Lecture 6: Column Space and Nullspace

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Lecture 6: Column Space and Nullspace

概述

本讲第一次把矩阵 $A$ 从”一张数字表”改造成一台机器：它接受输入向量 $\mathbf{x}$，吐出一个输出向量 $A\mathbf{x}$。一旦这个视角立住，两个最自然的问题就浮出来了——这台机器能造出哪些输出 $\mathbf{b}$？（答案叫列空间 C(A)）以及哪些输入被它压成了零？（答案叫零空间 N(A)）。这两个集合分别住在输出空间 $\mathbb{R}^m$ 与输入空间 $\mathbb{R}^n$ 里，是本课程后半程”四个基本子空间”里最先登场的两根支柱。本讲唯一用到的技术工具是上一讲的消元法，但思想上它做了一个关键跳跃：把”解方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有没有解”翻译成”$\mathbf{b}$ 这个点是否落在某个子空间里”。学完本讲你应该能对着一个小矩阵，立刻说出它的列空间是什么形状的几何对象、零空间是几维的，以及为什么 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集自己不是一个子空间。

核心概念的几何直觉

向量空间与子空间（vector space / subspace）

• 定义与目的：向量空间是一堆向量的集合，在其中做加法和数乘不会跑出去。$\mathbb{R}^2$、$\mathbb{R}^3$、$\mathbb{R}^n$ 是最基本的例子；$\mathbb{R}^n$ 中的子空间 $S$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子集，并且在 $\mathbb{R}^n$ 的运算下自成一个向量空间。
• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：$\mathbb{R}^3$ 里的子空间只有三种，没有第四种：
  • 0 维：只含原点 $\{\mathbf{0}\}$（点）；
  • 1 维：过原点的一条直线（必须过原点！）；
  • 2 维：过原点的一张平面；
  • 3 维：整个 $\mathbb{R}^3$ 自己。

  $\mathbb{R}^3$ 里不存在“不过原点的平面”或”不过原点的直线”作为子空间。这是本讲最重要的一个几何事实。判据可以写成一句话：子空间对线性组合封闭。即若 $\mathbf{v},\mathbf{w}\in S$ 且 $c,d$ 是任意实数，则 $c\mathbf{v}+d\mathbf{w}\in S$。验证时只要查两条（对加法封闭、对数乘封闭）就够了，因为两者合起来等价于对线性组合封闭。取 $c=d=0$ 立刻得到 $\mathbf{0}\in S$——子空间必含原点，所以”原点不在里面”是一票否决。

• 具体示例：在 $\mathbb{R}^2$ 中，$S=\{(x,2x)\}$（直线 $y=2x$）是子空间：$(x_1,2x_1)+(x_2,2x_2)=(x_1+x_2,\,2(x_1+x_2))\in S$。而 $S^{\prime}=\{(x,y):y=2x+1\}$ 不是：它不含原点，且 $(0,1),(1,3)\in S^{\prime}$ 但 $(0,1)+(1,3)=(1,4)\notin S^{\prime}$。在 $\mathbb{R}^3$ 中，同时满足 $x_1+2x_2+3x_3=0$ 的向量构成过原点的平面（是子空间）；把 $0$ 换成 $1$ 就变成不过原点的平面（不是子空间）。“齐次 vs 非齐次”是子空间的分水岭。

列空间 C(A)（column space）

• 定义与目的：设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，把它的 $n$ 个列向量记作 $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n\in\mathbb{R}^m$。则

  \[\mathrm{C}(A)=\{A\mathbf{x}:\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\}=\{x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n\}=\operatorname{span}\{\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n\}\subseteq\mathbb{R}^m.\]

  它的目的是回答存在性问题：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解 ⟺ $\mathbf{b}\in \mathrm{C}(A)$。这不是一个需要证明的定理，而是定义的同义改写：$A\mathbf{x}$ 按列看就是 $\mathbf{a}_i$ 的线性组合，系数是 $x_i$。

• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：把 $A$ 想成一台机器，$\mathrm{C}(A)$ 就是从 $\mathbf{0}$ 出发、把所有可能的输入 $\mathbf{x}$ 输进去后，输出 $\mathbf{b}$ 能扫过的全部区域的集合——即”A 能生成的输出全集”。它是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间（因为 $A(c\mathbf{x}+d\mathbf{y})=cA\mathbf{x}+dA\mathbf{y}$，输出集对线性组合封闭）。注意对偶的维度直觉：输入空间是 $\mathbb{R}^n$（由列数 $n$ 决定），输出空间是 $\mathbb{R}^m$（由行数 $m$ 决定），列空间住在输出空间 $\mathbb{R}^m$ 里——很多同学第一个星期就把这两个空间的维度搞反。
• 具体示例：$A=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$ 的两个列是 $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$。它们共线，所以 $\mathrm{C}(A)$ 不是整个 $\mathbb{R}^2$，而只是 $\mathbb{R}^2$ 中沿方向 $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ 的一条过原点直线。于是 $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}-1\\-2\end{bmatrix}$ 都在 C(A) 里，而 $\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}$ 不在（它不在这条直线上）。

零空间 N(A)（nullspace）

• 定义与目的：$\mathrm{N}(A)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}\subseteq\mathbb{R}^n$。注意右边是零向量——零空间永远是齐次方程组的解集。它的目的是回答唯一性问题：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解唯一 ⟺ $\mathrm{N}(A)=\{\mathbf{0}\}$。
• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：$\mathrm{N}(A)$ 是被这台机器压扁到原点的全部输入方向的集合。想象 $A$ 是一台”投影/压扁机”：它把输入空间的一部分方向彻底碾平，只让另一部分方向活下来。$\mathrm{N}(A)$ 就是那部分被碾平的方向（连同它们的任意倍数与和），而它活下来的那部分给出了 $\mathrm{C}(A)$。

• 为什么 N(A) 是子空间，而 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$（$\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$）的解集不是？ 设 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathrm{N}(A)$，即 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$、$A\mathbf{y}=\mathbf{0}$。则

  \[A(c\mathbf{x}+d\mathbf{y})=cA\mathbf{x}+dA\mathbf{y}=c\cdot\mathbf{0}+d\cdot\mathbf{0}=\mathbf{0},\]

