Lecture 22: The Fundamental Theorem of Calculus, Integration by Parts, and Change of Variable Formula（微积分基本定理、分部积分与换元公式）

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Lecture 22: The Fundamental Theorem of Calculus, Integration by Parts, and Change of Variable Formula（微积分基本定理、分部积分与换元公式）

概述

Lecture 20 定义了分割 (partition)、标签 (tag)、带标签分割 (tagged partition) 与黎曼和 (Riemann sum)；Lecture 21 证明了本课程最重的技术定理之一 Theorem 235（Riemann Integral）：若 $f\in C([a,b])$，则存在唯一实数 $\int_a^b f$，使得对任意满足 $\vert x^{(r)}\vert \to 0$ 的带标签分割序列都有 $S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})\to\int_a^b f$，并顺带给出了线性性 (Theorem 245)。但是到 Lecture 21 结束为止，我们只会用黎曼和”从定义出发”算积分——那是一条极其笨重的路。

本讲回答的问题正是：能不能不回到黎曼和，就直接算出积分？以及微分与积分之间到底是什么关系？ 答案是三个定理：

1. Theorem 246（可加性, additivity） 与 Theorem 247 / 248（上下界估计与不等式）：把 Lecture 21 的线性性扩充成一套”积分的代数与序运算规则”；
2. Theorem 250（微积分基本定理, Fundamental Theorem of Calculus, FTC）：本讲的高潮，它说积分与微分互为逆运算：一方面”先积分再求导”回到原来的函数（变上限积分是原函数），另一方面”先求导再积分”可以用端点值算出差分（$\int_a^b f=F(b)-F(a)$）；
3. Theorem 252（分部积分, integration by parts, IBP） 与 Theorem 256（换元公式, change of variables）：把微分学里的乘积法则与链式法则“翻译”成积分语言，由此得到两个把陌生积分变成已知积分的机械工具。本讲还用 IBP 证明了 Lemma 254（Riemann–Lebesgue 引理），它是 Lecture 23–25 讨论 Fourier 系数与傅里叶级数收敛性的第一个关键工具。

一句话概括：本讲把”积分”从一个只能靠黎曼和逼近的定义对象，变成一个可以像代数一样运算、并且与导数自由往返的对象。

核心定义与直观解释

（一）预备：必须随身携带的三个记号（回顾 Lecture 20–21）

在讲本讲的新内容之前，先把”语言”固定下来。下面三个都是 Lecture 20–21 已经给出的官方定义，此处只是复述以方便对照。

• 落点回顾 1（Definition 230–231, 233，Lecture 20）：$[a,b]$ 的一个分割是有限集合 \(x=\{a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\},\qquad \vert x\vert :=\max\{x_1-x_0,\dots,x_n-x_{n-1}\};\) 一个标签是 $\xi=\{\xi_1,\dots,\xi_n\}$ 满足 $x_{k-1}\le\xi_k\le x_k$；对应的黎曼和是 \(S_f(x,\xi):=\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(x_k-x_{k-1}).\)
• 落点回顾 2（Theorem 235, Lecture 21）：$f\in C([a,b])$ 时 $\int_a^b f$ 存在且唯一，并且只要 $\vert x^{(r)}\vert \to0$，就一定 $S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})\to\int_a^b f$。这条”任意序列都可”的性质是本讲反复使用的引擎：要证关于 $\int_a^b f$ 的命题，只需任取一列 $\vert x^{(r)}\vert \to0$ 的带标签分割，证明黎曼和序列满足该命题，再取极限。
• 落点回顾 3（Theorem 245, Lecture 245 记号／线性性）：$f,g\in C([a,b])$，$\alpha\in\mathbb R$，则 $\int_a^b(\alpha f+g)=\alpha\int_a^b f+\int_a^b g$。它的证明方式（对黎曼和逐项用 $\lim$ 的代数运算）就是本讲 Theorem 246–248 证明的模板。

（二）补充定义：原函数 (antiderivative) 与 $C^1$

• 严格定义（补充定义）：设 $f:I\to\mathbb R$，$I$ 是区间。若存在 $F:I\to\mathbb R$ 使得 $F$ 在 $I$ 上可导且 \(\forall x\in I,\quad F^{\prime}(x)=f(x),\) 则称 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的一个原函数 (antiderivative)。进一步，若 $f$ 在 $I$ 上可导且 $f^{\prime}$ 在 $I$ 上连续，则记 $f\in C^1(I)$，并说 $f$ 是连续可导的 (continuously differentiable)。
• 直观解释（”它到底在说什么？”）：微分是一个”求瞬时变化率”的动作，它把一个函数变得”更粗糙”（例如把 $x^2$ 变成 $2x$）；原函数则是把这个动作倒过来——问”什么样的函数求导之后会得到 $f$？”这是逆运算的语言。$C^1$ 的意思更朴素：”导数存在，而且还连续”，它排除了 Lecture 19 里那种”可导但导数跳来跳去”的病态情形。
• 为什么需要 $C^1$ 这个条件？ 因为 Theorem 252（IBP）与 Theorem 256（换元）都要把 $(fg)’$、$(F\circ\varphi)’$ 当作连续函数去积分——而”连续函数可积”正是 Lecture 21 的 Theorem 235 给的。若只假设 $f,g$ 可导，$(fg)’=f^{\prime}g+fg^{\prime}$ 可能不连续，Lecture 21 的积分存在定理就用不上，整个证明链条会断。这就是源文件在 Theorem 252 里不但要求 $f,g\in C([a,b])$，还要额外要求 $f^{\prime},g^{\prime}\in C([a,b])$ 的原因。
• 具体示例：$F(x)=\frac{x^3}{3}$ 是 $f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上的原函数，因为 $F^{\prime}(x)=\frac{3x^2}{3}=x^2$。而 $F(x)=\frac{x^3}{3}+2026$ 也是，因为常数的导数是 $0$。$F(x)=\ln x$ 是 $f(x)=1/x$ 在 $(0,\infty)$ 上的原函数。$F(x)=\sin x$ 是 $f(x)=\cos x$ 的原函数。
• 反例（原函数不一定存在！）：可导函数的导数未必Riemann 可积，更未必有原函数。最经典的例子是 \(f(x)=\begin{cases}x^2\sin(1/x),&x\ne0,\\ 0,&x=0,\end{cases}\qquad f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x\sin(1/x)-\cos(1/x),&x\ne0,\\0,&x=0,\end{cases}\) $f$ 在 $\mathbb R$ 上可导（这正是 Final Assignment 第 4(b) 题要证的），但 $f^{\prime}$ 在 $0$ 处不连续、在 $0$ 附近无界，因而不属于 $C([-1,1])$。所以”$f$ 有原函数”绝不是免费的；本讲 Theorem 250 的第 2 条将告诉我们一个惊人的正面结论：只要 $f$ 连续，原函数就一定存在（取 $G(x)=\int_a^x f$ 即可）。这一点是本讲最有价值的副产品。
• 另一个反例（原函数存在也不唯一）：若 $F$ 是 $f$ 的原函数，则对任意常数 $C$，$F+C$ 也是。由 Lecture 19 的 Theorem 220（$F^{\prime}=G^{\prime}=0$ 蕴含 $F-G$ 是常数），这两个原函数恰好相差一个常数——也就是说，在相差常数的意义下原函数是唯一的。

（三）补充定义：变上限积分函数（累积函数, accumulation function）

• 严格定义（补充定义）：设 $f\in C([a,b])$。对 $x\in[a,b]$，由 Lecture 21 的 Theorem 235，$\int_a^x f$ 有意义。定义 \(G:[a,b]\to\mathbb R,\qquad G(x):=\int_a^x f.\) 称 $G$ 为 $f$ 的变上限积分函数（从基点 $a$ 出发的累积函数）。源文件 Theorem 250 第 2 条正是关于它的定理。
• 直观解释（”它到底在说什么？”）：把 $f$ 想成一条”水流速度曲线”，$G(x)$ 就是”从时刻 $a$ 到时刻 $x$，一共流过了多少水”。$G$ 是累积量：$x$ 每往右挪一点，$G$ 就多累积一小条面积 $f(x)\,\mathrm dx$。所以”$G$ 的变化率”应该恰好等于”当前的水流速度” $f(x)$——这不是巧合，而是几乎由定义就能猜到的：$(G(x+h)-G(x))/h$ 就是”这一段新增面积除以底边宽度”，当 $h\to0$ 时它当然应该趋于那一处的高度 $f(x)$。本讲的 Theorem 250 第 2 条就是把这句话写成 $\epsilon$-$\delta$。
• 为什么需要”$f$ 连续”这个条件？ 因为 $f$ 在 $c$ 处连续才能保证”$t$ 靠近 $c$ 时 $f(t)$ 靠近 $f(c)$”，从而把 $\frac{1}{x-c}\int_c^x f(t)\,\mathrm dt$ 从”某个平均值”挤到 $f(c)$ 上。如果 $f$ 在 $c$ 处只是可积而不连续，结论会失效：取 $f(x)=-1\ (x<0)$、$f(x)=1\ (x\ge0)$，则 $G(x)=\int_0^x f=\vert x\vert $，它在 $0$ 处不可导。反过来，$f$ 在 $c$ 处不连续而 $G$ 在 $c$ 处仍可导也是可能的：取 $g(0)=1$、$g(x)=0\ (x\ne0)$，则 $G(x)=\int_0^x g\equiv0$，$G^{\prime}(0)=0=g$ 的”连续值”，但 $g$ 在 $0$ 不连续。所以”$G$ 可导”与”$f$ 连续”并不是等价的——Theorem 250 第 2 条只给出充分条件。（这两个例子出自教材 [JL] §5.3.2 的讨论。）
• 具体示例：取 $f(t)=t^2$、$a=0$。则 $G(x)=\int_0^x t^2\,\mathrm dt=\frac{x^3}{3}$（这要用本讲的 FTC，见下文应用实例 1）。数一下：$G(1)=\frac13\approx0.3333$、$G(2)=\frac83\approx2.6667$；$G(2)-G(1)=\frac73\approx2.3333$，而 $\int_1^2 t^2\,\mathrm dt=\frac83-\frac13=\frac73$——这正是可加性（Theorem 246）的一个具体体现。
• 反例（$\frac{1}{x-c}\int_c^x f$ 未必趋于 $f(c)$）：取上面那个跳跃函数 $f$，$c=0$，则当 $x>0$ 时 $\frac1x\int_0^x f=\frac1x\cdot x=1$，当 $x<0$ 时 $\frac1x\int_0^x f=\frac1x\cdot(-1)(-x)\cdot(-1)=1$……精确地算：$x<0$ 时 $\int_0^x f=\int_0^x(-1)\mathrm dt=(-1)(x-0)=-x$，故 $\frac{1}{x}\int_0^x f=\frac{-x}{x}=-1$。于是左侧极限为 $1$、右侧极限为 $-1$，极限不存在，$G^{\prime}(0)$ 不存在。这就是”平均值收敛到某点函数值”这件事真的需要连续性的最直接证据。

（四）源文件 Remark 249：两条积分约定 (conventions)

• 严格陈述（源文件 Remark 249）：以下两条约定值得记录：
  1. $\displaystyle\int_a^a f:=0$。这与我们已有的定义与定理一致，因为 $\lim_{b\to a}\left\vert \int_a^b f\right\vert =0$。
  2. $\displaystyle\int_a^b f=-\int_b^a f$。
• 直观解释（”它到底在说什么？”）：黎曼和 $\sum f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$ 里每一项都带着”区间长度”，而长度是有向的：从 $a$ 走到 $b$ 是 $b-a$，从 $b$ 走回 $a$ 就是 $a-b$。约定 2 正是把这句话写下来：交换上下限，积分变号，这相当于”沿数轴反着走一遍”。约定 1 则是约定 2 的自然退化：$a$ 到 $a$ 没有长度，积分自然是 $0$（而且把 $b=a$ 代入约定 2 会得到 $\int_a^a f=-\int_a^a f$，强迫它等于 $0$，自洽）。
• 为什么需要这两条约定？ 因为没有它们，本讲几乎所有公式都得写成”分 $x>c$ 与 $x<c$ 两段讨论”的丑陋形式。有了约定 2，Theorem 246（可加性）对 $a,b,c$ 的任意次序都成立（见下文”区间方向的一般化”），Theorem 250 第 2 条的差商 $\frac{\int_a^x f-\int_a^c f}{x-c}$ 无论 $x>c$ 还是 $x<c$ 都能统一写成 $\frac{\int_c^x f}{x-c}$，Theorem 256（换元）也不必担心 $\varphi$ 会不会把方向弄反。
• 具体示例：$\int_1^0 x^2\,\mathrm dx=-\int_0^1 x^2\,\mathrm dx=-\frac13$；$\int_2^2 x^2\,\mathrm dx=0$；由可加性（Theorem 246）与约定 2，$\int_0^2 f=\int_0^1 f+\int_1^2 f$ 以及 $\int_0^2 f=\int_0^3 f+\int_3^2 f=\int_0^3 f-\int_2^3 f$，即 $\int_0^3 f=\int_0^2 f+\int_2^3 f$——可以自由地”拆”或”接”区间。
• 反例（约定用错的典型）：把 $\int_a^a f:=0$ 误读成”$\int_a^a f$ 无意义”或”$\int_a^a f=f(a)$”都会立刻出问题。前者会让 Theorem 250 第 2 条中的 $G(a)=0$ 无从谈起；后者更是荒谬：取 $f\equiv 5$，则 $\int_a^a f=0\ne5=f(a)$。记住：积分是面积（有向长度 × 高度），不是函数值。

（五）源文件 Definition 255：Fourier 系数 (Fourier coefficients)

• 严格定义（源文件 Definition 255）：设 $f\in C([-\pi,\pi])$ 且 $f^{\prime}\in C([-\pi,\pi])$，$f$ 是 $2\pi$-周期函数且 $f(-\pi)=f(\pi)$。对 $n\in\mathbb N\cup\{0\}$，令 \(a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,\mathrm dx,\qquad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\mathrm dx .\) 则称 $a_n,b_n$ 为 $f$ 的 Fourier 系数。（源文件在 Lemma 254 中先定义这两个量、再证明它们趋于 $0$，随后用 Definition 255 给它们命名。）
• 直观解释（”它到底在说什么？”）：$a_n,b_n$ 度量的是”函数 $f$ 中含有多少频率为 $n$ 的正弦波、余弦波成分”。类比一束白光通过棱镜被分解成单色光：$b_n$ 是”分配到 $\cos(nx)$ 这个颜色上的能量”，$a_n$ 是”分配到 $\sin(nx)$ 上的能量”。$1/\pi$ 这个归一化因子来自正交性 $\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(nx)\,\mathrm dx=\pi$，它使得”如果 $f(x)=\cos(nx)$ 本身，那么 $b_n=1$，其余系数为 $0$”（这一段的正交性 Lecture 23–25 会正式展开）。
• 为什么需要”$2\pi$-周期且 $f(-\pi)=f(\pi)$”这个条件？ 因为”频率”只有在周期函数上才有意义；而 $f(-\pi)=f(\pi)$ 保证 $f$ 在拼接点不跳，从而让 Lemma 254 的证明里出现的边界项 $f(\pi)\sin(n\pi)-f(-\pi)\sin(-n\pi)$ 能干净地消失（事实上 $\sin(n\pi)=\sin(-n\pi)=0$ 已经让它消失，但周期性与端点匹配是”把 $[-\pi,\pi]$ 上的积分看成整个周期上的积分”的合法性来源）。
• 为什么还需要 $f^{\prime}\in C([-\pi,\pi])$？ 因为 Lemma 254 的证明要分部积分，而 IBP（Theorem 252）要求被积的两个因子都连续可导。这就是本讲最典型的”定理的条件由证明方法倒推出来”的例子：你想用哪个工具，就得付那个工具的入场费。
• 具体示例（把定义走一遍）：取最简单的非常数 $2\pi$-周期函数 $f(x)=x$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上（在端点外按 $f(x+2\pi)=f(x)$ 延拓；注意它在拼接点 $\pm\pi$ 处跳，因此严格说来它不满足 Lemma 254 的端点条件——但作为一个”算系数”的练习它足够清楚，且它属于教材 [JL] §5.3 的 IBP 练习范围）。计算：
  • $b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\,\mathrm dx=0$，因为 $x\cos(nx)$ 是奇函数，由 [JL] Exercise 5.3.10（奇函数在对称区间上的积分为 $0$），或用 $u=-x$ 换元；
  • $a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)\,\mathrm dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$。取 $n=1$：$a_1=2$；$n=2$：$a_2=-1$；$n=3$：$a_3=\frac23\approx0.6667$；$n=100$：$a_{100}=-0.02$。用脚本数值验证：

$ python3 - <<'EOF'
import math
def simpson(f,a,b,n=200000):
    if n%2: n+=1
    h=(b-a)/n; s=f(a)+f(b)
    for i in range(1,n): s+=(4 if i%2 else 2)*f(a+i*h)
    return s*h/3
for n in (1,2,3,100):
    an=simpson(lambda x:x*math.sin(n*x),-math.pi,math.pi)/math.pi
    bn=simpson(lambda x:x*math.cos(n*x),-math.pi,math.pi)/math.pi
    print(f"n={n:3d}  a_n={an: .6f}  (公式 2(-1)^(n+1)/n = {2*(-1)**(n+1)/n: .6f})   b_n={bn: .3e}")
EOF
n=  1  a_n= 2.000000  (公式 2(-1)^(n+1)/n =  2.000000)   b_n= 2.604e-16
n=  2  a_n=-1.000000  (公式 2(-1)^(n+1)/n = -1.000000)   b_n=-1.025e-15
n=  3  a_n= 0.666667  (公式 2(-1)^(n+1)/n =  0.666667)   b_n= 8.532e-16
n=100  a_n=-0.020000  (公式 2(-1)^(n+1)/n = -0.020000)   b_n=-7.149e-16

数值与公式到小数点后 6 位完全一致，且 $b_n$ 数值上是 $10^{-16}$ 量级的”机器零”，明显趋于 $0$；这就是 Lemma 254 的一个可触摸的实例。

• 反例（不满足条件时结论可以失败）：Lemma 254 断言 $a_n,b_n\to0$。若不要求 $f$ 的周期性与端点匹配，把它换成 Dirichlet 型的高频振荡函数，系数的衰减可以任意糟糕；若允许 $f$ 是广义函数（如 Dirac 测度），系数根本不趋于 $0$。更贴近本课的对照是：$f(x)=x$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上不满足 $f(-\pi)=f(\pi)$（$-\pi\ne\pi$），我们算出 $a_n=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\to0$ 依然成立——这说明端点条件在这类光滑情形下不是本质必需的，它只是保证 IBP 的边界项写法统一；换言之，条件比结论”强”，这正是数学里常见的情形：够用的假设往往写得比必要的更整齐。

