Lecture 27: Positive Definite Matrices and Minima

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Lecture 27: Positive Definite Matrices and Minima

概述

前几讲我们已经建立了对称矩阵的两大武器：正交对角化 $A = Q\Lambda Q^{\mathsf T}$，以及正定性的四个等价判据。本讲把正定性从一个”代数标签”变成几何与优化语言：正定矩阵 $A$ 对应的二次型 $x^{\mathsf T}Ax$ 是一个”碗”，它的图像有唯一的谷底；而 $A$ 一旦不是正定，谷底要么变成一条平坦的沟（半正定），要么变成马鞍形的鞍点（不定）。

核心问题只有一个：二次函数 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x} + \mathbf{b}^{\mathsf T}\mathbf{x} + c$ 什么时候有极小点？极小点在哪里？极小值是多少？ 答案完全由 $A$ 的正定性决定：$A$ 正定 $\iff$ 临界点 $\mathbf{x}^* = -\frac12 A^{-1}\mathbf{b}$ 是唯一的全局极小点。

方法是”配方 + 消元 + 梯度“三件套：配料给出平方项系数（正是主元），消元给出主元符号（正是正定判据），梯度给出极小点位置。本讲位于课程的转折处：讲次 25 建立正定的四个判据，讲次 27 让它们”落地”到极小值，讲次 28、29 继续走向 Jordan 与 SVD。

核心概念的几何直觉

正定的四个等价判据（回顾，本讲的出发点）

• 定义与目的：实对称矩阵 $A$（$n\times n$）称为正定（positive definite），若对一切 $\mathbf{x}\neq \mathbf{0}$ 都有 $\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x} > 0$。四个等价判据：

  ① 所有特征值 $\lambda_i > 0$；

  ② 所有顺序主子式（leading principal minors） $> 0$：即 $\det A_1 = a_{11} > 0$，$\det A_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} > 0$，$\dots$，$\det A_n = \det A > 0$；

  ③ 消元后所有主元（pivots） $> 0$（且消元过程不需要换行）；

  ④ 可写成 $A = R^{\mathsf T}R$，其中 $R$ 为可逆方阵（Cholesky 分解的雏形）。

• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：$x^{\mathsf T}Ax$ 是”沿方向 $\mathbf{x}$ 的二次能量”。正定意味着每个方向的能量都为正：曲面 $z = x^{\mathsf T}Ax$ 是一个开口向上的碗，原点在碗底。四个判据其实是同一件事的四种”读法”：① 读特征方向（主轴都是上升的）；② 读行列式（每个维度的”体积缩放”都为正，形状不被翻转）；③ 读消元（每一步消元后剩下的仍是同类型的碗）；④ 读分解（$A = R^{\mathsf T}R$，$R\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 只有零解，故 $\vert R\mathbf{x}\vert ^2 = \mathbf{x}^{\mathsf T}R^{\mathsf T}R\mathbf{x} > 0$）。

• 具体示例：$A = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{bmatrix}$。特征值 $1, 3 > 0$；顺序主子式 $2 > 0$，$\det A = 3 > 0$；消元主元 $2, \frac32 > 0$。三个判据一致地宣布：正定。

本讲聚焦的桥梁：判据 ②③ 与极小值的关系

• 定义与目的：本讲不满足于”判断正定”，而要用它。判据 ③（主元为正）与”配方”是同一件事，而配方直接把 $x^{\mathsf T}Ax$ 写成平方和；判据 ②（顺序主子式为正）则给出一个不用求特征值、不用做消元的快速检验法，对 2×2、3×3 手算尤其方便。
• 几何直觉：顺序主子式 $>0$ 意味着”每一个嵌套的子碗都是向上的碗“。$A_1$ 是限制在第 1 个坐标轴上的碗，$A_2$ 是限制在前 2 个坐标平面上的碗……如果每一层切片都是往上的碗，整个 $n$ 维图形就不可能在某处翻下去。反之，只要某一层切片翻了（某个顺序主子式 $\le 0$），整个矩阵就不可能是正定的。
• 具体示例：$A = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 3 & 1\end{bmatrix}$：$a_{11} = 1 > 0$ 但 $\det A = 1 - 9 = -8 < 0$，第二个顺序主子式就翻号了 $\Rightarrow$ 非正定（实际是不定）。

二次型与极小值：碗底在哪里

• 定义与目的：给定对称正定 $A$、向量 $\mathbf{b}$、常数 $c$，研究 \(f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x} + \mathbf{b}^{\mathsf T}\mathbf{x} + c .\) 目标是求 $\min f$ 与取到最小值的 $\mathbf{x}^*$。
• 几何直觉：$x^{\mathsf T}Ax$ 决定”碗的形状”，$\mathbf{b}^{\mathsf T}x$ 是一个倾斜项（线性项），它把碗底从原点搬走。搬到哪里？搬到梯度为零的地方。
• 具体示例：见下一节的完整手算（b）。

