个翻过来。

  请特别注意第 5 步。它是整个证明中最容易写错的一步：我们要证的是”$-c$ 是最大的下界”，用的是”$c$ 是最小的上界”。$c\le -a$ 与 $a\le -c$ 是同一句话，但方向和对象都变了——符号翻转会同时翻转量词的方向，写的时候一定要逐步验算，不要凭感觉。

• 【证明技巧总结】：
  • $\inf$ 的一切结论都可以通过 $\inf A=-\sup(-A)$ 从 $\sup$ 的对应结论搬过来。 因此以后遇到关于 $\inf$ 的命题，第一反应是”这题是不是该翻折成 $\sup$？”
  • 镜像/平移/伸缩这三种”搬家”是分析里最常用的归约手段。 它们的共同点是：把不认识的对象搬到认识的对象上，证明完再搬回来。
  • 写”证明 X 是最优界”的证明时，把两个方向分别标号：① 是界；② 最优。不要混在一起写。
• 具体示例：$A=\{\tfrac1n:n\in\mathbb{N}\}$。$-A=\{-\tfrac1n\}=\{-1,-\tfrac12,-\tfrac13,\dots\}$。$\sup(-A)=0$（证法与 Theorem 44 完全对称，因为它正是 $0=\sup\{-1/n\}$；或者由推论 43(i)-A 的 $\inf\{1/n\}=0$ 与 $\inf A=-\sup(-A)$ 联立）。于是 $\inf A=-\sup(-A)=0$，与推论 43(i)-A 一致。✓—

定理 45（上确界的 $\epsilon$ 刻画，$\epsilon$-characterization of $\sup$）

• 定理陈述：设 $S\subset\mathbb{R}$ 非空且有上界。则 \(x=\sup S\) 当且仅当下面两条同时成立：
  1. $x$ 是 $S$ 的上界；
  2. 对每个 $\epsilon>0$，存在 $y\in S$ 使得 \(x-\epsilon<y\le x .\) （源文件注明：此定理的证明留作 Assignment 3 的练习。）
• 证明策略：双向证明，两边都不难但都必须写清。
  • $(\Rightarrow)$ 已知 $x=\sup S$，证 ① ②。① 就是 $\sup$ 定义中的条件 A。② 的关键是：$x-\epsilon<x$，而 $x$ 是最小上界，所以 $x-\epsilon$（严格更小）不可能是上界，于是它挡不住某个 $y\in S$。上侧 $y\le x$ 由 ① 免费得到。
  • $(\Leftarrow)$ 已知 ① ②，证 $x=\sup S$。① 说明 $x$ 是上界，所以 $\sup S\le x$（因为 $\sup S$ 是最小上界）。剩下只需证 $x\le\sup S$。反设 $x>\sup S$，取 $\epsilon=x-\sup S>0$，用 ② 拿到 $y>x-\epsilon=\sup S$，与 $\sup S$ 是上界矛盾。

• 逐步推导：

  先约定：因为 $S$ 非空有上界，由 LUB 公理，$s:=\sup S\in\mathbb{R}$ 存在，且 $s$ 满足”$s$ 是上界”与”任何上界 $b$ 满足 $s\le b$”这两条性质。 $(\Rightarrow)$ 假设 $x=\sup S$，证明 ①②。

  1. 证 ①（$x$ 是上界）。 这是 $\sup$ 定义的条件 A 本身：$x=\sup S$ 意味着 $x$ 是 $S$ 的上界。 （依据：$\sup$ 的定义。）
  2. 证 ②。 取任意 $\epsilon>0$。令 $u:=x-\epsilon$。因为 $\epsilon>0$，有 $u<x$。 （依据：加法保序，$x-\epsilon<x\iff0<\epsilon$。）
  3. $u$ 不是 $S$ 的上界。 若 $u$ 是 $S$ 的上界，则由 $\sup$ 定义的条件 B（$x$ 是最小上界）得 $x\le u=x-\epsilon$，即 $\epsilon\le0$，与 $\epsilon>0$ 矛盾。故 $u$ 不是 $S$ 的上界。 （依据：$\sup$ 定义的条件 B；反证法。）
  4. 把”不是上界”翻译成存在性。 “$u$ 不是 $S$ 的上界”意味着 $\exists y\in S$ 使 $y>u=x-\epsilon$。 （依据：上界定义的否定：$\lnot(\forall y\in S,\ y\le u)\iff\exists y\in S,\ y>u$。）
  5. 补上侧。 同一个 $y\in S$ 还满足 $y\le x$，因为 ① 说 $x$ 是 $S$ 的上界。 （依据 ①。）
  6. 合并。 同一个 $y$ 同时满足 $x-\epsilon<y$ 与 $y\le x$，即 $x-\epsilon<y\le x$。由于 $\epsilon>0$ 任意，② 成立。$\blacksquare_{(\Rightarrow)}$ $(\Leftarrow)$ 假设 ①②，证明 $x=\sup S$。
  7. 由 ① 得 $\sup S\le x$。 因为 $x$ 是 $S$ 的上界，而 $\sup S$ 是 $S$ 的最小上界，所以 $\sup S\le x$。 （依据：$\sup$ 定义的条件 B。）
  8. 反设 $x>\sup S$，令 $\epsilon:=x-\sup S>0$。 （依据：反证法假设；$\epsilon$ 为正是因为 $x>\sup S$。）
  9. 用 ② 取 $y$。 由 ②（对上述 $\epsilon$ 使用），存在 $y\in S$ 使 \(y>x-\epsilon=x-(\underbrace{x-\sup S}_{\epsilon})=\sup S .\) （依据：条件 ②；代数化简。）
  10. 矛盾。 第 9 步给出了 $y\in S$ 且 $y>\sup S$，这与”$\sup S$ 是 $S$ 的上界”（即 $\forall y\in S,\ y\le\sup S$）直接矛盾。 （依据：上界的定义。）
  11. 结论。 反设不成立，故 $x\le\sup S$。结合第 7 步 $\sup S\le x$ 得 $x=\sup S$。$\blacksquare_{(\Leftarrow)}$ 综上，两个方向都成立，定理得证。$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：这个定理值得反复读，因为它是“把 $\sup$ 从一句难用的话变成一句好用的话”的关键。

  $\sup$ 的原始定义（条件 A + B）在证明里其实很难用：条件 B 说的是”任何上界都不小于 $x$”，这是一句全称否定的话（”任何（上界）都不（小于 $x$）”）。在证明中，全称否定的命题几乎总要通过反证来使用，很啰嗦。定理 45 把它换成了一个存在性 + 全称的混合形式，其中 ② 是”$\forall\epsilon>0\ \exists y\in S$”。这个形式好用的原因，恰恰是它有 $\forall\epsilon\ \exists y$ 的结构——这正是本课程所有定义的标准语法（$\epsilon$-$N$、$\epsilon$-$\delta$ 都是这个形状）。换句话说，定理 45 是 $\sup$ 与分析和课程的”通用语言”之间的翻译器。 为什么 ② 是”$x$ 是最小上界”的正确翻译？ 关键的一步是第 3 步：如果 ② 不成立，会发生什么？② 不成立意味着 \(\exists\epsilon>0\ \forall y\in S,\quad y\le x-\epsilon ,\) 即 $x-\epsilon$ 也是 $S$ 的一个上界。但 $x-\epsilon<x$，这直接违反”$x$ 是最小上界”。所以”② 不成立”与”$x$ 最小”是同一件事的两面。 把这句话反过来就是：只要 $x$ 是最小上界，任何比 $x$ 小一点的位置必定”漏掉”某个 $S$ 的元素——而那个漏掉的元素，就是 ② 里的 $y$。 几何画面：

      x-ε        y   x
   ──────[──────●───]──────►   在 x-ε 和 x 之间，S 中必有元素
        ↑ 这段区域不可能全空
  

