Lecture 21: The Riemann Integral of a Continuous Function（连续函数的黎曼积分）

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Lecture 21: The Riemann Integral of a Continuous Function（连续函数的黎曼积分）

概述

Lecture 20 末尾留了一个问题（源文件 Question 234）：”当网格 $\vert x\vert \to 0$ 时，黎曼和 $S_f(x,\xi)$ 真的收敛吗？”本讲给出肯定的回答——但只对连续函数给出。本讲的核心结论是源文件的 Theorem 235 (Riemann Integral)：

这是”连续 $\Rightarrow$ 可积“这一定理，也是实分析中 一致连续性（Lecture 17）的第一次真正的大应用：一致连续性在 Lecture 17 里看起来只是一个”技术性加强版连续”，本讲才揭示它存在的理由——没有它，”连续 $\Rightarrow$ 可积”这个证明中的关键估计根本写不出来。

为了让证明顺畅，源文件先引入了一个工具函数——连续模 (modulus of continuity) $w_f(\eta)$，并证明三个编号为 Theorem I / II / III 的中间定理。整条证明路线是：

最后源文件给出黎曼积分的第一条运算性质 Theorem 245 (Linearity)：$\int_a^b(\alpha f+g)=\alpha\int_a^b f+\int_a^b g$。本讲回答了三个问题：（1）黎曼和为什么收敛？（2）收敛到唯一的值吗？（是的，Remark 236）（3）积分为什么是线性的？

核心定义与直观解释

本讲的两个新定义是 Definition 237 (Modulus of Continuity) 与 Definition 241 (Refinement)。为了自洽，我先把 Lecture 20 的四个定义（源文件编号 229, 230, 231, 233）简要复述一遍（只复述要点，详细展开见 Lecture 20 的笔记），再补一个本课程默认使用但在 Lecture 20 未显式编号的记号 $\mathcal{R}([a,b])$。

（Definition 229，回顾：连续函数类 $C([a,b])$）

• 严格定义： \(C([a,b]):=\{f:[a,b]\to\mathbb{R}\ \mid\ f\ \text{在}\ [a,b]\ \text{上连续}\}.\)
• 直观解释（”它到底在说什么？”）：$C([a,b])$ 不是”某一种函数”，而是一整个函数集合。把每一个连续函数看成集合中的一个”点”，那么这个集合就是一个可以讨论收敛、讨论”距离”的空间（后面 Lecture 23–25 讲一致收敛时会真正把它当成度量空间来用）。本讲所有的定理都可以读成一句口号：”$C([a,b])\subset\mathcal{R}([a,b])$，即连续函数类是黎曼可积函数类的一个子集“。
• 为什么需要这个条件？ 定义里”连续”两字不可省——Lecture 20 的 Dirichlet 函数处处不连续，它也不可积（见下文 【补充 21.A】）。
• 具体示例：$f(x)=x^2$、$f(x)=\sin x$、$f(x)=3x-1$ 都属于 $C([0,1])$；$g(x)=1/x$（在 $[0,1]$ 上无定义）不属于；$h(x)=\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$ 有定义但不属于。
• 反例：定义域必须是闭区间 $[a,b]$。把定义改成 $C((a,b))$ 会让后面所有定理崩塌，因为开区间上的连续函数可以不一致连续（$1/x$ on $(0,1)$）。

（Definition 230，回顾：分割 (partition) 与网格 (norm)）

• 严格定义：$[a,b]$ 的一个分割 $x$ 是一个有限集合 \(x=\{a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\},\qquad \vert x\vert :=\max\{x_1-x_0,\ x_2-x_1,\ \dots,\ x_n-x_{n-1}\}.\) $\vert x\vert $ 称为 $x$ 的网格 (norm)（也叫 mesh）。
• 直观解释：把 $[a,b]$ 切成有限多段，$\vert x\vert $ 是”最粗的那一段有多长“。$\vert x\vert \to 0$ 意味着每一段都变短，而不仅仅是”段数变多”——这正是让”局部信息”能全局统一的关键。
• 为什么需要这个条件？ 如果只要求段数 $\to\infty$ 而不要求 $\vert x\vert \to 0$，可以在一段上永远不细分，黎曼和可能收敛到错误的值。
• 具体示例（源文件 Example 232）：$x=\{1,\ 3/2,\ 2,\ 3\}$ 是 $[1,3]$ 的分割， \(\vert x\vert =\max\{3/2-1,\ 2-3/2,\ 3-2\}=\max\{1/2,\ 1/2,\ 1\}=1.\)
• 反例：$x=\{1,2,3,3\}$ 不是分割（点必须严格递增，集合中也不能有重复）；$x=\{1,3,2\}$ 也不是（作为集合重排后要按递增顺序写出，但必须真的满足 $x_0<x_1<x_2$）。

（Definition 231，回顾：标签 (tag) 与带标签分割 (tagged partition)）

• 严格定义：若 $x=\{a=x_0<\cdots<x_n=b\}$ 是分割，$x$ 的一个标签是有限集合 $\xi=\{\xi_1,\dots,\xi_n\}$，满足 \(a=x_0\le\xi_1\le x_1\le\xi_2\le x_2\le\cdots\le x_{n-1}\le\xi_n\le x_n=b.\) 称 $(x,\xi)$ 为一个带标签分割。
• 直观解释：在第 $k$ 个小区间 $[x_{k-1},x_k]$ 里挑一个代表点 $\xi_k$，用 $f(\xi_k)$ 代表 $f$ 在这一小段上的值。标签可以取端点（所以这里的 $\le$ 是”小于等于”），这使得”左端点黎曼和”“右端点黎曼和”“中点黎曼和”都是同一个定义的特例。
• 为什么需要这个条件？ 若不做任何限制（比如允许 $\xi_k$ 跑到区间外面），黎曼和就与 $f$ 在 $[a,b]$ 上的面积无关了。标签必须在自己那一段内。
• 具体示例：承接 Example 232，$(x,\xi)=(\{1,3/2,2,3\},\ \{5/4,7/4,5/2\})$ 是合法的：$1\le 5/4\le 3/2\le 7/4\le 2\le 5/2\le 3$。若取 $f(x)=x$，则 \(S_f(x,\xi)=\tfrac54\cdot\tfrac12+\tfrac74\cdot\tfrac12+\tfrac52\cdot 1=\tfrac58+\tfrac78+\tfrac52=4.\)
• 反例：$\xi=\{1/2,\ 7/4,\ 5/2\}$ 不合法，因为 $\xi_1=1/2<1=x_0$，标签跑到区间外了。

（Definition 233，回顾：黎曼和 (Riemann sum)）

• 严格定义： \(S_f(x,\xi):=\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\,(x_k-x_{k-1}).\)
• 直观解释：$n$ 个矩形面积之和：第 $k$ 个矩形宽 $x_k-x_{k-1}$、高 $f(\xi_k)$。当 $f\ge0$ 时它就是”曲线下面积的近似”。$\vert x\vert \to 0$ 时这些近似值应当收敛到真正的面积 $A$。
• 为什么需要这个条件？ 注意”$\vert x\vert \to 0$”必须写进收敛要求里：对固定的分割，改变标签 $\xi$ 就会改变黎曼和（除非 $f$ 在该段上是常数），所以只有让所有段都变短，标签的自由度才被压掉。
• 具体示例：$f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上取等距分割 $x_k=k/n$、右端点标签 $\xi_k=k/n$： \(S_f(x,\xi)=\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}\cdot\frac1n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\ \xrightarrow{n\to\infty}\ \frac13.\) 用 python3 验算（下面的输出为真实运行结果）：

from fractions import Fraction as F
def riemann_x2(n, tag='right'):
    s = F(0)
    for k in range(1, n+1):
        t = F(k, n) if tag == 'right' else F(k-1, n)
        s += t*t*F(1, n)
    return s
for n in [1, 2, 10, 100, 1000]:
    s = riemann_x2(n)
    print(f"n={n:5d}  S={float(s):.10f}  err=1/3-S={float(F(1,3)-s):.3e}")

n=    1  S=1.0000000000  err=1/3-S=-6.667e-01
n=    2  S=0.6250000000  err=1/3-S=-2.917e-01
n=   10  S=0.3850000000  err=1/3-S=-5.167e-02
n=  100  S=0.3383500000  err=1/3-S=-5.017e-03
n= 1000  S=0.3338335000  err=1/3-S=-5.002e-04

读这张表要读出两件事：（i） 误差确实趋于 $0$（这是本讲定理的预言）；（ii） 误差大约按 $1/n$ 衰减（这里恰好是 $\frac{1}{n}\cdot(\text{常数})$：$n=1000$ 时误差 $\approx 5.0\times10^{-4}$，正好是 $1/(2n)$ 量级），这说明”$\vert x\vert <\delta$ 就能控制误差”是线性的控制，而不是某种神秘的收敛。这正是 Theorem II 里出现 $w_f(\vert x\vert )(b-a)$ 这种”误差 $\le$ 振幅 $\times$ 总长”形状的原因。

• 反例：Dirichlet 函数 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 在 $[0,1]$ 上，取同一个分割 $x$，把所有标签换成有理数得 $S\equiv 1$，全换成无理数得 $S\equiv0$。两个”足够细”的黎曼和相差 $1$，永远不接近——这就是不可积。

（补充记号：黎曼可积函数类 $\mathcal{R}([a,b])$）

• 严格定义：$\mathcal{R}([a,b]):=\Big\{f:[a,b]\to\mathbb{R}\ \Big\vert \ \exists L\in\mathbb{R}\ \forall\ \text{带标签分割序列}\ \{(x_r,\xi_r)\}\ \text{with}\ \vert x_r\vert \to0:\ \lim_{r\to\infty}S_f(x_r,\xi_r)=L\Big\}$。这样的 $f$ 称为黎曼可积的 (Riemann integrable)，$L$ 记作 $\int_a^b f$。
• 直观解释：可积 = “所有足够细的黎曼和都被迫收敛到同一个数”。它是把 Question 234 变成一个集合的成员资格问题。
• 为什么需要这个条件（为什么必须写”所有序列”）？ 如果只要求”存在某个序列收敛”，那么 Dirichlet 函数也会”可积”（只取有理标签即可）。必须所有网格趋于 $0$ 的带标签分割序列都收敛到同一个 $L$，才排除了”靠挑标签作弊”。
• 具体示例：$x^2\in\mathcal{R}([0,1])$，$\int_0^1x^2=\frac13$（上面的表格就是它的数值证据）。$\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\notin\mathcal{R}([0,1])$。
• 反例：见 【补充 21.A】。

（Definition 237：连续模 (Modulus of Continuity)） —— 本讲的新定义之一

• 严格定义：设 $f\in C([a,b])$，$\eta>0$。定义 \(w_f(\eta):=\sup\big\{\,\vert f(x)-f(y)\vert \ \big\vert \ x,y\in[a,b],\ \vert x-y\vert \le\eta\,\big\}.\)
• 直观解释（”它到底在说什么？”）：想象你有一把”宽度为 $\eta$ 的窗口”，把它在 $[a,b]$ 上到处滑动，问：在这个窗口里，$f$ 的最大值和最小值最多能差多少？ 这个”最坏情况下的振幅”就是 $w_f(\eta)$。
  • $w_f$ 是一个函数：$w_f:(0,\infty)\to[0,\infty)$，输入”窗口宽度”，输出”能差多少”。
  • 它是 $f$ 的点态连续性信息的全局打包：点态连续说”在 $c$ 附近，只要窗口够小，振幅就小”，而 $w_f$ 把”够小”量化成一个统一的数。
  • 名字里的 “modulus”（模）是分析里的老传统：把一个 $\epsilon$-$\delta$ 关系换成一个显式函数。
• 为什么需要这个条件？ 因为本讲的核心估计长这样： \(\Big\vert \sum_k f(\xi_k)\Delta x_k-\sum_k f(\xi_k^{\prime})\Delta x_k\Big\vert \le\sum_k\underbrace{\vert f(\xi_k)-f(\xi_k^{\prime})\vert }_{\text{要一致地被控制}}\Delta x_k\le w_f(\vert x\vert )\cdot\underbrace{\sum_k\Delta x_k}_{=b-a}.\) 要把逐点的 $\vert f(\xi_k)-f(\xi_k^{\prime})\vert $ 换成同一个数 $w_f(\vert x\vert )$，就必须有一个”与 $k$ 无关”的上界——这正是 $w_f$ 存在的意义。
• 具体示例 1（$f(x)=x^2$ on $[0,1]$）：在 $[0,1]$ 上，$\vert x^2-y^2\vert =\vert x-y\vert \vert x+y\vert $。给定 $\vert x-y\vert \le\eta$，为了让 $\vert x+y\vert $ 最大，应当取 $x=1,\ y=1-\eta$（另一端点是 $0$），故 \(w_f(\eta)=(1)^2-(1-\eta)^2=2\eta-\eta^2.\) 数值（python3 验算）：$w_f(0.5)=0.75$，$w_f(0.01)=0.0199$，$w_f(10^{-3})=1.999\times10^{-3}$。注意 $w_f(\eta)\approx 2\eta$，是线性趋于 $0$。
• 具体示例 2（$f(x)=\sin x$ on $[0,\pi]$）：由和差化积 $\vert \sin x-\sin y\vert =2\big\vert \sin\frac{x-y}{2}\big\vert \big\vert \cos\frac{x+y}{2}\big\vert \le 2\sin\frac{\eta}{2}$，取端点 $x=0,y=\eta$ 取到等号所以 $w_f(\eta)=2\sin(\eta/2)$。python3 验算：$w_f(0.01)=0.00999996$，$w_f(0.5)=0.49480792$。这里 $w_f(\eta)\le\eta$（Lipschitz 型）。
• 具体示例 3（$f(x)=3x-1$ on $[0,1]$）：$w_f(\eta)=3\eta$（线性函数是 Lipschitz 的，斜率 $3$）。
• 反例 1（不连续函数）：Dirichlet 函数 $f=\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 在 $[0,1]$ 上。任意小的区间里都同时有有理数与无理数，所以对每个 $\eta>0$ 都存在 $\vert x-y\vert \le\eta$ 使 $\vert f(x)-f(y)\vert =1$。于是 \(w_f(\eta)=1\quad(\forall\eta>0),\qquad \lim_{\eta\to0}w_f(\eta)=1\ne0.\) 这就预言了 Theorem I 会失败，从而这个 $f$ 不可积——$w_f$ 居然提前泄露了不可积的真相，这是一条极漂亮的线索。
• 反例 2（闭区间条件不可省）：$f(x)=1/x$ 在 $(0,1]$ 上连续但不一致连续。取 $x=\eta,\ y=\eta/2$（$\vert x-y\vert =\eta/2\le\eta$），则 $\vert f(x)-f(y)\vert =\vert 1/\eta-2/\eta\vert =1/\eta\to\infty$，所以 \(w_f(\eta)=+\infty\quad(\forall\eta>0).\) 于是”$\sup$ 有限”+ “$w_f(\eta)\to0$”双双失效。这解释了为什么 Theorem 235 的假设必须写 $f\in C([a,b])$ 而不能写成 $f\in C((a,b))$。

