Lecture 7: Solving Ax = 0: Pivot Variables, Special Solutions

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Lecture 7: Solving Ax = 0: Pivot Variables, Special Solutions

概述

上一讲把 $\mathrm{N}(A)$ 定义为”被 $A$ 压到原点的输入方向集合”，但只对 2×2、3×3 的小例子手工解方程。本讲给出通用算法：消元到行阶梯形 $U$（进一步到简化行阶梯形 $R$）$\to$ 认出主元列（pivot columns）与自由列（free columns） $\to$ 给每个自由变量轮流取 1、其余自由变量取 0，回代求出对应的特殊解（special solutions） $\to$ 全部特殊解的线性组合就是 $\mathrm{N}(A)$。核心结论是三个数字的等式：$\dim\mathrm{N}(A)=n-r=\#\{\text{自由变量}\}=\#\{\text{特殊解}\}$。理解本讲的关键在于回答”为什么自由变量轮流取 1、其余取 0 就够用了“——这不是技巧，而是”自由变量可以任意取值，主元变量被它们唯一决定”这一参数化事实的直接翻译。本讲是 Lecture 8（$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一般解 = 特解 + 零空间）的全部技术准备，也是讲次 10 四个基本子空间与讲次 14 正交性的伏笔。

核心概念的几何直觉

主元列与自由列（pivot columns / free columns）

• 定义与目的：对 $A$ 做高斯消元（允许行交换）得到行阶梯形 $U$：每行的第一个非零元叫主元（pivot），主元所在的列叫主元列；没有主元的列叫自由列。主元的个数 $r$ 就是 $A$ 的秩。目的：把”哪些变量被唯一决定、哪些变量可以自由取值”变成一眼可读的信息。
• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：主元列是那些带来新方向的列；自由列是那些没有带来新方向的列——自由列一定是它左边某些列的线性组合（在消元后的 $R$ 里可以直接读出这些系数）。因此每一个自由列都对应一个”多出来的方向”：既然这一列可以由别的列凑出来，就存在一个非平凡组合使它们加起来为 $\mathbf{0}$，那个组合向量就落在零空间里。自由列的个数 = 冗余方向的个数 = 零空间的维数。

• 具体示例：本讲主角

  \[A=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}\]

  消元后主元在第 1、3 列，自由列是第 2、4 列。原因很直观：第 2 列 $=2\times$第 1 列，它没带来新方向；第 4 列 $=-2\times$第 1 列 $+2\times$第 3 列，也没带来新方向。所以 4 列里只有 2 列是真正独立的，$r=2$。

特殊解（special solutions）

• 定义与目的：设自由变量为 $x_{f_1},\dots,x_{f_{n-r}}$。第 $k$ 个特殊解 $\mathbf{s}_k$ 定义为：令 $x_{f_k}=1$，其余自由变量 $=0$，然后回代求出所有主元变量的值。目的是：用 $n-r$ 个”标准输入”把零空间完整地参数化出来。
• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：特殊解是零空间里的 $n-r$ 个”骨架方向”。它们互相线性无关（因为在自由坐标上它们是标准的单位向量 $\mathbf{e}1,\dots,\mathbf{e}{n-r}$，任何组合 $\sum c_k\mathbf{s}k$ 的自由坐标就是 $(c_1,\dots,c{n-r})$，若组合为零则所有 $c_k=0$），并且零空间里每一个向量都是它们的组合。于是 $\{\mathbf{s}1,\dots,\mathbf{s}{n-r}\}$ 是 $\mathrm{N}(A)$ 的一组基，$\mathrm{N}(A)$ 是一个 $n-r$ 维的”参数平面”。
• 具体示例：本讲主角的两个特殊解是 $\mathbf{s}_1=\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}$ 与 $\mathbf{s}_2=\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}$，两者都满足 $A\mathbf{s}_k=\mathbf{0}$（下面会逐个验算）。它们张成 $\mathbb{R}^4$ 中一张过原点的 2 维平面——$\mathrm{N}(A)$ 就是这张平面。

为什么”每个自由变量取 1、其余取 0”能生成全部解？（本讲的灵魂）

• 定义与目的：把”特殊解是基”这个论断讲透，从”技巧”升级为”定理”。

• 几何直觉 + 机制：把 RREF $R$ 写成分块形式。设有 $r$ 个主元列、$n-r$ 个自由列，重新排列变量后（只是重排坐标，不改变零空间的维数与结构）

  \[R=\begin{bmatrix}I_r&F\end{bmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{bmatrix}\mathbf{x}_{\text{pivot}}\\ \mathbf{x}_{\text{free}}\end{bmatrix},\]

  其中 $I_r$ 是 $r\times r$ 单位阵，$F$ 是 $r\times(n-r)$ 的矩阵。$R\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 即 $\mathbf{x}{\text{pivot}}+F\mathbf{x}{\text{free}}=\mathbf{0}$，也就是

  \[\boxed{\ \mathbf{x}_{\text{pivot}}=-F\,\mathbf{x}_{\text{free}}\ }\]

  这就是全部秘密：一旦自由变量 $\mathbf{x}{\text{free}}$ 选定，主元变量 $\mathbf{x}{\text{pivot}}$ 就被唯一地决定（因为 $I_r$ 可逆）。反过来，$\mathbf{x}_{\text{free}}$ 可以取 $\mathbb{R}^{n-r}$ 中任何值，完全自由。于是映射

  \[\mathbf{x}_{\text{free}}\ \longmapsto\ \mathbf{x}=\begin{bmatrix}-F\mathbf{x}_{\text{free}}\\ \mathbf{x}_{\text{free}}\end{bmatrix}\]

  是 $\mathbb{R}^{n-r}\to\mathrm{N}(A)$ 的一个一一对应（线性同构）。因此 $\dim\mathrm{N}(A)=n-r$。而取 $\mathbf{x}{\text{free}}$ 为 $\mathbb{R}^{n-r}$ 的标准基 $\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}{n-r}$，得到的正是 $n-r$ 个特殊解：

  \[\mathbf{s}_k=\begin{bmatrix}-F\mathbf{e}_k\\ \mathbf{e}_k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-(F\ \text{的第}\ k\ \text{列})\\ \mathbf{e}_k\end{bmatrix}.\]

  这些 $\mathbf{s}k$ 是 $\mathbb{R}^{n-r}$ 的标准基在逆映射下的像，所以线性无关；又因为任何 $\mathbf{x}{\text{free}}$ 都能写成 $\sum c_k\mathbf{e}_k$，任何零空间向量都能写成 $\sum c_k\mathbf{s}_k$。“基”的两条要求（无关 + 张成）同时到位。

