Lecture 30: Linear Transformations and Their Matrices

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Lecture 30: Linear Transformations and Their Matrices

概述

本讲把视角从”矩阵”抬升到”变换”：线性变换 $T$ 是先于矩阵存在的几何对象，而矩阵只是它在某一组基下的坐标记录。核心操作只有一句话——问 $T$ 对每个基向量做了什么，把答案按列排好。我们会在标准基、多项式基、矩阵空间基上反复演练这个操作，并用 $P_x R_{90^\circ} \neq R_{90^\circ}P_x$ 说明”矩阵乘法 = 变换复合，且次序不可交换”。最后把讲次 6–10 的四个子空间语言翻译成变换语言：零空间 = 核（kernel），列空间 = 像（image）。

核心概念的几何直觉

线性变换（linear transformation）

• 定义与目的：设 $V,W$ 是向量空间。映射 $T:V\to W$ 称为线性的，若对所有 $\mathbf{v},\mathbf{w}\in V$ 与所有标量 $c,d$ 成立 \(T(c\mathbf{v}+d\mathbf{w}) = c\,T(\mathbf{v}) + d\,T(\mathbf{w}).\) 两个特例值得单独记住：
  • 可加性：$T(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = T(\mathbf{v})+T(\mathbf{w})$；
  • 齐次性：$T(c\mathbf{v}) = c\,T(\mathbf{v})$。 反过来，若两条都成立，则一般式自动成立。目的：把”可以做加法与数乘”的所有操作一次性抓住——线性代数研究的就是这类操作。

• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：取 $c=d=0$，得到最重要的推论 \(T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}.\) 即线性变换必定把原点送到原点。更形象的图景：把 $\mathbb{R}^2$ 想成一张无限延伸的方格纸，线性变换把这张格子拉成另一张仍然等距平行的方格纸——直线的像仍是直线，原点不动，$\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 的中点映到像的中点。任何会把原点挪走、或把直线掰弯的操作，都不是线性的。

• 具体示例：$T(x,y)=((x+y)/2,\,(x+y)/2)$（投影到直线 $y=x$）。 \(T(1,0) = (\tfrac12,\tfrac12),\qquad T(0,1)=(\tfrac12,\tfrac12),\) \(T(c_1(1,0)+c_2(0,1)) = c_1(\tfrac12,\tfrac12)+c_2(\tfrac12,\tfrac12),\) 与直接代入 $T(c_1,c_2) = (\frac{c_1+c_2}{2},\frac{c_1+c_2}{2})$ 完全一致，线性成立。

矩阵是变换的坐标记录（matrix = the record of $T$ in a basis）

• 定义与目的：给定 $V$ 的基 $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n$ 与 $W$ 的基 $\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_m$，$T$ 对应的矩阵 $A$ 的第 $j$ 列是 $T(\mathbf{v}_j)$ 在输出基下的坐标向量： \(T(\mathbf{v}_j) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij}\mathbf{w}_i \quad\Longleftrightarrow\quad \text{$A$ 的第 } j \text{ 列} = (a_{1j},\dots,a_{mj})^{\mathsf T}.\) 于是”$A\mathbf{x}$”的每一步都有了含义：$\mathbf{x}$ 是先组合 $\mathbf{v}_j$ 的配料表，$A\mathbf{x}$ 是像的配料表（用 $\mathbf{w}_i$ 计量）。

• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：变换是”物体”，矩阵是”照片”。同一个物体从不同角度拍，得到不同的照片（讲次 31 的换基就是换拍摄角度）。所以问”$T$ 的矩阵是什么”是不完整的——必须补上”在哪组基下”。

  这也解释了为什么同一变换可以有很多矩阵，而不同变换不可能有同一个矩阵（在同一组基下）。

• 具体示例：$\mathbb{R}^2$ 上”横坐标翻倍、纵坐标不动”的拉伸 $T(x,y)=(2x,y)$。标准基下 $T(1,0)=(2,0)$、$T(0,1)=(0,1)$，所以 \(A=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}.\) 若改用基 $\mathbf{v}_1=(1,0),\mathbf{v}_2=(1,1)$，则 $T(\mathbf{v}_1)=(2,0)=2\mathbf{v}_1+0\mathbf{v}_2$；$T(\mathbf{v}_2)=(2,1)=1\mathbf{v}_1+1\mathbf{v}_2$。新矩阵是 \(B=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}.\) 同一个变换，两张”照片”，都正确。

核（kernel）与像（image）

• 定义与目的：
  • 核 $\ker T = \{\mathbf{v}\in V : T(\mathbf{v})=\mathbf{0}\}$，正是零空间 $N(A)$；
  • 像 $\operatorname{im} T = \{T(\mathbf{v}) : \mathbf{v}\in V\}$，正是列空间 $C(A)$。 两者都是子空间（核在输入空间里，像在输出空间里）。它们不依赖基的选择，因此是变换的内在属性。

• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：核是”被压扁到原点的那一坨”（投影时是与投影方向垂直的整条线）；像是”这张方格纸在输出空间里实际铺到的地方”（投影时是一条线，而不是全平面）。秩—零化度定理 $\dim\ker T + \dim\operatorname{im}T = n$ 说的就是：输入空间被分成”被压死的”与”被真正送出去的”两部分，维数加起来正好是全部。

