Lecture 23: Differential Equations and exp(At)

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Lecture 23: Differential Equations and exp(At)

概述

本讲把特征值从”静态”带入”动态”：求解线性常微分方程组 $du/dt = Au$。核心结论只有一句话——把初始向量 $\mathbf{u}(0)$ 分解到 $A$ 的特征向量方向上，每个方向各自按 $e^{\lambda_i t}$ 独立演化，再线性叠加。由此得到解 $\mathbf{u}(t) = \sum_i c_i e^{\lambda_i t}\mathbf{x}_i$，进一步浓缩为一个对象：矩阵指数 $e^{At} = Se^{\Lambda t}S^{-1}$，于是 $\mathbf{u}(t) = e^{At}\mathbf{u}(0)$，与标量情形 $u = e^{\lambda t}u(0)$ 完全平行。

这是特征值理论最漂亮的应用，也是”稳定性”这一物理概念首次获得纯代数判据的地方：系统是否衰减到零，只取决于所有特征值的实部。

核心概念的几何直觉

从标量到系统：为什么特征方向会”各自为政”

定义与目的：标量方程 $\dfrac{du}{dt} = \lambda u$ 的解是 $u(t) = Ce^{\lambda t}$。现在 $u$ 变成向量 $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n$，系数变成矩阵 $A$，方程为 $\dfrac{d\mathbf{u}}{dt} = A\mathbf{u}$。我们要找它的通解。
几何直觉（它在空间中是什么样子？）：$A$ 作用在向量上，一般会同时旋转并伸缩它。但如果向量恰好落在特征方向 $\mathbf{x}_i$ 上，$A\mathbf{x}_i = \lambda_i \mathbf{x}_i$，此时 $A$ 退化成”纯粹的伸缩”——没有旋转。于是在这个特殊方向上，向量方程退化成一维标量方程：

\[\frac{d}{dt}\big(c_i(t)\mathbf{x}_i\big) = A\big(c_i(t)\mathbf{x}_i\big) = \lambda_i c_i(t)\mathbf{x}_i \quad\Longrightarrow\quad \frac{dc_i}{dt} = \lambda_i c_i \quad\Longrightarrow\quad c_i(t) = c_i(0)e^{\lambda_i t}\]

也就是说：在特征坐标系下，$n$ 维耦合系统彻底解耦成 $n$ 个互不干扰的一维指数过程。$\lambda_i > 0$ 的方向指数爆炸，$\lambda_i < 0$ 的方向指数湮灭，$\lambda_i$ 为纯虚数的方向原地打转。整个轨线是这些独立运动的叠加。

具体示例：$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$ 有特征方向 $\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$（$\lambda_1 = 1$，增长）与 $\mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$（$\lambda_2 = -3$，衰减）。沿 45° 线的运动被放大，沿 135° 线的运动被强烈压扁——轨线最终被”吸”到 $\mathbf{x}_1$ 方向上。

矩阵指数 $e^{At}$

定义与目的：把标量幂级数 $e^{z} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots$ 中的 $z$ 换成矩阵 $At$：

\[e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \frac{(At)^3}{3!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^kt^k}{k!}\]

它把”初始状态”线性地搬运到”时刻 $t$ 的状态”：$\mathbf{u}(t) = e^{At}\mathbf{u}(0)$。$e^{At}$ 是一个矩阵（$n\times n$），不是一个数，也绝不等同于逐元素取指数。

几何直觉（它在空间中是什么样子？）：$e^{At}$ 是一族随 $t$ 连续变化的线性变换。$t=0$ 时它是恒等映射 $I$（什么都不做）；随着 $t$ 增大，它在 $\mathbf{x}_2$ 方向猛烈压缩、在 $\mathbf{x}_1$ 方向缓慢拉伸。整个相平面上的点被这个”随时间变形的线性映射”推动着流动。
具体示例：对上面的 $A$，$e^{A\cdot 0} = I$；$t = 0.7$ 时 $e^{At}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.068105 \\ 0.945648 \end{bmatrix}$（数值已验算），说明初始在 $x$ 轴上的点被推到了右上角并趋向 $\mathbf{x}_1$ 方向。

稳定性：由特征值实部决定

定义与目的：系统 $\mathbf{u}(t) = \sum c_i e^{\lambda_i t}\mathbf{x}_i$ 的长期行为。由于 $\vert e^{\lambda t}\vert = e^{\mathrm{Re}(\lambda)t}$，虚部只贡献振荡，实部才决定增衰。
几何直觉（它在空间中是什么样子？）：把 $n$ 个特征值画在复平面上。左半平面（$\mathrm{Re}\lambda < 0$）= 衰减；右半平面（$\mathrm{Re}\lambda > 0$）= 爆炸；虚轴（$\mathrm{Re}\lambda = 0$）= 中性振荡。整个系统的命运由”最靠右的那个特征值”决定。
具体示例：$A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ 的 $\lambda = -1, -3$ 全在左半平面 ⟹ $\mathbf{u}(t) \to \mathbf{0}$（稳定）。$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 的 $\lambda = \pm i$ 恰在虚轴上 ⟹ 解为 $\cos t,\ \sin t$，绕单位圆永远转圈（中性）。

线性动态系统的物理原型（同一个原理的不同外衣）

定义与目的：$\mathbf{u}^{\prime} = A\mathbf{u}$ 不是纯数学玩具。几乎所有”线性 + 随时间演化”的物理系统都长这个样子，$A$ 的具体内容随学科变化，但“稳定性由 $\mathrm{Re}\,\lambda$ 决定”这一结论完全普适——这是线性代数为整个应用科学提供的通用语言。
几何直觉（它在空间中是什么样子？）：把系统状态看成相空间中的一个点，$A$ 决定这个点周围”速度场”的形状。弹簧让点绕着平衡位置转圈，摩擦让它螺旋内收，正反馈让它螺旋外扩。三种图景对应特征值的三种位置。

原型 1：弹簧-质点系统。设质量 $m=1$，弹簧刚度 $k=1$，阻尼 $c$。令状态 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} x \\ v \end{bmatrix}$（位移、速度），则

\[\frac{d\mathbf{u}}{dt} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -k/m & -c/m \end{bmatrix}\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -c \end{bmatrix}\mathbf{u}\]