为什么四个判据是一回事：Rayleigh 商视角

• 定义与目的：Rayleigh 商 $R(\mathbf{x}) = \dfrac{\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\mathsf T}\mathbf{x}}$（$\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$）是把二次型”归一化”后的标量，它的取值只与方向有关、与长度无关。
• 几何直觉：$R(\mathbf{x})$ 可视为”沿方向 $\mathbf{x}$ 的平均曲率”。对称矩阵的谱定理给出 \(\lambda_{\min} \le R(\mathbf{x}) \le \lambda_{\max},\) 且等号分别在 $\mathbf{x}$ 取最小 / 最大特征值对应的特征向量时达到（讲次 29 比较 $\sigma$ 与 $\lambda$ 时还会用到这个工具）。
• 四判据的贯通：于是 \(\text{正定} \iff \min_{\mathbf{x}\neq\mathbf{0}} R(\mathbf{x}) > 0 \iff \lambda_{\min} > 0 \iff \text{所有 }\lambda_i>0 \ \text{（判据 ①）}.\) 再者 $\lambda_{\min}>0$ $\iff$ $\det A=\prod\lambda_i>0$ 且每个嵌套子块 $A_k$（限制在前 $k$ 个坐标上的对称子矩阵）的最小特征值也为正 —— 后者就是所有顺序主子式 $>0$（判据 ②）。消元是”逐个坐标地做同样的事”，主元 $d_k$ 正是第 $k$ 步残余的 $1\times1$ 二次型系数，故 $d_k>0$（判据 ③）。最后 $A=R^{\mathsf T}R$ 把 $R(\mathbf{x})$ 变成 $\dfrac{\vert R\mathbf{x}\vert ^2}{\vert \mathbf{x}\vert ^2}>0$（判据 ④）。四条路通向同一个不等式。
• 具体示例：$A=\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}$，$\lambda_{\min}=1$，故在单位圆上 $R(\mathbf{x})\ge 1$，最小值在 $\mathbf{x}=\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,1)^{\mathsf T}$ 处取到（长轴方向）。

椭球 $x^{\mathsf T}Ax=1$：正定矩阵的”身份证照片”

• 定义与目的：正定 $A$ 把单位球面 $\vert \mathbf{x}\vert =1$ 映射为一个椭球（ellipsoid）。写成 $x^{\mathsf T}Ax=1$ 后，这个椭球的性质完全由 $\lambda_i$ 决定。
• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：用 $A=Q\Lambda Q^{\mathsf T}$ 做变量替换 $\mathbf{y}=Q^{\mathsf T}\mathbf{x}$（纯旋转，不改变形状），方程变成 \(\lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2 = 1 .\) 这就是标准椭球：主轴方向 = 特征向量方向（$Q$ 的列），第 $i$ 个半轴长 = $1/\sqrt{\lambda_i}$。
• 关键洞察：$\lambda_i$ 越大，半轴 $1/\sqrt{\lambda_i}$ 越短。为什么？因为 $x^{\mathsf T}Ax$ 是”能量”，沿 $\lambda$ 大的方向能量增长极快，只需要很小的位移就能把能量凑到 $1$，所以那个方向很短。反之 $\lambda_i$ 接近 $0$ 的方向能量增长慢，是长轴。
• 三种情形的图像分类：
  • 全部 $\lambda_i>0$（正定）$\Rightarrow$ 椭球（$n=2$ 时椭圆）：有界闭曲面，包围原点。
  • $\lambda$ 有正有负（不定）$\Rightarrow$ 双曲面（$n=2$ 时双曲线）：无界，两叶张开，既有上升方向又有下降方向。
  • 某个 $\lambda_i=0$（半正定奇异）$\Rightarrow$ 柱面：沿该零特征方向方程完全不含该变量（$x^{\mathsf T}Ax$ 对它无感），曲面沿此方向平移不变，像一根无限长的管子。 这三种情形与”极小值是否存在/是否唯一”是同一件事的两面：椭球 $\to$ 唯一谷底；双曲面 $\to$ 鞍点；柱面 $\to$ 一条平坦谷底直线。

   x^T A x = 1 的三种图像  (2 维)

   (1) 正定 A=[2 -1;-1 2]      (2) 不定 A=[1 0;0 -1]       (3) 半正定 A=[1 1;1 1]
       lambda = 1, 3               lambda = 1, -1              lambda = 2, 0
       半轴 1/sqrt1=1.000           x1^2 - x2^2 = 1             (x1+x2)^2 = 1
       半轴 1/sqrt3=0.577           两支双曲线                  两条平行直线

          \\   |   //                  \\       //               \  \  \  \  \
        ---\\--+--//---              ---\\---//---                \  \  \  \  \
            ( )  <- 有界椭圆              \\ //   <- 鞍形             \  \  \  \  \
        ---//--+--\\---                 // \\                      /  /  /  /  /
          //   |   \\                  //   \\                    /  /  /  /  /
                                             无界，两叶           柱面，沿 (1,-1) 平移不变
   有界、无平坦方向、min 唯一    有上升也有下降、鞍点      无界、有平坦方向、min 不唯一

微积分视角（回扣 18.02）：正定就是”二阶导数 > 0”的 $n$ 维版本

• 定义与目的：微积分里判断极值分两步：一阶必要条件 $\nabla f=\mathbf{0}$（临界点）；二阶充分条件 Hessian 矩阵正定 $\Rightarrow$ 严格局部极小，Hessian 负定 $\Rightarrow$ 严格局部极大，Hessian 不定 $\Rightarrow$ 鞍点，Hessian 奇异 $\Rightarrow$ 二阶判别法失效（需看更高阶项）。
• 几何直觉：一维时 $f^{\prime\prime}(x)>0$ 表示曲线向上弯（碗形），$f^{\prime\prime}(x_0)<0$ 表示向下弯，$f^{\prime\prime}=0$ 表示”看不出弯”。多元时”往哪个方向弯”要分方向看，而 Hessian 正定恰好是所有方向的二阶导数都为正这件事的统一陈述：对任意方向单位向量 $\mathbf{u}$， \(\frac{d^2}{dt^2}f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})\Big\vert _{t=0} = \mathbf{u}^{\mathsf T}H\mathbf{u} > 0 \iff H \text{ 正定}.\) 这正是正定定义的原始形式（对一切非零 $\mathbf{x}$，$\mathbf{x}^{\mathsf T}H\mathbf{x}>0$）。
• 具体示例：$f(x,y) = x^2 + xy + y^2$。梯度 $\nabla f = (2x+y,\ x+2y)$，令其为零得唯一临界点 $(0,0)$。Hessian \(H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix},\qquad \det H = 3 > 0,\ a_{11} = 2 > 0 \Rightarrow H \text{ 正定}.\) 故 $(0,0)$ 是严格局部极小点；又因为二次项正定使 $f$ 强制（$f\to+\infty$ 当 $\vert \mathbf{x}\vert \to\infty$），它还是唯一全局极小点，$f_{\min}=0$。特征值 $3, 1$（$\operatorname{tr}=4$，$\det=3$）都为正，与判据 ① 一致；沿短轴 $(1,-1)/\sqrt2$ 方向 $f$ 弯曲得”慢”（$\lambda=1$ 是长轴），沿 $(1,1)/\sqrt2$ 弯得”快”（$\lambda=3$ 是短轴）。
• 与 18.02 的差别：18.02 的 $D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 > 0$ 判据其实就是 $2\times2$ 的 $\det H$：$D>0$ 且 $f_{xx}>0$ 就是”两个顺序主子式 $>0$”，正是判据 ② 的 $n=2$ 特例。所以本讲不是新东西，而是把大一的判别法推到任意维。