• 具体示例：投影 $P=\frac12\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$：$P(1,-1)^{\mathsf T}=(0,0)^{\mathsf T}$ 所以 $\ker T=\operatorname{span}\{(1,-1)\}$（1 维）；$P(1,1)^{\mathsf T}=(1,1)^{\mathsf T}$ 所以 $\operatorname{im}T=\operatorname{span}\{(1,1)\}$（1 维）。$1+1=2=n$。数值验算：$\operatorname{rank}P=1$，$\dim N(P)=1$。

线性变换的例子谱与反例

反例的精细讨论：为什么平移不是线性的

设 $T(\mathbf{x})=\mathbf{x}+\mathbf{x}_0$，$\mathbf{x}_0=(1,1)$。三种检测方式都会失败：

 T(0,0) = (1,1) ≠ (0,0)                     ← 最快速的检测
 T((1,0)+(0,1)) = T(1,1) = (2,2)
 T(1,0)+T(0,1) = (2,1)+(1,2) = (3,3)        ← (2,2) ≠ (3,3)

但要注意一个反直觉的事实：平移保持平行与等距，它把方格纸平移成另一张方格纸，仍旧保持”格子的直线性与平行性”。所以”保持网格”只是必要而非充分条件；充要条件是原点不动 + 网格等距。这也说明为什么仿射变换（affine map）$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{x}_0$ 需要额外加一笔常数项——它比线性变换多一个自由度。

计算步骤与手算演示

示例 1：绕原点旋转 $\theta$ 的矩阵（用标准基推导）

步骤 1：确定输入空间 $\mathbb{R}^2$ 的基，取标准基 $\mathbf{e}_1=(1,0)^{\mathsf T},\mathbf{e}_2=(0,1)^{\mathsf T}$；输出空间也用标准基。

步骤 2：求 $T(\mathbf{e}_1)$。向量 $(1,0)$ 指向正 $x$ 轴，长度 $1$，与 $x$ 轴夹角 $0$。逆时针转 $\theta$ 后，长度仍是 $1$，与 $x$ 轴夹角变成 $\theta$，所以 \(T(\mathbf{e}_1)=(\cos\theta,\ \sin\theta)^{\mathsf T}.\)

步骤 3：求 $T(\mathbf{e}_2)$。$(0,1)$ 指向正 $y$ 轴，与 $x$ 轴夹角 $\pi/2$。转后夹角 $\pi/2+\theta$，坐标 \(T(\mathbf{e}_2)=\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{2}+\theta),\ \sin(\tfrac{\pi}{2}+\theta)\bigr)^{\mathsf T}=(-\sin\theta,\ \cos\theta)^{\mathsf T}.\)

步骤 4：把这两个输出按列写进矩阵： \(R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}.\)

步骤 5：数值检验。取 $\theta=90^\circ$：$\cos=0,\sin=1$， \(R_{90^\circ}=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix},\qquad R_{90^\circ}\mathbf{e}_1=(0,1)^{\mathsf T},\quad R_{90^\circ}\mathbf{e}_2=(-1,0)^{\mathsf T}.\) 两次 $90^\circ$ 旋转应等于 $180^\circ$ 旋转： \(R_{90^\circ}^2=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}=-I.\) 与 $R_{180^\circ}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}$ 完全一致（脚本验算通过）。

步骤 6：取 $\theta=60^\circ$，$\cos 60^\circ=\frac12$，$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$： \(R_{60^\circ}=\begin{bmatrix}1/2&-\sqrt3/2\\ \sqrt3/2&1/2\end{bmatrix},\quad \operatorname{tr}R_{60^\circ}=1=2\cos 60^\circ,\quad \det R_{60^\circ}=1.\) $R_{60^\circ}(1,0)^{\mathsf T}=(0.5,\ 0.866025)^{\mathsf T}$，验算通过。

【计算机制解说】：为什么”按列摆放”就是对的？因为矩阵乘法天生按列运作。设 $\mathbf{v}=\sum_j x_j\mathbf{v}j$，由线性性 \(T(\mathbf{v})=\sum_j x_j T(\mathbf{v}_j)=\sum_j x_j\Bigl(\sum_i a_{ij}\mathbf{w}_i\Bigr)=\sum_i\Bigl(\sum_j a_{ij}x_j\Bigr)\mathbf{w}_i.\) 括号里的 $\sum_j a{ij}x_j$ 恰好是 $A\mathbf{x}$ 的第 $i$ 个分量。也就是说，“线性”这个性质把无限多条信息压缩成 $n$ 个数字：只要知道 $T$ 在基上的取值，$T$ 在任意向量上的取值就完全确定。这正是矩阵能”代表”变换的全部理由，也是为什么”线性”是值得单独定义的性质。旋转的推导里，我们没有解任何方程，只用”旋转保持长度与夹角”这一几何事实就写出了 $T(\mathbf{e}_1),T(\mathbf{e}_2)$——这就是无坐标视角的威力。

示例 2：投影到直线 $y=x$ 上的矩阵（并验证它是投影）

步骤 1：先写出投影公式。直线 $y=x$ 的单位方向向量 $\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt2}(1,1)^{\mathsf T}$。向量 $\mathbf{x}=(x,y)^{\mathsf T}$ 在该直线上的投影是 \(T(\mathbf{x})=\frac{\mathbf{u}^{\mathsf T}\mathbf{x}}{\mathbf{u}^{\mathsf T}\mathbf{u}}\,\mathbf{u}=\frac{x+y}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(x+y)/2\\ (x+y)/2\end{bmatrix}.\)

步骤 2：求基向量的像。 \(T(\mathbf{e}_1)=T(1,0)=\begin{bmatrix}1/2\\1/2\end{bmatrix},\qquad T(\mathbf{e}_2)=T(0,1)=\begin{bmatrix}1/2\\1/2\end{bmatrix}.\)