无阻尼（$c = 0$）：$\operatorname{tr}A = 0$，$\det A = 1$，$\lambda = \pm i$ ⟹ 中性振荡（简谐运动，能量守恒，永远振动）。这与本讲示例 3 的 $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 是同一类型（相差一个正交相似变换）。
有阻尼（$c = 0.5$）：$\operatorname{tr}A = -0.5 < 0$，$\det A = 1 > 0$，$\lambda = -0.25 \pm 0.968i$ ⟹ 稳定螺旋：边振荡边衰减，振幅按 $e^{-0.25t}$ 收缩。阻尼越大，实部越负，衰减越快；阻尼超过临界值 $c = 2\sqrt{k/m} = 2$ 时 $\lambda$ 变为两个负实数，振荡消失（过阻尼），这正是判别式 $\operatorname{tr}^2 - 4\det$ 的符号所控制的分界。
负阻尼（$c < 0$，如自激振荡、气动颤振）：$\operatorname{tr}A > 0$ ⟹ $\mathrm{Re}\,\lambda > 0$ ⟹ 不稳定，振幅指数爆炸。这是塔科马海峡大桥倒塌这类事故的线性模型内核。

原型 2：RLC 电路。取电感 $L$、电容 $C$、电阻 $R$，以 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} v_C \\ i_L \end{bmatrix}$ 为状态，得到同样形式的 $2\times 2$ 矩阵。数值上取 $L = C = 1$，$R = 0.2$：

\[\frac{d\mathbf{u}}{dt} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1/L & -R/L \end{bmatrix}\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -0.2 \end{bmatrix}\mathbf{u}, \qquad \lambda = -0.1 \pm 0.995i\]

$\operatorname{Re}\lambda = -0.1 < 0$ ⟹ 稳定螺旋（阻尼振荡，电路中的”振铃”现象）。$R = 0$ 时退化为 $\lambda = \pm i$，即无耗散的 LC 振荡器（与理想弹簧完全同构——力学与电学在这里是同一条数学）。注意 $\operatorname{tr}A = -R/L$、$\det A = 1/(LC)$，稳定性条件是 $R > 0$：电阻必须为正才能耗能，负电阻（有源器件）会导致发散。

原型 3：化学反应动力学。设两种物质浓度 $a, b$ 满足 $\dot{a} = -k_1 a + k_2 b$，$\dot{b} = k_1 a - k_2 b$（可逆反应 $A \rightleftharpoons B$），则

\[A = \begin{bmatrix} -k_1 & k_2 \\ k_1 & -k_2 \end{bmatrix}, \qquad \operatorname{tr}A = -(k_1 + k_2) < 0,\quad \det A = k_1k_2 - k_1k_2 = 0\]

$\det A = 0$ ⟹ 有一个 $\lambda = 0$（守恒量：总浓度 $a+b$ 不变，对应特征向量 $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$），另一个 $\lambda = -(k_1+k_2) < 0$。于是解收敛到平衡浓度（不是收敛到零）：$\lambda = 0$ 方向保持初值投影不变，衰减方向消失。这正是”中性方向”的物理意义——守恒律对应 $\lambda = 0$。这与讲次 24 马尔可夫矩阵”$\lambda = 1$ 是稳态”在结构上完全平行。

原型 4：种群模型。捕食者-被捕食者（Lotka-Volterra 的线性化）、或两个竞争种群 $\dot{u}_1 = -u_1 + 2u_2$，$\dot{u}_2 = 2u_1 - u_2$——这不是别的，正是本讲示例 1 的 $A$！它说的是：物种 1 被物种 2 的存在促进（$+2u_2$），反之亦然，于是存在一个 $\lambda = 1 > 0$ 的”共同增长模态”。模型预测两物种都指数增长（在资源无限的前提下），系统不稳定；而 $\lambda = -3$ 的模态是一个快速衰减的”差异模态”（$u_1 - u_2 \to 0$），即两物种的差距迅速抹平，随后同步爆炸。这与前面算出的 $t=0.7$ 时 $u_1 \approx u_2$ 完全一致。

普适原理的表述：无论力学、电学、化学还是生态学，只要系统在平衡点附近可线性化为 $\mathbf{u}^{\prime} = A\mathbf{u}$，那么（i）$\mathrm{Re}\,\lambda < 0$ ⟹ 平衡点渐近稳定，扰动被抹去；（ii）存在 $\mathrm{Re}\,\lambda > 0$ ⟹ 平衡点不稳定，小扰动指数放大；（iii）$\mathrm{Re}\,\lambda = 0$ ⟹ 临界情形，线性化不足以定论，需要看高阶项（本课程之外）。这一原理的威力在于：判断稳定性完全不需要解方程，只需算 $\det(A-\lambda I) = 0$ 的根落在复平面哪一半。

计算步骤与手算演示

构造步骤（通解四步法）

求 $A$ 的全部特征值 $\lambda_i$ 与特征向量 $\mathbf{x}_i$（解 $\det(A - \lambda I) = 0$，再解 $(A - \lambda_i I)\mathbf{x}_i = \mathbf{0}$）。
写出通解 $\mathbf{u}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{x}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t}\mathbf{x}_2 + \cdots + c_n e^{\lambda_n t}\mathbf{x}_n$。
代入 $t = 0$：$\mathbf{u}(0) = c_1\mathbf{x}_1 + c_2\mathbf{x}_2 + \cdots + c_n\mathbf{x}_n$，即 $\mathbf{u}(0) = S\mathbf{c}$，解出 $\mathbf{c} = S^{-1}\mathbf{u}(0)$。
合并成矩阵形式 $\mathbf{u}(t) = S e^{\Lambda t} S^{-1}\mathbf{u}(0) = e^{At}\mathbf{u}(0)$。

【计算机制解说】：为什么 $\mathbf{u}(t) = \sum_i c_i e^{\lambda_i t}\mathbf{x}_i$ 是通解？两个原因缺一不可。（a）解对线性运算封闭（叠加原理）：方程 $\mathbf{u}^{\prime} = A\mathbf{u}$ 是线性的。若 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 都是解，则 $(a\mathbf{u} + b\mathbf{v})’ = a\mathbf{u}^{\prime} + b\mathbf{v}^{\prime} = A(a\mathbf{u} + b\mathbf{v})$，所以任意线性组合仍是解。更一般地，初值问题的解唯一（给定 $\mathbf{u}(0)$，解被完全确定），因此只要我们的表达式能匹配任意给定的 $\mathbf{u}(0)$，它就是通解。（b）特征向量构成一组基：当 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量时，它们张成整个 $\mathbb{R}^n$。于是任何初始向量都能唯一写成 $\mathbf{u}(0) = \sum c_i\mathbf{x}_i$。把这两条合起来：每个纯粹的特征模态 $\mathbf{x}_i$ 给出一个解 $e^{\lambda_i t}\mathbf{x}_i$，叠加原理给出任意组合都是解，而基性质保证任意初值都能被某个组合匹配。三者一夹，通解的形式就被唯一确定了。