（Definition 241：加细 (Refinement)） —— 本讲的新定义之二

• 严格定义：若 $(x,\xi)$ 与 $(x^{\prime},\xi^{\prime})$ 是 $[a,b]$ 的带标签分割，且（作为点的集合）$x\subset x^{\prime}$，则称 $x^{\prime}$ 是 $x$ 的一个加细 (refinement)。
• 直观解释：$x^{\prime}$ 保留了 $x$ 的全部分割点，再在中间插了一些新点。所以 $x^{\prime}$ 的每一段都完整地落在 $x$ 的某一段里面——$x^{\prime}$ 是”把 $x$ 的某些段再劈开”得到的。这就是源文件 Remark 242 说的：”Refinements of $x$ are obtained by adding more partition points.”
• 为什么需要这个条件？ 因为比较两个黎曼和时，若两个分割没有任何包含关系（这是常态），我们没法逐段相减。加细提供了一条退路：先劈开，再逐段相减。Theorem II 处理的正是”原始段 vs 它的劈开”这种情况，Theorem III 则用公共加细把任意两个分割归约到 Theorem II。
• 具体示例：$x=\{0,\ \tfrac12,\ 1\}$，$x^{\prime}=\{0,\ \tfrac14,\ \tfrac12,\ \tfrac34,\ 1\}$，则 $x\subset x^{\prime}$，所以 $x^{\prime}$ 是 $x$ 的加细。注意 $\vert x\vert =\tfrac12$，$\vert x^{\prime}\vert =\tfrac14$：加细只会让网格变小或不变（$\vert x^{\prime}\vert \le\vert x\vert $），因为新点只能把段劈短。 用 python3 验算 Theorem II 的估计（$f(x)=x^2$ on $[0,1]$，$x,\xi$ 取标签 $0.1,0.9$；$x^{\prime},\xi^{\prime}$ 取标签 $0.1,0.3,0.6,0.9$）：

def rsum(f, X, tags):
    return sum(f(tags[i])*(X[i+1]-X[i]) for i in range(len(X)-1))
f = lambda x: x*x
X  = [0, 0.5, 1];            Xi  = [0.1, 0.9]
Xp = [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]; Xip = [0.1, 0.3, 0.6, 0.9]
print("S(X,xi)=", rsum(f, X, Xi), " S(X',xi')=", rsum(f, Xp, Xip))
print("|diff| =", abs(rsum(f,X,Xi)-rsum(f,Xp,Xip)))
print("Theorem II bound = w_f(0.5)*(b-a) =", 2*0.5-0.5**2)

S(X,xi)= 0.41000000000000003  S(X',xi')= 0.3175
|diff| = 0.09250000000000003
Theorem II bound = w_f(0.5)*(b-a) = 0.75

实测差值 $0.0925\le0.75$ ✓。这个界很松（因为我们把每段的振幅都换成了全局最大的 $w_f(0.5)$），但松没关系——只要 $\vert x\vert \to0$ 时这个界趋于 $0$ 就够了。这是这一整讲的方法论：宁要一个粗糙但一致（uniform）的界，不要一个精确但依赖 $k$ 的界。

• 反例 / 关键注意：”$x^{\prime}$ 比 $x$ 细”不等于“$x^{\prime}$ 是 $x$ 的加细”。例如 $x=\{0,\tfrac12,1\}$ 与 $y=\{0,\tfrac13,1\}$：两者网格都是 $\tfrac12$（$y$ 的是 $\max\{\tfrac13,\tfrac23\}=\tfrac23$），而且谁也不包含谁。这时必须引入公共加细 \(x\cup y=\{0,\ \tfrac13,\ \tfrac12,\ 1\},\) 它同时加细 $x$ 与 $y$。源文件 Theorem III 的证明正是这么做的。

（Notation 244：简写）

• 严格定义：今后常把 $\int_a^b f(x)\,dx$ 简写为 $\int_a^b f$。
• 直观解释：积分只依赖 $f$ 与区间 $[a,b]$，与积分变量叫什么名字无关（$x$ 只是”哑变量 (dummy variable)”）。
• 为什么需要这个条件？ 没有新条件，只是一个记号约定。但它在写法上很重要：定理 245 的陈述 $\int_a^b(\alpha f+g)=\alpha\int_a^b f+\int_a^b g$ 用简写才干净。
• 具体示例：$\int_0^1 x^2\,dx=\int_0^1 t^2\,dt=\int_0^1 f$（$f(x)=x^2$）。
• 反例：$\int_a^b f$ 中的 $a,b$ 不可省——$\int_0^1 f$ 与 $\int_0^2 f$ 一般是不同的数。

定理与完整证明（核心）

Theorem 235（Riemann Integral，黎曼积分的存在性与唯一性）

• 定理陈述（严格按源文件）：设 $f\in C([a,b])$。则存在唯一的数，记作 \(\int_a^b f(x)\,dx\in\mathbb{R},\) 具有下述性质：对一切满足 $\vert x_r\vert \to0$ 的带标签分割序列 $\{(x_r,\xi_r)\}_r$，都有 \(\lim_{r\to\infty}S_f(x_r,\xi_r)=\int_a^b f(x)\,dx.\) 用 $\forall/\exists$ 写全（这是最容易被写错量词顺序的地方）： \(\forall f\in C([a,b])\ \exists!\,L\in\mathbb{R}\ \ \forall\{(x_r,\xi_r)\}_r\ \Big[\big(\vert x_r\vert \to0\big)\Longrightarrow\Big(\lim_{r\to\infty}S_f(x_r,\xi_r)=L\Big)\Big].\) （注意：$\exists!\,L$ 在 $\forall\{(x_r,\xi_r)\}$ 之前——$L$ 不允许依赖具体取了哪个分割序列。这正是 $\mathcal{R}([a,b])$ 定义里”必须所有序列”的技术表达。）

• 证明策略：源文件把”存在性”拆成一颗三段火箭，全部围绕一个工具 $w_f$ 展开：

为什么选这条路线？ 因为 Theorem 235 要求的是”所有网格 $\to0$ 的序列都收敛”，而不是”某个特定序列收敛”。直接证明”所有序列收敛到同一个数”在逻辑上很难下手；但源文件的做法极其聪明：

先挑一条参考序列，证它是 Cauchy（于是有极限 $L$）；再证任何别的序列都被 Theorem III 逼到 $L$ 附近。

这样”所有序列”这个 $\forall$ 就被”任意一个序列 + Theorem III 的统一误差界”一次性处理掉了。这是分析中处理”$\forall$ 序列收敛”的标准套路，值得记住。

• 逐步推导：

第 0 步（唯一性，源文件 Remark 236）：假设有两个数 $L_1,L_2$ 都满足 Theorem 235 的性质。取任意一条带标签分割序列 $\{(x_r,\xi_r)\}$ 使 $\vert x_r\vert \to0$（这样的序列一定存在：例如对每个 $r$ 取 $[a,b]$ 的 $r$ 等分及任意标签，则 $\vert x_r\vert =\frac{b-a}{r}\to0$）。由 $L_1$ 的性质，$S_f(x_r,\xi_r)\to L_1$；由 $L_2$ 的性质，$S_f(x_r,\xi_r)\to L_2$。（依据：Theorem 235 的陈述本身就是对每个满足条件的序列给出一条极限等式，所以两种读法都对同一个序列成立。）而实数序列的极限唯一（Lecture 10 的结果：若 $a_r\to L_1$ 且 $a_r\to L_2$，取 $\epsilon=\vert L_1-L_2\vert $ 立即得 $\vert L_1-L_2\vert <\epsilon$ 对任意 $\epsilon>0$，故 $L_1=L_2$），所以 $L_1=L_2$。 （依据：Remark 236 —— “Uniqueness follows immediately from uniqueness of limits of sequences of real numbers. All we need to prove is existence of $\int_a^b f$.”） 因此下面只证存在性。

第 0′ 步（挑定参考序列）：取任意一条带标签分割序列 $\{(y^{(r)},\zeta^{(r)})\}_r$，满足 \(\vert y^{(r)}\vert \longrightarrow0\quad(r\to\infty).\) （注意源文件用的是上标写法 $y^{(r)}$，以区别于分割的分量 $y^{(k)}$ 与 $x_k$。为清楚起见本文在长公式里写作 $y_r$ 。存在性见第 0 步括号里的构造。）

第 1 步（Claim 1：$\{S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})\}_r$ 是 Cauchy 序列）

1.1 设 $\epsilon>0$ 任意给定。（这是我们的目标误差。） 1.2 由 Theorem I（Theorem 239），存在 $\delta>0$ 使得 \(\forall\eta<\delta,\qquad w_f(\eta)<\frac{\epsilon}{2(b-a)}.\) （依据：Theorem 239 的 $\epsilon$-$\delta$ 形式，把 Theorem 239 里的”$\epsilon$”实例化为 $\dfrac{\epsilon}{2(b-a)}>0$。这里 $b-a>0$ 是题目假设 $a<b$，所以除法合法。） 1.3 由 $\vert y^{(r)}\vert \to0$ 的定义，存在 $M_0\in\mathbb{N}$ 使得 \(\forall r\ge M_0,\qquad \vert y^{(r)}\vert <\delta.\) （依据：网格收敛的 $\epsilon$-$\mathbb{N}$ 定义，把 $\epsilon$ 实例化为 1.2 中的 $\delta$。） 1.4 取 $M=M_0$。设 $r,s\ge M$。则由 Theorem III（Theorem 243，对两个任意带标签分割成立）： \(\big\vert S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})-S_f(y^{(s)},\zeta^{(s)})\big\vert \le\Big(w_f\big(\vert y^{(r)}\vert \big)+w_f\big(\vert y^{(s)}\vert \big)\Big)(b-a).\) （依据：Theorem III。） 1.5 由 1.3，$r,s\ge M$ 时 $\vert y^{(r)}\vert <\delta$ 且 $\vert y^{(s)}\vert <\delta$，故由 1.2， \(w_f\big(\vert y^{(r)}\vert \big)<\frac{\epsilon}{2(b-a)},\qquad w_f\big(\vert y^{(s)}\vert \big)<\frac{\epsilon}{2(b-a)}.\) （依据：1.2 中的全称命题对这两个具体的 $\eta=\vert y^{(r)}\vert ,\vert y^{(s)}\vert $ 取用。） 1.6 代入 1.4： \(\big\vert S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})-S_f(y^{(s)},\zeta^{(s)})\big\vert <\left(\frac{\epsilon}{2(b-a)}+\frac{\epsilon}{2(b-a)}\right)(b-a)=\frac{\epsilon}{b-a}\cdot(b-a)=\epsilon.\) （依据：代数；两个 $\frac{\epsilon}{2(b-a)}$ 相加得 $\frac{\epsilon}{b-a}$，再乘 $b-a$ 得 $\epsilon$。） 1.7 于是 $\forall\epsilon>0\ \exists M\ \forall r,s\ge M:\ \vert S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})-S_f(y^{(s)},\zeta^{(s)})\vert <\epsilon$。这正是 Cauchy 序列的定义。Claim 1 证毕。 （依据：Cauchy 的定义。）