最小二乘的联系：”正定 $\Rightarrow$ 唯一的极小点”正是最小二乘有唯一解的深层原因

• 定义与目的：讲次 16 的核心问题是：当 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 无解（$\mathbf{b}\notin C(A)$）时，最小化误差平方 \(E(\mathbf{x}) = \vert A\mathbf{x}-\mathbf{b}\vert ^2 = (A\mathbf{x}-\mathbf{b})^{\mathsf T}(A\mathbf{x}-\mathbf{b}).\) 现在用本讲的机器重做一遍。
• 推导：展开 \(E(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{\mathsf T}A^{\mathsf T}A\mathbf{x} - \mathbf{x}^{\mathsf T}A^{\mathsf T}\mathbf{b} - \mathbf{b}^{\mathsf T}A\mathbf{x} + \mathbf{b}^{\mathsf T}\mathbf{b} = \mathbf{x}^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}A)\mathbf{x} - 2\mathbf{b}^{\mathsf T}A\mathbf{x} + \|\mathbf{b}\|^2 .\) 这是一个标准二次型：二次项矩阵是 $A^{\mathsf T}A$，一次项向量是 $\mathbf{b}_{\text{new}} = -2A^{\mathsf T}\mathbf{b}$。求梯度（用 $\nabla(\mathbf{x}^{\mathsf T}M\mathbf{x}) = (M+M^{\mathsf T})\mathbf{x}$，这里 $M = A^{\mathsf T}A$ 对称）： \(\nabla E = 2A^{\mathsf T}A\mathbf{x} - 2A^{\mathsf T}\mathbf{b} = 2A^{\mathsf T}(A\mathbf{x}-\mathbf{b}) .\) 令其为零，立刻得到正规方程（normal equations） \(A^{\mathsf T}A\,\hat{\mathbf{x}} = A^{\mathsf T}\mathbf{b}\ \Longrightarrow\ \hat{\mathbf{x}} = (A^{\mathsf T}A)^{-1}A^{\mathsf T}\mathbf{b}.\) 这与讲次 16 从”误差向量垂直于列空间”推出的结果完全一致 —— 两条路殊途同归。
• 为什么 $A^{\mathsf T}A$ 总是半正定：对任意 $\mathbf{x}$， \(\mathbf{x}^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}A)\mathbf{x} = (A\mathbf{x})^{\mathsf T}(A\mathbf{x}) = \vert A\mathbf{x}\vert ^2 \ge 0 .\) 这是恒等式，不依赖任何条件 —— $A^{\mathsf T}A$ 半正定是白送的。
• 为什么列无关时正定：$\vert A\mathbf{x}\vert ^2 = 0 \iff A\mathbf{x}=\mathbf{0} \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$（零空间只有零向量）$\iff$ $A$ 的列线性无关。所以 \(A^{\mathsf T}A \text{ 正定} \iff \operatorname{rank}A = n \iff N(A)=\{\mathbf{0}\} .\) （注意 $A^{\mathsf T}A$ 是 $n\times n$，$n$ 是列数；即使 $A$ 是”高瘦”的 $m\times n$ 且 $m>n$ 也可能正定。）
• 结论（本讲最重要的回扣）：$E(\mathbf{x})$ 是一个二次项为 $A^{\mathsf T}A$ 的二次函数。$A^{\mathsf T}A$ 半正定 $\Rightarrow$ $E$ 有下界、没有下降到 $-\infty$ 的方向；$A^{\mathsf T}A$ 正定 $\Rightarrow$ 唯一全局最小点 $\hat{\mathbf{x}}$。“正定 $\Rightarrow$ 极小点唯一”就是最小二乘有唯一解的深层原因 —— 最小二乘的唯一性不只是几何巧合（”垂线只有一条”），而是正定二次型的极小点定理的直接推论。顺便，最小值也可用关键要点 2 的公式算出：$E(\hat{\mathbf{x}}) = \vert \mathbf{b}\vert ^2 - \mathbf{b}^{\mathsf T}A(A^{\mathsf T}A)^{-1}A^{\mathsf T}\mathbf{b} = \vert \mathbf{b}\vert ^2 - \vert P\mathbf{b}\vert ^2 = \vert (I-P)\mathbf{b}\vert ^2$，正是误差向量的长度平方。
• 半正定的边界情形：若 $A$ 的列相关（$\operatorname{rank}A<n$），则 $A^{\mathsf T}A$ 奇异，沿 $N(A)$ 方向 $E$ 完全平坦，解不唯一（无穷多最小二乘解），此时必须用伪逆 $A^{+}$ 挑出最小范数解 —— 这是讲次 33 的主题。这与示例 (d) 的”平坦山谷”是同一个现象。