步骤 3：按列摆放： \(P=\begin{bmatrix}1/2&1/2\\1/2&1/2\end{bmatrix}=\frac12\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}.\)

步骤 4：验证对称性 $P=P^{\mathsf T}$：矩阵两行相同、两列相同，转置把第 $i$ 行搬到第 $i$ 列：$P$ 的两行都是 $(\frac12,\frac12)$、两列也都是 $(\frac12,\frac12)$，所以转置后每个位置的值不变，$P^{\mathsf T}=P$ ✓。

步骤 5：验证幂等性 $P^2=P$。 \(P^2=\frac14\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}=\frac14\begin{bmatrix}1+1&1+1\\1+1&1+1\end{bmatrix}=\frac14\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}=\frac12\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}=P.\ \checkmark\)

步骤 6：几何抽样。取 $\mathbf{x}=(3,1)^{\mathsf T}$： \(P\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.5\cdot 3+0.5\cdot 1\\ 0.5\cdot 3+0.5\cdot 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix},\) 与公式 $\bigl(\frac{3+1}{2},\frac{3+1}{2}\bigr)=(2,2)$ 一致（脚本验算通过）。

步骤 7：读出不变量（特征向量）。 \(P\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\ (=1\cdot\mathbf{v}),\qquad P\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\ (=0\cdot\mathbf{v}).\) 沿直线方向的向量原封不动（特征值 $1$），垂直方向的向量被压成 $0$（特征值 $0$）。迹 $=1+0=1$，行列式 $=1\cdot 0=0$——脚本验算：$\operatorname{tr}P=1$，$\det P=0$。

步骤 8：核与像。$\ker T=\operatorname{span}\{(1,-1)\}$（垂直于直线），$\operatorname{im}T=\operatorname{span}\{(1,1)\}$（就是直线本身）。两者维数 $1+1=2=n$，秩—零化度定理成立，且 $\operatorname{rank}P=1$（脚本验算通过）。

【计算机制解说】：为什么投影矩阵必须对称且幂等？

• 幂等 $P^2=P$：投影一次之后向量已经在直线上，再投影一次毫无变化。几何上就是”影子再投一次还是它自己”。
• 对称 $P=P^{\mathsf T}$：这是正交投影（投影方向垂直于目标子空间）的标志。若用斜投影，$P^2=P$ 仍成立但 $P$ 不对称。
• 迹 = 1 = 目标子空间维数：一般地，投影矩阵 $P$ 的迹等于它所投影到的子空间的维数（因为特征值只有 $1$ 和 $0$，$1$ 的重数就是维数）。这一条是快速检查投影矩阵是否算错的好办法。
• 行列式 = 0：投影必然降维（把 2 维压成 1 维），所以不可逆，这是”$P$ 奇异”的几何含义。

示例 3：求导变换 $T=\frac{d}{dx}$ 在多项式空间 $\mathcal{P}_2$ 上的矩阵（必看，含基约定说明）

这是一个在函数空间上的线性变换，它证明线性代数远不止于 $\mathbb{R}^n$。

约定（务必先声明）：取输入基与输出基都是 $\{1,x,x^2\}$，并按此顺序排列；多项式 $p(x)=a+bx+cx^2$ 的坐标向量是列向量 $(a,b,c)^{\mathsf T}$。即 \(p(x)=a\cdot 1+b\cdot x+c\cdot x^2\ \longleftrightarrow\ \begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}.\)

步骤 1：逐个基向量求导，再把结果用输出基表示。 \(T(1)=0=0\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2\ \longleftrightarrow\ \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix},\) \(T(x)=1=1\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2\ \longleftrightarrow\ \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\) \(T(x^2)=2x=0\cdot 1+2\cdot x+0\cdot x^2\ \longleftrightarrow\ \begin{bmatrix}0\\2\\0\end{bmatrix}.\)

步骤 2：按列摆放（第 $j$ 列 = 第 $j$ 个输入基向量的像的坐标）： \(D=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}.\)

步骤 3：数值检验。取 $p(x)=3+5x+7x^2$，坐标 $(3,5,7)^{\mathsf T}$。 \(D\begin{bmatrix}3\\5\\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\cdot3+1\cdot5+0\cdot7\\ 0\cdot3+0\cdot5+2\cdot7\\ 0\cdot3+0\cdot5+0\cdot7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\14\\0\end{bmatrix}\ \longleftrightarrow\ 5+14x.\) 直接求导：$\frac{d}{dx}(3+5x+7x^2)=5+14x$。一致（脚本验算通过）。

步骤 4：算 $D^2$（二阶导）。 \(D^2=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}.\) 作用于 $(3,5,7)^{\mathsf T}$：$D^2(3,5,7)^{\mathsf T}=(14,0,0)^{\mathsf T}\ \longleftrightarrow\ 14$。直接算：$\frac{d^2}{dx^2}(3+5x+7x^2)=14$。一致。

步骤 5：$D^3=O$（零矩阵）。三阶导把 $\mathcal{P}_2$ 中一切都打成零——这也说明 $D$ 是幂零的（nilpotent）。

步骤 6：秩与核。$D$ 有两行独立（第 1、2 行），$\operatorname{rank}D=2$；$\dim N(D)=3-2=1$。零空间是什么？解 $D(a,b,c)^{\mathsf T}=(b,2c,0)^{\mathsf T}=\mathbf{0}$ 得 $b=c=0$，$a$ 任取，即 \(N(D)=\Bigl\{(a,0,0)^{\mathsf T}\Bigr\}=\operatorname{span}\Bigl\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\Bigr\}\ \longleftrightarrow\ \text{常函数}.\) 脚本验算：$\operatorname{rank}D=2$，$\dim N(D)=1$。完美对应”$\frac{d}{dx}(\text{常数})=0$”。