第 2 步（定义 $L$ 并确认它存在）：令 \(L:=\lim_{r\to\infty}S_f\big(y^{(r)},\zeta^{(r)}\big).\) （依据：Cauchy 序列必收敛——这是 Lecture 10 的 Theorem 112：实数序列 $\{a_n\}$ 是 Cauchy 序列 $\iff$ 它收敛。这里用到的是 $(\Rightarrow)$ 方向，而它之所以成立，靠的是”Cauchy $\Rightarrow$ 有界 $\Rightarrow$ 由 Bolzano–Weierstrass 有收敛子列 $\Rightarrow$ 收敛”这条链，最终依赖实数的完备性 / LUB 性质。这就是 Lecture 21 里”完备性”出现的唯一但关键的位置。）所以 $L$ 是一个确定的实数。

第 3 步（Claim 2：任何别的序列都收敛到同一个 $L$） 3.1 设 $\{(x^{(r)},\xi^{(r)})\}_r$ 是任意一条满足 $\vert x^{(r)}\vert \to0$ 的带标签分割序列。 3.2 加一项减一项并两次使用三角不等式： \(\big\vert S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})-L\big\vert =\Big\vert S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})-S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})+S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})-L\Big\vert\) \(\le\underbrace{\big\vert S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})-S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})\big\vert }_{\text{用 Theorem III 控}}+\underbrace{\big\vert S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})-L\big\vert }_{\text{用 } L \text{ 的定义控}}.\) （依据：三角不等式 $\vert u+v\vert \le\vert u\vert +\vert v\vert $，其中 $u=S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})-S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})$，$v=S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})-L$。） 3.3 对第一项用 Theorem III： \(\big\vert S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})-S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})\big\vert \le\Big(w_f\big(\vert x^{(r)}\vert \big)+w_f\big(\vert y^{(r)}\vert \big)\Big)(b-a).\) （依据：Theorem III。注意这里不需要 $x^{(r)}$ 与 $y^{(r)}$ 有任何包含关系——Theorem III 是对任意两个分割成立的，这正是第 0′ 步”随便挑一条 $y^{(r)}$ 就行”的合法性来源。） 3.4 于是 \(0\le\big\vert S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})-L\big\vert \le\underbrace{\Big(w_f(\vert x^{(r)}\vert )+w_f(\vert y^{(r)}\vert )\Big)(b-a)}_{\to0\ \text{by Theorem I}}\ +\ \underbrace{\big\vert S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})-L\big\vert }_{\to0\ \text{by } L\text{ 的定义}}.\) 3.5 两个加项都 $\to0$：

• $\vert x^{(r)}\vert \to0$ 与 $\vert y^{(r)}\vert \to0$，而 $w_f(\eta)\to0$（$\eta\to0^+$）由 Theorem I 给出；复合上”$\eta_r\to0$”得 $w_f(\vert x^{(r)}\vert )\to0$、$w_f(\vert y^{(r)}\vert )\to0$（依据：Lecture 8 的复合/夹逼思想：$0\le w_f(\vert x^{(r)}\vert )\le\sup\{w_f(\eta):\eta\le\vert x^{(r)}\vert \}$ 并在 $\epsilon$-$\delta$ 语言下直接验证）。
• $\big\vert S_f(y^{(r)},\zeta^{(r)})-L\big\vert \to 0$ 由 $L$ 的定义（第 2 步）直接给出。 所以右边的和 $\to0$（依据：Lecture 8 Theorem 89 的加法与数乘极限法则）。 3.6 由 夹逼定理 (Squeeze Theorem)，$0\le\vert S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})-L\vert \le(\text{趋于 }0)\Longrightarrow\big\vert S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})-L\big\vert \to0$，即 \(\lim_{r\to\infty}S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})=L.\) Claim 2 证毕。 由于 $\{(x^{(r)},\xi^{(r)})\}$ 是任意的，Theorem 235 的”对一切序列”要求被满足。$\blacksquare$

Theorem 239（Theorem I：连续模趋于零，即 $\lim_{\eta\to0}w_f(\eta)=0$）

• 定理陈述：对一切 $f\in C([a,b])$， \(\lim_{\eta\to0}w_f(\eta)=0.\) 换言之：$\forall\epsilon>0\ \exists\delta>0$ 使得 $\forall\eta<\delta$，$w_f(\eta)<\epsilon$。
• 证明策略：本定理是整讲唯一需要”一致连续”的地方，其余全是代数。策略只有一句话：把一致连续定义中的 $\delta_0$ 直接拿来当这里的 $\delta$。
• 逐步推导：
  1. 设 $\epsilon>0$。
  2. 因为 $f\in C([a,b])$，由 Lecture 17 的 Theorem 197（”$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续 $\iff$ $f$ 一致连续”），$f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。（依据：Theorem 197。）
  3. 于是存在 $\delta_0>0$，使得 \(\forall x,y\in[a,b]\ \text{with}\ \vert x-y\vert <\delta_0:\quad \vert f(x)-f(y)\vert <\frac{\epsilon}{2}.\) （依据：一致连续的定义。关键点：这个 $\delta_0$ 与 $x,y$ 无关，只与 $\epsilon$ 有关——这就是”一致”二字的全部内容。）
  4. 取 $\delta:=\delta_0$，并设 $\eta<\delta$。（注意源文件的写法是”Choose $\delta=\delta_0$ and let $\eta<\delta$”。）
  5. 若 $\vert x-y\vert \le\eta<\delta=\delta_0$，则由第 3 步 \(\vert f(x)-f(y)\vert <\frac{\epsilon}{2}.\) （依据：第 3 步，注意 $\vert x-y\vert \le\eta<\delta_0$ 蕴含 $\vert x-y\vert <\delta_0$，所以可以取用。）
  6. 因此 $\dfrac{\epsilon}{2}$ 是集合 $\{\vert f(x)-f(y)\vert :\ \vert x-y\vert \le\eta\}$ 的一个上界（依据：第 5 步说的是”该集合中每个元素都 $<\epsilon/2$”，这正是”上界”的定义）。
  7. 于是由 $w_f(\eta)$ 是最小上界（Definition 237 中 $w_f(\eta)=\sup\{\cdots\}$，而 Lecture 4/5 已证 $\sup$ 是不超过任一上界的上界）， \(w_f(\eta)\le\frac{\epsilon}{2}<\epsilon.\) （依据：$\sup$ 的最小性 + $\epsilon>0$。）
  8. 合并 4–7：$\forall\epsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall\eta<\delta:\ w_f(\eta)<\epsilon$，即 $\lim_{\eta\to0}w_f(\eta)=0$。$\blacksquare$
• 【证明机制解说】：
• 为什么能一步到位？ 因为 $w_f$ 的定义（Definition 237）与一致连续的定义在形状上几乎一样：前者是”$\sup$ over $\vert x-y\vert \le\eta$”，后者是”$\forall x,y$ with $\vert x-y\vert <\delta_0$”。把 $\delta_0$ 塞进 $\eta$ 的位置，两个定义就自动对接了。Theorem 239 本质上是”把一致连续翻译成 $w_f$ 的语言”。
• $\epsilon/2$ 是怎么来的？ 源文件第 5 步的界是 $\vert f(x)-f(y)\vert <\epsilon/2$，于是 $w_f(\eta)\le\epsilon/2<\epsilon$。这里用 $\epsilon/2$ 是为了给后面留余量：主定理里需要把两条不同序列的模数相加（$w_f(\vert y^{(r)}\vert )+w_f(\vert y^{(s)}\vert )$），如果 Theorem 239 只给到 $\epsilon$ 而不给 $\epsilon/2$，相加后就变成 $2\epsilon$，主定理第 1.6 步的算术就不再”刚好得到 $\epsilon$”。这是分析中最常见的”预留一半余量”技巧（与 Lecture 8 的极限四则运算证明里拆 $\epsilon/2$ 完全同源）。
• 如果将 $\epsilon$ 除以 $2(b-a)$ 会怎样？ 那正是主定理第 1.2 步的做法：既然 Theorem III 的界是 $w_f\cdot(b-a)$，要让乘积 $<\epsilon$ 只需每个 $w_f<\frac{\epsilon}{2(b-a)}$（两个相加得 $\frac{\epsilon}{b-a}$，乘 $b-a$ 恰得 $\epsilon$）。所以”除以 $2(b-a)$”不是新思想，它只是 Theorem 239 + Theorem 243 的一个包装。源文件把 $\epsilon/2$ 留在 Theorem 239 里（更干净的陈述），把 $(b-a)$ 的账留到主定理里算——这样每条定理都只出现在它该出现的地方。
• 为什么”必须”一致连续？ 试想只有点态连续：给定 $\epsilon$，对每个点 $c$ 有一个 $\delta_c>0$；我们要的是一个 $\delta$ 使所有 $\vert x-y\vert \le\eta$ 的点对都满足 $\vert f(x)-f(y)\vert <\epsilon$。点态的 $\inf_c\delta_c$ 完全可能是 $0$（例如 $f(x)=1/x$ on $(0,1]$，或 $f(x)=x^2$ on $[0,\infty)$ 上 $\delta_c\approx\frac{\epsilon}{2c}$，当 $c\to\infty$ 时趋于 $0$）。而对闭区间上的连续函数，Lecture 17 的定理告诉我们这个 $\inf$ 是正的——这就是 Lecture 17 存在的全部意义。若把假设减弱成”$f$ 在 $[a,b]$ 上逐点连续且 $[a,b]$ 是开区间”，Theorem 239 会直接失败（取 $f(x)=1/x$ on $(0,1]$，则 $w_f(\eta)=+\infty$，连有限都不是）。
• 一个副产品（可能超出源文件、但值得知道）：由 Definition 237 立即可得 $w_f$ 单调不减（$\eta_1\le\eta_2\Rightarrow$ 取 $\sup$ 的集合更大 $\Rightarrow w_f(\eta_1)\le w_f(\eta_2)$）。于是”$\lim_{\eta\to0}w_f(\eta)$”其实是 $\inf_{\eta>0}w_f(\eta)$，极限总存在（可能是 $+\infty$），Theorem 239 说的是它 $=0$。补充说明：源文件未显式指出这一点。