应用：正定性如何出现在真实问题里

• 弹簧-质点系统的势能：$n$ 个质点由弹簧串联，势能 $V(\mathbf{x}) = \frac12\mathbf{x}^{\mathsf T}K\mathbf{x}$，$K$ 是刚度矩阵（对称，且往往是三对角的，如 Q2）。平衡的稳定性完全由 $K$ 的正定性决定：$K$ 正定 $\Rightarrow$ 势能是碗，位移后能量上升，回复力把它拉回来 $\Rightarrow$ 稳定平衡；$K$ 半正定奇异（例如整条链可以整体刚性平移而弹簧不变形）$\Rightarrow$ 存在零频模态（刚体运动），平衡仍在但不唯一（一族平衡位置），振动方程 $\ddot{\mathbf{x}} = -M^{-1}K\mathbf{x}$ 出现 $\omega=0$ 的解；$K$ 不定 $\Rightarrow$ 存在让势能下降的方向 $\Rightarrow$ 不稳定平衡，系统会自发跑掉。这里的”零特征值方向 = 平坦方向 = 零频模态 = 刚体运动”是完全同构的四件事。
• 信赖域优化（trust region）：最小化 $f$ 时，在信赖域内用二次模型 $m(\mathbf{p}) = f + \mathbf{g}^{\mathsf T}\mathbf{p} + \frac12\mathbf{p}^{\mathsf T}B\mathbf{p}$ 近似，$\mathbf{p}$ 是步长，$B$ 是 Hessian 的近似。BFGS 等拟牛顿法刻意强制 $B$ 正定，以保证模型有唯一的极小步长、算法总有下降方向。若 $B$ 不定，模型可到 $-\infty$，必须加约束 $\vert \mathbf{p}\vert \le\Delta$ 才有意义 —— 这个约束球在 $B$ 的坐标下被拉成椭球。
• 统计学中的协方差矩阵：协方差矩阵 $\Sigma = \mathbb{E}[(\mathbf{X}-\boldsymbol\mu)(\mathbf{X}-\boldsymbol\mu)^{\mathsf T}]$ 恒半正定，因为 \(\mathbf{v}^{\mathsf T}\Sigma\mathbf{v} = \mathbb{E}\big[(\mathbf{v}^{\mathsf T}(\mathbf{X}-\boldsymbol\mu))^2\big] \ge 0 .\) 这与 $A^{\mathsf T}A$ 的证明结构一模一样（期望 $\leftrightarrow$ 求和）。$\mathbf{X}$ 的分量线性无关时 $\Sigma$ 正定、可逆；有完全线性相关的分量时 $\Sigma$ 奇异（概率质量集中在一个低维子空间上），此时多元高斯密度退化，马氏距离必须用伪逆。多元高斯的密度里出现的 $\vert \Sigma\vert ^{-1/2}$ 与 $\exp(-\frac12(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu)^{\mathsf T}\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu))$，其等高线就是本讲的椭球，$\Sigma$ 的特征向量是主成分方向。
• 神经网络损失函数的 Hessian：损失 $L(\boldsymbol\theta)$ 的 Hessian 巨大且不显式构造，只用来分析地形：$H$ 正定处是严格局部极小（”盆地”）；存在负特征值的方向是鞍点（在高维里鞍点远多于局部极小）；$\lambda\approx 0$ 的方向是平坦方向（参数几乎不影响损失，是泛化性的研究热点）。实际计算只用 Hessian-向量积 $H\mathbf{v}$ 与少数极端特征值（幂法 / Lanczos），本质仍是本讲的谱分解。

计算步骤与手算演示

示例 (a)：齐次二次型 + 配方法（与消元的同一性）

取 \(A = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{bmatrix},\qquad f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x} = 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 .\)

步骤 1：先做消元，记录主元。 \(A = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{bmatrix} \xrightarrow{\ \text{row}_2 - (-\tfrac12)\text{row}_1\ } \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & \tfrac32\end{bmatrix} = U .\) 乘子 $\ell_{21} = -\frac12$，两个主元是 $d_1 = 2$，$d_2 = \frac32$。即 $A = LU$，$L = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -\frac12 & 1\end{bmatrix}$。

步骤 2：独立地做配方（把交叉项吸收进第一个平方）。 \(f = 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 = 2\Big(x_1^2 - x_1x_2\Big) + 2x_2^2 = 2\Big(x_1 - \frac{x_2}{2}\Big)^2 - \frac{x_2^2}{2} + 2x_2^2 = 2\Big(x_1 - \frac{x_2}{2}\Big)^2 + \frac{3}{2}x_2^2 .\)

步骤 3：核对恒等式。 展开右侧：$2\big(x_1^2 - x_1x_2 + \frac{x_2^2}{4}\big) + \frac32 x_2^2 = 2x_1^2 - 2x_1x_2 + \frac12 x_2^2 + \frac32 x_2^2 = 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2$。与原式逐项相同。

【计算机制解说】：平方项系数 $2$ 与 $\frac32$ 正好就是消元的主元 $d_1, d_2$。这不是巧合：消元 $A = LDL^{\mathsf T}$（对称情形，$D$ 为对角主元阵）与配方给出的是同一个表达式： \(x^{\mathsf T}Ax = d_1\Big(x_1 + \ell_{21}x_2\Big)^2 + d_2 x_2^2 .\) 这里 $d_1 = 2$，$\ell_{21} = -\frac12$，所以第一项是 $2\big(x_1 - \frac12 x_2\big)^2$ —— 与配方结果完全一致。因此”配方法与消元是同一件事“：配方的系数就是主元，配方的括号就是消元的乘子。由此立刻得到理论推论：$x^{\mathsf T}Ax>0$（对所有 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$）$\iff$ 所有主元 $d_i > 0$ $\iff$ 所有平方项系数为正，这正是判据 ③。

步骤 4：读出极小点与几何形状。 两个平方项都非负且可同时为零 $\iff$ $x_1 - \frac12 x_2 = 0$ 且 $x_2 = 0$ $\iff$ $\mathbf{x}^* = (0,0)$。极小值 $f(\mathbf{x}^*) = 0$。等高线 $f = c \,(c>0)$ 是一族同心椭圆：