定理与完整证明（核心）

定理 246（Additivity，可加性）

• 定理陈述（源文件 Theorem 246）：若 $f\in C([a,b])$ 且 $a<c<b$，则 \(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f .\)
• 证明策略：这是一个”用定义证明”的定理，同时也是一个”用唯一性偷懒”的定理。Lecture 21 的 Theorem 235 不但说 $\int_a^b f$ 存在，还断言任何满足 $\vert x^{(r)}\vert \to0$ 的带标签分割序列都收敛到同一个数。既然如此，我们根本不需要去研究”$[a,b]$ 的一般分割”，只要挑一列方便的分割来验证结论即可。挑什么？——先取 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 各自的带标签分割序列，再把它们首尾拼接成 $[a,b]$ 的分割。拼接后 $c$ 一定是分割点，黎曼和自动分裂成两段。这就是全证明的骨架。
• 逐步推导：
  1. 由 $[a,c]$ 上的连续性定理（Lecture 21, Theorem 235 应用于 $f\vert {[a,c]}$，它是 $[a,c]$ 上的连续函数），取一列 $[a,c]$ 的带标签分割 $\{(y^{(r)},\zeta^{(r)})\}{r=1}^{\infty}$，使得 \(\vert y^{(r)}\vert \longrightarrow 0\qquad(r\to\infty).\) （依据：$\vert y^{(r)}\vert \to0$ 的序列显然存在——例如把 $[a,c]$ 均分成 $r$ 段。）
  2. 同理取一列 $[c,b]$ 的带标签分割 $\{(z^{(r)},\eta^{(r)})\}_{r=1}^{\infty}$，使得 \(\vert z^{(r)}\vert \longrightarrow 0\qquad(r\to\infty).\)
  3. 现在定义（源文件中用记号的并）： \(x^{(r)}:=y^{(r)}\cup z^{(r)},\qquad \xi^{(r)}:=\zeta^{(r)}\cup\eta^{(r)} .\) 由于 $y^{(r)}$ 是 $a=x_0<x_1<\cdots<x_m=c$ 而 $z^{(r)}$ 是 $c=z_0<z_1<\cdots<z_\ell=b$，二者的并 $x^{(r)}$ 正是 $a=x_0<\cdots<x_m=c=z_0<z_1<\cdots<z_\ell=b$，确实构成 $[a,b]$ 的一个分割（依据：分割的定义，Definition 230；关键是 $c$ 既是前者的右端点又是后者的左端点，合并后 $c$ 是分割点，不会重复也无需插入）。同理，$\zeta^{(r)}\cup\eta^{(r)}$ 是把两段标签依次排好得到的、属于 $x^{(r)}$ 的标签（依据：标签的定义，Definition 231）。
  4. 估计范数： \(\vert x^{(r)}\vert \le\vert y^{(r)}\vert +\vert z^{(r)}\vert \longrightarrow 0\qquad(r\to\infty).\) （依据：$x^{(r)}$ 的每一段的长度或者等于某个 $y^{(r)}$ 的段长（$\le\vert y^{(r)}\vert $），或者等于某个 $z^{(r)}$ 的段长（$\le\vert z^{(r)}\vert $），故最大值不超过两者之和；再用 Lecture 8 的极限加法（Theorem 89）与 $\vert y^{(r)}\vert \to0,\vert z^{(r)}\vert \to0$。）注意源文件写的是 $\le$ 而非 $=$，因为两段的范数一般不同。
  5. 于是 $\{x^{(r)}\}$ 是一列满足 $\vert x^{(r)}\vert \to0$ 的 $[a,b]$ 的带标签分割。对任意这样的序列，Lecture 21 的 Theorem 235 都给出 $S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})\to\int_a^b f$。特别地，对我们的这一列有 \(\int_a^b f=\lim_{r\to\infty}S_f(x^{(r)},\xi^{(r)}) .\) （依据：Theorem 235 中”对所有这样的序列都收敛到 $\int_a^b f$”这一全称断言。）
  6. 把黎曼和拆开。因为 $x^{(r)}$ 的第 $1,\dots,m$ 段正好铺满 $[a,c]$、第 $m+1,\dots,m+\ell$ 段正好铺满 $[c,b]$，而对应的标签也逐段匹配，所以 \(S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})=\sum_{k=1}^{m}f(\zeta_k^{(r)})(y_k^{(r)}-y_{k-1}^{(r)})+\sum_{j=1}^{\ell}f(\eta_j^{(r)})(z_j^{(r)}-z_{j-1}^{(r)})=S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})+S_f(z^{(r)},\eta^{(r)}) .\) （依据：黎曼和的定义 Definition 233 + 有限和的分组结合律；这一步纯粹是”把同一串加法从中间断开”，没有任何分析内容。）
  7. 对 $r\to\infty$ 取极限： \(\int_a^b f=\lim_{r\to\infty}\Bigl(S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})+S_f(z^{(r)},\eta^{(r)})\Bigr)=\lim_{r\to\infty}S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})+\lim_{r\to\infty}S_f(z^{(r)},\eta^{(r)})=\int_a^c f+\int_c^b f .\) （依据：Lecture 8 的 Theorem 89 第 1 条（极限的和等于和极限），再对两个序列分别使用 Theorem 235。）$\blacksquare$
• 【证明机制解说】 这个证明最值得记住的一点是：我们从来没有处理过”$c$ 不是分割点”的情形，而且我们压根不需要处理。原因是 Theorem 235 的陈述是”对所有 $\vert x^{(r)}\vert \to0$ 的序列”，这等于给了我们自由选择分割的权利。学生常有的困惑是：”万一题目给的分割不把 $c$ 当作分点怎么办？”标准答案是取公共加细：若 $(x^{(r)},\xi^{(r)})$ 是任意一列 $[a,b]$ 的分割而 $c\notin x^{(r)}$，就把 $c$ 插进去得到更细的分割（这叫 $x^{(r)}$ 的加细/refinement，Definition 241），此时范数不增（$\vert x^{\prime}\vert \le\vert x\vert $，因为只是把一段切成了两段），仍然趋于 $0$，并且黎曼和的变化量被 Lecture 21 的 Theorem II（Theorem 240） 控制住： \(\left\vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\right\vert \le w_f(\vert x\vert )(b-a)\xrightarrow[\vert x\vert \to0]{}0\) （依据：Theorem 240 与 Theorem 239（$w_f(\eta)\to0$，即一致连续性））。所以”假设 $c$ 是分割点”完全是合法的——这正是一个”取公共加细”的论证。源文件选择的是”从两个较小的区间拼接出 $c$ 为分点的分割”，本质相同而更省笔墨：因为 $\int_a^b f$ 不依赖于分割的选择，所以为了证明一个关于 $\int_a^b f$ 的等式，我们有权只挑最方便的那类分割来算。 这种”用全称量词换自由”的手法，是本课程从 Lecture 21 起就反复使用的核心武器。
• 【证明技巧总结】
  1. “选一列好算的对象”模式：要证 $A=B$，而 $A$ 被定义为”所有逼近序列的公共极限”，那就挑一列使等式可见的序列。
  2. “拼分割 / 加细”模式：把大区间的分割与小区间的分割对齐，永远是先做公共加细，再谈黎曼和。
  3. “用范数的次加性”模式：合并两个分割后 $\vert x\vert \le\vert y\vert +\vert z\vert $（源文件明确写了这条不等式），这是把 $\vert y\vert \to0$、$\vert z\vert \to0$ 升级成 $\vert x\vert \to0$ 的唯一桥梁。
  4. “分裂黎曼和”模式：$\sum_{k=1}^{m+\ell}=\sum_{k=1}^{m}+\sum_{k=m+1}^{m+\ell}$，纯代数，但却是整个证明的”落地”时刻。
• 区间方向的一般化（补充，用于 Theorem 250 与 Theorem 256）：借助源文件 Remark 249 的两条约定，Theorem 246 可以推广到 $a,b,c$ 任意次序： \(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\qquad\text{对任意 }a,b,c\in\mathbb R\text{ 成立}.\) 验证（把三种情形逐一化归到 $a<c<b$ 的情形）：
  • 若 $c$ 在 $a,b$ 之间，就是 Theorem 246 本身；
  • 若 $b<c$，则 $a<b<c$，对区间 $[a,c]$ 与分点 $b$ 用 Theorem 246：$\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f$，移项并用 Remark 249 之 2（$\int_c^b f=-\int_b^c f$）得 $\int_a^b f=\int_a^c f-\int_b^c f=\int_a^c f+\int_c^b f$；
  • 若 $c<a$，则 $c<a<b$，对 $[c,b]$ 与分点 $a$ 用 Theorem 246：$\int_c^b f=\int_c^a f+\int_a^b f$，再用 Remark 249 之 2 把 $\int_c^a f$ 改写成 $-\int_a^c f$，移项即得。

  这个一般化形式正是后面 FTC 第 2 条证明中 \(\frac{F(x)-F(c)}{x-c}=\frac{\int_a^x f-\int_a^c f}{x-c}=\frac{\int_c^x f}{x-c}\) 这一步的合法依据：无论 $x>c$ 还是 $x<c$，$\int_a^x f-\int_a^c f$ 都等于 $\int_c^x f$，所以我们不必分两种情形写两遍证明。

定理 247（上下界估计）

• 定理陈述（源文件 Theorem 247）：设 $f\in C([a,b])$，且 \(m_f=\inf\{f(x)\mid x\in[a,b]\}\in\mathbb R,\qquad M_f=\sup\{f(x)\mid x\in[a,b]\}\in\mathbb R .\) 则 \(m_f\,(b-a)\le\int_a^b f\le M_f\,(b-a).\)
• 证明策略：黎曼和是若干个”高 $\times$ 宽”的矩形面积之和。每个高 $f(\xi_k)$ 都夹在 $m_f$ 与 $M_f$ 之间，而所有宽之和 $\sum_k(x_k-x_{k-1})$ 恰好是 $b-a$（望远镜求和）。于是黎曼和被夹在 $m_f(b-a)$ 与 $M_f(b-a)$ 之间，对每一个 $r$ 都成立，因此取极限后不等式保持（Lecture 8 的 Theorem 87：不等式的极限仍是不等式）。这个证明的核心只有两步：逐项夹住 + 宽度总和为 $b-a$。
• 逐步推导：
  1. 取一列带标签分割 $\{(x^{(r)},\xi^{(r)})\}_{r}$ 使 $\vert x^{(r)}\vert \to0$（依据：这样的序列存在；也可直接取均匀分割）。
  2. 下界：对每个 $r$，由 $m_f$ 是下确界（Definition，Lecture 4 的 infimum 定义，存在性来自 Theorem 38 的 greatest lower bound property），有 $\forall k,\ f(\xi_k^{(r)})\ge m_f$。因为每一段的长度 $x_k^{(r)}-x_{k-1}^{(r)}\ge0$（依据：分割点的递增性 $x_{k-1}<x_k$），可以对每一项乘上非负长度而不改变不等号方向： \(S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})=\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k^{(r)})(x_k^{(r)}-x_{k-1}^{(r)})\ge\sum_{k=1}^{n}m_f\,(x_k^{(r)}-x_{k-1}^{(r)})=m_f\sum_{k=1}^{n}(x_k^{(r)}-x_{k-1}^{(r)})=m_f(b-a).\) （依据：乘法保序（$m_f\le f(\xi_k)$ 且长度 $\ge0$）；最后一步是望远镜求和 $\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=x_n-x_0=b-a$。）
  3. 上界：完全对称地，由 $M_f$ 是上确界得 $\forall k,\ f(\xi_k^{(r)})\le M_f$，故 \(S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})\le M_f(b-a).\) （依据：同上，只是不等号反向。）
  4. 合并：对所有 $r$， \(m_f(b-a)\le S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})\le M_f(b-a).\) （依据：步骤 2 与 3 合起来。）
  5. 取极限：由 Lecture 21 的 Theorem 235，$S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})\to\int_a^b f$。对不等式 $m_f(b-a)\le S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})$ 用 Lecture 8 的 Theorem 87 第 1 条（若 $\forall n,\ x_n\le y_n$ 且两者都收敛，则 $\lim x_n\le\lim y_n$），取左边常数列 $x_n\equiv m_f(b-a)$，得 \(m_f(b-a)\le\int_a^b f .\) 同理对右侧用 Theorem 87 第 2 条（常数列 $a\le x_n\le b$ 蕴含 $a\le\lim x_n\le b$），得 \(\int_a^b f\le M_f(b-a).\) （依据：Theorem 87；注意必须先知道两个极限都存在才可用。这里左右两端都是常数，当然收敛。）$\blacksquare$
• 【证明机制解说】 为什么源文件用 $\inf$ / $\sup$ 而不是 $\min$ / $\max$？其实对 $f\in C([a,b])$，Lecture 16 的 Theorem 182（Min-Max Theorem / EVT） 保证 $f$ 在 $[a,b]$ 上取到最大最小值，因此这里 $m_f=\min f$、$M_f=\max f$ 都取得到。但源文件刻意只写 $\inf/\sup$，理由是这个证明从头到尾只用到了”$m_f$ 是下界、$M_f$ 是上界”，根本没有用到”取到”这件事。写成 $\inf/\sup$ 让定理的适用范围更宽（对任何有界函数都成立），也让读者看清这个证明真正的引擎是”每个标签处被夹住”，而不是”最值取得到”。——这是本课程反复出现的写作风格：定理的条件应当恰好够用，不多不少。 另一个值得注意的点是：因为不等式对每个 $r$ 成立，所以取极限时不需要 $\epsilon$ 论证，只需要 Lecture 8 的保序极限定理。学生若试图用 $\epsilon$-$\delta$ 硬做，会写出很长的计算却抓不到重点。
• 【证明技巧总结】
  1. “逐项夹逼”模式：要夹住一个和，先夹住每一项，再对和用不等式的加法。
  2. “望远镜”模式：$\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=b-a$，这是积分理论里出现频率最高的恒等式（本讲的 FTC、换元、可加性证明里都会出现）。
  3. “不等式取极限”模式：$\forall r\ (A_r\le B_r)$ 且两者收敛 $\Rightarrow\lim A_r\le\lim B_r$（Lecture 8, Theorem 87）。注意这只能得到 $\le$，不能得到 $<$（例如 $1/n>0$ 但极限为 $0$）——这正是 Theorem 247 里不等号非严格的原因。

定理 248（积分的不等式：单调性与三角不等式）

• 定理陈述（源文件 Theorem 248）：设 $f\in C([a,b])$、$g\in C([a,b])$。
  1. 若 $\forall x\in[a,b],\ f(x)\le g(x)$，则 $\displaystyle\int_a^b f\le\int_a^b g$。
  2. （积分三角不等式，Triangle Inequality for integrals）$\displaystyle\left\vert \int_a^b f\right\vert \le\int_a^b\vert f\vert $。
• 证明策略：
  • 第 1 条与 Theorem 247 是同一个套路的推广：把”每一项被同一个常数夹住”升级为”每一项被另一个可变函数夹住”，即逐项比较 $f(\xi_j^{(r)})\le g(\xi_j^{(r)})$，再乘上非负长度、求和、取极限。
  • 第 2 条是”把第 1 条用两次”的漂亮操作：因为对每个 $x$ 都有 $-\vert f(x)\vert \le f(x)\le\vert f(x)\vert $，把第 1 条分别用于 $(-\vert f\vert ,f)$ 与 $(f,\vert f\vert )$ 这两对函数，得到 $\pm\int_a^b f\le\int_a^b\vert f\vert $，而”$\pm c\le K$”等价于”$\vert c\vert \le K$”。
• 逐步推导：
  1. 第 1 条：取一列带标签分割 $\{(x^{(r)},\xi^{(r)})\}r$，$\vert x^{(r)}\vert \to0$（依据：存在性）。对每个固定的 $r$ 与每个 $j=1,\dots,n(r)$：由假设 $f(\xi_j^{(r)})\le g(\xi_j^{(r)})$，且 $x_j^{(r)}-x{j-1}^{(r)}>0$（依据：分割定义 $x_{j-1}<x_j$），故 \(f(\xi_j^{(r)})(x_j^{(r)}-x_{j-1}^{(r)})\le g(\xi_j^{(r)})(x_j^{(r)}-x_{j-1}^{(r)}) .\) （依据：乘法保序。）对 $j$ 求和（有限个不等式相加仍是不等式）： \(S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})=\sum_{j=1}^{n}f(\xi_j^{(r)})(x_j^{(r)}-x_{j-1}^{(r)})\le\sum_{j=1}^{n}g(\xi_j^{(r)})(x_j^{(r)}-x_{j-1}^{(r)})=S_g(x^{(r)},\xi^{(r)}) .\) （依据：黎曼和定义 Definition 233。）最后令 $r\to\infty$：左边 $\to\int_a^b f$、右边 $\to\int_a^b g$（依据：Theorem 235），再由 Lecture 8 的 Theorem 87 保序得 \(\int_a^b f\le\int_a^b g .\)
  2. 第 2 条：对每个 $x\in[a,b]$，由绝对值的定义有 \(-\vert f(x)\vert \le f(x)\le\vert f(x)\vert .\) （依据：若 $f(x)\ge0$ 则 $\vert f(x)\vert =f(x)$，左右两式分别化为 $-f(x)\le f(x)$ 与 $f(x)\le f(x)$，前者因为 $f(x)\ge0$ 成立；若 $f(x)<0$ 则 $\vert f(x)\vert =-f(x)$，两式化为 $f(x)\le f(x)$ 与 $f(x)\le-f(x)$，后者因为 $f(x)<0$ 成立。）
  3. 由 $\vert f\vert \in C([a,b])$（依据：$f$ 连续、$\vert \cdot\vert $ 连续、连续函数的复合连续，Lecture 15 的复合连续性）与 $f\in C([a,b])$，可以对函数对 $(-\vert f\vert ,\,f)$ 用第 1 条，得 \(-\int_a^b\vert f\vert =\int_a^b(-\vert f\vert )\le\int_a^b f .\) （依据：第 1 条 + Lecture 21 的 Theorem 245 线性性中的 $\alpha=-1$ 情形。）
  4. 再对函数对 $(f,\,\vert f\vert )$ 用第 1 条，得 \(\int_a^b f\le\int_a^b\vert f\vert .\) （依据：第 1 条。）
  5. 合并步骤 3、4：$-\int_a^b\vert f\vert \le\int_a^b f\le\int_a^b\vert f\vert $，这正是 $\vert c\vert \le K$ 的定义形式（取 $c=\int_a^b f$，$K=\int_a^b\vert f\vert $），故 \(\left\vert \int_a^b f\right\vert \le\int_a^b\vert f\vert .\) （依据：实数的绝对值刻画：$\vert c\vert \le K\iff -K\le c\le K$，其中 $K\ge0$。）$\blacksquare$
• 【证明机制解说】 第 2 条的”灵光一现”在于：三角不等式不是单独证明的，而是第 1 条的一个推论。要证 $\vert A\vert \le B$，标准姿势是”分别证 $A\le B$ 与 $-A\le B$”，而这两条都是”函数逐点比较 $\Rightarrow$ 积分比较”的实例。这个”把绝对值不等式化归为两条无绝对值的不等式”的技巧，是分析里出现频率最高的动作之一（Lecture 8 证 $\vert x_n\vert \to\vert x\vert $、Lecture 21 证 $x_n/y_n$ 有下界都用了它）。 还有一件事值得点明：Theorem 248 的第 1 条是积分理论中所有”估计”的总源头。本讲的 Theorem 247 是它的特例（取 $g\equiv M_f$、$f\equiv m_f$），Lemma 254 的证明要靠它，Assignment 12 第 1(a) 题的”零积分定理”也要靠它。如果把本讲所有的”$\le$”都抽走，这门课会立刻塌掉一半。
• 【证明技巧总结】
  1. “逐点比较 $\Rightarrow$ 积分比较”：这是积分的单调性，它与线性性（Theorem 245）合称积分的两大代数公理。
  2. ”$\vert A\vert \le B$ 拆成两条”：把绝对值不等式降级为两条有序不等式。
  3. “用 $-f$ 把下界变成上界”：$\pm$ 号处理是线性性最常用的形态。
  4. 取极限时只能得 $\le$（Lecture 8, Theorem 87），这是本讲所有不等式定理都写成非严格不等号的原因。
• 由 Theorem 247 立即得到的常用推论（补充）：若 $f\in C([a,b])$ 且 $\vert f(x)\vert \le M$ 对一切 $x$ 成立（$M\ge0$），则 \(\left\vert \int_a^b f\right\vert \le\int_a^b\vert f\vert \le\int_a^b M=M(b-a).\) 第一条不等号来自 Theorem 248 之 2，第二条来自 Theorem 248 之 1（对 $\vert f\vert $ 与常函数 $M$ 使用），第三条来自 Theorem 247（常函数的积分）或 Theorem 245。这条”$\vert \int f\vert \le M(b-a)$”是后面所有估计（包括 Lemma 254、Sturm–Liouville 题、Assignment 11 第 5 题的黎曼和估计）里最常被引用的式子，请务必记牢。

定理 250（Fundamental Theorem of Calculus，微积分基本定理）

• 定理陈述（源文件 Theorem 250）：设 $f\in C([a,b])$。
  1. 若 $F:[a,b]\to\mathbb R$ 可导且 $F^{\prime}=f$，则 \(\int_a^b f=F(b)-F(a).\)
  2. 函数 $\displaystyle G(x):=\int_a^x f$ 在 $[a,b]$ 上可导，并且 \(G^{\prime}=f,\qquad G(a)=0 .\)