示例 1（不稳定）：$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$

步骤 1：特征值与特征向量

\[\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -1-\lambda & 2 \\ 2 & -1-\lambda \end{vmatrix} = (-1-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 + 2\lambda + 1 - 4 = \lambda^2 + 2\lambda - 3\] \[\lambda^2 + 2\lambda - 3 = (\lambda + 3)(\lambda - 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lambda_1 = 1,\qquad \lambda_2 = -3}\]

（核对：$\operatorname{tr}A = -2 = 1 + (-3)$ ✓；$\det A = (-1)(-1) - 2\cdot 2 = 1 - 4 = -3 = 1 \times (-3)$ ✓。）

$\lambda_1 = 1$：$A - I = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$，解 $-2x_1 + 2x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2$，取 $\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。
$\lambda_2 = -3$：$A + 3I = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$，解 $x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = -x_1$，取 $\mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$。

核对 $A\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} -1+2 \\ 2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 1\cdot\mathbf{x}_1$ ✓；$A\mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} -1-2 \\ 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 3 \end{bmatrix} = -3\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ ✓。

注意 $\mathbf{x}_1 \perp \mathbf{x}_2$（点积 $1\cdot 1 + 1\cdot(-1) = 0$）——因为 $A$ 对称，特征向量正交，$S$ 可以取成正交矩阵（讲次 25）。

步骤 2：写通解

\[\mathbf{u}(t) = c_1 e^{1\cdot t}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 e^{-3t}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\]

步骤 3：用初值定常数（取 $\mathbf{u}(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$）

\[c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} c_1 + c_2 = 1 \\ c_1 - c_2 = 0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad c_1 = c_2 = \tfrac{1}{2}\]

（矩阵写法：$S = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$，$\mathbf{c} = S^{-1}\mathbf{u}(0)$。）

步骤 4：最终解与分量形式

\[\boxed{\ \mathbf{u}(t) = \frac{1}{2}e^{t}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{1}{2}e^{-3t}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\ }\] \[u_1(t) = \frac{e^{t} + e^{-3t}}{2}, \qquad u_2(t) = \frac{e^{t} - e^{-3t}}{2}\]

验证：$t = 0$ 时 $u_1 = \frac{1+1}{2} = 1$，$u_2 = \frac{1-1}{2} = 0$，得 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ✓。导数验证（数值已核对，误差 $\sim 10^{-11}$）：

\[\frac{du_1}{dt} = \frac{e^t - 3e^{-3t}}{2}, \qquad \frac{du_2}{dt} = \frac{e^t + 3e^{-3t}}{2}\] \[A\mathbf{u} = \begin{bmatrix} -u_1 + 2u_2 \\ 2u_1 - u_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{e^t+e^{-3t}}{2} + (e^t - e^{-3t}) \\ (e^t+e^{-3t}) - \frac{e^t - e^{-3t}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{e^t - 3e^{-3t}}{2} \\ \frac{e^t + 3e^{-3t}}{2} \end{bmatrix}\ ✓\]

结论：存在 $\lambda_1 = 1 > 0$ ⟹ 含 $e^t$ 的项发散 ⟹ 系统不稳定。$t=0.7$ 时 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1.068105 \\ 0.945648 \end{bmatrix}$——两个分量已几乎相等，说明轨线正被吸入 $\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 方向。

   A = [[-1, 2], [2, -1]]  相平面 (u1, u2)

        u2
         ^
  x2  *  |  *  x1        x1=[1,1] (lam=+1)  ← 增长方向（吸引子）
   \     |     /         x2=[1,-1](lam=-3)  ← 衰减方向（压缩）
    \    |    /
     \   |   /
  ----+--+--+----> u1
     /   |   \
    /    |    \
   /     |     \
        u(0)=(1,0) 出发的轨线：先被 x2 方向压扁，再沿 x1 冲出

示例 2（稳定）：$A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$

步骤 1：

\[\det(A-\lambda I) = (-2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 + 4\lambda + 3 = (\lambda+1)(\lambda+3) \;\Longrightarrow\; \boxed{\lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = -3}\]

（$\operatorname{tr}A = -4 = -1 + (-3)$ ✓，$\det A = 4 - 1 = 3 = (-1)(-3)$ ✓。）

$\lambda_1 = -1$：$A + I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \Rightarrow \mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。
$\lambda_2 = -3$：$A + 3I = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$。

（核对：$A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix} = -1\mathbf{x}_1$ ✓；$A\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 3 \end{bmatrix} = -3\mathbf{x}_2$ ✓。）

步骤 2-3：取 $\mathbf{u}(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$，同样得 $c_1 = c_2 = \tfrac{1}{2}$：

\[\boxed{\ \mathbf{u}(t) = \frac{1}{2}e^{-t}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{1}{2}e^{-3t}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\ }\] \[u_1(t) = \frac{e^{-t} + e^{-3t}}{2}, \qquad u_2(t) = \frac{e^{-t} - e^{-3t}}{2}\]

验证：$t = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ✓。数值：$t = 1$ 时 $\begin{bmatrix} 0.208833 \\ 0.159046 \end{bmatrix}$；$t = 5$ 时 $\begin{bmatrix} 0.003369 \\ 0.003369 \end{bmatrix}$ ⟹ $\mathbf{u}(t) \to \mathbf{0}$。导数数值核对：$\mathbf{u}^{\prime}(0.9) = \begin{bmatrix} -0.3040931 \\ -0.1024766 \end{bmatrix}$ 与 $A\mathbf{u}(0.9) = \begin{bmatrix} -0.3040931 \\ -0.1024766 \end{bmatrix}$ 一致 ✓。

结论：$\lambda_1 = -1 < 0$，$\lambda_2 = -3 < 0$ ⟹ 稳定（渐近稳定，$\mathbf{u}(t)\to\mathbf{0}$）。慢慢的那个方向（$-1$）决定衰减速率，$e^{-3t}$ 很快消失，最后 $u_1 \approx u_2 \approx \frac{1}{2}e^{-t}$。