       等高线 f = 2x1^2 - 2x1x2 + 2x2^2 = c  (A = [2 -1; -1 2], 正定 -> 椭圆)

                     x2
                      ^
              .  .  . | .  .  .
           .        . | .        .
          .          .|.          .
        . ------------*------------ .   <- 椭圆长轴沿 (1,1)
          .          .|.          .
           .        . | .        .
              .  .  . | .  .  .
                      |
        --------------+--------------> x1
                      |

   主轴方向 = 特征向量 (1,1)/sqrt2 (lambda=1), (1,-1)/sqrt2 (lambda=3)
   半轴长   = 1/sqrt(lambda) :  沿 (1,1) 长 1/sqrt1 = 1.000  (长轴)
                                沿 (1,-1) 长 1/sqrt3 = 0.577  (短轴)
   lambda 越大 -> 该方向越"短"（大的二次型被更快地压到 1）

示例 (b)：含一次项的二次型（真正的极小值问题）

取 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 3\end{bmatrix},\qquad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} -4\\ -8\end{bmatrix},\qquad f(\mathbf{x}) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 3x_2^2 - 4x_1 - 8x_2 .\) （核对：$\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x} = x_1^2 + x_1x_2 + x_1x_2 + 3x_2^2$ ✓；$\mathbf{b}^{\mathsf T}\mathbf{x} = -4x_1 - 8x_2$ ✓。）

步骤 1：先判正定（用判据 ② + ③）。 顺序主子式：$\det A_1 = 1 > 0$，$\det A_2 = 1\cdot 3 - 1\cdot 1 = 2 > 0$。消元：$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 3\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{bmatrix}$，主元 $1, 2 > 0$。特征值为 $2 \pm \sqrt2 \approx 3.414,\ 0.586 > 0$。$A$ 正定 ⟹ 存在唯一全局极小点。

步骤 2：推导梯度（本讲最核心的公式）。 把 $f$ 写开：$f(\mathbf{x}) = \sum_{i,j} a_{ij}x_ix_j + \sum_i b_ix_i + c$。对 $x_k$ 求偏导： \(\frac{\partial}{\partial x_k}\Big(\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j\Big) = \sum_j a_{kj}x_j + \sum_i a_{ik}x_i = (A\mathbf{x})_k + (A^{\mathsf T}\mathbf{x})_k .\) 所以一般情形（$A$ 不必对称） \(\nabla f = (A + A^{\mathsf T})\mathbf{x} + \mathbf{b},\) 而当 $A$ 对称时 $A + A^{\mathsf T} = 2A$，于是 \(\boxed{\ \nabla f = 2A\mathbf{x} + \mathbf{b}\ }\) （Hessian 矩阵是二阶偏导组成的矩阵：$\nabla^2 f = A + A^{\mathsf T}$，对称时 $= 2A$。）

步骤 3：令梯度为零。 \(2A\mathbf{x}^* + \mathbf{b} = \mathbf{0}\ \Longrightarrow\ A\mathbf{x}^* = -\frac{\mathbf{b}}{2}\ \Longrightarrow\ \mathbf{x}^* = -\frac12 A^{-1}\mathbf{b}.\) 一维类比：$f = ax^2 + bx + c$，$f^{\prime} = 2ax + b = 0 \Rightarrow x^* = -\frac{b}{2a}$ —— 正是同一个公式的 $1\times 1$ 版本。$a>0$（正定）给出极小，$a<0$ 给出极大，$a=0$ 时退化为直线（无唯一极值点）。

步骤 4：代入数值求解。 $-\mathbf{b}/2 = \begin{bmatrix} 2\\ 4\end{bmatrix}$，解 \(\begin{cases} x_1 + x_2 = 2\\ x_1 + 3x_2 = 4\end{cases} \Longrightarrow 2x_2 = 2 \Longrightarrow x_2 = 1,\ x_1 = 1 .\) 故 $\mathbf{x}^* = \begin{bmatrix} 1\\ 1\end{bmatrix}$。

步骤 5：验算极小值。 \(f(\mathbf{x}^*) = 1 + 2\cdot 1\cdot 1 + 3 - 4 - 8 = 1 + 2 + 3 - 4 - 8 = -6 .\) 用”配方视角”复核：$f = (\mathbf{x}-\mathbf{x}^)^{\mathsf T}A(\mathbf{x}-\mathbf{x}^) + f(\mathbf{x}^*)$，即 \(f = (x_1-1)^2 + 2(x_1-1)(x_2-1) + 3(x_2-1)^2 - 6 .\) 在 $\mathbf{x}=(1,1)$ 处二次项全消，只剩 $-6$；二次项部分正定，故 $-6$ 是全局最小值。

【计算机制解说】：注意 $\mathbf{x}^* = -\frac12A^{-1}\mathbf{b}$ 与最小二乘的正规方程 $\mathbf{x}^* = (A^{\mathsf T}A)^{-1}A^{\mathsf T}\mathbf{b}$ 长得极像，差别只在系数。原因见下节”最小二乘的联系”：最小二乘是把 $\vert A\mathbf{x}-\mathbf{b}\vert ^2$ 展开成一个二次型，其”二次项矩阵”是 $A^{\mathsf T}A$、”一次项向量”是 $-2A^{\mathsf T}\mathbf{b}$；代入 $-\frac12 A^{-1}\mathbf{b}$ 的通式就得到 $(A^{\mathsf T}A)^{-1}A^{\mathsf T}\mathbf{b}$。同一个公式，两处出现——这说明”正定二次型极小化”是整门课反复回响的主旋律。

示例 (c)：鞍点（不定矩阵）

取 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix},\qquad f(\mathbf{x}) = x_1^2 - x_2^2 .\) 特征值 $\lambda = 1, -1$（符号不同）$\Rightarrow$ 不定（indefinite）。沿 $x_1$ 方向 $f = x_1^2 \to +\infty$（上升），沿 $x_2$ 方向 $f = -x_2^2 \to -\infty$（下降）。原点处 $\nabla f = (2x_1, -2x_2) = \mathbf{0}$ 是临界点，但它既不是极小也不是极大，而是鞍点（saddle point）。等高线 $x_1^2 - x_2^2 = c$ 是双曲线族：

