Lecture 18: Properties of Determinants

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Lecture 18: Properties of Determinants

概述

本讲的核心问题是：行列式到底是什么，为什么它值得用一个数来概括整个矩阵？ Strang 的讲法非常特别——他不先给你一个 3×3 的展开公式，而是用三条性质来定义行列式。这三条性质（$\det I = 1$、交换两行变号、对第一行线性）像”公理”一样，把行列式唯一地钉死；其余所有性质都是它们的推论。

这种”从性质出发”的路线有一个巨大的好处：它立刻解释了为什么消元法能求行列式——因为”一行加到另一行，行列式不变”。于是上三角矩阵的行列式就等于对角元（主元）之积，$n^3$ 次运算就够了，完全不需要展开 $n!$ 项。

本讲位于课程后半段的起点：前十七讲建立了四个基本子空间、正交与投影；现在我们把矩阵”压缩成一个数”，这个数接下来会成为特征值的守门人（讲次 21 的 $\det(A-\lambda I)=0$）、体积的度量（讲次 20），以及 SVD 中奇异值乘积的影子（讲次 29）。

核心概念的几何直觉

行列式（determinant）——一个数读出整个矩阵的全部结构

• 定义与目的：矩阵 $A$ 的行列式是一个标量 $\det A$（也写作 $\vert A\vert $）。它一次性编码了三件事：可逆性（$\det A = 0 \iff$ 奇异）、体积缩放比（$\vert \det A\vert $ 是把单位立方体映射成的平行六面体的体积）、定向（符号正负 = 保持还是翻转左右手系）。它的存在意义是：给”矩阵是否可逆”这个问题一个连续的、可以求导、可以进公式的判据。
• 几何直觉（它在空间中是什么样子？）：把 $A$ 看成从输入空间到输出空间的线性变换。单位正方形（2D）或单位立方体（3D）被 $A$ 映射成一个平行四边形或平行六面体。$\det A$ 就是这个新图形的有向体积。矩阵把空间”拉长”多少倍，行列式就告诉你多少倍。
• 具体示例：$A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$。单位正方形四个顶点 $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$ 被映射到 $(0,0),(3,0),(3,2),(0,2)$——一个 $3\times 2$ 的矩形。面积从 $1$ 变成 $6$，而 $\det A = 3\cdot 2 - 0 \cdot 0 = 6$。面积放大倍数 $= \det A$。

三条公理（axioms）——用”行为规范”定义行列式

• 定义与目的：Strang 不从公式出发，而是列出三条行为要求。任何满足这三条的”函数” $\det$ 都是唯一的，这保证了行列式没有歧义。
  • 公理 1：$\det I = 1$。（单位矩阵什么都不做，体积不变，符号为正。）
  • 公理 2：交换两行，行列式变号：$\det(\text{swapped}) = -\det A$。（交换会翻转定向，左右手系互换。）
  • 公理 3：行列式对每一行分别是线性的。写成第一行： \(\det\begin{bmatrix} t a_1 & t a_2 & t a_3 \\ \cdots & & \end{bmatrix} = t\,\det\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ \cdots & & \end{bmatrix},\) \(\det\begin{bmatrix} a_1+c_1 & a_2+c_2 & a_3+c_3 \\ \cdots & & \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ \cdots & & \end{bmatrix} + \det\begin{bmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ \cdots & & \end{bmatrix}.\) 注意：只有”按行”成比例才是线性的，把整个矩阵乘 $t$ 不是乘以 $t$（那是 $n$ 个行各乘 $t$，见性质 9’）。
• 几何直觉：公理 1 说”标准的盒子体积是 1”。公理 2 说”交换两个坐标轴，右手系变左手系”。公理 3 说”固定其他行，体积是这一行的线性函数”——底（另外两行张成的面积）固定时，体积正比于这一行的高度；两条边方向相同的向量相加，围出的两块拼起来正好是第三块。
• 具体示例：用公理 3 验证 $2\times 2$。 \(\det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \overset{?}{=} 1\cdot 4 - 2\cdot 3 = -2.\) 先用公理 3 把第一行拆开：$\begin{bmatrix} 1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 2\end{bmatrix}$，所以 \(\det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \det\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}.\) 右边第一项：用”一行加到另一行不变”（性质 4）把第一行减掉 $\tfrac13$ 倍第二行，得 $\begin{bmatrix} 0 & -4/3 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$……这条路稍绕；更干净的做法是用性质 4 先消元，见下文手算演示。要点是：$2\times 2$ 的公式 $-cb$ 与 $ad$ 的顺序，全部来自这三条公理。