  所以 $c\mathbf{x}+d\mathbf{y}\in \mathrm{N}(A)$：对线性组合封闭，是子空间。关键在于 $A$ 是线性的，而右端 $\mathbf{0}$ 在数乘下保持为 $\mathbf{0}$。 现在换成非齐次 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，$\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$。第一，$\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 不满足方程（$A\mathbf{0}=\mathbf{0}\neq\mathbf{b}$），所以原点不在解集里，一票否决。第二，即使取两个解 $\mathbf{x},\mathbf{y}$（$A\mathbf{x}=A\mathbf{y}=\mathbf{b}$），也有

  \[A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=A\mathbf{x}+A\mathbf{y}=\mathbf{b}+\mathbf{b}=2\mathbf{b}\neq\mathbf{b},\]

  而 $A(2\mathbf{x})=2\mathbf{b}\neq\mathbf{b}$：加法和数乘都跑出去了。几何上，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集是一张不过原点的平面/直线（一个仿射集）。它不孤单：它 = {某一个特解 $\mathbf{x}_p$} + $\mathrm{N}(A)$，即”$\mathbf{x}_p$ 加上零空间里任意向量”。这句话就是下一讲（Lecture 8）的全部内容。

• 具体示例：对 $A=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$，解 $x_1+2x_2=0$ 得 $\mathbf{x}=t\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}$，所以 $\mathrm{N}(A)$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中沿 $\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}$ 方向的直线。核对：$A\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1(-2)+2(1)\\2(-2)+4(1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ ✓。而对 $\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$，解集是不过原点的直线 $x_1+2x_2=1$（它平行于 $\mathrm{N}(A)$ 但被平移了），不是子空间。

只有零空间的判据：$\mathrm{N}(A)=\{\mathbf{0}\}\iff$ A 的列线性无关 $\iff$ 秩 $r=n$

• 定义与目的：给出”唯一解”的判别标准。若 $\mathrm{N}(A)=\{\mathbf{0}\}$，则 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 最多只有一个解（有解时就是唯一解）；若 $\mathrm{N}(A)\neq\{\mathbf{0}\}$，则只要有一个解，就有无穷多个（解 + 任意零空间向量）。
• 几何直觉：$\mathrm{N}(A)=\{\mathbf{0}\}$ 意味着没有任何非零方向被压扁，机器是”不丢失信息的”。等价地，$n$ 个列向量张开出一个 $n$ 维的子空间，即它们线性无关、没有一个是别人的线性组合。
• 具体示例（证明的关键一步）：$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 按列写就是 $x_1\mathbf{a}_1+\cdots+x_n\mathbf{a}_n=\mathbf{0}$。若列线性无关，则这个组合只有平凡解 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$，即 $\mathrm{N}(A)=\{\mathbf{0}\}$；反过来若存在非零的 $\mathbf{x}\in \mathrm{N}(A)$，那个组合就是列之间的一个非平凡线性关系，列线性相关。所以”零空间是否只有零”和”列是否无关”是同一件事的两种说法。而列无关 ⟺ 消元后 $n$ 列全是主元列 ⟺ 秩 $r=n$（此时 $m\ge n$，且没有自由变量）。本讲先把这条判据立起来，讲次 9 会把它做成完整理论。

三个集合的几何图景（1 维 / 2 维压缩的对照）

实例 1：A = [[1,2],[2,4]]  (2x2, rank 1) —— R^2 被压成一条线

      输入空间 R^2                          输出空间 R^2
         y                                      y
         |    N(A): 直线 t[-2,1]                |      C(A): 直线 t[1,2]
         |   /                                  |     /
         |  /  (被压成 0 的方向)                 |    /  (活下来的方向)
         | /                                    |   /
   ------+--------x                     --------+--------x
        /                                      /
       /                                      /
      两条直线互相垂直：  [1,2]·[-2,1] = 0
      dim C(A) = 1,  dim N(A) = 1,  1 + 1 = 2 = n

实例 2：A = [[1,2,3],[2,4,6],[1,2,3]]  (3x3, rank 1) —— R^3 被压成一条线

      输入空间 R^3                            输出空间 R^3
            z                                       z
            |    N(A): 平面 x1+2x2+3x3=0            |    C(A): 直线 t[1,2,1]
            |    (2 维, 法向量 n=[1,2,3])           |   /
            |   /                                   |  /
            |  /                                    | /
            +----------------y                      +----------------y
           /                                       /
          x                                       x

      但注意！输入空间的"平面"与输出空间的"直线"是两回事：
      法向量 n=[1,2,3] 是"行空间"的方向（住在输入空间 R^3）
      方向 [1,2,1] 是列向量本身（住在输出空间 R^3）
      被压掉 2 维，活下来 1 维： 2 + 1 = 3 = n = 输入维数

一个必须自己动手核对的反例

A = [[1,2,3],[2,4,6],[1,2,3]] 的 C(A) 方向是 [1,2,1]，N(A) 是平面 x1+2x2+3x3=0

问：C(A) 是否包含在 N(A) 里面？
检验 [1,2,1]： 1 + 2(2) + 3(1) = 8 ≠ 0   -> 不在 N(A) 里！

结论：C(A) ∩ N(A) = {0}（这里两个空间只在原点相交）。
      "列空间"与"零空间"是两把不同的尺子，不要混。
      真正互相正交的一对是 N(A) 与 C(A^T)（行空间），见讲次 14。

计算步骤与手算演示

示例 1：判断 $\mathbf{b}$ 是否在 C(A) 中（用消元法做”入栈检验”）

取

步骤 1（看清 A 的结构）：第二列 $=2\times$第一列，第三列 $=3\times$第一列，三列全部共线。所以秩 $r=1$，$\mathrm{C}(A)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中沿 $\mathbf{a}_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}$ 的一条过原点直线。

步骤 2（写增广矩阵并消元）：

[ 1  2  3 | 1 ]                      [ 1  2  3 | 1 ]
[ 2  4  6 | 2 ]  row2 -= 2*row1  ->  [ 0  0  0 | 0 ]
[ 1  2  3 | 1 ]  row3 -= 1*row1  ->  [ 0  0  0 | 0 ]

步骤 3（读结论）：出现 $0=0$ 的恒等行，没有 $0=1$ 形式的矛盾行，所以方程组相容，$\mathbf{b}\in \mathrm{C}(A)$。回代：$x_1+2x_2+3x_3=1$，取 $x_2=x_3=0$ 得一个特解 $\mathbf{x}_p=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$。核对 $A\mathbf{x}_p=\mathbf{a}_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}=\mathbf{b}$ ✓。

