Lecture 28: Similar Matrices and Jordan Form

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Lecture 28: Similar Matrices and Jordan Form

概述

本讲回答两个连在一起的问题：第一，两个矩阵”长得不一样”却在本质上相同，这件事怎么刻画？ 答案是相似（similar）：存在可逆矩阵 $M$ 使 $B = M^{-1}AM$。第二，如果一个矩阵不能对角化（$A = S\Lambda S^{-1}$ 做不到），退而求其次能得到什么？ 答案是 Jordan 形（Jordan form）$A = MJM^{-1}$，它是”最接近对角”的矩阵。

本讲的核心定理是：相似矩阵有相同的特征值（进而 trace、det、秩、特征多项式都相同）。几何上，相似就是同一个线性变换在不同基下的矩阵表示。Jordan 形定理则给出相似类的完全分类不变量：两个矩阵相似 $\iff$ 它们有相同的 Jordan 形（不计块的排列顺序）。这正好接上讲次 22（对角化）、讲次 23（$e^{At}$），下接讲次 29（SVD 是比 Jordan 更稳定的替代品）与讲次 30–31（换基的几何意义）。

核心概念的几何直觉

概念一：相似（Similar Matrices）

• 定义与目的：设 $A,B$ 都是 $n\times n$ 矩阵。若存在可逆矩阵 $M$（$n\times n$）使得 \(B = M^{-1}AM,\) 则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A \sim B$。$B$ 称为 $A$ 经 $M$ 的相似变换（similarity transformation）。目的：把矩阵换成”更好用”的坐标描述，而不丢掉变换的本质信息。

• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：$M$ 的角色是换基（change of basis）。$A$ 是以标准基为”语言”写下的线性变换 $T$；$M^{-1}AM$ 是同一个 $T$ 换用另一组基写下的矩阵。变换本身（拉伸哪些方向、拉伸多少倍、是否扭曲）一个字节都没变，变的只是”坐标说法”。因此特征值必须不变——特征值属于变换，不属于坐标。

  读法上要区分：$M$ 的列向量就是新基的向量。若 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$，那么 $B(M^{-1}\mathbf{x}) = \lambda (M^{-1}\mathbf{x})$：特征值原地不动，特征向量被 $M^{-1}$ 翻译成新坐标。

• 具体示例：$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$（$\lambda = 3, 1$），$M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，则 $B = M^{-1}AM = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$。$B$ 是下三角的”好矩阵”，但 $\mathrm{tr} = 4$、$\det = 3$、特征值 $\{3,1\}$ 与 $A$ 一模一样。计算细节见下一节示例 (a)。

概念二：特征值的相似不变性

• 定义与目的：关键定理——若 $B = M^{-1}AM$，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值（含代数重数）。

• 证明（一步步来，不能跳）： \(\det(B - \lambda I) = \det(M^{-1}AM - \lambda I).\) 关键技巧是把 $\lambda I$ 也写成 $M^{-1}\lambda I M$（因为 $M^{-1}IM = I$，这是恒等变形，不是”凑答案”）： \(= \det\bigl(M^{-1}AM - M^{-1}(\lambda I)M\bigr) = \det\bigl(M^{-1}(A - \lambda I)M\bigr).\) 再用行列式的乘法法则 $\det(XYZ) = \det X \det Y \det Z$： \(= \det(M^{-1})\det(A-\lambda I)\det(M) = \frac{1}{\det M}\det(A-\lambda I)\det M = \det(A - \lambda I).\) 所以 $p_B(\lambda) \equiv p_A(\lambda)$，特征多项式逐项相等，特征值当然相等。$\blacksquare$

• 推论（相似不变量 similarity invariants）：既然特征多项式相同，则
  • trace：$\mathrm{tr}(B) = \mathrm{tr}(A)$（等于特征值之和）；
  • det：$\det B = \det A$（等于特征值之积）；
  • 秩：$\mathrm{rank}(B) = \mathrm{rank}(A)$（$M, M^{-1}$ 可逆，是满秩因子，不改变秩）；
  • 特征多项式、特征值（含重数）、$A^k$ 的特征值也都相同。 唯一不保证相同的是特征向量——它随坐标系改变而改变（这一点是学生最容易错的地方，见”常见误区”）。
• 具体示例：上例 $A$ 与 $B$：$\mathrm{tr} = 4 = 4$，$\det = 3 = 3$，$\mathrm{rank} = 2 = 2$，但 $A$ 的 $\lambda=3$ 的特征向量是 $\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}$，$B$ 的是 $\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}$——值同、向量不同。

概念三：缺陷矩阵（Defective Matrix）与几何重数

• 定义与目的：若 $n\times n$ 矩阵 $A$ 有某个特征值 $\lambda$ 使 \(\text{几何重数} = \dim N(A - \lambda I) = n - \mathrm{rank}(A-\lambda I) \;<\; \text{代数重数},\) 则 $A$ 的独立特征向量个数不足 $n$ 个，$S$ 不可逆，$A$ 不可对角化，称 $A$ 是缺陷矩阵（defective）。

• 几何直觉：可对角化意味着”存在 $n$ 个互不平行的特征方向，空间被这 $n$ 个方向张成，变换在每个方向上只是纯拉伸”。缺陷意味着特征方向不够用，空间里有些方向没有对应的”纯拉伸”方向，变换在那里必然带有剪切（shear）成分。这就是 Jordan 块出现的几何根源。