示例 3（中性/振荡）：$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

步骤 1：

\[\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{\lambda = \pm i}\]

（$\operatorname{tr}A = 0$ ⟹ $\lambda_1 + \lambda_2 = 0$ ✓；$\det A = 0\cdot 0 - (-1)(1) = 1 = i\cdot(-i)$ ✓。）

特征向量（允许复向量）：$\lambda = i$ 时 $A - iI = \begin{bmatrix} -i & -1 \\ 1 & -i \end{bmatrix}$，方程 $-ix_1 - x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = -ix_1$，取 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}$。核对 $A\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\cdot 1 + (-1)(-i) \\ 1\cdot 1 + 0\cdot(-i) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix} = i\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}$ ✓。

步骤 2-3：取 $\mathbf{u}(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$，用复解 $e^{it}\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}$ 并在实/虚部之间组合：

\[\mathbf{u}(t) = \frac{1}{2}\Big(e^{it}\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} + e^{-it}\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}\Big) = \begin{bmatrix} \cos t \\ \sin t \end{bmatrix}\]

验证：$\mathbf{u}(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ✓。导数：$\mathbf{u}^{\prime}(t) = \begin{bmatrix} -\sin t \\ \cos t \end{bmatrix}$，而 $A\mathbf{u}(t) = \begin{bmatrix} -u_2 \\ u_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\sin t \\ \cos t \end{bmatrix}$ ✓（数值核对一致）。$\vert \mathbf{u}(t)\vert ^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ 恒定 ✓ ⟹ 轨线是单位圆。

结论：$\mathrm{Re}(\pm i) = 0$ ⟹ 中性：不衰减也不发散，最右端点在 $t\to\infty$ 时不存在极限（$u_1 = \cos t$ 一直摆动）。

补充：连续与离散的桥梁（为什么连接 $A$ 与 $A^k$ 的是”指数”）

这一小节把本讲（连续时间）与讲次 22、24（离散时间）缝在一起。考虑把连续方程 $\mathbf{u}^{\prime} = A\mathbf{u}$ 用最简单的前向欧拉法离散化，取时间步长 $\Delta t$：

\[\frac{\mathbf{u}_{k+1} - \mathbf{u}_k}{\Delta t} = A\mathbf{u}_k \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{u}_{k+1} = \underbrace{(I + A\Delta t)}_{M}\mathbf{u}_k \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{u}_k = M^k\mathbf{u}_0\]

于是连续系统的特征值与离散迭代矩阵 $M = I + A\Delta t$ 的特征值之间有严格对应。若 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$，则

\[M\mathbf{x} = (I + A\Delta t)\mathbf{x} = (1 + \lambda\Delta t)\mathbf{x} \quad\Longrightarrow\quad \mu = 1 + \lambda\Delta t\]

两个判据由此一一对应（注意 $\mu$ 是 $\lambda$ 的一次近似 $e^{\lambda\Delta t} \approx 1 + \lambda\Delta t$）：

  连续: du/dt = Au            离散: u_{k+1} = M u_k
  ------------------------------------------------
  特征值 lambda               特征值 mu = 1 + lambda*dt
  稳定 <=> Re(lambda) < 0     稳定 <=> |mu| < 1
  临界边界: 虚轴 Re=0          临界边界: 单位圆 |mu|=1
  解: u(t) = e^{At} u(0)      解: u_k = M^k u_0
  分解: e^{At} = S e^{Lt} S^-1 分解: M^k = S L^k S^-1

数值例子：$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$，$\lambda = 1, -3$。取 $\Delta t = 0.1$，则 $M = I + 0.1A = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.2 \\ 0.2 & 0.9 \end{bmatrix}$，其 $\mu = 1 + 0.1(1) = 1.1$ 与 $1 + 0.1(-3) = 0.7$。因为 $\vert \mu\vert = 1.1 > 1$，离散迭代同样发散 ✓——两个判据结论一致。但若 $\Delta t$ 取得过大（$\Delta t > 1$），$\mu = 1 + \lambda\Delta t$ 会因为 $\lambda = -3$ 给出 $-2$，$\vert \mu\vert = 2 > 1$——一个稳定的连续系统被粗糙的数值格式判成了不稳定。这是数值分析中”步长稳定性限制”（stiff 问题）的代数根源，也是 $e^{\lambda\Delta t}$ 与 $1+\lambda\Delta t$ 在 $\lambda\Delta t$ 较大时差异显著的直接后果。

精确的桥梁不是 $1+\lambda\Delta t$ 而是 $e^{\lambda\Delta t}$：若用精确解 $\mathbf{u}(t+\Delta t) = e^{A\Delta t}\mathbf{u}(t)$ 作离散化，则 $M = e^{A\Delta t}$，特征值 $\mu_i = e^{\lambda_i\Delta t}$，且

\[\vert \mu_i\vert = \vert e^{\lambda_i\Delta t}\vert = e^{\mathrm{Re}(\lambda_i)\Delta t} < 1 \iff \mathrm{Re}(\lambda_i) < 0\]

两个判据的等价性在这里是精确的、无条件的。这个式子值得记住：它是”连续稳定 $\iff$ 离散稳定”的完整证明，也说明了为什么讲次 24 用 $\vert \lambda\vert <1$、本讲用 $\mathrm{Re}\,\lambda<0$——它们描述的是同一个几何事实（左半平面 vs 单位圆），只是被 $\exp$ 映射关联起来。

   三类相平面轨线对比

   (1) 稳定: lam = -1, -3        (2) 不稳定: lam = +1, -3      (3) 中性: lam = +-i
        u2                            u2                            u2
         ^  ___                        ^   \  |  /                  ^
         | /   \                       |    \ | /                   |    .-''-.
         |/     \                      |     \|/                    |   /      \
   ------+-------> u1            ------+------+------> u1    -------+--+-------+--> u1
         |\     /                      |     /|\                    |   \      /
         | \___/                       |    / | \                   |    '-..-'
         v                             v                             v
   所有轨线被吸入原点             轨线沿 x1=[1,1] 冲出         单位圆，永远不衰减
   (结点 sink)                     (不稳定结点)                 (中心 center)