步骤 4（对一组 b 做集体检验）：规律是 $\mathbf{b}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}\in\mathrm{C}(A)$ 且仅当 $b_2=2b_1$ 且 $b_3=b_1$（因为 $\mathbf{b}=x_1\mathbf{a}_1$ 必须与 $\mathbf{a}_1$ 成比例）。逐一验证：

注意 $\begin{bmatrix}3\\6\\4\end{bmatrix}$ 这个陷阱：它的前两个分量”很像”在 C(A) 里（$6=2\times 3$），但第三个分量 $4\neq 3$ 破坏了比例关系，所以不在。这说明在 C(A) 里必须三个分量同时满足关系，部分匹配不算。

【计算机制解说】：为什么”消元后出现 $0=1$ 的行”就等价于”$\mathbf{b}\notin\mathrm{C}(A)$”？消元做的是行变换——把方程组换成另一个方程组，但解集完全相同（行变换是可逆的：$R_i\leftarrow R_i-cR_j$ 可以再减回去）。如果消元到最后某一行变成 $\begin{bmatrix}0&0&0&\vert &1\end{bmatrix}$，它代表的方程是 $0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=1$，无论 $\mathbf{x}$ 取什么都不成立，所以原方程组无解。反过来如果没有矛盾行，就说明 $\mathbf{b}$ 是各列的某个组合。更本质的说法是：行变换不改变零空间、不改变行空间，但会改变列空间——然而它保留了”列之间的线性关系”。所以消元后 $\mathbf{b}$ 能由主元列组合出来 ⟺ 原来 $\mathbf{b}$ 能由 $A$ 的列组合出来。（这一点在示例 3 会看到最强的形式。）

示例 2：2×2 秩 1 矩阵——把 C(A) 与 N(A) 全部算穿

取

步骤 1（看列）：$\mathbf{a}_1=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$，$\mathbf{a}_2=\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}=2\mathbf{a}_1$。所以 $r=1$，$\mathrm{C}(A)=\{t\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}:t\in\mathbb{R}\}$，是 $\mathbb{R}^2$ 中过原点的直线。

步骤 2（求零空间：直接解 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$）：

第二个方程是第一个的 2 倍，所以只有一个独立方程 $x_1+2x_2=0$，即 $x_1=-2x_2$。

步骤 3（参数化）：令自由变量 $x_2=1$，得 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}$；一般解 $\mathbf{x}=t\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}$。所以 $\mathrm{N}(A)=\{t\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}\}$，也是 $\mathbb{R}^2$ 中一条过原点的直线。

步骤 4（验算）：

步骤 5（几何核对）：$\mathrm{C}(A)$ 方向 $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$，$\mathrm{N}(A)$ 方向 $\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}$，点积 $1\cdot(-2)+2\cdot 1=0$——两条直线垂直。$1+1=2=n$：被压掉 1 维，活下来 1 维，加起来正好是输入空间的维数。

【计算机制解说】：这里出现了一个”维数守恒”的味道：$\dim\mathrm{C}(A)+\dim\mathrm{N}(A)=n$。为什么？把 $A$ 看成机器，输入空间 $\mathbb{R}^n$ 被分成两拨：被压到原点的方向（就是 $\mathrm{N}(A)$）和独立活下来的方向（数量等于秩 $r=\dim\mathrm{C}(A)$）。机器不会”无中生有”活下来的维度（所以 $r\le n$），也不会漏掉维度（所以 $r+\dim\mathrm{N}(A)=n$，秩-零化度定理）。本讲先用 2×2、3×3 的小例子把这种感觉建立起来，讲次 10 会给出一般证明。另一个重要副产品：对 $2\times 2$ 秩 1 矩阵，$\mathrm{C}(A)$ 与 $\mathrm{N}(A)$ 在这个例子里恰好垂直，但这不是普适规律（在实例 2 的 3×3 里 $\mathrm{C}(A)\cap\mathrm{N}(A)=\{\mathbf{0}\}$ 但两者并不互相正交，因为 $[1,2,1]$ 与 $[1,2,3]$ 点积 $=1+4+3=8\neq 0$）。真正的正交配对是 $\mathrm{N}(A)\perp \mathrm{C}(A^{\mathsf T})$。

示例 3：3×3 秩 1 矩阵——把 $A$ 写成外积 $\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf T}$，一眼看穿 C(A) 与 N(A)

取

步骤 1（发现外积结构）：观察各行都是 $[1,2,3]$ 的倍数（第 1、3 行 $=1\times[1,2,3]$，第 2 行 $=2\times[1,2,3]$），各列都是 $[1,2,1]$ 的倍数（第 2 列 $=2\times$，第 3 列 $=3\times$）。于是令

步骤 2（用外积写出 $A\mathbf{x}$）：

步骤 3（直接读出列空间）：输出永远是 $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}$ 的倍数，倍数由标量 $x_1+2x_2+3x_3$ 决定。所以

步骤 4（直接读出零空间）：$A\mathbf{x}=\mathbf{0}\iff \mathbf{v}\cdot\mathbf{x}=0\iff x_1+2x_2+3x_3=0$。这是 $\mathbb{R}^3$ 中过原点、以 $\mathbf{v}=[1,2,3]$ 为法向量的一张平面。取两个线性无关的解：

• 令 $x_2=1,x_3=0$：$x_1=-2$，得 $\mathbf{s}_1=\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}$；
• 令 $x_2=0,x_3=1$：$x_1=-3$，得 $\mathbf{s}_2=\begin{bmatrix}-3\\0\\1\end{bmatrix}$。

步骤 5（验算，一个个代入）：

步骤 6（维数核对）：$\dim\mathrm{C}(A)+\dim\mathrm{N}(A)=1+2=3=n$ ✓。触发”压扁”的维数是 2，因为 $A$ 的秩只有 1，其余 $3-1=2$ 个维度全被碾平。