步骤 7：一个漂亮的对比——用基 $\{1,x,x^2/2\}$ 会得到什么？留给读者推（提示：$T(x^2/2)=x$，矩阵会变成每列只有第 $j+1$ 行是 $1$ 的”移位”矩阵）。

【计算机制解说】：这个例子同时完成了三件事。

1. 证明函数空间是向量空间，求导是线性变换。核心是微积分里的两个基本法则：$(\,p+q)’=p^{\prime}+q^{\prime}$ 与 $(cp)’=cp^{\prime}$。线性代数的定理（秩—零化度、奇异 ⇔ 有非零核）因此直接翻译成微积分的定理：“求导在 $\mathcal{P}_2$ 上丢掉 1 维信息，丢掉的正是常数”。
2. 显示”基约定”会改变矩阵的样子，但不变换秩。若采用行向量约定（系数横排，$T$ 左作用在行向量上，或等价地取转置），同一个 $D$ 会写成 \(\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&2&0\end{bmatrix}.\) 两个都”对”，取决于你把坐标当列还是当行。写作时必须在开头声明约定，否则讨论特征值、$\det$、$D^2$ 时会自相矛盾。本文全程用列向量约定。
3. 上三角形态反映”基按次数递增排列”。$D$ 把 $x^k$ 送到低一次的 $kx^{k-1}$，所以在这组有序基下必然是上三角且对角全 $0$——对角线为 $0$ 直接说明所有特征值为 $0$，与幂零性一致。

示例 4：复合变换 = 矩阵乘法（”先旋转 $90^\circ$，再投影到 $x$ 轴”）

步骤 1：定义两个变换。

• $R$：逆时针旋转 $90^\circ$，$R=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$；
• $P_x$：投影到 $x$ 轴，即 $T(x,y)=(x,0)$，$P_x=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$。

步骤 2：写出复合 $T(\mathbf{x})=P_x\bigl(R\mathbf{x}\bigr)$，按矩阵结合的写法就是 $T\mathbf{x}=(P_xR)\mathbf{x}$。所以复合的矩阵是 $P_xR$。

步骤 3：算乘积。 \(P_xR=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}.\)

步骤 4：用基向量核验”复合”的含义。$\mathbf{e}_1=(1,0)^{\mathsf T}$：先转 $90^\circ$ 得 $(0,1)^{\mathsf T}$，再投影得 $(0,0)^{\mathsf T}$；而 $(P_xR)\mathbf{e}_1=(0,0)^{\mathsf T}$ ✓。 $\mathbf{e}_2=(0,1)^{\mathsf T}$：先转得 $(-1,0)^{\mathsf T}$，再投影得 $(-1,0)^{\mathsf T}$；而 $(P_xR)\mathbf{e}_2=(-1,0)^{\mathsf T}$ ✓。

步骤 5：用一个一般向量 $\mathbf{v}=(2,3)^{\mathsf T}$ 双重验算。先旋转：$R\mathbf{v}=(-3,2)^{\mathsf T}$；再投影：$(-3,0)^{\mathsf T}$。而 $(P_xR)\mathbf{v}=(-3,0)^{\mathsf T}$ ✓（脚本验算通过）。

步骤 6：展示次序不可交换。反过来先投影再旋转： \(RP_x=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}\neq P_xR.\) 两个结果的差别不是数值误差，而是本质的：$RP_x$ 把 $\mathbf{v}=(2,3)^{\mathsf T}$ 送到 $(0,2)^{\mathsf T}$，与 $(-3,0)^{\mathsf T}$ 完全不同。

步骤 7：几何解释。$P_xR$ 的像 = $x$ 轴（1 维），核 = $\operatorname{span}\{(1,0)\}$（旋转后落到 $y$ 轴，被投影杀掉）。$RP_x$ 的像 = $y$ 轴，核 = $\operatorname{span}\{(0,1)\}$。两个复合是不同的变换，只是恰好都是秩 1 的投影类映射。

【计算机制解说】：为什么 $(P_xR)\mathbf{x}=P_x(R\mathbf{x})$？因为矩阵乘法天生满足结合律：$(AB)\mathbf{x}=A(B\mathbf{x})$ 是定义层面的恒等式（把 $\mathbf{x}$ 的系数逐个分配即可验证）。由此得到的哲学结论是：

            变换的世界                矩阵的世界
       ┌──────────────────┐      ┌──────────────────┐
       │  先做 R，再做 P_x │  ⟷  │   矩阵乘积 P_x R  │
       │  复合是"串联"     │      │  乘法是"左乘作用" │
       └──────────────────┘      └──────────────────┘

“先做”的那个变换写在右边。这是线性代数里最常被记反的一点：$P_xR$ 意味着先 $R$ 后 $P_x$（从右往左读，像函数的复合 $f(g(x))$ 一样）。

示例 5（附加）：反射关于直线 $y=x$，$S=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$

按列构造：$S\mathbf{e}_1=(0,1)^{\mathsf T}$，$S\mathbf{e}_2=(1,0)^{\mathsf T}$。所以 $S=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$。性质（脚本验算）：$S^{\mathsf T}=S$，$S^2=I$，$\det S=-1$，特征值 $+1$（沿 $y=x$，不动）与 $-1$（沿 $y=-x$，被翻转）。$S(3,1)^{\mathsf T}=(1,3)^{\mathsf T}$ ✓。