以上三个例子都满足同一个规律：由最右端的特征值实部拍板。下表整理了 2×2 的全部类型（已用脚本逐一扫过）：

 2x2 相平面分类速查（r = Re(lambda)）

  特征值                    类型              稳定性        例子
  -----------------------  ----------------  ------------  ---------------------------
  lam1, lam2 都 < 0 实      稳定结点 sink     u -> 0        A=[[-2,1],[1,-2]]  (-1,-3)
  都 > 0 实                 不稳定结点        u -> inf      A=[[2,0],[0,3]]
  一正一负                  鞍点 saddle       混合（不稳）  A=[[-1,2],[2,-1]]  (+1,-3)
  复: Re < 0                稳定螺旋 sink     u -> 0        A=[[-1,-1],[1,-1]] (-1+-i)
  复: Re > 0                不稳定螺旋        u -> inf      A=[[1,-1],[1,1]]   ( 1+-i)
  纯虚 (+-bi)               中心 center      中性、周期    A=[[0,-1],[1,0]]   (+-i)
  lam = 0 (单重)            中性/平移        不衰减不增    A=[[0,0],[0,-1]]   (0,-1)

【计算机制解说】：为什么”稳定性只看 $\mathrm{Re}\,\lambda$”而不是看特征向量、初值或 $\det$ 的其它信息？原因是解的表达式中，时间只以 $e^{\lambda_i t}$ 的形式出现，而

\[\vert e^{\lambda_i t}\vert = \vert e^{(\alpha_i + i\beta_i)t}\vert = \vert e^{\alpha_i t}\vert \cdot\vert e^{i\beta_i t}\vert = e^{\alpha_i t}\cdot 1\]

——复指数的模长完全由实部决定，虚部只在单位圆上转圈（$\vert e^{i\beta t}\vert = 1$）。这一步把一个关于长期行为的定性问题，化简成了一个只比较 $\alpha_i = \mathrm{Re}\,\lambda_i$ 与 $0$ 的符号判断。

进一步，即使初值让某个 $\lambda_i$ 的系数 $c_i = 0$（该模态完全缺失），也不改变结论的一般性：因为我们要判断的是”对所有初值都衰减”还是”存在初值使解发散”。只要有一个 $\mathrm{Re}\,\lambda_i > 0$，取 $\mathbf{u}(0) = \mathbf{x}i$（即 $c_i = 1$，其余为 $0$）就能得到一个发散的解，故系统不稳定。反之若所有 $\mathrm{Re}\,\lambda_i < 0$，则对任意初值，$\vert \mathbf{u}(t)\vert \le \sum_i \vert c_i\vert \,e^{\alpha_i t}\vert \mathbf{x}_i\vert \le C e^{\alpha{\max}t} \to 0$，一致衰减。“存在 $\lambda$ 在右半平面”与”存在初值使解发散”是等价的——这正是判据的完整逻辑链。

还要注意：判据里的”$\mathrm{Re}\,\lambda_i < 0$”是严格不等式。若某个 $\lambda = 0$（如化学反应例子里 $\det A = 0$ 的情形），对应的模态 $c\,e^{0\cdot t}\mathbf{x} = c\mathbf{x}$ 是常数，解收敛到一个非零平衡点而非零，属于中性；若 $\lambda = 0$ 且 $A$ 不可对角化，则出现 $te^{0\cdot t} = t$ 的线性增长（见讲次 28 的 Jordan 形），系统发散。$\lambda = 0$ 是判据中最微妙的地带，必须结合可对角化性一起看。

矩阵分解的核心思想

本讲的主分解对象是 $A = S\Lambda S^{-1}$，但它是连续时间版本——原来的幂 $A^k = S\Lambda^k S^{-1}$ 被指数 $e^{At} = Se^{\Lambda t}S^{-1}$ 取代。

分解形式

\[A = S\Lambda S^{-1} \qquad\Longrightarrow\qquad e^{At} = S e^{\Lambda t}S^{-1}, \qquad e^{\Lambda t} = \begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n t} \end{bmatrix}\]

推导（逐项代入）

\[e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^kt^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(S\Lambda S^{-1})^k t^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{S\Lambda^k S^{-1}t^k}{k!} = S\Big(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Lambda^k t^k}{k!}\Big)S^{-1} = Se^{\Lambda t}S^{-1}\]

关键一步是 $(S\Lambda S^{-1})^k = S\Lambda^k S^{-1}$：中间的 $S^{-1}S$ 两两相消，$S$ 与 $S^{-1}$ 各只出现一次。而对角矩阵的幂就是对角线元素的幂，$\sum_k \Lambda^k t^k/k!$ 逐元素等于 $\sum_k \lambda_i^k t^k/k! = e^{\lambda_i t}$——这就是标量情形的原地推广。

【计算机制解说】：为什么 $e^{At} = Se^{\Lambda t}S^{-1}$ 能成立？三个要点，每一个都不可省。（1）换基把”幂”变成”逐元素幂”。$A$ 的幂之所以难算，是因为矩阵乘法把各行各列混在一起；但在特征基下 $A$ 变成对角矩阵 $\Lambda$，而非对角矩阵的乘法是逐元素的：$\Lambda^k = \operatorname{diag}(\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k)$。所以”$A$ 的第 $k$ 次幂”这个可怕的对象，在特征坐标里只是一个 $n$ 元组各自取 $k$ 次方。（2）级数求和与换基可以交换次序。$e^{At}$ 的定义是一个无穷级数，要把它搬到特征坐标，必须允许 $\sum_k$ 与 $S(\cdot)S^{-1}$ 互换。这一步的合法性来自收敛性：对任意有限 $t$，$\vert A^kt^k/k!\vert \le \vert A\vert ^kt^k/k!$，而标量级数 $\sum \vert A\vert ^kt^k/k! = e^{\vert A\vert t} < \infty$ 绝对收敛。因此矩阵级数绝对收敛，可以逐项重排、可以提出常数矩阵因子。矩阵指数对任意 $A$ 和任意 $t$ 都收敛，这个”永远安全”的特性正是它比 $A^k$（可能爆炸）更好用的原因。（3）$A$ 与 $e^{At}$ 自动可交换。因为 $e^{At}$ 是 $A$ 的幂的线性组合，任何与 $A$ 交换的矩阵都与 $A^k$ 交换，故 $Ae^{At} = e^{At}A$。这让 $A$ 在求导时可以从任意一侧提出，于是 $\frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}$ 成立——这是 $e^{At}$ 成为”解算子”的关键。若把 $A$ 换成两个不交换的矩阵之和，第（1）步的逐元素性质就崩了，这正是 $e^{A+B}\neq e^Ae^B$ 的根源。

