Lecture 9: Independence, Basis, and Dimension

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Lecture 9: Independence, Basis, and Dimension

概述

前两讲我们一直在回答具体问题：给定 $A$ 和 $\mathbf{b}$，解是什么？本讲退后一步，建立描述一切子空间的通用语言：线性无关（independence）、张成（span）、基（basis）、维数（dimension）。这四个词是本课程后半段的普通话——从四个基本子空间（Lecture 10）到特征向量（Lecture 21）到 SVD（Lecture 29），每一处都在说”找一组基”“维数是多少”。

本讲的核心结论有两条。第一：“线性无关”就是把向量排成矩阵 $A$ 后 $N(A)=\{\mathbf{0}\}$，也就是 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 只有零解，也就是 $r=n$（列满秩）。第二：基 = 既无关又张成，”不多不少刚刚好”；而基的向量个数与基的选取无关，这个不变量就是维数。第二条是数学上很深刻的事实，它保证了 $\dim$ 是良定义的。

核心概念的几何直觉

概念一：线性无关（Linear Independence）

• 定义与目的：向量 $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k$ 线性无关，当且仅当

  \[c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}\quad\Longrightarrow\quad c_1=c_2=\cdots=c_k=0.\]

  即”零组合只有平凡解”。反之，若存在不全为零的系数使组合为零，则称它们线性相关（linearly dependent）。

• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：无关意味着每个向量都带来了新方向——没有任何一个向量落在其余向量张成的空间里。相关意味着存在冗余：至少有一个向量是别人的线性组合（可以扔掉而不减少张成空间）。

  • 1 个向量：无关 $\iff$ 它不是 $\mathbf{0}$（$\mathbf{0}$ 永远是相关的，因为 $1\cdot\mathbf{0}=\mathbf{0}$ 是零组合）。
  • 2 个向量：相关 $\iff$ 它们共线（一个在另一个的直线上）。
  • 3 个向量在 $\mathbb{R}^3$ 中：相关 $\iff$ 它们共面（都躺在某个过原点的平面内）。
  • 一般 $k$ 个向量：相关 $\iff$ 它们全部落在某个低于 $k$ 维的子空间里。

• 具体示例：

  • $\mathbf{v}_1=(1,2,3)^T,\mathbf{v}_2=(2,4,6)^T$ 相关：$2\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$，即 $\mathbf{v}_2=2\mathbf{v}_1$，两者共线。
  • $\mathbf{v}_1=(1,0,1)^T,\mathbf{v}_2=(0,1,1)^T,\mathbf{v}_3=(1,2,3)^T$ 相关：$\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3=(1+0-1,\ 0+1-2,\ 1+1-3)^T=(0,0,0)^T$ ✓。$\mathbf{v}_3$ 落在前两个张成的平面内。
  • $\mathbf{v}_1=(1,1,0)^T,\mathbf{v}_2=(0,1,1)^T,\mathbf{v}_3=(1,0,1)^T$ 无关：见下面的行列式判据（$\det=2\ne0$）。

等价刻画（本讲最实用的四个说法）：把 $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n$ 作为列排成矩阵

则下面五件事完全等价：

   ┌──────────── 列向量线性无关的五个等价说法 ────────────┐
   │  ①  c₁v₁ + … + cₙvₙ = 0 只有零解 c = 0                │
   │  ②  N(A) = {0}          （零空间只有零向量）           │
   │  ③  秩 r = n            （列满秩；主元列有 n 个）      │
   │  ④  A 的各列互不"冗余"：没有一列是其他列的线性组合      │
   │  ⑤  若 A 是方阵：det A ≠ 0（可逆）                     │
   └───────────────────────────────────────────────────────┘
   注意 ⑤ 只对方阵成立；非方阵（如 3×2）用 ③：r = n 即列满秩。

$A$ 是 $m\times n$ 时，$n$ 个列向量在 $\mathbb{R}^m$ 中。若 $n>m$（向量个数超过空间维数），必然相关——这就是本讲要证的”$\mathbb{R}^3$ 中任意 4 个向量必相关”的一般版本，理由见后面。

概念二：张成（Span）

• 定义与目的：$\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\}$ 是这些向量的一切线性组合 $c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k$（$c_i$ 取遍实数，可以全为 0）的集合。它自动是子空间。
• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：张成是”这些向量能够到达的全部地方”。$\operatorname{span}$ 永远过原点（取全部系数为 0），永远包含 $\mathbf{0}$。
  • 一个非零向量张成一条过原点的直线。
  • 两个不共线的向量张成一个过原点的平面。
  • 三个不共面的向量张成整个 $\mathbb{R}^3$。
  • $\operatorname{span}\{\mathbf{0}\}=\{\mathbf{0}\}$（零维）。
• 具体示例：
  • $\operatorname{span}\{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T\}=\{xy\text{ 平面}\}=\{(a,b,0)^T\}$。
  • $\operatorname{span}\{(1,2,3)^T,(2,4,6)^T\}=\operatorname{span}\{(1,2,3)^T\}=$ 一条直线（因为两个共线，第二个没带来新方向）。

  • $\operatorname{span}\{(1,1,0)^T,(0,1,1)^T\}=\{a(1,1,0)+b(0,1,1)\}=\{(a,\,a+b,\,b)^T\}$，一个过原点的平面。把它写成方程：点 $(x,y,z)=(a,a+b,b)$ 满足 $x+z=a+b=y$，故平面方程为

    \[-x+y-z=0\quad(\text{即 } y=x+z).\]