      三大等高线形态对比 (A 的正定性决定一切)

   (1) 正定 lambda>0        (2) 不定 lambda 有正有负     (3) 半正定 lambda=0
       同心椭圆                  双曲线                   平行直线(山谷)

        . - . - .                \       /                | | | | | |
      .             .             \     /                 | | | | | |
     .       *       .   <- 谷底   \   /   <- 鞍点         | | | | | |
      .             .             /   \                  | | | | | |
        . - . - .                /     \                 | | | | | |
                                /       \                | | | | | |
   A=[2 -1;-1 2]             A=[1 0;0 -1]              A=[1 1;1 1]
   min 唯一, 有界下界         既有上升又有下降方向        f=(x1+x2)^2,
   f=x^T A x >= 0             f 可取 +/- 任意大          谷底是一条直线

再取一个”陷阱型”例子： \(A = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 3 & 1\end{bmatrix},\qquad \det A = 1 - 9 = -8 < 0 .\) $\operatorname{tr}A = 2$，解 $\lambda^2 - 2\lambda - 8 = 0$ 得 $\lambda = 4, -2$（符号相反）$\Rightarrow$ 不定，鞍点。注意两个对角元 $1, 1$ 都是正的，但矩阵并不正定 —— 这是最经典的误区（见后文误区 ③）。$\det A<0$ 对 2×2 是”不定”的充分必要条件（因为 $\det = \lambda_1\lambda_2 < 0$ 意味着 $\lambda$ 反号）。

示例 (d)：半正定 / 奇异情形（极小点不唯一）

取 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{bmatrix},\qquad f(\mathbf{x}) = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 \ge 0 .\)

• 特征值：$\lambda = 2, 0$（$\operatorname{tr}=2$，$\det=0$）$\Rightarrow$ 半正定但奇异。
• 顺序主子式：$\det A_1 = 1 > 0$，$\det A_2 = 0$ —— 判据 ② 要求严格 $>0$，第二个为 $0$ 故不正定。
• 消元：$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}$，主元 $1, 0$ —— 有零主元，不可逆。
• 极小点：$f = 0$ 达到最小值，条件只有 $x_1 + x_2 = 0$，即整条直线 $x_2 = -x_1$ 上每一点都是极小点。极小点不唯一。
• 几何：等高线 $f=c$ 是一对平行直线 $x_1 + x_2 = \pm\sqrt{c}$；曲面 $z=(x_1+x_2)^2$ 是一个抛物柱面 —— 沿方向 $(1,-1)$（零特征方向）完全平坦，是”山谷的谷底直线”。

示例 (e)：3×3 的完整流程（弹簧链，把 (a)–(d) 的机制放大一维）

取 \(A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 2\end{bmatrix},\qquad f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x} = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_2x_3 .\) （核对：非对角项 $a_{12}=a_{21}=-1$ 贡献 $-2x_1x_2$；$a_{23}=a_{32}=-1$ 贡献 $-2x_2x_3$；$a_{13}=0$ ✓。）

步骤 1（判据 ②）顺序主子式：$\det A_1 = 2 > 0$；$\det A_2 = 4-1 = 3>0$；$\det A_3 = 2(4-1) - (-1)(-2-0) + 0 = 6-2 = 4>0$。全为正 $\Rightarrow$ 正定。

步骤 2（判据 ③）消元：第 1 步乘子 $\ell_{21}=-\frac12,\ \ell_{31}=0$，得 $\begin{bmatrix}2&-1&0\\0&\frac32&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}$；第 2 步乘子 $\ell_{32} = -1/\frac32 = -\frac23$，得主元 $d_3 = 2 - \frac23 = \frac43$。主元 $2,\ \frac32,\ \frac43$ 全为正。

步骤 3（判据 ②③ 的换算关系）：$d_2 = \det A_2/\det A_1 = 3/2$ ✓，$d_3 = \det A_3/\det A_2 = 4/3$ ✓。

步骤 4（配方 / 判据 ④）： \(f = 2\Big(x_1-\tfrac12x_2\Big)^2 + \tfrac32\Big(x_2-\tfrac23x_3\Big)^2 + \tfrac43x_3^2 .\) 三个平方项系数 $2, \frac32, \frac43$ 正是三个主元；括号正是消元的乘子。极小点在 $\mathbf{x}^*=\mathbf{0}$，$f_{\min}=0$。

物理含义：这是三个质点串成的弹簧链（两端固定）的势能。$A$ 正定意味着链没有刚体自由度，唯一平衡位置是全部位移为零，且这个平衡是稳定的（任何非零位移都使势能上升）。若把 $a_{33}$ 从 $2$ 降到 $\frac23$，则 $d_3 = 0$、$\det A_3 = 0$，$A$ 变成半正定奇异，出现零频模态 —— 与 3×3 的 Q2(d) 是同一实验。

【计算机制解说】：3×3 的步骤与 2×2 完全同构：每做一次消元，就”钉死”一个坐标方向，剩下的子问题仍是同类型的二次型。这正是归纳法的物理图像 —— 判据 ② 之所以要检查所有顺序主子式而不是只看总行列式，是因为归纳每一步都需要”当前这个残余子碗仍然朝上”。哪一步翻了号，架构就在那一层失效。