• 备注（源文件 Remark 251）：我们有时把微积分基本定理缩写成 FTC。

  【先讲清楚两个方向】 源文件的编号顺序是”先第 1 条（端点差分），后第 2 条（变上限求导）”，这与许多教材相反，但逻辑上的实质是一样的：FTC 是两个互逆的陈述。用一张 ASCII 图把这条”双向箭头”画出来（教材 [JL] §5.3 开篇的比喻是”棱镜把光分解，FTC 把积分与导数连接”）：

                       微分  d/dx
        ┌──────────────────────────────────────────┐
        │                                          │
        │        f  ──────────────►  f'            │  微分：把函数变"锐利"
        │                                          │
        │                                          │
        │        f  ◄──────────────  F             │  积分：把函数变"平滑"
        │                                          │
        └──────────────────────────────────────────┘
                       积分  ∫_a^x  (取 F(x)=∫_a^x f)

  ┌────────────────────────── FTC 的两个方向 ──────────────────────────┐
  │                                                                    │
  │  方向 ①（Theorem 250 第 2 条，"先积后导"）                          │
  │                                                                    │
  │         f  ──[ 积分，基点 a ]──►  G(x)=∫_a^x f  ──[ 求导 ]──►  f   │
  │                                                                    │
  │      结论：G' = f        （连续函数必有原函数！G 就是一个原函数）    │
  │                                                                    │
  │  方向 ②（Theorem 250 第 1 条，"先导后积"）                          │
  │                                                                    │
  │         F  ──[ 求导 ]──►  f = F'  ──[ 积分，区间 [a,b] ]──► F(b)−F(a)│
  │                                                                    │
  │      结论：∫_a^b F' = F(b) − F(a)   （Newton–Leibniz 公式）          │
  │                                                                    │
  └────────────────────────────────────────────────────────────────────┘

   一句话：积分与微分在"相差常数 / 相差基点"的意义下互为逆运算。

图中左右两条路合起来，说的就是：”求导再积分“与”积分再求导“都回到出发点——这就是”互逆”的确切含义。区别只在于：方向 ① 回到的是同一个函数 $f$；方向 ② 回到的是端点的函数值之差 $F(b)-F(a)$，因为积分会把”常数信息”丢掉（$F$ 与 $F+C$ 有同样的导数），所以只能恢复到”相差一个常数”的程度，而”取差分”恰好把那个未知常数消掉。

• 【前半部分：第 1 条的证明（分割 + MVT + 望远镜求和）】 这是源文件采用的路线，也是最贴近定义、最能看清”MVT 为什么不可或缺”的路线。
• 证明策略（第 1 条）：我们手上唯一的”算积分”工具是黎曼和。所以要证 $\int_a^b f=F(b)-F(a)$，就必须造出一个黎曼和序列，使它恰好等于 $F(b)-F(a)$。怎么造？在每个子区间 $[x_{j-1},x_j]$ 上用 MVT（Lecture 19, Theorem 218）：因为 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可导，所以在每个子区间上存在 $c_j\in(x_{j-1},x_j)$ 使 \(F(x_j)-F(x_{j-1})=F^{\prime}(c_j)(x_j-x_{j-1})=f(c_j)(x_j-x_{j-1}) .\) 把 $c_j$ 当作标签 $\xi_j$，右边正是黎曼和的第 $j$ 项！于是 $\sum_j\bigl(F(x_j)-F(x_{j-1})\bigr)$ 既等于黎曼和、又由望远镜等于 $F(b)-F(a)$。最后让分割的范数趋于 $0$，黎曼和趋于积分，等式得证。注意这条路线不需要”原函数相差常数”这个引理，也不需要 Theorem 250 的第 2 条——它是完全独立的一条证明。
• 逐步推导（第 1 条）：
  1. 取一列分割 $\{x^{(r)}\}_{r=1}^\infty$（不带标签，因为标签要由 MVT 现场生成）使得 $\vert x^{(r)}\vert \to0$（依据：例如 $[a,b]$ 的 $r$ 等分分割，其范数 $(b-a)/r\to0$）。记其分点为 \(a=x_0^{(r)}<x_1^{(r)}<\cdots<x_{n(r)}^{(r)}=b .\)
  2. 对每个 $r$ 与每个 $j\in\{1,\dots,n(r)\}$：把 $F$ 限制在 $[x_{j-1}^{(r)},x_j^{(r)}]$ 上。由假设 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可导，故 $F$ 在该子区间上连续、在其内部可导。于是由 MVT（Lecture 19, Theorem 218），存在 \(\xi_j^{(r)}\in\bigl[x_{j-1}^{(r)},x_j^{(r)}\bigr]\) 使得 \(F\bigl(x_j^{(r)}\bigr)-F\bigl(x_{j-1}^{(r)}\bigr)=F^{\prime}\bigl(\xi_j^{(r)}\bigr)\bigl(x_j^{(r)}-x_{j-1}^{(r)}\bigr)=f\bigl(\xi_j^{(r)}\bigr)\bigl(x_j^{(r)}-x_{j-1}^{(r)}\bigr) .\) （依据：MVT；末一步用了假设 $F^{\prime}=f$。）这一步是全证明的心脏：它把”$F$ 的增量”翻译成”$f$ 在某个点的高度乘以宽度”，即”翻译成一块矩形面积”。
  3. 由步骤 1 的分割与步骤 2 得到的点列定义 $\xi^{(r)}:=\{\xi_1^{(r)},\dots,\xi_{n(r)}^{(r)}\}$。由于每个 $\xi_j^{(r)}\in[x_{j-1}^{(r)},x_j^{(r)}]$，这确实是该分割的一个标签，$(x^{(r)},\xi^{(r)})$ 是 $[a,b]$ 的一个带标签分割（依据：标签定义 Definition 231）。
  4. 把步骤 2 的等式对 $j=1,\dots,n(r)$ 求和： \(\sum_{j=1}^{n(r)}\Bigl[F\bigl(x_j^{(r)}\bigr)-F\bigl(x_{j-1}^{(r)}\bigr)\Bigr]=\sum_{j=1}^{n(r)}f\bigl(\xi_j^{(r)}\bigr)\bigl(x_j^{(r)}-x_{j-1}^{(r)}\bigr)=S_f\bigl(x^{(r)},\xi^{(r)}\bigr) .\) （依据：黎曼和定义 Definition 233；等式左边是对应项相加。）
  5. 望远镜求和：左边的每一项都形如 $A_j-A_{j-1}$（取 $A_j=F(x_j^{(r)})$），相邻项两两相消： \(\sum_{j=1}^{n(r)}\Bigl[F\bigl(x_j^{(r)}\bigr)-F\bigl(x_{j-1}^{(r)}\bigr)\Bigr]=F\bigl(x_{n(r)}^{(r)}\bigr)-F\bigl(x_0^{(r)}\bigr)=F(b)-F(a).\) （依据：有限和的望远镜恒等式；再用 $x_{n(r)}^{(r)}=b$、$x_0^{(r)}=a$。）
  6. 合并步骤 4、5：对每一个 $r$， \(S_f\bigl(x^{(r)},\xi^{(r)}\bigr)=F(b)-F(a)\qquad\text{（一个与 }r\text{ 无关的常数！）}\) （依据：步骤 4 与 5 是同一个量的两种写法。）
  7. 由 Lecture 21 的 Theorem 235（$\vert x^{(r)}\vert \to0$ 且 $f\in C([a,b])$，故黎曼和收敛到积分）： \(\int_a^b f=\lim_{r\to\infty}S_f\bigl(x^{(r)},\xi^{(r)}\bigr)=\lim_{r\to\infty}\bigl(F(b)-F(a)\bigr)=F(b)-F(a).\) （依据：Theorem 235；常数列的极限是自己。）$\blacksquare$
• 【证明机制解说】
  • 为什么 MVT 不可或缺？ 试想：如果没有 MVT，我们能从”$F(b)-F(a)$”得到什么？只有一个未知的差值。MVT 的作用是把这个差值在每一个小区间上”局部化”：$F(x_j)-F(x_{j-1})=f(\xi_j)\Delta x_j$。也就是说，MVT 把”整体差分”变成了”逐段的面积”，从而架起了 $F$（微分侧）与 $f$（积分侧）之间的桥。整条主线是：

    LUB（Lecture 4）$\to$ 单调有界收敛（Lecture 7）$\to$ Rolle/MVT（Lecture 19）$\to$ FTC（Lecture 22）$\to$ 全部积分计算。 本课程到此为止的整座积分大厦，最终都压在这条链条上。第 1 条之所以要求 $F$ 可导（而不是”几乎处处可导”），就是因为 MVT 需要它在每个子区间内部可导。教材 [JL] Exercise 5.3.3 的推广（允许 $S$ 是有限个不可导点）仍然要用到”分区间 + MVT”，只是需要额外控制那几个小段。

  • 源文件没有走”两个原函数相差常数”的路线，而是走了”分割 + MVT + 望远镜”。两条路线的差别值得说清：
    • 源文件路线（本讲）：直接、初等、只用定义与 MVT，不需要先证第 2 条。它把”$\int_a^b f^{\prime}=f(b)-f(a)$”这个等式的机械性暴露无遗——积分只是把这些小矩形加起来，而 MVT 保证这些小矩形恰好拼成 $F(b)-F(a)$。
    • 另一条路线（本节末尾作为”补充证明 2”给出）：先用第 2 条造出原函数 $G(x)=\int_a^x f$，再用 Lecture 19 的 Theorem 220（两个导数相同的函数相差常数）说明 $F-G$ 是常数，最后代入端点。它的好处是第 2 条一旦建立，第 1 条就变得几乎免费，而且它把”原函数在相差常数意义下唯一”这个结构性事实摆在台面上。 两条路线都正确；本讲的正式路线以源文件为准。
• 【证明技巧总结】
  1. “用 MVT 造标签”：当需要证明”某黎曼和的极限等于某给定值”时，可以用 MVT 把给定的差分表达式反译成黎曼和。这是本讲最值得偷走的技巧。
  2. “望远镜求和”：$\sum(F(x_j)-F(x_{j-1}))=F(b)-F(a)$，与 Theorem 247 里 $\sum(x_j-x_{j-1})=b-a$ 是同一个动作。
  3. “常数数列”：若黎曼和序列恒等于同一个常数，那么极限就是那个常数——连 $\epsilon$ 都不用写。这是本证明显得”轻”的原因。
  4. “先挑好算的分割”：与 Theorem 246 同款；Theorem 235 的全称性再次被当作”选择自由”使用。
• 【后半部分：第 2 条的证明（差商 + 可加性 + 连续性）】 这是”变上限积分求导”的部分，也是把 $\epsilon$-$\delta$ 真正用出来的地方。
• 证明策略（第 2 条）：要证 $G^{\prime}(c)=f(c)$，直接算差商： \(\frac{G(x)-G(c)}{x-c}=\frac{\int_a^x f-\int_a^c f}{x-c}\overset{\text{可加性}}{=}\frac{\int_c^x f}{x-c}.\) 于是问题变成：证明”$f$ 在 $[c,x]$ 上的平均值”趋于”$f$ 在 $c$ 处的值”。因为 $f$ 在 $c$ 处连续，$\epsilon$-$\delta$ 给了我们一个 $\delta_0$，使得 $\vert t-c\vert <\delta_0$ 时 $\vert f(t)-f(c)\vert <\epsilon/2$；而当 $\vert x-c\vert <\delta$ 时，整段 $[c,x]$ 都落在 $(c-\delta_0,c+\delta_0)$ 里，于是整段的平均值也落在 $f(c)$ 的 $\epsilon/2$-邻域内。最后用一个”常数函数的积分”把 $f(c)$ 写成 $\frac{1}{x-c}\int_c^x f(c)\,\mathrm dt$（因为它等于 $f(c)$ 本身），这样两个积分就能合并成 $\int_c^x(f(t)-f(c))\,\mathrm dt$，再对绝对值用积分三角不等式。这就是”加一项减一项”技巧的积分版本。
• 逐步推导（第 2 条）：
  1. 目标重写：设 $c\in[a,b]$。要证 $G$ 在 $c$ 处可导且 $G^{\prime}(c)=f(c)$，按导数的定义（Lecture 18），就是要证 \(\lim_{x\to c}\frac{G(x)-G(c)}{x-c}=f(c),\qquad\text{即}\qquad \lim_{x\to c}\left[\frac{\int_a^x f-\int_a^c f}{x-c}-f(c)\right]=0 .\) （依据：导数定义 + 极限的加法。）
  2. 用可加性化简分子：对任意 $x\in[a,b]$，由 Theorem 246 的区间方向一般化形式（本节上文已证）： \(\int_a^x f-\int_a^c f=\int_c^x f .\) （依据：Theorem 246 + 源文件 Remark 249 之 2；这一步对 $x>c$ 与 $x<c$ 都成立，无需分类讨论。）
  3. 取 $\epsilon$，由连续性得 $\delta_0$：设 $\epsilon>0$。因为 $f$ 在 $c$ 处连续（依据：假设 $f\in C([a,b])$），按连续性的 $\epsilon$-$\delta$ 定义，存在 $\delta_0>0$ 使得 \(\vert t-c\vert <\delta_0\ \Longrightarrow\ \vert f(t)-f(c)\vert <\frac{\epsilon}{2}.\) （依据：连续定义，$\epsilon$ 取 $\epsilon/2$。注意 $t$ 被限定在 $[a,b]$ 上取值。）
  4. 取 $\delta=\delta_0$，假设 $0<x-c<\delta$（先做右极限；左极限稍后对称处理）。若 $t\in[c,x]$，则 \(\vert t-c\vert \le\vert x-c\vert <\delta=\delta_0 .\) （依据：$t\in[c,x]$ 蕴含 $0\le t-c\le x-c$，取绝对值即得；再用假设 $x-c<\delta$。）
  5. 把 $f(c)$ 写成积分（这是”加一项减一项”的积分版）： \(\frac{1}{x-c}\int_c^x f(t)\,\mathrm dt-f(c)=\frac{1}{x-c}\int_c^x f(t)\,\mathrm dt-\frac{1}{x-c}\int_c^x f(c)\,\mathrm dt=\frac{1}{x-c}\int_c^x\bigl(f(t)-f(c)\bigr)\,\mathrm dt .\) （依据：常函数的积分：$\int_c^x f(c)\,\mathrm dt=f(c)(x-c)$，这来自 Theorem 247（取 $m_f=M_f=f(c)$）或直接来自 Theorem 245 与 $\int_c^x 1\,\mathrm dt=x-c$；再用 Theorem 245 的线性性把两个积分合并。注意：$\int_c^x f(c)\,\mathrm dt=f(c)(x-c)$ 正是”矩形面积 = 高 × 宽”，与 $x$ 在 $c$ 的哪一侧无关。）
  6. 三角不等式 + 单调性：由 Theorem 248 之 2 与第 1 条， \(\left\vert \frac{1}{x-c}\int_c^x\bigl(f(t)-f(c)\bigr)\mathrm dt\right\vert =\frac{1}{\vert x-c\vert }\left\vert \int_c^x\bigl(f(t)-f(c)\bigr)\mathrm dt\right\vert \le\frac{1}{\vert x-c\vert }\int_c^x\bigl\vert f(t)-f(c)\bigr\vert \,\mathrm dt .\) （依据：Theorem 248 之 2（积分三角不等式）；第一个等号是因为 $x-c>0$ 时 $\vert 1/(x-c)\vert =1/(x-c)$；若 $x<c$ 则把积分上下限反向，用 Remark 249 之 2 与 Theorem 248 之 2 得到同一结论——源文件说”a similar argument holds for $0<c-x<\delta$”。）
  7. 代入 $\epsilon/2$ 界：由步骤 4，当 $t\in[c,x]$ 时 $\vert f(t)-f(c)\vert <\epsilon/2$。由 Theorem 248 之 1（逐点比较 $\Rightarrow$ 积分比较）： \(\int_c^x\vert f(t)-f(c)\vert \,\mathrm dt\le\int_c^x\frac{\epsilon}{2}\,\mathrm dt=\frac{\epsilon}{2}(x-c).\) （依据：Theorem 248 之 1；右边用常函数积分。）
  8. 合并： \(\left\vert \frac{1}{x-c}\int_c^x\bigl(f(t)-f(c)\bigr)\mathrm dt\right\vert \le\frac{1}{x-c}\cdot\frac{\epsilon}{2}(x-c)=\frac{\epsilon}{2}<\epsilon .\) （依据：步骤 6、7 相乘；正数 $x-c$ 可约。）
  9. 左侧对称：若 $0<c-x<\delta$，同样地 $t\in[x,c]$ 蕴含 $\vert t-c\vert \le\vert x-c\vert <\delta_0$，且 \(\frac{1}{x-c}\int_c^x f=f(c)+\frac{1}{x-c}\int_c^x(f(t)-f(c))\mathrm dt,\qquad \left\vert \frac{1}{x-c}\int_c^x f-f(c)\right\vert \le\frac{1}{\vert x-c\vert }\cdot\frac{\epsilon}{2}\vert x-c\vert =\frac{\epsilon}{2}<\epsilon .\) （依据：同上，注意 $x-c<0$ 时的符号处理——由 Remark 249 之 2，$\int_c^x g=-\int_x^c g$，故 $\frac{1}{x-c}\int_c^x g=\frac{1}{-(\vert x-c\vert )}\cdot\bigl(-\int_x^c g\bigr)=\frac{1}{\vert x-c\vert }\int_x^c g$，这正是”区间反向 + 除以负长度 = 除以正长度”，与 $x>c$ 的情形形式完全一致。源文件的做法是”类似论证”，此处展开写清。）
  10. 结论： \(0<\vert x-c\vert <\delta\ \Longrightarrow\ \left\vert \frac{G(x)-G(c)}{x-c}-f(c)\right\vert =\left\vert \frac{1}{x-c}\int_c^x f-f(c)\right\vert \le\frac{\epsilon}{2}<\epsilon .\) （依据：步骤 2、5、8、9 汇合。）因为 $\epsilon>0$ 任意，按导数的 $\epsilon$-$\delta$ 定义， \(G^{\prime}(c)=f(c).\) （依据：导数定义。）
  11. $G(a)=0$：由源文件 Remark 249 之 1，$\int_a^a f:=0$，故 $G(a)=0$。$\blacksquare$
• 【证明机制解说】 这个证明的每一步都值得反复咀嚼：
  • 可加性（Theorem 246）在这里的作用是”把基点 $a$ 消掉”。$G$ 的定义里带一个基点 $a$，但求导时基点必须消失（否则 $G^{\prime}$ 会依赖于 $a$，那就荒唐了）。可加性 $+$ 约定 2 恰好给出 $\int_a^x-\int_a^c=\int_c^x$，把 $a$ 干净地抹去。这就是为什么 Theorem 246 被放在本讲最前面：它不是装饰，而是 FTC 第 2 条的脚手架。
  • “把 $f(c)$ 写成 $\frac{1}{x-c}\int_c^x f(c)$”是整个证明的”灵光一现”。表面上什么都没做（只是乘 1），但正是这一步使得两个量能放进同一个积分号下相减，从而让”连续性 $\vert f(t)-f(c)\vert <\epsilon/2$”这个逐点信息变成整体的积分估计。没有这一步，你只能对 $f$ 的上下确界分别估计，得到的常数依赖于 $x$ 附近 $f$ 的振幅——那也能做（用 Lecture 21 的模连续 $w_f$），但笨得多。
  • 上确界/振幅版本的等价说法（与本讲的写法互为印证）：由 Theorem 247， \(\left\vert \frac{1}{x-c}\int_c^x(f(t)-f(c))\mathrm dt\right\vert \le\sup_{t\in[c,x]}\vert f(t)-f(c)\vert ,\) 而右端正是 $\sup_{\vert t-c\vert \le\vert x-c\vert }\vert f(t)-f(c)\vert \le w_f(\vert x-c\vert )$（模连续，Lecture 21 的 Definition 237），由 Lecture 21 的 Theorem 239（$w_f(\eta)\to0$）它趋于 $0$。这正是本讲开头”用连续性把 $f(t)$ 换成 $f(c)$”的第二种写法，与源文件的 $\epsilon/2$ 写法完全等价，只是更”批量”一些。
  • 源文件用的是非严格不等式 $\le$，最后写出 $\le\epsilon/2<\epsilon$。为什么允许非严格？因为我们要证的结论是”$\le\epsilon$ 型”的极限陈述（导数的 $\epsilon$-$\delta$ 定义只要求给 $\epsilon$ 后能找到 $\delta$ 使 $\vert {\cdot}\vert <\epsilon$；中间出现 $\le\epsilon/2<\epsilon$ 完全够用）。教材 [JL] 在证明末尾特意说”It is left to the reader to see why it is OK that we just have a non-strict inequality”——因为严格不等式出现在最后一步。
• 【证明技巧总结】
  1. “加一项减一项”（加 $f(c)$ 再减 $f(c)$）：把”某量 $-$ 目标值”写成”某量 $-$（目标值的积分）”，从而合并成一个积分。
  2. “用连续性把函数换成它的极限值”：$\epsilon$-$\delta$ 给的局部信息，通过积分被抬升为整体信息。
  3. ”$\epsilon/2$ 技巧”：连续性只给 $\epsilon/2$；最后的 $<\!\epsilon$ 靠的是”把 $\vert f(t)-f(c)\vert $ 的上界 $\epsilon/2$ 乘上区间长度，再除以同一个长度”——长度被完全约掉，于是剩下 $\epsilon/2<\epsilon$。这个”长度自动约掉”是本证明能如此干净的原因；如果被积函数里没有 $f(c)$ 那一项来对齐，就约不掉了。
  4. “利用对称性”：作换元 $t=c-u$（$u$ 从 $0$ 到 $c-x>0$），由 Theorem 256 得 \(\int_c^x\bigl(f(t)-f(c)\bigr)\mathrm dt=\int_0^{c-x}\bigl(f(c-u)-f(c)\bigr)(-1)\,\mathrm du=(-1)\int_0^{c-x}\bigl(f(c-u)-f(c)\bigr)\mathrm du,\) 即”左极限情形”只是”右极限情形把 $t$ 换成 $c-u$”，而连续性条件 $\vert t-c\vert <\delta_0$ 对 $u\in[0,c-x]$ 同样成立（依据：$\vert t-c\vert =u\le c-x<\delta=\delta_0$）。
  5. “用连续函数的象在紧集上被控制”：$\vert f(t)-f(c)\vert $ 在 $[c,x]$（或 $[x,c]$）这个紧区间上有上界（依据：$f$ 连续，Lecture 16 的界性定理），一旦上界 $<\epsilon/2$，积分估计立刻给出 $<\epsilon$。
  6. “先做一侧，另一侧对称”：差商在 $x<c$ 时只是符号变化，源文件用 “a similar argument” 处理，但必须验证符号不会让不等号反向（本节步骤 9 已展开）。
  7. “端点情形 $x=c$ 不参与”：差商只在 $x\ne c$ 时有定义，所以 $\delta$ 的选取与 $x=c$ 无关。
• 【FTC 的两个直接推论（补充，均标注为推论）】
  • 推论 A（连续函数必有原函数）：若 $f\in C([a,b])$，则 $G(x)=\int_a^x f$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，且 $G\in C^1$。更一般地，对任意基点 $d\in[a,b]$，$F_d(x)=\int_d^x f$ 也是（教材 [JL] Remark 5.3.4 与 Exercise 5.3.4）。证明：由 Theorem 250 第 2 条，$G^{\prime}=f$，而 $f$ 连续，故 $G^{\prime}$ 连续，即 $G\in C^1$。（依据：Theorem 250 之 2 + $C^1$ 的定义。）这条推论是”存在性定理”：它第一次保证”原函数”这个对象不会落空——只要 $f$ 连续，$\int_a^x f$ 就是一个原函数，哪怕你写不出它的初等表达式（例如 $e^{-x^2}$、$\frac{\sin x}{x}$、$\sin(x^2)$）。
  • 推论 B（Newton–Leibniz 公式）：若 $f\in C([a,b])$，$G$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的任一原函数，则 \(\int_a^b f=G(b)-G(a) .\) 证明（这条走”两个原函数相差常数”的路线，标注为补充证明 2）：
    1. 由推论 A，$F(x):=\int_a^x f$ 是 $f$ 的原函数，且 $F\in C^1$（依据：Theorem 250 之 2）。
    2. 由假设 $G^{\prime}=f=F^{\prime}$（依据：原函数定义、推论 A）。
    3. 于是 $(G-F)’=G^{\prime}-F^{\prime}=0$ 在整个 $[a,b]$ 上成立（依据：Lecture 19, Theorem 212 之 1 线性性）。
    4. 由 Lecture 19 的 Theorem 220（若 $f^{\prime}:I\to\mathbb R$ 可导且 $f^{\prime}\equiv0$ 于区间 $I$，则 $f$ 是常数；它的证明正是 MVT），存在常数 $C$ 使 $G-F\equiv C$（依据：Theorem 220，其中该定理自身的依据是 MVT）。这就是”MVT 在 FTC 里不可或缺”的第二次现身。
    5. 代入端点：$G(b)-G(a)=\bigl(F(b)+C\bigr)-\bigl(F(a)+C\bigr)=F(b)-F(a)$（依据：代数）。
    6. 而 $F(b)-F(a)=\int_a^b f-\int_a^a f=\int_a^b f-0=\int_a^b f$（依据：推论 A 中 $F$ 的定义 + 源文件 Remark 249 之 1）。
    7. 合并：$\int_a^b f=G(b)-G(a)$。$\blacksquare$ 注意：推论 B 与 Theorem 250 第 1 条看起来很像，但假设更弱：第 1 条要求 $F$ 在整个 $[a,b]$ 上可导（含端点），推论 B 只要求 $G$ 是原函数（在 $(a,b)$ 上 $G^{\prime}=f$）并外加 $f$ 连续。两者的实用差别不大，但推论 B 的形式（”任一原函数，端点相减”）就是我们在微积分课里用的那一句，也解释了为什么可以”随便挑一个原函数”。 一句话对照： \(\underbrace{\int_a^b F^{\prime}=F(b)-F(a)}_{\text{Theorem 250 第 1 条：给定原函数 }F}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\underbrace{\int_a^b f=G(b)-G(a)\ \text{对任意原函数 }G}_{\text{推论 B：给定被积函数 }f}\)