  “如果让你自己重新发明它”：你会先发现原始定义难用，然后问：”‘$x$ 是最小上界’能不能换个说法？” “最小”的反面是”存在更小的”，于是你写下”‘不存在比 $x$ 小的上界’“，再把它展开成”‘对每个 $\epsilon>0$，$x-\epsilon$ 不是上界’“，最后把”不是上界”展开成”存在 $y\in S$ 大于它”。三步纯逻辑改写，没有任何新数学。

• 【证明技巧总结】：
  • $\sup$ 的 $\epsilon$ 刻画（+ $y\le x$ 的上侧截断）此后是使用 $\sup$ 的默认形式。 如果你在证明里要”用一下 $x=\sup S$”，99% 的情况应该写：”对 $\epsilon>0$，存在 $y\in S$ 使 $x-\epsilon<y\le x$”，而不是去引用原始定义。
  • 加 $\epsilon$ 的”截断”：② 里的 $y\le x$ 常常被省略写成 $x-\epsilon<y$（两者等价，因为 ① 免费给你 $y\le x$）。但在需要精确控制 $y$ 不能太大的时候，上侧的 $y\le x$ 很有用（例如 Assignment 4 第 6 题要构造 $a_0-\tfrac1n<a_n\le a_0$ 的序列）。
  • 对照记忆：$\inf$ 的 $\epsilon$ 刻画是”对每个 $\epsilon>0$，存在 $y\in S$ 使 $x\le y<x+\epsilon$”（把 $\sup$ 版本的 $\pm\epsilon$ 对调并向另一边一次）。可以用 $\inf S=-\sup(-S)$ 自己推一遍记忆，不要死背。
• 具体示例（$S=\{1-\tfrac1n:n\in\mathbb{N}\}$，已知 $\sup S=1$）：取 $\epsilon=0.001$。② 断言存在 $y\in S$ 使 $1-0.001=0.999<y\le1$。由定理 44 的计算，取 $n=1001$ 得 $y=1-\tfrac1{1001}=0.999000999\ldots$，确实 $0.999<y\le1$。✓ 取 $\epsilon=10^{-6}$，则需 $n>10^6$，如 $n=10^6+1$，$y=1-\tfrac1{10^6+1}=0.999999000\ldots>0.999999$。✓

定理 47（$\sup$ 与平移、正伸缩交换）

• 定理陈述：使用 Notation 46 的记号：

  1. 若 $x\in\mathbb{R}$ 且 $A$ 有上界，则 $x+A$ 有上界且 \(\sup(x+A)=x+\sup A .\)
  2. 若 $x>0$ 且 $A$ 有上界，则 $xA$ 有上界且 \(\sup(xA)=x\sup A .\)

• 证明策略：两条都用 Theorem 45 的 $\epsilon$ 刻画（源文件明确写了”by our previous theorem”）。每条都分两步：① 验证候选值 $x+\sup A$（或 $x\sup A$）是上界；② 用 $\epsilon$ 刻画证明它是最小的。

  注意一个技术细节：源文件在第二条里对给定的 $\epsilon>0$ 取了 $\tfrac{\epsilon}{x}$（因为要乘 $x$ 之后恰好得到 $\epsilon$）。这是标准的 $\epsilon/x$ 技巧（$\epsilon$ 的”缩放”），它保证了结论中的误差正好是 $\epsilon$ 而不是别的常数倍。

• 逐步推导：

  （1）平移。

  1. $A$ 非空或有上界不必要非空：这里只需要上界。由假设 $A$ 有上界，由 LUB 公理 $\sup A\in\mathbb{R}$ 存在。 （依据：LUB 公理。若 $A=\varnothing$，则 $x+A=\varnothing$，$\sup A$ 无定义；源文件的陈述隐含 $A\ne\varnothing$，我们以后假设如此。）
  2. $x+\sup A$ 是 $x+A$ 的上界。 对任意 $a\in A$，由 $\sup A$ 是上界得 $a\le\sup A$；两边加 $x$ 得 \(x+a\le x+\sup A .\) 由于 $x+A$ 中每个元素都形如 $x+a$，故 $x+\sup A$ 是 $x+A$ 的上界。 （依据：$\sup$ 是上界；加法保序；上界定义的验证。）
  3. $x+\sup A$ 是最小上界（用 $\epsilon$ 刻画）。 取任意 $\epsilon>0$。对 $A$ 与 $\sup A$ 应用定理 45 的条件 ②（取同一个 $\epsilon$）：存在 $y\in A$ 使 \(\sup A-\epsilon<y\le\sup A .\) （依据：Theorem 45 $(\Rightarrow)$，条件 ②。）
  4. 整体加 $x$。 \((x+\sup A)-\epsilon<x+y\le x+\sup A .\) （依据：加法保序，三步不等式各加 $x$。）
  5. 注意 $x+y\in x+A$。 于是我们找到了 $x+A$ 中满足”$(\text{候选})-\epsilon<\cdot\le\text{候选}$”的元素，其中候选 $=x+\sup A$。 （依据：$x+A$ 的定义。）
  6. 应用 Theorem 45 $(\Leftarrow)$。 由第 2 步（候选是上界）与第 3–5 步（对任意 $\epsilon>0$ 存在元素落在候选下方 $\epsilon$ 之内），$x+A$ 有上界且 \(\sup(x+A)=x+\sup A .\) （依据：Theorem 45 的充分性方向。）$\blacksquare$ （2）正伸缩。
  7. $x\sup A$ 是 $xA$ 的上界。 对任意 $a\in A$，$a\le\sup A$。因为 $x>0$，两边乘 $x$ 保持不等号方向： \(xa\le x\sup A .\) 由于 $xA$ 的元素形如 $xa$，故 $x\sup A$ 是 $xA$ 的上界。 （依据：$\sup$ 是上界；$x>0$ 时才保持方向；上界定义的验证。）
  8. 用 $\epsilon$ 刻画证最小性。 取任意 $\epsilon>0$。因为 $x>0$，$\dfrac{\epsilon}{x}>0$。对 $A$ 应用 Theorem 45 的条件 ②（取 $\dfrac{\epsilon}{x}$）：存在 $y\in A$ 使 \(\sup A-\frac{\epsilon}{x}<y\le\sup A .\) （依据：Theorem 45；$\epsilon/x>0$ 使我们可以把它当作刻画里的”$\epsilon$”。）
  9. 整体乘 $x>0$。 \(x\sup A-\epsilon<xy\le x\sup A .\) （依据：乘正数保持不等号方向；分配律 $x\cdot\dfrac\epsilon x=\epsilon$。这一步正是取 $\epsilon/x$ 的目的所在：乘完 $x$ 之后误差恰好是 $\epsilon$，而不是 $x\epsilon$。）
  10. 应用 Theorem 45 $(\Leftarrow)$。 由第 7 步与第 8–9 步，$xA$ 有上界且 \(\sup(xA)=x\sup A .\) （依据：Theorem 45 的充分性方向。）$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：这两条的证明骨架完全相同，都是“先证候选是上界，再用 $\epsilon$ 刻画证它最小”。真正值得注意的是它们为什么可以这样机械地做：因为 Theorem 45 把”$\sup$”这件事变成一个可以搬运算的局部条件。