• 更直白的说法：零空间里的向量长这样——

  \[\mathbf{x}=x_{f_1}\mathbf{s}_1+x_{f_2}\mathbf{s}_2+\cdots+x_{f_{n-r}}\mathbf{s}_{n-r},\]

  也就是说，自由变量的取值本身就是组合系数。这就是”$n-r$ 个自由参数”这句话的确切含义：零空间是一个由 $n-r$ 个参数自由滑动生成的 $n-r$ 维平面。

• 具体示例：本讲主角的 RREF 是 $R=\begin{bmatrix}1&2&0&-2\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}$。重排后 $\mathbf{x}{\text{pivot}}=\begin{bmatrix}x_1\\x_3\end{bmatrix}$、$\mathbf{x}{\text{free}}=\begin{bmatrix}x_2\\x_4\end{bmatrix}$，而 $F$ 就是从 $R$ 里抠出自由列得到的 $\begin{bmatrix}2&-2\\0&2\end{bmatrix}$。于是

  \[\begin{bmatrix}x_1\\x_3\end{bmatrix}=-F\begin{bmatrix}x_2\\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2x_2+2x_4\\-2x_4\end{bmatrix}.\]

  取 $\mathbf{x}{\text{free}}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ 得 $\mathbf{s}_1=\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}$；取 $\mathbf{x}{\text{free}}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ 得 $\mathbf{s}_2=\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}$。与手工回代的结果完全一致。

消元把零空间照原样保留（为什么可以先消元再回代）

• 定义与目的：说明算法第一步（消元）为何合法。

• 几何直觉：消元是可逆的行变换，等价于左乘可逆矩阵：$E_k\cdots E_1A=U$，即 $U=L^{-1}A$。而

  \[A\mathbf{x}=\mathbf{0}\iff L^{-1}A\mathbf{x}=\mathbf{0}\iff U\mathbf{x}=\mathbf{0},\]

  因为 $L^{-1}$ 可逆（$\mathbf{y}=\mathbf{0}\iff L^{-1}\mathbf{y}=\mathbf{0}$）。所以 $\mathrm{N}(A)=\mathrm{N}(U)=\mathrm{N}(R)$。消元会改变列空间，但不会碰零空间——这是我们能”先消元、再在 $R$ 上读零空间”的全部理由。

• 具体示例：下面演示 1 会算出 $L=\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&1&1\end{bmatrix}$，并验证 $LU=A$。注意 $L$ 的对角线全为 1，所以 $\det L=1\neq 0$，可逆。

RREF 上主元列与自由列的标记（ASCII 图）

                         col1  col2  col3  col4
                       [   1     2     0    -2 ]  <- 主元行 1：x1 是主元变量
   R = rref(A)    =    [   0     0     1     2 ]  <- 主元行 2：x3 是主元变量
                       [   0     0     0     0 ]  <- 零行（没有主元）
                          ^           ^
                       主元列       主元列          r = 2 个主元
                                 ^           ^
                              自由列       自由列     n - r = 2 个自由变量

   R 的每一行可以"读成一个方程"：
     row1:  x1 + 2*x2 + 0*x3 - 2*x4 = 0   ->   x1 = -2*x2 + 2*x4
     row2:  0*x1 + 0*x2 + x3 + 2*x4 = 0   ->   x3 = -2*x4
     row3:  0 = 0                          ->  什么也没说（冗余行）

   把 x2, x4 当"旋钮"：
     (x2, x4) = (1, 0)  ->  x = (-2, 1, 0, 0)    = s1
     (x2, x4) = (0, 1)  ->  x = ( 2, 0, -2, 1)   = s2
     (x2, x4) = (c1,c2) ->  x = c1*s1 + c2*s2    这就是 N(A) 的全部

“多出来的方向”直观图（无需消元的版本）

A 的 4 个列向量（都在 R^3 里，因为 A 是 3x4）：

   col1 = [1,2,3]         <- 独立方向 #1
   col2 = [2,4,6] = 2*col1        <- 没有新方向！ "多出来的" 第 1 个方向
   col3 = [2,6,8]         <- 独立方向 #2
   col4 = [2,8,10] = -2*col1 + 2*col3   <- 没有新方向！ "多出来的" 第 2 个方向

   => 真正的独立方向只有 r = 2 个，冗余方向 4 - 2 = 2 个
   => 每一个冗余方向都能"造"出一个非平凡组合，使列的和为 0：
        col2 - 2*col1 = 0
           给出的零空间向量： x1 = -2, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0     ->  s1
        2*col1 - 2*col3 + col4 = 0
           给出的零空间向量： x1 = 2, x2 = 0, x3 = -2, x4 = 1     ->  s2

   结论：自由列的个数 = 冗余方向的个数 = dim N(A) = n - r

零空间是”物理的运动方向”：3×4 例子的空间图景

        输入空间 R^4（变量 x1,x2,x3,x4 的空间）
        ┌─────────────────────────────────────────┐
        │   N(A)：过原点的 2 维平面                  │
        │      = { c1*s1 + c2*s2 }                 │
        │      每个点都满足 A x = 0（被压到 0）      │
        │                                          │
        │   A 的作用：                              │
        │      R^4  ────A────>  R^3                │
        │       (4 维)          (3 维输出)          │
        │       压掉 2 维        只活下来 2 维       │
        │       0 + 2 + 2 = 4 = n                  │
        └─────────────────────────────────────────┘
   dim(row space) + dim(N(A)) = r + (n-r) = n = 4

计算步骤与手算演示

示例 1（Strang 的经典例子，全程手算）：$A=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}$ 的完整零空间

步骤 1（第一列消元，主元 $a_{11}=1$）：消掉第 1 列在 2、3 行的下方元素。

• 乘数 $\ell_{21}=2/1=2$，$R_2\leftarrow R_2-2R_1$：

• 乘数 $\ell_{31}=3/1=3$，$R_3\leftarrow R_3-3R_1$：

消元一步后：

[ 1  2  2  2 ]
[ 0  0  2  4 ]
[ 0  0  2  4 ]

步骤 2（第 2 列没有主元，跳到第 3 列）：第 2 列在第 2、3 行的元素都是 $0$，在（第 2 行，第 2 列）这个位置上找不到非零主元，所以第 2 列是自由列，消元继续向右看第 3 列。位置 $(2,3)$ 上的 $2$ 成为第二个主元。