• 具体示例：$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$：$\lambda = 4$ 是二重根（代数重数 2），但 $A - 4I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 的秩为 1，故 $\dim N(A-4I) = 2 - 1 = 1$：只有 1 个独立特征向量（几何重数 1）。$1 < 2$，不可对角化。$A$ 本身就是一个 $2\times 2$ 的 Jordan 块 $J_2(4)$。

概念四：Jordan 块与 Jordan 形

• 定义与目的：$k\times k$ 的 Jordan 块 $J_k(\lambda)$ 是对角元全为 $\lambda$、上对角线（superdiagonal）全为 1、其余为 0 的矩阵。Jordan 形定理：每个 $n\times n$ 复矩阵 $A$ 都相似于一个分块对角矩阵 \(J = \begin{bmatrix} J_{k_1}(\lambda_1) & & \\ & \ddots & \\ & & J_{k_m}(\lambda_m) \end{bmatrix} = M^{-1}AM,\) 其中 $k_1 + \cdots + k_m = n$，且在不计各块排列顺序的意义下 $J$ 唯一。$J$ 是”最接近对角”的形式，也是相似类（similarity class）的完全分类不变量。

• 几何直觉：对角矩阵 $S^{-1}AS$ 表示”$n$ 个纯拉伸方向”；Jordan 形表示”对角部分 + 上对角线的剪切”。块越大，剪切链越长：一个 $J_k(\lambda)$ 意味着存在一条长度为 $k$ 的广义特征向量链 $\mathbf{x}1 \to \mathbf{x}_2 \to \cdots \to \mathbf{x}_k$，每个 $\mathbf{x}{i+1}$ 在 $(A-\lambda I)$ 作用下”落回” $\mathbf{x}_i$，只有链首 $\mathbf{x}_1$ 是真正的特征向量。

• 具体示例：$J_3(5) = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ 只有 1 条链、1 个真特征向量；而 $\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = J_1(5)\oplus J_2(5)$ 有 2 个真特征向量。

概念五：相似是一个等价关系，Jordan 形是每个相似类的”标准代表元”

• 定义与目的：把 $n\times n$ 矩阵按”是否相似”分类，会得到若干相似类（similarity class）。相似关系满足三条：
  • 自反：$A = I^{-1}AI$，故 $A \sim A$；
  • 对称：若 $B = M^{-1}AM$，则 $A = (M^{-1})^{-1}BM^{-1}$，故 $A\sim B \Rightarrow B\sim A$；
  • 传递：若 $B = M_1^{-1}AM_1$、$C = M_2^{-1}BM_2$，则 $C = (M_1M_2)^{-1}A(M_1M_2)$，故 $A\sim B$、$B\sim C \Rightarrow A\sim C$。
• 几何直觉：一个相似类 $=$ 一个抽象的线性变换 $T$ 加一句”允许自由选基”。类里的每个矩阵都是 $T$ 在某组基下的”照片”，照片之间由换基矩阵 $M$ 互相翻译。因此”研究线性变换”的现代路线就是：挑一类里最好看的那个矩阵来研究。可对角化时挑对角阵 $\Lambda$；一般情形挑 Jordan 形 $J$。
• 为什么 Jordan 形能当代表元：类里所有矩阵都有相同的 Jordan 形（不计块序），不同类的 Jordan 形必不同，所以 $J$ 既不重复（类内唯一）又不遗漏（区分不同类）。这正是”完全分类不变量”的含义：$A\sim B \iff J_A = J_B$（不计块序）。
• 具体示例：$\mathbb{R}^{2\times2}$ 中取 $\lambda=4$，有两个截然不同的相似类：一个是 $B = 4I$ 所在的”可对角化类”（Jordan 形 $J_1(4)\oplus J_1(4)$），另一个是 $A = J_2(4)$ 所在的”缺陷类”（Jordan 形 $J_2(4)$）。这两类互不相交，尽管两类里所有矩阵的 trace 都是 8、det 都是 16。可见相似类比”trace/det 相同”精细得多。

概念六：Schur 分解——数值计算中相似的”稳定替身”

• 定义与目的：对任意 $n\times n$ 实（或复）矩阵 $A$，存在正交（复情形为酉）矩阵 $Q$ 使 \(A = Q T Q^{\mathsf{T}}, \qquad T \text{ 上三角（复情形可让 } T \text{ 对角元素即特征值）}.\) 注意：$Q^{-1} = Q^{\mathsf{T}}$，所以这也是一种相似变换，只是额外要求变换矩阵是正交的。
• 几何直觉：正交变换 $=$ 旋转/反射，它不拉伸长度、不放大误差（$\vert Q\mathbf{x}\vert = \vert \mathbf{x}\vert $，条件数 $\kappa(Q)=1$）。因此”用 $Q$ 换基”是数值上最安全的换基。$T$ 上三角意味着特征值就摆在对角线上（$\det(T - \lambda I)$ 展开即 $\prod (t_{ii}-\lambda)$），不需要解特征方程、不需要找特征向量，却把特征值全部交出来。
• 具体示例：对称矩阵的 Schur 分解就是（正交）对角化 $A = Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}$（此时 $T = \Lambda$ 已是对角）——这解释了为什么讲次 25 的对称矩阵情形如此完美：Jordan 形 ↔ Schur 形两者合一，且稳定。对缺陷矩阵 $J_2(4)$，Schur 形取 $Q = I$、$T = J_2(4)$：它并不比 Jordan 形”更好”，但它不需要”化简到最简”，因此不受扰动放大之害。