  平移的情形几乎是免费的：$\epsilon$ 在任何地方都不需要调整，因为加 $x$ 不改变任何距离。伸缩的情形就必须调整：$A$ 里的误差 $\delta$ 乘上 $x$ 之后变成 $x\delta$，要想最终误差是 $\epsilon$，就必须一开始让 $\delta=\tfrac\epsilon x$。这个”预先补偿”的思想（想让结果误差是 $\epsilon$，就先取 $\epsilon$ 除以放大倍数）会在 Lecture 6 的三角不等式链、Lecture 13 的 $\epsilon$-$\delta$ 复合函数证明里反复出现。 另外请盯住 $x>0$ 的作用。若 $x<0$，第 7 步的 $xa\le x\sup A$ 会变成 $xa\ge x\sup A$——$x\sup A$ 从”上界”变成”下界”。事实上准确的关系是 \(x<0\ \Longrightarrow\ \sup(xA)=x\inf A ,\) 它的证明需要 $A$ 有下界。所以 $x>0$ 不是一个可以随手放宽的技术条件，它决定了公式的形态。

• 【证明技巧总结】：
  • $\epsilon$ 缩放技巧（$\epsilon/x$ 技巧）：要让”乘 $x$ 后的误差”等于 $\epsilon$，就在上游取 $\epsilon/x$。推广形式：要控 $\sum_{i=1}^n \vert a_i\vert $ 小于 $\epsilon$，就逐个控成 $\epsilon/n$（Lecture 6 的有限三角不等式与后续很多证明都这么用）。
  • Theorem 45 是 $\sup$ 等式的标准证明工具：所有形如”$\sup(F(A))=F(\sup A)$”（$F$ 是保序变换）的命题，都走”上界 + $\epsilon$ 刻画”这两步。
  • 记住公式的同时记住条件：$\sup(x+A)=x+\sup A$ 对一切 $x$ 成立（平移不翻转序）；$\sup(xA)=x\sup A$ 只对 $x>0$ 成立。列公式时条件写在同一行。
• 具体示例：$A=\{1-\tfrac1n\}$，$\sup A=1$。
  • $x=3$：$\sup(3+A)=3+1=4$，验算 $3+A=\{3,3.5,3.667,3.75,\dots\}$ 的上确界确实是 $4$。✓
  • $x=3$：$\sup(3A)=3\cdot1=3$，验算 $3A=\{0,1.5,2,2.25,\dots\}$ 的上确界确实是 $3$。✓
  • $x=-\tfrac12$（反例，展示 $x>0$ 不可去）：$-\tfrac12A=\{0,-0.25,-0.333,\dots\}$，其上确界是 $0$，而 $-\tfrac12\sup A=-0.5\ne0$。✓ 与 $\sup(xA)=x\inf A=(-0.5)\cdot0=0$ 相符。

定理 48（分离定理：$A$ 在 $B$ 左边 $\Rightarrow$ $\sup A\le\inf B$）

• 定理陈述：设 $A,B\subset\mathbb{R}$ 满足 \(\forall x\in A,\ \forall y\in B,\quad x\le y .\) 则 \(\sup A\le\inf B .\) （源文件注明：证明留给读者。这里补全。）

• 证明策略：“任何上界 $\ge$ 任何下界”这一基本直觉的严格化。要点是：固定一个 $y\in B$，由假设它同时是 $A$ 的上界，所以 $\sup A\le y$；再让 $y$ 在 $B$ 中任意，得 $\sup A$ 是 $B$ 的下界，于是 $\sup A\le\inf B$。先固定一个、再量化另一个。

• 逐步推导：

  1. 约定记号。 假设 $A,B$ 都非空（若有一个为空，$\sup$ 或 $\inf$ 无定义），并且 $A$ 有上界、$B$ 有下界（否则 $\sup A$ 或 $\inf B$ 不存在）。于是由 LUB 公理与 Theorem 38，$s:=\sup A$ 与 $t:=\inf B$ 都存在。 （依据：LUB 公理；Theorem 38（下确界存在性）。）
  2. 固定 $y\in B$ 是 $A$ 的上界。 取任意 $y\in B$。由假设，对一切 $x\in A$ 有 $x\le y$。故 $y$ 是 $A$ 的上界。 （依据：定理假设；上界定义的验证。注意这里 $y$ 是通过假设”降格”成 $A$ 的上界的。）
  3. 由 $\sup$ 的最小性得 $s\le y$。 因为 $s=\sup A$ 是 $A$ 的最小上界，而 $y$ 是 $A$ 的上界，故 $s\le y$。 （依据：$\sup$ 定义的条件 B。）
  4. 让 $y$ 跑遍 $B$，得 $s$ 是 $B$ 的下界。 第 2–3 步对任意 $y\in B$ 都成立，故 $\forall y\in B,\ s\le y$，即 $s$ 是 $B$ 的下界。 （依据：下界定义的验证。）
  5. 由 $\inf$ 的最大性得 $s\le t$。 因为 $t=\inf B$ 是 $B$ 的最大下界，而 $s$ 是 $B$ 的下界，故 $s\le t$，即 \(\sup A\le\inf B .\) （依据：$\inf$ 定义的条件 B。）$\blacksquare$

• 【证明机制解说】：这个证明短小，但它示范了一个极其重要的思维次序：面对形如 $\forall x\forall y$ 的假设，先固定一个变量（把 $y$ 当成常数），把它用掉；再让这个变量重新量化（$y$ 跑遍 $B$）。这是数学写作中处理双重量词的通用节奏。如果你一上来就想”对所有 $x$ 和所有 $y$ 同时做点什么”，往往会卡住。

  另一个要点是理解结论的不对称性：定理只断言 $\sup A\le\inf B$，而不断言等号。等号一般不成立：取 $A=\{1-\tfrac1n\}=\{0,0.5,0.667,\dots\}$，$B=\{2,2.5,3\}$，则 $\sup A=1$、$\inf B=2$，$1<2$。“$A$ 完全在 $B$ 左侧”只保证两者之间有缝隙（可能很大），不保证无缝对接。 若要拿到”缝隙为零”，需要额外条件（例如 $A\cup B=\mathbb{R}$，或 $B$ 是 $A$ 的所有上界之集）。

• 【证明技巧总结】：
  • “先固定一个变量，用完再重新量化” 是处理 $\forall\forall$ / $\forall\exists$ 假设的标准节奏。
  • 判定”某数是某集合的下界/上界”时，最省力的路是先证明它 $\le/\ge$ 集合中的每个元素。 这里第 3 步得到的 $\forall y\in B,\ s\le y$ 一句话同时完成了”$s$ 是下界”。
  • 定理 48 是”上界的最小 $\ge$ 下界的最大”这一直觉的严格版。 记住它，后面证明”存在唯一分离点”（如 Dedekind 分割的构造）时会用到。

定理 50（绝对值的基本性质）

• 定理陈述：设 $x,y\in\mathbb{R}$。则

  1) $\vert x\vert \ge0$，并且 $\vert x\vert =0\iff x=0$； 2) $\vert -x\vert =\vert x\vert $； 3) $\vert xy\vert =\vert x\vert \vert y\vert $； 4) $\vert x^2\vert =x^2=\vert x\vert ^2$； 5) $\vert x\vert \le y\iff -y\le x\le y$（此处 $y$ 扮演非负常数）； 6) $x\le\vert x\vert $。

• 证明策略：分情形证明（casework）。绝对值定义本身就是分两支给的，所以关于绝对值的一切命题都天然适合按 $x\ge0$ / $x\le0$（以及 $y$ 的符号）分情况。源文件正是这么做的。第 (5) 条是双向等价，所以每一侧都要分情形；第 (4) 条可以直接引用第 (3) 条（源文件明确写 “Take $x=y$ in 3)”）；第 (6) 条直接由 (5) 取 $y=\vert x\vert $ 得到。