• 乘数 $\ell_{32}=2/2=1$，$R_3\leftarrow R_3-1R_2$：

得到行阶梯形 U：

步骤 3（同时记录 L，验证 $A=LU$）：消元的乘数按位置放入下三角：

（逐项核对：$(LU){24}=2\cdot 2+0+0=4$ ✓；$(LU){34}=3\cdot 2+1\cdot 4+0=10$ ✓；$(LU)_{33}=3\cdot 2+1\cdot 2+0=8$ ✓。）

步骤 4（读出秩与自由列）：$U$ 有 2 个非零行 ⟹ 主元个数 $r=2$；主元位于第 1 列与第 3 列 ⟹ 主元列 = {1, 3}；自由列 = {2, 4}，自由变量是 $x_2,x_4$。预测 $\dim\mathrm{N}(A)=n-r=4-2=2$。

步骤 5（继续化简到 RREF $R$，让回代更方便）：把主元归一化为 1，再把主元上方的元素也消掉。

• 第 2 行除以主元 2：$(0,0,2,4)\to(0,0,1,2)$。
• 消掉第 3 列在第 1 行的元素 $2$：$R_1\leftarrow R_1-2R_2$：

步骤 6（把 $R$ 读成方程）：

步骤 7（自由变量轮流取 1，得特殊解）：

• 令 $x_2=1,\ x_4=0$：$x_1=-2(1)+2(0)=-2$，$x_3=-2(0)=0$，得

• 令 $x_2=0,\ x_4=1$：$x_1=-2(0)+2(1)=2$，$x_3=-2(1)=-2$，得

步骤 8（代回原矩阵验算——这一步绝不能省）：

步骤 9（一般解与抽查）：

抽两个非平凡组合核对：$c_1=3,c_2=-5$ 得 $\mathbf{x}=3\mathbf{s}_1-5\mathbf{s}_2=\begin{bmatrix}-6-10\\3\\0+10\\-5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-16\\3\\10\\-5\end{bmatrix}$，且 $A\mathbf{x}=3A\mathbf{s}_1-5A\mathbf{s}_2=\mathbf{0}$ ✓（用线性性免算）。另一个 $\mathbf{x}=\mathbf{s}_1+\mathbf{s}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\-2\\1\end{bmatrix}$，直接代入也得 $\mathbf{0}$ ✓。

【计算机制解说】（本讲第一个解说）：为什么”自由变量每个取 1、其余取 0”就足够生成整个零空间？三重理由，从最具体到最抽象：

1. 自由度计数：$R$ 有 $r$ 个非零行，$n$ 个未知数，$n-r$ 个自由变量。$R$ 的 $r$ 个方程是互相独立的（每行有一个各不相同的、系数为 1 的主元），所以给定自由变量后，$r$ 个主元变量被 $r$ 个独立方程唯一确定——不是”随便选一组解”，而是”自由变量一动，主元变量跟着唯一地动”。
2. 一一对应：$(x_2,x_4)\mapsto\mathbf{x}$ 是 $\mathbb{R}^2\to\mathrm{N}(A)$ 的线性同构（可逆映射，逆映射就是”取第 2、4 个坐标”）。所以 $\mathrm{N}(A)$ 与 $\mathbb{R}^2$ 长得一模一样，$\dim\mathrm{N}(A)=2$。既然参数空间的标准基是 $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2$，它们的像 $\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2$ 自然是 $\mathrm{N}(A)$ 的基。
3. 组合系数就是自由变量：任何一个零空间向量 $\mathbf{x}$，它的自由坐标是 $(x_2,x_4)$，而向量 $x_2\mathbf{s}_1+x_4\mathbf{s}_2$ 的自由坐标也是 $(x_2,x_4)$，两者自由坐标相同；又两者都满足 $R\mathbf{x}=\mathbf{0}$，而主元变量由自由变量唯一决定，所以两者必然相等：$\mathbf{x}=x_2\mathbf{s}_1+x_4\mathbf{s}_2$。这就是”特殊解张成零空间”的完整证明，不需要任何额外的”技巧”。

顺带解释 $\mathbf{s}_k$ 的构造为什么长成”$-F$ 的列 + 单位向量”：在 RREF 里主元变量的系数构成单位阵，所以回代就是把自由列的系数取负号搬到主元位置。于是 $\mathbf{s}_1$ 的主元分量恰好是 $-(\text{$R$ 第 2 列的上面两项})=\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}$，$\mathbf{s}_2$ 的主元分量是 $-(\text{$R$ 第 4 列的上面两项})=\begin{bmatrix}2\\-2\end{bmatrix}$——从 RREF 可以直接抄出特殊解，不必解方程。（核对 $R$ 的第 2 列是 $\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}$，取负得 $\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}$ = $\mathbf{s}_1$ 的主元分量 ✓；$R$ 的第 4 列是 $\begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix}$，取负得 $\begin{bmatrix}2\\-2\end{bmatrix}$ = $\mathbf{s}_2$ 的主元分量 ✓。）

示例 2：$A=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$——2×2 秩 1 的最小完整流程

步骤 1（消元到 $U$）：乘数 $\ell_{21}=2/1=2$，$R_2\leftarrow R_2-2R_1$：$(2,4)-2(1,2)=(0,0)$。得

步骤 2（到 RREF）：主元已经是 1，下方已消净，所以 $R=U=\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}$。

步骤 3（认列）：主元列 = {1}，自由列 = {2}，$r=1$，$n-r=2-1=1$ 个自由变量 $x_2$。

步骤 4（读方程与回代）：$x_1+2x_2=0\Rightarrow x_1=-2x_2$。令 $x_2=1$：

步骤 5（验算）：$A\mathbf{s}=\begin{bmatrix}1(-2)+2(1)\\2(-2)+4(1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ ✓；$R\mathbf{s}=\begin{bmatrix}1(-2)+2(1)\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ ✓。

步骤 6（几何结论）：$\mathrm{N}(A)=\left\{t\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}\right\}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中一条过原点的直线；$\mathbf{s}$ 就是这条直线的”方向向量”，也就是零空间的一组基（只有 1 个向量，因为维数是 1）。注意 $\mathbf{s}$ 的第二个分量取 1 不是”必须”——取 $x_2=5$ 得 $\begin{bmatrix}-10\\5\end{bmatrix}=5\mathbf{s}$ 也行，只是取 1 让基向量最简洁。