概念小结（三个层次的”最接近对角”）：对角化 $S\Lambda S^{-1}$（可对角化时，最好）$\supset$ Jordan 形 $MJM^{-1}$（总成立，理论分类） $\parallel$ Schur 形 $QTQ^{\mathsf{T}}$（总成立，数值首选）。前两者是相似，第三者也是相似（正交特例），但出发点不同：前者追求”最简形式”，后者追求”稳定可算”。

ASCII 图：Jordan 块结构与”特征方向数量”对比

【图 1】Jordan 块的结构（以 J_3(λ) 与 J_2(λ) 为例）

    J_3(λ)                      J_2(λ)              J_1(λ)
  ┌─────────────┐             ┌─────────┐         ┌───────┐
  │ λ  1  0     │  ← 上对角   │ λ  1    │         │   λ   │
  │ 0  λ  1     │     全是 1  │ 0  λ    │         └───────┘
  │ 0  0  λ     │             └─────────┘
  └─────────────┘
  对角全 λ；上对角全 1；其余全 0
  块大小 k = 广义特征向量链的长度

【图 2】分块对角：Jordan 形 J 的拼装
  ┌───────────────┬───────────┬───┐
  │   J_2(4)      │           │   │
  │  [4 1; 0 4]   │    0      │ 0 │
  ├───────────────┼───────────┼───┤
  │               │  J_1(4)   │   │
  │      0        │   [ 4 ]   │ 0 │
  ├───────────────┼───────────┼───┤
  │      0        │    0      │J_1(4)│
  └───────────────┴───────────┴───┘
  同一 λ 可以出现在多个块里；块数 = 独立特征向量个数

【图 4】$A^k$ / $e^{At}$ 的两条路线对比：缺陷的痕迹从哪里来

  可对角化 A = SΛS⁻¹              缺陷 A = MJM⁻¹ （取 J = J_2(λ)）
  ┌────────────────────────┐      ┌──────────────────────────────────┐
  │ A^k = S Λ^k S⁻¹        │      │ A^k = M J^k M⁻¹                  │
  │        ┌ λ₁^k     ┐    │      │      ┌ λ^k   kλ^{k-1} ┐          │
  │   Λ^k= │    λ₂^k  │    │      │ J^k =│               │          │
  │        │       ⋱  │    │      │      └ 0      λ^k    ┘          │
  │        └      λₙ^k┘    │      │                                  │
  │ 每个分量：λ_i^k 的组合 │      │ 每个分量：λ^k 与 kλ^{k-1} 的组合│
  └────────────────────────┘      └──────────────────────────────────┘
   纯几何增长 / 纯指数           多出因子 k （连续时间下是 t）
   无多项式因子                   ← 这正是"缺陷"留下的痕迹（共振）

【图 3】可对角化 vs 缺陷：特征方向够不够用（2 维情形）

  可对角化：A = SΛS⁻¹               缺陷：只有 Jordan 形 MJM⁻¹
    y                                  y
    │   ↗ x₂ (特征方向)                │      ╱
    │  ╱  每个方向纯拉伸               │     ╱ ← 特征方向只有 1 条
    │ ╱                               │    ╱    其余方向被"剪切"
    │╱                                │   ╱
    └────────── x                     └────────── x
    2 个独立特征方向                   1 个独立特征方向 (n - rank = 1)
    空间被特征向量张满                 特征向量张不满空间 → 需要广义链

计算步骤与手算演示

示例 (a)：验证相似不变量（特征值不变，特征向量变）

取 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \qquad M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\)

步骤 1：先算 $A$ 的特征值（用 trace/det 心算）。 $\mathrm{tr}(A) = 4$，$\det(A) = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3$。特征值满足 $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 = (\lambda-3)(\lambda-1)$，故 \(\lambda_1 = 3,\qquad \lambda_2 = 1.\)

步骤 2：求 $M^{-1}$。（$M$ 是上三角且对角为 1，逆矩阵把上对角元素 $1$ 变成 $-1$） \(\det M = 1\cdot 1 - 1\cdot 0 = 1,\qquad M^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\)

步骤 3：算 $B = M^{-1}AM$（先算 $AM$，再左乘 $M^{-1}$）。 \(AM = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\cdot1+1\cdot0 & 2\cdot1+1\cdot1 \\ 1\cdot1+2\cdot0 & 1\cdot1+2\cdot1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}.\) \(B = M^{-1}(AM) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot2-1\cdot1 & 1\cdot3-1\cdot3 \\ 0\cdot2+1\cdot1 & 0\cdot3+1\cdot3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}.\)

故 \(\boxed{B = M^{-1}AM = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}}.\)

步骤 4：验证相似不变量（与 $A$ 逐项对比）。

$B$ 的特征多项式：$\det(B-\lambda I) = (1-\lambda)(3-\lambda) - 0 = \lambda^2 - 4\lambda + 3$，确实完全相同。