含义与揭示的结构性质

$A$ 的”复杂”行为被拆成三步：$S^{-1}$ 把初值换到特征坐标（解耦）→ $e^{\Lambda t}$ 在各坐标上独立做标量指数（纯粹缩放/旋转）→ $S$ 换回原坐标（叠加）。
与 $A^k = S\Lambda^k S^{-1}$（讲次 22）完全同构：离散时间的幂 ⟷ 连续时间的指数。这解释了为什么两个判据长得像但不一样（见”常见误区”第 2 条）。
$A$ 对称时 $S$ 可取正交矩阵 $Q$（讲次 25），$e^{At} = Qe^{\Lambda t}Q^{\mathsf{T}}$。$e^{\Lambda t}$ 是对角的、因而对称，$Q(\cdot)Q^{\mathsf{T}}$ 保持对称性 ⟹ 对称矩阵的矩阵指数仍是对称矩阵。物理上对应：对称系统（如纯弹簧网络）不会产生陀螺式的旋转耦合。

应用价值：一旦有 $e^{At}$，任意初值的解都是一次矩阵乘向量；$\mathbf{u}(t) = e^{At}\mathbf{u}(0)$ 就是”线性动态系统的完整说明书”。

本讲算例的显式 $e^{At}$（$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$）

\[S = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad S^{-1} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}S\]

（验算：$S\cdot\frac{1}{2}S = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = I$ ✓——这个 $S$ 是”自逆到常数倍”的特殊情形，因 $A$ 对称而显得格外干净。）

\[e^{At} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{t} & 0 \\ 0 & e^{-3t} \end{bmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} e^t & e^{-3t} \\ e^t & -e^{-3t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\] \[\boxed{\ e^{At} = \begin{bmatrix} \dfrac{e^{t}+e^{-3t}}{2} & \dfrac{e^{t}-e^{-3t}}{2} \\[8pt] \dfrac{e^{t}-e^{-3t}}{2} & \dfrac{e^{t}+e^{-3t}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a(t) & b(t) \\ b(t) & a(t) \end{bmatrix}\ }\]

其中 $a(t) = \frac{e^t+e^{-3t}}{2}$，$b(t) = \frac{e^t-e^{-3t}}{2}$。

验证：$t = 0$ 时 $a = 1, b = 0$ ⟹ $e^{A\cdot 0} = I$ ✓。$\frac{d}{dt}e^{At} = \begin{bmatrix} a^{\prime} & b^{\prime} \\ b^{\prime} & a^{\prime} \end{bmatrix}$ 与 $Ae^{At} = \begin{bmatrix} -a + 2b & -b + 2a \\ 2a - b & 2b - a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^{\prime} & b^{\prime} \\ b^{\prime} & a^{\prime} \end{bmatrix}$ 一致（用 $a^{\prime} = \frac{e^t - 3e^{-3t}}{2}$，数值核对误差 $\sim 10^{-10}$ ✓）。并且 $e^{At}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ 正是示例 1 的解 ✓——两条路径完全吻合。

补充说明：$e^{A+B} \neq e^{A}e^{B}$（除非 $AB = BA$）

取 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$（注意 $AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = BA$）。

\[e^{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad e^{B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad e^{A}e^{B} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\]

而 $A + B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$，故 $e^{A+B} = \begin{bmatrix} \cosh 1 & \sinh 1 \\ \sinh 1 & \cosh 1 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1.543081 & 1.175201 \\ 1.175201 & 1.543081 \end{bmatrix}$。两者明显不同。有趣的是两者行列式都等于 $1$（因为 $\operatorname{tr}A = \operatorname{tr}B = \operatorname{tr}(A+B) = 0$）。根本原因：标量 $e^{a+b} = e^ae^b$ 的证明依赖 $a,b$ 可交换，矩阵乘法一般不可交换，所以二项式展开 $(A+B)^k$ 无法拆分。

不可对角化的情形（简述，细节见讲次 28）：若 $A$ 不能对角化（如 $A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}$），$S$ 不存在，但仍可算

\[e^{At} = e^{\lambda t}\begin{bmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

——多出来的因子 $t$ 就是”缺陷特征值”的标志。此时若 $\lambda < 0$，$te^{\lambda t}$ 依然趋于 $0$，稳定性判据不变；但若 $\lambda = 0$，系统会线性增长而不是保持中性。

与其他讲次的关联

讲次 21-22（特征值与对角化）：本讲是 $A = S\Lambda S^{-1}$ 的”动态版”。讲次 22 用它算 $A^k$（离散幂），本讲用它算 $e^{At}$（连续指数），共享同一个 $S$ 与 $\Lambda$。若 $A$ 不可对角化，两条路线都需要 Jordan 形（讲次 28）。
讲次 24（马尔可夫矩阵与傅里叶级数）：马尔可夫链 $\mathbf{u}_{k+1} = A\mathbf{u}_k$ 是离散时间的对应物。那里 $\lambda = 1$ 对应稳态，稳定判据是 $\vert \lambda\vert < 1$（除稳态外）；这里 $\lambda = 0$ 是平凡的中性方向，判据是 $\mathrm{Re}\,\lambda < 0$。离散的 $\vert \lambda\vert <1$ 与连续的 $\mathrm{Re}\,\lambda<0$ 通过 $\lambda_{\text{disc}} = e^{\lambda_{\text{cont}}\Delta t}$ 相互翻译。
讲次 25（对称矩阵与正定）：$A$ 对称时 $\lambda$ 全为实数，稳定性判据退化成纯符号判断”是否全为负”；且 $S = Q$ 正交，$e^{At} = Qe^{\Lambda t}Q^{\mathsf{T}}$ 保持对称。矩阵 $-A$ 正定 $\iff$ $\mathrm{Re}\,\lambda$ 全为负（能量观点）。
讲次 26-27（复矩阵/正定判定）：要严格证明”$\mathrm{Re}\,\lambda<0$”，可用 Lyapunov 思想：找正定 $P$ 使 $A^{\mathsf{T}}P + PA = -I$（连续 Lyapunov 方程），这是本讲判据的能量化表述。
讲次 28（Jordan 形与 SVD）：$e^{At}$ 的一般公式需要 $A = MJM^{-1}$，$e^{At} = Me^{Jt}M^{-1}$，$e^{Jt}$ 是块对角矩阵，每块含 $e^{\lambda t}, te^{\lambda t}, \frac{t^2}{2!}e^{\lambda t},\dots$。
讲次 6-10（子空间）：稳定子空间 = 由 $\mathrm{Re}\,\lambda < 0$ 的特征向量张成的子空间；不稳定子空间由 $\mathrm{Re}\,\lambda > 0$ 的特征向量张成。三个特征值符号类各自给出一个 $A$-不变子空间，直和是整个 $\mathbb{R}^n$。

