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核心定义与定理速查表
使用说明：本表覆盖 Lecture 1–25 的全部官方编号（Definition / Theorem / Axiom / Corollary / Lemma / Example / Remark / Negation / Notation / Recall / Question）。编号与 OCW 官方 Complete Lecture Notes 逐条对应；凡官方笔记未给出编号的陈述，本表标注「（见 Lecture N）」，不编造编号。
阅读顺序建议：先读第十节的「证明技巧总表」，再回读第二、三节的「实数公理」与「序列极限」——这两节是全课的发动机。
一、语言与逻辑（Lecture 1–3）
1.1 课程目标与集合语言
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Remark 1 | 课程两大目标 | (1) 获得证明的经验；(2) 证明关于实数、函数与极限的命题。 | L1 |
| Definition 2 | 集合关系 | $A\subset B$ 当且仅当 $a\in A\Rightarrow a\in B$；集合由元素完全确定。 | L1 |
| Problem 3 | 如何描述 $\mathbb{R}$？ | 在 Lecture 3、4 回答；此前先建立集合与证明方法。 | L1 |
| Theorem 4 | De Morgan 律 | $(B\cup C)^c=B^c\cap C^c$，$(B\cap C)^c=B^c\cup C^c$。 | L1 |
| Remark 7 | 反证法 | 假设结论为假，推出假命题，故原命题为真。 | L1 |
| Remark 17 | 分情况讨论 | 若每一分支结论都成立，则总结论成立。 | L3 |
量词的否定规则（全课最常考的操作，见 Lecture 1–2 与 Final Assignment 第 1 题）：
┌────────────────────────┬────────────────────────┐
│ 原命题 │ 否定 │
├────────────────────────┼────────────────────────┤
│ ∀x, P(x) │ ∃x, ¬P(x) │
│ ∃x, P(x) │ ∀x, ¬P(x) │
│ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (... ) │ ∃ε>0 ∀δ>0 ∃x (¬... ) │
│ P ⇒ Q │ P 且 ¬Q │
│ ∀n≥M, |aₙ-x|<ε │ ∃ε₀>0 ∀M ∃n≥M, |aₙ-x|≥ε₀│
└────────────────────────┴────────────────────────┘
口诀：∀ ↔ ∃ 互换，最后一个断言取反，"且"与"或"互换。
1.2 良序原理、归纳法、Bernoulli
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Axiom 5 | 良序原理 | 若 $S\subset\mathbb{N}$ 非空，则 $\exists x\in S$ 使 $x\le y$ 对一切 $y\in S$；即 $\mathbb{N}$ 的任何非空子集有最小元。 | L1 |
| Theorem 6 | 数学归纳法 | 设 $P(n)$ 依赖于 $n\in\mathbb{N}$。若 (1) $P(1)$ 真；(2) $P(m)$ 真 $\Rightarrow P(m+1)$ 真；则 $P(n)$ 对一切 $n\in\mathbb{N}$ 真。 | L1 |
| Theorem 8 | 有限几何和 | $\displaystyle 1+c+c^2+\cdots+c^n=\frac{1-c^{n+1}}{1-c}$，对一切 $c\ne 1$，$n\in\mathbb{N}$。 | L1 |
| Theorem 9 | Bernoulli 不等式 | 对一切 $c\ge -1$ 与 $n\in\mathbb{N}$，$(1+c)^n\ge 1+nc$。 | L1 |
| Corollary 18 | $n<2^n$ | 对一切 $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$，$n<2^n$。 | L3 |
| Remark 19 | 另证 | $n<2^n$ 亦可用归纳法证明（见 Assignment 1）。 | L3 |
\[\text{Bernoulli 的用途：}\ (1+c)^n\ge 1+nc\ \Longrightarrow\ \text{取 }c=\tfrac1n\ \text{得}\ \left(1+\tfrac1n\right)^n\ge 2,\quad \text{以及}\ \sqrt[n]{1+nc}\le 1+c.\]
归纳法三条路线（证明 $P(n)$ 时的选择）：
| 形式 | 归纳步假设 | 典型用途 |
|---|
| 普通归纳 | $P(m)$ | 绝大多数「对一切 $n$」命题 |
| 强归纳 | $P(1),\dots,P(m)$ 全部 | 需要多个前项（如因式分解、递推界） |
| 良序原理反证 | 取反例集 $S\ne\varnothing$，取其最小元 | 当归纳步难以「从 $m$ 到 $m+1$」直接走通 |
1.3 基数：可数与不可数
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Question 10 | 何时两集合「一样大」？ | Cantor：当且仅当能把一个集合的元素与另一个集合的元素一一配对。 | L2 |
| Definition 11 | 基数 | $\vert A\vert =\vert B\vert $ 当且仅当存在双射 $f:A\to B$；$\vert A\vert \le\vert B\vert $ 当且仅当存在单射 $A\to B$。 | L2 |
| Theorem 12 | Cantor–Schröder–Bernstein | 若 $\vert A\vert \le\vert B\vert $ 且 $\vert B\vert \le\vert A\vert $，则 $\vert A\vert =\vert B\vert $。若 $\vert A\vert =\vert \mathbb{N}\vert $ 则 $A$ 可数无穷；有限或可数无穷统称可数；否则称不可数。 | L2 |
| Example 13 | 具体等势 | $\vert \{2n\mid n\in\mathbb{N}\}\vert =\vert \mathbb{N}\vert $；$\vert \{2n-1\mid n\in\mathbb{N}\}\vert =\vert \mathbb{N}\vert $。 | L2 |
| Question 14 | 有比 $\mathbb{N}$ 更大的集合吗？ | 幂集 $P(A)=\{B\mid B\subset A\}$；$P(\varnothing)=\{\varnothing\}$，$P(\{1\})=\{\varnothing,\{1\}\}$。 | L3 |
| Theorem 15 | Cantor 定理 | 对任何集合 $A$，$\vert A\vert <\vert P(A)\vert $。 | L3 |
| Remark 16 | 无穷的无穷 | $\mathbb{N}<\vert P(\mathbb{N})\vert <\vert P(P(\mathbb{N}))\vert <\cdots$，故有无穷多个不同大小的无穷集。 | L3 |
| Theorem 22 | 实数的刻画 | 存在唯一的含 $\mathbb{Q}$ 的有序域具有最小上界性质，记作 $\mathbb{R}$。 | L3 |
| Definition 55 | 十进制展开 | $x\in(0,1]$ 由数字 $\{d_{-j}\}$ 表示：$x=\sup\{10^{-1}d_{-1}+\cdots+10^{-n}d_{-n}\mid n\in\mathbb{N}\}$。 | L6 |
| Theorem 56 | 数字表示唯一性 | 每个 $x\in(0,1]$ 有唯一数字序列使 $0\bullet d_{-1}\dots d_{-n}<x\le 0\bullet d_{-1}\dots d_{-n}+10^{-n}$。 | L6 |
| Theorem 57 | Cantor | $(0,1]$ 不可数。 | L6 |
| Corollary 58 | $\mathbb{R}$ 不可数 | 实数集 $\mathbb{R}$ 不可数。 | L6 |
| Recall 54 | 可数的复习 | $A$ 可数 $\iff$ $A$ 有限或 $\vert A\vert =\vert \mathbb{N}\vert $。 | L6 |
对角线论证的骨架（Theorem 57 证明机制）：
假设 (0,1] 可数 ⇒ 存在双射 x: ℕ → (0,1]，把元素排成表：
x₁ = 0 . d₁₁ d₁₂ d₁₃ d₁₄ ...
x₂ = 0 . d₂₁ d₂₂ d₂₃ d₂₄ ...
x₃ = 0 . d₃₁ d₃₂ d₃₃ d₃₄ ...
x₄ = 0 . d₄₁ d₄₂ d₄₃ d₄₄ ...
⋮
构造 y = 0 . e₁ e₂ e₃ e₄ ... 其中 eₙ ≠ dₙₙ（并避开 9 以避免进位歧义）
⇒ 对每个 n，y ≠ xₙ（第 n 位数字不同）
⇒ y ∈ (0,1] 但不在表中 ⇒ 与「双射」矛盾 ⇒ (0,1] 不可数。
关键：对角线保证 y 与每一个 xₙ 都在「专属的那一位」上不同。
可数性工具箱（见 Lecture 2–3 与 Assignment 1）：
- $\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$ 可数；可数个可数集的并仍可数。
- $\vert A\vert =\vert \mathbb{N}\vert $ 的常用手段：把 $A$ 的元素排成一个序列（而不是列举成集合）。
- Remark 62（L6）：序列不是集合，例如 $-1,1,-1,1,\dots=\{(-1)^n\}_{n=1}^\infty$ 与集合 $\{-1,1\}$ 完全不同。
二、实数系公理（Lecture 4–5）
2.1 有序集、上/下界、LUB
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Remark 20 | 实数是什么 | 在某种意义上，$\mathbb{R}$ 是「具有 $\mathbb{Q}$ 的全部代数与序性质，但没有洞」的唯一集合。 | L3 |
| Problem 21 | 精确刻画 $\mathbb{R}$ | 先陈述最终结论，再推导。 | L3 |
| Definition 23 | 有序集 | 集合 $S$ 带关系 $<$： (1) $\forall x,y\in S$ 恰有 $x<y$、$y<x$、$x=y$ 之一；(2) $x<y$ 且 $y<z$ $\Rightarrow x<z$。 | L3 |
| Definition 24 | 上界/下界 | $E$ 有上界：$\exists b\in S$，$\forall x\in E$，$x\le b$（$b$ 为上界）；下界类似。 | L3 |
| Definition 26 | 最小上界性质 (LUB) | 有序集 $S$ 具有 LUB 性质，若每个非空且有上界的 $E\subset S$ 在 $S$ 中有上确界 $\sup E$。 | L3 |
| Example 25 | sup/inf 例 | $S=\mathbb{Z}$、$E=\{-2,-1,0,1,2\}$：$\inf E=-2$，$\sup E=2$。注意 sup/inf 不必属于 $E$。 | L3 |
| Theorem 27 | $\mathbb{Q}$ 的洞（一） | 若 $x=\sup\{q\in\mathbb{Q}\mid q>0,\ q^2<2\}$，则 $x>0$ 且 $x^2=2$。 | L3 |
| Theorem 28 | $\mathbb{Q}$ 无 LUB | $E=\{q\in\mathbb{Q}\mid q>0,\ q^2<2\}$ 在 $\mathbb{Q}$ 中没有上确界。 | L3 |
| Definition 30 | 域 | 集合 $F$ 带 $+,\cdot$ 满足 A1)–A4)（加法封闭、交换、结合、零元）与 M1)–M4)（乘法封闭、交换、结合、单位元）、D) 分配律，以及加法与乘法逆元。 | L4 |
| Example 31 | 有限域 | $\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$（$1+1=0$）；$\mathbb{Z}_3=\{0,1,2\}$（模 3）。 | L4 |
| Theorem 32 | $0\cdot x=0$ | 若 $x\in F$（$F$ 为域），则 $0x=0$。 | L4 |
| Definition 33 | 有序域 | 域 $F$ 兼有序集： (i) $x<y\Rightarrow x+z<y+z$；(ii) $x>0$ 且 $y>0$ $\Rightarrow xy>0$。 | L4 |
| Example 34 | 有序域例与非例 | $\mathbb{Q}$ 是有序域；$\mathbb{Z}_2$ 不是（设 $0<1$ 则 $1<0$，矛盾）。 | L4 |
| Theorem 35 | 取负变号 | 若 $x>0$ 则 $-x<0$（反之亦然）。 | L4 |
| Theorem 36 | 符号法则 | $x>0,y<0$ 或 $x<0,y>0$ $\Rightarrow xy<0$。 | L4 |
| Question 37 | 有最大下界性质吗？ | 有序域若有 LUB 性质，则也有最大下界性质。 | L4 |
| Theorem 38 | 下确界存在 | 若 $F$ 是有 LUB 性质的有序域，$A\subset F$ 非空且有下界，则 $\inf A$ 在 $F$ 中存在。 | L4 |
| Theorem 39 | $\mathbb{R}$ 的唯一性 | 存在「唯一」的有序域 $\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}$ 具有 LUB 性质（可由 Dedekind 分割或等价类构造）。 | L4 |
| Theorem 40 | $\sqrt2\in\mathbb{R}$ | 存在唯一 $r\in\mathbb{R}$ 使 $r>0$ 且 $r^2=2$；即 $\sqrt2\in\mathbb{R}$ 但 $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$。 | L4 |
| Remark 41 | 更高次根 | Assignment 2 Exercise 7 将证 $\sqrt[3]{2}\in\mathbb{R}$。 | L4 |
2.2 Archimedes、稠密性、绝对值、sup 的 $\epsilon$ 刻画
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Question 42 | 有理数能插进去吗？ | 求 $r\in\mathbb{Q}$ 使 $x<r<y$？答案：能。 | L5 |
| Theorem 43 | Archimedes 性质 + $\mathbb{Q}$ 稠密 | (i) 若 $x,y\in\mathbb{R}$，$x>0$，则 $\exists n\in\mathbb{N}$，$nx>y$；(ii) 若 $x,y\in\mathbb{R}$，$x<y$，则 $\exists r\in\mathbb{Q}$，$x<r<y$。 | L5 |
| Theorem 44 | 另一极限上限 | $\displaystyle 1=\sup\left\{1-\frac1n\ \middle\vert \ n\in\mathbb{N}\right\}$（见 Lecture 5）。 | L5 |
| Theorem 45 | sup 的 $\epsilon$ 刻画 | 设 $S\subset\mathbb{R}$ 非空有上界。则 $x=\sup S$ 当且仅当 (1) $x$ 是 $S$ 的上界；(2) $\forall\epsilon>0$，$\exists y\in S$ 使 $x-\epsilon<y\le x$。 | L5 |