• 逐步推导：

  (1) $\vert x\vert \ge0$ 且 $\vert x\vert =0\iff x=0$。

  • 第一步：证 $\vert x\vert \ge0$。
    • 情形 $x\ge0$：$\vert x\vert =x\ge0$。
    • 情形 $x\le0$：$-x\ge0$，故 $\vert x\vert =-x\ge0$。 （依据：Definition 49 的两个分支；乘 $-1$ 变号。）
  • 第二步：$x=0\Rightarrow\vert x\vert =0$。 若 $x=0$，则 $x\ge0$，故 $\vert x\vert =x=0$。 （依据：Definition 49 第一分支。）
  • 第三步：$\vert x\vert =0\Rightarrow x=0$。
    • 情形 $x\ge0$：$x=\vert x\vert =0$。
    • 情形 $x\le0$：$-x=\vert x\vert =0$，即 $x=0$。 （依据：Definition 49 各分支；$-x=0\Rightarrow x=0$。）
  • 综合得 $\vert x\vert =0\iff x=0$。$\blacksquare$

  (2) $\vert -x\vert =\vert x\vert $。

  • 情形 $x\ge0$：则 $-x\le0$，故 $\vert -x\vert =-(-x)=x$。而 $\vert x\vert =x$。故 $\vert -x\vert =\vert x\vert $。
  • 情形 $x\le0$：则 $-x\ge0$，故 $\vert -x\vert =-x$。而 $\vert x\vert =-x$。故 $\vert -x\vert =\vert x\vert $。 （依据：Definition 49；$-(-x)=x$。）$\blacksquare$

  (3) $\vert xy\vert =\vert x\vert \vert y\vert $。

  • 情形 $x\ge0,\ y\ge0$：$xy\ge0$（有序域性质 ii：正数乘正数为正），故 $\vert xy\vert =xy=\vert x\vert \vert y\vert $。
  • 情形 $x\le0,\ y\le0$：由有序域性质，$(-x)\ge0$ 且 $(-y)\ge0$，故 $(-x)(-y)\ge0$，即 $xy\ge0$，于是 $\vert xy\vert =xy$。另一方面 $\vert x\vert \vert y\vert =(-x)(-y)=xy$。故 $\vert xy\vert =\vert x\vert \vert y\vert $。
  • 情形 $x\ge0,\ y\le0$：则 $-y\ge0$，故 $x(-y)\ge0$，即 $-xy\ge0$，故 $xy\le0$，于是 $\vert xy\vert =-xy$。而 $\vert x\vert \vert y\vert =x(-y)=-xy$。故相等。
  • 情形 $x\le0,\ y\ge0$：完全对称（对第三个情形交换 $x,y$ 并用乘法交换律）。 （依据：Definition 49；有序域性质的乘法符号规则（Lecture 4 Theorem 36）；分配律与交换律。）$\blacksquare$

  (4) $\vert x^2\vert =x^2=\vert x\vert ^2$。

  • 在 (3) 中取 $y:=x$：$\vert x\cdot x\vert =\vert x\vert \vert x\vert $，即 $\vert x^2\vert =\vert x\vert ^2$。
  • 又因为 $x^2\ge0$（平方非负：$x\ge0$ 时由”正乘正为正”，$x\le0$ 时 $x^2=(-x)(-x)$ 亦然），由 Definition 49 第一分支 $\vert x^2\vert =x^2$。
  • 故 $\vert x^2\vert =x^2=\vert x\vert ^2$。$\blacksquare$ （依据：(3) 的特例；平方非负。）

  (5) $\vert x\vert \le y\iff -y\le x\le y$。 分两个方向。 方向一（$\Rightarrow$）：设 $\vert x\vert \le y$，证 $-y\le x\le y$。

  • 先注意 $y\ge0$。 由 (1) $\vert x\vert \ge0$，结合 $\vert x\vert \le y$ 得 $y\ge0$。 （依据：(1)；不等式的传递性。这一步不可省：若 $y<0$，则 $\vert x\vert \le y$ 本身就不可能成立，等价命题也就无从谈起。）
  • 情形 $x\ge0$：$\vert x\vert =x$，故 $x\le y$，即上侧 $x\le y$ 成立。下侧：$-y\le0\le x$（因为 $y\ge0$），故 $-y\le x$。于是 $-y\le x\le y$。
  • 情形 $x\le0$：$\vert x\vert =-x$，故 $-x\le y$。两边乘 $-1$：$x\ge -y$，即下侧 $-y\le x$ 成立。上侧：$x\le0\le y$（因为 $y\ge0$），故 $x\le y$。于是 $-y\le x\le y$。 （依据：Definition 49 分支；(1) 得 $y\ge0$；乘 $-1$ 变号。）$\blacksquare_{\Rightarrow}$

  方向二（$\Leftarrow$）：设 $-y\le x\le y$，证 $\vert x\vert \le y$。

  • 情形 $x\ge0$：$\vert x\vert =x\le y$（用的正是上侧 $x\le y$）。
  • 情形 $x\le0$：$\vert x\vert =-x$。由下侧 $-y\le x$，两边乘 $-1$ 得 $-x\le y$，即 $\vert x\vert \le y$。 （依据：Definition 49 分支；乘 $-1$ 变号。）$\blacksquare_{\Leftarrow}$

  (6) $x\le\vert x\vert $。

  • 在 (5) 中取 $y:=\vert x\vert $。由 (1)，$\vert x\vert \ge0$，所以 $\vert x\vert \le\vert x\vert $ 成立（自反性），于是 (5) 的左边成立，从而右边成立： \(-\vert x\vert \le x\le\vert x\vert .\) 特别地 $x\le\vert x\vert $。$\blacksquare$ （依据：(5)；(1) 保证 $y=\vert x\vert \ge0$ 使 (5) 可用；不等式的自反性。）

• 【证明机制解说】：这一批性质看起来”都是废话”，但源文件特意强调：“这些绝对值性质单独看似乎没什么用，但下一讲我们会证明极其重要的三角不等式。” 这句话点明了它们的真实地位——它们是三角不等式的零件。

  请看 Theorem 50(6) 的证明：它只用了 (5) 取 $y=\vert x\vert $。而 Lecture 6 的三角不等式证明（源文件 Theorem 51）是：

  由 Theorem 50(6)，$x\le\vert x\vert $ 且 $y\le\vert y\vert $，相加得 $x+y\le\vert x\vert +\vert y\vert $； 又对 $-x,-y$ 用 (6)（配合 (2) $\vert -x\vert =\vert x\vert $），得 $-(x+y)=(-x)+(-y)\le\vert x\vert +\vert y\vert $； 于是 $-(\ \vert x\vert +\vert y\vert \ )\le x+y\le\vert x\vert +\vert y\vert $，再由 (5) 的 $\Leftarrow$ 方向（取 $y_{\text{该定理}}:=\vert x\vert +\vert y\vert \ge0$）得 $\vert x+y\vert \le\vert x\vert +\vert y\vert $。 几何图像：$\vert x\vert \le a\iff -a\le x\le a$ 的”盒子”

        \|x\| > a          \|x\| <= a           \|x\| > a
    <-----+---------------+-----------------+----->
        -a                                    a
     x=-7      x=-a ── x=0 ── x=a        x=7
       7>5 ✗     7<=5 ✓   0<=5 ✓   7<=5 ✓   7>5 ✗
                └────── x 被关在 [-a,a] 里 ──────┘
  