Theorem 240（Theorem II：加细的误差界）

• 定理陈述：若 $(x,\xi)$ 与 $(x^{\prime},\xi^{\prime})$ 是 $[a,b]$ 的带标签分割且 $x\subset x^{\prime}$（即 $x^{\prime}$ 是 $x$ 的加细，Definition 241），则对 $f\in C([a,b])$ 有 \(\big\vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\big\vert \le w_f\big(\vert x\vert \big)\,(b-a).\)
• 证明策略：“逐段归约”。$x^{\prime}$ 是 $x$ 的加细，所以 $x$ 的每段 $[x_{k-1},x_k]$ 被 $x^{\prime}$ 的点劈成若干小段。做法是：
  1. 先把 $S_f(x,\xi)$ 写成 $\sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$（$n$ 是 $x$ 的段数）；
  2. 把 $S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})$ 按”属于 $x$ 的哪一段”分组，定义第 $k$ 组的和 $S_f(y^{(k)},\eta^{(k)})$；
  3. 对每一组单独做”加一项减一项（把 $f(\xi_k)$ 提出来）”的三角不等式估计；
  4. 把 $n$ 组的估计相加。
• 逐步推导：
  1. 记 $x=\{a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\}$，$x^{\prime}=\{a=x_0^{\prime}<x_1^{\prime}<\cdots<x_m^{\prime}=b\}$，$\vert x\vert $ 为 $x$ 的网格。（依据：分割的定义，Definition 230。）
  2. 分组（源文件的记号 $y^{(k)},\eta^{(k)}$）：因为 $x\subset x^{\prime}$，对每个 $k=1,\dots,n$ 存在下标 $\ell,m$（$0\le\ell<m\le m^{\prime}$）使得 \(x^{\prime}_\ell=x_{k-1},\qquad x^{\prime}_m=x_k,\) 且中间的 $x^{\prime}{\ell+1},\dots,x^{\prime}{m-1}$ 都落在 $(x_{k-1},x_k)$ 内（也可能没有，此时 $m=\ell+1$）。令 \(y^{(k)}:=\{x_{k-1}=x^{\prime}_\ell,\ x^{\prime}_{\ell+1},\ \dots,\ x^{\prime}_m=x_k\},\qquad \eta^{(k)}:=\{\xi^{\prime}_{\ell+1},\ \xi^{\prime}_{\ell+2},\ \dots,\ \xi^{\prime}_m\}.\) （依据：$x^{\prime}$ 加细 $x$ 的定义 $x\subset x^{\prime}$；$\eta^{(k)}$ 是 $x^{\prime}$ 的标签中落在这一段内的那些。注意 $y^{(k)}$ 是 $[x_{k-1},x_k]$ 的分割，$(y^{(k)},\eta^{(k)})$ 是它的带标签分割。）
  3. 把大和拆成小和之和：由定义 \(S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})=\sum_{j=1}^{m^{\prime}}f(\xi^{\prime}_j)(x^{\prime}_j-x^{\prime}_{j-1})=\sum_{k=1}^{n}\underbrace{\sum_{j=\ell+1}^{m}f(\xi^{\prime}_j)(x^{\prime}_j-x^{\prime}_{j-1})}_{=S_f(y^{(k)},\eta^{(k)})}=\sum_{k=1}^{n}S_f\big(y^{(k)},\eta^{(k)}\big).\) （依据：求和的分组结合律；每个 $j$ 恰属于一个 $k$，因为 $x^{\prime}$ 的点把 $[a,b]$ 恰好划分成这 $n$ 组。）
  4. 每一段的和 = 矩形面积 + 修正项： \(f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})-\sum_{j=\ell+1}^{m}f(\xi^{\prime}_j)(x^{\prime}_j-x^{\prime}_{j-1})=\sum_{j=\ell+1}^{m}\big(f(\xi_k)-f(\xi^{\prime}_j)\big)(x^{\prime}_j-x^{\prime}_{j-1}).\) 这一步是”加一项减一项”的关键：因为 \(\sum_{j=\ell+1}^{m}\big(x^{\prime}_j-x^{\prime}_{j-1}\big)=x^{\prime}_m-x^{\prime}_\ell=x_k-x_{k-1},\) （望远镜求和 (telescoping sum)），所以 $f(\xi_k)\cdot\sum_j(x^{\prime}j-x^{\prime}{j-1})=f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$，把 $f(\xi_k)$ 塞进求和号内即可。（依据：代数变形 + 望远镜求和。源文件的写法是”since $\sum_{j=1}^{m}x^{\prime}j-x^{\prime}{j-1}=x_m-x^{\prime}\ell=x_k-x{k-1}$”。）
  5. 取绝对值并逐项放大： \(\Big\vert f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})-S_f(y^{(k)},\eta^{(k)})\Big\vert =\Big\vert \sum_{j=\ell+1}^{m}\big(f(\xi_k)-f(\xi^{\prime}_j)\big)(x^{\prime}_j-x^{\prime}_{j-1})\Big\vert\) \(\le\sum_{j=\ell+1}^{m}\big\vert f(\xi_k)-f(\xi^{\prime}_j)\big\vert \,(x^{\prime}_j-x^{\prime}_{j-1}).\) （依据：三角不等式 $\vert \sum u_j\vert \le\sum\vert u_j\vert $；以及 $x^{\prime}j-x^{\prime}{j-1}>0$，所以绝对值可以直接提到外面。）
  6. 用连续模替换逐点差：对每个 $j$，$\xi_k$ 与 $\xi^{\prime}j$ 都落在 $[x{k-1},x_k]$ 内（$\xi_k$ 由标签定义落在这一段；$\xi^{\prime}j$ 因为 $x{k-1}=x^{\prime}\ell\le x^{\prime}{j-1}\le\xi^{\prime}j\le x^{\prime}_j\le x^{\prime}_m=x_k$）。所以 \(\vert \xi_k-\xi^{\prime}_j\vert \le x_k-x_{k-1}\le\vert x\vert .\) 于是由 $w_f$ 的定义（Definition 237，取 $\eta=\vert x\vert $，注意 $w_f$ 单调不减所以用 $\vert x\vert $ 比用 $x_k-x{k-1}$ 得到的界更大、更统一）： \(\big\vert f(\xi_k)-f(\xi^{\prime}_j)\big\vert \le w_f\big(\vert \xi_k-\xi^{\prime}_j\vert \big)\le w_f\big(\vert x\vert \big).\) （依据：$w_f(\eta)=\sup\{\vert f(u)-f(v)\vert :\vert u-v\vert \le\eta\}$；这里 $\vert u-v\vert \le\vert x\vert $ 故该差属于被取 $\sup$ 的集合，故不超过 $\sup$。）
  7. 代入第 5 步： \(\Big\vert f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})-S_f(y^{(k)},\eta^{(k)})\Big\vert \le w_f(\vert x\vert )\sum_{j=\ell+1}^{m}(x^{\prime}_j-x^{\prime}_{j-1})=w_f(\vert x\vert )\,(x_k-x_{k-1}).\) （依据：$w_f(\vert x\vert )$ 与 $j$ 无关，可提到求和号外；再用望远镜求和。）
  8. 把 $n$ 段加起来： \(\big\vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\big\vert =\Big\vert \sum_{k=1}^{n}\Big(f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})-S_f(y^{(k)},\eta^{(k)})\Big)\Big\vert\) \(\le\sum_{k=1}^{n}\Big\vert f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})-S_f(y^{(k)},\eta^{(k)})\Big\vert \le w_f(\vert x\vert )\sum_{k=1}^{n}(x_k-x_{k-1})=w_f(\vert x\vert )(b-a).\) （依据：第 3 步的分组等式 + 三角不等式 + 第 7 步 + 望远镜求和 $\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=x_n-x_0=b-a$。）$\blacksquare$ （说明：源文件末尾一行印刷为”$\le w_f(\vert x\vert )\sum_{k=1}^{n}x_k-x_1$”，其中求和号下的下标与”$x_k-x_1$”是 PDF 提取时的串行错误；从上下文（对上一步的 $(x_k-x_{k-1})$ 求和）以及结论 $(b-a)$ 判断，正确写法是 $\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=b-a$。源文件第 7 步本身则正确地印为 $\le w_f(\vert x\vert )(x_k-x_{k-1})$。）
• 【证明机制解说】：
• “逐段归约”是本证明的灵魂。 我们想比较”整条 $[a,b]$ 上的两个和”，但两个和的段结构不同，无法逐段相减。加细 $x\subset x^{\prime}$ 提供了唯一的结构保证：$x^{\prime}$ 的每一小段都完整落在 $x$ 的某一个大段内。于是比较就被分解成 $n$ 个互不干扰的”单段内比较”，可以逐个击破再相加。
• “加一项减一项”制造望远镜。 第 4 步是整个证明的”灵光一现”：想把 $\sum_j f(\xi^{\prime}j)(x^{\prime}_j-x^{\prime}{j-1})$ 与 $f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$ 相减，必须让两项的”权重”同型。注意到 $\sum_j(x^{\prime}j-x^{\prime}{j-1})=x_k-x_{k-1}$，就可以把 $f(\xi_k)$ 写成 $\sum_j f(\xi_k)(x^{\prime}j-x^{\prime}{j-1})$，两项立刻可以合并成 $\sum_j(f(\xi_k)-f(\xi^{\prime}j))(x^{\prime}_j-x^{\prime}{j-1})$。这个”用望远镜和把常数塞进求和号”的手段在 Riemann 和理论里反复出现，务必掌握。
• 为什么 $\xi_k$ 与 $\xi^{\prime}j$ 的距离能被 $\vert x\vert $ 控制？这是很多人卡住的地方。** 链条是：$\xi_k\in[x{k-1},x_k]$（$\xi_k$ 是这一段的标签）；$\xi^{\prime}j\in[x^{\prime}{j-1},x^{\prime}j]\subset[x{k-1},x_k]$（因为 $j$ 属于第 $k$ 组，这一组的所有点都在 $[x_{k-1},x_k]$ 内）。两者同属一个长度 $\le\vert x\vert $ 的区间，所以 $\vert \xi_k-\xi^{\prime}_j\vert \le\vert x\vert $。“同一个子区间内的任意两点”**——这正是 $w_f$ 被发明出来的场景。
• 为什么这里”必须”用 $w_f$ 而不是直接用一致连续？ 因为我们需要的不是”某一个点对”的差，而是 $n$ 个段、每段可能几十个点对的差，且必须用同一个界。$w_f(\vert x\vert )$ 事先把”所有 $\vert u-v\vert \le\vert x\vert $ 的点对的差”打包成一个数——这就是它作为”全局打包”工具的价值。

• 这个界有多松？ 非常松！上面的 python3 验算里，真实差值 $0.0925$，界却是 $0.75$——差了 8 倍。但松不要紧：我们需要的是”$\vert x\vert \to0$ 时界 $\to0$”，而 $w_f(\vert x\vert )(b-a)\to0$ 正是 Theorem 239 的承诺。用一种更精细的界（如 $\sum_k w_{f,k}(x_k-x_{k-1})$，其中 $w_{f,k}$ 是第 $k$ 段上的局部模数）能更紧，但证明会更复杂且不必要。分析中”抓住 main term 的阶，忽略常数”就是这种取舍。

• 【证明技巧总结】
  1. 分组求和：把”结构不同的两个对象”按一个公共的结构（这里是 $x$ 的段）分组，把全局比较化归为局部比较。
  2. 加一项减一项 + 望远镜求和：$\sum_j(x^{\prime}j-x^{\prime}{j-1})=x_k-x_{k-1}$ 是”权重归一”，使得常数 $f(\xi_k)$ 可以进入求和号。
  3. 用 $\sup$ 型量做统一放大：把 $\sum_j\vert f(\xi_k)-f(\xi^{\prime}j)\vert (x^{\prime}_j-x^{\prime}{j-1})$ 中的每一项都换成同一个上界 $w_f(\vert x\vert )$，再用 $\sum_j(x^{\prime}j-x^{\prime}{j-1})=x_k-x_{k-1}$ 把权重求和掉。“逐项放大 + 权重求和 = 统一界”。
  4. 记号先行：源文件第 2 步先定义 $y^{(k)},\eta^{(k)}$ 再动手，避免在后面陷入下标泥潭。写这类证明时，先把”第 $k$ 组由哪些下标组成”这件事用记号固定下来，是防错的关键。

Theorem 243（Theorem III：任意两个分割的误差界，公共加细）

• 定理陈述：若 $(x,\xi)$ 与 $(x^{\prime},\xi^{\prime})$ 是 $[a,b]$ 的任意两个带标签分割，$f\in C([a,b])$，则 \(\big\vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\big\vert \le\Big(w_f\big(\vert x\vert \big)+w_f\big(\vert x^{\prime}\vert \big)\Big)(b-a).\)
• 证明策略：引入公共加细 (common refinement) $x^{\prime\prime}:=x\cup x^{\prime}$，把”两个无关的分割”的比较拆成”每个分割与公共加细的比较”，后者由 Theorem II 处理。再套一次三角不等式。

公共加细 $x^{\prime\prime}=x\cup x^{\prime}$ 的示意图（$x$ 的区间被 $x^{\prime}$ 的点劈开）：

 取 x  = {a=x₀ < x₁ < x₂ < x₃=b}        (3 段, 网格 ‖x‖ 较大)
 取 x' = {a=x'₀ < x'₁ < x'₂ < x'₃ < x'₄ < x'₅=b}   (5 段, 网格 ‖x'‖ 较小)

   x :  |──────────────|──────────|──────────────────|
        a             x₁          x₂                 b

   x':  |─────|────|────────|───────|──────|─────────|
        a    ↑    ↑        ↑       ↑      ↑         b
             x'₁  x'₂      x'₃     x'₄    x'₅

   x'' = x ∪ x' :  把两组点合并、按递增排列

        a    x'₁  x'₂  x₁  x'₃  x₂   x'₄   x'₅     b
        |─────|────|────|────|────|────|─────|─────|
        └── x 的第 1 段被劈成 3 小段 ──┘
                  └─ x 的第 2 段被劈成 2 小段 ─┘
                            └── x 的第 3 段被劈成 3 小段 ──┘

  ── 每一小段都完整落在 x 的【某一个】大段内 ──
  ── 这正是 Theorem II 第 2 步"分组"能成立的几何依据 ──

于是 Theorem III 的逻辑是：

        S_f(x,ξ)                        S_f(x',ξ')
            \                              /
             \   Theorem II (x ⊂ x'')    /  Theorem II (x' ⊂ x'')
              \                          /
               → → →  S_f(x'',ξ'')  ← ← ←
                          ↑
               任取一个标签 ξ'' 即可（不等式与它无关）

      |S(x,ξ) - S(x',ξ')| ≤ |S(x,ξ) - S(x'',ξ'')| + |S(x'',ξ'') - S(x',ξ')|
                          ≤  w_f(‖x‖)(b-a)       +  w_f(‖x'‖)(b-a)