关键要点

复平面上的稳定性地图（$n$ 个特征值 $\lambda_i$ 落点决定一切）

     Im(lambda)         复平面：特征值的位置 = 系统的命运
        ^
        |
        |     |         不稳定区域
        |  x  |  x      (Re > 0)：指数发散
        |     |       x
 -------+-----+--------------> Re(lambda)
   稳定 |     |  中性
 (Re<0)|     |  (Re=0)
   u->0 |     |  振荡不衰减
        |     |
        |     |
   x = 一个特征值

  关键：只看"最右边"的那个 x
    左半平面全部  ->  稳定        (例: A=[[-2,1],[1,-2]], lam=-1,-3)
    虚轴上有 x    ->  中性        (例: A=[[0,-1],[1,0]],  lam=+-i)
    右半平面有 x  ->  不稳定      (例: A=[[-1,2],[2,-1]],lam=+1,-3)

通解公式：$\mathbf{u}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{x}_1 + \cdots + c_n e^{\lambda_n t}\mathbf{x}_n = Se^{\Lambda t}S^{-1}\mathbf{u}(0) = e^{At}\mathbf{u}(0)$。每个特征方向独立演化。
稳定性判据（连续时间）：所有 $\mathrm{Re}(\lambda_i) < 0$ ⟹ 稳定（$\mathbf{u}\to\mathbf{0}$）；存在 $\mathrm{Re}(\lambda_i) > 0$ ⟹ 不稳定；全部 $\mathrm{Re}(\lambda_i)\le 0$ 且存在纯虚 $\lambda$ ⟹ 中性振荡。只看实部，虚部只管振荡频率。
2×2 速判法：$\operatorname{tr}A < 0$ 且 $\det A > 0$ ⟹ 稳定（两个 $\lambda$ 都落在左半平面）。理由：$\lambda_1\lambda_2 = \det A > 0$ 保证同号，$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A < 0$ 保证符号为负。这两个条件缺一不可——$A=\begin{bmatrix}-1&2\\2&-1\end{bmatrix}$ 有 $\operatorname{tr}=-2<0$ 但 $\det=-3<0$，实为不稳定。
矩阵指数的三条性质：$e^{A\cdot 0} = I$；$\dfrac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At} = e^{At}A$（$A$ 与 $e^{At}$ 必可交换）；$e^{At} = Se^{\Lambda t}S^{-1}$（$A$ 可对角化时）。
矩阵指数不是逐元素指数：$e^{At}\neq \big[e^{a_{ij}t}\big]$；且 $e^{A+B}\neq e^{A}e^{B}$，除非 $AB = BA$。

常见误区与注意事项

把 $e^{At}$ 当成逐元素取指数。$e^{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}t} = \begin{bmatrix}1&t\\0&1\end{bmatrix}$（因为 $A^2 = 0$，级数在两项后截断），而逐元素指数会给 $\begin{bmatrix}1&e^t\\1&1\end{bmatrix}$——完全错误。矩阵指数是幂级数求和，混合了 $A$ 的幂所携带的耦合信息。
混淆连续与离散的稳定判据。$d\mathbf{u}/dt = A\mathbf{u}$ 要 $\mathrm{Re}\,\lambda < 0$；而 $\mathbf{u}{k+1} = A\mathbf{u}_k$ 要 $\vert \lambda\vert < 1$。临界边界也不同：连续是虚轴（$\mathrm{Re}\,\lambda = 0$），离散是单位圆（$\vert \lambda\vert = 1$）。用错判据会把稳定系统判成不稳定。二者的桥梁是 $\lambda{\text{disc}} = e^{\lambda_{\text{cont}}\Delta t}$。
忘记 $c_i$ 由初值确定，把通解当答案。$\mathbf{u}(t) = c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{x}_1 + c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{x}_2$ 里 $c_1,c_2$ 未知，必须用 $\mathbf{u}(0) = S\mathbf{c}$ 即 $\mathbf{c} = S^{-1}\mathbf{u}(0)$ 定出。常见错误是直接写 $\mathbf{u}(0) = \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2$ 或令 $c_i = 1$。
以为”稳定”意味着所有分量都衰减、或极限唯一。稳定性说的是 $\mathbf{u}(t)\to\mathbf{0}$；但若 $\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -3$，慢模态 $e^{-t}$ 在很长时间内主导，轨线先沿 $\mathbf{x}_2$ 急速塌缩再沿 $\mathbf{x}_1$ 缓慢收缩——路径强烈依赖于初值方向。另外，中性情形（$\lambda = \pm i$）没有极限，既不发散也不收敛，不能算”稳定到 0”。
发散方向搞错。系统发散时，轨线的渐近方向由 $\mathrm{Re}\,\lambda$ 最大的那个特征向量决定，不是由 $\mathbf{u}(0)$ 决定。示例 1 中无论初值怎么取（只要 $c_1\neq 0$），$t\to\infty$ 时 $\mathbf{u}$ 都平行于 $\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$。
$\lambda$ 为复数时忘了取实部。$e^{(-2+5i)t} = e^{-2t}(\cos 5t + i\sin 5t)$，衰减由 $-2$ 控制、振荡由 $5$ 控制。看到 $5i$ 就说”不稳定”是典型错误。复特征值总是成共轭对出现，实解必须取实部组合。

思考题（带答案）

Q1.（纯计算） 求解 $\dfrac{d\mathbf{u}}{dt} = A\mathbf{u}$，其中 $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$，初值 $\mathbf{u}(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$。写出 $u_1(t), u_2(t)$，并说明 $\mathbf{u}(t) \to \mathbf{0}$。