    这也解释了为什么它是 2 维的：只有 2 个自由参数 $a,b$；在 $\mathbb{R}^3$ 中由一个线性方程 $n_1x+n_2y+n_3z=0$ 切出的过原点集合维数总是 $3-1=2$。

  • 关键联系：$C(A)=\operatorname{span}\{A\text{ 的列}\}$（Lecture 6 的定义）；$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 可解 $\iff\mathbf{b}\in\operatorname{span}\{A\text{ 的列}\}$（Lecture 8 的判据）。

概念三：基（Basis）——”不多不少刚刚好”

• 定义与目的：向量组 $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_d\}$ 是子空间 $V$ 的基，当且仅当它同时满足：
  1. 线性无关（不多——没有冗余）；
  2. 张成 $V$（不少——覆盖全部）。
• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：基是 $V$ 的”最优坐标系”。两个条件缺一不可：
  • 只无关不张成 → 太小，够不着 $V$ 的某些点（如用 $(1,0,0)$ 作为 $\mathbb{R}^3$ 的”基”）。
  • 只张成不无关 → 太大，有冗余（如用 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1)$ 张成 $\mathbb{R}^3$，多了一个）。
  • 基的两条最实用的性质：① $V$ 中每个向量都能写成基的组合（存在性，来自张成）；② 写法唯一（唯一性，来自无关：若 $\sum c_i\mathbf{v}_i=\sum d_i\mathbf{v}_i$，则 $\sum(c_i-d_i)\mathbf{v}_i=\mathbf{0}$，无关性逼出 $c_i=d_i$）。“存在且唯一”正是”坐标”的定义——这就是为什么基那么重要。
• 具体示例：$\mathbb{R}^3$ 的标准基 $\mathbf{e}_1=(1,0,0)^T,\mathbf{e}_2=(0,1,0)^T,\mathbf{e}_3=(0,0,1)^T$；$\mathbb{R}^3$ 的另一组基 $\mathbf{v}_1=(1,1,0)^T,\mathbf{v}_2=(0,1,1)^T,\mathbf{v}_3=(1,0,1)^T$（见下面的完整验证）。

概念四：维数（Dimension）——基中向量个数的唯一性

• 定义与目的：子空间 $V$ 的维数 $\dim V$ 定义为它的任意一组基中向量的个数。这个定义之所以合法，是因为下面的定理：

  定理（基的个数不变）：同一个子空间 $V$ 的任意两组基含有的向量个数相同。

  因此”基中向量个数”不是基的属性，而是 $V$ 本身的属性。

• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：维数是子空间的“内在大小”——它数的是”独立方向的个数”，而不是”用了多少向量来描述”。$\dim$ 是子空间在任意坐标系下都一样的”指纹”：换基可以，换维数不行。
• 具体示例：$\dim\mathbb{R}^3=3$；$\dim\{\mathbf{0}\}=0$（空集是 $\{\mathbf{0}\}$ 的基，个数为 0）；过原点的平面维数是 2；过原点的直线维数是 1。
• 为什么个数唯一（直觉版证明）：设 $V$ 有两组基，分别 $d_1$ 个和 $d_2$ 个。若 $d_1<d_2$：把第一组记作 $B_1$。$B_2$ 的每个向量都能由 $B_1$ 表示（$B_1$ 张成 $V$）。把 $B_2$ 的 $d_2$ 个向量用 $B_1$ 的 $d_1$ 个基表示，得到一个 $d_1\times d_2$ 的系数矩阵——$d_1$ 个未知数、$d_2$ 个方程。由于 $d_1<d_2$，这个齐次方程组必有非零解（未知数比方程少，必有自由变量），于是 $B_2$ 线性相关，与”$B_2$ 是基”矛盾。所以 $d_1\ge d_2$；对称地 $d_2\ge d_1$；故 $d_1=d_2$。这条论证只用到了”主元个数 $\le$ 行数/列数”这一基本事实，是本课程反复出现的”数数（counting）”思想。

概念五：秩 $r$ 的完整含义（本讲与 Lecture 8 的汇合点）

• 定义与目的：秩是矩阵的唯一最重要的数字。本讲给它一个纯几何的定义：

  \[r=\operatorname{rank}(A)=C(A)\text{ 的维数}=\text{无关列的最大数目}.\]

• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：$r$ 数的是”$A$ 的列真正指向了多少个独立方向”。若 $A$ 有 $n$ 列但 $r<n$，说明有 $n-r$ 列是”白搭的”——它们没有开辟新方向，只是已有方向的组合。$r$ 同时是 $C(A)$ 的维数与 $N(A)$ 的”余维数”：$r+(n-r)=n$，两个方向互相补足。

• 具体示例：用 Lecture 8 的主例 $A=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}$（$m=3,n=4$，$r=2$）逐条对照。

   ┌──────────────── 秩 r 的五重身份（Lecture 8 主例，r = 2）─────────────────┐
   │                                                                          │
   │  ① r = 主元个数                    → RREF 中 2 个主元（col 1, col 3）      │
   │  ② r = 无关列的最大数目            → 最多能挑出 2 列无关（col 1, col 3）   │
   │  ③ r = dim C(A)                    → 列空间是 R³ 中的 2 维平面            │
   │  ④ r = dim C(Aᵀ) = 无关行的数目    → 行空间也是 2 维（在 R⁴ 中）          │
   │  ⑤ n - r = dim N(A) = 2            → 零空间是 R⁴ 中的 2 维平面           │
   │     m - r = dim N(Aᵀ) = 1          → 左零空间是 R³ 中的 1 维直线         │
   │                                                                          │
   │  列的具体情况： col₁=(1,2,3)  col₃=(2,6,8)   ← 无关，是 C(A) 的基        │
   │                 col₂= 2·col₁                ← 冗余（非主元列）           │
   │                 col₄=-2·col₁+ 2·col₃        ← 冗余（非主元列）           │
   │  行/列关系由 RREF 直接读出，且与原矩阵一致。                              │
   └──────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘

验算：$\text{col}_2=(2,4,6)^T=2(1,2,3)^T=2\,\text{col}_1$ ✓；$\text{col}_4=(2,8,10)^T=-2(1,2,3)^T+2(2,6,8)^T$ ✓；两个主元列的 $2\times2$ 子式 $\det\begin{bmatrix}1&2\\2&6\end{bmatrix}=1\cdot6-2\cdot2=2\ne0$，故它们无关 ✓。

• 为什么 $r=$ “无关列的最大数目”：主元列必无关（它们在 $R$ 中对应单位向量 $\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_r$，而 $R$ 的秩为 $r$）。任何多于 $r$ 个列必相关（因为它们在 $R$ 中对应的向量落在 $\mathbb{R}^r$ 里，而 $\mathbb{R}^r$ 中任意 $r+1$ 个向量必相关——这正是”$\mathbb{R}^m$ 中 $m+1$ 个必相关”的应用！）。所以 $r$ 既是”能达到的”也是”不能超过的”无关列数目，是最优值。

概念六：把”线性无关”翻译成矩阵语言（本讲最常用的翻译表）

每一条关于”向量组无关/相关”的陈述，都能翻译成一条关于矩阵的陈述。熟练之后可以直接在两种语言之间来回切换：

   ┌──────────────── 向量语言 ↔ 矩阵语言 翻译表 ────────────────┐
   │  向量语言（k 个向量在 Rᵐ 中）     矩阵语言（A 是 m×k）       │
   │  ──────────────────────────────── ──────────────────────  │
   │  v₁,…,v_k 线性无关         ⟺   N(A) = {0}                  │
   │                            ⟺   r = k（列满秩）              │
   │                            ⟺   主元列数 = k（每列都有主元） │
   │  v₁,…,v_k 线性相关         ⟺   N(A) ≠ {0}                  │
   │                            ⟺   r < k                        │
   │                            ⟺   至少一列无主元（自由变量存在）│
   │  v₁,…,v_k 张成 Rᵐ          ⟺   C(A) = Rᵐ                   │
   │                            ⟺   r = m（行满秩）              │
   │  v₁,…,v_k 是 Rᵐ 的基       ⟺   r = m = k（A 可逆，方阵）    │
   │  相关时的一个具体关系       ⟺   N(A) 的一个非零向量（特殊解）│
   └────────────────────────────────────────────────────────────┘

   记忆要点：无关看"列"（r 是否等于列数 k）；张成看"行"（r 是否等于行数 m）。

用这个表看几个经典情形：

• $m=3,k=4$（$\mathbb{R}^3$ 中 4 个向量）：$r\le m=3<4=k$，必然 $r<k$，必然相关。这就是示例 2 的”$n+1$ 个 $n$ 维向量必相关”。
• $A$ 是 $2\times4$（示例 6 的矩阵转置视角）：$r\le2<4$，4 列必相关，$\dim N(A)\ge2$——验算该矩阵 $[1\ 2\ 3\ 4;2\ 4\ 6\ 8]$ 的 RREF 为 $\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}$，$r=1$，$\dim N(A)=3$ ✓，三个特殊解 $(-2,1,0,0)^T,(-3,0,1,0)^T,(-4,0,0,1)^T$ 都验算满足 $A\mathbf{s}=\mathbf{0}$ ✓。
• 方阵 $A$ 是 $3\times3$：无关 $\iff r=3\iff$ 张成 $\iff\det A\ne0$：三件事完全等价（示例 1、5）。

计算步骤与手算演示

示例 1（必做：$\mathbb{R}^3$ 的两组基，用行列式判无关）

步骤 1：标准基。 $\mathbf{e}_1=(1,0,0)^T,\mathbf{e}_2=(0,1,0)^T,\mathbf{e}_3=(0,0,1)^T$ 排成列：

它们显然张成 $\mathbb{R}^3$（任何 $(a,b,c)^T=a\mathbf{e}_1+b\mathbf{e}_2+c\mathbf{e}_3$），所以是基 ✓。

步骤 2：另一组候选基。 取

步骤 3：算行列式（Sarrus 或消元）。 用消元法（更稳）：

• $\text{row}_2\leftarrow\text{row}_2-\text{row}_1$：$[0,1,-1]$。
• $\text{row}_3$ 不变：$[0,1,1]$。
• $\text{row}_3\leftarrow\text{row}_3-\text{row}_2$：$[0,0,2]$。

   B 消元后:  [ 1  0  1 ]        主元: 1, 1, 2
              [ 0  1 -1 ]        r = 3 = n  ⇒  三列线性无关
              [ 0  0  2 ]

步骤 4：结论与验证。 $\det B=2\ne0$，故 $B$ 可逆，三列线性无关，所以 $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的一组基——它自动张成 $\mathbb{R}^3$（因为 $\dim\mathbb{R}^3=3$，3 个无关向量恰好”用满”）。RREF 验算：

   RREF(B) = [ 1  0  0 ]
             [ 0  1  0 ]      ⇒ N(B) = {0}, r = 3
             [ 0  0  1 ]

步骤 5：实际用这组基算坐标。 求 $\mathbf{b}=(1,2,3)^T$ 在基 $B$ 下的坐标：解 $c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3=\mathbf{b}$，即 $B\mathbf{c}=\mathbf{b}$。增广消元：