三条公理为什么”足够”——唯一性与”从 $A$ 走到 $I$”

• 定义与目的：公理只是”行为规范”，要证明它们真的确定了一个函数，需要给出构造性论证：任何满足三条公理的 $\det$ 都能被算出来，且算法唯一。
• 几何直觉：把 $A$ 用行变换搬到 $I$，一路记账。因为每一步的效果（$\times t$、变号、不变）都由公理规定死了，所以出发值 $\det A$ 被反推出来，没有第二种可能。
• 具体示例 / 论证：任取 $A$，用消元把它化成行阶梯形。分三种情形：
  • 情形 A：消元中出现零行。 则 $A$ 奇异，$\det A=0$——由性质 5-8 强制。
  • 情形 B：消元完成，得到上三角 $U$，主元 $d_1,\ldots,d_n$ 全非零。 每一步”行相减”不变号，若发生 $k$ 次行交换则每次变号。于是 \(\det A=(-1)^k\det U=(-1)^k d_1d_2\cdots d_n.\) 没有选择的余地：$(-1)^k$ 和 $d_i$ 都由 $A$ 唯一决定。
  • 补充：也可反过来把 $U$ 归约到 $I$：用行相减消掉上三角的非对角元（不变号），再用”行乘 $1/d_i$”把对角元变成 1（每一步把 $\det$ 除以 $d_i$），得到 \(\det A=(-1)^k\cdot d_1d_2\cdots d_n\cdot\det I=(-1)^k d_1d_2\cdots d_n.\) 两条路同一个答案。

这就是”三条公理 $\Rightarrow$ 唯一性”的证明：任何一个满足公理的函数，在任意 $A$ 上的取值都被上面的消元账本锁死。于是我们可以放心地说：行列式就是”把 $A$ 搬到 $I$ 的总缩放因子（带符号）”。 由此立刻得到本讲的主算法：$\det A=(-1)^k\prod_i d_i$。

“一行加到另一行，行列式不变”——整讲的枢纽

• 定义与目的：这是 Strang 反复强调的第四号关键性质（公理 3 的直接推论）： \(\det\begin{bmatrix} \text{row}_1 + t\cdot \text{row}_2 \\ \text{row}_2 \\ \cdots\end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} \text{row}_1 \\ \text{row}_2 \\ \cdots \end{bmatrix} + t\det\begin{bmatrix} \text{row}_2 \\ \text{row}_2 \\ \cdots \end{bmatrix} = \det A + t\cdot 0 = \det A.\) 第二步的关键是”两行相同时行列式为 0“（性质 2）。这就是高斯消元（Gaussian elimination）可以求行列式的全部依据。
• 几何直觉：把向量 $\mathbf{b}$ 沿着向量 $\mathbf{a}$ 的方向滑动（$\mathbf{b}\to \mathbf{b}+t\mathbf{a}$），底不变、高不变，所以平行四边形面积不变。这是”剪切”（shear）：把矩形推成斜的平行四边形，面积守恒。
• 具体示例：$\det\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1\end{bmatrix} = 2 - 3 = -1$，而 $\det\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1+2 & 1+3\end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4\end{bmatrix} = 8 - 9 = -1$。确实不变。

   行变换的几何：剪切不改变面积
   
   y                                y
   |        /  (b1,b2)              |            / b + t a
   |       /                        |           /
   |      /                         |          /
   |     /                          |         /
   |    /                           |        /
   +---------------- x              +---------------- x
        a = (1,0) 固定                    a = (1,0) 固定
   