【计算机制解说】：为什么”主元为 $0$”和”极小点不唯一”是同一件事？配方说 $f = d_1(\text{括号}1)^2 + d_2(\text{括号}_2)^2 + \cdots$，每个平方项的系数就是主元。如果某个 $d_k = 0$，对应的配方括号在 $f$ 中完全消失 —— 这个括号里的线性组合可以任意取值而不改变 $f$。而”括号”恰好是消元的一行，令所有括号为零得到的方程组就是 $L^{\mathsf T}\mathbf{x}$ 的一串约束；某个括号缺席，就少了一个约束，解集便从一个点膨胀成一条直线（或平面）。同时 $\det A = d_1d_2\cdots d_n = 0$，$A$ 不可逆，$N(A)$ 非零，零空间方向就是平坦方向。主元 $d_k$ 的三种符号各有身份：$d_k>0$ 该方向”向上弯”；$d_k<0$ 该方向”向下弯”；$d_k=0$ 该方向”不弯”（直线或平面）。顺便，$d_k = \det A_k/\det A{k-1}$（$A_k$ 是左上角 $k\times k$ 块），所以判据 ② 与判据 ③ 说的是同一句话 —— 这也解释了为什么它们必须同时成立或同时失效；对本例，$\det A_1 = 1$，$\det A_2 = 0$，于是 $d_2 = 0/1 = 0$。

矩阵分解的核心思想

本讲的四种分解，是”正定性”的四种不同分身：

1. $A = R^{\mathsf T}R$（Cholesky 分解）——判据 ④ 的实体

• 形式：$A$ 正定 $\iff$ 存在上三角可逆矩阵 $R$ 使 $A = R^{\mathsf T}R$。若要求 $R$ 的对角元为正，$R$ 唯一（Cholesky 因子），写作 $A = R^{\mathsf T}R$ 且 $R = D^{1/2}L^{\mathsf T}$。
• 含义：$\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x} = \vert R\mathbf{x}\vert ^2$。二次型的值变成”一个向量长度的平方”——非负是显然的，而正定（$>0$ 严格）等价于 $R\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 只有零解，即 $R$ 可逆。
• 揭示的结构：消元不需要换行、主元全为正；$R$ 的对角元依次是 $\sqrt{d_i}$（$d_i$ 为主元）。
• 应用：数值求解、生成相关随机向量、最小二乘的稳定实现。验证：$A=\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix} = R^{\mathsf T}R$ 取 $R = \begin{bmatrix}\sqrt2 & -\frac{1}{\sqrt2}\\ 0 & \sqrt{3/2}\end{bmatrix}$，对角元 $\sqrt2, \sqrt{3/2}$ 恰为主元的平方根。

2. $A = Q\Lambda Q^{\mathsf T}$（谱分解 / 正交对角化）——判据 ① 的实体

• 形式：对称矩阵总可正交对角化，$Q$ 正交（$Q^{-1}=Q^{\mathsf T}$），$\Lambda$ 为实对角。
• 含义：正定 $\iff$ 所有 $\lambda_i>0$。几何上，$Q$ 是”把坐标轴转到主轴方向”的旋转/反射，$\Lambda$ 记录各主轴上的”弯曲程度”。椭球 $x^{\mathsf T}Ax=1$ 的主轴方向就是 $Q$ 的列（特征向量），半轴长 $1/\sqrt{\lambda_i}$。
• 应用：主成分分析、振动模态、以及讲次 29 SVD 的对称特例。

3. $A = LDL^{\mathsf T}$（对称消元）——判据 ③ 的实体

• 形式：正定（更一般地，所有顺序主子式非零）时，$A = LDL^{\mathsf T}$，$L$ 单位下三角，$D = \operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$。
• 含义：$x^{\mathsf T}Ax = \sum_i d_i (\text{第 }i\text{ 个配方括号})^2$。这就是”配方法”的矩阵写法。
• 揭示的结构：$A$ 与 $D$ 合同（congruent），正定性是合同的不变量；消元中主元 $d_i$ 就是顺序主子式之比 $d_i = \det A_i/\det A_{i-1}$（$A$ 的分块通过 $LU$ 直接对应）。

4. SVD 在正定对称情形退化为谱分解

对正定对称 $A$，$A^{\mathsf T}A = A^2$，奇异值为 $\sigma_i = \lambda_i$（$\lambda_i>0$），右/左奇异向量相同：$A = Q\Lambda Q^{\mathsf T}$。正定是对称矩阵中最”良性”的一类：SVD 与特征分解合一，$\sigma_i = \lambda_i > 0$，不需要处理符号问题。

与其他讲次的关联

• 讲次 25（正定矩阵）：本讲直接继承四个判据，并把判据 ②③ 从”判断工具”升级为”极小值的存在性定理”。配方法在那里是技巧，在这里是本体。
• 讲次 26（复矩阵 / 可选）：把转置换成共轭转置，实对称正定推广为 Hermitian 正定，$\mathbf{x}^{*}A\mathbf{x}>0$ 始终为实数，判据形式不变。
• 讲次 28（相似矩阵与 Jordan）：正定是最强的一类”可对角化”，连 Jordan 块的影子都没有（特征值互异不是必需的，但对称保证 $n$ 个正交特征向量）；由正定出发再看不那么好的矩阵，反差最清楚。
• 讲次 29（SVD）：椭球半轴 $1/\sqrt{\lambda_i}$ 与奇异值 $\sigma_i$ 的几何含义在此汇合；正定对称时 $\sigma_i = \lambda_i$。
• 讲次 4（消元 A=LU）：本讲的”配方 = 消元”是对讲次 4 的意义升级——消元不只是解方程的工具，主元的符号本身就是二次型的形状信息。
• 讲次 16（最小二乘）：$\vert A\mathbf{x}-\mathbf{b}\vert ^2$ 的极小化就是本讲公式的直接应用，$A^{\mathsf T}A$ 半正定、列满秩时正定。
• 讲次 20（行列式）：顺序主子式 $\det A_i$ 是”前 $i$ 维子空间张成的平行体体积平方”，全为正意味着每一层切片都不翻转。这也解释了 $d_i = \det A_i / \det A_{i-1}$ 的几何来源。