所以 $\mathbf{c}=(0,2,1)^T$。验算：$0\cdot\mathbf{v}_1+2\mathbf{v}_2+1\cdot\mathbf{v}_3=(0,0,0)^T+(0,2,2)^T+(1,0,1)^T=(1,2,3)^T=\mathbf{b}$ ✓。（注意：$\mathbf{b}$ 在这组基下的坐标 $(0,2,1)$ 与它在标准基下的坐标 $(1,2,3)$ 完全不同——“坐标”必须相对于某组基才有意义，这是 Lecture 30 基变换的先声。）

【计算机制解说】 为什么”$n$ 个无关向量自动张成 $\mathbb{R}^n$”？设 $A$ 是 $n\times n$ 且 $r=n$（列无关）。此时 $A$ 有 $n$ 个主元，阶梯形 $U$ 的对角线全非零，$\det A\ne0$，$A$ 可逆，于是对任何 $\mathbf{b}$ 都有 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$。这不仅证明了张成，还顺带说明多余的条件是免费的：在 $\mathbb{R}^n$ 这种”维数已知为 $n$”的空间里，只要无关性达到 $n$ 个向量，张成性自动成立；反过来，只要 $n$ 个向量张成 $\mathbb{R}^n$，无关性也自动成立（否则有效的独立方向不足 $n$ 个，够不着整个空间）。”$\mathbb{R}^n$ 中 $n$ 个向量：无关 $\iff$ 张成 $\iff$ 构成基” 是方阵特有的便利，非方阵没有这种对称性。

示例 2（必做：$\mathbb{R}^3$ 中任意 4 个向量必线性相关）

步骤 1：一般论证。 设 $\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3,\mathbf{w}_4\in\mathbb{R}^3$，排成 $3\times4$ 矩阵 $W$。$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 是 3 个方程、4 个未知数的齐次方程组。由 Lecture 8 的秩理论：$r\le m=3<4=n$，所以必有 $r<n$，于是 $\dim N(W)=n-r\ge1$，零空间含非零向量 $\mathbf{c}\ne\mathbf{0}$，即存在不全为零的系数使 $\sum c_i\mathbf{w}_i=\mathbf{0}$。所以它们相关。这就是一般的”$n+1$ 个 $n$ 维向量必相关”（更一般地：$\mathbb{R}^m$ 中任意 $m+1$ 个向量必相关）。核心是”未知数个数 $>$ 方程个数 $\Rightarrow$ 必有自由变量”。

步骤 2：具体实例验证。 取四个向量

构造 $W=[\mathbf{u}_1\ \mathbf{u}_2\ \mathbf{u}_3\ \mathbf{u}_4]$（$3\times4$）：

步骤 3：RREF 与主元。 这已经接近 RREF，把 $x_4$ 当自由变量消掉前三列的 $1$（用 $\text{row}_1\leftarrow\text{row}_1-\text{row}_4$ 等），得到

   RREF(W) = [ 1  0  0  1 ]
             [ 0  1  0  1 ]      主元列 = 1, 2, 3    r = 3 < n = 4
             [ 0  0  1  1 ]

（这个矩阵的 RREF 就是它自己：主元列是 $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$，第 4 列是 $\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3$。）

步骤 4：读出相关关系。 第 4 列 $=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3$，即 $c_1=c_2=c_3=1,c_4=-1$ 给出零组合：

所以 $\mathbf{u}_4=\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3$——它落在前三个张成的 $\mathbb{R}^3$ 里（这当然是废话，因为前三个已经张成整个 $\mathbb{R}^3$）。更本质的说法：4 个向量挤在 3 维空间里，必然有冗余。

步骤 5：反面情形（3 个向量可以无关）。 取 $\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3$ 本身：$r=3=n$，无关，是基。对比 4 个（相关）与 3 个（无关），正好落在”个数 vs 维数”的分界线上。

【计算机制解说】 为什么”方程比未知数少 $\Rightarrow$ 必有非零解”？把 $W$（$3\times4$）消元，最多只能找到 3 个主元（行数上限），却有 4 列，所以至少有 $4-3=1$ 个自由变量。自由变量可以取 $1$，回代得一个非零解。这是纯粹的数数（counting）：主元数 $r\le\min(m,n)$。所以”$m<n$ 的齐次方程组必有非平凡解”是个不需要算的结论——这正是相关性的根源，也是后面”维数唯一性”证明的核心工具。

示例 3（过原点平面的基与维数）

步骤 1：取平面 $V=\{(x,y,z)^T:x_1+x_2+x_3=0\}$，即 $N([1\ 1\ 1])$。

步骤 2：求基（用 Lecture 7 的特殊解法）。 矩阵 $[1\ 1\ 1]$ 的 RREF 就是它自己，主元在 col 1，自由变量 $x_2,x_3$。

• 令 $x_2=1,x_3=0$：$x_1=-1$，得 $\mathbf{w}_1=(-1,1,0)^T$。
• 令 $x_3=1,x_2=0$：$x_1=-1$，得 $\mathbf{w}_2=(-1,0,1)^T$。

验算：$-1+1+0=0$ ✓，$-1+0+1=0$ ✓，两个向量都在平面上。

步骤 3：验证无关。 把两个向量排成 $3\times2$ 矩阵 $\begin{bmatrix}-1&-1\\1&0\\0&1\end{bmatrix}$，消元后得主元在两列上（$2\times2$ 子式 $\det\begin{bmatrix}-1&-1\\1&0\end{bmatrix}=(-1)(0)-(-1)(1)=1\ne0$），故无关。