• 逐步推导：
  1. 令 $x^{\prime\prime}:=x\cup x^{\prime}$（作为点集的并），$\xi^{\prime\prime}$ 为 $x^{\prime\prime}$ 的任一标签。（依据：并集仍是 $[a,b]$ 的有限子集且包含 $a,b$，按递增排列后是分割；$x,x^{\prime}\subset x^{\prime\prime}$，所以 $x^{\prime\prime}$ 同时加细 $x$ 与 $x^{\prime}$，符合 Definition 241。注意源文件写的”let $x^{\prime\prime}=x\cup x^{\prime}$ (i.e. a common refinement)”——”common”就是指同时加细两者。）
  2. 加一项减一项（这次是把 $S_f(x^{\prime\prime},\xi^{\prime\prime})$ 插在中间）： \(\big\vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\big\vert =\Big\vert \underbrace{S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime\prime},\xi^{\prime\prime})}_{u}+\underbrace{S_f(x^{\prime\prime},\xi^{\prime\prime})-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})}_{v}\Big\vert \le\vert u\vert +\vert v\vert .\) （依据：三角不等式；$v$ 中 $-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})=-(S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})-S_f(x^{\prime\prime},\xi^{\prime\prime}))-S_f(x^{\prime\prime},\xi^{\prime\prime})$ 的整理，本质上是把两项写成 $u+v$ 的形式。）
  3. 对 $\vert u\vert $ 用 Theorem II（因为 $x\subset x^{\prime\prime}$）：$\vert u\vert \le w_f(\vert x\vert )(b-a)$。
  4. 对 $\vert v\vert $ 用 Theorem II（因为 $x^{\prime}\subset x^{\prime\prime}$）：$\vert v\vert \le w_f(\vert x^{\prime}\vert )(b-a)$。
  5. 相加：$\vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\vert \le(w_f(\vert x\vert )+w_f(\vert x^{\prime}\vert ))(b-a)$。$\blacksquare$ （说明：源文件正文把第 2 步写成 \(\vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\vert \le\vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime\prime},\xi^{\prime\prime})\vert -\vert S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})-S_f(x^{\prime\prime},\xi^{\prime\prime})\vert ,\) 这是 PDF 提取时把两处的 $+$ / 符号弄错了（用 $\vert u\vert -\vert v\vert $ 得到的不等式在 $\vert u\vert <\vert v\vert $ 时会给出负数，显然不可能；而且下一步立刻写成了 $w_f(\vert x\vert )(b-a)+w_f(\vert x^{\prime}\vert )(b-a)$，说明本意就是相加）。正确的写法是三角不等式的标准形式 \(\vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\vert \le\underbrace{\vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime\prime},\xi^{\prime\prime})\vert }_{\le w_f(\vert x\vert )(b-a)}+\underbrace{\vert S_f(x^{\prime\prime},\xi^{\prime\prime})-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\vert }_{\le w_f(\vert x^{\prime}\vert )(b-a)}.\) 这也是 Lecture 18 的 Theorem 208 (Theorem II) 里那个技巧 $\big\vert \text{三项}\big\vert \le$ 的同类用法；更根本地，它就是三角不等式 $\vert p+q\vert \le\vert p\vert +\vert q\vert $，不必引入任何新工具。）
  6. 一个必须点明的小事：步骤 3、4 中 $\xi^{\prime\prime}$ 是任意选的标签——因为 Theorem II 的结论与 $\xi^{\prime\prime}$ 的取法无关（它只用到 $x\subset x^{\prime\prime}$ 与 $f$ 的一致连续模），所以随便怎么取都行。这也是 Theorem III 陈述里没有出现 $\xi^{\prime\prime}$ 的原因。
• 【证明机制解说】：
• 为什么要引入 $x\cup x^{\prime}$？ 因为 Theorem II 只能比较”有包含关系的两个分割”。任意两个分割之间通常没有包含关系（例如 $\{0,\frac12,1\}$ 与 $\{0,\frac13,1\}$），于是无法直接相减。公共加细是一个中介：它同时加细两者，于是两次 Theorem II 都能用。
• 这是”通过公共加细把不同分割归约到同一网格”的范式。 这类”造中介”的思想在分析中无处不在：想比较 $a$ 和 $b$，就造一个 $c$ 使得 $\vert a-b\vert \le\vert a-c\vert +\vert c-b\vert $，而 $a$ 与 $c$、$b$ 与 $c$ 的比较都更容易。成本是误差会相加（$w_f(\vert x\vert )+w_f(\vert x^{\prime}\vert )$ 而不是 $\max$），但因为我们最终让两个网格都 $\to0$，相加后的两项仍然都 $\to0$，代价为零。
• 注意误差界是”两个模数之和”而非”$\max$”。 这一点很关键：在主定理第 1.6 步里，正因为有两个 $w_f$ 相加，才需要 Theorem 239 给出 $\frac{\epsilon}{2(b-a)}$ 而不是 $\frac{\epsilon}{b-a}$。Theorem III 的”和”与 Theorem 239 的”$\epsilon/2$”是配套设计的。

• 如果 $x$ 与 $x^{\prime}$ 恰好有包含关系呢？ 那么 $\vert x\cup x^{\prime}\vert $ 更小，用 Theorem III 得到的界 $(w_f(\vert x\vert )+w_f(\vert x^{\prime}\vert ))(b-a)$ 会比 Theorem II 的 $w_f(\vert x\vert )(b-a)$ 松（多了一项）。所以能直接用 Theorem II 时不要用 Theorem III——这是”用最贴近结构的定理”的实用原则。

• 【证明技巧总结】
  1. 造中介 + 三角不等式：比较两个无关联对象时，先构造一个”同时靠近两者”的中间对象（这里 $x\cup x^{\prime}$），再用三角不等式把误差一分为二。
  2. 代价可控就行：中介法把误差从 $\max$ 变成 $\text{sum}$，但只要各项都趋于 $0$，就没有实质损失。
  3. “for any tag”的合法性检查：一旦结论不依赖某个自由选择（这里是 $\xi^{\prime\prime}$），就可以”任取”它，并在需要时按方便取（例如取 $\xi^{\prime\prime}$ 为 $x^{\prime\prime}$ 的左端点标签）。

Theorem 245（Linearity，线性性）

• 定理陈述：若 $f,g\in C([a,b])$ 且 $\alpha\in\mathbb{R}$，则 \(\int_a^b(\alpha f+g)=\alpha\int_a^b f+\int_a^b g.\) （这里 $\alpha f+g$ 是逐点定义的函数 $x\mapsto\alpha f(x)+g(x)$。）
• 证明策略：“在黎曼和层面证，然后取极限”。因为黎曼和是线性运算、极限也是线性运算，两者复合起来就直接给出积分的线性性。这是本讲最短的证明。
• 逐步推导：
  1. 先确认 $\alpha f+g\in C([a,b])$：$\alpha f$ 与 $g$ 都连续（Lecture 14–15 关于连续函数四则运算的结果），其和也连续。所以 Theorem 235 对 $\alpha f+g$ 适用，$\int_a^b(\alpha f+g)$ 有定义。（依据：连续函数的数乘与加法仍是连续函数；Theorem 235。）
  2. 取任意一条带标签分割序列 $\{(x^{(r)},\xi^{(r)})\}_r$ 使 $\vert x^{(r)}\vert \to0$。（依据：Theorem 235 说明任何这样的序列都收敛到积分值，所以任取一条即可。）
  3. 在黎曼和层面拆开（对每个固定的 $r$）： \(S_{\alpha f+g}\big(x^{(r)},\xi^{(r)}\big)=\sum_{k=1}^{n_r}\big(\alpha f(\xi_k)+g(\xi_k)\big)\big(x_k-x_{k-1}\big)\) \(=\alpha\sum_{k=1}^{n_r}f(\xi_k)\big(x_k-x_{k-1}\big)+\sum_{k=1}^{n_r}g(\xi_k)\big(x_k-x_{k-1}\big)=\alpha S_f\big(x^{(r)},\xi^{(r)}\big)+S_g\big(x^{(r)},\xi^{(r)}\big).\) （依据：求和号是线性的——把 $\sum(\alpha a_k+b_k)$ 拆成 $\alpha\sum a_k+\sum b_k$，这是有限和的基本性质（Lecture 8 的 Notation/代数性质），对每个 $r$ 都成立。）
  4. 取极限： \(\int_a^b(\alpha f+g)\overset{\text{(i)}}{=}\lim_{r\to\infty}S_{\alpha f+g}\big(x^{(r)},\xi^{(r)}\big)\overset{\text{(ii)}}{=}\lim_{r\to\infty}\Big(\alpha S_f\big(x^{(r)},\xi^{(r)}\big)+S_g\big(x^{(r)},\xi^{(r)}\big)\Big)\) \(\overset{\text{(iii)}}{=}\alpha\lim_{r\to\infty}S_f\big(x^{(r)},\xi^{(r)}\big)+\lim_{r\to\infty}S_g\big(x^{(r)},\xi^{(r)}\big)\overset{\text{(iv)}}{=}\alpha\int_a^b f+\int_a^b g.\) 依据逐条注明：
• (i)：Theorem 235 的性质（把定理用于 $\alpha f+g\in C([a,b])$，并用于这条 $\vert x^{(r)}\vert \to0$ 的序列）；
• (ii)：第 3 步的逐项等式；
• (iii)：Lecture 8 的 Theorem 89 的第 1 条（和的极限 $=$ 极限的和）与第 2 条（常数倍的极限 $=$ 常数乘极限）；这里需要 $\{S_f\}$ 与 $\{S_g\}$ 都收敛，而它们确实收敛（依据 (iv) 所用的同一个 Theorem 235）；

• (iv)：Theorem 235 分别用于 $f$ 与 $g$，它们各自的黎曼和沿这条序列收敛到各自的积分。 $\blacksquare$ 注意：整个证明没有用到 $f,g$ 除连续性以外的任何性质（不必可微、不必单调、不必非负），也没有用到 $[a,b]$ 的任何特殊性。唯一被用到的”分析”信息全部来自 Theorem 235 与 Theorem 89。

• 【证明机制解说】：
• 为什么这个证明这么短？ 因为它把”积分”这个对象拆成了两个都保线性的步骤的复合： \(\underbrace{f\ \longmapsto\ S_f(x,\xi)}_{\text{线性（有限和）}}\ \xrightarrow{\ \ \text{取极限}\ \ }\ \underbrace{\int_a^b f}_{\text{线性（Theorem 89）}}.\) 黎曼和是有限和，而有限和天然线性（$\sum(\alpha a_k+b_k)=\alpha\sum a_k+\sum b_k$ 只是分配律加结合律）；极限也与线性运算交换（Theorem 89）。线性性在链条的每一环都成立，于是在复合的终点成立。
• “黎曼和的线性性 + 极限的线性性 $=$ 积分的线性性” —— 这句话值得抄下来。更要紧的是它的推广价值：任何”先把函数映成某个线性量、再取极限”的构造（导数、级数、后面的一致收敛极限），线性性都能用同一套两行论证拿下。你还应该注意到：这里没有任何 $\epsilon$ 出现！ 因为所有 $\epsilon$ 的工作已经在 Theorem 235 里一次性做完了；线性性只是”打包复用”。

• 一个刻意的对照：如果把定义换成 Darboux 上/下和（Darboux 路线），线性性证明会明显变长：因为 $\sup$ 与加法不交换（$\sup(f+g)\le\sup f+\sup g$ 是真包含关系，一般取不到等号），你必须额外证明”上和的 $\inf$ 等于下和的 $\sup$”（即 Darboux 可积判据）才能恢复线性性。源文件采用”标签黎曼和”路线的一个巨大好处，就是让线性性几乎免费。 这是”选择定义”影响”证明难度”的经典案例。

• 【证明技巧总结】
  1. 先在离散层面证、再取极限：任何”由有限和 + 极限定义”的量（积分、级数、导数的差商版本），线性性/单调性这类”代数性质”都应先在有限层面验证。
  2. 复用大定理，避免重做 $\epsilon$：Theorem 235 已经把”收敛”这件事做完了，Theorem 245 只需引用 Theorem 89。
  3. 任意序列 + 唯一极限：第 2 步”任取一条序列”是合法且关键的一步——它把 Theorem 235 的 $\forall$ 序列结论变成”随便挑一条就行”，从而让后面的代数操作只需要处理一条序列。

【补充 21.A】Dirichlet 函数不可积（★ 补充说明：源文件 Lecture 21 完全没有提到 Dirichlet 函数，本小节是补充材料，用于说明 Theorem 235 中”连续”这个假设为什么不可省。）