【计算机制解说】（本讲第二个解说）：为什么最小二乘式的”取 1” 不会重复计数？为什么不需要对自由变量取其他值（比如取 $(2,3)$）来补足解集？因为映射 $\mathbf{x}_{\text{free}}\mapsto\mathbf{x}$ 是线性一一对应，而维数是最强的”不重复”保证：如果 $\mathbf{s}$ 再多一个”独立”的零空间向量，$\dim\mathrm{N}(A)$ 就变成 2 了，与 $n-r=1$ 矛盾。从另一个方向看：任何 $t$ 倍都只是同一个方向的放大，不产生新维度。“需要几个特殊解”这个问题等价于”参数空间有几维”，而后者等于”自由变量有几个”——所以自由变量轮换取一次 1 就正好、且只够。

另外注意示例 2 的一个反直觉现象：$R=U$ 时主元列的系数图案与 $A$ 的列关系一一对应。$R$ 第 2 列是 $\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}$，意思是”$A$ 的第 2 列 $=2\times A$ 的第 1 列 $+0\times$ 其他列”，核对：$\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ ✓。而特殊解 $\mathbf{s}$ 恰好是把那个系数 $2$ 取负、放在自由位置旁边：$-2\cdot(\text{col}_1)+1\cdot(\text{col}_2)=\mathbf{0}$，也就是 $\text{col}_2=2\,\text{col}_1$。零空间向量就是”列之间的线性关系”本身。 这个观察在讲次 9 会被正式命名为”$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的解 = 列的线性相关关系”。

示例 3：秩 1 的 3×3 矩阵与”秩 = 非零行数 = 主元个数”

取

步骤 1（消元）：

[ 1  2  3 ]  R2 -= 2*R1  ->  [ 0  0  0 ]
[ 2  4  6 ]  R3 -= 1*R1  ->  [ 0  0  0 ]
[ 1  2  3 ]

得 $U=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，它同时也是 $R$（主元已是 1，下方全零，上方也没有别的行）。

步骤 2（认列）：主元列 = {1}，自由列 = {2, 3}，$r=1$，自由变量 $x_2,x_3$，$\dim\mathrm{N}(B)=3-1=2$。

步骤 3（取特殊解）：$R$ 只给出 $x_1+2x_2+3x_3=0$，即 $x_1=-2x_2-3x_3$。

• $x_2=1,x_3=0$：$x_1=-2$，得 $\mathbf{s}_1=\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}$；
• $x_2=0,x_3=1$：$x_1=-3$，得 $\mathbf{s}_2=\begin{bmatrix}-3\\0\\1\end{bmatrix}$。

步骤 4（验算）：$B\mathbf{s}_1=\begin{bmatrix}-2+2+0\\-4+4+0\\-2+2+0\end{bmatrix}=\mathbf{0}$ ✓，$B\mathbf{s}_2=\begin{bmatrix}-3+0+3\\-6+0+6\\-3+0+3\end{bmatrix}=\mathbf{0}$ ✓。

步骤 5（”秩 = 非零行数 = 主元个数”的三重刻画）：

   秩的四个等价说法（对同一个矩阵 B）：

   ① r = U 中非零行的个数              = 1
   ② r = 主元的个数                     = 1
   ③ r = 主元列的个数                   = 1   (只有第 1 列)
   ④ r = dim C(B) = 列空间维数          = 1   (C(B) = 直线 t[1,2,1])

   并且：  dim N(B) = n - r = 3 - 1 = 2     (# 自由变量 = # 特殊解 = # 自由列)
           行空间维数 = r = 1（方向 [1,2,3]，即"行方向"）

步骤 6（无消元也看得出的道理）：$B=\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf T}$，其中 $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$（因为每行都是 $[1,2,3]$ 的倍数，每列都是 $[1,2,1]$ 的倍数）。于是

$B\mathbf{x}=\mathbf{0}\iff x_1+2x_2+3x_3=0$，一眼看出零空间是平面、维数 2。这就是”每个自由列对应一个多出来的方向”的最强形式：秩 1 矩阵有 $n-1$ 个多出来的方向，所以零空间是 $n-1$ 维的超平面。

【计算机制解说】（本讲第三个解说，补充说明”自由列 = 冗余方向”）：为什么”自由列的个数”与”零空间维数”必然相等？看消元过程：每当算法在某一列找不到主元（该列在主元行及以下全是零），就意味着这一列可以被前面已经处理过的列线性组合出来（在 $R$ 中它等于若干主元列的系数组合）——它没有给列空间贡献新的维度。设这样的列为 $f_1,\dots,f_{n-r}$，每一列都对应一个”读出系数、取负、放到自由位置”的零空间向量，而且这些向量在自由坐标上互不相同（第 $k$ 个向量的自由坐标是 $\mathbf{e}_k$），所以它们线性无关。另一方面，任何一个零空间向量都由 $R$ 的 $r$ 个方程约束，$r$ 个独立方程把 $n$ 维压到 $n-r$ 维，所以维数至多 $n-r$。上下夹逼：维数恰好 $n-r$，且上面构造的 $n-r$ 个向量正好是一组基。“消元找不到主元”和”这一列是多余的”是同一件事的两种描述——这是本讲最应该记住的一句话。

示例 4（稀疏例子，看清主元列可以不相邻）：$C=\begin{bmatrix}0&1&2\\0&2&4\end{bmatrix}$

步骤 1（第 1 列全是零）：第 1 列在（第 1 行，第 1 列）处是 $0$，没有可用的主元（下方也是 $0$），所以第 1 列是自由列，消元向右看第 2 列。

步骤 2（取第 2 列为主元列）：主元 $=1$（在第 1 行第 2 列）。乘数 $\ell=2/1=2$，$R_2\leftarrow R_2-2R_1$：$(0,2,4)-2(0,1,2)=(0,0,0)$。

步骤 3（认列）：主元列 = {2}，自由列 = {1, 3}，$r=1$，$\dim\mathrm{N}(C)=3-1=2$。

步骤 4（回代）：$R$ 的方程是 $x_2+2x_3=0$，即 $x_2=-2x_3$；第 1 列没有方程约束它，所以 $x_1$ 也是自由的（它不出现在任何方程里）。

• $x_1=1,x_3=0$：$x_2=0$，得 $\mathbf{s}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$；
• $x_1=0,x_3=1$：$x_2=-2$，得 $\mathbf{s}_2=\begin{bmatrix}0\\-2\\1\end{bmatrix}$。