反射与旋转的对比：旋转 $90^\circ$ 给出 $R^2=-I$、$\det=1$（保向）；反射给出 $S^2=I$、$\det=-1$（反向）。行列式的符号记录了”手性”是否被翻转。

示例 6（附加）：转置作为 $2\times2$ 矩阵空间上的线性变换

取矩阵空间的基 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$（即 $\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$），坐标向量 $(a,b,c,d)^{\mathsf T}$ 代表 $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$。变换 $T(M)=M^{\mathsf T}$ 把 $(a,b,c,d)$ 送到 $(a,c,b,d)$。按列构造： \(T=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}.\) 性质（脚本验算）：$T^2=I_4$（转置两次还原），$\operatorname{tr}T=2$，$\operatorname{rank}T=4$，特征值 $+1$（重数 3）与 $-1$（重数 1）。特征值 $+1$ 的特征空间 = 对称矩阵（3 维），$-1$ 的特征空间 = 反对称矩阵（1 维），$3+1=4$ ✓。这再次说明矩阵空间也是向量空间，”矩阵的函数”也可以是线性变换（呼应讲次 11–12）。

示例 7（附加）：积分算子在 $\mathcal{P}_2$ 上——输出空间维数更高

$T(p)=\int_0^x p(t)\,dt$。用输入基 $\{1,x,x^2\}$、输出基 $\{1,x,x^2,x^3\}$： \(T(1)=x,\qquad T(x)=\tfrac{x^2}{2},\qquad T(x^2)=\tfrac{x^3}{3}.\) 按列摆放得到 $4\times3$ 矩阵 \(I_4=\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1/2&0\\0&0&1/3\end{bmatrix}.\) 检验：$I_4(3,5,7)^{\mathsf T}=(0,3,2.5,7/3)^{\mathsf T}\approx(0,3,2.5,2.333333)^{\mathsf T}$，对应 $3x+\frac52x^2+\frac73x^3$，与直接积分一致（脚本验算通过）。注意这是一个 $4\times3$ 矩阵——变换的矩阵可以是长方形的，因为输入输出空间的维数可以不同。

矩阵分解的核心思想

本讲不引入新的分解，但它给出了理解所有分解的统一语言：分解 = 把一个变换拆成几个结构简单的变换的复合。

• $A=LU$（讲次 1–5）：消元法把变换拆成”下三角变换 $\circ$ 上三角变换”。上三角意味着在特定基下”只把第 $k$ 个分量往上送”，与示例 3 中的求导矩阵形态同源。
• $A=S\Lambda S^{-1}$（讲次 21–25）：矩阵”照片”之间的换算规则，本讲已埋下伏笔——它就是讲次 31 的换基 $B=W^{-1}AW$。$\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_i)$ 意味着：在这组特殊基下，变换 $T$ 退化成”每个方向各自拉伸 $\lambda_i$ 倍”，方向之间互不干扰（解耦）。
• $A=Q\Lambda Q^{\mathsf T}$（对称矩阵）：正交基下的解耦，保长且数值稳定。
• $A=U\Sigma V^{\mathsf T}$（SVD，讲次 29）：$A$ 的像空间与输入空间各配一组正交基，变换 = 旋转 $\circ$ 缩放 $\circ$ 旋转。
• 投影 $P=P^{\mathsf T}=P^2$：既是本讲的算例，也说明幂等分解 $P$ 的”最小多项式是 $t^2-t$”，即 $P$ 只可能有两个特征值 $0,1$。

一句话：矩阵的”形状”反映的是基选得好不好；变换的”本性”（秩、核、像、特征值）不随基改变。

与其他讲次的关联

• 与讲次 1–5（消元、$A=LU$）：本讲首次把矩阵从”数的表格”提升为”变换的记录”。消元中的初等矩阵 $E_{ij}$ 本身就是线性变换（把第 $j$ 行减去 $l$ 倍第 $i$ 行），$E_{ij}^{-1}$ 存在且易求。
• 与讲次 6–10（四个基本子空间）：本讲给出翻译表：$N(A)=\ker T$，$C(A)=\operatorname{im}T$，$C(A^{\mathsf T})=\operatorname{im}T^$（转置变换的像），$N(A^{\mathsf T})=\ker T^$。秩—零化度定理就是维数公式。
• 与讲次 11–12（矩阵空间、图）：矩阵空间 $\mathbb{R}^{m\times n}$ 是 $mn$ 维向量空间，本讲的转置示例是标准演练；图上的关联矩阵 $A$ 把”节点电位差”变成”边上的电流”，也是一个线性变换。
• 与讲次 14–17（正交、投影）：示例 2 的 $P$ 是正交投影的特例；一般地 $P=A(A^{\mathsf T}A)^{-1}A^{\mathsf T}$，本讲的”对称 + 幂等”验证方法完全通用。
• 与讲次 18–20（行列式）：$\det R=1$（旋转保体积）、$\det S=-1$（反射翻手性）、$\det P=0$（投影降维），本讲的例子就是行列式几何意义的最佳素材。
• 与讲次 21–25（特征值）：特征向量 = “被变换只拉伸不转向”的方向，示例 2、5、6 都直接读出了特征向量。
• 与讲次 27–29（正定、Jordan、SVD）：$D$ 的幂零性预告了 Jordan 形；SVD 的两组基预告了讲次 31 的换基。
• 与讲次 31（换基）：本讲反复强调”矩阵依赖基”，下一讲立刻给出换基公式 $B=W^{-1}AW$。
• 与讲次 33（伪逆）：本讲把投影看成变换；讲次 33 会把 $AA^{+}$、$A^{+}A$ 解释为幂等的投影变换，正好接续本讲示例 2 的检验方法。