• 背景：Lecture 15 已经讨论过 Dirichlet 函数（源文件 Lecture 15 第 126 行起）： \(f(x)=\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q},\\ 0,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.\end{cases}\) 它在每一点都不连续（Lecture 15 证明了这一点：在有理点 $c$ 处取无理数列 $x_n\to c$ 得 $f(x_n)=0\not\to1=f(c)$；在无理点处对称地取有理数列）。补充说明：Lebl 的 Example 5.1.4 用 Darboux 上下和给出 $\underline{\int_0^1}f=0<\overline{\int_0^1}f=1$，与本小节的标签论证是同一件事的两种说法。
• 命题：$\mathbf{1}{\mathbb{Q}}\notin\mathcal{R}([0,1])$，更一般地 $\mathbf{1}{\mathbb{Q}}\notin\mathcal{R}([a,b])$ 对任意 $a<b$。
• 证明策略：“同一分割、两套标签，得到两个相距为 $b-a$ 的黎曼和”。既然 Theorem 235 要求所有标签选择的黎曼和都收敛到同一个数，只要能造出一条网格 $\to0$ 的序列，使黎曼和沿它取值 $b-a$，和另一条沿它取值 $0$，不可积性就立刻成立。
• 逐步推导：
  1. 基础事实（稠密性）：任一非退化区间 $(u,v)$（$u<v$）中同时有有理数与无理数。（依据：Lecture 3 已建立有理数在 $\mathbb{R}$ 中稠密；无理数稠密可用”$u+\frac{\pi}{n}$ 型的构造”或用 $”$命题：$x,y\in\mathbb{R},\ x<y\Rightarrow\exists i\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ 使 $x<i<y$”——这正是 Assignment 3 第 1 题所证的事实。本小节的证明依赖它，因此这不是一个”从零开始”的证明，而是一个依赖 Lecture 3/Assignment 3 的推论。）
  2. 设 $x=\{a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\}$ 是 $[a,b]$ 的任一分割。由第 1 步，每个开区间 $(x_{k-1},x_k)$ 中都有有理数与无理数。
  3. 构造”全有理标签” $\xi$：对每个 $k$ 取 $\xi_k\in(x_{k-1},x_k)\cap\mathbb{Q}$（合法，因为该区间非退化且含有理数；且 $\xi_k\in(x_{k-1},x_k)\subset[x_{k-1},x_k]$，符合 Definition 231 的标签要求）。则 $f(\xi_k)=1$ 对一切 $k$，于是 \(S_f(x,\xi)=\sum_{k=1}^n1\cdot(x_k-x_{k-1})=b-a.\) （依据：Definition 233 + 望远镜求和。）
  4. 构造”全无理标签” $\zeta$：对每个 $k$ 取 $\zeta_k\in(x_{k-1},x_k)\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$。则 $f(\zeta_k)=0$ 对一切 $k$，于是 \(S_f(x,\zeta)=\sum_{k=1}^n0\cdot(x_k-x_{k-1})=0.\)
  5. 注意第 3、4 步用的是同一个分割 $x$，只有标签不同。且因为 $b-a>0$， \(\big\vert S_f(x,\xi)-S_f(x,\zeta)\big\vert =b-a>0.\)
  6. 可挡性检验：假设 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 可积，则存在 $L\in\mathbb{R}$ 使一切网格 $\to0$ 的带标签分割序列都收敛到 $L$。取 $[a,b]$ 的一列分割 $\{x^{(r)}\}$ 使 $\vert x^{(r)}\vert \to0$（例如 $r$ 等分，$\vert x^{(r)}\vert =\frac{b-a}{r}$）。对每个 $r$，按第 3、4 步构造标签 $\xi^{(r)}$ 与 $\zeta^{(r)}$，得到两条带标签分割序列，两条都满足 $\vert x^{(r)}\vert \to0$。于是 \(L=\lim_r S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})=b-a,\qquad L=\lim_r S_f(x^{(r)},\zeta^{(r)})=0.\) （依据：可积性定义里”一切序列”这个全称要求。）
  7. 于是 $b-a=0$，与 $a<b$ 矛盾。（依据：$a<b\Rightarrow b-a>0$。）故 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\notin\mathcal{R}([a,b])$。$\blacksquare$
  8. python3 验算（$[0,1]$ 上 $n=1000$ 等分）：

     Dirichlet on [0,1], n=1000:  S_rat = 1.000000000000  S_irr = 0.0  gap = 1.0
     Dirichlet on [2,5]:          gap = 3.0   (= b - a)
     

     无论 $n$ 取多大，间隔永远是 $b-a$，绝不缩小——这是与 Q3 那个阶跃函数最本质的差别：阶跃函数的”坏段”只有一段、总长 $\le\vert x\vert \to0$；而 Dirichlet 函数的”坏段”是每一段，总长恒为 $b-a$。

• 【证明机制解说】：这个证明的关键是”$\vert x\vert \to0$ 管不住标签的自由度”。在 Theorem 240 里，$w_f(\vert x\vert )(b-a)$ 之所以能 $\to0$，是因为 $w_f(\vert x\vert )\to0$；而对 Dirichlet 函数， \(w_f(\eta)=\sup\{\vert f(x)-f(y)\vert :\vert x-y\vert \le\eta\}=1\quad(\forall\eta>0),\) 因为任意小的区间里都同时有有理数与无理数（第 1 步）。于是 Theorem 243 的界变成 $(1+1)(b-a)=2(b-a)$，与 $\vert x\vert $ 无关，永远不为 $0$。$w_f$ 在这里再一次充当了”预言机”：它在 Theorem 239 失败，直接宣告了不可积。
• 【证明技巧总结】：(i) 要把”不可积”写清楚，只需造两条具有不同极限的合法序列（或同一条序列的两个子列）；(ii) 要证明”两条序列的极限不同”，最省事的办法是在同一个分割上换标签，这样一切别的东西都不变；(iii) 稠密性（Lecture 3 / Assignment 3 第 1 题）是把”点态”信息转化成”每一段内都有”这种”局部”信息的桥梁。

【补充 21.B】积分的序关系与绝对值不等式（★ 补充说明：源文件 Lecture 21 **没有这些编号定理；Lecture 22 的 Theorem 247 是其中第一条的特例。列出它们是为了让读者看到”同一套工具还能做什么”，并明确标注留待后续讲次。）**

• 断言（源文件未编号，此处只给证明要点，详细编号以 Lecture 22 为准）：
  1. 若 $f,g\in C([a,b])$ 且 $\forall x,\ f(x)\le g(x)$，则 $\displaystyle\int_a^bf\le\int_a^bg$。
  2. 若 $f\in C([a,b])$，则 $\displaystyle\Big\vert \int_a^bf\Big\vert \le\int_a^b\vert f\vert $。
  3. 若 $f\in C([a,b])$ 且 $\vert f\vert \le M$，则 $\displaystyle\Big\vert \int_a^bf\Big\vert \le M(b-a)$。
  4. $f\in C([a,b])\Rightarrow\vert f\vert \in C([a,b])$。
• 证明要点（第 1 条）：取任意带标签分割序列 $\{(x^{(r)},\xi^{(r)})\}$ 使 $\vert x^{(r)}\vert \to0$。对每个 $r$， \(S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})=\sum_kf(\xi_k)\Delta x_k\le\sum_kg(\xi_k)\Delta x_k=S_g(x^{(r)},\xi^{(r)}),\) 因为每项 $f(\xi_k)\le g(\xi_k)$ 而 $\Delta x_k>0$（依据：逐项比较 + 正数乘不等式保号）。两边取 $r\to\infty$，由 Lecture 8 的 Theorem 87 第 1 条（序关系的极限定理）得 $\int_a^bf\le\int_a^bg$。
• 证明要点（第 2 条）：由第 1 条与 $-\vert f\vert \le f\le\vert f\vert $ 得 $-\int_a^b\vert f\vert \le\int_a^bf\le\int_a^b\vert f\vert $，即 $\vert \int_a^bf\vert \le\int_a^b\vert f\vert $。（依据：第 1 条 + 实数绝对值的基本性质 $\vert t\vert \le c\iff-c\le t\le c$。）
• 证明要点（第 3 条）：由第 2 条，$\vert \int_a^bf\vert \le\int_a^b\vert f\vert \le\int_a^bM=M(b-a)$。（依据：第 2 条 + 第 1 条 + 常数函数的积分 $\int_a^bM=M(b-a)$，后者由 $\sum_k M\Delta x_k=M(b-a)$ 直接得到。）
• 证明要点（第 4 条）：$\vert f\vert =\max\{f,-f\}$ 或直接由 $\big\vert \vert f(x)\vert -\vert f(y)\vert \big\vert \le\vert f(x)-f(y)\vert $（反向三角不等式）得 $w_{\vert f\vert }(\eta)\le w_f(\eta)$，故 Theorem 239 对 $\vert f\vert $ 也成立。（依据：反向三角不等式 $\big\vert \vert u\vert -\vert v\vert \big\vert \le\vert u-v\vert $。）
• ⚠ 注意：这些结论在 Lecture 21 里不能引用（源文件没有），但它们的证明只依赖本讲的 Theorem 235 与 Theorem 245 以及 Lecture 8 的序定理——“工具已经齐了，只是讲义把编号留给了 Lecture 22”。这正是源文件 Lecture 22 一开场就是 Theorem 246 (Additivity)、Theorem 247（$m_f(b-a)\le\int_a^bf\le M_f(b-a)$）的原因。

【补充 21.C】积分中值定理的积分形式（★ 补充说明：源文件 Lecture 21 与 Lecture 22 均未以此形式编号；本小节是补充材料。）

• 断言：设 $f\in C([a,b])$。则存在 $c\in[a,b]$ 使 \(\int_a^bf=f(c)\,(b-a).\)
• 证明策略：用 Lecture 16 的 Min-Max Theorem（Theorem 182） 取 $f$ 的最大最小值，把积分夹在两条水平线之间，再用 Bolzano IVT（Theorem 187） 在函数值 $f$ 上找中间值 $c$。
• 逐步推导：
  1. 由 $f\in C([a,b])$ 与 Min-Max Theorem（Lecture 16 的 Theorem 182），$f$ 在 $[a,b]$ 上取到最小值与最大值。记 \(m:=\min\{f(x):x\in[a,b]\},\qquad M:=\max\{f(x):x\in[a,b]\}.\) （依据：Theorem 182。注意这里用的是 $\min/\max$ 而不是 $\inf/\sup$——这正需要连续性与闭区间。）
  2. 由 $m\le f(x)\le M$ 与 【补充 21.B】第 1 条（或用 Lecture 22 的 Theorem 247）： \(m(b-a)\le\int_a^bf\le M(b-a).\)
  3. 除以 $b-a>0$： \(m\ \le\ \frac{1}{b-a}\int_a^bf\ \le\ M.\) （依据：$b-a>0$。）
  4. 令 $\mu:=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf$（称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值 (average value)）。则 $m\le\mu\le M$，即 $\mu$ 落在 $f$ 的值域的两个端点之间。
  5. 由 Bolzano 介值定理（Lecture 16 的 Theorem 187），存在 $c\in[a,b]$ 使 $f(c)=\mu$。（依据：Theorem 187：$f$ 在 $[a,b]$ 连续，$\mu$ 介于 $f$ 的最小值与最大值之间，故 $\mu$ 必被取到。）
  6. 于是 $\int_a^bf=\mu(b-a)=f(c)(b-a)$。$\blacksquare$
• 数值验算：$f(x)=x^2$ on $[0,1]$，$\int_0^1f=\frac13$，$\mu=\frac13$，需要 $c=\sqrt{1/3}\approx0.57735\in[0,1]$ ✓。
• 【证明机制解说】：本质是“先夹、再连续地把夹缝补满”。前一半（第 1–3 步）用极值定理把积分限制在一个区间里；后一半（第 4–5 步）用介值定理指出这个区间的每个点都是函数值。两条 Lecture 16 的定理缺一不可：只有极值定理，你不知道 $\mu$ 是否被取到（$f$ 可以不连续）；只有介值定理，你无法保证 $\mu\le M$。这也解释了为什么本讲的 Theorem 235 本身不需要 Lecture 16，而这条推论需要。
• ⚠ 注意：$c$ 是开区间还是闭区间取决于 $f$ 是否在端点取到极值。若 $\mu=m$ 而 $m$ 只在端点取到，则 $c$ 只能取端点。所以定理只能保证 $c\in[a,b]$，不能保证 $c\in(a,b)$——除非额外假设（如 $f$ 非常数）。这一点常被学生写错。

与教材的对应

• 对应 [JL] §5.1（The Riemann Integral）与 §5.2（Properties of the integral）（依 OCW Assignment 11/12 的 Reading 标注；课程大纲把本讲标为 §4.3，二者只是编号口径不同，内容同为”黎曼积分的定义与连续函数的可积性”）：
• §5.1：partition、$\Delta x_i$、lower/upper Darboux sums $L(P,f)=\sum m_i\Delta x_i$ 与 $U(P,f)=\sum M_i\Delta x_i$、$\underline{\int},\overline{\int}$、refinement（Lebl 的 Definition 5.1.6 与 Proposition 5.1.7：$L(P,f)\le L(\widetilde P,f)$ 且 $U(\widetilde P,f)\le U(P,f)$）、Riemann 可积的定义、以及Example 5.1.4（Dirichlet 函数：$\underline{\int_0^1}f=0,\ \overline{\int_0^1}f=1$）。
• §5.2：Proposition 5.2.1（加性 additivity）、Proposition 5.2.3（线性性与单调性）、以及 §5.2.3 “Continuous functions”——正是”$f\in C([a,b])\Rightarrow f\in\mathcal{R}([a,b])$”这一节（Lebl 那边的证明路线是 Darboux 的：先证对给定 $\epsilon$ 存在分割使 $U(P,f)-L(P,f)<\epsilon$，再用一致连续性把 $M_i-m_i$ 压小）。
• 两条路线的对照（这是本笔记最有价值的”对齐”之一）：