步骤 5：验证特征向量确实不同（重点！）。 对 $A$，$\lambda = 3$：$A - 3I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$，零空间由 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 张成，故 \(\mathbf{x}_A^{(3)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.\) 对 $B$，$\lambda = 3$：$B - 3I = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$，方程 $-2x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$，$x_2$ 自由，故 \(\mathbf{x}_B^{(3)} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.\) 两者完全不同。这也符合理论预测：$\mathbf{x}_B = M^{-1}\mathbf{x}_A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。✓

【计算机制解说 1】：为什么相似变换”保住特征值、搬走特征向量”？ 把 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$ 代入 $B = M^{-1}AM$ 的作用过程看： \(B\,(M^{-1}\mathbf{x}) = M^{-1}A\underbrace{M M^{-1}}_{=I}\mathbf{x} = M^{-1}(A\mathbf{x}) = \lambda (M^{-1}\mathbf{x}).\) 也就是说，$B$ 的特征向量恰好是 $A$ 的特征向量在坐标翻译器 $M^{-1}$ 下的像。$M$ 换掉了描述用的基，所以同一个几何方向 $\mathbf{x}$ 在 $B$ 的语言里读作 $M^{-1}\mathbf{x}$。而 $\lambda$ 是标量、与坐标系无关，它夹在 $M^{-1}(\cdot)$ 中间原样穿出来——这就是”特征值是不变量、特征向量不是”的全部机制。注意这里用的是 $M^{-1}AM$ 而不是 $MAM^{-1}$，顺序错了这个推导就不成立。

示例 (b)：不可对角化的缺陷矩阵 $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$

步骤 1：特征值。 $\mathrm{tr} = 8$，$\det = 16$，$p(\lambda) = \lambda^2 - 8\lambda + 16 = (\lambda-4)^2$，故 \(\lambda = 4 \quad (\text{代数重数 } 2).\)

步骤 2：解 $(A - 4I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$。 \(A - 4I = \begin{bmatrix} 4-4 & 1 \\ 0 & 4-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.\) 方程 $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 给出 $x_2 = 0$，$x_1$ 自由。

步骤 3：数独立特征向量。 $\mathrm{rank}(A-4I) = 1$（第 2 行全零，第 1 行非零），故 \(\dim N(A-4I) = n - \mathrm{rank}(A-4I) = 2 - 1 = 1.\) 唯一（相差数乘）的独立特征向量是 \(\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}.\)

步骤 4：结论。 \(\text{几何重数 } 1 < \text{代数重数 } 2 \;\Longrightarrow\; \textbf{不可对角化（defective）}.\) 只有 1 个独立特征向量，凑不出可逆的 $2\times2$ 矩阵 $S$。

步骤 5：但它已经就是 Jordan 形。 $A$ 的对角元全为 4、上对角元为 1、其余为 0，正是 \(A = J_2(4) = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}.\) 换句话说，$A$ 的 Jordan 形就是它自己：$A = M J_2(4) M^{-1}$ 取 $M = I$。

手算 sanity check：$J_2(4)$ 满足 $p(A) = (A-4I)^2 = \begin{bmatrix} 0&1\\0&0\end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} 0&0\\0&0\end{bmatrix} = 0$——Cayley–Hamilton 定理成立，但 $A - 4I \ne 0$，所以最小多项式是 $(\lambda-4)^2$ 而不是 $(\lambda-4)$，这正是”缺陷”在最小多项式上的印记。

【计算机制解说 2】：为什么要用 $n - \mathrm{rank}(A-\lambda I)$ 而不用”重根个数”判断可对角化？ 对角化的配方是 $S^{-1}AS = \Lambda$，等价于”存在 $n$ 个线性无关的特征向量”。而 $\dim N(A-\lambda I)$ 精确地给出属于 $\lambda$ 的独立特征向量个数（这是秩–零化度定理 $\dim N = n - r$ 的直接应用，$A-\lambda I$ 的零空间就是 $\lambda$-特征空间 $E_\lambda$）。于是：

• 几何重数 $= \dim E_\lambda = n - \mathrm{rank}(A - \lambda I)$ 对每个 $\lambda$ 求和，等于独立特征向量总数；
• 可对角化 $\iff$ 每个 $\lambda$ 的几何重数 = 代数重数 $\iff$ 独立特征向量总数 $= n$。

反例警示：$2I = \begin{bmatrix} 2&0\\0&2 \end{bmatrix}$ 有二重根 $\lambda = 2$，但 $\mathrm{rank}(2I - 2I) = 0$，$\dim N = 2 - 0 = 2 = $ 代数重数，所以可对角化（它本来就是对角阵！）。”有重根”绝不等于”不可对角化”，决定性的是 $A - \lambda I$ 的秩亏多少。

示例 (c)：构造相似的 Jordan 形——$B = M^{-1}AM$ 仍是 Jordan 形

取 $A = J_2(4) = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$，取 $M = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$（可逆，$\det M = 2$）。

步骤 1：$M^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。

步骤 2：$AM$。 \(AM = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}.\)

步骤 3：$B = M^{-1}(AM)$。 \(B = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 8 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1/2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}.\)