答案

$\\det(A-\\lambda I) = (-2-\\lambda)^2 - 1 = \\lambda^2 + 4\\lambda + 3 = (\\lambda+1)(\\lambda+3)$，故 $\\lambda_1 = -1$，$\\lambda_2 = -3$。 - $\\lambda_1 = -1$：$A + I = \\begin{bmatrix} -1 & 1 \\\\ 1 & -1 \\end{bmatrix}$，推出 $x_1 = x_2$，$\\mathbf{x}_1 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix}$。 - $\\lambda_2 = -3$：$A + 3I = \\begin{bmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \\end{bmatrix}$，推出 $x_1 = -x_2$，$\\mathbf{x}_2 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ -1 \\end{bmatrix}$。设 $\\mathbf{u}(t) = c_1e^{-t}\\begin{bmatrix}1\\\\1\\end{bmatrix} + c_2e^{-3t}\\begin{bmatrix}1\\\\-1\\end{bmatrix}$。代入 $t=0$： $$\begin{cases} c_1 + c_2 = 1 \\ c_1 - c_2 = 0\end{cases} \Rightarrow c_1 = c_2 = \tfrac{1}{2}$$ $$u_1(t) = \frac{e^{-t} + e^{-3t}}{2}, \qquad u_2(t) = \frac{e^{-t} - e^{-3t}}{2}$$ 两个特征值都严格为负 ⟹ $\\mathbf{u}(t)\\to\\mathbf{0}$。数值验证：$t=1$ 时 $\\begin{bmatrix}0.208833\\\\0.159046\\end{bmatrix}$，$t=5$ 时 $\\begin{bmatrix}0.003369\\\\0.003369\\end{bmatrix}$（已脚本核对）。导数验证：$\\mathbf{u}^{\\prime}(0.9) = \\begin{bmatrix}-0.3040931\\\\-0.1024766\\end{bmatrix}$ 与 $A\\mathbf{u}(0.9)$ 完全一致 ✓。（另注：$A$ 对称，故 $\\mathbf{x}_1\\perp\\mathbf{x}_2$；由于两特征值都负，这是"稳定结点"，所有轨线都指向原点。）

Q2.（判断稳定性） 判断以下四个系统的稳定性（稳定 / 不稳定 / 中性），并指出最右端特征值：

(a) $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$；(b) $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$；(c) $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$；(d) $A = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}$。

答案

**(a)** $\\operatorname{tr} = -2$，$\\det = 1 - 4 = -3$。$\\lambda^2 + 2\\lambda - 3 = (\\lambda+3)(\\lambda-1)$ ⟹ $\\lambda = 1, -3$。存在 $\\lambda = 1 > 0$ ⟹ **不稳定**（鞍点）。注意 $\\operatorname{tr} < 0$ 但 $\\det < 0$，2×2 速判法**不适用**——这正是"$\\det > 0$ 不可省"的反例。 **(b)** $\\operatorname{tr} = 0$，$\\det = 1$。$\\lambda^2 + 1 = 0$ ⟹ $\\lambda = \\pm i$。$\\mathrm{Re}\\,\\lambda = 0$ ⟹ **中性**（中心，轨线是单位圆 $u_1 = \\cos t,\\ u_2 = \\sin t$）。 **(c)** $\\operatorname{tr} = 2$，$\\det = 1 + 1 = 2$。$\\lambda^2 - 2\\lambda + 2 = 0$ ⟹ $\\lambda = 1 \\pm i$。$\\operatorname{Re}\\lambda = 1 > 0$ ⟹ **不稳定**（不稳定螺旋，一边旋转一边向外扩张）。**(b) 与 (c) 的对比很关键**：两者的振荡部分完全相同（虚部都是 $1$），差别只在实部 $0$ 与 $+1$。 **(d)** 对角矩阵，$\\lambda = -3, -5$，都 $< 0$ ⟹ **稳定**，$\\mathbf{u}(t)\\to\\mathbf{0}$，衰减速率由较慢的 $e^{-3t}$ 决定。 **总结**：稳定性只看 $\\mathrm{Re}\\,\\lambda$ 的最大值：$<0$ 稳定，$>0$ 不稳定，$=0$（且有纯虚）中性。上表已用脚本对四个矩阵逐一验算，结论一致。

Q3.（概念理解） 设 $A$ 是 $2\times 2$ 实矩阵，$\operatorname{tr}A < 0$ 且 $\det A > 0$。证明 $A$ 的两个特征值实部都为负（即系统稳定）。再解释：如果只给定 $\operatorname{tr}A < 0$，能否断言稳定？为什么？

答案

**证明。** 设特征值为 $\\lambda_1, \\lambda_2$（可能为共轭复数）。由特征多项式 $$\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A$$ 得韦达定理：$\\lambda_1 + \\lambda_2 = \\operatorname{tr}A$，$\\lambda_1\\lambda_2 = \\det A$。 **情形 1：$\\lambda$ 为实数。** 由 $\\det A = \\lambda_1\\lambda_2 > 0$，两特征值**同号**（都正或都负，且都不为零）。由 $\\operatorname{tr}A = \\lambda_1 + \\lambda_2 < 0$，两数之和为负 ⟹ 不可能都正 ⟹ **都负**。故 $\\mathrm{Re}\\,\\lambda_i = \\lambda_i < 0$ ✓。 **情形 2：$\\lambda$ 为复数。** 实矩阵的复特征值成共轭对：$\\lambda_{1,2} = \\alpha \\pm \\beta i$，$\\beta \\neq 0$。则 $\\lambda_1 + \\lambda_2 = 2\\alpha = \\operatorname{tr}A < 0$ ⟹ $\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\operatorname{tr}A < 0$ ✓（此时 $\\det A = \\alpha^2 + \\beta^2 > 0$ 自动成立，与假设相容）。∎ **反例：只给 $\\operatorname{tr}A < 0$ 不够。** 取 $A = \\begin{bmatrix} -1 & 2 \\\\ 2 & -1 \\end{bmatrix}$：$\\operatorname{tr}A = -2 < 0$，但 $\\det A = -3 < 0$，特征值为 $1$ 与 $-3$，系统**不稳定**（存在 $\\lambda = 1 > 0$）。$\\det A < 0$ 说的是 $\\lambda_1\\lambda_2 < 0$，即一正一负——鞍点。所以 $\\det A > 0$ 的作用是**排除鞍点**，$\\operatorname{tr}A < 0$ 的作用是在"同号"中选负号。两者合起来才等价于"两特征值都在左半平面"。 **延伸**：本讲示例 1 正是这个反例，数值已用脚本核对（$\\lambda = 1, -3$，$\\operatorname{tr} = -2$，$\\det = -3$）。

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Runguo Li