两条路线等价（对同一函数类给出同一个数），但成本分布不同：Darboux 路线让”单调性/序关系”免费、线性性变贵；标签路线让”线性性”免费、”序关系”要用 Lecture 8 的极限序定理补。两条都值得会。

• 对应 OCW Assignment 11（Reading: Sections 4.3, The Riemann Integral lecture notes）：
• 第 5 题：设 $a<b$，定义带标签分割序列 \(x^{(r)}:=\Big\{a+(b-a)\tfrac{k}{r}:k=0,\dots,r\Big\},\qquad \xi^{(r)}:=\Big\{a+(b-a)\tfrac{k}{r}:k=1,\dots,r\Big\}.\) (a) 计算 $\vert x^{(r)}\vert $；(b) 对 $f(x)=\alpha x+\beta$ 证明 \(\lim_{r\to\infty}S_f\big(x^{(r)},\xi^{(r)}\big)=\frac{\alpha(b^2-a^2)}{2}+\beta(b-a).\) 这道题在练什么：直接按 Definition 230/233 算出网格与黎曼和，并不用微积分基本定理地算出极限——也就是练”从定义出发做计算”。这正是本讲之前（Lecture 20 的定义）与本讲（Theorem 235 保证这个极限就是 $\int_a^b f$）之间的桥梁。 数值验算（python3，取 $\alpha=2,\beta=3,a=0,b=1$，目标值 $\frac{2(1-0)}{2}+3(1)=4$）：

def S(alpha, beta, a, b, r):
    return sum((alpha*(a + k*(b-a)/r) + beta)*((b-a)/r) for k in range(1, r+1))
for r in [1, 2, 10, 100, 1000, 100000]:
    print(f"r={r:7d}  S={S(2,3,0,1,r):.10f}   target = {2*(1-0)/2 + 3*1}")

r=      1  S=5.0000000000   target = 4.0
r=      2  S=4.5000000000   target = 4.0
r=     10  S=4.1000000000   target = 4.0
r=    100  S=4.0100000000   target = 4.0
r=   1000  S=4.0010000000   target = 4.0
r= 100000  S=4.0000100000   target = 4.0

误差 $=0.001$（$r=1000$）$=\frac{\alpha(b-a)^2}{2r}=\frac{2\cdot1}{2\cdot1000}$，误差精确地按 $1/r$ 衰减，与定理预言的”线性控制”吻合。

• 第 1–4 题（多项式根的唯一性、Taylor 多项式、Taylor 极限、三次可微的鞍点）与黎曼积分无直接关系，属 Lecture 19–20 的内容。
• 对应 OCW Assignment 12（Reading: The Riemann Integral lecture notes, Section 6.1）：
• 第 2 题 = Exercise 5.3.1、第 3 题 = Exercise 5.3.9（属 [JL] §5.3 微积分基本定理，是 Lecture 22 的内容）；
• 第 4 题 = Exercise 6.1.2、第 5 题 = Exercise 6.1.5（[JL] §6.1 函数列的一致收敛，是 Lecture 24–25 的内容）；
• 第 1(a) 题：设 $f\in C([a,b])$，$f(x)\ge0$ 对一切 $x\in[a,b]$。证明：若 $\int_a^b f=0$，则 $f(x)=0$ 对一切 $x\in[a,b]$。这道题在练什么：把 Theorem 235（本讲）与”连续性把点态正值放大成局部正面积”的机制结合起来做反证。★ 完整证明见本笔记「思考题 Q2」——注意源文件 Lecture 21 并未包含该定理，它只是 Assignment 12 的习题。
• 第 1(b) 题（Sturm–Liouville 型唯一性）：设 $u\in C([a,b])$ 二次连续可微，$V\in C([a,b])$、$V\ge0$，且 \(-u^{\prime\prime}(x)+V(x)u(x)=0,\quad x\in[a,b],\qquad u(a)=u(b)=0.\) 证明 $u(x)=0$ 对一切 $x$ 成立。这道题在练什么：源文件给的提示是”What’s one of the most useful theorems in analysis mentioned in Lecture 22?”——指的是分部积分 (integration by parts)。标准做法：由方程 $u^{\prime\prime}=Vu$，两边乘 $u$ 并在 $[a,b]$ 上积分，对 $\int uu^{\prime\prime}$ 分部积分： \(0=\int_a^b(-u^{\prime\prime}+Vu)u=-\underbrace{\big[uu^{\prime}\big]_a^b}_{=0\ (\text{因 }u(a)=u(b)=0)}+\int_a^b(u^{\prime})^2+\int_a^b V u^2=\int_a^b (u^{\prime})^2+\int_a^b Vu^2.\) 两项都 $\ge0$（$(u^{\prime})^2\ge0$，$Vu^2\ge0$），和为 $0$，故两项都为 $0$；于是 $\int_a^b(u^{\prime})^2=0$，再由第 1(a) 题的结论（对连续函数 $(u^{\prime})^2\ge0$）得 $u^{\prime}\equiv0$，故 $u$ 为常数，再由 $u(a)=0$ 得 $u\equiv0$。这是 1(a) 与 Lecture 22（加法性 + 分部积分）的联合作业。
• 对应 Midterm / Final：hw_all.txt 中的 Midterm 与 Final 均不涉及黎曼积分（Midterm 考集合/开闭集/极限/limsup，Final 在积分方面考的是 5(b) 用分部积分证明带积分余项的 Taylor 公式、6(a) $\int_0^1x\log x\,dx$ 这类反常积分计算，属 Lecture 22–23）。所以：本讲的直接考核形式就是 Assignment 11 第 5 题与 Assignment 12 第 1 题。

与其他讲次的关联

• 依赖 ①：Lecture 17 的一致连续（Theorem 197）$\longrightarrow$ 本讲的 Theorem 239（Theorem I：$w_f(\eta)\to0$）。Theorem 239 的证明只有一句实质内容：”由 $f\in C([a,b])$ 得 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续（Lecture 17 的 Theorem 197：$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续 $\iff$ 一致连续），取它给出的 $\delta_0$ 当作本定理的 $\delta$。” 一致连续的价值在于给出一个与点 $x$ 无关的 $\delta_0$，从而让”宽度 $\le\eta$ 的窗口内的最大振幅” $w_f(\eta)$ 能被一个与分割无关的数控制。若删掉 Lecture 17，Theorem 239 无法证明，Theorem 240/243/235 全部崩塌，本讲一个字都写不出来。这是 Lecture 17 在整门课里的第一次重大应用，也回答了”为什么要费劲区分连续与一致连续”这个问题——建议回看 Lecture 17 的 Remark 194（”in the definition of uniform continuity, $\delta$ only depends on $\epsilon$!”），那正是本讲 Theorem 239 第 3 步能取到统一 $\delta_0$ 的理由。反例警示：把 $[a,b]$ 换成开区间 $(0,1]$，取 $f(x)=1/x$，则 $w_f(\eta)\equiv+\infty$，Theorem 239 直接失败。
• 依赖 ②：Lecture 20 的分割 / 标签 / 黎曼和 / 网格（Definition 229–233、Question 234）$\longrightarrow$ 本讲全部误差估计的记号基础。本讲的每一个公式都建立在 Lecture 20 的记号上：$x=\{a=x_0<\cdots<x_n=b\}$、$\vert x\vert =\max\Delta x_k$、标签 $\xi=\{\xi_k\}$ 满足 $x_{k-1}\le\xi_k\le x_k$、黎曼和 $S_f(x,\xi)=\sum_kf(\xi_k)\Delta x_k$。特别是 Question 234（”Do these approximate sums actually converge?”）就是本讲要回答的问题，而 Remark 242（”Refinements of $x$ are obtained by adding more partition points”）正是本讲 Definition 241 的直白解释。反过来，Lecture 20 的 Remark 228（黎曼积分是”与经验相符的第一个严格的面积理论”，且”是微分的逆”）在本讲只兑现了一半：本讲证明了”面积（积分）确实存在”，而”积分是微分的逆”要等到 Lecture 22 的微积分基本定理才兑现。
• 依赖 ③：Lecture 4/5 的 LUB 与 Lecture 9/10 的完备性（Bolzano–Weierstrass、Cauchy 判别法）$\longrightarrow$ 本讲 Theorem 235 的”存在且唯一”。主定理分两半：唯一性（Remark 236）只依赖”实数序列的极限唯一”（Lecture 10），一行就完；存在性才是真功夫，它走的是”$\{S_f(y^{(r)})\}$ 是 Cauchy 序列 $\Rightarrow$ 有极限 $L$”这条路，其中”Cauchy $\Rightarrow$ 收敛”就是 Lecture 10 的 Theorem 112。而 Lecture 10 的 Theorem 112（Cauchy $\iff$ 收敛）之所以成立，靠的是 Cauchy $\Rightarrow$ 有界（Theorem 110）$\Rightarrow$ 由 Bolzano–Weierstrass（Lecture 9，本质上是 LUB / 完备性）取收敛子列（Theorem 111）$\Rightarrow$ 收敛。所以”连续 $\Rightarrow$ 可积”的两大支柱是：一致连续（Lecture 17，负责”误差一致地小”）+ 完备性（Lecture 4/5/9/10，负责”极限存在”）。缺任何一根，Theorem 235 都不成立。 另外 Definition 237 里的 $\sup$ 本身就要用 LUB 性质才保证对有界函数有 $w_f(\eta)<\infty$（对连续函数由 Lecture 16 的有界性定理 Theorem 180 保证有界）。
• 下游 ①：本讲的 Theorem 243（误差界）与 Theorem 235（积分的定义）$\longrightarrow$ Lecture 22 的全部积分运算。Lecture 22 的 Theorem 246 (Additivity)：把 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 的带标签分割并起来得到 $[a,b]$ 的带标签分割（这正是 Theorem 243 里”公共加细”思想的又一次使用，甚至更简单：这里两个分割的区间不重叠，所以并起来网格仍 $\to0$），然后直接引用 Theorem 235 让 $\lim S_f(x^{(r)},\xi^{(r)})=\int_a^bf$。Lecture 22 的 Theorem 247（$m_f(b-a)\le\int_a^b f\le M_f(b-a)$）则对每个黎曼和逐项用 $m_f\le f(\xi_k)\le M_f$，再对本讲的极限取用。再往后，微积分基本定理（FTC）、分部积分、换元公式，全部以”$\int_a^bf$ 就是这个极限”为定义基础。没有本讲，Lecture 22 一条定理都写不出来。 此外，本讲【补充 21.B】里的序关系与绝对值不等式，正是 Lecture 22 的 Theorem 247 与后续所有估值不等式的起点。
• 下游 ②：本讲的积分定义 $\longrightarrow$ Lecture 24–25 的”极限与积分可交换”。Lecture 24–25 讨论函数列 $\{f_n\}$ 的一致收敛及其与积分的关系：结论形如”若 $f_n\rightrightarrows f$（一致收敛）且 $f_n\in C([a,b])$，则 $\int_a^bf_n\to\int_a^bf$”。那里的 $\int$ 就是本讲用 Theorem 235 定义的积分（因为一致收敛的极限 $f$ 仍连续，仍落在 $C([a,b])$ 里，所以本讲的定理仍适用）。关键桥梁：把”$\int_a^b(f_n-f)\to0$”化归为估计 $\big\vert \int_a^b(f_n-f)\big\vert \le\int_a^b\vert f_n-f\vert \le\vert f_n-f\vert _\infty(b-a)$（用的正是【补充 21.B】第 2、3 条），而一致收敛保证 $\vert f_n-f\vert _\infty\to0$。一致连续（Lecture 17）$\to$ 黎曼积分存在（本讲）$\to$ 一致收敛与积分可交换（Lecture 24–25），这条链的每一环都靠”用一个与点无关的统一量控制误差”这一同一个思想。

• 平行线：Lecture 16 的极值定理 / 介值定理在本讲不是必需的，但在”积分中值定理”里必需。本讲的证明路线（$w_f$ + 公共加细 + Cauchy 判别）完全不需要 $f$ 取到最大最小值，所以 Theorem 235 的证明里看不到 Lecture 16 的影子——这本身是个重要观察：$C([a,b])\Rightarrow\mathcal{R}([a,b])$ 只用”闭区间 + 连续 + 完备性”，不用”紧性带来的极值”。但一旦要证明积分中值定理的积分形式 $\int_a^bf=f(c)(b-a)$（见上方【补充 21.C】），就必须同时调用 Lecture 16 的 Min-Max Theorem（Theorem 182） 与 Bolzano IVT（Theorem 187）。同一个”连续 + 闭区间”的假设，在不同结论面前需要不同工具——这也是为什么本课程把 Lecture 16 与 Lecture 21 分开讲。