关键要点

1. 线性变换的两个判据：$T(\mathbf{v}+\mathbf{w})=T(\mathbf{v})+T(\mathbf{w})$ 与 $T(c\mathbf{v})=cT(\mathbf{v})$；等价地 $T(c\mathbf{v}+d\mathbf{w})=cT(\mathbf{v})+dT(\mathbf{w})$。最快检测：$T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$（平移立刻出局）。
2. 造矩阵的黄金操作：问 $T$ 对第 $j$ 个基向量做了什么，把答案按列放进第 $j$ 列。 输出必须用输出空间的基表示。
3. 矩阵乘法 = 变换复合：$(AB)\mathbf{x}=A(B\mathbf{x})$，从右往左读（右边的先作用）。次序不可交换：$P_xR\neq RP_x$。
4. 核 = 零空间，像 = 列空间：$\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T=\dim V$。变换的秩与核不依赖基，矩阵的具体数字依赖基。
5. 投影矩阵的三项体检：$P^2=P$（幂等）、$P^{\mathsf T}=P$（正交投影）、$\operatorname{tr}P=\dim(\text{目标子空间})$、$\det P=0$（除恒等外必降维）。

常见误区与注意事项

1. 把”按列摆放”写成”按行摆放”。矩阵 $A$ 的第 $j$ 列 = $T(\mathbf{v}_j)$ 的坐标。若写成行，得到的其实是 $A^{\mathsf T}$，后续所有特征值、幂等性验证都会错。求导示例中若不声明约定，上三角与下三角两种写法都会出现，必须自己统一。
2. 误以为”保持直线与平行”就是线性。平移保持直线与平行但不是线性。判据是原点不动 + 可加 + 齐次。
3. 忘记复合的次序。$P_xR$ 是”先 $R$ 后 $P_x$”。写代码时也要注意：想让向量先乘 $R$ 再乘 $P_x$，应写 Px @ (R @ v) 或 (Px @ R) @ v，而不是 R @ Px @ v。
4. 把”投影到直线”与”投影到直线所在的方向向量”混淆。$T(\mathbf{x})=\frac{\mathbf{u}^{\mathsf T}\mathbf{x}}{\mathbf{u}^{\mathsf T}\mathbf{u}}\mathbf{u}$ 中分母必须有 $\mathbf{u}^{\mathsf T}\mathbf{u}$。若 $\mathbf{u}$ 是单位向量才可省略。用非单位向量 $\mathbf{u}=(1,1)^{\mathsf T}$ 算投影：$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$——分母 $2$ 就是 $\mathbf{u}^{\mathsf T}\mathbf{u}$。
5. 以为”非方阵不可能是变换的矩阵”。示例 7 的求导/积分证明长方形矩阵完全合法。输入 $n$ 维、输出 $m$ 维，矩阵就是 $m\times n$。
6. 把 $\ker T$ 与 $\operatorname{im}T$ 放错空间。$\ker T\subseteq V$（输入空间），$\operatorname{im}T\subseteq W$（输出空间）。投影到 $y=x$ 时，$\ker$ 和 $\operatorname{im}$ 都恰好是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间，容易造成”都在同一个空间”的错觉；换成求导（$3$ 维 $\to$ 常数维）就更清楚。
7. 误以为”矩阵相同 = 变换相同”。同一矩阵在不同基下代表不同变换；同一变换在不同基下是不同的矩阵。“矩阵 = 变换” 这句话只在基固定时成立。

思考题（带答案）

Q1.（纯计算）设 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 满足 $T(1,1)^{\mathsf T}=(2,0)^{\mathsf T}$ 且 $T(1,-1)^{\mathsf T}=(0,2)^{\mathsf T}$。求 $T$ 在标准基下的矩阵，并求 $T(3,1)^{\mathsf T}$。

Q2.（概念理解）判断下列变换是否线性，并给出理由。 (a) $T(x,y)=(x+1,\ y)$；(b) $T(x,y)=(2x,\ 3y)$；(c) $T(x,y)=(xy,\ 0)$；(d) $T(p)=p^{\prime\prime}+2p^{\prime}$ 作用在 $\mathcal{P}_3$ 上；(e) $T(x,y)=(\vert (x,y)\vert ,0)$。

Q3.（计算 + 推理）设 $P=\frac12\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$ 是投影到 $y=x$ 的矩阵，$S=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ 是关于 $y=x$ 的反射。计算 $PS$、$SP$、$SPS$，并用几何语言解释每个结果。

附录 A：变换前后的向量图（几何总览）

下面这张图把本讲最重要的四个变换画在同一张 $\mathbb{R}^2$ 图上：原始网格 → 变换后网格。看”网格变成什么形状”，比记矩阵更快。

   ┌─────────────────────────────┐        ┌─────────────────────────────┐
   │  原始 R²（标准网格）         │        │  投影到 y = x 之后           │
   │                             │        │                             │
   │      y                      │        │      y                      │
   │      │    ╱                 │        │      │    ╱                 │
   │      │   ● v=(3,1)          │        │      │   ╱                 │
   │      │  ╱                   │        │      │  ● Pv=(2,2) ← 落到直线上│
   │      │ ╱                    │        │      ├─╱──────────── y=x     │
   │  ────┼──────────► x         │        │  ────┼──────────► x         │
   │      │                     │        │      │                     │
   │   整张平面（2 维）           │        │   只剩一条直线（1 维）！    │
   │   垂直方向 (1,-1) 也被保留   │        │   垂直分量被"压掉"          │
   └─────────────────────────────┘        └─────────────────────────────┘
        网格仍是"方的"                        网格被压成一条线（退化了）