步骤 4：验证张成。 平面上任意点 $(x_1,x_2,x_3)$ 满足 $x_1=-x_2-x_3$，于是

所以 $\{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2\}$ 张成 $V$。

步骤 5：结论。 既无关又张成，故是 $V$ 的基，$\dim V=2$。

步骤 6：对照另一组基（说明基不唯一）。 取 $\mathbf{w}_1^{\prime}=(-1,1,0)^T$、$\mathbf{w}_2^{\prime}=(0,-1,1)^T$（后者也在平面上：$0-1+1=0$ ✓）。

验证无关：2×2 子式 $\det\begin{bmatrix}-1&0\\1&-1\end{bmatrix}=(-1)(-1)-0\cdot1=1\ne0$（取前两行），故两向量无关 ✓。

验证张成：设 $a\mathbf{w}_1^{\prime}+b\mathbf{w}_2^{\prime}=(-a,\ a-b,\ b)$。要让它等于平面上任意点 $(x_1,x_2,x_3)$（满足 $x_1+x_2+x_3=0$），取 $a=-x_1,\ b=x_3$，则第二分量 $a-b=-x_1-x_3=x_2$ ✓（正是平面方程）。所以它也张成 $V$，是 $V$ 的一组新基。两组基的向量完全不同，但个数都是 2——维数不变。

【计算机制解说】 为什么”平面的维数是 2”而不是”因为给了 2 个向量所以是 2”？顺序不能颠倒：维数的定义是基中向量个数，而基中个数的不变性是定理。这里的论证逻辑是：① 找到一组含 2 个向量的基（验证无关 + 张成）；② 由维数唯一性定理，任何基都含 2 个向量，所以 $\dim V=2$ 是内在的。换个角度，$V=N([1\ 1\ 1])$，用公式 $\dim N(A)=n-r=3-1=2$ 一步到位（Lecture 7 的成果）。两种算法必须给同一个答案，这是很好的自检。

示例 4（$N(A)$ 的基与维数：接续 Lecture 8 的主例）

步骤 1： 取 $A=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}$（Lecture 8 主例），$m=3,n=4,r=2$，主元列 1、3，自由变量 $x_2,x_4$。

步骤 2：特殊解给出候选基。 Lecture 8 已算出

步骤 3：验证无关。 把两个向量排成 $4\times2$ 矩阵 $S=\begin{bmatrix}-2&2\\1&0\\0&-2\\0&1\end{bmatrix}$。看第 2、4 行构成的 $2\times2$ 子式：$\det\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=1\ne0$，故 $S$ 的秩为 2（两列无关）。更直接地：若 $c_1\mathbf{s}_1+c_2\mathbf{s}_2=\mathbf{0}$，看第 2 分量得 $c_1=0$，看第 4 分量得 $c_2=0$。“自由变量位置上的 0/1 结构让无关性一眼可见”——这正是”特殊解法”设计的巧妙之处。

步骤 4：验证张成（为什么它们张成整个 N(A)）。 N(A) 中任取 $\mathbf{x}$，其分量记为 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$。由 RREF 的方程 $x_1=-2x_2+2x_4$、$x_3=-2x_4$，得

所以 $\{\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2\}$ 张成 N(A)。

步骤 5：结论。 既无关又张成 ⇒ 是 N(A) 的基，$\dim N(A)=2=n-r=4-2$ ✓ 与 Lecture 7 的公式一致。

【计算机制解说】 为什么”每个自由变量取 1、其余取 0”得到的向量一定线性无关？因为这些向量在自由变量坐标上的取值拼起来恰好是单位矩阵！

   自由变量坐标 (x₂, x₄) 视角：
      s₁ 的自由变量部分 = (1, 0)   ← e₁
      s₂ 的自由变量部分 = (0, 1)   ← e₂
   若组合 c₁s₁ + c₂s₂ = 0，只看"自由变量那几行"就得到
      c₁(1,0) + c₂(0,1) = (c₁, c₂) = (0, 0)  ⇒  c₁ = c₂ = 0。
   单位矩阵的列当然无关 —— 这就是特殊解自动无关的原因。

同时这也说明为什么恰好有 $n-r$ 个特殊解：自由变量的个数就是 $n-r$，每个自由变量贡献一个”单位方向”。而它们张成 N(A) 的原因在步骤 4 中已经直接验证：RREF 把主元变量完全用自由变量表达，任意 $\mathbf{x}\in N(A)$ 都能解出系数。“无关性来自单位矩阵，张成性来自 RREF 的解出主元变量”，这个”两半证明”是求零空间基的标准范式。

示例 5（基不唯一、维数唯一：$\mathbb{R}^3$ 中任意 3 个无关向量都是基）

步骤 1：论证。 设 $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\in\mathbb{R}^3$ 线性无关，排成 $3\times3$ 矩阵 $A$。无关 $\iff r=3=n\iff\det A\ne0\iff A$ 可逆 $\iff$ 对任意 $\mathbf{b}$，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有唯一解 $\iff$ 三列张成 $\mathbb{R}^3$。所以它是基。注意这里完全没有用到具体数值——这是”$\mathbb{R}^n$ 中 $n$ 个无关向量自动是基”的普遍结论。

步骤 2：三个具体例子。

• $B_1=\{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$：$\det=1\ne0$ ✓ 基。
• $B_2=\{(1,1,0)^T,(0,1,1)^T,(1,0,1)^T\}$：$\det=2\ne0$ ✓ 基（示例 1 已算）。

• $B_3=\{(1,1,0)^T,(2,0,1)^T,(3,1,1)^T\}$：不是基。直接看出 $\mathbf{a}_3=\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2$，因为 $(1,1,0)+(2,0,1)=(3,1,1)$ ✓。这给出非平凡的零组合 $\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2-\mathbf{a}_3=\mathbf{0}$，所以三向量相关。