  整条三角不等式的证明，只用到 (6)、(2) 和 (5) 这三条零件。 这就是为什么本讲要把 (5) 讲透——它不是一个”显然”的小结论，而是日后每一次”去掉绝对值符号”时使用的唯一合法开关。请把 (5) 记住成一句话：”$\vert x\vert \le y$ 就是把 $x$ 牢牢关在 $[-y,y]$ 这个盒子里”。 另外，(5) 的证明里那个”先注意 $y\ge0$”的步骤值得单独强调。这是 $\Leftrightarrow$ 命题里最容易漏的隐含条件：等价式 $\vert x\vert \le y\iff -y\le x\le y$ 只有在 $y\ge0$ 时才对一般 $y$ 成立。反例：取 $y=-1$、$x=0$，则 $-(-1)\le0\le-1$ 即 $1\le0\le-1$ 是错的，左边 $\vert 0\vert \le-1$ 也是错的（两边都假，等价式这次”碰巧”还对）。但只要取 $y=-1$、$x=5$：左边 $\vert 5\vert \le-1$ 假，右边 $1\le5\le-1$ 也假——等价式在假-假的情形下依然”成立”。真正的问题在于：一般情况下右边的 $-y\le x\le y$ 已经隐含了 $y\ge0$（因为要同时有 $-y\le x$ 和 $x\le y$，相加得 $0\le2y$），所以写作等价式时通常默认 $y\ge0$，或者在陈述中显式写出。 源文件在 Theorem 50(5) 里没有显式写 $y\ge0$，但在证明中隐含使用了它（”$-y\le0$”这一步）。我们把这一点标记出来，是为了让你在引用它时永远记得检查 $y\ge0$。

• 【证明技巧总结】：
  • 绝对值命题一律走分情形（casework），因为定义本身就是两支。源文件 Lecture 3 Remark 17 已经把”分情形”命名为一种证明方法：“若结论在每个情形下都成立，则结论成立。”
  • 用已证的性质去证下一个性质，不要每条都从定义重来。(4) 用 (3)（取 $x=y$），(6) 用 (5)（取 $y=\vert x\vert $）。这条”复用链”让证明量骤减，也非常干净。
  • $\vert x\vert \le y\iff-y\le x\le y$ 是”去绝对值”的唯一开关，务必背到条件反射。 用它时先检查 $y\ge0$。
  • $\epsilon$-语言的翻译词典（本讲起就要开始背）： \(\vert a-b\vert <\epsilon\iff b-\epsilon<a<b+\epsilon ,\) \(\vert a-b\vert \le\epsilon\iff b-\epsilon\le a\le b+\epsilon ,\) 二者都是 (5) 的直接代入（取 $x:=a-b$，$y:=\epsilon$ 或 $y:=\epsilon$ 的 $\le$ 版本）。

• 具体示例与数值验算：

  命题	取的具体值	左边	右边	结果
  (3) $\lvert xy\rvert=\lvert x\rvert\lvert y\rvert$	$x=-3,y=5$	$\lvert-15\rvert=15$	$3\cdot5=15$	✓
  (4) $\lvert x^2\rvert=x^2=\lvert x\rvert^2$	$x=-4$	$\lvert16\rvert=16$	$16=16$	✓
  (5) $\lvert x\rvert\le y$	$x=-3,y=5$	$3\le5$ 真	$-5\le-3\le5$ 真	✓
  (5) 反向	$x=-7,y=5$	$7\le5$ 假	$-5\le-7\le5$ 假	✓（同假）
  (6) $x\le\lvert x\rvert$	$x=-2.5$	$-2.5$	$2.5$	✓

• 反例（展示条件的必要性）：
  • $\vert x\vert \le y\iff-y\le x\le y$ 必须 $y\ge0$。若强行取 $y=-1,x=0$：左边 $\vert 0\vert \le-1$ 假；但注意 $y=-1<0$ 时右边的下侧 $-y=1$，故 $1\le0$ 假——本例两边恰好同假而没暴露问题，可是推导过程本身（”$y\ge0$ 故 $-y\le0\le x$”）已经失效。所以引用 (5) 时请检查 $y\ge0$。
  • $\vert x+y\vert \le\vert x\vert +\vert y\vert $ 不能加强成 $\vert x+y\vert \le\vert x+y\vert $ 之外的任何”分配律”：一般地 $\vert x+y\vert \ne\vert x\vert +\vert y\vert $（取 $x=3,y=-5$：$\vert {-2}\vert =2\ne8$）。三角不等式是不等式，不是等式。

推论 50-A（反向三角不等式，reverse triangle inequality）〔补充：源文件 Lecture 5 未单列此条，它是 [JL] §1.3 Corollary 1.3.3(i)；源文件把三角不等式与它一并放到 Lecture 6 Theorem 51 处理。此处按任务要求提前补全。〕

• 定理陈述：对一切 $x,y\in\mathbb{R}$， \(\bigl\vert \vert x\vert -\vert y\vert \bigr\vert \le\vert x-y\vert .\)
• 证明策略：把”加一项减一项”用到三角不等式上：把 $x$ 写成 $x=(x-y)+y$，对这两项用三角不等式，就得到 $\vert x\vert -\vert y\vert \le\vert x-y\vert $；再把 $x,y$ 互换得到 $\vert y\vert -\vert x\vert \le\vert x-y\vert $；最后用 Theorem 50(5) 把两个单侧不等式合成绝对值不等式。
• 逐步推导：
  1. 加一项减一项：$x=(x-y)+y$。（依据：代数恒等式。）
  2. 对 $(x-y)$ 与 $y$ 用三角不等式（Lecture 6 Theorem 51，或按上面引用的零件自行展开）：$\vert x\vert =\vert (x-y)+y\vert \le\vert x-y\vert +\vert y\vert $。（依据：三角不等式。）
  3. 移项：$\vert x\vert -\vert y\vert \le\vert x-y\vert $。（依据：加法保序。）
  4. 交换 $x,y$ 的角色（第 1–3 步对任意 $x,y$ 都成立）：$\vert y\vert -\vert x\vert \le\vert y-x\vert =\vert x-y\vert $。（依据：第 1–3 步；定理 50(2) $\vert -z\vert =\vert z\vert $。）
  5. 合并：第 3、4 步合起来就是 $-\bigl(\vert x\vert -\vert y\vert \bigr)\le\vert x-y\vert $ 与 $\vert x\vert -\vert y\vert \le\vert x-y\vert $ 同时成立，即 \(-\vert x-y\vert \le\vert x\vert -\vert y\vert \le\vert x-y\vert .\) （依据：第 3、4 步；$-\vert y-x\vert =-\vert x-y\vert $。）
  6. 去掉绝对值：取 $a:=\vert x\vert -\vert y\vert $，$b:=\vert x-y\vert \ge0$，第 5 步正是 $-b\le a\le b$，由 Theorem 50(5) 的 $\Leftarrow$ 方向得 $\vert a\vert \le b$，即 $\bigl\vert \vert x\vert -\vert y\vert \bigr\vert \le\vert x-y\vert $。$\blacksquare$ （依据：Theorem 50(5)；$\vert x-y\vert \ge0$ 由 Theorem 50(1)。）
• 【证明机制解说】：核心动作是“加一项减一项”：$x=(x-y)+y$。这个技巧的作用是把”$x$ 与 $y$ 的差”硬造出来——因为我们要证的不等式右边恰好含 $x-y$，而左边只有 $\vert x\vert ,\vert y\vert $。三角不等式只能处理”和的绝对值”，所以必须先把 $x$ 拆成”（差）$+$（另一个量）”。当你要用三角不等式去估计 $\vert \text{甲}\vert \le\vert \text{甲}-\text{乙}\vert +\vert \text{乙}\vert $ 时，永远是这个套路。
• 【证明技巧总结】：① 要估计两个量的绝对值之差的界，就把两者中的一个拆成”差 + 另一个”；② 得到单侧不等式后交换变量角色，再合成双侧夹逼（Theorem 50(5)）。 这两步会在 Lecture 6 之后反复出现（例如证明极限的差、数列极限的唯一性）。
• 具体数值验算：$x=3,y=-5$：左 $=\bigl\vert 3-5\bigr\vert =2$，右 $=\vert 3-(-5)\vert =8$，$2\le8$ ✓。$x=7,y=2$：左 $=\vert 7-2\vert =5$，右 $=\vert 7-2\vert =5$，$5\le5$ ✓（等号可以成立，此时 $x,y$ 同号且 $\vert x\vert \ge\vert y\vert $）。