【计算机制解说】：为什么秩 1 矩阵的零空间必然是 $n-1$ 维的”超平面”？因为秩 1 矩阵一定可以写成 $\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf T}$（$\mathbf{u}\neq\mathbf{0},\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$），于是 $A\mathbf{x}=\mathbf{u}(\mathbf{v}^{\mathsf T}\mathbf{x})$ 是一个标量乘以固定向量。它等于 $\mathbf{0}$ 当且仅当那个标量 $\mathbf{v}^{\mathsf T}\mathbf{x}=0$。而 $\mathbf{v}^{\mathsf T}\mathbf{x}=0$ 是一个齐次线性方程，它的解集是 $\mathbf{v}$ 的正交补，维数 $n-1$（在 $\mathbb{R}^3$ 里就是一张平面）。这个推导不需要任何消元就能看出全部几何——这就是”无消元也能看出的道理”的第一个样板：秩 1 矩阵把整个 $\mathbb{R}^n$ 压缩成一条线，只有与 $\mathbf{v}$ 垂直的那些方向被彻底压没了（用几何的话说：沿 $\mathbf{v}$ 方向的输入只是被缩放，垂直于 $\mathbf{v}$ 的输入被灭掉）。另外要特别注意：这里的 $A=\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf T}=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}$ 不是对称矩阵（$\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}\neq\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，核对 $A_{13}=3$ 而 $A_{31}=1$），所以 $\mathrm{C}(A)$ 不垂直于 $\mathrm{N}(A)$：$\mathrm{C}(A)$ 方向 $[1,2,1]$ 与零空间法向量 $[1,2,3]$ 的点积是 $1+4+3=8\neq 0$。真正的正交关系是 $\mathrm{N}(A)\perp\mathrm{C}(A^{\mathsf T})$（行空间），本例中行空间方向正是 $[1,2,3]$，即零空间平面的法向量。只有 $A$ 对称时行空间才等于列空间——示例 2 的 $\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$ 确实对称（$A_{12}=A_{21}=2$），所以那里 $\mathrm{C}(A)\perp\mathrm{N}(A)$ 成立。

示例 4：一个零空间中只有零的矩阵（列无关的样板）

步骤 1（行列式）：$\det B=1\cdot 7-2\cdot 3=1\neq 0$，所以 $B$ 可逆，秩 $r=2=n$。

步骤 2（解 $B\mathbf{x}=\mathbf{0}$）：用消元：$R_2\leftarrow R_2-3R_1$ 得 $\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}$，回代 $x_2=0$，再 $x_1=0$。所以 $\mathrm{N}(B)=\{\mathbf{0}\}$。

步骤 3（列空间）：两列 $\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\7\end{bmatrix}$ 不共线，所以 $\mathrm{C}(B)=\mathbb{R}^2$ 全体。$\dim\mathrm{C}(B)=2$，$\dim\mathrm{N}(B)=0$，$2+0=2=n$ ✓。

结论对照：$B$ 是”不丢信息”的机器——每个输出 $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^2$ 恰好对应唯一输入。而示例 2 的 $A$ 是”丢信息”的机器——$\mathrm{C}(A)$ 只占 $\mathbb{R}^2$ 的一条线，并且每个在 C(A) 里的输出都有无穷多个输入（差一个零空间向量）。

示例 5：$2\times 3$ 矩阵——”矮胖”矩阵也能把 C(A) 与 N(A) 的关系算穿

前面的例子都是方阵或”高瘦”矩阵，这里换一个”矮胖”的 $2\times 3$，看看哪些结论会变、哪些不变：

步骤 1（消元）：乘数 $\ell_{21}=2/1=2$，$R_2\leftarrow R_2-2R_1$：

于是行阶梯形与 RREF 都是

步骤 2（认列）：主元在第 1、3 列，自由列是第 2 列，$r=2$，$n=3$，所以 $\dim\mathrm{N}(A)=3-2=1$。这里出现了本讲第一个”自由列夹在两个主元列中间“的情形，提醒我们”自由列不一定排在末尾”（下面示例 6、L7 的示例 4 还会遇到自由列在开头的情形）。

步骤 3（求零空间）：RREF 给

令自由变量 $x_2=1$：

步骤 4（验算）：

步骤 5（列空间）：$r=2=m$（行满秩！），两行线性无关，所以 $\mathrm{C}(A)$ 张满整个 $\mathbb{R}^2$，$\dim\mathrm{C}(A)=2$。无论 $\mathbf{b}$ 取什么，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 都有解（下一讲的可解性判据在这里已经能看出：不存在会退化成 $0=c$ 的行）。

步骤 6（解集形状：本讲的”半成品”公式实测）：以 $\mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}$ 为例。消元（对增广矩阵）：

[ 1  2  3 | 3 ]  R2 -= 2*R1  ->  [ 1  2  3 | 3 ]
[ 2  4  7 | 5 ]                  [ 0  0  1 | -1 ]

第二个方程给出 $x_3=-1$；代回第一个方程 $x_1+2x_2-3=3$，即 $x_1+2x_2=6$。令自由变量 $x_2=0$，得特解

全部解是

抽查：$t=1$ 给 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}4\\1\\-1\end{bmatrix}$，$A\mathbf{x}=\begin{bmatrix}4+2-3\\8+4-7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}$ ✓；$t=-3$ 给 $\begin{bmatrix}12\\-3\\-1\end{bmatrix}$，$A\mathbf{x}=\begin{bmatrix}12-6-3\\24-12-7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}$ ✓；$t=2.5$ 给 $\begin{bmatrix}1\\2.5\\-1\end{bmatrix}$，$A\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1+5-3\\2+10-7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}$ ✓。三个不同输入、同一个输出——这正是”零空间里的方向被压没了”的物理含义。

步骤 7（几何图景）：$\mathrm{N}(A)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中沿 $\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}$ 的过原点直线；解集 $\mathbf{x}_p+\mathrm{N}(A)$ 是平行于这条直线、但不过原点的直线（它穿过 $\mathbf{x}_p$）。

        R^3 中的图景（把 N(A) 画成一条线，解集是它的平移）

              N(A): 过原点，方向 [-2,1,0]
                ·
               /
              /          <-- x_p + N(A)：平行但不过原点
             /                (b != 0 的解集，不是子空间)
        ----+------>  x_p = [6,0,-1] 落在这条平移线上
           /
          /

   要点：零空间过原点；非齐次解集是它的"平移副本"，整体不过原点。

【计算机制解说】：这个例子把上一讲的”半成品公式”用活了。解集 $=\mathbf{x}_p+\mathrm{N}(A)$ 之所以成立，是因为若 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{x}_p$ 都是解，则

两条信息各司其职：特解 $\mathbf{x}_p$ 负责”落到目标平面上”（存在性），零空间 $\mathrm{N}(A)$ 负责”在这张平面上自由滑动”（不唯一性）。所以 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集维数恒等于 $\dim\mathrm{N}(A)=n-r$；本例是 $3-2=1$，一条直线。另外注意本例中 $\dim\mathrm{C}(A)=2$、$\dim\mathrm{N}(A)=1$，”输出空间被张满、输入空间丢一维”两者并不矛盾——它们是不同空间里的维数。