步骤 5（验算）：$C\mathbf{s}_1=\begin{bmatrix}0(1)+1(0)+2(0)\\0(1)+2(0)+4(0)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ ✓；$C\mathbf{s}_2=\begin{bmatrix}0+1(-2)+2(1)\\0+2(-2)+4(1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ ✓。

步骤 6（教训）：自由变量不一定”排在后面”。这里 $x_1$ 是自由变量，特殊解的第一个分量是 1 而不是 0。做题时必须以消元后主元的位置为准，不能想当然地以为”自由变量就是后面几个”。

示例 5：需要行交换的矩阵 $D=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{bmatrix}$——主元破裂与 $PA=LU$

前面所有例子的主元都恰好非零、不需要换行。这个例子专门演示”位置上的元素是 $0$，但这一列其实还有非零元”的情形。

步骤 1（第一列消元）：主元 $d_{11}=1$；乘数 $\ell_{21}=2$，$R_2\leftarrow R_2-2R_1$：

$R_3$ 的第一列本来就是 $0$，乘数 $\ell_{31}=0$，无需操作。此时

[ 1  2  3 ]
[ 0  0  0 ]     <- 第 2 行整行变成 0
[ 0  1  1 ]

步骤 2（主元破裂，需要行交换）：第 2 列在位置 $(2,2)$ 上是 $0$，不能拿它当主元。但往下看位置 $(3,2)$ 是 $1\neq 0$，所以交换第 2、3 行：

[ 1  2  3 ]
[ 0  1  1 ]     <- 原来的第 3 行升上来
[ 0  0  0 ]     <- 原来的第 2 行沉下去

现在主元是 $(2,2)$ 处的 $1$；该行下方是 $0$，不需要再消元。

步骤 3（化到 RREF，向上消元）：$R_1\leftarrow R_1-2R_2$：

步骤 4（认列与求特殊解）：主元列 $=\{1,2\}$，自由列 $=\{3\}$，$r=2$，$\dim\mathrm{N}(D)=3-2=1$。RREF 给出 $x_1+x_3=0$、$x_2+x_3=0$，即 $x_1=-x_3$、$x_2=-x_3$。令 $x_3=1$：

步骤 5（验算）：

步骤 6（回到列关系，验证符号约定）：$\mathbf{s}=\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}\in\mathrm{N}(D)$ 说的是 $-\mathbf{d}_1-\mathbf{d}_2+\mathbf{d}_3=\mathbf{0}$，即

而 $R$ 的第 3 列是 $\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$，说的是”$\mathbf{d}_3=1\cdot\mathbf{d}_1+1\cdot\mathbf{d}_2$”——两种写法完全一致（$R$ 记录正系数，特殊解记录取负后的系数）。所以看到 $\mathbf{s}=\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}$ 时不要慌，它与”第 3 列 $=$ 第 1 列 $+$ 第 2 列”是同一句话。

步骤 7（$PA=LU$ 的形式）：因为交换了第 2、3 行，严格写出来是 $PA=LU$，其中

（$L$ 的第 3 行记录”原第 2 行减去 $2\times$第 1 行”，乘数 $2$ 落在被交换后的第 3 行位置。）关键结论：置换矩阵 $P$ 只是给方程重新编号，零空间不变——所以算法允许行交换，我们的 $\mathrm{N}(D)=\mathrm{N}(U)=\operatorname{span}\{\mathbf{s}\}$ 一如既往。

【计算机制解说】：为什么允许行交换，而不允许列交换（或者说列交换后必须记下来）？

• 行交换 = 重新排列方程的顺序。方程组 $\{R_1,R_2,R_3\}$ 与 $\{R_3,R_2,R_1\}$ 的解集显然完全一样。所以 $\mathrm{N}(A)$ 不变，我们的算法有恃无恐。代数上，行交换就是左乘一个置换矩阵 $P$（可逆），所以 $\mathrm{N}(PA)=\mathrm{N}(A)$。
• 列交换 = 重新排列未知数的顺序。例如交换第 1、2 列后，解出来的向量是 $(x_2,x_1,x_3)$ 的顺序，必须换回原顺序才能作为原问题的解。所以列交换不是禁忌，而是”要记账”。这就是”部分选主元（partial pivoting）”只选行使算法稳定的原因：行交换既保证了数值稳定性（把主元位置上的绝对值最大者换上来，避免除以很小的数），又完全不改变解集。
• 一个有用的推论：上面示例 4 中 $C=\begin{bmatrix}0&1&2\\0&2&4\end{bmatrix}$ 的第 1、3 列都是自由列（第 1 列全零、第 3 列是第 2 列的 2 倍），示例 5 中 $D$ 的第 3 列是自由列——由此可见凡是在主元行及其下方全为 $0$ 的列，必然是自由列，对应变量必然自由。反之，主元列一定是”能带来新方向”的列。行交换永远不会把一个自由列变成主元列——它只重排行的顺序，不改变每一列的元素集合。

示例 6：$3\times 5$ 矩阵 $B$——自由变量多于主元变量的”最坏情形”

这个矩阵的形状是 $m=3,n=5$，主元最多只能有 $3$ 个，所以自由变量至少有 $5-3=2$ 个。我们算算实际有几个。

步骤 1（消元）：$B$ 的第 1 行已经是好的主元行（主元 $1$ 在位置 $(1,1)$）。$R_3\leftarrow R_3-1\cdot R_1$：

现在

[ 1  3  0  2  1 ]
[ 0  0  1  4  2 ]
[ 0  0  1  4  2 ]

步骤 2（第 2 列无主元，跳到第 3 列）：第 2 列在 2、3 行都是 $0$，自由列。位置 $(2,3)$ 上是 $1$，取为主元。$R_3\leftarrow R_3-R_2$ 得零行：

$U$ 已经满足”主元为 1、主元上方为 0”（第 1 行第 3 列本来就是 $0$），所以 $R=U$。

步骤 3（认列）：主元列 $=\{1,3\}$，自由列 $=\{2,4,5\}$，$r=2$，$n=5$，所以

步骤 4（三个自由变量轮流取 1）：

• $x_2=1,x_4=0,x_5=0$：$x_1=-3,\ x_3=0$，得 $\mathbf{s}_1=\begin{bmatrix}-3\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}$；
• $x_2=0,x_4=1,x_5=0$：$x_1=-2,\ x_3=-4$，得 $\mathbf{s}_2=\begin{bmatrix}-2\\0\\-4\\1\\0\end{bmatrix}$；
• $x_2=0,x_4=0,x_5=1$：$x_1=-1,\ x_3=-2$，得 $\mathbf{s}_3=\begin{bmatrix}-1\\0\\-2\\0\\1\end{bmatrix}$。