| Theorem 47 | 平移与 sup | 若 $x\in\mathbb{R}$ 且 $A$ 有上界，则 $x+A$ 有上界且 $\sup(x+A)=x+\sup A$。 | L5 |
| Theorem 48 | sup 与 inf 的分离 | 设 $A,B\subset\mathbb{R}$ 且 $\forall x\in A,\forall y\in B$，$x\le y$。则 $\sup A\le\inf B$。 | L5 |
| Definition 49 | 绝对值 | $\displaystyle \vert x\vert :=\begin{cases}x,&x\ge 0\\ -x,&x<0\end{cases}$ | L5 |
| Theorem 50 | 绝对值六条 | (1) $\vert x\vert \ge0$ 且 $\vert x\vert =0\iff x=0$；(2) $\vert -x\vert =\vert x\vert $；(3) $\vert xy\vert =\vert x\vert \vert y\vert $；(4) $x\le\vert x\vert $，$-x\le\vert x\vert $；(5) $\vert x\vert \le c\iff -c\le x\le c$（$c\ge0$）；(6) $-\vert x\vert \le x\le\vert x\vert $。 | L5 |
| Theorem 51 | 三角不等式 | $\forall x,y\in\mathbb{R}$，$\vert x+y\vert \le\vert x\vert +\vert y\vert $。 | L6 |
| Remark 52 | $\Delta$-不等式 | 三角不等式简称 $\Delta$-inequality。 | L6 |
\[\boxed{\ \bigl\vert \vert x\vert -\vert y\vert \bigr\vert \le\vert x-y\vert ,\qquad \vert x+y+z\vert \ge\vert x\vert -\vert y\vert -\vert z\vert \ (\text{Thm 208, L18})\ }\]
2.3 LUB → Archimedes → 稠密性 的依赖关系（本节重点）
┌──────────────────────────────────────────┐
│ ℝ 是有序域（Def 30 + Def 33） │
└────────────────────┬─────────────────────┘
│
┌────────────────────▼─────────────────────┐
│ LUB 性质（Def 26 / Thm 22 / Thm 39） │
│ 非空有上界 ⇒ sup 存在 │
└────────────────────┬─────────────────────┘
│ 单向依赖（不可逆！）
┌───────────────────────────┼───────────────────────────┐
│ │ │
▼ ▼ ▼
┌────────────────────┐ ┌────────────────────────┐ ┌──────────────────────┐
│ Archimedes 性质 │ │ 下确界存在（Thm 38） │ │ sup 的 ε 刻画 │
│ Thm 43 (i) │ │ 由 -A 的 sup 取负得到 │ │ Thm 45 │
│ ∀x>0 ∃n: nx>y │ └───────────┬────────────┘ └──────────┬───────────┘
└─────────┬──────────┘ │ │
│ │ │
└──────────────┬───────────┴───────────────────────────┘
▼
┌──────────────────────────────────────────┐
│ ℚ 稠密性 Thm 43 (ii) │
│ x<y ⇒ ∃r∈ℚ, x<r<y │
│ 证明：取 n 使 n(y-x)>1（Archimedes）， │
│ 再取 m=⌊nx⌋+1，则 r=m/n 满足要求 │
└────────────────────┬─────────────────────┘
▼
┌──────────────────────────────────────────┐
│ 无理数稠密性（见 Lecture 5 习题） │
│ x<y ⇒ ∃无理数 ξ, x<ξ<y │
│ 证明：对 x/√2<y/√2 用 ℚ 稠密得 r，再取 ξ=r√2│
└────────────────────┬─────────────────────┘
▼
┌──────────────────────────────────────────┐
│ 推论：任意开区间含无穷多有理数与无理数 │
│ 推论：∀ε>0 ∃n∈ℕ, 1/n<ε │
└──────────────────────────────────────────┘
反面：ℚ 具有有序域的全部性质 + Archimedes 性质，
但 ℚ 没有 LUB 性质（Thm 28：E={q>0: q²<2} 无 sup）。
⇒ LUB 是 ℝ 与 ℚ 之间唯一的分界线。
⇒ Thm 43(i) 的证明必须用 LUB（不能只用有序域公理）。
三、序列极限（Lecture 6–9）
3.1 定义、否定、唯一性、有界性
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Remark 59 | 分析是什么 | 分析就是研究极限的学问。 | L6 |
| Definition 60 | 实数列 | 实数列是函数 $x:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$，记 $x(n)=x_n$，$\{x_n\}_{n=1}^\infty$。 | L6 |
| Definition 61 | 有界 | $\{x_n\}$ 有界，若 $\exists B\ge0$，$\forall n$，$\vert x_n\vert \le B$。 | L6 |
| Remark 62 | 序列 ≠ 集合 | $-1,1,-1,1,\dots$ 作为序列与集合 $\{-1,1\}$ 不同。 | L6 |
| Definition 63 | 收敛（$\epsilon$-$N$） | $\{x_n\}$ 收敛到 $x$，若 $\forall\epsilon>0$，$\exists M\in\mathbb{N}$，$\forall n\ge M$，$\vert x_n-x\vert <\epsilon$。收敛者称收敛，否则称发散。 | L6 |
| Negation 64 | 不收敛 | $\exists\epsilon_0>0$，$\forall M\in\mathbb{N}$，$\exists n\ge M$，$\vert x_n-x\vert \ge\epsilon_0$。 | L6 |
| Theorem 65 | 极限唯一 | 若 $\{x_n\}$ 收敛到 $x$ 又收敛到 $y$，则 $x=y$。 | L6 |
| Theorem 66 | $\epsilon$ 任意小则相等 | 若 $\forall\epsilon>0$，$\vert x-y\vert <\epsilon$，则 $x=y$。 | L6 |
| Example 68 | 常数列 | $x_n=c$ $\forall n$ $\Rightarrow$ $\lim_{n\to\infty}x_n=c$。 | L6 |
| Example 69 | $1/n\to0$ | $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$。 | L6 |
| Example 70 | 稍复杂的分式 | $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+2n+100}=0$。 | L7 |
| Example 71 | $(-1)^n$ 发散 | $x_n=(-1)^n$ 发散（$\epsilon_0=1$ 即可截住）。 | L7 |
| Theorem 72 | 收敛 ⇒ 有界 | 若 $\{x_n\}$ 收敛，则 $\{x_n\}$ 有界。 | L7 |
| Notation 81 | DNC | 「序列不收敛」记作 DNC (does not converge)。 | L7 |
\[\text{收敛：}\ \forall\epsilon>0\ \exists M\in\mathbb{N}\ \forall n\ge M,\ \vert x_n-x\vert <\epsilon. \qquad \text{发散：}\ \exists\epsilon_0>0\ \forall M\in\mathbb{N}\ \exists n\ge M,\ \vert x_n-x\vert \ge\epsilon_0.\]
$\epsilon$-$N$ 证明的标准四步（见 Lecture 6–7 全部例题）：
- 写「令 $\epsilon>0$」；2. 把 $\vert x_n-x\vert $ 放大成只含 $n$ 的表达式（常用三角不等式、有理化、$\vert x_n\vert \le B$）；3. 令放大后的式子 $<\epsilon$ 反解 $M$（取 $M=\max\{\dots\}$）；4. 回代验证 $n\ge M$ 时原式 $<\epsilon$。
3.2 单调有界、子序列
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Definition 73 | 单调 | 单调递增：$\forall n$，$x_n\le x_{n+1}$；单调递减：$\forall n$，$x_n\ge x_{n+1}$。 | L7 |
| Example 74 | 单调例 | $x_n=1/n$ 单调（递减）；$y_n=-1/n$ 单调递增；$(-1)^n$ 既不增也不减。 | L7 |
| Theorem 75 | 单调有界（增） | $\{x_n\}$ 单调递增 $\Rightarrow$ $\{x_n\}$ 收敛 $\iff$ $\{x_n\}$ 有界；且 $\lim_{n\to\infty}x_n=\sup\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$。 | L7 |
| Theorem 76 | 单调有界（减） | $\{x_n\}$ 单调递减 $\Rightarrow$ $\{x_n\}$ 收敛 $\iff$ $\{x_n\}$ 有界；且 $\lim_{n\to\infty}x_n=\inf\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$。 | L7 |
| Definition 77 | 子序列 | $\{n_k\}$ 严格递增，则 $\{x_{n_k}\}$ 为 $\{x_n\}$ 的子序列。 | L7 |
| Question 78 | 哪些不是子序列 | $1,1,1,1,\dots$；$x_1,x_1,x_2,x_2,\dots$ 等不是子序列。 | L7 |
| Theorem 79 | 子序列同极限 | 若 $x_n\to x$，则 $x_{n_k}\to x$。特别地 $n_k\ge k$，这是所有子序列估计的起点。 | L7 |
| Remark 80 | 推论 | 由此可知 $\{(-1)^n\}$ 发散（两条子序列极限不同）。 | L7 |
\[\text{Thm 75 的机制：}\ \lim x_n=\sup\{x_n\}\ \text{——把「极限存在」化归为「集合有 sup」，这就是 LUB 的直接消费点。}\]
3.3 极限的运算（全部公式）
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Theorem 82 | 夹逼定理 (ST) | 若 $\forall n$，$a_n\le x_n\le b_n$，且 $a_n\to x$、$b_n\to x$，则 $x_n\to x$。 | L8 |
| Remark 83 | 缩写 | Squeeze Theorem 缩写 ST。 | L8 |
| Theorem 84 | 检验收敛的另一写法 | 给出判定 $x_n\to x$ 的另一种等价表述（见 Lecture 8 完整陈述）。 | L8 |
| Example 85 | 夹逼例 | 见 Lecture 8（用 $0\le\dots\le$ 可忽略项夹逼）。 | L8 |
| Theorem 87 | 保序 | (1) $\{x_n\},\{y_n\}$ 收敛且 $\forall n$，$x_n\le y_n$ $\Rightarrow$ $\lim x_n\le\lim y_n$；(2) 由此得「$\forall n\ x_n\le c$ $\Rightarrow$ $\lim x_n\le c$」。 | L8 |
| Theorem 89 | 四则运算 | 若 $x_n\to x$，$y_n\to y$，则 (1) $x_n+y_n\to x+y$；(2) $\forall c\in\mathbb{R}$，$cx_n\to cx$。 | L8 |
| Remark 90 | 幂 | 由归纳法，$\lim_{n\to\infty}(x_n)^k=x^k$。 | L8 |
| Theorem 91 | 平方根 | 若 $\{x_n\}$ 收敛且 $\forall n$，$x_n\ge0$，则 $\sqrt{x_n}\to\sqrt x$。 | L8 |
| Remark 92 | 为何要分情况 | 证明中需分 $x=0$ 与 $x>0$（前者用 $\sqrt{x_n}<\epsilon\iff x_n<\epsilon^2$）。 | L8 |
| Theorem 93 | 绝对值 | 若 $x_n\to x$，则 $\vert x_n\vert \to\vert x\vert $。 | L8 |
| Theorem 94 | 几何序列 | 若 $c\in(0,1)$ 则 $\lim_{n\to\infty}c^n=0$；若 $c>1$ 则 $\{c^n\}$ 无界。 | L8 |
\(\lim(x_n+y_n)=x+y,\quad \lim(cx_n)=cx,\quad \lim(x_n-y_n)=x-y,\quad \lim(x_n^k)=x^k,\) \(\lim_{n\to\infty}\frac1{x_n}=\frac1x\ (x\ne0,\ x_n\ne0),\qquad \lim_{n\to\infty}\sqrt{x_n}=\sqrt x,\qquad \lim_{n\to\infty}\vert x_n\vert =\vert x\vert .\)
乘积极限的证明技巧（Lecture 8，官方证明的核心）：
\[x_ny_n-xy=x_n(y_n-y)+y(x_n-x),\qquad \vert x_ny_n-xy\vert \le \underbrace{\vert x_n\vert }_{\le B}\vert y_n-y\vert +\underbrace{\vert y\vert }_{\vert y\vert +1}\vert x_n-x\vert ,\]
加一项减一项，再用收敛序列有界（Thm 72）把 $\vert x_n\vert $ 换成常数 $B=\max\{\vert x_1\vert ,\dots,\vert x_{M-1}\vert ,\vert x\vert +1\}$。
3.4 limsup / liminf、BW 定理
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Theorem 95 | 特殊序列 | (1) $p>0$ $\Rightarrow$ $n^{-p}\to0$；(2) 含 $p^{1/n}$ 的极限（见 Lecture 9）；(3)、(4) 为开方型特殊序列（完整列表见 Lecture 9）。 | L9 |
| Question 96 | 有界序列必有收敛子列吗？ | 见 Theorem 101/102。 | L9 |