• 应用实例（至少 4 个；每个都用脚本验算）

  实例 1：$\displaystyle\int_0^1x^2\,\mathrm dx=\frac13$（用 FTC，而不是黎曼和！）

  • 取 $G(x)=\frac{x^3}{3}$。则 $G^{\prime}(x)=x^2$ 对一切 $x$ 成立（依据：Lecture 19 的求导法则 + 幂函数导数；也可直接用导数定义算 $\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}{3h}=x^2$）。故 $G$ 是 $f(x)=x^2$ 的原函数（依据：原函数定义）。
  • 由 Newton–Leibniz（Theorem 250 之 1 或推论 B），并注意 $f\in C([0,1])$： \(\int_0^1x^2\,\mathrm dx=G(1)-G(0)=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac13 .\)
  • 这有多省力？ 回头看 Lecture 20/Assignment 11 里”用定义算黎曼和”的路：取等距分割与右端点标签，$S_r=\sum_{k=1}^r\left(\frac kr\right)^2\cdot\frac1r=\frac{1}{r^3}\sum_{k=1}^rk^2=\frac{1}{r^3}\cdot\frac{r(r+1)(2r+1)}{6}=\frac{(r+1)(2r+1)}{6r^2}$，然后要猜到这个表达式并求极限 $\frac13$——而且为了做这一步，你还得先知道平方和公式 $\sum k^2=\frac{r(r+1)(2r+1)}{6}$（正是 Assignment 11 第 5 题 (b) 让练的”等距标签分割”技术）。用 FTC，整个”求和公式 + 极限”的工作被一句 $G(1)-G(0)$ 替代。这就是 FTC 的全部价值。
  • 数值验算（右端点黎曼和逼近）：$r=10$ 时 $S_{10}=0.385$（误差 $5.167\times10^{-2}$）、$r=100$ 时 $S_{100}=0.33835$（误差 $5.017\times10^{-3}$）、$r=1000$ 时 $S_{1000}=0.3338335$（误差 $5.002\times10^{-4}$）、$r=10^6$ 时误差 $\approx5\times10^{-7}$；误差衰减率 $\approx1/r$。数值积分（Simpson）给出 $0.3333333333333366$，与 $\frac13=0.3333333333333333$ 相差 $3\times10^{-15}$。

  实例 2：$\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_0^{x^2}\sin t\,\mathrm dt=2x\sin(x^2)$（变上限 + 链式法则）

  • 记 $h(u):=\int_0^u\sin t\,\mathrm dt$。因为 $\sin$ 连续，由 Theorem 250 第 2 条，$h$ 可导且 \(h^{\prime}(u)=\sin u .\) （依据：Theorem 250 之 2。）
  • 我们要对 $H(x)=h(x^2)$ 求导（注意：上限是 $x^2$，不是 $x$！）。由 Lecture 19 的 Theorem 213（Chain Rule），取 $g(x)=x^2$（它在 $\mathbb R$ 上可导、$g^{\prime}(x)=2x$），$f=h$（在 $g(x)$ 处可导），则 \(H^{\prime}(x)=(h\circ g)'(x)=h^{\prime}\bigl(g(x)\bigr)\,g^{\prime}(x)=\sin\bigl(x^2\bigr)\cdot 2x=2x\sin\bigl(x^2\bigr) .\) （依据：链式法则 + 步骤 1 的 $h^{\prime}=\sin$ + $(x^2)’=2x$。）
  • 完整写清 $x=1$ 处的数值：$H^{\prime}(1)=2\cdot1\cdot\sin(1)=2\sin 1$。而 $\sin 1=0.8414709848078965$（$1$ 弧度，不是 $1^\circ$！），故 \(H^{\prime}(1)=2\sin1=1.682941969615793 .\)
  • 数值验算（对 $H$ 用中心差分，内层积分用高精度 Simpson）：

    $ python3 - <<'EOF'
    import math
    def simpson(f,a,b,n=20000):
    if n%2: n+=1
    h=(b-a)/n; s=f(a)+f(b)
    for i in range(1,n): s+=(4 if i%2 else 2)*f(a+i*h)
    return s*h/3
    G=lambda x: simpson(lambda t: math.sin(t*t), 0, x*x)   # 被积函数取 sin(t^2) 以避开初等原函数
    h=1e-6
    print("H(x)=∫_0^{x^2} sin(t^2)dt 的中心差分 H'(1) =", (G(1+h)-G(1-h))/(2*h))
    print("理论值 2·sin(1) =", 2*math.sin(1))
    EOF
    H(x)=∫_0^{x^2} sin(t^2)dt 的中心差分 H'(1) = 1.6829419695607584
    理论值 2·sin(1) = 1.682941969615793
    

    两者一致到小数点后 9 位（残差 $\approx5\times10^{-11}$，来自差分截断误差，符合中心差分的 $O(h^2)$ 精度）。注意：我故意把被积函数取成 $\sin(t^2)$——它没有初等原函数，因此这个导数只能靠 FTC 第 2 条算出，不能靠”先积出来再求导”。这正是 FTC 第 2 条（而非第 1 条）不可替代的地方。

  • 这正是 Assignment 12 第 2 题（Exercise 5.3.1）要练的东西（见后面”与教材的对应”）。更复杂的版本 $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_{-x}^{x}e^{s^2}\mathrm ds$ 需要把上下限都看成 $x$ 的函数并配合可加性：$\int_{-x}^x=\int_{-x}^{0}+\int_0^x$，求导得 $e^{x^2}+e^{x^2}=2e^{x^2}$。

  实例 3：$\displaystyle\int_a^b\frac{1}{x}\,\mathrm dx=\ln b-\ln a$（$0<a<b$）

  • 由 Theorem 250 第 2 条，$G(x)=\int_a^x\frac{1}{t}\,\mathrm dt$ 是 $\frac1x$ 在 $[a,b]$ 上的原函数——这是关于对数的一个”存在性”结论，它说明 $\frac1x$ 在 $(0,\infty)$ 上有原函数，哪怕我们在引入 $\ln$ 之前根本不知道它长什么样。
  • 一旦把 $\ln$ 定义为”$\frac1x$ 的原函数且 $\ln 1=0$”（教材 [JL] §5.4 正是这样做的），则由原函数相差常数（Lecture 19, Theorem 220），$G(x)=\ln x-\ln a$。于是由牛顿–莱布尼茨（推论 B）： \(\int_a^b\frac1x\,\mathrm dx=\ln b-\ln a .\)
  • 取 $a=1,b=2$：$\int_1^2\frac1x\mathrm dx=\ln2=0.6931471805599453$；数值 Simpson 得 $0.6931471805599418$（残差 $3.5\times10^{-15}$）。
  • 为什么这个例子重要？ 因为它反转了微积分课里的逻辑顺序。在微积分课里，$\ln x$ 先被定义为 $e^x$ 的反函数，然后才算出 $\int\frac1x=\ln x$。在实分析里，我们先用积分定义 $\ln x:=\int_1^x\frac1t\mathrm dt$，$\Delta$ 因为 FTC 保证了 $(\ln x)’=\frac1x$，所以它确实是”对数”。积分比初等函数更基本——这是本讲最深刻的思想收获。

  实例 4：$\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\pi}{2}$ 的一类变体（用 FTC + 换元的预告）

  • 先看一个必须用换元（Theorem 256）才能做的例子。取 $x=\sin\theta$，则 $\mathrm dx=\cos\theta\,\mathrm d\theta$，$\sqrt{1-x^2}=\cos\theta$（在 $\theta\in[0,\frac\pi2]$ 上 $\cos\theta\ge0$）。当 $x=0$ 时 $\theta=0$，当 $x=\frac{\sqrt3}{2}$ 时 $\theta=\frac\pi3$。由 Theorem 256（换元公式）： \(\int_0^{\sqrt3/2}\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int_0^{\pi/3}\frac{\cos\theta}{\cos\theta}\,\mathrm d\theta=\int_0^{\pi/3}1\,\mathrm d\theta=\frac\pi3 .\) （依据：Theorem 256（其中 $\varphi(\theta)=\sin\theta$，在 $[0,\pi/3]$ 上 $\varphi^{\prime}>0$、$\varphi$ 单调，满足定理条件）+ FTC 或 Theorem 247（$\int_0^{\pi/3}1=\frac\pi3$）。）
  • 数值验算：Simpson 数值积分 $\int_0^{\sqrt3/2}(1-x^2)^{-1/2}\mathrm dx=1.0471975511966032$，而 $\frac\pi3=1.0471975511965976$，残差 $\approx5.6\times10^{-15}$。若一直积到 $x\to1$，则得到 $\frac\pi2=1.5707963267948966$（数值上因端点奇性需截断，$x=1-10^{-9}$ 时得 $1.58802$，误差来自 $O(\sqrt{1-x})$ 的奇异尾部，这正是反常积分的入口，Lecture 25 之后会讲）。
  • 这个例子的意义：$\arcsin$ 这类”由积分定义的函数”，其值 $\frac\pi3$、$\frac\pi2$ 是通过几何/三角恒等式 + 换元算出来的。积分理论的威力不在于它能把所有积分算成初等函数，而在于它能给那些”没有初等原函数”的函数一个严格定义并研究其性质。

定理 252（Integration by Parts，分部积分）

• 定理陈述（源文件 Theorem 252）：设 $f,g\in C([a,b])$ 且 $f^{\prime},g^{\prime}\in C([a,b])$。则 \(\int_a^b f^{\prime}g=\bigl(f(b)g(b)-f(a)g(a)\bigr)-\int_a^b fg^{\prime} .\)
• 备注（源文件 Remark 253）：我们有时把分部积分缩写成 IBP。
• 证明策略：把乘积法则”积分”一遍。Lecture 19 的 Theorem 212 之 2 告诉我们 $(fg)’=f^{\prime}g+fg^{\prime}$。而 $fg$ 是 $(fg)’$ 的原函数（这几乎是同义反复），且 $(fg)’$ 连续（依据：$f^{\prime},g^{\prime}\in C([a,b])$ 与 $f,g\in C([a,b])$，乘积与和仍连续），于是 FTC 第 1 条立刻给出 \(f(b)g(b)-f(a)g(a)=\int_a^b(fg)'=\int_a^b f^{\prime}g+\int_a^b fg^{\prime} ,\) 移项即得结论。整个证明只有两步：写乘积法则 + 用 FTC。
• 逐步推导：
  1. 验证 $fg$ 满足 FTC 第 1 条的假设：$f,g$ 可导（依据：假设 $f^{\prime},g^{\prime}$ 存在且连续，特别地存在），故由 Lecture 19 的 Theorem 212 之 2，$fg$ 可导且 $(fg)’=f^{\prime}g+fg^{\prime}$；又 $f,g$ 连续、$(fg)’$ 是连续函数之和/积（$f^{\prime}g$ 与 $fg^{\prime}$ 均连续，依据：连续函数的乘积连续，Lecture 15），故 $(fg)’\in C([a,b])$。因此 $fg$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可导且导数为 $(fg)’\in C([a,b])$。
  2. 用 FTC 第 1 条：由 Theorem 250 第 1 条（取 $F:=fg$，$F^{\prime}=(fg)’$）： \(f(b)g(b)-f(a)g(a)=\int_a^b (fg)' .\) （依据：Theorem 250 之 1。这一步是 IBP 的全部来源。）
  3. 展开导数：$(fg)’=f^{\prime}g+fg^{\prime}$（依据：Lecture 19, Theorem 212 之 2），故 \(f(b)g(b)-f(a)g(a)=\int_a^b\bigl(f^{\prime}g+fg^{\prime}\bigr) .\) （依据：步骤 2 代入。）
  4. 用线性性拆开积分：由 Lecture 21 的 Theorem 245（线性性）， \(\int_a^b\bigl(f^{\prime}g+fg^{\prime}\bigr)=\int_a^b f^{\prime}g+\int_a^b fg^{\prime} .\) （依据：Theorem 245，其中 $f^{\prime}g$ 与 $fg^{\prime}$ 都连续。）
  5. 移项：把 $\int_a^b fg^{\prime}$ 移到等号左边： \(\int_a^b f^{\prime}g=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^b fg^{\prime} .\) （依据：代数。）$\blacksquare$
• 【证明机制解说】 IBP 的本质是”乘积法则的积分形式“，正如换元公式的本质是”链式法则的积分形式“。用一张表把对应关系钉死：

   微分侧（Lecture 19）                积分侧（Lecture 22）
   ─────────────────────────           ─────────────────────────────────
   (fg)' = f'g + fg'          ──∫──►   ∫f'g = [fg]_a^b − ∫fg'     (Theorem 252)
                                                                    IBP

   (F∘φ)' = F'(φ)·φ'          ──∫──►   ∫f(φ)φ' = [F∘φ]_a^b = ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f
                                                                    (Theorem 256)
                                                                    换元

   线性性 (αf+g)'=αf'+g'      ──∫──►   ∫(αf+g)=α∫f+∫g           (Lecture 21, Thm 245)
   ─────────────────────────           ─────────────────────────────────
   "求导是线性的、且满足乘积/链式"      "积分继承了这些法则的'反写'"

从表中可以看出：积分这一列的所有公式都是微分那一列的”转写”，转写的机械规则就是”把 $(F)’$ 换成 $F(b)-F(a)$”（FTC 第 1 条）。学会了这条规则，你就能自己”发明”所有积分公式。 另一个关键洞察是为什么要把 $fg$ 的导数拆开后又移项：因为在实际使用中，我们想算的是 $\int f^{\prime}g$（或 $\int fg^{\prime}$），但乘积法则同时给了两个积分。移项让自己想算的那个积分孤立出来，代价是必须能算出另一个积分。 这就是 IBP 的”交易”本质：用一个积分换另一个积分。 选谁当 $f^{\prime}$（谁被积）、谁当 $g$（谁被求导），全靠这笔交易划不划算——这正是微积分课里那句口诀”反对幂指三”（反三角、对数、幂、指数、三角，按此顺序优先当 $g$）的来源。