示例 6：$3\times 3$ 秩 2 矩阵——零空间是”行空间的正交补”

前面几个例子的秩都是 1，几何比较退化。这一个秩 2，是”零空间是 1 维、列空间是 2 维平面”的样板，也是第一次能看出行空间与零空间正交的小例子。

步骤 1（消元）：$R_2\leftarrow R_2-2R_1$，$R_3\leftarrow R_3-R_1$：

然后 $R_3\leftarrow R_3-R_2$：

步骤 2（化到 RREF）：$R_1\leftarrow R_1-2R_2$：$(1,2,3)-2(0,1,2)=(1,0,-1)$。

步骤 3（读数）：主元列 $=\{1,2\}$，自由列 $=\{3\}$，$r=2$，$\dim\mathrm{N}(A)=3-2=1$，$\dim\mathrm{C}(A)=2$。RREF 给出

步骤 4（验算）：

步骤 5（几何：$A$ 的列空间是一张平面，$N(A)$ 是一条直线）：三列是 $\mathbf{a}_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}$、$\mathbf{a}_2=\begin{bmatrix}2\\5\\3\end{bmatrix}$、$\mathbf{a}_3=\begin{bmatrix}3\\8\\5\end{bmatrix}$。三者有关系 $\mathbf{a}_1-2\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3=\mathbf{0}$（正是 $\mathbf{s}$ 告诉我们的话），即 $\mathbf{a}_3=2\mathbf{a}_2-\mathbf{a}_1=\begin{bmatrix}4-1\\10-2\\6-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\8\\5\end{bmatrix}$ ✓。所以 $\mathrm{C}(A)=\operatorname{span}\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中过原点的平面，其法向量为

即 $\mathrm{C}(A)$ 是平面 $x_1-x_2+x_3=0$。这是检验 $\mathbf{b}\in\mathrm{C}(A)$ 的第三种方法（前两种是消元法和”能否被主元列组合”）。

步骤 6（三次交叉核对同一个结论）：

步骤 7（关键的正交关系：$N(A)\perp C(A^{\mathsf T})$）：$A$ 的行是 $\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}2&5&8\end{bmatrix}$（第 3 行是前两行之和，不贡献新方向），所以行空间 $\mathrm{C}(A^{\mathsf T})=\operatorname{span}\{[1,2,3],[2,5,8]\}$，这是 $\mathbb{R}^3$ 中的平面（住在输入空间里，因为行向量长度是 $n=3$）。它的法向量是

这正是我们的零空间方向 $\mathbf{s}$！ 直接点积验证：

所以 $\mathrm{N}(A)$ 恰好是行空间的正交补：$\mathrm{N}(A)\perp\mathrm{C}(A^{\mathsf T})$。这就是本课程最重要的正交关系在 $3\times 3$ 上的第一次亮相（讲次 14 会正式证明）。

步骤 8（一个反面提醒）：$\mathrm{N}(A)$ 并不垂直于 $\mathrm{C}(A)$！核对：

教训：$\mathrm{N}(A)$ 垂直于行空间（$\mathrm{C}(A^{\mathsf T})$），不垂直于列空间（$\mathrm{C}(A)$）。这两件事在讲次 10 的四子空间图里会画成两条不同的直角关系。只有当 $A$ 对称时，行空间与列空间重合，两者才”看起来一样”——这也解释了为什么前面那些对称的秩 1 例子里 $\mathrm{C}(A)\perp\mathrm{N}(A)$ 成立，而本例（$A$ 不对称）不成立。

示例 7：$3\times 2$ 矩阵 $E=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{bmatrix}$——”高瘦”矩阵：零空间只有零，但列空间只是平面

步骤 1（看列）：两列 $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$ 线性无关，$r=2=n$。

步骤 2（零空间）：$E\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\0\end{bmatrix}=\mathbf{0}$ 要求 $x_1=x_2=0$，所以 $\mathrm{N}(E)=\{\mathbf{0}\}$，$\dim\mathrm{N}(E)=2-2=0$。没有自由变量、没有特殊解、没有主元以外的列。

步骤 3（列空间）：$\mathrm{C}(E)=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$ = $\mathbb{R}^3$ 中的 $xy$ 平面，$\dim\mathrm{C}(E)=2<3=m$。注意”列无关”并不等于”列空间是整个 $\mathbb{R}^3$”——两列只能张出 2 维，缺的那一维（$z$ 轴）永远造不出来。

步骤 4（对照转置的零空间）：$E^{\mathsf T}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}$（$2\times 3$）。$E^{\mathsf T}\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\mathbf{0}$ 只要求 $x_1=x_2=0$，$x_3$ 完全自由，所以

两条信息的合读：$E^{\mathsf T}$ 的零空间方向 $\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$ 恰是 $E$ 造不出来的那个方向——这正是”$\mathbb{R}^m=\mathrm{C}(A)\oplus\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$”的几何含义（讲次 10 的主题）：输出空间被”能造出来的部分”和”永远造不出来的部分”正交地一分为二。

四个基本子空间的维数一览（懒人表，全部按 $A:m\times n$、秩 $r$ 计算）

 子空间              符号        宿主空间        维数        直观含义
 ---------------------------------------------------------------------------------------
 列空间              C(A)        R^m (输出)      r          A 能生成的全部输出
 零空间              N(A)        R^n (输入)      n - r      被 A 压成 0 的全部输入
 行空间              C(A^T)      R^n (输入)      r          各行张成的方向（= 活下来的输入部分）
 左零空间            N(A^T)      R^m (输出)      m - r      "造不出来"的输出方向
 ---------------------------------------------------------------------------------------
 必然成立： dim C(A) = dim C(A^T) = r
            dim N(A) + dim C(A^T) = (n-r) + r = n     ->  R^n = C(A^T) 直和 N(A)
            dim N(A^T) + dim C(A) = (m-r) + r = m     ->  R^m = C(A)  直和 N(A^T)
 正交关系： N(A) ⊥ C(A^T)  且  N(A^T) ⊥ C(A)          (讲次 14 正式证明)

用示例 6 的 $A$（$3\times 3$，$r=2$）代入检验：$\dim\mathrm{C}(A)=2$，$\dim\mathrm{N}(A)=1$，$\dim\mathrm{C}(A^{\mathsf T})=2$，$\dim\mathrm{N}(A^{\mathsf T})=3-2=1$；且 $2+1=3=n$ ✓、$1+2=3=m$ ✓。用示例 7 的 $E$（$3\times 2$，$r=2$）：$\dim\mathrm{C}(E)=2$、$\dim\mathrm{N}(E)=0$、$\dim\mathrm{C}(E^{\mathsf T})=2$、$\dim\mathrm{N}(E^{\mathsf T})=1$；$2+0=2=n$ ✓、$1+2=3=m$ ✓。