| Definition 97 | limsup / liminf | 对有界 $\{x_n\}$：$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\bigl(\sup\{x_k\mid k\ge n\}\bigr)$，$\displaystyle\liminf_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\bigl(\inf\{x_k\mid k\ge n\}\bigr)$，若极限存在。 | L9 |
| Theorem 98 | 等价的单调刻画 | 令 $a_n=\sup\{x_k\mid k\ge n\}$，$b_n=\inf\{x_k\mid k\ge n\}$，则 $\{a_n\}$ 单调递减、$\{b_n\}$ 单调递增，且 $\limsup x_n=\lim a_n$、$\liminf x_n=\lim b_n$（对一切有界序列都存在）。 | L9 |
| Example 99 | $(-1)^n$ | $\limsup=1$，$\liminf=-1$。 | L9 |
| Example 100 | $1/n$ | $\limsup=\liminf=0$。 | L9 |
| Theorem 101 | 子列的极限实现 | 有界 $\{x_n\}$ 存在子列 $\{x_{n_k}\}$ 使 $\lim_k x_{n_k}=\limsup_n x_n$，且存在子列 $\{x_{m_k}\}$ 使 $\lim_k x_{m_k}=\liminf_n x_n$。 | L9 |
| Theorem 102 | Bolzano–Weierstrass | 任何有界序列都有收敛子序列。 | L9 |
| Remark 103 | 缩写 | Bolzano–Weierstrass 缩写 B-W。 | L9 |
| Notation 104 | 简写 | 上下文清楚时可省略上下极限的下标。 | L9 |
| Theorem 105 | 收敛 $\iff$ liminf = limsup | 有界 $\{x_n\}$ 收敛 $\iff$ $\liminf x_n=\limsup x_n$（此时公共值即为极限）。 | L9 |
\[\inf\{x_k\mid k\ge n\}\le x_n\le\sup\{x_k\mid k\ge n\},\qquad \liminf x_n\le\limsup x_n\ \text{恒成立}.\]
limsup / liminf 与收敛的关系（Thm 105）
有界序列 {xₙ}
│
├── liminf xₙ = limsup xₙ ──► {xₙ} 收敛，极限 = 公共值
│ （"上下包夹收成一点"）
│
└── liminf xₙ < limsup xₙ ──► {xₙ} 发散（振荡）
│ 例：(-1)ⁿ：-1 < 1
│
└── 但仍有收敛子列（Thm 101/102）：
取到 limsup 的子列 + 取到 liminf 的子列
对比：limsup 永远存在（对任何有界序列）；lim 可能不存在。
limsup 是「最终上包络的极限」，不是「最大值」。
四、级数（Lecture 10–12）
4.1 Cauchy 序列、完备性、级数的基本判据
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Definition 106 | Cauchy 序列 | $\forall\epsilon>0$，$\exists M\in\mathbb{N}$，$\forall n,k\ge M$，$\vert x_n-x_k\vert <\epsilon$。 | L10 |
| Example 107 | $1/n$ 是 Cauchy | $x_n=1/n$ 是 Cauchy 序列。 | L10 |
| Negation 108 | 非 Cauchy | $\exists\epsilon_0>0$，$\forall M\in\mathbb{N}$，$\exists n,k\ge M$，$\vert x_n-x_k\vert \ge\epsilon_0$。 | L10 |
| Example 109 | $(-1)^n$ 非 Cauchy | 取 $\epsilon_0=1$，$n=M$，$k=M+1$：$\vert (-1)^n-(-1)^k\vert =2\ge1$。 | L10 |
| Theorem 110 | Cauchy ⇒ 有界 | 若 $\{x_n\}$ 是 Cauchy，则 $\{x_n\}$ 有界。 | L10 |
| Theorem 111 | Cauchy + 收敛子列 ⇒ 收敛 | 若 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 且有子列收敛，则 $\{x_n\}$ 收敛。 | L10 |
| Theorem 112 | 完备性 | 实数列 $\{x_n\}$ 是 Cauchy $\iff$ $\{x_n\}$ 收敛。 | L10 |
| Remark 113 | 历史 | 级数是最初促使分析诞生的动机。 | L10 |
| Definition 114 | 级数 | 给定 $\{x_n\}$，符号 $\sum_{n=1}^\infty x_n$ 为关联级数；$\sum x_n$ 收敛，若部分和序列 $\{s_m\}$（$s_m=\sum_{n=1}^m x_n$）收敛。 | L10 |
| Remark 115 | 起点无关 | 级数不必从 $n=1$ 起。 | L10 |
| Example 116 | 望远镜级数 | $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}$ 收敛（$=1$，裂项 $\frac1n-\frac1{n+1}$）。 | L10 |
| Theorem 117 | 几何级数 | 若 $\vert r\vert <1$ 则 $\sum_{n=0}^\infty r^n$ 收敛且 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac{1}{1-r}$。 | L10 |
| Remark 118 | 几何级数定义 | 形如 $\sum\alpha r^n$（$\alpha,r\in\mathbb{R}$）者称几何级数。 | L10 |
| Theorem 119 | 有限个起点无关 | $\sum_{n=1}^\infty x_n$ 收敛 $\iff$ $\sum_{n=M}^\infty x_n$ 收敛。 | L10 |
| Definition 120 | 级数 Cauchy | $\sum x_n$ 是 Cauchy，若其部分和序列是 Cauchy。 | L10 |
| Theorem 121 | Cauchy $\iff$ 收敛 | $\sum x_n$ Cauchy $\iff$ $\sum x_n$ 收敛。 | L10 |
| Theorem 122 | 级数 Cauchy 判据 | $\sum x_n$ Cauchy $\iff$ $\forall\epsilon>0$，$\exists M\in\mathbb{N}$，$\forall m\ge M$，$\forall\ell>m$，$\bigl\vert \sum_{n=m+1}^{\ell}x_n\bigr\vert <\epsilon$。 | L10 |
| Theorem 123 | 必要条件 | 若 $\sum x_n$ 收敛，则 $\lim_{n\to\infty}x_n=0$。 | L10 |
| Theorem 124 | 几何级数发散 | 若 $\vert r\vert \ge1$，则 $\sum_{n=0}^\infty r^n$ 发散。 | L10 |
| Corollary 125 | 几何级数判据 | $\sum_{n=0}^\infty\alpha r^n$ 收敛 $\iff$ $\vert r\vert <1$。 | L10 |
\[\text{Thm 122 是级数一切判别法的母版：}\ \left\vert \sum_{n=m+1}^{\ell}x_n\right\vert <\epsilon\ \Longleftrightarrow\ \text{"尾段任意短"}.\]
4.2 正项级数、绝对收敛、比较、$p$-级数
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Recall 126 | 复习 | 若 $\sum x_n$ 收敛则 $\lim x_n=0$。 | L11 |
| Question 127 | 逆定理成立吗？ | $\lim x_n=0\Rightarrow\sum x_n$ 收敛？不成立（调和级数，Thm 128）。 | L11 |
| Theorem 128 | 调和级数发散 | $\sum_{n=1}^\infty\frac1n$ 发散。 | L11 |
| Remark 129 | 名称 | $\sum\frac1n$ 称调和级数。 | L11 |
| Theorem 130 | 线性 | $\sum x_n,\sum y_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum(\alpha x_n+y_n)$ 收敛且 $\sum(\alpha x_n+y_n)=\alpha\sum x_n+\sum y_n$。 | L11 |
| Theorem 131 | 正项级数判据 | 若 $\forall n$，$x_n\ge0$，则 $\sum x_n$ 收敛 $\iff$ 部分和 $\{s_m\}$ 有界。 | L11 |
| Definition 132 | 绝对收敛 | $\sum x_n$ 绝对收敛，若 $\sum\vert x_n\vert $ 收敛。 | L11 |
| Theorem 133 | 绝对收敛 ⇒ 收敛 | 若 $\sum x_n$ 绝对收敛，则 $\sum x_n$ 收敛。 | L11 |
| Remark 134 | 反例预告 | $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}$ 收敛但非绝对收敛。 | L11 |
| Theorem 135 | 比较判别法 | 若 $\forall n$，$0\le x_n\le y_n$，则 (1) $\sum y_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum x_n$ 收敛；(2) $\sum x_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\sum y_n$ 发散。 | L11 |
| Remark 136 | 万能源头 | 几何级数 + 比较判别法推出一切（比值/根值判别法都源于此）。 | L11 |
| Theorem 137 | $p$-级数 | 对 $p\in\mathbb{R}$，$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}$ 收敛 $\iff$ $p>1$。 | L11 |
\[\text{调和级数发散（Thm 128 的机制，分组法）：}\ \sum_{n=1}^{2^k}\frac1n\ \ge\ 1+\frac{k}{2}\ \longrightarrow\ \infty.\]
4.3 比值、根值、交错、重排
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Theorem 138 | 比值判别法 | 设 $x_n\ne0$ $\forall n$，$\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left\vert \frac{x_{n+1}}{x_n}\right\vert $。(1) $L<1$ $\Rightarrow$ $\sum x_n$ 绝对收敛；(2) $L>1$ $\Rightarrow$ $\sum x_n$ 发散；(3) $L=1$ 时判别法失效。 | L12 |
| Example 139 | 交错比值例 | 用比值法证 $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\text{(含阶乘的项)}}$ 收敛（见 Lecture 12）。 | L12 |
| Example 140 | 指数级数 | $\forall x\in\mathbb{R}$，$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ 收敛（比值 $L=0<1$）。 | L12 |
| Remark 141 | 使用提示 | 出现 $(-1)^n$ 或阶乘时比值法最好用；$L=1$ 则判别法不适用。 | L12 |
| Theorem 142 | 根值判别法 | 设 $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\vert x_n\vert ^{1/n}$。(1) $L<1$ $\Rightarrow$ $\sum x_n$ 绝对收敛；(2) $L>1$ $\Rightarrow$ $\sum x_n$ 发散；(3) $L=1$ 时判别法失效。 | L12 |
| Remark 143 | 提示 | 同样，$L=1$ 时判别法不适用。 | L12 |
| Theorem 144 | 交错级数判别法 | 若 $\{x_n\}$ 单调递减且 $x_n\to0$，则 $\sum(-1)^nx_n$ 收敛。 | L12 |
| Corollary 145 | 条件收敛例 | $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ 收敛但不绝对收敛。 | L12 |
| Theorem 146 | 重排定理 | 若 $\sum x_n$ 绝对收敛且 $\sum x_n=x$，$\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ 为双射，则 $\sum x_{\sigma(n)}$ 绝对收敛且 $\sum x_{\sigma(n)}=x$。即绝对收敛级数可以任意重排。 | L12 |
4.4 级数判别法决策树（本节重点）
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 给定 Σ xₙ，问：收敛还是发散？ │
└───────────────────────────────┬─────────────────────────────────┘
▼
┌────────────────────────────────────────┐
│ 第 0 步：检验必要条件 │
│ xₙ → 0 ？ │
└───────┬────────────────────┬───────────┘
│ 否（或 limsup|xₙ|>0）│ 是
▼ ▼
┌──────────────┐ ┌──────────────────────────────┐
│ 发散 │ │ 第 1 步：含 (-1)ⁿ 或符号交替？ │
│ (Thm 123) │ └──────┬──────────────┬─────────┘
└──────────────┘ │ 是 │ 否
▼ ▼
┌───────────────────────┐ ┌──────────────────┐
│ 交错级数判别法 │ │ Σ|xₙ| 是否收敛？ │
│ xₙ 单调递减且 →0 │ │ （先试绝对值） │
│ ⇒ 收敛 (Thm 144) │ └────┬─────────┬───┘
└───────────┬───────────┘ │ 收敛 │ 不确定/发散
▼ ▼ ▼
┌───────────────────────┐ ┌───────────┐ ┌──────────────┐
│ 再查 Σ|xₙ|：(不)绝对？ │ │ 绝对收敛 │ │ 正项可用： │
└───────────────────────┘ │ ⇒ 收敛 │ │ 比较/比值/根值│
│ (Thm 133) │ └──────┬───────┘
└───────────┘ │
▼
┌──────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 正项级数 Σxₙ（xₙ≥0）的下一层选择 │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ 含阶乘 / 含 (-1)ⁿ / 含 n 的幂之比 ────► 比值判别法 Thm 138 │
│ L = lim |xₙ₊₁/xₙ| <1 收敛, >1 发散, =1 失效 │
│ │