步骤 4：读结果。 \(B = \begin{bmatrix} 4 & 1/2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = J_2\!\left(4\right) \text{ 的"缩放版"}.\) 它仍然是上三角、对角全 4、上对角非零，因此仍是一个（系数为 $1/2$ 的）$2\times2$ Jordan 块结构：特征值 4（二重），$\mathrm{rank}(B-4I) = \mathrm{rank}\begin{bmatrix} 0&1/2\\0&0\end{bmatrix} = 1$，故独立特征向量仍只有 $2-1=1$ 个，仍不可对角化。相似变换只是把上对角线的 1 缩放成了 $1/2$，Jordan 的”块结构”（块的个数与大小）没有变。

步骤 5：想拿回整齐的 $J_2(4)$，换一个 $M$ 即可。 取 $M^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ 不行（那是数乘，$B$ 不变）。取 $M = \begin{bmatrix} c & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 时的通用公式是 $B = \begin{bmatrix} 4 & 1/c \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$；取 $c = 1$（即 $M = I$）直接得到 $B = J_2(4)$。这说明同一个相似类里有无数个矩阵，只要把它们都化简到 Jordan 形，就认得出彼此相似。

【计算机制解说 3】：为什么对 $A = \begin{bmatrix}4&1\\0&4\end{bmatrix}$ 用对角 $M = \mathrm{diag}(c,1)$ 做相似变换，只有上对角元被缩放、对角元不动？ 设 $M = \mathrm{diag}(c,1)$，则 $(M^{-1}AM){ij} = \frac{1}{m_i}A{ij}m_j$（逐元素验证：$M^{-1}AM$ 第 $i$ 行第 $j$ 列 $= \frac{1}{m_i}A_{ij}m_j$）。于是：

• 对角元 $(i=j)$：$\frac{1}{m_i}A_{ii}m_i = A_{ii} = 4$，纹丝不动（这给出了 trace 不变的一个直观解释：对角元一个个都没变）；
• 上对角元 $(1,2)$：$\frac{1}{c}\cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{c}$，被 $1/c$ 缩放。 所以”对角不动、非对角被基的伸缩改写”——这就是相似变换在 Jordan 形上的具体作用方式。一般情形下不能逐元素这么算，只有 $M$ 为对角阵（即只做坐标伸缩）这个特例才成立，但它把机制暴露得非常清楚。

示例 (d)：$3\times3$ Jordan 块与块数公式（$k = n - \mathrm{rank}(A-\lambda I)$）

矩阵 1：$A = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = J_3(5)$。

$p(\lambda) = (5-\lambda)^3$，$\lambda = 5$ 三重。计算 \(A - 5I = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \qquad \mathrm{rank}(A-5I) = 2\) （第 1、2 行线性无关且非零，第 3 行全零）。 \(\dim N(A-5I) = n - r = 3 - 2 = 1.\) 解 $(A-5I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$：由第 2 行 $x_3 = 0$，由第 1 行 $x_2 = 0$，$x_1$ 自由 ⟹ $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$ 是唯一独立特征向量。几何重数 1 < 代数重数 3，不可对角化。

矩阵 2：$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = J_1(5) \oplus J_2(5)$。

$\lambda = 5$ 仍三重，但 \(A^{\prime} - 5I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \qquad \mathrm{rank}(A^{\prime}-5I) = 1,\) \(\dim N(A^{\prime}-5I) = 3 - 1 = 2.\) 解方程：第 2 行给 $x_3 = 0$，$x_1, x_2$ 都自由 ⟹ 两个独立特征向量 $\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\0\end{bmatrix}$。

总结规律（本讲最重要的计数公式）： \(\boxed{\text{属于 } \lambda \text{ 的 Jordan 块个数} \;=\; n - \mathrm{rank}(A - \lambda I) \;=\; \dim N(A-\lambda I) \;=\; \text{几何重数}}\)

两个矩阵的 trace（15）、det（125）、特征值（5,5,5）完全相同，但不相似——因为 Jordan 形不同。这直接说明：trace/det/特征值只是相似的必要条件，不是充分条件；Jordan 形才是充要的完全分类不变量。

示例 (e)：广义特征向量链（generalized eigenvectors）

仍取 $A = J_2(4) = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$，已知 $\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 是特征向量（$(A-4I)\mathbf{x}_1 = \mathbf{0}$）。

步骤 1：求 $\mathbf{x}_2$ 使 $(A-4I)\mathbf{x}_2 = \mathbf{x}_1$。 \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} y = 1 \\ 0 = 0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; \mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.\)

步骤 2：验算。 \((A-4I)\mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{x}_1. \quad ✓\)

步骤 3：读意义。 $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ 恰好是标准基，它们线性无关，构成 $\mathbb{R}^2$ 的一组基！矩阵 $X = [\mathbf{x}_1\ \mathbf{x}_2] = I$，于是 \(AX = A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = X J_2(4).\) 这条链 $\mathbf{x}_1 \xrightarrow{A-4I} \mathbf{0}$、$\mathbf{x}_2 \xrightarrow{A-4I} \mathbf{x}_1$ 叫做广义特征向量链。注意：$\mathbf{x}_2$ 不是特征向量（$(A-4I)\mathbf{x}_2 = \mathbf{x}_1 \ne \mathbf{0}$），但它补上了”缺失的那个方向”，使基得以凑满。