关键要点

1. 正定的四判据必须一起记：$\lambda_i>0$ $\iff$ 所有顺序主子式 $>0$ $\iff$ 所有主元 $>0$ $\iff$ $A=R^{\mathsf T}R$（$R$ 可逆）。它们互为翻译，考试与工程中按方便挑一个用。
2. 二次函数极小化公式：对对称 $A$， \(\nabla f = 2A\mathbf{x}+\mathbf{b},\qquad \nabla^2 f = 2A,\qquad \mathbf{x}^*=-\tfrac12A^{-1}\mathbf{b},\qquad f(\mathbf{x}^*)=c-\tfrac14\mathbf{b}^{\mathsf T}A^{-1}\mathbf{b}.\) 一维类比 $x^*=-\frac{b}{2a}$ 永远可作记忆锚点。
3. 正定性 $\Rightarrow$ 唯一全局极小；半正定 $\Rightarrow$ 极小点构成一个平坦子空间（不唯一）；不定 $\Rightarrow$ 鞍点；负定 $\Rightarrow$ 唯一全局极大。
4. 配方 = 消元：$x^{\mathsf T}Ax = \sum_i d_i(\cdots)^2$，平方项系数即主元，括号即消元乘子。这是本讲的”母公式”。
5. 最小二乘的唯一性根源：$A^{\mathsf T}A$ 半正定（恒成立）、列无关时正定，故正规方程有唯一解 $\hat{\mathbf{x}}=(A^{\mathsf T}A)^{-1}A^{\mathsf T}\mathbf{b}$。

一张”符号表”（把本讲的全部分类压缩成一张表）

  对称矩阵 A 的谱符号  ->  x^T A x 的形状  ->  临界点 x* 的性质  ->  典型例子
  ------------------------------------------------------------------------------
  全部 lambda_i > 0     碗（椭球等高线）    唯一全局极小点        [2 -1; -1 2]
  (正定 positive def.)                      极其小值 = c - b^T A^-1 b / 4

  全部 lambda_i >= 0    碗/槽（柱面）       极小点集合是平坦子空间  [1 1; 1 1]
  含某个 lambda = 0                          （不唯一）；若 b 有     (一条直线)
  (半正定 semidef.)                          零特征分量则无下界

  lambda 有正有负       马鞍（双曲线）      鞍点 saddle point     [1 0; 0 -1]
  (不定 indefinite)                         既非极大也非极小       [1 3; 3 1]

  全部 lambda_i < 0     倒扣的碗            唯一全局极大点        [-1 0; 0 -2]
  (负定 negative def.)                      （-A 正定）           det = 2 > 0 !
  ------------------------------------------------------------------------------
  判据速查：lambda>0 | 顺序主子式全>0 | 主元全>0 | A=R^T R (R 可逆)

常见误区与注意事项

1. 忘记正定必须先对称。”$\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x}>0$”这个定义只对实对称矩阵使用。对非对称矩阵，$\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x}$ 只取到 $A$ 的对称部分 $\frac12(A+A^{\mathsf T})$ 的信息（因为反对称部分贡献恒为 0）。例如 $A=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$ 有 $\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x}\equiv 0$，却谈不上正定。
2. 把 $\det A>0$ 当成正定判据（严重错误）。$A=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix}$：$\det A = 2>0$，但它是负定的。必须要求所有顺序主子式都 $>0$，不只是最后一个。判据中的”顺序”也不能丢：$A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ 的两个主子式（$\det$ 取任意 $1\times1$ 与整体）是 $0$ 和 $-1$，非正定，但若只看 $\det=-1<0$ 会同样错过结构信息。
3. 把”所有对角元 $>0$”当成充分条件。$A=\begin{bmatrix}1&3\\3&1\end{bmatrix}$ 的对角元 $1,1$ 都为正，但 $\det = -8<0$，是不定的鞍面。对角元为正只是必要（因为 $a_{ii}=\mathbf{e}_i^{\mathsf T}A\mathbf{e}_i>0$），远不充分。
4. 以为半正定也有唯一极小点。$A=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$ 时 $f=(x_1+x_2)^2$ 的最小值 $0$ 在整条直线 $x_1+x_2=0$ 上取到。半正定意味着存在平坦方向（零特征向量），极小点集合可能是一条线、一个平面，甚至整个 $\mathbb{R}^n$（若 $A=0$）。
5. 混淆”局部极小”与”全局极小”。一般可微函数 $\nabla f=0$ + Hessian 正定只给出严格局部极小；只有在 $f$ 是二次函数且 $A$ 正定时，局部极小才自动是唯一全局极小。对非二次函数，Hessian 在临界点正定必须逐点检验，且可能存在多个局部极小。

思考题（带答案）

Q1.（判正定 + 求极小点）设 \(f(x_1,x_2) = 5x_1^2 + 4x_1x_2 + 2x_2^2 - 6x_1 - 4x_2 .\) (a) 写出 $A$ 与 $\mathbf{b}$；(b) 用顺序主子式与主元判断 $A$ 是否正定；(c) 求极小点 $\mathbf{x}^$ 与极小值 $f(\mathbf{x}^)$。

Q2.（消元 / 主元题）对 $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 2\end{bmatrix}$（一维弹簧链的刚度矩阵）： (a) 不换行地做消元，写出主元 $d_1,d_2,d_3$；(b) 判断 $A$ 是否正定；(c) 写出对应的配方形式 $x^{\mathsf T}Ax = \sum_i d_i(\cdot)^2$；(d) 若把第三个对角元 $2$ 改成 $1$，结论如何变化？

Q3.（概念题）判断下列说法是否正确，并给出理由（可用反例）： (a) “若 $\det A>0$ 且所有对角元为正，则 $A$ 正定。” (b) “若 $A$ 半正定且 $\det A = 0$，则 $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x}+\mathbf{b}^{\mathsf T}\mathbf{x}$ 仍然有唯一极小点。” (c) “Hessian 矩阵正定是 $f$ 在临界点取到全局极小的充分条件。”