│ 含 n 次幂 / 整体是 (… )ⁿ 形式 ────────► 根值判别法 Thm 142 │
│ L = lim |xₙ|^(1/n) <1 收敛, >1 发散, =1 失效 │
│ │
│ 能与 1/n^p 或 rⁿ 逐项比较 ────────────► 比较判别法 Thm 135 │
│ （几何级数 Thm 117 + p-级数 Thm 137 是两大标尺） │
│ │
│ 以上全部失效（L=1）时的兜底： │
│ Σ 有界部分和? Thm 131 ｜ Cauchy 判据 Thm 122 │
│ ｜ 望远镜求和 Example 116 ｜ 分组法 Thm 128 │
└──────────────────────────────────────────────────────────────────┘
两个标尺（一切比较的基准）：
几何级数 Σ rⁿ 收敛 ⇔ |r|<1 (Thm 117 / Cor 125)
p-级数 Σ 1/nᵖ 收敛 ⇔ p>1 (Thm 137)
注意 p>1 ⇔ 可用分组比较：nᵖ 的增长快于 log，慢于一切指数
五、函数极限与连续（Lecture 13–16）
5.1 聚点、函数极限、序列刻画
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Remark 147 | 直观 | 连续函数是「输出的可容忍变化伴随输入的充分小差异」。 | L13 |
| Definition 148 | 聚点 | $x\in\mathbb{R}$ 是 $S$ 的聚点，若 $\forall\delta>0$，$(x-\delta,x+\delta)\cap(S\setminus\{x\})\ne\varnothing$。 | L13 |
| Theorem 149 | 聚点的序列刻画 | $x$ 是 $S$ 的聚点 $\iff$ 存在 $\{x_n\}\subset S\setminus\{x\}$ 使 $x_n\to x$。 | L13 |
| Definition 150 | 函数极限 | $c$ 是 $S$ 的聚点，$f:S\to\mathbb{R}$。$f(x)\to L$ 于 $c$：$\forall\epsilon>0$，$\exists\delta>0$，若 $x\in S$ 且 $0<\vert x-c\vert <\delta$ 则 $\vert f(x)-L\vert <\epsilon$。 | L13 |
| Notation 151 | 记号 | 记 $\lim_{x\to c}f(x)=L$。 | L13 |
| Theorem 152 | 极限唯一 | 若 $f(x)\to L_1$ 与 $f(x)\to L_2$（$x\to c$），则 $L_1=L_2$。 | L13 |
| Example 153 | 线性函数 | $f(x)=ax+b$，则 $\forall c$，$\lim_{x\to c}f(x)=ac+b$（取 $\delta=\frac{\epsilon}{1+\vert a\vert }$）。 | L13 |
| Example 154 | 平方根 | $f(x)=\sqrt x$，则 $\forall c>0$，$\lim_{x\to c}\sqrt x=\sqrt c$（取 $\delta=\epsilon\sqrt c$）。 | L13 |
| Example 155 | 分段函数 | 见 Lecture 13（分段函数的极限）。 | L13 |
| Theorem 157 | 序列刻画 | $\lim_{x\to c}f(x)=L$ $\iff$ 对每个 $S\setminus\{c\}$ 中的序列 $x_n\to c$，都有 $f(x_n)\to L$。 | L13 |
| Theorem 158 | $x^2$ | $\forall c\in\mathbb{R}$，$\lim_{x\to c}x^2=c^2$。 | L14 |
| Theorem 159 | 振荡例 | (1) $\lim_{x\to0}\sin(1/x)$ 不存在；(2) $\lim_{x\to0}x\sin(1/x)=0$。 | L14 |
| Theorem 160 | 保序（函数版） | 若 $\forall x\in S$，$f(x)\le g(x)$ 且两极限存在，则 $\lim_{x\to c}f(x)\le\lim_{x\to c}g(x)$。 | L14 |
\[\forall\epsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in S,\ 0<\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-L\vert <\epsilon.\]
函数极限四则运算（官方笔记中与序列版 Thm 89 平行，见 Lecture 14）：$\lim(f+g)=\lim f+\lim g$，$\lim(fg)=\lim f\cdot\lim g$，$x\to c$ 时若 $\lim g\ne0$ 则 $\lim(f/g)=\lim f/\lim g$。
5.2 单侧极限与连续性
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Definition 161 | 左极限 | $c$ 是 $S\cap(-\infty,c)$ 的聚点，$f(x)\to L$（$x\to c^-$）：$\forall\epsilon>0$，$\exists\delta>0$，若 $x\in S$ 且 $c-\delta<x<c$ 则 $\vert f(x)-L\vert <\epsilon$。 | L14 |
| Definition 163 | 右极限 | $c$ 是 $S\cap(c,\infty)$ 的聚点，$f(x)\to L$（$x\to c^+$）：$\forall\epsilon>0$，$\exists\delta>0$，若 $x\in S$ 且 $c<x<c+\delta$ 则 $\vert f(x)-L\vert <\epsilon$。 | L14 |
| Example 165 | 单侧例 | 见 Lecture 14（分段函数在跳跃点处单侧极限）。 | L14 |
| Theorem 166 | 双侧 = 两侧 | 若 $c$ 同时是 $S\cap(-\infty,c)$ 与 $S\cap(c,\infty)$ 的聚点，则 $c$ 是 $S$ 的聚点，且 $\lim_{x\to c}f(x)=L$ $\iff$ $\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^+}f(x)=L$。 | L14 |
| Definition 167 | 连续 | $f$ 在 $c\in S$ 连续：$\forall\epsilon>0$，$\exists\delta>0$，若 $x\in S$ 且 $\vert x-c\vert <\delta$ 则 $\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。$f$ 在 $U\subset S$ 上连续：在每点连续。 | L14 |
| Example 168 | 线性函数连续 | $f(x)=ax+b$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续（取 $\delta=\frac{\epsilon}{1+\vert a\vert }$）。 | L14 |
| Example 169 | 分段连续例 | 见 Lecture 14。 | L14 |
| Negation 170 | 不连续 | $\exists\epsilon_0$，$\forall\delta>0$，$\exists x\in S$ 使 $\vert x-c\vert <\delta$ 且 $\vert f(x)-f(c)\vert \ge\epsilon_0$。 | L14 |
| Theorem 171 | 连续的三等价 | (1) 若 $c$ 不是 $S$ 的聚点，则 $f$ 在 $c$ 连续；(2) 若 $c$ 是 $S$ 的聚点，则 $f$ 在 $c$ 连续 $\iff$ $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$。 | L15 |
| Theorem 172 | $\sin,\cos$ | $f(x)=\sin x$、$g(x)=\cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。 | L15 |
| Theorem 173 | 多项式 | $f(x)=a_dx^d+\cdots+a_1x+a_0$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。 | L15 |
| Theorem 174 | 连续函数的代数 | $f,g$ 在 $c$ 连续 $\Rightarrow$ (1) $f+g$ 连续；(2) $f\cdot g$ 连续；(3) 若 $g(c)\ne0$ 则 $f/g$ 连续。 | L15 |
| Theorem 175 | 复合 | $g:A\to B$ 在 $c$ 连续，$f:B\to\mathbb{R}$ 在 $g(c)$ 连续 $\Rightarrow$ $f\circ g$ 在 $c$ 连续。 | L15 |
| Example 176 | 免 $\epsilon$-$\delta$ | $1/x^2$ 在 $(0,\infty)$ 连续（由 $x^2$ 连续 + Thm 174/175 立即得到）。 | L15 |
| Question 177 | 处处不连续？ | 是否存在 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 在每点都不连续的函数？ | L15 |
| Theorem 178 | Dirichlet 函数 | 见 Lecture 15（$f(x)=1$ 于 $\mathbb{Q}$、$=0$ 于无理数，处处不连续）。 | L15 |
连续的三种等价刻画（Thm 171 + Thm 157）：
f 在 c 连续
│
├── (ε-δ) ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈S, |x-c|<δ ⇒ |f(x)-f(c)|<ε
│
├── (极限) lim_{x→c} f(x) = f(c) （c 为聚点时）
│
└── (序列) ∀{xₙ}⊂S, xₙ→c ⇒ f(xₙ)→f(c)
← 这个刻画在证明「不连续」时最好用：
只需找出一个序列 xₙ→c 但 f(xₙ)↛f(c)
5.3 极值定理、介值定理、二分法
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Definition 179 | 有界函数 | $f:S\to\mathbb{R}$ 有界，若 $\exists B\ge0$，$\forall x\in S$，$\vert f(x)\vert \le B$。 | L16 |
| Theorem 180 | 闭区间连续 ⇒ 有界 | 若 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续，则 $f$ 有界。 | L16 |
| Definition 181 | 绝对最小/最大 | $f$ 在 $c$ 取得绝对最小：$\forall x\in S$，$f(x)\ge f(c)$；在 $d$ 取得绝对最大：$\forall x$，$f(x)\le f(d)$。 | L16 |
| Theorem 182 | 极值定理 (Min-Max) | 若 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续，则 $f$ 取得绝对最大值与绝对最小值。 | L16 |
| Remark 183 | EVT | 亦名 Extreme Value Theorem；为与 Lebl 教材一致，本课称 Min-Max 定理。 | L16 |
| Remark 184 | 假设的必要性 | 去掉连续性则 Min-Max 定理不成立（见 Lecture 16 反例）。 | L16 |
| Question 185 | 取遍中间值吗？ | 由 Bolzano IVT，$f$ 取遍 $[f(c),f(d)]$ 中一切值。 | L16 |
| Theorem 186 | 零点定理（二分法） | 若 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续，$f(a)<0$，$f(b)>0$，则 $\exists c\in(a,b)$ 使 $f(c)=0$。 | L16 |
| Theorem 187 | Bolzano 介值定理 | $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续。若 $f(a)<f(b)$ 且 $y\in(f(a),f(b))$，则 $\exists c\in(a,b)$ 使 $f(c)=y$；$f(b)<f(a)$ 时类似。 | L16 |
| Remark 188 | IVT | 亦名 Intermediate Value Theorem。 | L16 |
| Theorem 189 | 连续像 = 闭区间 | $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续，$c,d$ 分别为最小、最大点，则 $f([a,b])=[f(c),f(d)]$。 | L16 |
| Theorem 190 | 具体应用 | $f(x)=x^{2021}+x^{2020}+9.03x+1$ 至少有一个实根（$f(0)=1>0$，$f(-1)=-8.03<0$）。 | L16 |
二分法的收敛机制（Thm 186 证明骨架）：
设 a₁=a, b₁=b。归纳地：若 f((aₙ+bₙ)/2) < 0 则 (aₙ₊₁,bₙ₊₁)=((aₙ+bₙ)/2, bₙ)
若 f((aₙ+bₙ)/2) > 0 则 (aₙ₊₁,bₙ₊₁)=(aₙ, (aₙ+bₙ)/2)
⇒ {aₙ} 单调递增有上界 ⇒ 收敛（Thm 75）
⇒ {bₙ} 单调递减有下界 ⇒ 收敛（Thm 76）
⇒ bₙ - aₙ = (b-a)/2^{n-1} → 0 ⇒ 两极限相等，记为 c
⇒ 连续性 ⇒ f(c) = lim f(aₙ) ≤ 0 且 f(c) = lim f(bₙ) ≥ 0 ⇒ f(c)=0
关键：二分法把「存在性」化归为「单调有界 ⇒ 收敛」，
而后者又化归为 LUB 性质。
利用 $[a,b]$ 紧性（闭 + 有界）的统一套路：
- Thm 180：假设无界 $\Rightarrow$ 取 $\{x_n\}$ 使 $\vert f(x_n)\vert >n$ $\Rightarrow$ BW 取收敛子列 $x_{n_k}\to x\in[a,b]$ $\Rightarrow$ 连续性给 $f(x_{n_k})\to f(x)$ 有界，矛盾。
- Thm 182：由 Thm 180 得 $M=\sup f([a,b])$ 有限，取 $\{x_n\}$ 使 $f(x_n)\to M$，BW 取收敛子列，连续性给 $M=f(x)\in f([a,b])$。
六、微分（Lecture 17–20）
6.1 一致连续、Lipschitz
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Recall 191 | 连续（显式依赖） | $f:S\to\mathbb{R}$ 在 $S$ 上连续：$\forall c\in S$，$\forall\epsilon>0$，$\exists\delta=\delta(\epsilon,c)>0$，$\forall x\in S$，$\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。 | L17 |
| Example 192 | $1/x$ 在 $(0,1)$ | $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上连续（取 $\delta=\min\{\dots\}$）。 | L17 |
| Definition 193 | 一致连续 | $f:S\to\mathbb{R}$ 一致连续：$\forall\epsilon>0$，$\exists\delta=\delta(\epsilon)>0$，$\forall x,c\in S$，$\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert <\epsilon$。 | L17 |