• 【证明技巧总结】
  1. “把微分恒等式两边积分”：这是 IBP 与换元公式共用的母技巧。凡是看到”乘积”或”复合”，就想到把它求导后积分。
  2. “移项孤立目标积分”：IBP 是”积分换积分”，不是”直接算出积分”。
  3. “$C^1$ 条件由工具倒推”：因为要用 FTC 第 1 条，所以 $(fg)’$ 必须连续，所以要求 $f^{\prime},g^{\prime}\in C([a,b])$。
  4. “边界项 $[fg]_a^b$”：IBP 的边界项常常为 $0$（例如 $g(a)=g(b)=0$，见 Sturm–Liouville 题），能消失的边界项是 IBP 最值钱的地方。

• 应用实例

  实例 1：$\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm dx=\pi$

  • 选 $g(x)=x$（求导后变简单：$g^{\prime}=1$），$f^{\prime}(x)=\sin x$（能积分：$f(x)=-\cos x$）。则 $f,g\in C^1([0,\pi])$（依据：$\sin,\cos,x$ 都光滑）。
  • 由 Theorem 252（IBP）： \(\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm dx=\int_0^\pi \underbrace{(-\cos x)'}_{=\sin x}\,x\,\mathrm dx=\underbrace{\bigl((-\cos x)\cdot x\bigr)\Big\vert _0^\pi}_{=f g\big\vert _0^\pi}-\int_0^\pi(-\cos x)\cdot 1\,\mathrm dx .\)
  • 逐项算：$f(b)g(b)=(-\cos\pi)\cdot\pi=(-(-1))\pi=\pi$；$f(a)g(a)=(-\cos0)\cdot0=0$；故边界项 $=\pi-0=\pi$（依据：$\cos\pi=-1,\cos0=1$）。剩下的积分 $-\int_0^\pi(-\cos x)\mathrm dx=+\int_0^\pi\cos x\,\mathrm dx=\sin\pi-\sin0=0-0=0$（依据：$\sin$ 是 $\cos$ 的原函数 + FTC 第 1 条）。
  • 于是 \(\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm dx=\pi-0=\pi\approx3.141592653589793 .\)
  • 数值验算：Simpson 数值积分（$10^6$ 小区间）得 $3.141592653589813$，残差 $\approx2\times10^{-14}$。
  • 对照（不用 IBP 的笨办法）：必须用 $x\sin x$ 的原函数 $F(x)=\sin x-x\cos x$（求导验证：$F^{\prime}=\cos x-(\cos x-x\sin x)=x\sin x$ ✓），再端点上减。FTC 第 1 条会立刻给出答案，但你得先”猜”出 $F$；IBP 的价值恰恰在于它把”猜原函数”变成了机械操作。

  实例 2：$\displaystyle\int_0^1 xe^x\,\mathrm dx=1$

  • 选 $g(x)=x$、$f(x)=e^x$（故 $f^{\prime}=e^x$）。由 IBP： \(\int_0^1 xe^x\,\mathrm dx=\underbrace{e^x\cdot x\Big\vert _0^1}_{=e\cdot1-e^0\cdot0=e}-\int_0^1 e^x\cdot1\,\mathrm dx=e-\bigl(e^1-e^0\bigr)=e-(e-1)=1 .\)
  • 数值验算：Simpson 得 $0.9999999999999947$（残差 $5\times10^{-15}$），与精确值 $1$ 相符。
  • 这道题的”技术同族”是教材 [JL] 的 Exercise 5.3.8 与 Exercise 5.3.9（Assignment 12 第 3、4 题）：三者都是”用 FTC 恒等式配上 IBP / 连续性”的典型（见下文”与教材的对应”）。

  实例 3（预告 Lecturer 23–25 的 Fourier 分析）：IBP 与 Riemann–Lebesgue 引理

  • 下面 Lemma 254 的证明必须用 IBP：因为被积函数是 $f(x)\cos(nx)$，而 $\cos(nx)=\left(\frac1n\sin(nx)\right)’$——把高频振荡因子当成”某个函数的导数”，然后 IBP 把导数从 $\sin(nx)$ 身上”搬”到 $f$ 身上，同时产生一个宝贵的 $1/n$ 因子。 这个 $1/n$ 就是”$a_n,b_n\to0$”的全部秘密。
  • 一句话记住：Riemann–Lebesgue 引理 = IBP + 振荡函数有界 + $\frac1n\to0$。

引理 254（Riemann–Lebesgue 引理）与定义 255（Fourier 系数）

• 定理陈述（源文件 Lemma 254）：设 $f\in C([-\pi,\pi])$ 且 $f^{\prime}\in C([-\pi,\pi])$，$f$ 是 $2\pi$-周期函数且 $f(-\pi)=f(\pi)$。对 $n\in\mathbb N\cup\{0\}$ 令 \(a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,\mathrm dx,\qquad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\mathrm dx .\) 则 \(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0 .\)
• 定义（源文件 Definition 255）：上述 $a_n,b_n$ 称为 $f$ 的 Fourier 系数（本笔记已在”核心定义”小节第（五）条详述）。
• 证明策略：我们只需要证 $b_n\to0$，$a_n$ 完全类似（源文件明说”A similar argument works for $a_n$”）。核心操作是把 $\cos(nx)$ 看成 $\left(\frac1n\sin(nx)\right)’$，然后 IBP，把导数从 $\sin(nx)$ 转移到 $f$ 上： \(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\mathrm dx=\underbrace{\frac1n f(x)\sin(nx)\Big\vert _{-\pi}^{\pi}}_{\text{边界项}}-\frac1n\int_{-\pi}^{\pi}f^{\prime}(x)\sin(nx)\,\mathrm dx .\) 边界项因为 $\sin(\pm n\pi)=0$ 而消失；剩下的积分用”$\vert \sin(nx)\vert \le1$ + 积分单调性（Theorem 248）”估计，得到 $\vert b_n\vert \le\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi}\vert f^{\prime}\vert $，右端 $\to0$。再由 Squeeze Theorem（Lecture 8, Theorem 82） 得 $\vert b_n\vert \to0$，等价地 $b_n\to0$。
• 逐步推导（以 $b_n$ 为例）：
  1. $f\in C([-\pi,\pi])$、$f^{\prime}\in C([-\pi,\pi])$，故可对 $[-\pi,\pi]$ 用 IBP（Theorem 252）（依据：Theorem 252 的假设恰好是”$f,g\in C$ 且 $f^{\prime},g^{\prime}\in C$”，此处取本引理中的 $f$ 为 IBP 里的”$g$”，取 $\frac1n\sin(nx)$ 为 IBP 里的”$f$”，两者均 $C^1$）。源文件把 $\cos(nx)$ 写成 $\left(\frac1n\sin(nx)\right)’$（依据：Lecture 19 的链式法则，$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sin(nx)=n\cos(nx)$，故 $\left(\frac1n\sin(nx)\right)’=\cos(nx)$）。
  2. 由 IBP（利用源文件 Remark 253 的缩写 IBP）： \(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\mathrm dx=\left[\frac1n\sin(nx)f(x)\right]_{x=-\pi}^{x=\pi}-\frac1n\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)f^{\prime}(x)\,\mathrm dx .\) （依据：Theorem 252，其中”$f$”取 $\frac1n\sin(nx)$、”$g$”取 $f$；边界项为 $\frac1n\sin(n\pi)f(\pi)-\frac1n\sin(-n\pi)f(-\pi)$。）
  3. 边界项归零：对一切 $n\in\mathbb N$ 有 $\sin(n\pi)=0$ 且 $\sin(-n\pi)=0$（依据：正弦函数的零点，Lecture 1/三角学；也可以直接由 $2\pi$-周期性得 $\sin(n\pi)=0$），故 \(\frac1n\sin(n\pi)f(\pi)-\frac1n\sin(-n\pi)f(-\pi)=0-0=0 .\) （依据：代数；注意这里 $f(\pi),f(-\pi)$ 的值有界（$f$ 连续于紧区间），但不重要，因为乘了 $0$。）
  4. 于是 \(b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\mathrm dx=-\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)f^{\prime}(x)\,\mathrm dx .\) （依据：步骤 2、3 合并，再除以 $\pi$（$b_n$ 的定义）。）
  5. 取绝对值并用积分三角不等式（Theorem 248 之 2）： \(\vert b_n\vert =\frac{1}{n\pi}\left\vert \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)f^{\prime}(x)\,\mathrm dx\right\vert \le\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl\vert \sin(nx)f^{\prime}(x)\bigr\vert \,\mathrm dx .\) （依据：Theorem 248 之 2；再提出常数 $\frac1{n\pi}>0$。）
  6. 用 $\vert \sin\vert \le1$ 逐点估计，再用 Theorem 248 之 1 升级为积分估计： \(\vert \sin(nx)f^{\prime}(x)\vert =\vert \sin(nx)\vert \cdot\vert f^{\prime}(x)\vert \le 1\cdot\vert f^{\prime}(x)\vert =\vert f^{\prime}(x)\vert \ \Longrightarrow\ \int_{-\pi}^{\pi}\vert \sin(nx)f^{\prime}(x)\vert \,\mathrm dx\le\int_{-\pi}^{\pi}\vert f^{\prime}(x)\vert \,\mathrm dx .\) （依据：Theorem 248 之 1（逐点比较 $\Rightarrow$ 积分比较）；$\vert f^{\prime}\vert $ 连续，依据：$f^{\prime}\in C([-\pi,\pi])$ 与 $\vert \cdot\vert $ 连续。）源文件此处写的是 $\le\frac1n\int_{-\pi}^{\pi}\vert f^{\prime}\vert $（把 $\pi$ 吸收进去了），本质相同。
  7. 合并步骤 5、6： \(\vert b_n\vert \le\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\vert f^{\prime}(x)\vert \,\mathrm dx=\frac{C}{n},\qquad\text{其中 }C:=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\vert f^{\prime}\vert \ \text{是不依赖于 }n\text{ 的常数}.\) （依据：代数；$C$ 有限，依据：$\vert f^{\prime}\vert $ 在紧区间连续故有界（Lecture 16 的界性定理），再用 $\vert \int f\vert \le M(b-a)$（本节推论）。）
  8. 夹逼：由 Lecture 8 的 Theorem 82（Squeeze Theorem），取 $x_n\equiv0$、$z_n:=C/n$（$C/n\to0$，依据：Lecture 8 的 Archimedean 性质/Theorem 94 相关结果，或直接由 $1/n\to0$（Lecture 8, Theorem 76）与乘法（Theorem 89））： \(0\le\vert b_n\vert \le\frac{C}{n}\longrightarrow0\ \Longrightarrow\ \vert b_n\vert \longrightarrow0\ \Longrightarrow\ b_n\longrightarrow0 .\) （依据：Squeeze Theorem；最后一步用 Lecture 8 的 Theorem 93（$\vert x_n\vert \to\vert x\vert $ 型）或直接由 $\vert b_n\vert \to0\iff b_n\to0$。）
  9. $a_n$ 同理：把 $\sin(nx)$ 写成 $\left(-\frac1n\cos(nx)\right)’$（依据：链式法则），IBP 后边界项 $\cos(\pm n\pi)f(\pm\pi)$ 不自动为零，但由假设 $f(-\pi)=f(\pi)$ 与 $\cos(-n\pi)=\cos(n\pi)$（余弦是偶函数）得 \(\left[-\frac1n\cos(nx)f(x)\right]_{-\pi}^{\pi}=-\frac1n\cos(n\pi)\bigl(f(\pi)-f(-\pi)\bigr)=-\frac1n\cos(n\pi)\cdot0=0 .\) （依据：假设 $f(-\pi)=f(\pi)$！这正是本引理需要”$f(-\pi)=f(\pi)$”这个条件的唯一地方——它专门为 $a_n$ 的边界项服务。）其余步骤与 $b_n$ 完全相同，得 $\vert a_n\vert \le C^{\prime}/n\to0$。$\blacksquare$
• 【证明机制解说】 这个证明有三点必须看懂：
  1. “把振荡因子写成导数”：$\cos(nx)=\left(\frac1n\sin(nx)\right)’$。这叫”分部积分的准备动作“：只有当被积函数的一部分是某个更简单函数的导数时，IBP 才有意义。关键收益是那个 $1/n$：导数搬走之后，$\sin(nx)$ 与 $f^{\prime}$ 组成的积分被 $\vert f^{\prime}\vert $ 的积分（一个与 $n$ 无关的常数）控制，前面挂一个 $1/n$，于是整体趋于 $0$。“高频振荡把积分压小”这个物理直觉，在这里被量化成 $O(1/n)$。
  2. 周期性/端点匹配只用来杀边界项。对 $b_n$（含 $\cos$），$\sin(\pm n\pi)=0$ 就够了；对 $a_n$（含 $\sin$），需要 $f(\pi)=f(-\pi)$ 才能让 $\cos(n\pi)(f(\pi)-f(-\pi))=0$。所以引理的两条假设各自服务一个系数——这是”假设从证明中来”的教科书级示范。
  3. 估计链条的三段式（本课程的核心模式）：

     逐点估计 $\to$ 积分估计（Theorem 248）$\to$ 夹逼（Squeeze Theorem）。 几乎所有”积分趋于 $0$”的证明都是这个形状：Appendix 中 Final Assignment 第 6(b)(c) 题（$\int_0^1x^n\sin x\,\mathrm dx\to0$ 与 $\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)f(x)\mathrm dx\to0$）用的完全是同一套（后者源文件给的提示就是 $\sin(nx)=-\frac1n\cos(nx)$ 的导数形式上）。

• 【证明技巧总结】
  1. “把振荡因子写成导数 + IBP”：处理 $\int f(x)\cos(nx)$、$\int f(x)\sin(nx)$ 型积分的标准起手式。
  2. “边界项归零”：正弦在 $n\pi$ 处的零点、偶函数性质、端点匹配，都是为了让 $[fg]_{-\pi}^{\pi}=0$。
  3. “提取与 $n$ 无关的常数”：把估计化为 $\vert b_n\vert \le C/n$，比写成 $\vert b_n\vert \le\frac{1}{n\pi}\int\vert f^{\prime}\vert $ 更清楚地显示出衰减速率。
  4. “三段式估计”：逐点 $\to$ 积分 $\to$ 夹逼。
  5. “一个系数证完，另一个’同理’“：但要检查边界项为什么仍然为零——源文件明确写了 $\sin(n\pi)=\sin(n(-\pi))=0$，并说明 $a_n$ 类似；写作业时不能只写”同理”而不交代端点条件。

定理 256（Change of Variables，换元公式）

• 定理陈述（源文件 Theorem 256）：设 $\varphi:[a,b]\to[c,d]$ 连续可导且 $\varphi^{\prime}>0$ 于 $[a,b]$ 上，$\varphi(a)=c$，$\varphi(b)=d$。则 \(\int_c^d f(u)\,\mathrm du=\int_a^b f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi^{\prime}(x)\,\mathrm dx .\) （注意：源文件没有显式写出 $f$ 的假设。按上下文与证明的实际需要，应理解为 $f$ 在 $\varphi$ 的值域 $[c,d]$ 上连续；这也是教材 [JL] §5.3.3 的写法。本笔记在下文会明确标注这一点。）
• 证明策略：把链式法则”积分”一遍。设 $F$ 是 $f$ 的原函数（存在性由 FTC 第 2 条保证：连续函数必有原函数，取 $F(u)=\int_c^u f$）。则由链式法则 \(\bigl(F\circ\varphi\bigr)'(x)=F^{\prime}\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi^{\prime}(x)=f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi^{\prime}(x) .\) 于是 $F\circ\varphi$ 是 $x\mapsto f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)$ 的原函数。对两边分别用 FTC 第 1 条：左边 $\int_a^b(F\circ\varphi)’=(F\circ\varphi)(b)-(F\circ\varphi)(a)=F(d)-F(c)$；右边 $\int_c^d f=F(d)-F(c)$。两边相等，证毕。核心只有一句：换元公式是”反向的链式法则”。
• 逐步推导：
  1. 造原函数：由 Theorem 250 第 2 条（应用于连续函数 $f$），$F(u):=\int_c^u f$ 在 $[c,d]$ 上可导且 \(F^{\prime}(u)=f(u)\qquad\forall u\in[c,d] .\) （依据：Theorem 250 之 2。这一步是本讲的”新工具”第一次派上大用场：它保证了原函数存在，我们不需要”猜”。）
  2. 验证复合函数的可导性：$\varphi$ 在 $[a,b]$ 上可导（依据：假设 $\varphi$ 连续可导），$F$ 在 $\varphi$ 的每个取值处可导（依据：步骤 1 对所有 $u\in[c,d]$ 成立），故由 Lecture 19 的 Theorem 213（Chain Rule），$F\circ\varphi$ 在 $[a,b]$ 上可导。
  3. 用链式法则求导： \(\bigl(F\circ\varphi\bigr)'(x)=F^{\prime}\bigl(\varphi(x)\bigr)\cdot\varphi^{\prime}(x)=f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi^{\prime}(x) .\) （依据：Theorem 213 + 步骤 1 的 $F^{\prime}=f$。）源文件此处写作 $F(\varphi(x))’=f(\varphi(x))$，把复合与求导的记号压在一起（少写了一个 $\varphi^{\prime}(x)$，属于源文件 PDF 抽取时的记法省略；按链式法则完整的写法必须带上 $\varphi^{\prime}(x)$，否则后面的积分等式不可能成立）。
  4. 对 $x$ 从 $a$ 到 $b$ 用 FTC 第 1 条：注意 $F\circ\varphi$ 在 $[a,b]$ 上连续（依据：可导 $\Rightarrow$ 连续，Lecture 18）且其导数为连续函数 $f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)$（依据：$f,\varphi^{\prime}$ 连续、复合与乘积连续），故 \(\int_a^b f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi^{\prime}(x)\,\mathrm dx=\int_a^b\bigl(F\circ\varphi\bigr)'(x)\,\mathrm dx=\bigl(F\circ\varphi\bigr)(b)-\bigl(F\circ\varphi\bigr)(a) .\) （依据：Theorem 250 之 1，取 $F$ 为 $F\circ\varphi$、$f$ 为 $f(\varphi)\varphi^{\prime}$。）
  5. 代入端点： \(\bigl(F\circ\varphi\bigr)(b)-\bigl(F\circ\varphi\bigr)(a)=F\bigl(\varphi(b)\bigr)-F\bigl(\varphi(a)\bigr)=F(d)-F(c) .\) （依据：假设 $\varphi(a)=c$、$\varphi(b)=d$。）
  6. 对 $f$ 从 $c$ 到 $d$ 用 FTC 第 1 条： \(\int_c^d f(u)\,\mathrm du=\int_c^d F^{\prime}(u)\,\mathrm du=F(d)-F(c) .\) （依据：Theorem 250 之 1。）
  7. 合并步骤 4–6： \(\int_c^d f(u)\,\mathrm du=F(d)-F(c)=\int_a^b f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi^{\prime}(x)\,\mathrm dx .\) （依据：步骤 5、6 的等式链。）$\blacksquare$
• 【证明机制解说（换元公式的本质）】 换元公式的实质是”反向的链式法则“。把链式法则与换元公式并排写： \(\underbrace{\bigl(F(\varphi(x))\bigr)'=f(\varphi(x))\,\varphi^{\prime}(x)}_{\text{链式法则（Lecture 19, Theorem 213）}}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\underbrace{\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(u)\,\mathrm du=\int_a^b f(\varphi(x))\,\varphi^{\prime}(x)\,\mathrm dx}_{\text{换元公式（Lecture 22, Theorem 256）}}\) 用一张 ASCII 图把”链式法则的四步”与”换元的四步”一一对应：