  用行列式复核（以它们为列）：$\det\begin{bmatrix}1&2&3\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}=1(0\cdot1-1\cdot1)-2(1\cdot1-1\cdot0)+3(1\cdot1-0\cdot0)=-1-2+3=0$ ✓ 与”相关”一致。

  用消元复核（更不易出错）：$\text{row}_2\leftarrow\text{row}_2-\text{row}_1=[0,-2,-2]$（注意第三分量是 $1-3=-2$，不要写成 $1$）；$\text{row}_3$ 不动 $[0,1,1]$；再 $\text{row}_3\leftarrow\text{row}_3+\tfrac12\text{row}_2=[0,1,1]+[0,-1,-1]=[0,0,0]$。故只有 2 个主元，$r=2<3$，相关 ✓。

   RREF([a₁ a₂ a₃]) = [ 1  0  1 ]      r = 2 < n = 3  ⇒  相关
                      [ 0  1  1 ]      第 3 列 = 第 1 列 + 第 2 列
                      [ 0  0  0 ]      ⇒  a₃ = a₁ + a₂

对比三个例子：$B_1$（$\det=1$）是基；$B_2$（$\det=2$）是基；$B_3$（$\det=0$）不是基。这正好说明”$\mathbb{R}^3$ 中 3 个向量”本身不保证是基——还必须线性无关。 个数对了不等于结构对了。

步骤 3：基不唯一但维数唯一。 $B_1$ 与 $B_2$ 是完全不同的两组向量，但都是 $\mathbb{R}^3$ 的基，都含 3 个向量。$\mathbb{R}^3$ 中不存在含 2 个向量的基（2 个向量最多张成平面），也不存在含 3 个无关向量的基之外的”4 个向量基”（4 个必相关，见示例 2）。所以 $\dim\mathbb{R}^3=3$，与基的选取无关。

   基不唯一，维数唯一：R^3 的三组候选向量

     B₁ = {e₁,e₂,e₃}          B₂ = {(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}    B₃ = {(1,1,0),(2,0,1),(3,1,1)}
        det = 1                   det = 2                            det = 0
        ✓ 基 (3 个)               ✓ 基 (3 个)                        ✗ 相关，不是基
                                                                     └─ a₃ = a₁ + a₂

   无论换哪一组"好基"，个数恒为 3  ⟹  dim R^3 = 3
   ├─ 少于 3 个无关向量 → 张不满 R^3
   └─ 多于 3 个向量     → 必相关（示例 2），必有冗余

【计算机制解说】 为什么”基不唯一”与”维数唯一”不矛盾？”基”是具体的一组向量（依赖于选取），”维数”是一个数（是子空间的内在属性）。类比：同一个房间可以用不同的坐标系描述（原点放哪儿、轴怎么指都可以），但房间的维度（几个独立方向）是房间的性质，不是坐标系的性质。数学上，维数唯一性来自上面的”数数论证”：两组基若能互相表示，则个数的多寡必然相等，否则一组能表示另一组就会产生非平凡的线性关系（矛盾）。这个论证的美妙之处在于它完全不涉及具体数值，只用到 $r\le\min(m,n)$。

示例 6（同一套逻辑搬到 $\mathbb{R}^4$：维数变了，判据不变）

前五个示例都在 $\mathbb{R}^3$。本课程真正要培养的是”换维数不换思想“的能力。取 $\mathbb{R}^4$ 中的四个向量

步骤 1：排成 $4\times4$ 矩阵并算行列式。

沿第一行展开（或用消元）：直观算法是”把前 $0$ 行的 $\mathbf{e}$ 部分与最后一列的 $1$ 组合”。用消元更快：$\text{row}_4\leftarrow\text{row}_4-\text{row}_1-\text{row}_2-\text{row}_3$ 得 $[1,1,1,0]-[1,0,0,1]-[0,1,0,1]-[0,0,1,1]=[0,0,0,-3]$。于是矩阵变成上三角，主元为 $1,1,1,-3$：

   B 消元后:  [ 1  0  0  1 ]
              [ 0  1  0  1 ]        主元 = 1, 1, 1, -3
              [ 0  0  1  1 ]        r = 4 = n  ⇒  四列线性无关
              [ 0  0  0 -3 ]

步骤 2：结论。 $\det B=-3\ne0$ ⇒ $B$ 可逆 ⇒ 四列线性无关 ⇒ 由”$\mathbb{R}^4$ 中 4 个无关向量自动是基”（示例 5 的 $\mathbb{R}^n$ 版本），$\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3,\mathbf{b}_4\}$ 是 $\mathbb{R}^4$ 的一组基。所以 $\dim\mathbb{R}^4=4$。

步骤 3：实际求坐标（这是”基”最有用的地方）。 求 $\mathbf{v}=(1,2,3,4)^T$ 在这组基下的坐标：解 $B\mathbf{c}=\mathbf{v}$。增广消元后得

验算：

第 4 分量 $=\tfrac13+\tfrac43+\tfrac73=\tfrac{12}{3}=4$ ✓，前三个分量分别 $=1,2,3$ ✓，所以 $\mathbf{v}=(1,2,3,4)^T$ ✓ 完全吻合。

步骤 4：对照 $\mathbb{R}^4$ 中的相关情形。 若取 5 个 $\mathbb{R}^4$ 中的向量，则排成 $4\times5$ 矩阵，$r\le4<5$，必然相关（与示例 2 的 $\mathbb{R}^3$/4 个向量完全同构）。维数从 3 涨到 4，判据一个字没变：只要向量个数超过空间维数，必相关。