| Remark 194 | 关键差别 | 一致连续中 $\delta$ 只依赖 $\epsilon$，不依赖 $c$。 | L17 |
| Example 195 | $x^2$ 在 $[0,1]$ | $f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上一致连续（取 $\delta=\epsilon/2$）。 | L17 |
| Negation 196 | 非一致连续 | $\exists\epsilon_0>0$，$\forall\delta>0$，$\exists x,c\in S$ 使 $\vert x-c\vert <\delta$ 且 $\vert f(x)-f(c)\vert \ge\epsilon_0$。 | L17 |
| Theorem 197 | 紧区间上等价 | $f:[a,b]\to\mathbb{R}$：$f$ 连续 $\iff$ $f$ 一致连续。 | L17 |
| Definition 198 | 可导 | $I$ 为区间，$f:I\to\mathbb{R}$，$c\in I$。$f$ 在 $c$ 可导：$\displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ 存在，记为 $f^{\prime}(c)$。 | L17 |
| Example 200 | 线性 | $f(x)=ax+b$ $\Rightarrow$ $\forall c$，$f^{\prime}(c)=a$。 | L17 |
| Example 201 | 幂法则 | $\forall n\in\mathbb{N}$，$f(x)=\alpha x^n$ $\Rightarrow$ $\forall c$，$f^{\prime}(c)=\alpha nc^{n-1}$。 | L17 |
\[\text{连续：}\ \forall\epsilon>0\ \forall c\in S\ \exists\delta(\epsilon,c)>0\ \dots \qquad\text{一致连续：}\ \forall\epsilon>0\ \exists\delta(\epsilon)>0\ \forall c\in S\ \dots\]
连续 vs 一致连续：量词顺序（见 Def 167 / Def 193）
连续： ∀ε ∀c ∃δ ∀x ( |x-c|<δ ⇒ |f(x)-f(c)|<ε )
↑
δ 在 c 之后 ⇒ δ 可依赖 c
一致连续： ∀ε ∃δ ∀c ∀x ( |x-c|<δ ⇒ |f(x)-f(c)|<ε )
↑
δ 在 c 之前 ⇒ δ 只依赖 ε
⇒ 一致连续 ⟹ 连续（Thm 265 的同类结构）
⇒ 连续 ⇏ 一致连续（反例：1/x 在 (0,1)，x² 在 ℝ）
⇒ 但在紧区间 [a,b] 上二者等价（Thm 197）
6.2 求导法则全表、Rolle、MVT
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Theorem 202 | 可导 ⇒ 连续 | 若 $f:I\to\mathbb{R}$ 在 $c\in I$ 可导，则 $f$ 在 $c$ 连续。 | L18 |
| Question 203 | 逆成立吗？ | 连续 $\Rightarrow$ 可导？不成立。 | L18 |
| Example 204 | $\vert x\vert $ | $f(x)=\vert x\vert $ 在 $0$ 不可导。 | L18 |
| Question 205 | 至少一点可导？ | 连续函数 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 必有某点可导？不成立（Weierstrass）。 | L18 |
| Remark 206 | 编号说明 | 后续定理编号延后以便引用。 | L18 |
| Theorem 207 | Theorem I | (1) $\forall x,y\in\mathbb{R}$，$\vert \cos x-\cos y\vert \le\vert x-y\vert $；(2) $\forall c\in\mathbb{R}$，$\forall K\in\mathbb{N}$，$\exists y\in(c+\pi/K,c+3\pi/K)$ 使某一差分下界成立（完整陈述见 Lecture 18）。 | L18 |
| Theorem 208 | Theorem II | $\forall a,b,c\in\mathbb{R}$，$\vert a+b+c\vert \ge\vert a\vert -\vert b\vert -\vert c\vert $。 | L18 |
| Theorem 209 | Theorem III | 级数型恒等式与控制估计（见 Lecture 18 完整陈述）。 | L18 |
| Theorem 210 | Weierstrass 反例 | $f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\cos(160^kx)}{\text{(振幅因子见讲义)}}$ 连续但处处不可导。 | L18 |
| Remark 211 | 意义 | 存在连续但处处不可微的函数。 | L18 |
| Theorem 212 | 线性 + 乘积法则 | (1) $\forall\alpha\in\mathbb{R}$，$(\alpha f+g)’(c)=\alpha f^{\prime}(c)+g^{\prime}(c)$；(2) $(fg)’(c)=f^{\prime}(c)g(c)+f(c)g^{\prime}(c)$。 | L19 |
| Theorem 213 | 链式法则 | $g:I_1\to I_2$ 在 $c$ 可导，$f:I_2\to\mathbb{R}$ 在 $g(c)$ 可导，则 $(f\circ g)’(c)=f^{\prime}(g(c))g^{\prime}(c)$。 | L19 |
| Definition 214 | 相对极值 | $f$ 在 $c$ 有相对最大：$\exists\delta>0$，$\forall x\in S$，$\vert x-c\vert <\delta\Rightarrow f(x)\le f(c)$；相对最小类似。 | L19 |
| Theorem 215 | Fermat 驻点定理 | 若 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 在 $c\in(a,b)$ 有相对极值且 $f$ 在 $c$ 可导，则 $f^{\prime}(c)=0$。 | L19 |
| Theorem 216 | Rolle 定理 | $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则 $\exists c\in(a,b)$ 使 $f^{\prime}(c)=0$。 | L19 |
| Remark 217 | 假设必要性 | 三个假设是否都必要，留给读者。 | L19 |
| Theorem 218 | 中值定理 (MVT) | $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，则 $\exists c\in(a,b)$ 使 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a)$。 | L19 |
| Remark 219 | 缩写 | MVT = Mean Value Theorem。 | L19 |
| Theorem 220 | 导数为零 ⇒ 常数 | 若 $f:I\to\mathbb{R}$ 可导且 $\forall x\in I$，$f^{\prime}(x)=0$，则 $f$ 为常数。 | L19 |
| Theorem 221 | 单调性判别 | $f:I\to\mathbb{R}$ 可导。则 (1) $f$ 递增 $\iff$ $\forall x$，$f^{\prime}(x)\ge0$；(2) $f$ 递减 $\iff$ $\forall x$，$f^{\prime}(x)\le0$。 | L19 |
求导法则全表：
| 法则 | 公式 | 编号 |
|---|
| 线性 | $(\alpha f+g)’(c)=\alpha f^{\prime}(c)+g^{\prime}(c)$ | Thm 212(1) |
| 乘积 | $(fg)’(c)=f^{\prime}(c)g(c)+f(c)g^{\prime}(c)$ | Thm 212(2) |
| 商 | $\left(\dfrac fg\right)’(c)=\dfrac{f^{\prime}(c)g(c)-f(c)g^{\prime}(c)}{g(c)^2}$（$g(c)\ne0$） | 见 Lecture 19 |
| 链式 | $(f\circ g)’(c)=f^{\prime}(g(c))\,g^{\prime}(c)$ | Thm 213 |
| 幂法则 | $(\alpha x^n)’=\alpha nx^{n-1}$ | Example 201 |
| 反函数 | $(f^{-1})’(y_0)=\dfrac{1}{f^{\prime}(x_0)}$，$y_0=f(x_0)$ | 见 Lecture 19 |
\[\text{三个中值定理的关系：}\quad \text{Fermat (Thm 215)}\ \Longrightarrow\ \text{Rolle (Thm 216)}\ \Longrightarrow\ \text{MVT (Thm 218)}.\] \[f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a),\qquad \text{Cauchy MVT（见 Lecture 19）:}\ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}.\]
6.3 Taylor 定理与二阶导判别
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Remark 222 | 定位 | Taylor 定理本质上是高阶导数的中值定理。 | L20 |
| Definition 223 | $n$ 次可导 | $f:I\to\mathbb{R}$ 在 $J\subset I$ 上 $n$ 次可导，若 $f^{\prime},f^{\prime\prime},\dots,f^{(n)}$ 在 $J$ 上每点存在。 | L20 |
| Notation 224 | 记号 | 第 $n$ 阶导数记 $f^{(n)}$。 | L20 |
| Theorem 225 | Taylor 定理 | $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续、在 $[a,b]$ 上有 $n$ 个连续导数、$f^{(n+1)}$ 在 $(a,b)$ 存在。给定 $x_0,x\in[a,b]$，则 $\exists c\in(x_0,x)$ 使 $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$。 | L20 |
| Definition 226 | Taylor 多项式与余项 | $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ 称 $n$ 阶 Taylor 多项式；$R_n(x)$ 称 $n$ 阶余项。 | L20 |
| Theorem 227 | 二阶导判别 | $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ 有二阶连续导数，$x_0\in(a,b)$，$f^{\prime}(x_0)=0$，$f^{\prime\prime}(x_0)>0$，则 $f$ 在 $x_0$ 有严格相对最小。 | L20 |
| Remark 228 | 定位 | Riemann 积分是第一个与经验一致（矩形/三角形/圆面积）的严格「面积」理论，是微分的逆运算，但不是完整的面积理论（见 Lebesgue 积分）。 | L20 |
\[f(x)=\underbrace{\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}_{P_n(x)}+\underbrace{\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}}_{R_n(x)},\qquad c\in(x_0,x).\]
七、黎曼积分（Lecture 20–22）
7.1 分割、标签、黎曼和、可积性
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Definition 229 | 连续函数类 | $C([a,b]):=\{f:[a,b]\to\mathbb{R}\mid f\ \text{连续}\}$。 | L20 |
| Definition 230 | 分割与网格 | 分割 $x=\{a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\}$；网格 $\vert x\vert =\max_{j}(x_j-x_{j-1})$。 | L20 |
| Definition 231 | 标签 | 标签 $\xi=\{\xi_1,\dots,\xi_n\}$ 满足 $a=x_0\le\xi_1\le x_1\le\cdots\le x_{n-1}\le\xi_n\le x_n=b$；$(x,\xi)$ 称带标签分割。 | L20 |
| Example 232 | 计算网格 | $(x,\xi)=(\{1,3/2,2,3\},\{5/4,7/4,5/2\})$，$\vert x\vert =\max\{1/2,1/2,1\}=1$。 | L20 |
| Definition 233 | 黎曼和 | $\displaystyle S_f(x,\xi):=\sum_{j=1}^{n}f(\xi_j)(x_j-x_{j-1})$。 | L20 |
| Theorem 235 | 黎曼积分存在唯一 | 若 $f\in C([a,b])$，则存在唯一数 $\int_a^b f(x)\,dx\in\mathbb{R}$，使对任意 $\epsilon>0$，$\exists\delta>0$，任何 $\vert x\vert <\delta$ 的带标签分割都满足 $\vert S_f(x,\xi)-\int_a^b f\vert <\epsilon$。 | L21 |
| Remark 236 | 唯一性来源 | 唯一性来自实数列极限的唯一性（Thm 65）；只需证存在性。 | L21 |
| Definition 237 | 连续模 | $f\in C([a,b])$，$\eta>0$：$\displaystyle w_f(\eta)=\sup\{\vert f(x)-f(y)\vert \mid \vert x-y\vert \le\eta\}$。 | L21 |
| Theorem 239 | Theorem I | $\forall f\in C([a,b])$，$\lim_{\eta\to0}w_f(\eta)=0$（即 $\forall\epsilon>0$，$\exists\delta>0$，$\forall\eta<\delta$，$w_f(\eta)<\epsilon$）。 | L21 |
| Theorem 240 | Theorem II | 若 $(x,\xi)$、$(x^{\prime},\xi^{\prime})$ 是 $[a,b]$ 的带标签分割且 $x\subset x^{\prime}$，则 $\vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\vert \le w_f(\vert x\vert )(b-a)$。 | L21 |
| Definition 241 | 加细 | 若 $x\subset x^{\prime}$，称 $x^{\prime}$ 是 $x$ 的加细。 | L21 |
| Remark 242 | 加细的构造 | $x$ 的加细通过增加分割点得到。 | L21 |