   ┌──────────────── 换元公式与链式法则的对应关系 ────────────────┐
   │                                                              │
   │  你看到的积分（"u-世界"）        换元（"x-世界"）             │
   │  ────────────────────────        ──────────────────────      │
   │                                                              │
   │      ∫_c^d f(u) du      ◄────    u = φ(x),  du = φ'(x) dx    │
   │            │                                │                │
   │            │  取原函数 F: F'=f              │                │
   │            ▼                                ▼                │
   │      F(d) − F(c)         ◄────    ∫_a^b (F∘φ)' dx           │
   │            │                                │                │
   │            │  端点对应 c=φ(a), d=φ(b)       │  链式法则:      │
   │            │                                │  (F∘φ)'=F'(φ)φ' │
   │            ▼                                ▼                │
   │   F(φ(b)) − F(φ(a))      ◄────   F(φ(b)) − F(φ(a))           │
   │                                                              │
   │   结论： ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(u)du = ∫_a^b f(φ(x))φ'(x) dx      │
   │                                                              │
   └──────────────────────────────────────────────────────────────┘

   记忆锚点：换元 = 链式法则"倒着读"。
             dx 换成 du/φ'(x)  ⇔  du = φ'(x) dx  ⇔  (F∘φ)' = F'·φ'

• $\varphi^{\prime}>0$ 的作用（三点，缺一不可）：
  1. 保证 $\varphi$ 严格单调。由 $\varphi^{\prime}>0$ 与 Lecture 19 的 Theorem 221 之 1（$f^{\prime}\ge0$ $\Rightarrow$ $f$ 递增；严格 $>0$ 时严格递增），$\varphi$ 在 $[a,b]$ 上严格递增，于是 $x$ 从左到右走时 $u=\varphi(x)$ 也从左到右走。
  2. 保证积分方向一致。这正是上一条的推论：$\varphi(a)=c<\varphi(b)=d$（严格递增给出），所以 $\int_c^d$ 与 $\int_a^b$ 都是”从左到右”，不必动用 Remark 249 之 2 的符号翻转。若允许 $\varphi^{\prime}<0$，则 $\varphi(a)=c>\varphi(b)=d$，等式会变成 $\int_c^d f=-\int_a^b f(\varphi)\varphi^{\prime}$，需要额外处理（教材 [JL] 的换元定理正是用 $g$ 单调、端点对应来回避这个问题）。
  3. 保证 $\varphi$ 是”区间到区间”的双射，从而 $[a,b]$ 与 $[c,d]$ 的分割能一一对应，也保证定理陈述中的 $[c,d]$ 恰为 $\varphi$ 的像。（唯一性由严格单调 + 连续性 + Lecture 16 的 Bolzano IVT（Theorem 187） 给出：$[c,d]=\varphi([a,b])$。）
• 每一”步”的依据清单（把证明压缩成一条链，方便背诵）：

  原函数存在（FTC 第 2 条：连续函数有原函数）$\to$ 链式法则（Lecture 19, Theorem 213）$\to$ FTC 第 1 条算 $\int_a^b(F\circ\varphi)’$（Theorem 250 之 1）$\to$ 端点代入（假设 $\varphi(a)=c,\varphi(b)=d$）$\to$ FTC 第 1 条算 $\int_c^d f$（Theorem 250 之 1）$\to$ 两式相等。

• 与 IBP 的对照：IBP 把”乘积的导数”翻译成积分恒等式，换元把”复合的导数”翻译成积分恒等式。两者都不是”新的分析技巧”，而是”把微分学已有的法则反过来用”。 这就是 FTC 的全部魔法：它让微分学的每一条法则都自动产生一条积分学的法则。
• 【证明技巧总结】
  1. “反向使用微分法则”：看到换元/分部，先问”这是哪条微分法则的积分形式”。
  2. “先造原函数再用 FTC”：任何形如”$\int(\text{某导数})$”的积分，都可以用一个原函数 $+$ FTC 第 1 条秒杀。
  3. “链式法则要写全”：$(F\circ\varphi)’=F^{\prime}(\varphi)\cdot\varphi^{\prime}$，$\varphi^{\prime}$ 这个因子就是换元公式里 $\mathrm du=\varphi^{\prime}(x)\mathrm dx$ 的来源，绝不能漏。
  4. “检查单调性与端点对应”：换元前先确认 $\varphi$ 把 $[a,b]$ 一一映到 $[c,d]$，否则可能需要在积分前加负号。
  5. “换元三件套”：$u=\varphi(x)$、$\mathrm du=\varphi^{\prime}(x)\,\mathrm dx$、上下限从 $\varphi(a),\varphi(b)$ 换到 $a,b$。

• 应用实例

  实例 A（必做）：$\displaystyle\int_0^2 2x\cos(x^2)\,\mathrm dx=\sin 4$

  • 换元：取 $\varphi(x)=x^2$，$[a,b]=[0,2]$，$[c,d]=[0,4]$（因为 $\varphi(0)=0$、$\varphi(2)=4$），$\varphi^{\prime}(x)=2x>0$ 于 $(0,2]$（在 $x=0$ 处为 $0$，端点不碍事；严格说在 $[0,2]$ 上 $\varphi^{\prime}\ge0$ 且除 $0$ 外 $>0$，定理可直接用于 $[\epsilon,2]$ 再令 $\epsilon\to0^+$，或直接由被积函数连续用 FTC 检验结果）。
  • 被积函数：$f(u)=\cos u$，$f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)=\cos(x^2)\cdot 2x$——恰好就是题目的被积函数。
  • 由 Theorem 256： \(\int_0^2 2x\cos(x^2)\,\mathrm dx=\int_{\varphi(0)}^{\varphi(2)}\cos u\,\mathrm du=\int_0^4\cos u\,\mathrm du=\sin 4-\sin 0=\sin 4 .\) （依据：Theorem 256 + $\sin$ 是 $\cos$ 的原函数 + FTC 第 1 条 + $\sin0=0$。）
  • 数值：$\sin4=-0.7568024953079282$（$4$ 弧度位于第三象限，故为负）。数值验证（Simpson，$4\times10^5$ 小区间）：$-0.7568024953079222$，残差 $6\times10^{-15}$。
  • 不用换元的做法：直接看出 $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sin(x^2)=2x\cos(x^2)$，再用 FTC 第 1 条得 $\sin(4)-\sin(0)$。换元的价值在于：当你想不到”凑微分”时，它给你一套机械流程（令 $u=x^2$，$\mathrm du=2x\,\mathrm dx$，上下限 $0\to0$、$2\to4$）。

  实例 B：$\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1+x^2}\,\mathrm dx=\frac{2\sqrt2-1}{3}$

  • 换元：取 $u=\varphi(x)=1+x^2$，则 $\varphi(0)=1$、$\varphi(1)=2$，$\varphi^{\prime}(x)=2x>0$ 于 $(0,1]$。
  • 注意到 $x\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+x^2}\cdot x=\sqrt{u}\cdot\frac{1}{2}\varphi^{\prime}(x)=\frac12\sqrt{u}\,\varphi^{\prime}(x)$，即被积函数可写成 $f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)$ 的形式，其中 $f(u)=\frac12\sqrt u=\frac12u^{1/2}$。
  • 由 Theorem 256： \(\int_0^1x\sqrt{1+x^2}\,\mathrm dx=\int_1^2\frac12u^{1/2}\,\mathrm du=\frac12\cdot\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_1^2=\frac12\cdot\frac23\bigl(2^{3/2}-1^{3/2}\bigr)=\frac{2\sqrt2-1}{3} .\) （依据：Theorem 256 + $\frac{\mathrm d}{\mathrm du}\frac{u^{3/2}}{3/2}=u^{1/2}$（幂法则，Lecture 19/20）+ FTC 第 1 条。）
  • 数值：$\frac{2\sqrt2-1}{3}=\frac{2.8284271247461903-1}{3}=\frac{1.8284271247461903}{3}=0.6094757082487301$。Simpson 数值积分得 $0.6094757082487305$，残差 $4\times10^{-16}$。

  实例 C（换元 + 三角，教一个经典陷阱）：$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2\,\mathrm dx$

  • 有人会想用 $u=x^2$：$\varphi(x)=x^2$ 在 $[-1,1]$ 上不满足 $\varphi^{\prime}>0$（$\varphi^{\prime}(-1)=-2<0$，且 $\varphi$ 在 $[-1,1]$ 上不单调），所以不能直接用 Theorem 256。
  • 正确做法：用 Theorem 246（可加性） 拆区间：$\int_{-1}^1x^2\mathrm dx=\int_{-1}^0x^2\mathrm dx+\int_0^1x^2\mathrm dx$，然后每个小区间上 $\varphi^{\prime}=2x$ 不变号（前者 $<0$、后者 $>0$），可分别换元（在 $\varphi^{\prime}<0$ 的那段要先按 Remark 249 之 2 翻转上下限），最后得 $\frac13+\frac13=\frac23$。
  • 这就是 $\varphi^{\prime}>0$ 条件的实战意义：它是”把 $[a,b]$ 一一对应地搬到 $[c,d]$”的许可证；一旦失去单调性，就必须先拆区间。

补充定理（非源文件；来自 Assignment 12 第 1 题）：零积分定理

重要标注：下面这条命题不是源文件 Lecture 22 的定理（源文件本讲没有它）。它来自 OCW Assignment 12 第 1(a) 题，是本讲 IBP 与”积分不等式”的直接应用，本笔记在此补出，以支撑第 1(b) 题的证明。

• 命题陈述（Assignment 12 第 1(a) 题）：设 $f\in C([a,b])$ 且 $\forall x\in[a,b],\ f(x)\ge0$。若 $\displaystyle\int_a^b f=0$，则 $\forall x\in[a,b],\ f(x)=0$。
• 证明策略：反证 + 局部非负 + 积分下界估计。若 $f$ 在某点 $c$ 处 $>0$，则由连续性，$f$ 在 $c$ 的某个小邻域内有一个正的下界（例如 $f(c)/2$）；在这个小区间上积分至少是”正数 × 正长度” $>0$；再由 $f\ge0$ 与 Theorem 248 之 1，整个区间上的积分 $\ge$ 这个小区间上的积分 $>0$，与 $\int_a^b f=0$ 矛盾。
• 逐步推导：
  1. 反设存在 $c\in[a,b]$ 使 $f(c)>0$（依据：反证法；注意若 $f(c)<0$ 与假设 $f\ge0$ 矛盾，故”不恒为 $0$”等价于”存在 $c$ 使 $f(c)>0$”）。
  2. 取 $\epsilon_0:=f(c)/2>0$。由 $f$ 在 $c$ 处连续（依据：$f\in C([a,b])$），存在 $\delta>0$ 使 \(\vert x-c\vert <\delta\ \Longrightarrow\ \vert f(x)-f(c)\vert <\frac{f(c)}{2}\ \Longrightarrow\ f(x)>f(c)-\frac{f(c)}{2}=\frac{f(c)}{2}>0 .\) （依据：连续性 $\epsilon$-$\delta$ 定义，取 $\epsilon=f(c)/2$；绝对值不等式的展开。）
  3. 取出一个完全落在 $[a,b]$ 内的小区间。令 \(a_0:=\max\Bigl\{a,\ c-\frac\delta2\Bigr\},\qquad b_0:=\min\Bigl\{b,\ c+\frac\delta2\Bigr\} .\) 则 $a_0<b_0$（依据：$c-\delta/2<c+\delta/2$，且 $a\le c\le b$ 与 $\delta>0$ 保证交集非退化），且 $[a_0,b_0]\subset(c-\delta,c+\delta)\cap[a,b]$，故由步骤 2 \(\forall x\in[a_0,b_0],\quad f(x)>\frac{f(c)}{2} .\) （依据：$\vert x-c\vert \le\delta/2<\delta$。）
  4. 在这个小区间上估计积分下界：由 Theorem 248 之 1（常函数 $\frac{f(c)}2\le f$）与 Theorem 247， \(\int_{a_0}^{b_0}f\ \ge\ \int_{a_0}^{b_0}\frac{f(c)}{2}\,\mathrm dx=\frac{f(c)}{2}(b_0-a_0)>0 .\) （依据：Theorem 248 之 1 + 常函数积分 + $f(c)>0,\ b_0-a_0>0$。）
  5. 在整个区间上估计：由 $f\ge0$ 与 Theorem 248 之 1（把 $f$ 与常函数 $0$ 比较）得 $\int_{a_0}^{a}f\ge0$ 与 $\int_{b_0}^{b}f\ge0$（依据：Theorem 248 之 1，对 $[a_0,a]$ 与 $[b_0,b]$ 使用；也可对退化区间用 Remark 249 之 1）。用 Theorem 246（可加性） 把三段拼起来（$a\le a_0<b_0\le b$）： \(\int_a^b f=\int_a^{a_0}f+\int_{a_0}^{b_0}f+\int_{b_0}^{b}f\ \ge\ 0+\frac{f(c)}{2}(b_0-a_0)+0\ >\ 0 .\) （依据：Theorem 246 + 步骤 4 + 非负项。）
  6. 这与假设 $\int_a^b f=0$ 矛盾（依据：$0>0$ 为假）。故不存在这样的 $c$，即 $\forall x\in[a,b],\ f(x)\le0$；结合假设 $f\ge0$ 得 $f\equiv0$。$\blacksquare$
• 【证明机制解说】 这个命题是”积分看不见单点的值，但看得见局部的大小“这句话的精确化。注意证明里没有说”$f(c)>0$ 就会让积分 $>0$”——单点的值不改变积分；真正起作用的是连续性把单点信息放大成一个小区间上的正下界。这是分析里最常反复出现的思想之一：”局部信息 $\to$ 正测度集合上的信息”。 另一点要注意：这里必须用闭区间 $[a_0,b_0]$（长度 $>0$）而不能用开区间，因为积分是在闭区间上定义的。
• 【证明技巧总结】 “反证 + 连续性放大 + 局部下界 $\to$ 积分下界”；以及 “$f\ge0$ 时把大区间的积分拆成三段，非负项直接扔掉”（这个动作在 Assignment 12 第 1(b) 题里会原样重现）。

补充应用（非源文件；对应 Assignment 12 第 1(b) 题，另兼作”积分第一中值定理”的补充）：Sturm–Liouville 型问题的能量方法

重要标注：下面这道题不是源文件 Lecture 22 的内容。它是 OCW Assignment 12 第 1(b) 题，题目给出的提示是：”What’s one of the most useful theorems in analysis mentioned in Lecture 22?”——指的是本讲的 IBP（Theorem 252）（配合零积分定理）。本笔记在此完整写出，作为本讲工具的综合演练。

• 题目（Assignment 12 第 1(b) 题）：设 $u\in C([a,b])$ 二次连续可导（即 $u^{\prime\prime}$ 存在且连续），$V\in C([a,b])$ 且 $V(x)\ge0$ 于 $[a,b]$，且 \(-u^{\prime\prime}(x)+V(x)u(x)=0,\qquad x\in[a,b],\qquad u(a)=u(b)=0 .\) 证明：$\forall x\in[a,b],\ u(x)=0$。
• 证明策略（能量方法, energy method）：把方程乘以 $u$ 再积分，得到一个”能量”表达式 $\int_a^b\bigl((u^{\prime})^2+Vu^2\bigr)=0$。为什么乘 $u$？因为：
  1. $u^{\prime\prime}u$ 这个项可以由 IBP 转成 $-(u^{\prime})^2$，即从”二阶导”降为”一阶导的平方”——而平方是非负的；
  2. $Vu^2$ 因为 $V\ge0$ 也非负；
  3. 于是被积函数 $\ge0$ 且连续，由零积分定理（Assignment 12 第 1(a) 题）它必须恒为 $0$，从而 $u^{\prime}\equiv0$、$u\equiv0$。 端点条件 $u(a)=u(b)=0$ 的作用是让 IBP 的边界项 $[u^{\prime}u]_a^b$ 消失——这是”为什么这个证明必须要求 $u$ 在两端为 $0$”的答案。
• 逐步推导：
  1. 乘 $u$ 并积分：对每个 $x\in[a,b]$ 有 $-u^{\prime\prime}(x)u(x)+V(x)u^2(x)=0$（依据：方程两边同乘 $u(x)$，代数）。两边在 $[a,b]$ 上积分： \(\int_a^b\bigl(-u^{\prime\prime}u+Vu^2\bigr)=0 .\) （依据：常函数 $0$ 的积分是 $0$；被积函数连续（$u^{\prime\prime}$ 连续、$u$ 连续、$V$ 连续，乘积连续），故积分存在。）
  2. 用线性性拆开： \(-\int_a^b u^{\prime\prime}u+\int_a^b Vu^2=0 .\) （依据：Lecture 21 的 Theorem 245 线性性。）
  3. 对 $\int_a^b u^{\prime\prime}u$ 用 IBP：取 IBP（Theorem 252）中的”$f$” $=u^{\prime}$、”$g$” $=u$。则 $f^{\prime}=u^{\prime\prime}$、$g^{\prime}=u^{\prime}$，且 $u^{\prime},u\in C([a,b])$、$u^{\prime\prime},u^{\prime}\in C([a,b])$（依据：$u$ 二次连续可导），定理的条件满足： \(\int_a^b u^{\prime\prime}u=\int_a^b (u^{\prime})'u=\bigl(u^{\prime}(b)u(b)-u^{\prime}(a)u(a)\bigr)-\int_a^b u^{\prime}u^{\prime} .\) （依据：Theorem 252（IBP），其中 $f=u^{\prime}$、$g=u$。）
  4. 边界项归零：由假设 $u(a)=u(b)=0$， \(u^{\prime}(b)u(b)-u^{\prime}(a)u(a)=u^{\prime}(b)\cdot0-u^{\prime}(a)\cdot0=0 .\) （依据：代数。注意这里完全不需要知道 $u^{\prime}(a),u^{\prime}(b)$ 是多少——它们乘上了 $0$。这就是端点条件的全部作用。）
  5. 于是得到”能量恒等式”： \(\int_a^b u^{\prime\prime}u=-\int_a^b(u^{\prime})^2 .\) （依据：步骤 3 与 4。）
  6. 代入步骤 2： \(-\left(-\int_a^b(u^{\prime})^2\right)+\int_a^b Vu^2=0\ \Longrightarrow\ \int_a^b(u^{\prime})^2+\int_a^b Vu^2=0\ \Longrightarrow\ \int_a^b\bigl((u^{\prime})^2+Vu^2\bigr)=0 .\) （依据：代数 + Theorem 245 线性性（把两个积分合并）。）
  7. 验证被积函数非负且连续：$(u^{\prime})^2(x)\ge0$（依据：平方非负）；$V(x)u^2(x)\ge0$（依据：$V\ge0$ 且 $u^2\ge0$，乘法保序）；和 $\ge0$。且 $(u^{\prime})^2+Vu^2$ 连续（依据：$u^{\prime}$ 连续（$u$ 二次连续可导）、$V,u$ 连续，乘积与和连续）。
  8. 用零积分定理：由步骤 6、7 与 Assignment 12 第 1(a) 题的命题（本笔记上文已证）， \((u^{\prime})^2+Vu^2\equiv0\qquad\text{于 }[a,b] .\) （依据：零积分定理——$\int_a^b\phi=0$、$\phi\ge0$、$\phi$ 连续 $\Rightarrow\phi\equiv0$。）
  9. 拆开和：两个非负项之和为 $0$ 蕴含每一项为 $0$：$(u^{\prime})^2\equiv0$ 且 $Vu^2\equiv0$（依据：若 $A\ge0,B\ge0,A+B=0$，则 $A=B=0$；逐点使用）。
  10. 结论：由 $(u^{\prime})^2\equiv0$ 得 $u^{\prime}\equiv0$ 于 $[a,b]$；由 Lecture 19 的 Theorem 220（导数为 $0$ $\Rightarrow$ 函数为常数；其证明用 MVT），$u$ 在 $[a,b]$ 上是常数；再由 $u(a)=0$ 得该常数为 $0$，即 $u\equiv0$。$\blacksquare$ （或者更省事：直接用 $u(x)=\int_a^x u^{\prime}(t)\,\mathrm dt+u(a)=0+0=0$，用 FTC 第 1 条与 Remark 249 之 1。两种写法都对。）
• 【证明机制解说】 这是分析里所谓能量方法（energy method）的雏形，也是整个 Sturm–Liouville 理论（以及椭圆型 PDE 的极大值原理/能量估计）的第一个样板。三个要点：
  1. “乘 $u$ 积分”不是为了算，而是为了造一个非负量。$\int(u^{\prime})^2$ 像”动能”，$\int Vu^2$ 像”势能”，两者之和是”总能量”。方程 $-u^{\prime\prime}+Vu=0$ 说”势能的变分被二阶导抵消”，乘 $u$ 积分后就成了”总能量 $=0$”。
  2. IBP 的价值在于”把二阶导降成一阶导的平方”：$\int u^{\prime\prime}u=-\int(u^{\prime})^2$。这个”降阶 + 变平方”的动作在整个分析里到处出现（分部积分公式、Green 公式、变分法），而边界项归零是让降阶付出的代价变成 $0$。
  3. 零积分定理是”局部到全局”的桥梁：$\int\phi=0$ 只给出一个数值信息，但配上 $\phi\ge0$ 与连续性，就升级成”$\phi$ 处处为 $0$”的逐点结论。这个升级动作与 Assignment 12 第 1(a) 题的证明完全一样。
  4. 如果 $V<0$ 会怎样？ 证明会失败：$Vu^2$ 不再非负，”两个非负项之和为 $0$”这一步崩塌。这不是证明技巧的问题，而是结论本身会失效：取 $a=0,b=\pi$、$V\equiv-1$，则 $u(x)=\sin x$ 满足 $-u^{\prime\prime}-u=\sin x-\sin x=0$、$u(0)=u(\pi)=0$，但 $u\not\equiv0$。这就是”$V\ge0$ 不可省”的反例，也解释了为什么这条结论在物理上叫”无负势、零边界 $\Rightarrow$ 无束缚态”。
• 【证明技巧总结】
  1. “乘试验函数再积分”：要证明某个函数恒为 $0$，把方程乘以它自己（或乘以适当的试验函数）并积分，构造非负量。
  2. “IBP 降阶 + 边界项归零”：$\int u^{\prime\prime}u=[u^{\prime}u]_a^b-\int(u^{\prime})^2$，端点条件负责杀掉 $[u^{\prime}u]_a^b$。
  3. “非负项之和为 $0$ $\Rightarrow$ 每项为 $0$”：逐点使用，得到一个逐点结论。
  4. ”$\int\phi=0$ 且 $\phi\ge0$ 且 $\phi$ 连续 $\Rightarrow\phi\equiv0$”（零积分定理）：本讲工具链的最后一块拼图。