• 【本讲的主依赖：Lecture 17（一致连续）】 Theorem 239（Theorem I）的证明整条就是”由 $f\in C([a,b])$ 得 $f$ 一致连续（Lecture 17 的 Theorem 197：$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续 $\iff$ 一致连续）”。这是 Lecture 17 的第一次重大应用，其价值在于：一致连续给出一个与点无关的 $\delta_0$，从而让 $w_f(\eta)$ 能被一个与分割无关的数控制。若没有 Lecture 17，本讲的 Theorem 239 无法证明，Theorem 240/243/235 全部崩塌。建议对照阅读：Lecture 17 里”$\delta$ 只依赖 $\epsilon$”（Remark 194）那句话，正是本讲第 1.2 步”存在 $\delta>0$ 使得 $\forall\eta<\delta$，$w_f(\eta)<\epsilon/(2(b-a))$”里那个 $\delta$ 能独立于分割存在的理由。
• 【本讲的第二个支柱：Lecture 10（Cauchy 判别法与完备性）】 主定理的第 1 步（Claim 1）证明”黎曼和序列是 Cauchy”，第 2 步用 Lecture 10 的 Theorem 112（实数序列 Cauchy $\iff$ 收敛） 把 Cauchy 变成”极限存在”。而 Theorem 112 的证明依赖 Bolzano–Weierstrass（Lecture 9） 与 LUB / 完备性（Lecture 4–5）。所以”连续 $\Rightarrow$ 可积”的两大支柱是：一致连续（Lecture 17，处理”误差一致小”）+ 完备性（Lecture 4/9/10，处理”极限存在”）。 缺任何一根，定理都不成立。
• 【本讲的第三根线：Lecture 20（分割、标签、黎曼和）】 全部记号 $x,\xi,\vert x\vert ,S_f(x,\xi)$ 与 Question 234 都来自 Lecture 20（源文件编号 Definition 229–233、Question 234）。本讲就是 Question 234 的答案。另外，Lecture 20 的 Remark 228（”Riemann integration is the first rigorous theory of ‘area’ … and it is the inverse of differentiation”）在本讲被兑现了一半：本讲证明了”面积确实存在”，而”积分是微分的逆”要等到 Lecture 22（微积分基本定理） 才兑现。
• 【本讲用到 Lecture 8（极限的代数与序）】 Theorem 245 的第 (iii) 步用的是 Lecture 8 的 Theorem 89 第 1、2 条（和的极限、常数倍极限）；主定理的第 3.6 步用夹逼定理（Lecture 8，由 Theorem 87 序关系得出）。“极限的四则运算”这一讲的全部投资，在这里开始收利息。
• 【本讲是 Lecture 22 的地基】 Lecture 22 的 Theorem 246 (Additivity，加性) 的证明是”把 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 的带标签分割并起来、网格仍然 $\to0$”，然后直接引用 Theorem 235；Theorem 247（$m_f(b-a)\le\int_a^bf\le M_f(b-a)$）用逐项估计 $f(\xi_k)\ge m_f$ 再对黎曼和取极限——其每一步都建立在”$\int_a^bf=\lim S_f$”（本讲 Theorem 235）之上。没有本讲，Lecture 22 一条定理都写不出来。 更远一点，Lecture 24–25 的”一致收敛 $\Rightarrow$ 积分可交换”里，积分仍然是本讲定义的那个积分。
• 【与 Lecture 16（极值定理 / 介值定理）的呼应】 本讲只用了”连续 + 闭区间”，没有用极值定理或介值定理（因为证明路线完全不需要 $f$ 取到最大最小值）。但如果要得到积分中值定理的积分形式（见下方【补充 21.C】），就必须同时用 Lecture 16 的 Min-Max Theorem（Theorem 182） 与 Bolzano IVT（Theorem 187）。这就是”同一个定理的不同应用需要不同工具”的例子。

关键要点

1. 主定理（Theorem 235）：$f\in C([a,b])\Rightarrow\exists!L\in\mathbb{R}$，使得一切满足 $\vert x_r\vert \to0$ 的带标签分割序列都有 $\lim_{r\to\infty}S_f(x_r,\xi_r)=L$；此 $L$ 记作 $\int_a^bf$。即 $C([a,b])\subset\mathcal{R}([a,b])$。
2. 连续模（Definition 237）：$w_f(\eta)=\sup\{\vert f(x)-f(y)\vert :\ \vert x-y\vert \le\eta\}$。它是”宽度为 $\eta$ 的窗口里 $f$ 的最大振幅”，是把点态连续信息全局打包成一个函数的工具。$w_f$ 单调不减，所以 $\lim_{\eta\to0}w_f(\eta)=\inf_{\eta>0}w_f(\eta)$（可能为 $+\infty$）。
3. 黄金判据（Theorem 239 / Theorem I）：$f\in C([a,b])\Longrightarrow\lim_{\eta\to0}w_f(\eta)=0$。这等价于一致连续；它是”细网格 $\Rightarrow$ 小振幅”的唯一桥梁，也是整讲唯一使用 Lecture 17 的地方。
4. 两条误差界： \(x\subset x^{\prime}\ \Longrightarrow\ \vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\vert \le w_f(\vert x\vert )(b-a)\qquad\text{(Theorem II)}\) \(\text{任意 }x,x^{\prime}\ \Longrightarrow\ \vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\vert \le\big(w_f(\vert x\vert )+w_f(\vert x^{\prime}\vert )\big)(b-a)\qquad\text{(Theorem III)}\) 第二式靠公共加细 $x\cup x^{\prime}$ 由第一式推出。这是整讲的技术核心。
5. 证明链条（背下来）：连续 $\Rightarrow$ 可积 $=$ 一致连续给出统一点态误差（Theorem I）$+$ 公共加细对齐分割（Theorem II/III）$+$ 误差乘以总长 $b-a$ $+$ 完备性（Cauchy 判别）保证极限存在。
6. 线性性（Theorem 245）：$\int_a^b(\alpha f+g)=\alpha\int_a^bf+\int_a^bg$，对 $f,g\in C([a,b]),\alpha\in\mathbb{R}$ 成立。机制是 “黎曼和的线性性 + 极限的线性性 $=$ 积分的线性性”，证明中不出现 $\epsilon$。
7. 一个实用推论（源文件未编号，补充）：若 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 是有界函数，则 $w_f(\eta)$ 有限且 $w_f(\eta)\to0$ 当且仅当 $f$ 一致连续。所以 Theorem 239 的证明实际上只需要”$f$ 一致连续”（不必”连续 + 闭区间”，只是对闭区间上的连续函数二者等价）。（补充说明：源文件未指出这一点。）

常见误区与注意事项

1. 误区：把 $\vert x\vert \to0$ 写成”段数 $n\to\infty$”。
   • 错误做法：看到”网格趋于 $0$”就换成”$n\to\infty$”，然后对任意分割序列取极限。
   • 为什么错：可以让 $n\to\infty$ 而 $\vert x\vert $ 不趋于 $0$（例如在 $[0,1]$ 上永远保留 $[0,\frac12]$ 不细分，只把 $[\frac12,1]$ 无限细分，则 $\vert x\vert \equiv\frac12$）。这时标签 $\xi_1\in[0,\frac12]$ 可以随便动，黎曼和可能不收敛。
   • 正确做法：网格与段数是两个不同的量；一切定理的假设都写 $\vert x\vert $（源文件 Theorem 235 的陈述就是”$\vert x_r\vert \to0$”）。
2. 误区：在 Theorem 243（Theorem III）里假设 $x$ 与 $x^{\prime}$ 有包含关系。
   • 错误做法：直接写”$x\subset x^{\prime}$，由 Theorem II ……”。
   • 为什么错：Theorem III 的前提是”任意两个”分割。任意两个分割一般谁也不包含谁（$\{0,\frac12,1\}$ vs $\{0,\frac13,1\}$）。
   • 正确做法：先令 $x^{\prime\prime}:=x\cup x^{\prime}$（公共加细），此时才有 $x\subset x^{\prime\prime}$ 与 $x^{\prime}\subset x^{\prime\prime}$，然后对两对分别用 Theorem II，最后三角不等式相加。别忘了 $\xi^{\prime\prime}$ 可以任取。
3. 误区：把 Theorem 239 的 $\epsilon/2$ 记成 $\epsilon$，或在主定理里忘记除 $(b-a)$。
   • 错误做法：主定理里取 $\delta$ 使 $w_f(\eta)<\epsilon/2$，然后写 $\vert S-S^{\prime}\vert <(\epsilon/2+\epsilon/2)(b-a)=\epsilon(b-a)$，就宣称 $<\epsilon$。
   • 为什么错：多乘了一个 $b-a$。当 $b-a>1$ 时 $\epsilon(b-a)>\epsilon$，完全没用。
   • 正确做法：先想清楚最后要乘什么。Theorem III 的界是 $(w_f+w_f)(b-a)$，要有 $<\epsilon$ 就取每个 $w_f<\dfrac{\epsilon}{2(b-a)}$。分析中的 $\epsilon$ 分配永远是从最终目标倒推。
4. 误区：把 $w_f(\eta)=\sup$ 当成 $\max$。
   • 错误做法：说”$w_f(\eta)$ 在某对点 $(x_0,y_0)$ 处取到”。
   • 为什么错：$\sup$ 可以取不到（Lecture 4/5 的核心教训）。例如 $f(x)=x$ 在 $[0,1)$ 上取 $w_f(\eta)=\eta$，由 $x=1$ 不在定义域而取不到；在闭区间上 $f$ 连续时 $w_f(\eta)$ 确实由 Min-Max 定理能取到，但证明中我们只需要 $\sup$ 的不等式性质，不需要取到。
   • 正确做法：始终只用”$w_f(\eta)$ 是 $\{\vert f(u)-f(v)\vert :\vert u-v\vert \le\eta\}$ 的上界”这一事实（即 $\vert f(u)-f(v)\vert \le w_f(\eta)$ 当 $\vert u-v\vert \le\eta$）；Theorem 240 第 6 步就是这么用的。
5. 误区：以为 Theorem 239 对任何连续函数都成立（漏掉”闭区间”）。
   • 错误做法：对 $f(x)=1/x$ on $(0,1]$ 声称 $\lim w_f=0$。
   • 为什么错：$w_f(\eta)\ge\vert f(\eta)-f(\eta/2)\vert =1/\eta\to\infty$，$w_f(\eta)\equiv+\infty$。
   • 正确做法：$C([a,b])$ 中的 $[a,b]$ 是闭的且有界，这正是 Lecture 17 的 Theorem 197 成立的前提；换成开区间，连续 $\ne$ 一致连续。
6. 误区：把 $\int_a^b f$ 中的 $f$ 与某个”反导数”混淆。
   • 错误做法：用 $\int_0^1x^2=\big[\frac{x^3}{3}\big]_0^1=\frac13$ 来”证明” $x^2$ 可积。
   • 为什么错：本讲（Lecture 21）还没有微积分基本定理——把 $\int$ 与反导数连起来的是 Lecture 22 的 Theorem 248/249。用它是循环论证（Assignment 11 第 5 题特意写”You may not use the fundamental theorem of calculus”）。
   • 正确做法：本讲唯一的合法性来源是 Theorem 235 + Definition 233：算 $\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\to\frac13$ 才是自洽的做法。

思考题（带答案）

Q1.（用定义与线性性算一个积分） 设 $f(x)=3x-1$，$[a,b]=[2,5]$。用 Definition 233（黎曼和）与 Theorem 245（线性性）以及 Lecture 22 中尚未证明的 $\int_a^b x=\frac{b^2-a^2}{2}$（此处把它当作已知目标值，只验证极限确实是这个数）来说明：对等距分割 $x^{(r)}=\{2+\frac{3k}{r}:k=0,\dots,r\}$ 与右端点标签 $\xi^{(r)}=\{2+\frac{3k}{r}:k=1,\dots,r\}$， \(\lim_{r\to\infty}S_f\big(x^{(r)},\xi^{(r)}\big)=\int_2^5(3x-1)\,dx=\frac{57}{2}.\) 再额外说明：如果把线性性 反过来用（把 $3x-1$ 拆成 $3x+(-1)$），$\int_2^5(-1)\,dx$ 是什么？

Q2.（零积分定理 —— 对应 Assignment 12 第 1(a) 题，源文件 Lecture 21 未包含此定理） 设 $f\in C([a,b])$，$f(x)\ge0$ 对一切 $x\in[a,b]$。证明：若 $\int_a^bf=0$，则 $f(x)=0$ 对一切 $x\in[a,b]$。

Q3.（判断可积性） 定义 $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ 为 \(f(x)=\begin{cases}0,& x\in[0,\tfrac12],\\ 1,& x\in(\tfrac12,1].\end{cases}\) 判断 $f$ 是否黎曼可积。若可积，求 $\int_0^1f$，并用定义（不是靠直觉）证明。再回答：$f$ 有间断点，所以 $f\notin C([0,1])$，那么本讲的 Theorem 235 不能直接使用——这个例子是否与 Theorem 235 矛盾？