| Theorem 243 | Theorem III | 任意两个带标签分割 $(x,\xi)$、$(x^{\prime},\xi^{\prime})$ 与 $f\in C([a,b])$：$\vert S_f(x,\xi)-S_f(x^{\prime},\xi^{\prime})\vert \le(w_f(\vert x\vert )+w_f(\vert x^{\prime}\vert ))(b-a)$。 | L21 |
| Theorem 245 | 线性 | $f,g\in C([a,b])$，$\alpha\in\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $\int_a^b(\alpha f+g)=\alpha\int_a^b f+\int_a^b g$。 | L21 |
\[S_f(x,\xi)=\sum_{j=1}^{n}f(\xi_j)(x_j-x_{j-1}),\qquad \left\vert S_f(x,\xi)-\int_a^bf\right\vert \le w_f(\vert x\vert )(b-a)\ \xrightarrow[\vert x\vert \to0]{}\ 0.\]
可积性证明的统一结构（公共加细技巧）：
任意两个分割 (x,ξ), (x',ξ')
│
└──► 取公共加细 x'' = x ∪ x' （Definition 241 / Remark 242）
│
┌───────────────┴───────────────┐
▼ ▼
|S_f(x,ξ) - S_f(x'',ξ'')| |S_f(x',ξ') - S_f(x'',ξ'')|
≤ w_f(‖x‖)(b-a) ≤ w_f(‖x'‖)(b-a)
(Thm 240) (Thm 240)
└───────────────┬───────────────┘
▼
|S_f(x,ξ) - S_f(x',ξ')| ≤ (w_f(‖x‖)+w_f(‖x'‖))(b-a) (Thm 243)
│
▼ 令 ‖x‖,‖x'‖ → 0，用 Thm 239（w_f(η)→0）
▼
所有黎曼和收敛到同一个数 ⇒ 积分唯一存在（Thm 235）
7.2 积分性质、FTC、分部、换元、Riemann–Lebesgue
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Theorem 246 | 区间可加性 | $f\in C([a,b])$，$a<c<b$ $\Rightarrow$ $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$。 | L22 |
| Theorem 247 | 上下确界界 | $m_f=\inf\{f(x)\mid x\in[a,b]\}$，$M_f=\sup\{f(x)\mid x\in[a,b]\}$，则 $m_f(b-a)\le\int_a^bf\le M_f(b-a)$。 | L22 |
| Theorem 248 | 单调性 | $f,g\in C([a,b])$。若 $\forall x$，$f(x)\le g(x)$，则 $\int_a^b f\le\int_a^b g$。 | L22 |
| Remark 249 | 积分约定 | $\int_a^a f:=0$；与 $\lim_{b\to a}$ 一致。 | L22 |
| Theorem 250 | 微积分基本定理 (FTC) | $f\in C([a,b])$。(1) 若 $F:[a,b]\to\mathbb{R}$ 可导且 $F^{\prime}=f$，则 $\int_a^b f=F(b)-F(a)$；(2) 若定义 $F(x)=\int_a^x f$，则 $F$ 可导且 $F^{\prime}=f$。 | L22 |
| Remark 251 | 缩写 | FTC = Fundamental Theorem of Calculus。 | L22 |
| Theorem 252 | 分部积分 | $f,g\in C([a,b])$ 且 $f^{\prime},g^{\prime}\in C([a,b])$，则 $\displaystyle\int_a^b fg^{\prime}=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^b f^{\prime}g$。 | L22 |
| Remark 253 | 缩写 | IBP = Integration By Parts。 | L22 |
| Lemma 254 | Riemann–Lebesgue | 设 $f\in C([-\pi,\pi])$，$f^{\prime}\in C([-\pi,\pi])$，$f$ 为 $2\pi$-周期且 $f(-\pi)=f(\pi)$。对 $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ 定义 $a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx$，$b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx$，则 $a_n\to0$、$b_n\to0$。 | L22 |
| Definition 255 | Fourier 系数 | Lemma 254 中的 $a_n,b_n$ 称 $f$ 的 Fourier 系数。 | L22 |
| Theorem 256 | 换元 | $\phi:[a,b]\to[c,d]$ 连续可微，$\phi^{\prime}>0$ 于 $[a,b]$，$\phi(a)=c$，$\phi(b)=d$，则 $\int_c^d f(u)\,du=\int_a^b f(\phi(t))\phi^{\prime}(t)\,dt$。 | L22 |
\(\int_a^b f=F(b)-F(a)\ \ (F^{\prime}=f),\qquad \frac{d}{dx}\int_a^x f=f(x),\qquad \int_a^b fg^{\prime}=\bigl[fg\bigr]_a^b-\int_a^b f^{\prime}g,\) \(\int_c^d f(u)\,du=\int_a^b f(\phi(t))\phi^{\prime}(t)\,dt,\qquad \int_a^a f=0,\qquad \int_a^b f=-\int_b^a f.\)
八、函数列与一致收敛（Lecture 23–25）
8.1 逐点 vs 一致（量词逐字对照）
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Remark 257 | 动机 | 幂级数驱动了函数序列的一般讨论。 | L23 |
| Definition 258 | 幂级数 | 关于 $x_0$ 的幂级数：$\sum_{m=0}^\infty a_m(x-x_0)^m$。 | L23 |
| Theorem 259 | 收敛半径公式 | 设 $\displaystyle R=\lim_{m\to\infty}\left\vert \frac{a_m}{a_{m+1}}\right\vert $（或 $\lim \vert a_m\vert ^{-1/m}$），则级数在 $\vert x-x_0\vert <R$ 绝对收敛、在 $\vert x-x_0\vert >R$ 发散。 | L23 |
| Definition 260 | 收敛半径 | 上述定理中的 $R$ 称收敛半径。 | L23 |
| Example 261 | 几何级数展开 | $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}=\sum_{m=0}^\infty x^m$（$\vert x\vert <1$）。 | L23 |
| Question 262 | 三个问题 | (1) $f$ 连续吗？(2) $f$ 可导且 $f^{\prime}=\lim f_n^{\prime}$ 吗？(3) $\lim\int f_n=\int\lim f_n$ 吗？ | L23 |
| Definition 263 | 逐点收敛 | $\{f_n\}$ 逐点收敛到 $f$：$\forall x\in S$，$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$。 | L23 |
| Definition 264 | 一致收敛 | $\forall\epsilon>0$，$\exists M\in\mathbb{N}$，$\forall n\ge M$，$\forall x\in S$，$\vert f_n(x)-f(x)\vert <\epsilon$。 | L23 |
| Theorem 265 | 一致 ⇒ 逐点 | 若 $f_n\to f$ 一致，则 $f_n\to f$ 逐点。 | L23 |
| Theorem 266 | 反例 | $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于分段函数但不一致收敛（见 Lecture 24）。 | L24 |
| Negation 267 | 非一致收敛 | $\exists\epsilon_0>0$，$\forall M\in\mathbb{N}$，$\exists n\ge M$ 与 $\exists x\in S$ 使 $\vert f_n(x)-f(x)\vert \ge\epsilon_0$。 | L24 |
逐点 vs 一致：量词逐字对照表
| 项目 | 逐点收敛 (Def 263) | 一致收敛 (Def 264) |
|---|
| 量词串 | $\forall x\in S\ \ \forall\epsilon>0\ \ \exists M\in\mathbb{N}$ | $\forall\epsilon>0\ \ \exists M\in\mathbb{N}\ \ \forall x\in S$ |
| $\epsilon$ 与 $x$ 的顺序 | $x$ 在前，$\epsilon$ 在后 | $\epsilon$ 在前，$x$ 在后 |
| $M$ 的依赖 | $M=M(\epsilon,x)$，可依赖 $x$ | $M=M(\epsilon)$，不依赖 $x$ |
| 每个 $x$ 的收敛速度 | 各点可以任意慢 | 全区间统一速度 |
| 否定式 | $\exists x\ \exists\epsilon_0>0\ \forall M\ \exists n\ge M,\ \vert f_n(x)-f(x)\vert \ge\epsilon_0$ | $\exists\epsilon_0>0\ \forall M\ \exists n\ge M\ \exists x\in S,\ \vert f_n(x)-f(x)\vert \ge\epsilon_0$ |
| 几何含义 | 竖切面上逐点看 | $\sup_{x\in S}\vert f_n(x)-f(x)\vert \to0$（带状夹逼） |
| 强度 | 弱 | 强（一致 ⟹ 逐点，Thm 265；反之不成立） |
一致收敛的几何图像（"ε 带状"）：
f(x)+ε ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄
／
f(x) ────────────────────────／─────────
／
f(x)-ε ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄／┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄
↑
存在 M(ε)：n ≥ M 之后，整条曲线 fₙ 都落在 ε 带内（对全部 x 同时成立）
逐点收敛的图像：
固定 x 后看数列 f₁(x), f₂(x), … → f(x)；不同 x 可以「进度不同」。
反例 xⁿ 在 [0,1]：每个 x<1 很快就进入带内，但 x=1-1/n 附近永远拖后腿
⇒ sup_{x∈[0,1]}|xⁿ-0| = 1 不趋于 0 ⇒ 不一致收敛。
8.2 Weierstrass M-test 与三个交换定理
| 编号 | 名称 | 陈述 | 讲次 |
|---|
| Theorem 268 | Weierstrass M-test | 设 $f_j:S\to\mathbb{R}$，存在 $M_j>0$ 使 (a) $\forall x\in S$，$\vert f_j(x)\vert \le M_j$；(b) $\sum_{j=0}^\infty M_j$ 收敛；则 $\sum_{j=0}^\infty f_j$ 在 $S$ 上一致收敛。 | L24 |
| Remark 269 | 一般情形 | 一般说来极限不能交换顺序。 | L24 |
| Example 270 | 反例 | 见 Lecture 24（逐点收敛但 $\lim\int\ne\int\lim$ 的例子）。 | L24 |
| Question 271 | 三个交换问题 | 连续性、可微性（$f^{\prime}=\lim f_n^{\prime}$）、可积性（$\lim\int=\int\lim$）能否传递？ | L24 |
| Question 272 | 逐点情形 | 若只有逐点收敛，上述三问的答案全是否定的。 | L24 |
| Question 273 | 重复提问 | 同 Question 271/272 的完整表述。 | L25 |
| Theorem 274 | 一致收敛保连续 | 若 $f_n:S\to\mathbb{R}$ 对每个 $n$ 连续，$f:S\to\mathbb{R}$，$f_n\to f$ 一致，则 $f$ 连续。 | L25 |
| Theorem 275 | 一致收敛保积分 | 若 $f_n:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续 $\forall n$，$f:[a,b]\to\mathbb{R}$，$f_n\to f$ 一致，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n=\int_a^b f$。 | L25 |
| Remark 276 | 记号 | 该结论写作 $\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n=\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n$。 | L25 |
| Theorem 277 | 一致收敛保导数 | 若 $f_n:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续可微，$f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$，$f_n\to f$ 逐点，$f_n^{\prime}\to g$ 一致，则 $f$ 可导且 $f^{\prime}=g$。 | L25 |
| Theorem 278 | 幂级数内闭一致 | $\sum_{j=0}^\infty a_j(x-x_0)^j$ 收敛半径 $p\in(0,\infty]$。则 $\forall r\in(0,p)$，$\sum_j a_j(x-x_0)^j$ 在 $[x_0-r,x_0+r]$ 上一致收敛（M-test，取 $M_j=\vert a_j\vert r^j$）。 | L25 |
| Theorem 279 | 逐项求导/积分 | 设幂级数有收敛半径 $p\in(0,\infty]$。则 (1) $\forall c\in(x_0-p,x_0+p)$，$\sum_j a_j(x-x_0)^j$ 在 $c$ 可导且可逐项求导；(2) 可逐项积分。 | L25 |
| Remark 280 | 半径不变 | 由 $\lim_{j\to\infty}((j+1)\vert a_{j+1}\vert )^{1/j}=\lim_{j\to\infty}\vert a_j\vert ^{1/j}$，逐项求导后收敛半径不变。 | L25 |
| Remark 281 | 直觉 | 本节的定理实质上是说：「$[a,b]$ 上的每个连续函数几乎都是多项式。」 | L25 |
| Theorem 282 | Weierstrass 逼近定理 | 若 $f\in C([a,b])$，则存在多项式序列 $\{P_n\}$ 使 $P_n\to f$ 在 $[a,b]$ 上一致。 | L25 |