推论 50-B（有限和的三角不等式，归纳法）〔补充：[JL] §1.3 Corollary 1.3.6；源文件 Lecture 5 未单列。〕

• 定理陈述：对任意 $n\in\mathbb{N}$ 与任意 $x_1,\dots,x_n\in\mathbb{R}$， \(\vert x_1+x_2+\cdots+x_n\vert \le\vert x_1\vert +\vert x_2\vert +\cdots+\vert x_n\vert .\)
• 证明策略：对 $n$ 用数学归纳法（源文件 Lecture 1 Theorem 6：$\mathbb{N}$ 的良序原理 $\Rightarrow$ 归纳原理）。基例 $n=1$ 是等式；归纳步把 $n+1$ 项拆成”前 $n$ 项之和 $+$ 第 $n+1$ 项”，再用一次两变量三角不等式。
• 逐步推导：
  1. 基例 $n=1$：$\vert x_1\vert \le\vert x_1\vert $，成立（自反性）。（依据：不等式的自反性。）
  2. 归纳假设：设命题对某个 $n\in\mathbb{N}$ 成立，即对任意 $x_1,\dots,x_n$ 有 $\vert \sum_{i=1}^{n}x_i\vert \le\sum_{i=1}^{n}\vert x_i\vert $。（依据：归纳假设。）
  3. 归纳步：取任意 $x_1,\dots,x_{n+1}$，记 $S_n:=\sum_{i=1}^{n}x_i$。则 \(\left\vert \sum_{i=1}^{n+1}x_i\right\vert =\vert S_n+x_{n+1}\vert \le\vert S_n\vert +\vert x_{n+1}\vert .\) （依据：两变量三角不等式（Lecture 6 Theorem 51）。）
  4. 对 $\vert S_n\vert $ 用归纳假设：$\vert S_n\vert \le\sum_{i=1}^{n}\vert x_i\vert $，故 \(\vert S_n\vert +\vert x_{n+1}\vert \le\sum_{i=1}^{n}\vert x_i\vert +\vert x_{n+1}\vert =\sum_{i=1}^{n+1}\vert x_i\vert .\) （依据：归纳假设；加法保序。）
  5. 合并：由第 3、4 步与不等式的传递性，$\vert \sum_{i=1}^{n+1}x_i\vert \le\sum_{i=1}^{n+1}\vert x_i\vert $，命题对 $n+1$ 成立。（依据：传递性。）
  6. 结论：由归纳原理，命题对一切 $n\in\mathbb{N}$ 成立。$\blacksquare$ （依据：Lecture 1 Theorem 6（数学归纳法）。）
• 【证明机制解说】：这是把二元的工具升级成任意有限元工具的标准范式。注意归纳的”落点”：我们不是在归纳一个等式，而是在归纳一个不等式；归纳步里先用三角不等式（一次），再用归纳假设（一次），两次数值上界相加。“先用一次基本不等式把 $n+1$ 拆成 $n$ 和 $1$，再对 $n$ 部分用归纳假设”——这个节奏在 Lecture 6 之后的级数估计、导数乘积法则、Taylor 定理余项估计里会反复出现。
• 【证明技巧总结】：① 二元不等式 $\Rightarrow$ 任意有限元不等式，一律走归纳法，且归纳步写成”前 $n$ 项 $+$ 第 $n+1$ 项”；② 归纳假设要用在”已经能处理的那一块”上，不要重复使用基本不等式。
• 具体数值验算：$x_1=3,x_2=-5,x_3=1$：左 $=\vert 3-5+1\vert =\vert -1\vert =1$，右 $=3+5+1=9$，$1\le9$ ✓。另一个更紧的例子：$x_1=4,x_2=-1,x_3=-2$：左 $=\vert 1\vert =1$，右 $=4+1+2=7$ ✓。