步骤 5（验算三个特殊解，逐个代回原矩阵）：

具体地，$B\mathbf{s}_2$ 的三个分量：

• 第 1 行：$1(-2)+3(0)+0(-4)+2(1)+1(0)=-2+2=0$ ✓
• 第 2 行：$0+0+1(-4)+4(1)+2(0)=-4+4=0$ ✓
• 第 3 行：$1(-2)+3(0)+1(-4)+6(1)+3(0)=-2-4+6=0$ ✓

$B\mathbf{s}_3$：

• 第 1 行：$1(-1)+3(0)+0(-2)+2(0)+1(1)=-1+1=0$ ✓
• 第 2 行：$0+0+1(-2)+4(0)+2(1)=-2+2=0$ ✓
• 第 3 行：$1(-1)+0+1(-2)+6(0)+3(1)=-1-2+3=0$ ✓

任意组合也自动为零：例如 $\mathbf{x}=2\mathbf{s}_1+\mathbf{s}_2+0.5\mathbf{s}_3=\begin{bmatrix}-8.5\\2\\-5\\1\\0.5\end{bmatrix}$，由线性性 $B\mathbf{x}=2B\mathbf{s}_1+B\mathbf{s}_2+0.5B\mathbf{s}_3=\mathbf{0}$ ✓。

步骤 6（结论与 $A=\mathrm{CR}$ 核验）：

主元列是 $B$ 的第 1、3 列：$\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$，它们构成

（逐项抽验：$(CR){1,5}=1\cdot 1+0\cdot 2=1$ ✓；$(CR){3,4}=1\cdot 2+1\cdot 4=6$ ✓；$(CR)_{3,3}=1\cdot 0+1\cdot 1=1$ ✓。）自由列的系数就写在 $R_{\text{nz}}$ 里：第 2 列 $=\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}$ 表示 $\mathbf{b}_2=3\mathbf{b}_1$；第 4 列 $=\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}$ 表示 $\mathbf{b}_4=2\mathbf{b}_1+4\mathbf{b}_3$；第 5 列 $=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ 表示 $\mathbf{b}_5=\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_3$。取负号就得到 $\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2,\mathbf{s}_3$ 的主元分量——一一对应，毫无例外。

【计算机制解说】：三个自由变量、三个特殊解、维数 3——这个例子最清楚地显示了”主元最多只有 $m$ 个“这个上限的威力。$B$ 是 $3$ 行，所以主元最多 3 个；实际上只有 2 个（第 2 列没贡献），所以零空间维数 $=5-2=3$。一般地：

对一个 $3\times 5$ 矩阵，零空间维数至少是 $5-3=2$——它不可能只有零解！ 这是”方程个数少于未知数个数时必有非零解”的线性代数版本（$3$ 个方程约束不住 $5$ 个未知数）。更一般地：

• 若 $n>m$（列多于行），则 $\dim\mathrm{N}(A)=n-r\ge n-m>0$，方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 必有非零解，且 $A$ 的列必定线性相关（$n$ 个向量住在 $\mathbb{R}^m$ 里，$n>m$ 时必相关）。
• 若 $n\le m$，则 $r=n$（零空间只有零）是可能的，但需要 $A$ 的列线性无关。此时主元列有 $n$ 个、自由列一个也没有、特殊解一个也没有，$\mathrm{N}(A)=\{\mathbf{0}\}$。本讲特意选的都是有自由变量的例子（因为主题是”怎么求非平凡的零空间”），但你要记住这种”空零空间”的极端情形是存在的。
• 判断”一定有非零解”的最快方法：看 $n>m$ 是否成立。列数大于行数 $\Rightarrow r\le m<n\Rightarrow\dim\mathrm{N}(A)\ge 1$。

示例 7：快速对照表——把小矩阵的零空间一次性算完

把本讲与上一讲出现过的矩阵汇总，用同一套流程核对（建议自己盖住答案重算一遍）：

 矩阵 A                     形状    r   主元列   自由列   dim N(A)=n-r   特殊解
 ---------------------------------------------------------------------------------------
 [1 2 ; 2 4]                2x2     1    {1}      {2}      1              [-2,1]
 [1 2 ; 3 7]                2x2     2   {1,2}     {}       0              （没有：N={0}）
 [1 2 3 ; 2 4 7]            2x3     2   {1,3}     {2}      1              [-2,1,0]
 [1 2 3 ; 2 4 6 ; 1 2 3]    3x3     1    {1}     {2,3}     2              [-2,1,0], [-3,0,1]
 [1 2 3 ; 2 4 6 ; 0 1 1]    3x3     2   {1,2}     {3}      1              [-1,-1,1]
 [1 2 2 2; 2 4 6 8; 3 6 8 10] 3x4   2   {1,3}    {2,4}     2              [-2,1,0,0], [2,0,-2,1]
 [0 1 2 ; 0 2 4]            2x3     1    {2}     {1,3}     2              [1,0,0], [0,-2,1]
 [1 3 0 2 1; 0 0 1 4 2; 1 3 1 6 3] 3x5  2  {1,3}  {2,4,5}  3              [-3,1,0,0,0],[-2,0,-4,1,0],[-1,0,-2,0,1]
 ---------------------------------------------------------------------------------------
 每一行都满足： r + dim N(A) = n ，  #特殊解 = #自由列 = n - r

这张表最值得看的三件事：

1. 零空间维数只由 $n-r$ 决定，与矩阵的”长相”无关。$3\times 3$ 秩 2 的矩阵与 $2\times 3$ 秩 2 的矩阵，零空间维数都是 1。
2. 有且仅当 $r=n$ 时零空间是 $\{\mathbf{0}\}$（表中第二行），此时所有列都是主元列、没有自由变量、没有特殊解。
3. 自由列的位置可以任意（第 1 列、中间列、末尾列都能当自由列），所以”自由变量是后面几个”这种直觉是错的；表里第三行和第 3×5 行都是自由列夹在主元列中间。