示例 (f)：完整的 Jordan 分解 $A = MJM^{-1}$（把 $M$ 显式写出来）

任取一个缺陷矩阵 $A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$（就是示例 (c) 里的 $C$），我们来真正把它分解成 $A = MJM^{-1}$。

步骤 1：确认它是缺陷的。 $\mathrm{tr} = 8$，$\det = 16$，$p(\lambda) = (\lambda-4)^2$，$\lambda = 4$ 二重。 \(A - 4I = \begin{bmatrix} 0 & 7 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\qquad \mathrm{rank}(A-4I) = 1 \Longrightarrow \dim N(A-4I) = 1.\) $1 < 2$：缺陷，$\lambda=4$ 下只有一个 $2\times2$ 块，故 $J = J_2(4)$。

步骤 2：求特征向量 $\mathbf{x}_1$（链首）。 $(A-4I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$：由 $7x_2 = 0$ 得 $x_2 = 0$，$x_1$ 自由，取 \(\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}.\)

步骤 3：求广义特征向量 $\mathbf{x}_2$（链的第二环）。 解 $(A-4I)\mathbf{x}_2 = \mathbf{x}_1$： \(\begin{bmatrix} 0 & 7 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \Longrightarrow 7y = 1 \Longrightarrow y = \frac{1}{7},\ x \text{ 自由，取 } \mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1/7 \end{bmatrix}.\) 验算：$(A-4I)\mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} 0&7\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1/7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \mathbf{x}_1$ ✓。

步骤 4：拼出 $M = [\mathbf{x}_1\ \mathbf{x}_2]$ 并验证 $A = MJM^{-1}$（等价于 $AM = MJ$）。 \(M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/7 \end{bmatrix},\qquad M^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}.\) 先验算 $AM$ 与 $MJ$ 是否相等（这样比直接算 $M^{-1}AM$ 少一步）： \(AM = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4/7 \end{bmatrix},\qquad MJ = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/7\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4/7 \end{bmatrix}.\) 两者相等 ✓，故 \(A = MJM^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/7\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 7\end{bmatrix}.\) 再右乘一次做终检：$\begin{bmatrix} 4&1\\0&4/7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 7\\0&4\end{bmatrix} = A$ ✓。

【计算机制解说 4】：为什么 $M$ 的列要按”广义特征向量链”排列？ 把 $AM = MJ$ 按列读一遍就全清楚了。设 $M = [\mathbf{x}_1\ \mathbf{x}_2]$，$J = J_2(4)$，则

• 第 1 列：$A\mathbf{x}_1 = 4\mathbf{x}_1 + 0\cdot\mathbf{x}_2 \;\Longrightarrow\; A\mathbf{x}_1 = 4\mathbf{x}_1$（$\mathbf{x}_1$ 是真特征向量）；
• 第 2 列：$A\mathbf{x}_2 = 1\cdot\mathbf{x}_1 + 4\mathbf{x}_2 \;\Longrightarrow\; (A - 4I)\mathbf{x}_2 = \mathbf{x}_1$（这正是步骤 3 的方程！）。

所以 Jordan 块的上对角线的 1，就是”链中相邻两环之间的连接”。链首列给出真特征向量（对角元 $\lambda$），后续每一列给出一个广义特征向量（对角元 $\lambda$ 加上一个来自前一列的 $1$）。如果写成 $M = [\mathbf{x}_2\ \mathbf{x}_1]$（顺序反了），第 1 列会要求 $(A-4I)\mathbf{x}_2 = 0$，即 $\mathbf{x}_2$ 必须是特征向量——但 $\mathbf{x}_2$ 不是，于是列序错了，矩阵方程就不成立。这解释了为什么 $M$ 的列顺序必须严格沿链，也解释了示例 (c) 里为什么换一个 $M$ 会得到 $\begin{bmatrix}4&1/2\\0&4\end{bmatrix}$ 这种”缩放版 Jordan 形”：链的第二环长度被伸缩了。

矩阵分解的核心思想

本讲的分解是 Jordan 分解（Jordan decomposition）：

• 形式：$M$ 的列是（广义）特征向量链，$J$ 是分块对角的 Jordan 形。
• 含义：这是 $A = S\Lambda S^{-1}$ 在不可对角化时的替代品，是”最接近对角”的形式。对角化成功时所有块都是 $1\times1$，$J = \Lambda$，$M = S$，二者统一。
• 揭示的结构性质：$J$ 告诉你特征值 + 每个特征值对应几条链 + 每条链多长，即完整的相似类信息；最小多项式由最大块的大小决定（$J_3(5)$ 的最小多项式是 $(\lambda-5)^3$，而 $J_1\oplus J_2$ 是 $(\lambda-5)^2$）。
• 应用价值：$A^k = M J^k M^{-1}$、$e^{At} = M e^{Jt}M^{-1}$ 在缺陷情形也能算（见下”极限替代”）。

三级分解的对比（一条主线）：

        最好                              一般情形                        数值最稳
  A = S Λ S⁻¹          →          A = M J M⁻¹          →        A = Q T Qᵀ
  可对角化时（S 可逆）            Jordan 分解（总成立）             Schur 分解（总成立）
  Λ 对角：n 个纯拉伸方向          J 近对角：对角 + 上对角 1        T 上三角：不显式求特征向量
  对称矩阵一定做到（讲次 25）      对扰动极不稳定（见下节警示）      正交 Q：数值稳定，实际首选