【计算机制解说】 这个示例刻意展示”结构性事实与维数无关“。三个不变量在所有维度都成立：① 无关 $\iff r=n$（列数）；② 张成 $\iff r=m$（行数）；③ $\mathbb{R}^m$ 中超过 $m$ 个向量必相关。$\mathbb{R}^3$ 与 $\mathbb{R}^4$ 的唯一区别只是数字 $m$ 不同。之所以要强调这一点，是因为本课程后半段会处理 $\mathbb{R}^n$（$n$ 任意大）、函数空间、矩阵空间（Lecture 11 中 $\mathbb{R}^{3\times3}$ 的维数是 9）。如果只会数 $\mathbb{R}^3$，那些内容就无从下手。 学习 $\mathbb{R}^4$ 示例的意义不在于”多算一个例子”，而在于确认这套语言是可移植的。

步骤 5：顺带确认 $N(B)=\{\mathbf{0}\}$。 既然 $B$ 可逆，$B\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 只有 $\mathbf{c}=\mathbf{0}$，所以四列无关的另一重表述就是零空间平凡。RREF 为单位矩阵 $\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$ ✓（无自由变量，$\dim N(B)=4-4=0$）。

矩阵分解的核心思想

本讲涉及的核心”分解”是 $A=CR$ 与 秩的列/行双重读法——它们把”主元列是 $C(A)$ 的基”这一定理写成了矩阵等式。

（1）$A=CR$（基的显式打包）。 在 Lecture 8 主例中，$A$ 的主元列是 col₁、col₃。把主元列取出作 $C$，$R$ 的非零行取出（它们是 $R$ 的前两行）——$R$ 的非主元列正是”用主元列表示该列”的系数：

（逐项验算：$CR$ 的 col₂ $=2\cdot C$ 的 col₁ $+0\cdot C$ 的 col₂ $=(2,4,6)^T$ ✓；col₄ $=-2\cdot(1,2,3)^T+2\cdot(2,6,8)^T=(2,8,10)^T$ ✓。）

这个分解的含义：$C$ 的 $r$ 列是 $C(A)$ 的基（示例 4 已证无关 + 示例 4 的列关系论证张成），$R$ 的 $r$ 行是 $C(A^T)$ 的基。所以 $A=CR$ 把 $A$ 拆成”列空间的基 $\times$ 行空间的基的系数”，把 rank 的含义直接写进乘积：$A$ 的”信息量”刚好是 $r$ 个方向的乘积。这也说明每个矩阵都是”瘦”矩阵与”矮”矩阵之积，中间维数恰为 $r$。

（2）$A=LU$ 中的”基”视角。 Lecture 2–4 的前向消元给出 $A=LU$。从本讲看，消元的每一步都在做列的替换（用当前列的倍数去消下方的项），主元位置标出了”哪些列是独立的”。$U$ 的主元列数目就是 $r$，$U$ 中非主元列与主元列的关系与 $A$ 中完全一致（行变换保持列关系）——这正是示例 4 与上面 $A=CR$ 的依据。

（3）$A=QR$（前瞻 Lecture 17）。 正交化的意义在于得到一组”又无关又正交”的基：Gram–Schmidt 从任意无关组出发（前提就是线性无关！）造出正交基，于是 $A=QR$ 中的 $Q$ 的列是 $C(A)$ 的标准正交基。本讲的无关性/基概念是 QR 分解的入场券：没有无关性就谈不上”用 Gram–Schmidt 造基”。

（4）与其他分解的共同模式。 本课程的每一类分解都在回答同一个问题：“这个对象的维数是多少？它的基是什么？” $A=CR$ 给出列空间/行空间的基；$A=QR$ 给出标准正交基；$A=S\Lambda S^{-1}$（Lecture 21）用特征向量作基（要求 $A$ 有 $n$ 个无关特征向量！）；$A=U\Sigma V^T$（Lecture 29）用两组标准正交基把 $A$ 拆成若干个秩 1 片之和，而奇异值非零的个数正是 $r$。“无关 $\Rightarrow$ 基 $\Rightarrow$ 维数”这条链条贯穿整个课程。

与其他讲次的关联

• 回看 Lecture 6–8（子空间与 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$）：$C(A)=\operatorname{span}\{\text{列}\}$ 是张成的第一个例子；Lecture 8 的”秩分类表”完全靠 $r$ 说话，而本讲给出 $r$ 的几何定义（$C(A)$ 的维数）。
• 回看 Lecture 7（零空间的特殊解）：本讲示例 4 证明了特殊解构成 N(A) 的基，从而 N(A) 的维数就是自由变量个数 $n-r$。这是 Lecture 7 算法为什么正确的补课。
• 前瞻 Lecture 10（四个基本子空间）：本讲的四条结论在那里汇成维数定理：$\dim C(A)=r$，$\dim C(A^T)=r$，$\dim N(A)=n-r$，$\dim N(A^T)=m-r$。其中前两条都依赖”主元列是 $C(A)$ 的基”和”主元行是 $C(A^T)$ 的基”。
• 前瞻 Lecture 11（矩阵空间、图与 $A=CR$）：本讲的 $A=CR$ 被推广为”小矩阵乘小矩阵给出大矩阵”的核心思想；图论中的关联矩阵的秩 $=n-1$ 也用”无关性 + 张成”来证。
• 前瞻 Lecture 21（特征值与特征向量）：对角化 $A=S\Lambda S^{-1}$ 的前提是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量——正是本讲的定义。若特征向量不足（重根不足），矩阵就不可对角化（引入 Jordan 形，Lecture 28）。
• 前瞻 Lecture 30（线性变换与基变换）：本讲示例 1 的步骤 5 已经展示了”同一向量在不同基下坐标不同”；Lecture 30 把它系统化为相似矩阵 $B=M^{-1}AM$ 与基变换公式。