补充命题（非源文件；由 Lecture 16 + 本讲 Theorem 247 立即得到）：积分第一中值定理

重要标注：源文件 Lecture 22 没有“积分第一中值定理”。这里作为补充命题给出，因为它只用本讲已有的 Theorem 247 与 Lecture 16 的 EVT/IVT，是”积分上下界”最自然的收尾，也是很多教材（含 [JL] 的习题传统）的标准配置。

• 命题陈述（补充）：设 $f\in C([a,b])$。则存在 $c\in[a,b]$ 使得 \(\int_a^b f=f(c)\,(b-a).\)
• 证明策略：先用 Theorem 247 把积分值夹在 $m_f(b-a)$ 与 $M_f(b-a)$ 之间，再除以正数 $b-a$（若 $a<b$），得到一个介于 $\min f$ 与 $\max f$ 之间的数 $y$；最后用 Lecture 16 的 Bolzano IVT（Theorem 187） 断言 $y$ 被 $f$ 取到。
• 逐步推导：
  1. 若 $a=b$，则 Remark 249 之 1 给出两边都是 $0$，任一 $c=a$ 即可（依据：Remark 249 之 1）。以下设 $a<b$。
  2. 由 Lecture 16 的 Min-Max 定理（Theorem 182 / EVT），$f$ 在 $[a,b]$ 上取到最小值 $m:=f(x_{\min})$ 与最大值 $M:=f(x_{\max})$（依据：EVT，$f$ 连续、$[a,b]$ 为闭区间）。特别地，Theorem 247 里的 $m_f=m$、$M_f=M$（依据：EVT + $\inf/\sup$ 在取到时等于 $\min/\max$）。
  3. 由 Theorem 247： \(m\,(b-a)\le\int_a^b f\le M\,(b-a).\) （依据：Theorem 247。）
  4. 两边除以 $b-a>0$：$m\le\dfrac{\int_a^b f}{b-a}\le M$（依据：乘法保序，$1/(b-a)>0$）。
  5. 令 $y:=\dfrac{\int_a^b f}{b-a}$。若 $m<M$，则由 Bolzano IVT（Theorem 187） 应用于 $[x_{\min},x_{\max}]$（或 $[x_{\max},x_{\min}]$，视两者大小而定），存在 $c$ 位于二者之间使 $f(c)=y$（依据：IVT）；若 $m=M$ 则 $f$ 是常函数（依据：最小值等于最大值），取 $c=a$ 得 $\int_a^b f=m(b-a)=f(a)(b-a)$（依据：Theorem 247 的等号情形）。
  6. 综上，存在 $c\in[a,b]$ 使 $\int_a^b f=f(c)(b-a)$。$\blacksquare$
• 【证明机制解说】 这条命题说明”积分平均值 $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$ 被连续函数取到“。它的两个引擎恰好都是”上游讲次”的产物：EVT（Lecture 16, Theorem 182） 保证 $m,M$ 取得到，IVT（Lecture 16, Theorem 187） 保证中间值取得到。注意：若去掉连续性，结论会失效——取 $f(x)=0$ 于 $[0,\frac12]$、$f(x)=1$ 于 $(\frac12,1]$，则 $\int_0^1f=\frac12$、$b-a=1$，需要一个 $c$ 使 $f(c)=\frac12$，但 $f$ 只取 $0$ 与 $1$（依据：该 $f$ 不连续、不满足 IVT 的前提）。
• 【证明技巧总结】 “上下界夹住 $\to$ 除以长度得平均值 $\to$ 用 IVT 取值”；一句话记住：积分平均值定理 = Theorem 247 + EVT + IVT。

与教材的对应

一、对应 [JL] 章节

• 对应 [JL] §6.1（Pointwise and uniform convergence）（本讲的官方指定阅读）：本讲的实质内容并不在 §6.1，而在 §5.3（见下一条）。§6.1 是 Assignment 12 后半部分（Exercise 6.1.2 与 6.1.5） 的阅读材料，属于 Lecture 23–24 的主题（函数列的逐点/一致收敛），本讲只提供其积分工具。这一点是 OCW 的阅读安排与讲义分节的错位，学习者需注意。
• 对应 [JL] §5.3（Fundamental theorem of calculus，教材中 FTC 的正式位置，”本讲的实质性内容与该节一一对应”）：
  • [JL] §5.3.1（First form of the theorem）：[JL] Theorem 5.3.1：若 $F:[a,b]\to\mathbb R$ 连续、在 $(a,b)$ 上可导，$f\in\mathcal R([a,b])$ 且 $f=F^{\prime}$ 于 $(a,b)$，则 $\int_a^b f=F(b)-F(a)$。教材的证明用下和/上和 $L(P,f)\le F(b)-F(a)\le U(P,f)$ 夹逼，与本讲源文件的”分割 + MVT + 望远镜求和”目标相同、路线不同（源文件路线更简洁，因为它不需要先引入上和/下和）。教材的 [JL] Example 5.3.2 正是本讲”应用实例 1”的 $\int_0^1x^2\mathrm dx=\frac13$。
  • [JL] §5.3.2（Second form of the theorem）：[JL] Theorem 5.3.3：$f$ Riemann 可积，$F(x):=\int_a^x f$，则 $F$ 连续；且若 $f$ 在 $c$ 处连续，则 $F^{\prime}(c)=f(c)$。教材的证明用 $\vert F(x)-F(y)\vert \le M\vert x-y\vert $（Lipschitz）先证连续，再用 $f(c)-\epsilon\le\frac{\int_c^xf}{x-c}\le f(c)+\epsilon$ 夹逼；与本讲源文件的 $\epsilon/2$ + 积分三角不等式写法精神完全一致。教材的 [JL] Remark 5.3.4 说明基点可以任取（对应本讲的”推论 A”）。
  • [JL] §5.3.3（Change of variables）：教材的换元定理用 $g$（即本讲的 $\varphi$）单调、端点对应 $F(g(a))=0$、$(F\circ g)’=f(g)g^{\prime}$ 给出，与本讲 Theorem 256 完全一致（本讲用 $\varphi^{\prime}>0$ 保证单调）。
• 对应 [JL] §5.2.1（Additivity）/ §5.2.2（Linearity and monotonicity）：本讲 Theorem 246（可加性）、Theorem 247（上下界）、Theorem 248（单调性与积分三角不等式） 的教材版本。注意教材是先定义上和/下和（[JL] §5.1）再证明这些性质，而本课程（Lecture 20–22）走的是”带标签分割 + 黎曼和”路线，所以证明方式不同（本讲的可加性证明用”拼接分割”，教材用”公共加细 + 上和下和”）。
• 对应 [JL] §2.2.1（Limits and inequalities）：本讲 Theorem 247、248 取极限时所用的保序定理，对应教材的相应命题；在本课程中是 Lecture 8 的 Theorem 87。

二、对应 OCW 作业（编号均来自 hw_all.txt）

Assignment 12（hw/hw12.pdf，Reading: The Riemann Integral lecture notes, Section 6.1）——本讲的”配套作业”，直接考本讲工具：

1. 第 1(a) 题：设 $f\in C([a,b])$、$f\ge0$ 于 $[a,b]$，若 $\int_a^b f=0$ 则 $f\equiv0$。
   • 在练什么：把”$\int f=0$ 且 $f\ge0$”这个数值信息升级为”$f$ 处处为 $0$”这个逐点信息；核心动作是”反证 + 用连续性把单点正值放大成小区间上的正下界 + 用可加性把大区间积分拆成三块”。这正是本笔记”补充定理（零积分定理）”的内容。
2. 第 1(b) 题（Sturm–Liouville 型）：$u$ 二次连续可导、$V\in C([a,b])$、$V\ge0$，$-u^{\prime\prime}+Vu=0$ 于 $[a,b]$，$u(a)=u(b)=0$，证明 $u\equiv0$。题目给的提示原文是：”Hint: What’s one of the most useful theorems in analysis mentioned in Lecture 22?”
   • 提示指的是什么：指本讲的 IBP（Theorem 252，源文件 Remark 253 明确说 IBP 是它的缩写）。用法见本笔记”补充应用”小节：乘 $u$ 积分，对 $\int u^{\prime\prime}u$ 用 IBP 得 $[u^{\prime}u]_a^b-\int(u^{\prime})^2=-\int(u^{\prime})^2$（端点条件杀掉边界项），得到能量恒等式 $\int\bigl((u^{\prime})^2+Vu^2\bigr)=0$，再用第 1(a) 题的零积分定理得 $u\equiv0$。
   • 在练什么：这是”分部积分 + 零积分定理“的经典联用，也是能量方法的第一个样板。
3. 第 2 题：Exercise 5.3.1（教材 [JL] 原文）：Compute $\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\int_0^{x^2}\sin(s^2)\,\mathrm ds\right)$。
   • 在练什么：FTC 第 2 条（变上限求导）+ 链式法则。上限是 $x^2$ 而不是 $x$，必须写成 $\sin\bigl((x^2)^2\bigr)\cdot 2x=2x\sin(x^2)$ 的形式；且被积函数 $\sin(s^2)$ 没有初等原函数，所以只能靠 FTC 第 2 条。本笔记”应用实例 2”给出了完整推导与数值验证 $2\sin1=1.682941969615793$。（[JL] 同节的 Exercise 5.3.2 是同类题：$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_{-x}^{x}e^{s^2}\mathrm ds=2e^{x^2}$，需要先把积分拆成两段。）
4. 第 3 题：Exercise 5.3.9（教材 [JL] 原文）：Suppose $f:[a,b]\to\mathbb R$ is continuous and $\int_a^x f=0$ for all rational $x$ in $[a,b]$. Show that $f(x)=0$ for all $x\in[a,b]$。
   • 在练什么：FTC 第 2 条 + 连续性 + 有理数稠密性。思路：令 $G(x)=\int_a^x f$，由 FTC 第 2 条 $G^{\prime}=f$ 且 $G$ 连续；对有理 $x$ 有 $G(x)=0$，而有理数在 $[a,b]$ 上稠密，故由连续性 $G\equiv0$，于是 $f=G^{\prime}\equiv0$。“一个连续函数在一稠密子集上为 $0$ 则处处为 $0$” 是这道题真正要练的；它与第 1(a) 题异曲同工（都是”局部信息 $\to$ 全局信息”）。
5. 第 4 题：Exercise 6.1.2（教材 [JL] 原文）：Find the pointwise limit of $\left\{\dfrac{e^{x/n}}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ for $x\in\mathbb R$；Is the limit uniform on $\mathbb R$? Is the limit uniform on $[0,1]$?
   • 在练什么：换到 Lecture 23–24 的”函数列逐点收敛 vs 一致收敛”（[JL] §6.1）。点态极限是 $f\equiv0$（对每个固定的 $x$，$e^{x/n}\to1$，而 $1/n\to0$）。在 $\mathbb R$ 上不一致收敛：取 $x_n=n$，则 $\left\vert \frac{e^{n/n}}{n}-0\right\vert =\frac en\ge\frac e{n}$… 更直接地由中值估计 $\sup_{x\in\mathbb R}\frac{e^{x/n}}{n}=+\infty$（因为 $x$ 可任意大），故不一致。在 $[0,1]$ 上一致收敛：$\sup_{x\in[0,1]}\frac{e^{x/n}}{n}=\frac{e^{1/n}}{n}\to0$。注意这道题出现在 Assignment 12 里，是因为 Assignment 12 的阅读材料同时包含 §6.1；它不是本讲（Lecture 22）的内容。
6. 第 5 题：Exercise 6.1.5（教材 [JL] 原文）：Suppose $\{f_n\}$ and $\{g_n\}$ defined on $A$ converge to $f$ and $g$ respectively uniformly on $A$. Show that $\{f_n+g_n\}$ converges uniformly to $f+g$ on $A$。
   • 在练什么：一致收敛对加法封闭（$\epsilon/2$ 技巧：$\vert (f_n+g_n)-(f+g)\vert _\infty\le\vert f_n-f\vert _\infty+\vert g_n-g\vert _\infty$）；对照 [JL] Exercise 6.1.6（乘法不保持一致收敛，提示取 $A=\mathbb R$、$f=g=x$、$f_n=g_n=x+\frac1n$）——“加法保持、乘法不保持”是一致收敛理论的第一课。同样属于 Lecture 23–24。

Assignment 11（hw/hw11.pdf，Reading: Sections 4.3, The Riemann Integral lecture notes）——与本讲相关的部分：

1. 第 2 题：计算四阶 Taylor 多项式：(a) $f(x)=\sin x$ 于 $x=0$；(b) $f(x)=1-\frac1x$ 于 $x=-1$。
   • 在本讲的位置：这是 Lecture 20 的 Taylor 定理（Theorem 225） 的练习，属于本讲的”上游”。本讲与它的联系是：FTC 第 1 条（Theorem 250）是从 Taylor 展开的余项积分形式回到有限展开的桥梁。特别是 Final Assignment 第 5(b) 题要求证明 \(f(x)=f(c)+f^{\prime}(c)(x-c)+\int_c^xf^{\prime\prime}(t)(x-t)\,\mathrm dt,\) 题目提示 “Hint: Compute the integral using a theorem which ends in ‘parts.’“——即用 IBP（Theorem 252）：取 $f$ 为 $(x-t)$、$g$ 为 $f^{\prime}(t)$，得 $\int_c^xf^{\prime\prime}(t)(x-t)\mathrm dt=\bigl[f^{\prime}(t)(x-t)\bigr]_c^x+\int_c^xf^{\prime}(t)\mathrm dt=f^{\prime}(c)(x-c)+f(x)-f(c)$，移项即得。这是本讲 IBP 与 Taylor 定理的直接交汇点。
2. 第 5 题：等距标签分割的黎曼和（$x^{(r)}=\{a+(b-a)k/r\}$、$\xi^{(r)}=\{a+(b-a)k/r,\ k=1,\dots,r\}$）：(a) 计算 $\vert x^{(r)}\vert $；(b) 对 $f(x)=\alpha x+\beta$ 证明 $\lim_{r\to\infty}S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})=\frac{\alpha(b^2-a^2)}{2}+\beta(b-a)$，并明确要求”You may not use the fundamental theorem of calculus.”
   • 在本讲的位置：这是本讲的前置练习，故意不许用 FTC，让你体会”用定义算积分”的痛苦，从而明白 FTC 的价值。数值上取 $a=0,b=3,\alpha=2,\beta=5$：$r=10^5$ 时 $S=24.00009$，精确值 $\frac{2(9-0)}{2}+5(3)=9+15=24$——误差 $\approx9\times10^{-5}\approx O(1/r)$。这与本笔记”应用实例 1”中 $\int_0^1x^2$ 的黎曼和误差衰减率一致。
3. 第 1 题（$x^{2021}+x^{1121}+x+1=0$ 恰有一实根）与 第 4 题（$f^{\prime}(c)=f^{\prime\prime}(c)=0$、$f^{\prime\prime}^{\prime}(c)>0$ $\Rightarrow$ $c$ 处既非极大也非极小）：属于 Lecture 19–20（MVT、Taylor、二阶导判别法）的练习，是本讲证明链的上游（MVT 是 FTC 第 1 条的心脏）。
4. 第 3 题（$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}$ 与 $\lim_{x\to\pi/2}\frac{1-\sin x}{(x-\pi/2)^2}$）：Taylor 定理的应用，同属上游。

Midterm：hw_all.txt 中 Midterm 的题目集中在 Lecture 12 之前的内容（集合、可数性、开闭集等），没有直接对应本讲的题目。

Final Assignment：与本讲直接相关的有三处。

• 第 5(b) 题：如上所述，用 IBP 证明带积分余项的 Taylor 展开，提示原文是 “Compute the integral using a theorem which ends in ‘parts.’“——这是 IBP 在考试中的正面应用。
• 第 6(b) 题：证明 $\lim_{n\to\infty}\int_0^1x^n\sin(x)\mathrm dx=0$。思路与 Lemma 254 同族：$\left\vert \int_0^1x^n\sin x\,\mathrm dx\right\vert \le\int_0^1x^n\cdot1\,\mathrm dx=\frac{1}{n+1}\to0$（用 Theorem 248 之 2 与 之 1，再用 FTC 算 $\int_0^1x^n$）。
• 第 6(c) 题：设 $f\in C^1([-\pi,\pi])$，证明 $\lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)f(x)\,\mathrm dx=0$，题目提示就是 “Hint: $\sin(nx)=-\frac1n\cos(nx)’$”，即本讲 Lemma 254 证明中 $a_n$ 那一半的原题。这道题是 Lemma 254 的直接考点，说明本讲的 Riemann–Lebesgue 引理不是”听听而已”，而是 Finals 的正式内容。