   ┌─────────────────────────────┐        ┌─────────────────────────────┐
   │  绕原点旋转 90°              │        │  沿 x 方向拉伸 2 倍          │
   │                             │        │                             │
   │      y                      │        │      y                      │
   │      │   ● Rv=(-1,3)        │        │      │  ● Tv=(6,1)         │
   │      │  ╱                  │        │      │ ╱                   │
   │      │ ╱                   │        │      │╱                    │
   │      │╱  ● v=(3,1)         │        │      ├────────────────► x     │
   │  ────┼──────────► x         │        │      │                     │
   │      │                     │        │   网格仍是"方的"但 x 方向拉长 │
   │   网格整体转动 90°（保长、保角）│      │   det = 2（面积放大 2 倍）    │
   └─────────────────────────────┘        └─────────────────────────────┘

   判据速记：
   ┌────────────┬──────────┬──────────┬──────────┬──────────────┐
   │ 变换        │ 原点动?  │ 网格形状  │ 行列式    │ 可逆?        │
   ├────────────┼──────────┼──────────┼──────────┼──────────────┤
   │ 投影        │ 不动     │ 压成线    │ 0        │ 不可逆        │
   │ 旋转        │ 不动     │ 方形（转）│ +1       │ 可逆          │
   │ 反射        │ 不动     │ 方形（翻）│ −1       │ 可逆          │
   │ 拉伸(2,3倍) │ 不动     │ 长方形    │ +6       │ 可逆          │
   │ 平移        │ 动了！   │ 方形（移）│ —        │ （非线性的）  │
   └────────────┴──────────┴──────────┴──────────┴──────────────┘
   ← 最后一行的"原点动了"就是平移唯一的破绽

附录 B：常见线性变换矩阵速查表（$\mathbb{R}^2$，标准基）

三条自检规则：

1. 行列式 $=0$ ⇔ 有非零核 ⇔ 不可逆 ⇔ 降维。
2. 迹 $=$ 特征值之和；对称矩阵/三角矩阵的迹与行列式最容易手算（$\det=ad-bc$）。
3. 若 $\det$ 为负，变换翻转手性（左右手互换）；若 $\vert \det\vert =1$，面积保持不变。

验算样例（脚本通过）：投影 $y=x$ 的 $\operatorname{tr}=1$、$\det=0$、特征值 $1,0$；反射 $y=x$ 的 $S^2=I$、$\det=-1$、特征值 $1,-1$；拉伸 $(2,3)$ 的 $\operatorname{tr}=5$、$\det=6$、特征值 $2,3$。

附录 C：离散求导——从多项式求导到差分矩阵

示例 3 的求导算子 $D$ 有一个极其有用的离散版本。把区间 $[0,1]$ 上的函数 $f$ 在节点 $h=\frac1n$ 处采样得 $\mathbf{f}=(f_1,\dots,f_n)^{\mathsf T}$，用前向差分近似导数： \((D\mathbf{f})_i=\frac{f_{i+1}-f_i}{h}.\) 这给出一个 $(n-1)\times n$ 矩阵。取 $n=4$、$h=1$： \(D_4=\begin{bmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\end{bmatrix}.\) 核验（脚本验算）：$D_4(1,1,1,1)^{\mathsf T}=(0,0,0)^{\mathsf T}$ ✓ —— 常函数的导数为零，与连续情形完全一致。 $D_4(1,2,3,4)^{\mathsf T}=(1,1,1)^{\mathsf T}$ ✓（$D_4$ 是 $3\times4$，结果按定义是 $3$ 维）—— 对 $f_i=c\cdot i$ 得到常数斜率，也一致。 秩与核：$D_4$ 是 $3\times4$，它的三行是 $(-1,1,0,0)$、$(0,-1,1,0)$、$(0,0,-1,1)$——逐行看，第 1 行的首个非零元在第 1 位，第 2 行在第 2 位，第 3 行在第 3 位，首非零元的位置严格递增，故线性无关（行阶梯形判据），$\operatorname{rank}=3$，$\dim N(D_4)=4-3=1$，零空间正是常数向量 $\operatorname{span}\{(1,1,1,1)\}$。

与示例 3 的对照：

这个对照的意义：连续求导是方阵但奇异（因为多项式空间”闭合”），离散差分是长方形且满行秩（因为网格边界少一个点）。同一个数学操作，在不同空间的基下呈现完全不同的矩阵形状——这正是”矩阵依赖基、变换不依赖基”的最佳注解。

附录 D：判定与构造的完整工作流

面对”$T$ 是什么样的线性变换”这类问题，按下面五步走，不会出错：

   步骤 1  检查 T(0) = 0 ？           ← 不等则直接判定"非线性"，结束
   ────────────────────────────────────────────────────────────
   步骤 2  检查 T(cv+dw) = cT(v)+dT(w) ？ ← 用符号推导，别只试数字
   ────────────────────────────────────────────────────────────
   步骤 3  确定输入空间的基 v1..vn      ← 以及输出空间的基 w1..wm
   ────────────────────────────────────────────────────────────
   步骤 4  逐个求 T(vj)，并把它写成输出基的线性组合
           （这部分是"解小方程组"，别偷懒跳过）
   ────────────────────────────────────────────────────────────
   步骤 5  按列摆放：A 的第 j 列 = 步骤 4 的系数向量
   ────────────────────────────────────────────────────────────
   检查    用几个随机向量验证 A x 与 T(x) 是否一致
   检查    rank(A) = dim im T，n - rank(A) = dim ker T