矩阵分解的核心思想

本讲的主线是”$R$（RREF）是零空间的透明化“，它同时把三种分解串了起来：

• $A=\mathrm{LU}$（消元分解）：$L$ 可逆 ⟹ $\mathrm{N}(A)=\mathrm{N}(U)$。这是算法合法性的来源。本讲示例 1 算出的 $L=\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&1&1\end{bmatrix}$ 与其乘积已逐项核对。若 $A$ 需要行交换，对应 $PA=\mathrm{LU}$，零空间同样不变（置换只是给变量重新编号）。

• $A=\mathrm{CR}$（$r$ 个主元列 $\times$ RREF 的非零行，讲次 11 正式提出）：本讲已经把它算出来了。对示例 1：

  \[C=\begin{bmatrix}1&2\\2&6\\3&8\end{bmatrix}\ (\text{取 }A\text{ 的第 1、3 列}),\qquad R_{\text{nz}}=\begin{bmatrix}1&2&0&-2\\0&0&1&2\end{bmatrix}\ (\text{取 RREF 的前 2 行}),\] \[C\,R_{\text{nz}}=\begin{bmatrix}1&2\\2&6\\3&8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&0&-2\\0&0&1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}=A\ \checkmark\]

  这个分解的全部内容就是”$A$ 的每一列都是主元列的线性组合，而 RREF 的对应列记录了系数”——自由列的系数（第 2 列是 $\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}$，第 4 列是 $\begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix}$）恰恰与两个特殊解的构造一一对应。$A=\mathrm{CR}$ 说明 $\mathrm{C}(A)=\mathrm{C}(C)$，即列空间由主元列张成，$\dim\mathrm{C}(A)=r$。

• 秩 1 分解 $A=\sum_{k}\mathbf{u}_k\mathbf{v}_k^{\mathsf T}$：示例 3 的 $B=\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf T}$ 是它的最小单元；$A=\mathrm{CR}$ 其实就是把它组装成 $r$ 项，”积木”数正好是秩。
• $R$ 与 $A$ 的关系（一个重要区分）：$R=E A$（$E$ 可逆），所以 $\mathrm{N}(R)=\mathrm{N}(A)$、行空间相同（行空间只做行变换不变）；但 $\mathrm{C}(R)\neq\mathrm{C}(A)$（示例 1：$\mathrm{C}(R)$ 由 $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$ 张成，是 $xy$ 平面；$\mathrm{C}(A)$ 由 $\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\6\\8\end{bmatrix}$ 张成，是另一张平面）。但列关系相同：$R$ 与 $A$ 的同一组列满足同样的线性关系。$R$ 是一台”能读关系、但换了坐标系”的机器。
• 后续分解的伏笔：到了讲次 14-17，$\mathrm{N}(A)\perp\mathrm{C}(A^{\mathsf T})$ 会把零空间与正交投影、最小二乘、$\mathrm{QR}$ 分解连起来；到了讲次 29，SVD 会给出”最优的正交积木分解”。而它们全都建立在”$\mathrm{N}(A)$ 是 $n-r$ 维、由特殊解张成”这个本讲结论上。

与其他讲次的关联

• 与讲次 5-6（消元、$A=\mathrm{LU}$、列空间与零空间）：本讲是上一讲的算法化。上一讲用手算 2×2、3×3；本讲给出对任意 $m\times n$ 都通用的流程，并把”被压掉几维”变成可数的量 $\#\{\text{自由列}\}$。
• 与讲次 8（求解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$：特解 + 零空间）：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的完整解是 $\mathbf{x}=\mathbf{x}_p+\mathrm{N}(A)$，其中 $\mathbf{x}_p$ 是把所有自由变量置 0 后回代得到的特解。所以本讲算出的 $\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2$ 是把特解”铺开”的全部工具。可解性判据：$\mathbf{b}$ 必须能被主元列组合出来（等价地 $\mathbf{b}\perp\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$）。
• 与讲次 9（线性无关、基、维数）：本讲用到的核心概念在这里被正式定义。$\{\mathbf{s}1,\dots,\mathbf{s}{n-r}\}$ 是 $\mathrm{N}(A)$ 的基（无关 + 张成）；主元列是 $\mathrm{C}(A)$ 的基；$r$ 的性质由此展开：任何 $n+1$ 个 $\mathbb{R}^n$ 中的向量必相关。
• 与讲次 10（四个基本子空间）：本讲的所有计数在这里被拼成一张完整图：$\dim\mathrm{C}(A)=\dim\mathrm{C}(A^{\mathsf T})=r$，$\dim\mathrm{N}(A)=n-r$，$\dim\mathrm{N}(A^{\mathsf T})=m-r$，且 $\mathbb{R}^n=\mathrm{C}(A^{\mathsf T})\oplus\mathrm{N}(A)$、$\mathbb{R}^m=\mathrm{C}(A)\oplus\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$。本讲算的是右零空间 $n-r$，讲次 8-10 会提醒你左零空间是 $m-r$，两者不能混。
• 与讲次 11（矩阵空间与 $A=\mathrm{CR}$）：本讲的”主元列 $\times$ RREF 非零行”就是 $A=\mathrm{CR}$ 的实例，讲次 11 会把它提升为一般框架（并对矩阵空间、图与网络应用）。
• 与讲次 14-17（正交、投影、最小二乘、$\mathrm{QR}$）：$\mathrm{N}(A)$ 与 $\mathrm{C}(A^{\mathsf T})$ 正交互补是这些章节的起点；求解 $A^{\mathsf T}A\hat{\mathbf{x}}=A^{\mathsf T}\mathbf{b}$ 时 $\mathrm{N}(A^{\mathsf T}A)=\mathrm{N}(A)$ 这一事实（本讲算法的直接推论）保证了正规方程有唯一解（当 $A$ 列满秩、$r=n$、$\mathrm{N}(A)=\{\mathbf{0}\}$ 时）。
• 与讲次 21-25（特征值）：$\mathrm{N}(A-\lambda I)$ 是特征空间；$\lambda=0$ 的特征空间就是本讲的 $\mathrm{N}(A)$，$\dim\mathrm{N}(A)>0\iff A$ 奇异 $\iff 0$ 是特征值。本讲的”特殊解”会在对角化（$A=S\Lambda S^{-1}$）里以”特征向量”的身份重新出现。
• 与讲次 30-33（线性变换、伪逆）：本讲的”自由变量参数化”就是线性映射 $A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ 的核（kernel）；”$\mathbf{x}_{\text{free}}\mapsto\mathbf{x}$”那个一一对应是核的参数化，其逆就是取坐标，正是伪逆 $A^{+}$ 思想的萌芽。