注意一个微妙但重要的对照：讲次 29 的 SVD $A = U\Sigma V^{\mathsf{T}}$ 也是”对任意矩阵都成立”的分解，而且数值极其稳定；它对 $A$（哪怕长方、哪怕缺陷）给出正交基下的对角 $\Sigma$。所以工程上”需要对角化一个一般矩阵”时，SVD/Schur 常常比 Jordan 形更合适——Jordan 形是理论分类工具，不是计算工具。

与其他讲次的关联

• 讲次 21（特征值与特征向量）：本讲从”$\det(A-\lambda I) = 0$”出发，进一步追问特征值在换基下如何变化，答案是”不变”。
• 讲次 22（对角化）：$A = S\Lambda S^{-1}$ 本质就是”相似于对角阵”。本讲把”可对角化 $\iff$ 每个特征值几何重数 = 代数重数 $\iff$ 所有 Jordan 块都是 $1\times1$”这一条件补齐；也解释了那里 $A^k = S\Lambda^k S^{-1}$ 为什么要求 $S$ 可逆。
• 讲次 23（微分方程 $e^{At}$）：可对角化时 $e^{At} = Se^{\Lambda t}S^{-1}$；不可对角化时 Jordan 形救场，$e^{Jt}$ 会出现 $te^{\lambda t}$ 这样的项（见下”极限替代”），这正是重根带来的共振/长期增长项。
• 讲次 25（对称矩阵与正定）：对称矩阵永不缺陷，一定有 $n$ 个正交特征向量、一定能正交对角化 $A = Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}$。对称性是”免疫缺陷”的巨大优势——这是 $S\Lambda S^{-1}$ 路线里最舒服的一类。
• 讲次 27（正定性与极小值）：正定检验依赖对称矩阵的实特征值，而这些特征值在正交相似变换（换标准正交基）下不变，是相似不变量的又一个应用场景。
• 讲次 29（SVD）：SVD 可以看作”对任意矩阵、用两组正交基实现对角化”的稳定替代方案。Jordan 形只能对方阵、且数值不稳定；SVD 对任意 $m\times n$ 都成立且稳定。
• 讲次 30–31（线性变换与换基）：本讲的几何核心就在这里——$B = M^{-1}AM$ 就是”同一个线性变换 $T$ 在两组不同基下的矩阵”的换基公式，$M$ 是从新基到旧基的过渡矩阵。讲次 30 会说明”相似”是一个等价关系（自反、对称、传递），把全体 $n\times n$ 矩阵划分成相似类，Jordan 形是每个类的最佳代表元。

关键要点

1. 相似的定义与不变量：$B = M^{-1}AM$（$M$ 可逆）。证明特征值不变的钥匙是 $\lambda I = M^{-1}(\lambda I)M$，于是 $\det(B-\lambda I) = \det(M^{-1})\det(A-\lambda I)\det(M) = \det(A-\lambda I)$。trace、det、秩、特征多项式、特征值（含重数）都是相似不变量；特征向量不是（它按 $M^{-1}$ 变换）。
2. 几何意义：相似 = 同一个线性变换在不同基下的表示。换基不改本质（拉伸方向与倍数），只改坐标描述。
3. 可对角化的判据：$A$ 可对角化 $\iff$ 对每个特征值，几何重数 $= \dim N(A-\lambda I) = n - \mathrm{rank}(A-\lambda I)$ 等于代数重数 $\iff$ 独立特征向量共 $n$ 个。只看”有没有重根”是错的（$2I$ 可对角化）。
4. Jordan 形定理：任意方阵 $A = MJM^{-1}$，$J$ 由块 $J_k(\lambda)$（对角 $\lambda$、上对角 1）拼成；不计块的排列顺序时 $J$ 唯一，是相似类的完全分类不变量。关键计数：属于 $\lambda$ 的块数 $= n - \mathrm{rank}(A-\lambda I)$；最大块的大小决定最小多项式。
5. 计算与数值：$J_k(\lambda)^n$、$e^{Jt}$ 有闭式（见下），使 $A^k$、$e^{At}$ 在缺陷时仍可算；但 Jordan 形数值上极不稳定，实际计算用 Schur 分解 $A = QTQ^{\mathsf{T}}$。

延伸要点：Jordan 形作为”极限替代”——算 $A^k$ 与 $e^{At}$

对角化失效后，$A = MJM^{-1}$ 仍能给出闭式幂与指数。对 $2\times2$ 块 $J_2(\lambda) = \begin{bmatrix}\lambda & 1\\ 0&\lambda\end{bmatrix}$，把它拆成”$\lambda I$ + 幂零部分”： \(J_2 = \lambda I + N,\qquad N = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\qquad N^2 = 0.\) 因为 $\lambda I$ 与 $N$ 可交换，二项式定理照样生效： \(J_2^{\,k} = (\lambda I + N)^k = \lambda^k I + k\lambda^{k-1}N = \begin{bmatrix} \lambda^k & k\lambda^{k-1} \\ 0 & \lambda^k \end{bmatrix}.\) （中间项 $\binom{k}{2}\lambda^{k-2}N^2$ 起全为零，因为 $N^2 = 0$。）