为什么第 4 步最容易出错：如果输出基不是标准基，”写成分解式”这一步就真的有算术量。例如示例 3 中 $T(x^2)=2x$，在基 $\{1,x,x^2\}$ 下坐标是 $(0,2,0)$ 而不是 $(0,0,2)$——必须让第 2 个位置（对应 $x$）拿到系数 2。

验算流程（可直接照抄）：

// 用脚本验证"矩阵 = 变换"的一致性
const A = [[0,1,0],[0,0,2],[0,0,0]];        // 约定：基 1,x,x^2，列向量
const Tpoly = (a,b,c) => [b, 2*c, 0];        // T = d/dx：a+bx+cx^2 -> b+2cx
const coords = [3,5,7];                      // p = 3+5x+7x^2
const viaMatrix = A.map(r => r.reduce((s,v,i) => s+v*coords[i], 0));
console.log(viaMatrix, Tpoly(...coords));    // 两者必须相等 -> [5,14,0]

附录 E：核与像的维数账本（把讲次 6–10 翻译过来）

设 $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$，矩阵 $A$（$m\times n$），$r=\operatorname{rank}A$。四个基本子空间的变换语言版本：

正交关系（讲次 10）在变换语言下：$\ker T=(\operatorname{im}T^{})^{\perp}$，$\ker T^{}=(\operatorname{im}T)^{\perp}$。即核是”像的正交补”，反过来也成立。

用投影 $P=\frac12\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$ 核验账本（$n=m=2$，$r=1$）：

• $C(P)=\operatorname{span}\{(1,1)\}$，维数 1 ✓
• $N(P)=\operatorname{span}\{(1,-1)\}$，维数 $2-1=1$ ✓
• $C(P^{\mathsf T})=C(P)=\operatorname{span}\{(1,1)\}$（对称！），维数 1 ✓
• $N(P^{\mathsf T})=N(P)=\operatorname{span}\{(1,-1)\}$，维数 $2-1=1$ ✓
• 正交：$(1,-1)\cdot(1,1)=1-1=0$ ✓
• 核与像的维数和 $1+1=2=n$ ✓

翻译三条定理：

1. 秩—零化度：$\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T=n$ → “被压死的 + 被送出的 = 全部输入”。
2. 可逆性：$T$ 可逆 ⇔ $\ker T=\{\mathbf{0}\}$ 且 $\operatorname{im}T=W$ → “$T$ 既单又满”。
3. 一对一：$\ker T=\{\mathbf{0}\}$ ⇔ $T$ 是单射 → “没有两个不同的输入被送到同一个输出”。

附录 F：变换复合的两种读法与测验

测验：下面的等式是否成立？ \(\text{(i) }(AB)^{\mathsf T}=B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}\qquad\text{(ii) }(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\qquad\text{(iii) }(AB)^2=A^2B^2.\)

答案与变换解释：

• (i) 成立。用变换语言：$B$ 先作用、$A$ 后作用；转置（伴随）会把顺序颠倒——先转置的变成后转置的。
• (ii) 成立（当两者都可逆）。”先 $B$ 后 $A$”的逆必须是”先撤销 $A$ 再撤销 $B$”，所以是 $B^{-1}A^{-1}$。穿鞋脱鞋顺序相反。
• (iii) 一般不成立！$(AB)(AB)=ABAB\neq AABB$，除非 $A,B$ 可交换（$AB=BA$）。几何上：先拉伸再旋转，与拉伸两次，完全是两回事。

验算例（脚本通过）： \(A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\text{（剪切）},\quad B=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\text{（拉伸）},\quad AB=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix},\quad BA=\begin{bmatrix}2&2\\0&1\end{bmatrix},\) \(AB\neq BA,\qquad (AB)^2=\begin{bmatrix}4&3\\0&1\end{bmatrix}\neq A^2B^2=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&2\\0&1\end{bmatrix}.\) 结论：非交换性是变换复合的内在属性，不是矩阵的缺陷。

附录 G：三条延伸思考（不附答案，供自测）

1. 设 $T:\mathbb{R}^{2\times2}\to\mathbb{R}^{2\times2}$ 定义为 $T(M)=M+M^{\mathsf T}$。它是线性的吗？它的核与像是什么？（提示：核 = 反对称矩阵，像 = 对称矩阵，两个维数相加 $1+3=4$ ✓。用附录 E 的转置示例数据可验证。）
2. 设 $T(p)=p(x)p^{\prime}(x)$ 作用在多项式上。它是线性的吗？（提示：考察 $T(p+q)$，会发现交叉项 $p^{\prime}q+pq^{\prime}$ 无法消去。）
3. 若 $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ 把每个向量投影到平面 $x+y+z=0$ 上，$T$ 的矩阵是什么？它的迹是多少？（提示：先求平面法向 $\mathbf{n}=(1,1,1)^{\mathsf T}$，投影矩阵 $P=I-\frac{\mathbf{n}\mathbf{n}^{\mathsf T}}{\mathbf{n}^{\mathsf T}\mathbf{n}}$，迹 $=3-1=2$ = 平面维数 ✓。）