| Theorem 283 | 逼近多项式的显式构造 | 令 $\displaystyle c_n:=\left(\int_{-1}^{1}(1-x^2)^n\,dx\right)^{-1}>0$，再以 $(1-x^2)^n$ 的平移伸缩作卷积型多项式核（完整构造见 Lecture 25）。 | L25 |
\[\text{M-test：}\ \vert f_j(x)\vert \le M_j\ \forall x,\ \sum M_j<\infty\ \Longrightarrow\ \sum f_j\ \text{一致收敛}.\]
三个交换定理的对照：
| 交换内容 | 结论 | 需要的收敛条件 | 编号 |
|---|
| $\lim_n\lim_{x\to c}f_n(x)=\lim_{x\to c}\lim_n f_n(x)$ | $f$ 连续 | $f_n$ 连续 + $f_n\to f$ 一致 | Thm 274 |
| $\lim_n\int_a^b f_n=\int_a^b\lim_n f_n$ | 积分可交换 | $f_n$ 连续 + $f_n\to f$ 一致 | Thm 275 |
| $\frac{d}{dx}\lim_n f_n=\lim_n f_n^{\prime}$ | $f^{\prime}=g$ | $f_n\to f$ 逐点 + $f_n^{\prime}\to g$ 一致 | Thm 277 |
一致 Cauchy 判据（见 Lecture 23–24 与 Final Assignment）：$\{f_n\}$ 在 $S$ 上一致收敛 $\iff$ $\forall\epsilon>0$，$\exists M$，$\forall n,m\ge M$，$\forall x\in S$，$\vert f_n(x)-f_m(x)\vert <\epsilon$。无需预先知道极限函数 $f$，这是它比 Definition 264 好用的地方。
九、全课程核心依赖链
9.1 主依赖链
════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════
MIT 18.100A 全课程依赖图
════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════
[逻辑层] Axiom 5 良序原理
│
▼
Theorem 6 数学归纳法 ──► Theorem 8 有限几何和、Theorem 9 Bernoulli
│
▼
[集合层] Definition 11 基数 ──► Theorem 12 CSB ──► Theorem 15 Cantor 定理
└► Theorem 57 (0,1] 不可数
└► Corollary 58 ℝ 不可数
│
▼
[实数层] Theorem 27/28 ℚ 无 sup（ℚ 有洞）
│
▼
Definition 26 / Theorem 22 / Theorem 39
★ LUB 性质：ℝ 是唯一具 LUB 的有序域 ★ ◄── 全课程的发动机
│
┌───────────┼──────────────────────────┬──────────────────────────┐
│ │ │ │
▼ ▼ ▼ ▼
Thm 38 下确界 Thm 43(i) Archimedes Thm 44/45 sup 的 ε 刻画 Thm 50/51 绝对值
存在 │ │ +三角不等式
▼ │ │
Thm 43(ii) ℚ 稠密 │ │
Thm 49–51 绝对值 │ │
│ │ │
└──────────────┬───────────┴──────────────────────────┘
▼
[序列层] Def 63 ε-N 收敛 ──► Thm 65 唯一 ──► Thm 66 (∀ε 则相等)
│
├──► Thm 72 收敛 ⇒ 有界
│
▼
Thm 75/76 单调有界定理 ◄── 直接消费 LUB（极限 = sup）
│
├──────────────────────────────┐
▼ ▼
Thm 79 子序列同极限 Theorem 82 夹逼定理
│ │
▼ ▼
Thm 87 保序、Thm 89 四则、Thm 91 根、Thm 93 绝对值、Thm 94 几何
│
▼
Theorem 101 子列实现 limsup/liminf
│
▼
Theorem 102 ★ Bolzano–Weierstrass ★
│
├──────────────────┬──────────────────┬──────────────────┐
▼ ▼ ▼ ▼
Thm 105 收敛 ⟺ Thm 110–112 Cauchy Thm 160 函数极限 Thm 180 闭区间
liminf=limsup 完备性 保序 连续 ⇒ 有界
│ │ │ │
│ ▼ │ ▼
│ Definition 114 级数 │ Theorem 182 极值定理
│ │ │ │
│ ┌───────────┼──────────┐ │ ▼
│ ▼ ▼ ▼ │ Theorem 186/187
│ Thm 122 Thm 117 Thm 128 │ 零点定理 / 介值定理
│ 级数Cauchy 几何级数 调和级数 │ │
│ 判据 Cor 125 发散 │ ▼
│ │ │ │ │ Theorem 189
│ ▼ ▼ ▼ │ 连续像 = 闭区间
│ Thm 121 Thm 135 比较 Thm 137 │ │
│ Cauchy⟺收敛 判别法 p-级数 │ │
│ │ │ │ │ │
│ ▼ ▼ ▼ │ │
│ Thm 123 Thm 138/142 Thm 131 │ │
│ 必要条 比值/根值 正项判据 │ │
│ 件 判别法 │ │
│ │ │ │ │
│ ▼ ▼ │ │
│ Thm 132/133 Thm 144 交错 │ │
│ 绝对收敛 判别法 │ │
│ │ │ │ │
│ ▼ ▼ │ │
│ Thm 146 重排 Cor 145 条件收敛 │ │
│ │ │
└──────────────┬──────────────────────┘ │
▼ │
[函数层] Def 148 聚点 ──► Thm 149 序列刻画 ──► Def 150 ε-δ 函数极限 │
│ │
▼ │
Thm 152 唯一、Thm 157 序列刻画、Thm 160 保序 │
│ │
▼ │
Def 161/163 单侧极限 ──► Thm 166 双侧 = 两侧 │
│ │
▼ │
Def 167 连续、Neg 170 不连续 │
│ │
▼ │
Thm 171 三等价、Thm 172–175 代数与复合 │
│ │
┌─────────────┼─────────────┬────────────────────┐ │
▼ ▼ ▼ ▼ │
Thm 197 紧区间 Def 193 Def 198 可导 Thm 180/182 ◄─┘
连续⟺一致连续 一致连续 │ 极值定理
│ ▼ │
│ Thm 202 可导⇒连续 │
│ │ │
│ ▼ │
│ Thm 212 线性/乘积 │
│ Thm 213 链式 │
│ │ │
│ ▼ │
│ Thm 215 Fermat ──► Thm 216 Rolle
│ │ │
│ ▼ │
│ Thm 218 ★ MVT ★ ◄──────────┘
│ │
│ ┌───────────┼───────────┬──────────────┐
│ ▼ ▼ ▼ ▼
│ Thm 220 Thm 221 Thm 225 Thm 250 FTC
│ 导数为0 单调性 Taylor 定理 (用 MVT 证)
│ ⇒ 常数 判别 │
│ Thm 227 二阶导判别
│
▼
[积分层] Def 229–233 连续类/分割/标签/黎曼和
│
▼
Def 237 w_f 连续模 ──► Thm 239 w_f(η)→0
│
▼
Thm 240/243 公共加细误差估计
│
▼
Theorem 235 ★ 黎曼积分存在且唯一（f ∈ C([a,b])）★
│
┌────────────┼────────────┬────────────┬─────────────┬──────────────┐
▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼
Thm 245 Thm 246 Thm 247 Thm 248 Thm 250 FTC Thm 252 IBP
线性 可加性 上下确界 单调性 (逆运算) (用乘积法则)
│ │
│ ▼
│ Lemma 254 Riemann–Lebesgue
│ Def 255 Fourier 系数
▼
Thm 256 换元
│
▼
[函数列层] Def 258 幂级数 ──► Thm 259/Def 260 收敛半径
│
▼
Def 263 逐点 vs Def 264 一致 ──► Thm 265 一致⇒逐点、Thm 266 反例
│
▼
Theorem 268 ★ Weierstrass M-test ★
│
┌────────────┼────────────┬─────────────────────┐
▼ ▼ ▼ ▼
Thm 274 Thm 275 Thm 277 Thm 278 幂级数内闭一致
保连续 保积分 保导数(需 f'ₙ 一致) │
▼
Thm 279 逐项求导/积分
Remark 280 半径不变
│
▼
Theorem 282 ★ Weierstrass 逼近 ★
Theorem 283 显式多项式构造
════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════
一句话总结：良序 → 归纳 → (ℚ 有洞) → LUB → 单调有界 → BW → 极值/介值
→ MVT → FTC → M-test → Weierstrass 逼近。每一环都靠上一环。
════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════
9.2 哪些定理在 $\mathbb{Q}$ 里会失效
| 定理 / 结论 | 在 $\mathbb{Q}$ 中的情形 | 失效原因 | 编号 |
|---|
| 最小上界性质 (LUB) | 失效 | $E=\{q\in\mathbb{Q}\mid q>0,q^2<2\}$ 非空有上界（如 $2$）但无有理上确界 | Definition 26 / Theorem 28 |
| $\sqrt2$ 的存在性 | 失效 | 无 $q\in\mathbb{Q}$ 使 $q^2=2$；$\mathbb{R}$ 中由 LUB 凑出唯一 $r=\sqrt2$ | Theorem 40 / Theorem 27 |
| 单调有界定理 | 失效 | 单调递增有上界的有理数列可以不收敛（如 $1,1.4,1.41,1.414,\dots$ 逼近 $\sqrt2$）；定理 75 的证明用 $\sup$ 作极限 | Theorem 75 / Theorem 76 |
| Bolzano–Weierstrass | 失效 | 用上述逼近 $\sqrt2$ 的有理数列，任何子列在 $\mathbb{Q}$ 中都不收敛；证明依赖 Thm 75 | Theorem 102 / Theorem 101 |
| Cauchy 完备性 | 失效 | 同上数列在 $\mathbb{Q}$ 中是 Cauchy 但无有理极限；$\mathbb{Q}$ 不完备 | Theorem 112 |
| 极值定理 (Min-Max) | 失效 | $f(x)=x^2$ 在 $\mathbb{Q}\cap[0,2]$ 上无最大值（$\sup$ 处是 $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$）；证明依赖 Thm 180/182 的 sup | Theorem 180 / Theorem 182 |
| 介值定理的完整形式 | 失效 | $f(x)=x^2-2$ 在 $\mathbb{Q}\cap[0,2]$ 上变号但取不到 $0$；证明依赖 $\mathbb{R}$ 的完备性 | Theorem 186 / Theorem 187 |
| 黎曼积分的存在性 | 失效 | 在 $\mathbb{Q}$ 上「连续」函数未必一致连续，$w_f(\eta)\to0$ 可能不成立，Thm 235 的存在性证明断裂 | Theorem 235 / Theorem 239 |
| Archimedes 性质 | 在 $\mathbb{Q}$ 中仍成立 | $\mathbb{Q}$ 是有序域且可用整数部分构造；它的证明在 $\mathbb{Q}$ 内即可完成（但练习中通常用 LUB） | Theorem 43(i) |
| $\mathbb{Q}$ 的稠密性 | 在 $\mathbb{Q}$ 中仍成立 | 有理数之间仍有有理数（$r=(x+y)/2$） | Theorem 43(ii) |
| 绝对值六条、三角不等式 | 在 $\mathbb{Q}$ 中仍成立 | 纯代数与序性质，不需要 LUB | Theorem 50 / Theorem 51 |
\[\boxed{\ \text{分界线只有一条：}\quad \mathbb{Q}\ \text{满足有序域全部公理} + \text{Archimedes} + \text{稠密性，唯独缺少 LUB}.\ }\]
十、证明技巧总表
| # | 技巧名 | 形式 | 用在哪 | 为什么有效（一句话） |
|---|
| 1 | $\epsilon/2$ 技巧 | 给定 $\epsilon$，分别控制两项在 $\epsilon/2$ 内，相加得 $\epsilon$ | Thm 65 极限唯一、Thm 66、乘积极限 | 两条独立误差各自可任意小，其和仍可任意小 |
| 2 | $\epsilon/3$ 技巧 | 三段误差各 $<\epsilon/3$，用三角不等式合成 $<\epsilon$ | Thm 274 保连续、Thm 277 保导数 | 三点相扣（$f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f_n(c)+f_n(c)-f(c)$），每段一个控制源 |
| 3 | $\min\{1,\delta_0\}$ 技巧 | 取 $\delta=\min\{1,\delta_0\}$ | Example 153、Example 192、乘积极限 | $1$ 先给出上界（把 $\vert x-c\vert <1$ 变成 $\vert x\vert <\vert c\vert +1$），再让另一部分任意小 |
| 4 | $M=\max\{M_1,\dots,M_k\}$ | 有限多个门槛取最大 | Thm 82 夹逼、Thm 89 四则、Thm 87 保序 | $n\ge M$ 同时满足全部 $k$ 个条件，无需约定哪一个更大 |
| 5 | 取 $\epsilon=1$ 得界 | 令 $\epsilon=1$，得 $M$ 使 $n\ge M$ 时 $\vert x_n-x\vert <1$ | Thm 72 收敛⇒有界、Thm 110 Cauchy⇒有界 | 得到 $\vert x_n\vert \le\vert x\vert +1$（尾部），有限多项头部取 max 即可 |
| 6 | 加一项减一项 | $x_ny_n-xy=x_n(y_n-y)+y(x_n-x)$ | Thm 89 乘积、Thm 212 乘积法则、$x^n-c^n$ | 把交叉项拆成两个「单变量小量 × 常数」 |
| 7 | 有理化共轭 | $\sqrt a-\sqrt b=\dfrac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}$ | Thm 91 平方根、Example 154 | 分母有正下界时把差的估计变成常数倍的 $\vert a-b\vert $ |
| 8 | $\epsilon/(\vert c\vert +1)$ | 取 $\delta=\dfrac{\epsilon}{\vert a\vert +1}$ | Example 153 线性函数、Example 168 | 分母加 $1$ 避免 $a=0$，且保证 $\vert a\vert \delta<\epsilon$ |
| 9 | $b=\min\{\vert y_1\vert ,\dots,\vert y_M\vert ,\vert y\vert /2\}$ | 商极限：取分母正下界 $b>0$ | 商法则、$\lim 1/x_n=1/x$ | 有限多项的最小值与 $\vert y\vert /2$ 取 min，保证 $\vert y_n\vert \ge b>0$ |