   面积 = 底 x 高 = |a| * h          面积 = 底 x 高 = |a| * h   （高没变！）

行列式的十条性质（从三条公理推出的完整清单）

• 定义与目的：下面每一条都是三条公理的推论。不要背公式，要背”它是怎么来的”——每条的证明通常只有一两行。
• 几何直觉：整张清单其实只讲了三件事：（i） 什么操作不改变体积（行相加、转置）；（ii） 什么操作按比例改变体积（行乘 $t$、矩阵乘整体乘 $t$）；（iii） 什么情况体积为零（行相关，包括行相同、零行、成比例）。
• 具体示例：逐条给出矩阵验证（全部用同一个主算例 $A$，$2\times2$ 的例子另附）。

   十条性质速查表（★ = Strang 反复强调的"必须记住"）
   
   编号   性质                                     验证/来源
   ----   --------------------------------------   ---------------------------
   P1     det I = 1                                （公理 1，定义）
   P2  ★  交换两行  ->  det 变号                    交换 [2,3,1;4,7,2;1,1,1]
                                                    得 det = -1 = -det A
   P3  ★  对每一行线性（单独乘/单独加）              R1*3 -> det 3；R1 拆成两
                                                    行之和 -> det 2 + (-1) = 1
   P4  ★★ 一行加上另一行的倍数 -> det 不变          R2 += R1 -> det 仍 = 1
                                                    【消元法的全部依据】
   P5     两行相同 -> det = 0                       [1,1,1;1,1,1;2,3,4] det=0
   P6     某行全 0 -> det = 0                       [0,0,0;4,7,2;1,1,1] det=0
   P7  ★  三角矩阵 det = 对角元之积                 U=[2,3,1;0,1,0;0,0,.5]
                                                    det = 2*1*0.5 = 1
   P8     奇异（行相关）-> det = 0                  [1,2,1;2,4,2;1,1,1] det=0
          可逆 <-> det != 0
   P9  ★  det(AB) = det A * det B                   det(AB) = -7,
                                                    det A = 1, det B = -7
   P9'     det(tA) = t^n * det A                     det(5A) = 5^3 * 1 = 125
   P10 ★   det(A^T) = det A                         det(A^T) = 1 = det A
   P11     det(A^-1) = 1/det A                      det(A^-1) = 1/1 = 1

逐条验证（十条的算术细节）

P1 / P2 —— 恒等与交换。 见上面的手算演示”示例 2(a)(b)”：交换 $A$ 的第 1、2 行得 \(\det\begin{bmatrix}4&7&2\\2&3&1\\1&1&1\end{bmatrix}=-1=-\det A.\) 几何：交换两行 $=$ 把两个坐标轴对调 $=$ 右手系变左手系。

P3 —— 行线性（乘与加两类）。

• 乘法：$R_1\to 3R_1$，$\det\begin{bmatrix}6&9&3\\4&7&2\\1&1&1\end{bmatrix}=3=3\det A$。
• 加法：$\begin{bmatrix}1&3&-1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&3&1\end{bmatrix}$， \(\det\begin{bmatrix}1&3&-1\\4&7&2\\1&1&1\end{bmatrix}+\det\begin{bmatrix}1&0&2\\4&7&2\\1&1&1\end{bmatrix}=2+(-1)=1=\det A.\) 几何：底面固定时，体积是顶棱高度的线性函数。

P4 —— 行相加不变（重点）。 三条独立的验证： \(\det\begin{bmatrix}2&3&1\\4&7&2\\1&1&1\end{bmatrix}=1,\quad \det\begin{bmatrix}2&3&1\\6&10&3\\1&1&1\end{bmatrix}=1\ (R_2{+}{=}R_1),\quad \det\begin{bmatrix}2&3&1\\4&7&2\\3&4&2\end{bmatrix}=1\ (R_3{+}{=}R_1).\) 几何：剪切不改变体积（见上方 ASCII 图）。这条是消元法的全部依据。

P5 —— 两行相同为零。 证明（只有两行）： \(\det A\overset{\text{交换}}{=}-\det A\ \Longrightarrow\ 2\det A=0\ \Longrightarrow\ \det A=0.\) 算术验证：$\det\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\2&3&4\end{bmatrix}=0$，$\det\begin{bmatrix}2&3&1\\2&3&1\\1&1&1\end{bmatrix}=0$。 注意前提 $n\geq2$（要存在”另一行”才能交换），$1\times1$ 情形这条不适用。