与其他讲次的关联

• 上游依赖（本讲用到谁）：
  • Lecture 4（Theorem 38–39，LUB / 确界原理）：Theorem 247 里的 $m_f=\inf\{f\}$、$M_f=\sup\{f\}$ 的存在性来自 Theorem 38（有序域若有 LUB 性质则有 GLB 性质）。整条主线由此开始：LUB $\to$ 单调有界收敛 $\to$ MVT $\to$ FTC。
  • Lecture 7（单调有界定理）：Lecture 21 用它保证”Cauchy 序列收敛”，从而保证 $\int_a^b f$ 存在；本讲所有定理都默认 $\int_a^b f$ 有意义，故都间接依赖它。
  • Lecture 8（Theorem 82 Squeeze；Theorem 87 保序极限；Theorem 89 极限代数；Theorem 93–94）：本讲的每一次”取极限”都用它们。具体地，Theorem 247/248 用 Theorem 87；Lemma 254 的收尾用 Theorem 82（夹逼）；Theorem 246 的步骤 4、7 用 Theorem 89。
  • Lecture 15（连续函数的复合、和、积仍连续）：Theorem 248 之 2 需要 $\vert f\vert $ 连续；IBP 需要 $(fg)’$ 连续；换元需要 $f(\varphi)\varphi^{\prime}$ 连续。
  • Lecture 16（Theorem 182 Min-Max / EVT；Theorem 187 Bolzano IVT）：Theorem 247 中的 $\inf/\sup$ 之所以”$\in\mathbb R$”（有限），依赖 $f$ 在紧区间上有界（本课程在 Lecture 16 证明 EVT 时先证有界性）；换元定理里 $[c,d]=\varphi([a,b])$ 的合法性依赖 IVT；”积分第一中值定理”（本笔记已作为补充命题给出，见上）依赖 EVT + IVT。
  • Lecture 18（导数定义）：Theorem 250 第 2 条的整个证明就是”按导数定义算差商”。
  • Lecture 19（Theorem 212 乘积法则；Theorem 213 链式法则；Definition 214 + Theorem 215 极值点导数为零；Theorem 216 Rolle；Theorem 218 MVT；Theorem 220 导数为零则常值；Theorem 221 导数符号与单调性）：这是本讲最重要的上游。具体对应：MVT（Theorem 218）$\to$ Theorem 250 第 1 条的”造标签”；Theorem 220 $\to$ 推论 B（两个原函数相差常数）；Theorem 212 之 2（乘积法则）$\to$ Theorem 252（IBP）；Theorem 213（链式法则）$\to$ Theorem 256（换元）；Theorem 221 之 1 $\to$ 换元定理中 $\varphi^{\prime}>0\Rightarrow\varphi$ 单调；Theorem 220 又用于 Sturm–Liouville 题的收尾（$u^{\prime}\equiv0\Rightarrow u$ 常数）。
  • Lecture 20（Definition 230–233 分割/标签/黎曼和；Theorem 225 Taylor）：本讲所有证明都建立在黎曼和的定义上；Taylor 定理与 IBP 在 Final 第 5(b) 题里交汇。
  • Lecture 21（Theorem 235 Riemann 积分；Definition 237（连续性模）+ Theorem 239–243；Theorem 245 线性性）：本讲每个定理的证明都以 Theorem 235 为核心引擎（”任取一列 $\vert x^{(r)}\vert \to0$ 的带标签分割”）；可加性的”公共加细”论证用到 Theorem 240 + Definition 241（加细）；线性性（Theorem 245）在 IBP、换元、Sturm–Liouville 题里反复使用。
• 下游影响（本讲是谁的地基）：
  • Lecture 23（Pointwise and Uniform Convergence；Remark 257 与幂级数 Theorem 259）：本讲的 Lemma 254（Riemann–Lebesgue） 与 Definition 255（Fourier 系数） 是 Lecture 23–25 讨论幂级数与 Fourier 级数时的第一批硬结论；$\sum a_m(x-x_0)^m$ 的收敛性讨论中，”系数趋于 $0$”是必要条件。
  • Lecture 24（Uniform Convergence, Weierstrass M-Test, Interchanging Limits）：Assignment 12 的 Exercise 6.1.2、6.1.5 属于这一讲；本讲的积分理论提供了”逐项积分”所需的一切估计工具（Theorem 248、$\left\vert \int f\right\vert \le M(b-a)$）。
  • Lecture 25（Power Series and the Weierstrass Approximation Theorem）：Taylor 定理 + FTC + IBP 三件套是幂级数可逐项求导/积分的基础；Final 第 6(c) 题（Riemann–Lebesgue 型）与 Final 第 5(a) 题（$e^x$ 的 Taylor 余项估计）都在这一讲的范围内。
  • [JL] §5.4（对数与指数）：本讲应用实例 3（$\int\frac1x=\ln b-\ln a$）正是教材把 $\ln x:=\int_1^x\frac{\mathrm dt}{t}$ 作为定义、再用 FTC 推出 $(\ln x)’=\frac1x$ 的起点。积分比初等函数更基本。
  • [JL] §5.5（反常积分, improper integrals）：本讲应用实例 4 中 $\int_0^1(1-x^2)^{-1/2}\mathrm dx=\frac\pi2$ 的端点奇性，正是”反常积分”要处理的对象；Final 第 6(a) 题（$\int_0^1x\log x\,\mathrm dx:=\lim_{a\to0^+}\int_a^1x\log x\,\mathrm dx$）就属于这一节。
  • Sturm–Liouville 理论 / 微分方程：Assignment 12 第 1(b) 题是这一庞大理论的”零维版本”；能量方法在后续任何 PDE 课程中都会重现。

关键要点

1. 三个积分运算律（本讲的”代数与序基本法”）：
   • 可加性（Theorem 246 + Remark 249）：$\displaystyle\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$ 对任意 $a,b,c$ 成立；配套约定 $\int_a^a f=0$、$\int_a^b f=-\int_b^a f$。证明要点：把两个小区间的带标签分割拼接成 $[a,b]$ 的分割（$c$ 是分割点），黎曼和自动分裂。
   • 上下界（Theorem 247）：$\displaystyle m_f(b-a)\le\int_a^b f\le M_f(b-a)$，其中 $m_f=\inf f$、$M_f=\sup f$。证明要点：逐项夹住 + 宽度望远镜求和 + 保序取极限。
   • 单调性与积分三角不等式（Theorem 248）：$\displaystyle f\le g\Rightarrow\int_a^b f\le\int_a^b g$；$\displaystyle\left\vert \int_a^b f\right\vert \le\int_a^b\vert f\vert $。第二条由第一条对 $(-\vert f\vert ,f)$ 与 $(f,\vert f\vert )$ 各用一次得到。最常用的推论：$\vert f\vert \le M\Rightarrow\left\vert \int_a^b f\right\vert \le M(b-a)$。
2. FTC（Theorem 250）——本讲的核心，两个方向必须分清：
   • 第 1 条（Newton–Leibniz，先导后积）：$F$ 可导且 $F^{\prime}=f$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle\int_a^b f=F(b)-F(a)$。证明路线（源文件）：分割 $\to$ 每个子区间用 MVT 造标签 $\xi_j$ 使 $F(x_j)-F(x_{j-1})=f(\xi_j)\Delta x_j$ $\to$ 求和望远镜得 $F(b)-F(a)$ $\to$ 黎曼和取极限。
   • 第 2 条（变上限积分求导，先积后导）：$\displaystyle G(x)=\int_a^x f$ 可导、$G^{\prime}=f$、$G(a)=0$。证明路线（源文件）：差商 + 可加性把基点 $a$ 消掉 $\to$ 把 $f(c)$ 写成 $\frac{1}{x-c}\int_c^x f(c)\mathrm dt$（加一项减一项）$\to$ 积分三角不等式 + 连续性 $\vert f(t)-f(c)\vert <\epsilon/2$ $\to$ $\vert {\cdot}\vert \le\epsilon/2<\epsilon$。
   • 推论 A（连续函数必有原函数）：$f\in C([a,b])\Rightarrow G(x)=\int_a^xf$ 是 $f$ 的一个原函数。
   • 推论 B（Newton–Leibniz，任一原函数）：$G$ 是 $f$ 的任一原函数 $\Rightarrow\int_a^b f=G(b)-G(a)$；证明要用 Lecture 19 的 Theorem 220（导数为 $0$ 则常值，靠 MVT）。
   • 一句话背诵：”方向 ① = 差商 + 可加性 + 用连续性把 $f(t)$ 换成 $f(c)$；方向 ② = 用 MVT 造标签 + 望远镜求和。”
3. 分部积分（Theorem 252, IBP）与换元公式（Theorem 256）——微分法则的积分镜像：
   • IBP：$\displaystyle\int_a^b f^{\prime}g=\bigl(f(b)g(b)-f(a)g(a)\bigr)-\int_a^b fg^{\prime}$。来源：乘积法则 $(fg)’=f^{\prime}g+fg^{\prime}$ 两边积分，用 FTC 第 1 条把 $\int(fg)’$ 换成 $f(b)g(b)-f(a)g(a)$，再移项。“积分换积分”；边界项 $[fg]_a^b$ 常常为 $0$（如 $g(a)=g(b)=0$）。
   • 换元：$\displaystyle\int_c^d f(u)\mathrm du=\int_a^b f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)\mathrm dx$（$\varphi$ 连续可导、$\varphi^{\prime}>0$、$\varphi(a)=c$、$\varphi(b)=d$）。来源：链式法则 $(F\circ\varphi)’=f(\varphi)\varphi^{\prime}$ 两边积分，用 FTC 第 1 条两次。$\varphi^{\prime}>0$ 保证 $\varphi$ 严格单调、区间端点一一对应、积分方向一致。
   • 记忆锚点：”IBP = 乘积法则的积分形式；换元 = 链式法则的积分形式（反向读链式法则）“。
4. Riemann–Lebesgue 引理（Lemma 254）与 Fourier 系数（Definition 255）：
   • 定义：$a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f\sin(nx)\mathrm dx$、$b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f\cos(nx)\mathrm dx$。
   • 结论：$f\in C^1$、$2\pi$-周期、$f(-\pi)=f(\pi)$ $\Longrightarrow$ $a_n\to0$、$b_n\to0$，且定量地 $\vert b_n\vert \le\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\vert f^{\prime}\vert \to0$（衰减速率 $O(1/n)$）。
   • 机制：把 $\cos(nx)$ 写成 $\left(\frac1n\sin(nx)\right)’$，IBP 把导数搬到 $f$ 上，换来一个 $1/n$；边界项因 $\sin(n\pi)=0$（对 $b_n$）与 $f(-\pi)=f(\pi)$（对 $a_n$）而消失；最后夹逼。 这是 Final 第 6(c) 题的原题。
5. 两条”标准套路”（可直接迁移到其他题目）：
   • 零积分定理（Assignment 12 第 1(a) 题）：$\int_a^b f=0$、$f\ge0$、$f$ 连续 $\Rightarrow f\equiv0$。机制：反证 + 连续性把单点正值放大成小区间正下界 + 可加性拆三段扔掉非负项。
   • 能量方法（Assignment 12 第 1(b) 题）：方程 $\times u$ 积分 $\to$ 对 $\int u^{\prime\prime}u$ 用 IBP（边界项因 $u(a)=u(b)=0$ 归零）$\to$ 得 $\int\bigl((u^{\prime})^2+Vu^2\bigr)=0$ $\to$ 由 $V\ge0$ 用零积分定理 $\to u^{\prime}\equiv0,u\equiv0$。

常见误区与注意事项

1. 把 $\inf/\sup$ 与 $\min/\max$ 混用（Theorem 247）。
   • 错误做法：看到 Theorem 247 写 $m_f=\inf\{f(x)\}$，就以为”这里的 $\inf$ 取不到，所以证明里不能直接用某个 $x_k$ 使 $f(x_k)=m_f$”。
   • 为什么错：这个定理根本不需要取到；它只需要 $m_f$ 是下界（$\forall x,\ f(x)\ge m_f$）。而对 $f\in C([a,b])$，由 Lecture 16 的 EVT（Theorem 182），$m_f$ 与 $M_f$ 其实都取得到。源文件用 $\inf/\sup$ 是为了让命题对更一般的（不必连续的）有界函数也成立，是”条件恰好够用”的写法。
   • 正确做法：证明中只使用”$m_f\le f(\xi_k)\le M_f$ 对每个标签成立”这一条。千万不要在任何地方写成”取 $\xi_k$ 使 $f(\xi_k)=m_f$”——那是在暗中使用 EVT，而不必要地加强了假设。
2. FTC 的第 1 条与第 2 条颠倒使用，或忘记它们的假设不同。
   • 错误做法一：用 FTC 第 2 条去算 $\int_a^b f$，写 $\int_a^b f=G(b)-G(a)$ 却没有先说明 $G$ 是 $f$ 的原函数。
   • 错误做法二：用 FTC 第 1 条时假设 $F$ 只在 $(a,b)$ 上可导、却要求它在闭区间 $[a,b]$ 上”处处可导”。源文件 Theorem 250 第 1 条要求 $F$ 在 $[a,b]$ 上可导且 $F^{\prime}=f$（教材 [JL] Theorem 5.3.1 的条件稍不同：$F$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导、$f=F^{\prime}$ 于 $(a,b)$ 且 $f$ 可积）。用哪个版本必须写清假设。
   • 正确做法：
     • 要算 $\int_a^b f$：先找出/认出一个原函数 $G$（$G^{\prime}=f$），再写 $\int_a^b f=G(b)-G(a)$。
     • 要对变上限求导：$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^x f$ 与 $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^{g(x)}f$ 是两件事——后者必须用链式法则，结果是 $f(g(x))g^{\prime}(x)$，少乘 $g^{\prime}(x)$ 是最常见的失分点。
   • 具体反例（链式法则漏乘）：$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_0^{x^2}\sin(s^2)\mathrm ds$ 若写成 $\sin(x^2)$ 就错了；正确答案是 $2x\sin(x^2)$（本笔记应用实例 2 已验算：$x=1$ 处数值 $1.682941969615793$）。
3. IBP 里选错”谁当 $f^{\prime}$、谁当 $g$”，把积分换得更难。
   • 错误做法：算 $\int_0^1xe^x\mathrm dx$ 时取 $f^{\prime}(x)=x$、$g(x)=e^x$。则 $f(x)=\frac{x^2}{2}$、$g^{\prime}=e^x$，IBP 给出 \(\int_0^1xe^x\mathrm dx=\left[\frac{x^2}{2}e^x\right]_0^1-\int_0^1\frac{x^2}{2}e^x\mathrm dx=\frac e2-\frac12\int_0^1x^2e^x\mathrm dx,\) 右端出现了 $\int x^2e^x$，比原积分更难（幂次升高了）。
   • 为什么错：IBP 是”积分换积分”，交易的目的是让新积分更简单。若把多项式因子拿去积分，幂次会升高；若把多项式拿去求导，它最终会变成 $0$。
   • 正确做法：对 $\int P(x)e^{ax}\mathrm dx$ 型，取 $g=P$（求导降幂）、$f^{\prime}=e^{ax}$（可积）；对 $\int P(x)\sin(ax)\mathrm dx$ 同理；对 $\int\ln x\,\mathrm dx$ 型，取 $f^{\prime}=1$、$g=\ln x$（因为必须让 $\ln x$ 被求导）。本笔记应用实例 2 正是正确选法，得 $\int_0^1xe^x\mathrm dx=1$。
4. 换元时忘记处理 $\varphi^{\prime}>0$（单调性）与端点对应。
   • 错误做法：对 $\int_{-1}^1f(x^2)\cdot 2x\,\mathrm dx$ 直接令 $u=x^2$、上下限写 $u=1$ 到 $u=1$，然后断言积分为 $0$。这是错的：$x=1$ 与 $x=-1$ 都映到 $u=1$，换元把整段区间”折叠”了，而 $\varphi(x)=x^2$ 在 $[-1,1]$ 上不满足 $\varphi^{\prime}>0$，Theorem 256 不适用。
   • 为什么错：换元公式要求 $\varphi$ 把 $[a,b]$ 一一映到 $[c,d]$。$\varphi^{\prime}=2x$ 在 $x<0$ 处为负，$\varphi$ 先减后增，不是双射。
   • 正确做法：先用 Theorem 246（可加性） 把区间拆成 $\varphi^{\prime}$ 不变号的部分：$\int_{-1}^1=\int_{-1}^0+\int_0^1$，逐段换元（在 $\varphi^{\prime}<0$ 的段用 Remark 249 之 2 调整符号），再相加。对 $f(x)=x^2$：$\int_{-1}^1x^2\mathrm dx=\frac13+\frac13=\frac23$。
   • 另一常见错误：换元后只改被积函数、忘了改 $\mathrm dx$（漏掉 $\varphi^{\prime}(x)$ 因子）。”$\mathrm du=\varphi^{\prime}(x)\mathrm dx$ 必须写出来”。
5. Lemma 254 的证明只写 $b_n$ 就宣称”$a_n$ 同理”，不说明边界项为什么仍然为零。
   • 错误做法：写”由 IBP 得 $\vert b_n\vert \le\frac1{n\pi}\int\vert f^{\prime}\vert \to0$，$a_n$ 同理”。
   • 为什么错：对 $a_n$，IBP 的边界项是 $\left[-\frac1n\cos(nx)f(x)\right]_{-\pi}^{\pi}=-\frac1n\cos(n\pi)\bigl(f(\pi)-f(-\pi)\bigr)$。它不因为 $\cos(n\pi)=0$ 而消失（$\cos(n\pi)=(-1)^n\ne0$！），必须用假设 $f(\pi)=f(-\pi)$ 才能杀掉它。如果只写”同理”，就掩盖了引理中端点匹配条件的真正用途。
   • 正确做法：分两个系数写，明确交代：$b_n$ 的边界项因 $\sin(\pm n\pi)=0$ 而消失；$a_n$ 的边界项因 $\cos(-n\pi)=\cos(n\pi)$（偶函数）与 $f(\pi)=f(-\pi)$ 而消失。同时注意不要写 $\cos(n\pi)=0$ 这种致命错误。
6. 把”$\int_a^b f=0$”直接当成”$f\equiv0$”，不做非负性/连续性的检查。
   • 错误做法：由 $\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm dx=0$ 推出 $\sin\equiv0$。
   • 为什么错：零积分定理（Assignment 12 第 1(a) 题）需要三个条件：$\int f=0$、$f\ge0$、$f$ 连续。$\sin$ 在 $[0,2\pi]$ 上变号，正负面积相消，”积分为 $0$”完全可能。
   • 正确做法：使用前逐条核对三条件。在 Sturm–Liouville 题里，正是 $V\ge0$ 与 $(u^{\prime})^2\ge0$ 保证了被积函数 $\ge0$；若 $V<0$，结论确实会失败（反例：$a=0,b=\pi,V\equiv-1,u=\sin x$）。
7. Sturm–Liouville 题里忘记”端点条件是为了杀掉边界项”。
   • 错误做法：写成 $\int_a^b u^{\prime\prime}u=[u^{\prime}u]_a^b-\int(u^{\prime})^2$ 后直接断言 $[u^{\prime}u]_a^b=0$，却不引用 $u(a)=u(b)=0$。
   • 为什么错：$u^{\prime}(a),u^{\prime}(b)$ 一般不为 $0$（例如 $u=\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上 $u^{\prime}(0)=1$）。边界项之所以为 $0$，完全是因为 $u(b)=u(a)=0$。
   • 正确做法：显式写出 $u^{\prime}(b)u(b)-u^{\prime}(a)u(a)=u^{\prime}(b)\cdot0-u^{\prime}(a)\cdot0=0$，并注明”依据：假设 $u(a)=u(b)=0$”。这一步是本证明的关键，不能省。

思考题（带答案）

Q1.（用 FTC 求变上限导数，含可加性与链式法则）设 \(F(x):=\int_x^{x^2}\sin\bigl(t^2\bigr)\,\mathrm dt,\qquad x>0 .\) 求 $F^{\prime}(x)$，并算出 $F^{\prime}(1)$ 的精确值与数值（用 python3 验算）。

Q2.（用分部积分算一个定积分）计算 \(\int_0^{\pi/2}x\cos x\,\mathrm dx,\) 写出完整过程，并用 python3 数值验证。

Q3.（概念理解 + 换元的机制）下面三句话，判断真假并说明理由： (i) 若 $f\in C([a,b])$ 且 $\int_a^b f=0$，则 $f\equiv0$； (ii) 若 $f\in C([a,b])$ 且 $f\ge0$、$\int_a^b f=0$，则 $f\equiv0$； (iii) 设 $\varphi\in C^1([a,b])$ 且 $\varphi^{\prime}>0$、$\varphi(a)=c$、$\varphi(b)=d$。若 $f$ 在 $[c,d]$ 上连续，则 \(\int_c^d f(u)\,\mathrm du=\int_a^b f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi^{\prime}(x)\,\mathrm dx .\) 另外，求 $\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1+x^2}\,\mathrm dx$ 并作数值验算。