与教材的对应

• 对应 [JL] §1.2 The set of real numbers：核心是 §1.2.1（定理 1.2.1：存在唯一具有 LUB 性质的有序域 $\mathbb{R}$，含 $\mathbb{Q}$）、§1.2.2 Archimedean property（本讲 Theorem 43(i) 的教材版本，Lebl 在那里给出的是”$\forall x\in\mathbb{R}\ \exists n\in\mathbb{N},\ n>x$”及其推论）、§1.2.3 Using supremum and infimum（教材提出”$\epsilon$ 刻画”式的使用技巧，对应本讲 Theorem 45）。教材 Proposition 1.2.2（”若 $\forall\epsilon>0$ 有 $x\le\epsilon$，则 $x\le0$”）也是本讲”用任意小量击落候选界”的核心工具，虽然源文件没有单列编号，但它的精神（取 $\epsilon=\tfrac x2$ 反证）与 Theorem 44 完全一致。
• 对应 [JL] §1.3 Absolute value and bounded functions：对应本讲 Definition 49 与 Theorem 50。教材 Proposition 1.3.1 的六条与本讲 Theorem 50 的六条逐条对应（顺序完全一致）；教材 Corollary 1.3.3 的第 (i) 条就是反向三角不等式，与本讲”补充”的推论对应（源文件把它放在 Lecture 6 Theorem 51 之后处理）。教材还给出 Proposition 1.3.5（$\vert x-y\vert $ 表示距离）与 Corollary 1.3.6（有限和的三角不等式），后者对应本讲最后的归纳法推论。
• 对应 [JL] §1.5 Decimal representation of the reals：本讲源文件本身没有涉及小数表示（那是 Lecture 6 的 Definition 55 与 Theorem 56–57 的地盘）。但 §1.5 的十进小数构造本质上依赖本讲的两条武器：用阿基米德性质选取位数、用 $\sup$ 定义无穷小数（源文件 Lecture 6 的 Definition 55 就是 $x=\sup\{10^{-1}d_{-1}+\cdots+10^{-n}d_{-n}\}$）。所以这张 reading map 把 §1.5 挂在 Lecture 5 的头上，是为了让你提前知道”稠密性 $\Rightarrow$ 可以无限细分”。请把它理解为预告，而不是本讲内容。
• 对应 [JL] §2.1 Sequences and limits：同理，本讲只在推论 43(i)-A 里预告了 $1/n\to0$，正式的 $\epsilon$-$N$ 定义（源文件 Lecture 6 Definition 60 及后续）是下一讲的内容。
• 对应 OCW Assignment 3 第 1 题：“Suppose $x,y\in\mathbb{R}$ and $x<y$. Prove that there exists $i\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ such that $x<i<y$.” —— 练的是无理数稠密性（本讲推论 43(ii)-A），同时训练”用已知稠密性 + 平移/伸缩 + 验证目标数非有理”的组合拳。
• 对应 OCW Assignment 3 第 4 题：“Let $A$ be a subset of $\mathbb{R}$ which is bounded above, and let $a_0$ be an upper bound for $A$. Prove that $a_0=\sup A$ if and only if for every $\epsilon>0$, there exists $a\in A$ such that $a_0-\epsilon<a$.” —— 这正是本讲 Theorem 45 的完整证明练习（源文件把它的证明”left as an exercise in Assignment 3”）。注意题目只要求下侧 $a_0-\epsilon<a$，上侧 $a_0\le a$ 由”$a_0$ 是上界”免费补上。
• 对应 OCW Assignment 3 第 5 题：“(a) Let $a,b\in\mathbb{R}$ with $a<b$. Prove that the sets $(-\infty,a)$, $(a,b)$, and $(b,\infty)$ are open.”（开集定义：$\forall x\in U\ \exists\epsilon>0$ 使 $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset U$。）—— 练的是用 $\epsilon$/半径的显式计算 + 绝对值的区间翻译：证明 $(-\infty,a)$ 开，就是给定 $x<a$ 取 $\epsilon=a-x>0$，说明 $\vert y-x\vert <\epsilon\Rightarrow y<x+\epsilon=a$；证明 $(a,b)$ 开，就是取 $\epsilon=\min\{x-a,\ b-x\}>0$。这两个 $\epsilon$ 的取法分别是”到单侧端点的距离”与”到最近端点的距离”，是 Assignment 3 里最需要的手法，其合法性来自本讲 Theorem 50(5)。
• 对应 OCW Assignment 3 第 5 题 (d)：“Is the set of rationals $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ open?” —— 答案是不是，而理由恰恰是本讲的两个结论的组合：任取 $x\in\mathbb{Q}$ 与任意 $\epsilon>0$，由无理数稠密性（推论 43(ii)-A）在 $(x,x+\epsilon)$ 中存在无理数 $i$，于是 $i\in(x-\epsilon,x+\epsilon)$ 但 $i\notin\mathbb{Q}$，故 $(x-\epsilon,x+\epsilon)\not\subset\mathbb{Q}$。这题是”稠密性直接产生拓扑结论”的第一个例子。
• 对应 OCW Assignment 2 第 7 题：“Let $E=\{x\in\mathbb{R}:x>0\text{ and }x^3<2\}$. (a) Prove that $E$ is bounded above. (b) Let $r=\sup E$ (which exists by part (a)). Prove that $r>0$ and $r^3=2$.”（Hint: Adapt the proof used in Example 1.2.3.）—— 这道题是 Lecture 4 Theorem 40（$\sqrt2$ 情形）的三次方版本，技术上是”取 $\sup$ 再用 $\epsilon$ 刻画造出更好/更差的元素”的直接演练，与本讲 Theorem 44 的证明结构同源；源文件 Lecture 4 Remark 41 明确点名了它。它练的是：用 LUB 造出代数方程的解，并用 $\sup$ 的最小性排除两种不等式情形。
• 对应 期中/期末：Midterm 第 2 题考察开集/闭集的否定与序列刻画（用到本讲 $\epsilon$ 语言与稠密性的混合推理）；Final 的连续性否定题同样依赖”$\vert x-c\vert <\delta$”的翻译（本讲 Theorem 50(5)）。本讲不直接对应某道期中/期末原题，但所有 $\epsilon$-$\delta$ 题的语法零件都出自这里。

与其他讲次的关联

• 依赖 Lecture 3（LUB 性质的引入）：本讲 Theorem 43(i) 的整个反证结构就是”假设有上界 $\to$ 取 $\sup$ $\to$ 用最小性造元素 $\to$ 矛盾”。没有 Lecture 3 Definition 26（LUB 性质）与 Definition 24（上/下界、$\sup$/$\inf$ 定义），本讲第 3 步就无法落笔。同时 Lecture 3 Theorem 28（$\mathbb{Q}$ 无 LUB）是本讲”为什么 $\mathbb{Q}$ 里某些论证会失败”的对照物。
• 依赖 Lecture 4（域与有序域的公理、$\mathbb{R}$ 的刻画）：本讲所有代数变形（加法保序、乘法保序、乘负数变号、除法保序、平方非负、分配律）全部来自有序域公理（源文件 Lecture 4 Definition 30/33 与 Theorem 35、36）。Theorem 50(3) 的分情形证明逐句引用”正 $\times$ 正 $=$ 正”（Lecture 4 Definition 33(ii)）和 Theorem 36。另外 $\sqrt2$ 的存在性与非有理性（Lecture 4 Theorem 40）是无理数稠密性推论的直接输入。
• 依赖 Lecture 1（良序原理与归纳法）：Theorem 43(ii) 第 2–3 步取”$S=\{k\in\mathbb{N}:k>nx\}$ 的最小元 $m$”用的正是良序性质（源文件 Lecture 1 Axiom 5：[JL] §0.3）；而 $\mathbb{N}$ 对 $+1$ 封闭（Theorem 43(i) 第 6 步）与后续”有限和的三角不等式 $\Rightarrow$ 归纳法”都回到 Lecture 1 的 Theorem 6（数学归纳法）。
• 为 Lecture 6 铺路（本讲的直接下游）：① 阿基米德性质是 $1/n\to0$（严格 $\epsilon$-$N$ 证明）的唯一依据；② 本讲 Theorem 45 的 $\epsilon$ 刻画是 Lecture 6 证明”$\sup$ 是某集合的极限”的桥梁；③ 本讲的 Theorem 50 是 Lecture 6 Theorem 51（三角不等式）的直接零件——三角不等式只用到 (6)、(2)、(5) 三条；④ 本讲的无理数稠密性与 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ 不可数（Assignment 3）联手给出”$\mathbb{R}$ 中有大量非有理数”。
• 为 Lecture 7–10 铺路：单调有界定理（Lecture 7）的证明要取 $\sup$ 并用 Theorem 45 证明它是极限；Bolzano–Weierstrass（Lecture 9）要对有界序列反复使用阿基米德性质做二分；Cauchy 完备性（Lecture 10）与 $\mathbb{R}$ 的构造（Cauchy 序列等价类）都要用 Archimedes 性质把”$\epsilon$”换成”$1/n$”（因为 $1/n\to0$ 使得用自然数指标描述”任意小”成为可能）。这条链条的源头就是本讲。
• 为 Lecture 13–17 铺路：所有 $\epsilon$-$\delta$ 极限与连续性定义中”$\vert f(x)-L\vert <\epsilon$”、”$\vert x-c\vert <\delta$”的展开与合并，用的都是 Theorem 50(5) 与 Lecture 6 的三角不等式。开集定义（Assignment 3 第 5 题、Lecture 16 附近的拓扑讨论）中的 $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ 也直接来自本讲的绝对值语言。