关键要点

1. 线性无关的定义与四个等价刻画：$\sum c_i\mathbf{v}_i=\mathbf{0}$ 只有零解 $\iff N(A)=\{\mathbf{0}\}$（$A$ 以这些向量为列）$\iff r=n$（列满秩）$\iff$ 没有一个向量是其余向量的线性组合。方阵时再加一条 $\det A\ne0$。
2. 张成与基：$\operatorname{span}$ 是全部线性组合，永远过原点、永远是子空间。基 = 线性无关 + 张成；等价的实用判据：$\mathbb{R}^n$ 中 $n$ 个向量，无关 $\iff$ 张成 $\iff$ 是基。
3. 基中向量个数唯一，这个数叫维数：$\dim V$ 与基的选取无关。$\dim\mathbb{R}^n=n$；$\dim\{\mathbf{0}\}=0$；过原点平面的维数是 2；直线的维数是 1。
4. $\mathbb{R}^m$ 中任意 $m+1$ 个向量必线性相关（一般地：任何多于 $m$ 个的 $\mathbb{R}^m$ 向量组必相关）。理由：未知数多于方程 $\Rightarrow$ 必有自由变量 $\Rightarrow$ 零空间非平凡。
5. 秩的完整含义：$r=$ 主元个数 $=$ 无关列的最大数目 $=C(A)$ 的维数 $=$ 独立行的个数 $=C(A^T)$ 的维数。$n-r$ 是 N(A) 的维数（自由变量个数），$m-r$ 是 N(Aᵀ) 的维数。

常见误区与注意事项

1. 把”线性无关”与”两两不成比例”混为一谈。 两两不成比例是必要条件，但远不充分。反例（示例 5 的 $B_3$）：$\mathbf{a}_1=(1,1,0)$、$\mathbf{a}_2=(2,0,1)$、$\mathbf{a}_3=(3,1,1)$，任意两个都不成比例，但 $\mathbf{a}_3=\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2$，三个整体相关（$\det=0$）。判断三向量组必须整体看（行列式或 RREF），不能只比较两两。
2. “$k$ 个向量张成 $V$”就误认为它们是基。 还差无关性。例如 $\mathbb{R}^3$ 中 $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1)\}$ 张成 $\mathbb{R}^3$ 但不是基（4 个、相关）。基要求恰好 $=\dim V$ 个。
3. 把 $\mathbf{0}$ 放进基，或认为含 $\mathbf{0}$ 的组可以是基。 任何含 $\mathbf{0}$ 的向量组必然相关（取 $\mathbf{0}$ 的系数为 1、其余为 0 即得零组合），所以绝不可能成为基。同理”重复的向量”也必然相关。
4. 忘记”无关性依赖所在的域/空间维数”。 同一组向量在不同空间里的无关性判断不同（严格说，向量的所属空间决定了 $m$）。关键在于个数与维数的比较：在 $\mathbb{R}^3$ 中 4 个向量必相关，但在 $\mathbb{R}^4$ 中这 4 个可能无关。做题时先写清维数。
5. 两个”不变量”混淆：① 把维数公式记成 $\dim N(A)=m-r$——永远是 $n-r$（$n$ = 列数 = 未知数个数），$\dim N(A^T)=m-r$。本讲示例 4 中 $m=3,n=4,r=2$：$\dim N(A)=2$、$\dim N(A^T)=1$。这个错误在 FORMAT 规范里被点名，务必警惕。② 把”基不唯一”误推为”维数不唯一”——基是选取，维数是内在属性。$\mathbb{R}^3$ 有无穷多组基（示例 5 的 $B_1,B_2$ 只是两个），但 $\dim$ 恒为 3。换基不换维数。

思考题（带答案）

Q1. 判断下列向量组在 $\mathbb{R}^3$ 中是否线性无关；若相关，写出一个具体的线性关系。

(a) $\mathbf{v}_1=(1,2,3)^T,\ \mathbf{v}_2=(2,4,6)^T,\ \mathbf{v}_3=(1,0,1)^T$。 (b) $\mathbf{w}_1=(1,1,0)^T,\ \mathbf{w}_2=(2,0,1)^T,\ \mathbf{w}_3=(3,1,1)^T$。 (c) $\mathbf{u}_1=(1,2,3)^T,\ \mathbf{u}_2=(1,0,1)^T,\ \mathbf{u}_3=(0,1,1)^T$。

Q2. （纯计算）设 $V=\operatorname{span}\{(1,0,1)^T,(0,1,1)^T,(1,2,3)^T\}\subseteq\mathbb{R}^3$。求 $V$ 的一组基与 $\dim V$，并给出 $V$ 的方程（即把 $V$ 写成某个矩阵的零空间）。

Q3. （概念）判断对错并说明理由：

(a) 若 $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的基，则 $\{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\ \mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3,\ \mathbf{v}_3+\mathbf{v}_1\}$ 也是 $\mathbb{R}^3$ 的基。 (b) $\mathbb{R}^3$ 中任意 3 个线性无关的向量都是 $\mathbb{R}^3$ 的基。 (c) 若 $\dim V=3$ 且 $\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3\in V$ 张成 $V$，则它们线性无关。 (d) $N(A)$ 的维数等于 $A$ 中自由变量的个数；若 $A$ 是 $4\times6$ 且 $r=3$，则 $\dim N(A)=3$。