示例 8：$\mathbf{b}\in\mathrm{C}(A)$ 的三把尺子（总结成可复用的检查清单）

给定 $A$ 与 $\mathbf{b}$，判断 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是否有解，有三个等价途径，任选一把：

1. 消元尺（最通用）：写增广矩阵 $\begin{bmatrix}A&\mathbf{b}\end{bmatrix}$，消元。出现形如 $\begin{bmatrix}0&\cdots&0&\vert &c\end{bmatrix}$ 且 $c\neq 0$ 的行 ⟹ 无解；否则有解。依据：行变换保持解集不变。
2. 列组合尺（最本质）：看 $\mathbf{b}$ 能否写成 $A$ 各列的线性组合。等价的实用写法是”$\mathbf{b}$ 是否能由主元列组合出来“，系数就是下一讲要算的特解 $\mathbf{x}_p$ 的主元分量。
3. 正交尺（最优雅，但要多算一步）：先求出 $\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$（左零空间）的一组基 $\mathbf{y}1,\dots,\mathbf{y}{m-r}$，然后检查 $\mathbf{y}_k\cdot\mathbf{b}=0$ 是否对每个 $k$ 都成立。全部成立 ⟹ 有解。依据：$\mathrm{C}(A)^{\perp}=\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$，即”$\mathbf{b}$ 与所有左零向量正交”⟺”$\mathbf{b}$ 落在列空间里”。

用示例 6 的 $A$ 实测第三把尺子：$\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中左零空间，维数 $m-r=3-2=1$。求它：解 $A^{\mathsf T}\mathbf{y}=\mathbf{0}$，即

第二式减 $2\times$第一式：$y_2+y_3=0$，即 $y_2=-y_3$；代回第一式：$y_1+2(-y_3)+y_3=0$，即 $y_1=y_3$。所以 $\mathrm{N}(A^{\mathsf T})=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\right\}$——正是列空间平面的法向量 $\mathbf{n}$（与步骤 5 的叉积结果一致）。于是

与步骤 5 的平面方程完全吻合 ✓。第三把尺子的价值：当 $A$ 的行数远大于列数（很多方程、很少未知数）时，算 $\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$ 可能比消元整个增广矩阵更省事；它也是最小二乘”正规方程残差”的理论来源（残差 $\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}}\in\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$，讲次 16）。

三条信息的内在联系（把这四种空间”缝”在一起）

最后用一张”关系网络”图把本讲所有概念收束起来。注意箭头两侧的空间维度不同，任何运算都必须先问”我在哪个空间里”：

                    R^n  （输入空间，n = 列数）
   ┌──────────────────────────────────────────────────────────┐
   │                                                          │
   │   行空间 C(A^T)                 零空间 N(A)               │
   │   = 活下来的输入部分            = 被压成 0 的输入部分      │
   │   dim = r                       dim = n - r               │
   │        │                              │                  │
   │        └──── 正交（讲次 14）───────────┘                  │
   │        两者直和充满整个 R^n：r + (n-r) = n                │
   │                                                          │
   └──────────────────────────────────────────────────────────┘
                              │
                              │  A  （线性映射，丢掉 n-r 维）
                              ▼
                    R^m  （输出空间，m = 行数）
   ┌──────────────────────────────────────────────────────────┐
   │                                                          │
   │   列空间 C(A)                   左零空间 N(A^T)           │
   │   = A 能生成的全部输出           = A 永远造不出的方向      │
   │   dim = r                       dim = m - r               │
   │        │                              │                  │
   │        └──── 正交（讲次 14）───────────┘                  │
   │        两者直和充满整个 R^m：r + (m-r) = m                │
   │                                                          │
   └──────────────────────────────────────────────────────────┘

   本讲的两个主角：输入侧的 C(A^T) 与 N(A) 是一对对偶；
                   输出侧的 C(A) 与 N(A^T) 是另一对对偶。
   而我们最关心的 C(A)（输出侧）与 N(A)（输入侧）住在不同空间里，
   当 m ≠ n 时它们根本无法直接"相加"或"比较大小"。

这张图要背下来。 它是整个 18.06 后半程的坐标系：讲次 8 的解集公式 $\mathbf{x}_p+\mathrm{N}(A)$ 说的是”先落进输出侧的 $\mathrm{C}(A)$，再沿输入侧的 $\mathrm{N}(A)$ 滑动”；讲次 14 的投影说的是”把不在 $\mathrm{C}(A)$ 里的 $\mathbf{b}$ 正交投影进去”；讲次 16 的最小二乘说的是”用 $\mathrm{C}(A)$ 上的最近点代替无解的 $\mathbf{b}$”；讲次 29 的 SVD 说的是”用两组正交基把这四个空间同时对角化”。

矩阵分解的核心思想

• 秩 1 分解 $A=\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf T}$（外积分解）：本讲示例 3 已经把 $A=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}$ 算穿。这是”积木分解”的最小单元：秩 $r$ 的矩阵可以写成 $r$ 个秩 1 外积之和 $A=\sum_{k=1}^r \mathbf{u}_k\mathbf{v}_k^{\mathsf T}$。这个视角会在讲次 11 被系统化为 $A=\mathrm{CR}$（$C$ 取 $A$ 的 $r$ 个主元列，$R$ 取消元后 $R$ 的前 $r$ 行），并在讲次 29 的 SVD 里以”最优的一组秩 1 积木”的面目回归。
• $A=\mathrm{CR}$（列 $\times$ 行，讲次 11 正式登场）：本讲其实已经用到它了。对示例 1/3 的 $A$，主元列只有 1 列 $\mathbf{a}_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}$，而 $R=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}$ 是”每列在主元列坐标下的系数”，于是 $A=\mathbf{a}_1R=\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf T}$。关键认识：$R$ 的第 2、3 列（$2$ 和 $3$）恰好告诉我们”第 2、3 列 = 2 倍、3 倍第 1 列”。$R$ 记录的就是列之间的线性关系——这就是为什么消元（行变换）虽然改变列空间，却不破坏列关系。
• $A=\mathrm{LU}$（讲次 4-5 已引入）：消元是求零空间的引擎。$A=\mathrm{LU}$ 说明消元是可逆的线性组合过程；因为 $\mathrm{L}$ 可逆，$A\mathbf{x}=\mathbf{0}\iff \mathrm{U}\mathbf{x}=\mathbf{0}$，所以 $\mathrm{N}(A)=\mathrm{N}(\mathrm{U})$——列空间被消元改变了，但零空间丝毫不动。这是下一讲整个算法的合法性的基石。
• 为什么零空间如此”抗消元”？ 因为消元是左乘可逆矩阵：$E_k\cdots E_1A=U$，记 $L^{-1}=E_k\cdots E_1$，则 $\mathrm{U}=L^{-1}A$。于是 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}\iff L^{-1}A\mathbf{x}=\mathbf{0}\iff \mathrm{U}\mathbf{x}=\mathbf{0}$（左乘可逆矩阵不改变解集）。而对列空间：$\mathrm{C}(\mathrm{U})\neq\mathrm{C}(A)$ 一般是错的——例如示例 1 中 $\mathrm{C}(A)$ 是沿 $[1,2,1]$ 的线，而 $\mathrm{C}(\mathrm{U})$ 是沿 $[1,0,0]$ 的线（$x$ 轴）。同一份列关系，不同的列空间，同一个零空间。 这句话值得抄在笔记本第一页。