关键要点

1. 阿基米德性质（Theorem 43(i)）及其三张面孔：对 $x>0,y\in\mathbb{R}$，$\exists n\in\mathbb{N},\ nx>y$；等价地，$\forall\epsilon>0\ \exists n\in\mathbb{N},\ \tfrac1n<\epsilon$；特别地 $\mathbb{N}$ 在 $\mathbb{R}$ 中无上界。它的证明是”反证 + LUB“：假设 $\mathbb{N}$ 有上界 $\Rightarrow a=\sup\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $a-1$ 不是上界 $\Rightarrow\exists m\in\mathbb{N},\ m>a-1$ $\Rightarrow m+1>a$ 而 $m+1\in\mathbb{N}$，矛盾。
2. 有理数稠密性（Theorem 43(ii)）：$x<y\Rightarrow\exists r\in\mathbb{Q},\ x<r<y$。构造法是选步长 + 选格点：取 $n$ 使 $\tfrac1n<y-x$，取 $m=\min\{k\in\mathbb{N}:k>nx\}$（良序原理保证存在），则 $m-1\le nx<m$ 且 $m\le nx+1<ny$，故 $x<\tfrac mn<y$。同法（平移 $\sqrt2$）给出无理数稠密性。 记忆口诀：稠密性 $=$ 阿基米德选步长 $+$ 良序选格点。
3. $\sup$ 的 $\epsilon$ 刻画（Theorem 45）：对非空有上界的 $S$， \(x=\sup S\iff \bigl(x\text{ 是 }S\text{ 的上界}\bigr)\ \text{且}\ \bigl(\forall\epsilon>0\ \exists y\in S,\ x-\epsilon<y\le x\bigr).\) 这是使用 $\sup$ 的默认形式；几何意义是”$x$ 左侧任意近处都还站着 $S$ 的元素”。对偶地，$x=\inf S\iff x$ 是下界且 $\forall\epsilon>0\ \exists y\in S,\ x\le y<x+\epsilon$。
4. $\sup$ 与代数运算交换（Theorem 47）：$\sup(x+A)=x+\sup A$（对一切 $x$）；$\sup(xA)=x\sup A$（仅当 $x>0$，因为乘负数翻转序）。证明的统一套路是”候选是上界 $+$ $\epsilon$ 刻画证最小”，其中伸缩情形要用 $\epsilon/x$ 技巧预先补偿缩放。
5. 绝对值的两条黄金法则（Theorem 50(5)(6) 与 Lecture 6 Theorem 51）： \(\|x\|\le y\iff -y\le x\le y\quad(y\ge0),\qquad x\le\|x\|,\qquad \|x+y\|\le\|x\|+\|y\| .\) 三角不等式的证明只依赖 (6)、(2)（$\vert -x\vert =\vert x\vert $）与 (5)：先得 $x+y\le\vert x\vert +\vert y\vert $ 与 $-(x+y)\le\vert x\vert +\vert y\vert $，再用 (5) 的 $\Leftarrow$ 方向把双侧夹逼翻译回 $\vert x+y\vert \le\vert x\vert +\vert y\vert $。每次你要”去掉绝对值符号”，用的就是 (5)。

常见误区与注意事项

1. 错误做法：把”$a$ 是上界”直接当成”$a=\sup A$”。 为什么错：$\sup$ 要求的是最小上界，而”是上界”只是一个必要条件。$2$ 是 $\{1-\tfrac1n\}$ 的上界，但 $\sup=1\ne2$。 正确做法：证 $\sup$ 必须写两条——① 是上界；② 不比任何上界大（或用 Theorem 45 的 $\epsilon$ 刻画）。源文件 Theorem 44 的证明是标准范例：第 1 步证上界，第 2 步用阿基米德性质击落一切 $x<1$。

2. 错误做法：在 Theorem 43(i) 的证明里写”$\mathbb{N}$ 有上界，取 $a=\sup\mathbb{N}$”，然后忘记检查”$\mathbb{N}$ 非空”。 为什么错：LUB 公理的前提是”非空且有上界”，漏掉任一条公理就不能用。此外更隐蔽的错误是：证到中途自己忘了这是反设，在矛盾出现后仍然继续”推下去”。 正确做法：明确写出”由 $1\in\mathbb{N}$ 知 $\mathbb{N}\ne\varnothing$，由反设知有上界，故由 LUB 公理 $\sup\mathbb{N}$ 存在”，并在得到矛盾时立即宣布反设不成立。另外，注意源文件在结尾写的是”$\exists n$ 使得 $n\ge \tfrac yx$”，严格说由反证得到的是 $n>\tfrac yx$（因为反设是”$\forall n,\ n\le y/x$”）。两种写法在结论强度上没有差别（$n>y/x$ 更强），但你要知道自己在证哪一个。

3. 错误做法：稠密性证明里用”取 $n$ 很大使 $\tfrac1n<y-x$”时不验证 $y-x>0$。 为什么错：阿基米德性质要求被超越的量是正数。如果 $y-x<0$（即 $x>y$），题目前提已经失败，$\tfrac1n<y-x$ 永不可能；而 $y-x=0$ 时也永不可能。所以 $x<y$ 这个前提不是装饰，它是让第一步合法的开关。 正确做法：先写”由 $x<y$ 得 $y-x>0$”，再引用阿基米德性质。同理，在推论 43(ii)-A 里要先验证 $i=q+\sqrt2$ 确实不是有理数（用”有理 $+$ 无理 $=$ 无理”的反证），不能想当然。

4. 错误做法：把 $N$（或 $n$）写成不依赖 $\epsilon$ 的常数，或者让它依赖 $n$ 自己。 为什么错：$\epsilon$-结构中 $\epsilon$ 是先给的，$N$ 必须由 $\epsilon$ 决定（”$N$ 依赖 $\epsilon$”是合法的、也是必需的）；而 “$N$ 依赖 $n$” 是致命循环——你还没选 $n$ 就先定了 $N$，逻辑上不成立。 正确做法：永远按”给定任意 $\epsilon>0$ $\to$ 构造 $N=N(\epsilon)$ $\to$ 验证 $\forall n\ge N$ 成立”的顺序写；在计算题里把 $N=\left\lfloor\tfrac1\epsilon\right\rfloor+1$ 这类显式表达式写出来（例如 $\epsilon=0.001\Rightarrow N=1001$）。注意 $\epsilon=0.001$ 时 $N=1000$ 是错的，因为 $\tfrac1{1000}=0.001$ 不严格小于 $0.001$。

5. 错误做法：把 $\vert x\vert \le y\iff-y\le x\le y$ 里的 $y$ 当成任意实数使用，或只写半边。 为什么错：① 这个等价式隐含需要 $y\ge0$（证明中显式用到）；② 只保留一边（例如只写 $x\le y$）会得到错误结论：$x=-100,y=1$ 满足 $x\le y$ 但 $\vert x\vert \not\le y$。只有双侧夹逼才与绝对值等价。 正确做法：用 (5) 时先确认右端的 $y\ge0$（通常它就是 $\epsilon$ 或 $\vert x\vert +\vert y\vert $ 这类被证明非负的量），并且两边都写出来。特别地，由 (5) 得到的 $\vert x\vert \le a\iff x\le a$ 且 $-x\le a$ 这一拆成两半的用法，是 Lecture 6 三角不等式证明里真正使用的形式。

思考题（带答案）

Q1.（用阿基米德性质做具体计算） 设 $x=0.0001$。

(a) 求出满足 $nx>1$ 的最小自然数 $n$，并验证。 (b) 取 $\epsilon=0.001$，求出满足 $\tfrac1n<\epsilon$ 的最小自然数 $n$，并验证 $\tfrac1n$ 的实际值。 (c) 有人声称 $\dfrac{1}{n}<0.0001$ 对 $n=10000$ 成立，请判断真假并改正。 (d) 用 (a) 的结果说明：对 $x=0.0001$，阿基米德性质给出的”超越 $y=1$”的自然数存在。

Q2.（证明 $\sup$ 的 $\epsilon$ 刻画，即 OCW Assignment 3 第 4 题） 设 $A\subset\mathbb{R}$ 有上界，$a_0$ 是 $A$ 的一个上界。证明 \(a_0=\sup A\iff \forall\epsilon>0\ \exists a\in A\ \text{s.t.}\ a_0-\epsilon<a .\)

Q3.（证明稠密性，并比较三种证明思路） 设 $x,y\in\mathbb{R}$，$x<y$。证明存在 $q\in\mathbb{Q}$ 使 $x<q<y$。要求写出完整的构造与验证，并说明如果 $x,y$ 都是有理数，能否取 $q$ 为两者中点。