关键要点

1. 算法三步走：消元 → $U$ / RREF $R$ → 认列（主元列 / 自由列）。秩 $r=$ 主元个数 $=$ $U$ 的非零行数 $=$ $\dim\mathrm{C}(A)$。
2. 特殊解配方：令一个自由变量 $=1$、其余自由变量 $=0$，回代解出主元变量。每个自由变量恰好对应一个特殊解。 从 RREF 可以抄：$\mathbf{s}_k=\begin{bmatrix}-(R\ \text{第}\ f_k\ \text{列的上面}\ r\ \text{项})\\ \mathbf{e}_k\end{bmatrix}$。
3. 核心公式：$\mathrm{N}(A)=\operatorname{span}\{\mathbf{s}1,\dots,\mathbf{s}{n-r}\}$，$\dim\mathrm{N}(A)=n-r=$ 自由变量个数 $=$ 自由列个数。组合系数就是自由变量的取值。
4. 机制的根：RREF 分块形式 $R=\begin{bmatrix}I_r&F\end{bmatrix}$ 给出 $\mathbf{x}{\text{pivot}}=-F\mathbf{x}{\text{free}}$——自由变量任取，主元变量被唯一决定，这就是零空间是 $n-r$ 维参数族（以及特殊解构成基）的完整理由。
5. 消元不变零空间：$\mathrm{N}(A)=\mathrm{N}(U)=\mathrm{N}(R)$（因为 $U=L^{-1}A$、$L$ 可逆）；但 $\mathrm{C}(A)\neq\mathrm{C}(U)$ 一般成立。列空间会被消元改变，列关系不会。
6. 可解性联系（预告）：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解 $\iff$ 消元时 $\mathbf{b}$ 不产生矛盾行 $0=1$ $\iff$ $\mathbf{b}\in\mathrm{C}(A)$；有解时解集 $=\mathbf{x}_p+\mathrm{N}(A)$，维数 $n-r$。

常见误区与注意事项

1. 把”自由变量一定在后面”当成规律。示例 4 中 $C=\begin{bmatrix}0&1&2\\0&2&4\end{bmatrix}$ 的第 1 列就是自由列，自由变量是 $x_1$ 与 $x_3$。必须以主元位置为准。另一类常见坑是列交换：如果为了消元而交换了两列，最后要把变量顺序换回来，否则特殊解写错了自己都不知道。
2. 忘记”自由变量要轮流取一组基”，而只取一组值。常见错误是只写一个特殊解（比如只令 $x_2=1,x_4=0$）就说”这就是零空间”。正确的语句是”$\mathrm{N}(A)$ 由 $\mathbf{s}1,\dots,\mathbf{s}{n-r}$ 张成”，维数是 $n-r$，少了向量维数就不够。
3. 算完特殊解不代回原矩阵验算。RREF 算错一格，特殊解就全错。必须用原矩阵 $A$（不是 $U$、不是 $R$）去乘特殊解，验证得 $\mathbf{0}$。本讲示例 1 的 $\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2$ 都已逐项代回验算。
4. 用 $U$ 而不是 $R$ 回代时把系数搞错。用 $U$ 也能回代，但 $U$ 的主元不一定是 1、且主元上方还有非零元，回代要从下往上依次代入，容易出错。建议统一化到 RREF：主元为 1、主元上方也清成 0，于是每个方程直接是 “主元变量 = 自由变量的线性组合”。
5. 混淆右零空间与左零空间。本讲算的是 $\mathrm{N}(A)\subseteq\mathbb{R}^n$、维数 $n-r$。若题目问 $\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$，那是 $\mathbb{R}^m$ 中维数 $m-r$ 的空间，必须对 $A^{\mathsf T}$（或对 $A$ 做列变换）重新算，不能直接把 $n-r$ 拿来用。典型例子：示例 1 的 $A$ 是 $3\times 4$，$\dim\mathrm{N}(A)=4-2=2$，而 $\dim\mathrm{N}(A^{\mathsf T})=3-2=1$——两个数完全不同。
6. 以为”有自由变量就意味着无解”。自由变量只影响 $\mathrm{N}(A)$ 的维数（解的唯一性），不影响存在性。$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 无解是由矛盾行 $0=c$（$c\neq 0$）判定的；一旦有解且有自由变量，就有无穷多解。
7. 把”特殊解”与”单位向量”混淆。特殊解 $\mathbf{s}_k$ 只在自由坐标上是 $\mathbf{e}_k$，在主元坐标上一般不是 0（示例 1 的 $\mathbf{s}_1$ 的主元分量是 $-2,0$）。写答案时别只写 $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2$。
8. 对非零右端 $\mathbf{b}$ 用特殊解当解。特殊解满足 $A\mathbf{s}=\mathbf{0}$，只用于齐次问题。非齐次要先求特解 $\mathbf{x}_p$，再加 $\mathrm{N}(A)$ 的组合（这就是下一讲）。

思考题（带答案）

Q1（纯计算）. 对

(a) 写出 RREF $R$；(b) 指出主元列与自由列；(c) 求 $\mathrm{N}(A)$ 的一组基（特殊解）并给出 $\dim\mathrm{N}(A)$；(d) 若把 $A$ 改为 $4\times 5$ 的矩阵 $A^{\prime}=\begin{bmatrix}A&\mathbf{0}\end{bmatrix}$（即追加一列全零），$\dim\mathrm{N}(A^{\prime})$ 是多少？

Q2（概念 + 计算）. 设 $A$ 是 $5\times 3$ 矩阵，消元后 RREF 为

(a) 求 $\mathrm{N}(A)$、$\dim\mathrm{N}(A)$、$\mathrm{C}(A)$ 的维数；(b) 至少写出一个零空间向量并验算它确实给出列之间的线性关系；(c) 有人说”因为 $A$ 有 5 行，所以 $\dim\mathrm{N}(A)$ 应该是 $5-r$”，错在哪里？

Q3（概念题）. 判断并说明理由。(a) “若 $A$ 是 $3\times 3$ 且 $r=2$，则 $\mathrm{N}(A)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中过原点的一条直线。”(b) “自由变量取 1、其余取 0 得到的特殊解互相线性无关。”(c) “若 $A$ 的某一列全是 0，则 $\dim\mathrm{N}(A)\ge 1$。”(d) “如果 $A$ 的两列相同，那么 $\mathrm{N}(A)$ 里一定有向量 $\mathbf{s}=\mathbf{e}_i-\mathbf{e}_j$（两个单位向量之差）。”