与其他讲次的关联

• 与讲次 4-5（消元、$A=\mathrm{LU}$、转置）：本讲把消元从”解方程的工具”升级为”探测子空间结构的探针”；消元产生的主元个数就是秩，也是 $\dim\mathrm{C}(A)$。转置 $A^{\mathsf T}$ 在本讲已露头：$\mathrm{C}(A^{\mathsf T})$ 叫做行空间，它住在 $\mathbb{R}^n$（不是 $\mathbb{R}^m$！常见错误），是讲次 10 的四个基本子空间之一。
• 与讲次 7（本文件下一讲）：本讲把 $\mathrm{N}(A)$ 定义清楚了，但还没有给出系统算法。下一讲给出完整流程：消元到 $U$ / RREF $\to$ 认主元列与自由列 $\to$ 自由变量轮流取 1 得特殊解 $\to$ $\mathrm{N}(A)=\operatorname{span}\{\text{特殊解}\}$，并证明 $\dim\mathrm{N}(A)=n-r$。
• 与讲次 8（求解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$）：本讲的核心等价”有解 $\iff\mathbf{b}\in\mathrm{C}(A)$”和”解集 = 特解 + $\mathrm{N}(A)$”会在下一讲被做成完整的可解性判据（$\mathbf{b}$ 的可解性只看 $\mathbf{b}$ 是否与各行的组合相容，即 $\mathbf{b}\perp\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$）。
• 与讲次 9（线性无关、基、维数）：本讲结尾的判据”$\mathrm{N}(A)=\{\mathbf{0}\}\iff$ 列无关 $\iff r=n$”就是讲次 9 的主题；届时”基”这个词会被正式定义，而 $\{\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2\}$ 将被称为 $\mathrm{N}(A)$ 的一组基。
• 与讲次 10（四个基本子空间）：本讲的两个空间（C(A) 在 $\mathbb{R}^m$、N(A) 在 $\mathbb{R}^n$）加上它们的转置伙伴（$\mathrm{C}(A^{\mathsf T})$ 在 $\mathbb{R}^n$、$\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$ 在 $\mathbb{R}^m$）构成课程的统一框架：$\dim\mathrm{C}(A)=\dim\mathrm{C}(A^{\mathsf T})=r$，$\dim\mathrm{N}(A)=n-r$，$\dim\mathrm{N}(A^{\mathsf T})=m-r$，且 $\mathbb{R}^n=\mathrm{C}(A^{\mathsf T})\oplus\mathrm{N}(A)$、$\mathbb{R}^m=\mathrm{C}(A)\oplus\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$。
• 与讲次 14-17（正交、投影、最小二乘）：$\mathrm{N}(A)\perp\mathrm{C}(A^{\mathsf T})$ 是正交章节的地基。本讲示例 3 里”零空间平面的法向量 $[1,2,3]$ 恰好是行空间方向”就是这个定理的 3×3 可视化。当 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 无解时，我们退而求其次解 $A^{\mathsf T}A\hat{\mathbf{x}}=A^{\mathsf T}\mathbf{b}$，其几何意义正是”把 $\mathbf{b}$ 投影到 $\mathrm{C}(A)$ 上”；投影误差 $\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}}$ 落在 $\mathrm{C}(A)^{\perp}=\mathrm{N}(A^{\mathsf T})$ 里。
• 与讲次 21-25（特征值）：$\mathrm{N}(A-\lambda I)$ 就是”特征空间”——本讲的零空间就是 $\lambda=0$ 时的特征空间。因此 $\dim\mathrm{N}(A)>0\iff A$ 有特征值 $0\iff A$ 奇异。
• 与讲次 11-12（矩阵空间、图与网络）：图的关联矩阵的零空间维数就是”连通分支数”，这是 A 的零空间最有画面感的应用之一。

关键要点

1. 子空间的三件事：过原点 + 对加法封闭 + 对数乘封闭（后两条合起来 = 对线性组合封闭）。$\mathbb{R}^3$ 的子空间只有点、过原点直线、过原点平面、整个 $\mathbb{R}^3$ 四类。
2. 两个空间的地位：$\mathrm{C}(A)\subseteq\mathbb{R}^m$ 由列张成（每个列向量长 $m$，由行数决定）；$\mathrm{N}(A)\subseteq\mathbb{R}^n$ 由 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 定义（$\mathbf{x}$ 长 $n$，由列数决定）。列空间的宿主维数是行数 $m$，零空间的宿主维数是列数 $n$——这是最容易记反的一对。
3. 存在性与唯一性各归各管：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解 $\iff \mathbf{b}\in\mathrm{C}(A)$；解唯一 $\iff \mathrm{N}(A)=\{\mathbf{0}\}$。两者彼此独立，实战中只有三种情形：
   • $\mathbf{b}\in\mathrm{C}(A)$ 且 $r=n$ ⟹ 恰好一个解；
   • $\mathbf{b}\in\mathrm{C}(A)$ 且 $r<n$ ⟹ 无穷多个解（$\mathbf{x}_p+\mathrm{N}(A)$）；
   • $\mathbf{b}\notin\mathrm{C}(A)$ ⟹ 无解，此时去讨论”解是否唯一”毫无意义。