验算 spot check：取 $\lambda = 4, k = 3$，则 $J_2^{\,3} = \begin{bmatrix} 4^3 & 3\cdot 4^2 \\ 0 & 4^3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 64 & 48 \\ 0 & 64\end{bmatrix}$。直接乘两次 $J_2(4)$ 得 $\begin{bmatrix}4&1\\0&4\end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix}16&8\\0&16\end{bmatrix}$，再乘一次：$\begin{bmatrix}16&8\\0&16\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&1\\0&4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}64 & 16+32\\ 0&64\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}64&48\\0&64\end{bmatrix}$。✓ 一致。

几何/物理意义：多出来的因子 $\lambda^{-1}k$（离散情形）或 $t$（连续情形）正是”缺陷”的痕迹。可对角化时 $A^k$ 的每个分量都是 $\lambda_i^k$ 的线性组合（纯指数/纯几何增长）；一旦出现 $k\times k$ 的 Jordan 块，就冒出 $k\lambda^{k-1}, \binom{k}{2}\lambda^{k-2}, \ldots$，在连续时间下就是 $t, t^2/2!, \ldots$ 乘以 $e^{\lambda t}$——这就是共振（resonance）的来源：系统在重根处不仅按 $e^{\lambda t}$ 增长，还带多项式因子。讲次 23 中”$e^{At}$ 是否稳定”的问题，最终是看这些带 $t$ 的项会不会把解推离平衡点。

常见误区与注意事项

1. 以为相似矩阵有相同的特征向量（错）。 只有特征值（以及 trace/det/秩/特征多项式）相同；特征向量按 $\mathbf{x}_B = M^{-1}\mathbf{x}_A$ 随基改变。示例 (a) 里 $A$ 的 $\lambda=3$ 特征向量是 $[1,1]^{\mathsf{T}}$，而 $B$ 的是 $[0,1]^{\mathsf{T}}$，完全不同。
2. 以为有重根就不可对角化（错）。 决定因素是几何重数：$2I = \mathrm{diag}(2,2)$ 有 $\lambda=2$ 的二重根，但 $\dim N(2I-2I) = 2$，可对角化；而 $J_2(4)$ 同样二重根却不可对角化，因为 $\dim N = 1$。做题先算 $\mathrm{rank}(A-\lambda I)$，别只看重数。
3. 以为 Jordan 形是绝对唯一的（不严谨）。 正确的说法是：不计各块的排列顺序时唯一。$J_1(5)\oplus J_2(5)$ 与把两块交换位置得到的矩阵是同一个 Jordan 形（只差一个置换相似）。真正唯一的是”块的多重集“（每个特征值下各种大小的块各有多少个）。
4. 以为 Jordan 形适合数值计算（错）。 Jordan 形对扰动极其不稳定：把 $J_2(4) = \begin{bmatrix}4&1\\0&4\end{bmatrix}$ 的下对角 $(2,1)$ 元扰动成 $\varepsilon = 10^{-10}$，特征值变成 $4\pm\sqrt{\varepsilon} = 4\pm 10^{-5}$——二重根分裂，且分裂幅度是扰动的平方根量级（远大于扰动本身）；上对角线的 1 也会被扰动成任意小量，块结构直接崩塌。反之，可对角化是”通例”：随机矩阵（连续分布）几乎必然有互不相同的特征值，因此几乎总可对角化；缺陷矩阵是测度零的特例。工程上求特征值/做分解用 Schur 分解 $A = QTQ^{\mathsf{T}}$（$Q$ 正交、$T$ 上三角，数值稳定）或 SVD，而不是强求 Jordan 形。Jordan 形是理论上的分类工具，不是算法工具。
5. 混淆”相似”、”等价”与”合同”（错）。 三者的变换矩阵不同，不变量也不同：
   • 相似（similar） $B = M^{-1}AM$：$M$ 必须可逆（同阶方阵），保持特征值、trace、det、秩；
   • 等价（equivalent） $B = PAQ$：$P,Q$ 可逆（可以不同、可以非方阵），只保持秩（这是消元/高斯消元的语言，$A = LU$、$A = CR$ 都属于这一类）；
   • 合同（congruent） $B = M^{\mathsf{T}}AM$：保持对称性与惯性指数（正/负/零特征值个数，Sylvester 惯性定律），这是二次型/正定性（讲次 27）的语言。 用错变换就会用错不变量，题目必错。

思考题（带答案）

Q1.（计算题：判断相似性） 设 \(A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}, \qquad C = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}.\) (a) 判断 $A$ 是否可对角化；(b) $A$ 与 $B$ 是否相似？(c) $A$ 与 $C$ 是否相似？

Q2.（计算题：求几何重数与 Jordan 块结构） 设 \(A = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}.\) 求各自特征值的代数重数与几何重数，写出 Jordan 形，并判断二者是否相似。

Q3.（概念题：相似的本质与 Jordan 形的定位） 判断下列说法对错并说明理由： (i) 若 $A \sim B$，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征向量； (ii) 若 $A$ 与 $B$ 有相同的 trace 和 det，则 $A \sim B$； (iii) 对称矩阵可能有缺陷（不可对角化）； (iv) 既然 Jordan 形能处理一切矩阵，数值软件就应该用它来算特征值。