| 10 | 反证取中点（二分法） | 每次把区间对半，保留「坏」的一半 | Thm 186 零点定理、Thm 40 | 区间长度 $\to0$，单调有界 + 连续性锁定唯一候选点 |
| 11 | 对角线论证 | 第 $n$ 位取与 $d_{nn}$ 不同的数字 | Thm 15、Thm 57（(0,1] 不可数） | 造出的对象与表中每一个元素在某一位上不同 |
| 12 | $n_k\ge k$（子列指标界） | 子列 $\{x_{n_k}\}$ 满足 $n_k\ge k$ | Thm 79、Thm 101、Thm 111 | 把「$n_k\ge M$」化归为「$k\ge M$」，让 $\epsilon$-$N$ 门槛可以直接对齐 |
| 13 | M-test | $\vert f_j(x)\vert \le M_j$ 且 $\sum M_j<\infty$ $\Rightarrow$ $\sum f_j$ 一致 | Thm 268、Thm 278 幂级数 | 用数项级数 $\sum M_j$ 的尾部统一控制所有 $x$，末项余项 $\sum_{j>N}M_j<\epsilon$ |
| 14 | 公共加细 | $x^{\prime\prime}=x\cup x^{\prime}$ | Thm 243 黎曼和误差、Thm 275 | 两个分割同时加细到同一分割，三角不等式即可比较 |
| 15 | 望远镜求和 | $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}$ | Example 116、Thm 128 调和级数分组 | 相邻项抵消，部分和 $s_m=1-\frac1{m+1}$ 有显式表达式 |
| 16 | Bernoulli 不等式 | $(1+c)^n\ge1+nc$ | Thm 94 几何序列、Thm 95 $n^{1/n}\to1$ | 给「$n$ 次幂」一个线性下界，从而把平方根/开方估计变成 $1+$ 小量 |
| 17 | 夹逼（Stolz 式包夹） | $a_n\le x_n\le b_n$ 且 $a_n,b_n\to x$ | Thm 82、Thm 105、$\lim n^{1/n}=1$ | 上下包夹把未知序列转化为两个已知序列 |
| 18 | $\sup$ 的 $\epsilon$ 刻画 | $x=\sup S$ $\iff$ 上界 + $\forall\epsilon>0\exists y\in S:y>x-\epsilon$ | Thm 45、Thm 75、Thm 182 | 把「最小上界」翻译成可操作的「逼近」语言，便于构造序列 |
| 19 | 单调性传递逼近 | 若 $a\le x\le b$ 则 $\lim a\le\lim x\le\lim b$ | Thm 87 保序、Thm 105、Thm 160 | 极限保序（非严格），允许用「$\le$」传递双向不等式 |
| 20 | 一致 Cauchy 判据 | $\forall\epsilon\exists M\forall n,m\ge M\forall x\ \vert f_n(x)-f_m(x)\vert <\epsilon$ | Thm 268、Thm 282、一致收敛的验证 | 不需要预先知道极限函数 $f$，把「收敛」化为「内部互相靠拢」 |
| 21 | 序列刻画（否定式） | 用序列 $x_n\to c$ 但 $f(x_n)\nrightarrow f(c)$ 证不连续 | Thm 157、Thm 171、Example 204 | 「不连续/极限不存在」的证明只需构造一个坏序列 |
| 22 | 分段估计（$\delta\le1$） | 先限制 $\vert x-c\vert <1$，再在 $[c-1,c+1]$ 上用有界性 | Thm 158 $x^2$、Example 195 | 紧区间上连续 ⇒ 有界，给出可用的常数上界 |
| 23 | Taylor 反复用 MVT | 对余项反复应用 MVT $n+1$ 次 | Thm 225 Taylor 定理 | 高阶余项 = 低阶余项差商的 MVT，逐层降阶到 $f^{(n+1)}(c)$ |
| 24 | 存在性 $\Rightarrow$ 取序列 $\Rightarrow$ 用 BW | 假设无界则取 $x_n$ 使 $\vert f(x_n)\vert >n$，BW 取子列 | Thm 180、Thm 182 极值定理 | 紧区间 $[a,b]$ 的有界序列必有收敛子列，且极限仍在 $[a,b]$ |
技巧与证明的对应速查（哪道题用哪招）：
┌──────────────────────────────┬──────────────────────────────────────────┐
│ 命题 │ 首选技巧 │
├──────────────────────────────┼──────────────────────────────────────────┤
│ 极限存在且唯一 │ ①ε/2 + 三角不等式 │
│ 收敛 ⇒ 有界 │ ⑤取 ε=1 + 有限项取 max │
│ 乘积/商的极限 │ ⑥加一项减一项 + ⑨分母正下界 + ③min{1,δ₀}│
│ 平方根/无理式极限 │ ⑦有理化共轭 + ⑧ε/(|c|+1) │
│ 单调有界定理 │ ⑱sup 的 ε 刻画（这是 LUB 的接口） │
│ BW 定理 │ ⑩反证取中点 / 区间对半 + ⑱ │
│ limsup = liminf ⇒ 收敛 │ ⑰夹逼 + 极限保序 ⑲ │
│ 级数收敛（正项） │ 比较（几何/ p-级数）+ ⑮望远镜 │
│ 级数收敛（交替） │ Thm 144 单调递减 → 0 + 部分和奇偶配对 │
│ 一致收敛 │ ⑬M-test 或 ⑳一致 Cauchy 判据 │
│ 极限函数连续/可积 │ ②ε/3 技巧 │
│ 极限函数可导 │ fₙ 逐点 + fₙ' 一致（Thm 277），再用 MVT │
│ 连续函数可积 │ ⑭公共加细 + w_f(η)→0（不一致但可控） │
│ 零点存在 │ ⑩二分法 + 单调有界定理 │
│ 极值存在 │ ㉔取序列 + BW + 连续性 │
│ 不可数性 │ ⑪对角线论证 │
│ 连续但处处不可导 │ ⑬M-test 造级数 + 二分震荡估计 │
│ 连续函数被多项式逼近 │ ⑳一致 Cauchy + 卷积型多项式核 │
└──────────────────────────────┴──────────────────────────────────────────┘
十一、最容易记混的 20 个对比
| # | A | B | 关键区别 |
|---|
| 1 | $\limsup_{n\to\infty}x_n$ | $\lim_{n\to\infty}x_n$ | limsup 对任何有界序列都存在（Thm 98）；lim 可能不存在。二者相等 $\iff$ 序列收敛（Thm 105） |
| 2 | $\limsup_{n\to\infty}x_n$ | $\max\{x_n\}$ | limsup 是「最终上包络的极限」，可能取不到（如 $x_n=1/n$ 时 limsup $=0$ 不是任何项）；max 要求取到 |
| 3 | 逐点收敛（Def 263） | 一致收敛（Def 264） | $M$ 是否依赖 $x$：$M(\epsilon,x)$ vs $M(\epsilon)$。一致 ⟹ 逐点（Thm 265），反之不成立（Thm 266） |
| 4 | 连续（Def 167） | 一致连续（Def 193） | $\delta$ 是否依赖 $c$：$\delta(\epsilon,c)$ vs $\delta(\epsilon)$。紧区间上等价（Thm 197） |
| 5 | 连续（Def 167） | Lipschitz | Lipschitz 是线性模控制：$\vert f(x)-f(y)\vert \le L\vert x-y\vert $。Lipschitz ⟹ 一致连续 ⟹ 连续；反之均不成立 |
| 6 | 有界序列（Def 61） | 收敛序列（Def 63） | 收敛 ⟹ 有界（Thm 72）；有界 ⇏ 收敛（$(-1)^n$） |
| 7 | Cauchy 序列（Def 106） | 收敛序列（Def 63） | 在 $\mathbb{R}$ 中二者等价（Thm 112）；在 $\mathbb{Q}$ 中 Cauchy 严格弱于收敛 |
| 8 | $\sup E$（Def 26） | $\max E$ | $\sup E$ 可能不属于 $E$（如 $E=(0,1)$ 时 $\sup E=1\notin E$）；$\max E$ 存在时必须属于 $E$；有 max 必有 sup 且相等 |
| 9 | $A\subset B$（Def 2） | $A\subsetneq B$ | $\subset$ 在官方笔记中即「子集」（允许相等）；真子集须另写 $\subsetneq$ 并附加 $A\ne B$ |
| 10 | 绝对收敛（Def 132） | 收敛（Def 114） | 绝对收敛 ⟹ 收敛（Thm 133）；收敛 ⇏ 绝对收敛（$\sum(-1)^n/n$，Cor 145）。绝对收敛可重排（Thm 146） |
| 11 | 绝对收敛 | 一致收敛（Def 264） | 完全不同的轴：前者是数项级数的和可交换；后者是函数列的收敛速率对 $x$ 一致。二者不可互相推出 |
| 12 | 可导（Def 198） | 连续（Def 167） | 可导 ⟹ 连续（Thm 202）；连续 ⇏ 可导（$\vert x\vert $ 在 $0$，Example 204） |
| 13 | $C^1$ | 可导（Def 198） | $C^1$ = $f^{\prime}$ 存在且连续；可导只要求 $f^{\prime}$ 存在。$f(x)=x^2\sin(1/x)$（$f(0)=0$）在 $0$ 可导但 $f^{\prime}$ 不连续 |
| 14 | 开集的原像 | 开集的像 | 连续只保证 $f^{-1}(\text{开})$ 是开（Thm 171 + 拓扑刻画）；像不必是开（$f(x)=x^2$ 把 $(-1,1)$ 映成 $[0,1)$） |
| 15 | $\delta$ 依赖 $\epsilon$ 与 $x$（连续） | $\delta$ 只依赖 $\epsilon$（一致连续） | 量词顺序：$\forall\epsilon\forall x\exists\delta$ vs $\forall\epsilon\exists\delta\forall x$ |
| 16 | Riemann 可积 | 连续（Def 167） | 本课在 $C([a,b])$ 上证明可积（Thm 235）；可积函数类严格大于连续函数类（阶梯函数可积但不连续） |
| 17 | $f^{\prime}\in C([a,b])$ | $f^{\prime}$ 存在 | $f^{\prime}$ 存在不保证 $f^{\prime}$ 连续；IBP（Thm 252）与换元（Thm 256）都额外假设 $f^{\prime},g^{\prime}\in C$ |
| 18 | 幂级数在内部一致收敛 | 幂级数在端点一致收敛 | Thm 278 只保证在 $[x_0-r,x_0+r]\subset(x_0-p,x_0+p)$ 上一致；端点 $x_0\pm p$ 处需另行判断 |
| 19 | 积分 $\int_a^bf$ | 黎曼和 $S_f(x,\xi)$ | 积分是唯一确定的数（Thm 235）；黎曼和依赖分割与标签，只在 $\vert x\vert \to0$ 时趋近积分（误差 $\le w_f(\vert x\vert )(b-a)$） |
| 20 | 序列极限（Def 63） | 函数极限（Def 150） | 函数极限要求 $c$ 是聚点且 $0<\vert x-c\vert $（挖心邻域，不看 $x=c$）；序列极限没有「挖心」概念。Thm 157 把二者桥接 |
额外易混对（补充，共 8 组）：
| # | A | B | 关键区别 |
|---|
| 21 | 单调有界定理（Thm 75） | 一致收敛（Def 264） | 前者是单个数列的收敛判据，后者是函数列整体的收敛模式，仅共享「单调/一致」字面相似 |
| 22 | 上界（Def 24） | 上确界（Def 26） | 上界有无穷多个（任一更大的数都是上界）；上确界是最小的那个 |
| 23 | 相对极值（Def 214） | 绝对极值（Def 181） | 相对极值只需要在某邻域内最大；绝对极值要求在整个定义域上最大。Thm 182 给出绝对极值的存在性 |
| 24 | 一致连续（Def 193） | Lipschitz 条件 | 一致连续的模可以是 $\omega(\delta)$（如 $\sqrt x$，$\omega=\sqrt\delta$）；Lipschitz 要求模是 $L\delta$，严格更强 |
| 25 | Weierstrass M-test（Thm 268） | 比较判别法（Thm 135） | M-test 是函数级数一致收敛的判别法；比较判别法是数项级数收敛的判别法。M-test 的 (b) 正是对 $\sum M_j$ 用比较的思想 |
| 26 | Bolzano–Weierstrass（Thm 102） | Cauchy 完备性（Thm 112） | 二者在 $\mathbb{R}$ 中互相等价（是 LUB 的两种面貌）；但 BW 谈子列，Cauchy 谈内部互靠，后者不需要预知极限 |
| 27 | Fermat 定理（Thm 215） | Rolle 定理（Thm 216） | Fermat 只需要内点相对极值 + 可导；Rolle 需要闭区间连续 + 开区间可导 + 端点相等，且结论是存在驻点（而非给出驻点处的极值性质） |
| 28 | MVT（Thm 218） | Taylor 定理（Thm 225） | MVT 是 $n=0$ 的 Taylor（$\frac{f^{\prime}(c)}{1!}(x-x_0)^1$ 项）；Taylor 把 MVT 升到 $n$ 阶并给出余项 $R_n$ |
附：全课程编号索引（用到时快速定位）
| 编号范围 | 内容块 | 讲次 |
|---|
| 1–9 | 集合、De Morgan、良序、归纳、几何和、Bernoulli | L1 |
| 10–13 | 基数、CSB、可数例 | L2 |
| 14–28 | Cantor 定理、$n<2^n$、实数刻画、有序集、LUB、$\mathbb{Q}$ 无 sup | L3 |
| 29–41 | 域、有序域、$\mathbb{R}$ 唯一性、$\sqrt2$ | L4 |
| 42–50 | Archimedes、稠密性、sup 的 $\epsilon$ 刻画、绝对值 | L5 |
| 51–58 | 三角不等式、十进制、不可数 | L6 |
| 59–71 | 序列、收敛、唯一性、$\epsilon$-$N$ 例题 | L6–L7 |
| 72–81 | 有界性、单调、子序列、DNC | L7 |
| 82–94 | 夹逼、保序、四则、几何序列 | L8 |
| 95–105 | 特殊序列、limsup/liminf、BW | L9 |
| 106–125 | Cauchy、完备性、级数、几何级数 | L10 |
| 126–137 | 调和级数、绝对收敛、比较、$p$-级数 | L11 |
| 138–146 | 比值、根值、交错、重排 | L12 |
| 147–160 | 聚点、函数极限、序列刻画 | L13–L14 |
| 161–178 | 单侧极限、连续、代数与复合 | L14–L15 |
| 179–190 | 有界函数、极值定理、介值定理、二分法 | L16 |
| 191–201 | 一致连续、可导、幂法则 | L17 |
| 202–211 | 可导⇒连续、Weierstrass 反例 | L18 |
| 212–221 | 求导法则、Rolle、MVT、单调性 | L19 |
| 222–228 | Taylor、二阶导判别、Riemann 积分导言 | L20 |
| 229–245 | 分割、标签、黎曼和、连续模、可积性 | L20–L21 |
| 246–256 | 可加性、单调性、FTC、IBP、Riemann–Lebesgue、换元 | L22 |
| 257–267 | 幂级数、收敛半径、逐点/一致、反例 | L23–L24 |
| 268–277 | M-test、保连续/可积/可导 | L24–L25 |
| 278–283 | 幂级数逐项运算、Weierstrass 逼近 | L25 |