   最容易搞混的是第二种与第三种都”看起来不唯一/很麻烦”，但它们的性质完全不同：前者有解、后者没解。判别只用一把尺子：$\mathbf{b}$ 是否在 $\mathrm{C}(A)$ 里；唯一性只用另一把尺子：$\mathrm{N}(A)$ 是否只有零。不要用一把尺子回答另一个问题。

4. 解集公式（本讲的”半成品”，下一讲补全）：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$（$\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$）的解集 $=\mathbf{x}_p+\mathrm{N}(A)$，不是子空间（因为不含原点）；只有 $\mathbf{b}=\mathbf{0}$ 时它才是子空间。
5. 黄金等价链：$\mathrm{N}(A)=\{\mathbf{0}\}\iff A$ 的列线性无关 $\iff$ 无自由变量 $\iff r=n\iff A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解（若有）唯一 $\iff$ 消元后主元个数等于列数。
6. 秩-零化度（预告，讲次 10 严格证明）：$\dim\mathrm{C}(A)+\dim\mathrm{N}(A)=r+(n-r)=n$。输入空间的维数守恒：被压掉的 + 活下来的 $=$ 全部。

常见误区与注意事项

1. 把行空间说成 $\mathbb{R}^m$ 里的。$\mathrm{C}(A^{\mathsf T})\subseteq\mathbb{R}^n$（行向量的长度是 $n$）。同理 $\mathrm{N}(A^{\mathsf T})\subseteq\mathbb{R}^m$。记忆法：转置把 $m$ 和 $n$ 换了，所以 $A^{\mathsf T}$ 的列空间在 $\mathbb{R}^n$ 里。这四个空间的宿主必须一次记对，否则后面所有维数公式都会配错。
2. 以为 $\mathrm{C}(A)=\mathrm{C}(U)$。大错。行变换保留行空间、保留零空间，但改变列空间。示例 1 中 $\mathrm{C}(A)$ 沿 $[1,2,1]$，而消元后的 $\mathrm{C}(U)$ 沿 $[1,0,0]$（$x$ 轴），完全不同。但列之间的线性关系被保留：$A$ 的第 2 列是第 1 列的 2 倍，$U=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ 的第 2 列 $\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}$ 也确实是第 1 列 $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$ 的 2 倍。所以判断 $\mathbf{b}\in\mathrm{C}(A)$ 时要用 $A$ 的列做组合，不能拿 $U$ 的列去组合。

3. 以为 $\mathrm{C}(A)$ 和 $\mathrm{N}(A)$ 是同一空间里的两个东西、可以互相比较。它们住在不同的空间（除非 $m=n$），即使同维也不能随便”相加”。另外 $\mathbf{0}$ 同时属于两者，但一般来说 $\mathrm{C}(A)\cap\mathrm{N}(A)$ 在 $m=n$ 时可以大于 $\{\mathbf{0}\}$——甚至可能完全重合。最干净的反例是 $A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$：

   \[A\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_2\\0\end{bmatrix},\qquad \mathrm{C}(A)=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right\}=\text{$x$ 轴},\]

   而 $\mathrm{N}(A)$ 要求 $x_2=0$（$x_1$ 完全自由），所以 $\mathrm{N}(A)=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right\}$也是 $x$ 轴。此时 $\mathrm{C}(A)=\mathrm{N}(A)$，两个空间重合。核对维数：$\dim\mathrm{C}(A)=1$、$\dim\mathrm{N}(A)=1$，$1+1=2=n$ ✓（维数公式依然成立，但”两个空间不同”这个直觉在这里失效了）。这是最容易被忽视的坑：判断时永远回到定义去算，不要凭感觉。

4. 把 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集叫”子空间”。$\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$ 时它不含原点，且两个解之和一般不是解（$A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=2\mathbf{b}\neq\mathbf{b}$）。只有齐次问题（$\mathbf{b}=\mathbf{0}$）的解集才是子空间。
5. 混淆 $\dim\mathrm{N}(A)=n-r$ 与 $\dim\mathrm{N}(A^{\mathsf T})=m-r$。前者的宿主是 $\mathbb{R}^n$（自由变量是列里的非主元列），后者的宿主是 $\mathbb{R}^m$。算哪个就先问”我乘的是 $A$ 还是 $A^{\mathsf T}$”。
6. 忘记”子空间必须过原点”就去画图。常见错误是对 $\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ 说”$\mathrm{C}(A)=\{t[1,2]+[1,2]\}$”之类的平移集合——那是仿射集。列空间永远是 $\{t\mathbf{a}_1+s\mathbf{a}_2\}$，系数可以取 0，所以过原点。
7. 用行列式判秩时受形状误导。$3\times 4$ 矩阵没有行列式，但照样有秩、列空间、零空间。$\dim\mathrm{N}(A)=n-r$、$\dim\mathrm{N}(A^{\mathsf T})=m-r$ 对所有形状都成立，与 $m,n$ 谁大无关。

思考题（带答案）

Q1. 设

(a) 求 $\mathrm{C}(A)$ 与 $\mathrm{N}(A)$ 的维数，并写出 $\mathrm{N}(A)$ 的一组基；(b) 判断 $\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$ 是否在 $\mathrm{C}(A)$ 中，并说明理由；(c) 判断 $\mathbf{b}^{\prime}=\begin{bmatrix}2\\4\\3\end{bmatrix}$ 是否在 $\mathrm{C}(A)$ 中。

Q2. 设 $A$ 是 $3\times 5$ 矩阵，且 $\dim\mathrm{N}(A)=2$。回答：(a) 秩 $r=$？(b) $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^3$ 时 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集可能是什么形状？(c) 是否存在某个 $\mathbf{b}$ 使得 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 恰有唯一解？(d) $\dim\mathrm{N}(A^{\mathsf T})=$？

Q3. （概念题）判断下列命题真假并说明理由。(a) “若 $\mathbf{u},\mathbf{v}\in S$ 且 $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in S$，则 $S$ 是子空间。”(b) “$\mathrm{C}(A)$ 总是一个子空间，即使 $A$ 是 $2\times 3$ 的。”(c) “若 $\mathrm{N}(A)=\{\mathbf{0}\}$，则 $A$ 一定有逆矩阵。”(d) “$\mathrm{N}(A)$ 与 $\mathrm{C}(A)$ 都是子空间，所以 $\dim\mathrm{N}(A)+\dim\mathrm{C}(A)=n$。”