P6 —— 零行为零。 由 P5 加 P3 的乘法部分：把零行写成 $0\cdot(\text{任意行})$，则 $\det=0\cdot\det(\cdots)=0$。算术验证：$\det\begin{bmatrix}0&0&0\\4&7&2\\1&1&1\end{bmatrix}=0$。 几何：盒子的一条棱长度为 0，体积为 0。

P7 —— 三角矩阵 $=$ 对角元之积。 用大公式可证：上三角矩阵中 $a_{ij}=0$ 当 $i>j$，只有当排列是 $(1,2,\ldots,n)$ 时六项乘积才全非零（一旦第 1 行选了列 2，第 2 行就只能在列 $\geq2$ 里选，最终必有某行被迫选到 0）。算术验证： \(\det\begin{bmatrix}2&3&1\\0&1&0\\0&0&\tfrac12\end{bmatrix}=2\cdot1\cdot\tfrac12=1,\qquad \det\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&\tfrac12\end{bmatrix}=1.\) 这条是消元法求行列式的最后一步。

P8 —— 奇异 $\iff$ $\det=0$。 若行相关，则存在非平凡系数使 $\sum c_i\,\text{row}i=\mathbf{0}$。设 $c_1\neq0$，则 $\text{row}_1=\sum{i\geq2}(-c_i/c_1)\text{row}_i$——第一行是其余行的线性组合。用 P4 把其余行的倍数从第一行里”减掉”，第一行变成零行，故 $\det=0$（P6）。反之若 $\det\neq0$，则消元必能做完（$n$ 个主元），$A$ 可逆。 算术验证：$\det\begin{bmatrix}1&2&1\\2&4&2\\1&1&1\end{bmatrix}=0$（第 2 行 $=2\times$第 1 行）。

P9 —— 乘法法则 $\det(AB)=\det A\det B$。 算术验证：取 \(A=\begin{bmatrix}2&3&1\\4&7&2\\1&1&1\end{bmatrix}\ (\det A=1),\qquad B=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&1\\3&1&0\end{bmatrix}\ (\det B=-7),\) \(AB=\begin{bmatrix}5&4&7\\10&9&15\\4&2&3\end{bmatrix},\qquad \det(AB)=-7=1\cdot(-7).\ ✓\) 证明思路：固定 $B$，把 $f(A)=\det(AB)/\det B$ 看成 $A$ 的函数。可以验证 $f$ 同样满足三条公理（$f(I)=1$；交换 $A$ 的两行 $=$ 交换 $AB$ 的两行，故变号；对 $A$ 的每一行线性），由唯一性 $f(A)=\det A$。当 $\det B=0$ 时，$AB$ 也可证奇异，故等式仍成立。

P9’ —— 整体缩放是 $t^n$ 不是 $t$。 算术验证：$5A=\begin{bmatrix}10&15&5\\20&35&10\\5&5&5\end{bmatrix}$，消元主元 $10,5,2.5$，乘积 $=125=5^3\cdot1$。 几何：把空间的每个方向都拉长 5 倍，$n$ 维盒子体积放大 $5^n$ 倍。

P10 —— $\det(A^{\mathsf T})=\det A$。 算术验证：$A^{\mathsf T}=\begin{bmatrix}2&4&1\\3&7&1\\1&2&1\end{bmatrix}$。消元两步就已是上三角： \(R_2\leftarrow R_2-\tfrac32R_1:\ (3,7,1)-\tfrac32(2,4,1)=(0,1,-\tfrac12);\qquad R_3\leftarrow R_3-\tfrac12R_1:\ (1,2,1)-\tfrac12(2,4,1)=(0,0,\tfrac12).\) \(\begin{bmatrix}2&4&1\\0&1&-\tfrac12\\0&0&\tfrac12\end{bmatrix},\qquad \det(A^{\mathsf T})=2\cdot1\cdot\tfrac12=1=\det A.\ ✓\) 证明思路：大公式里 $A^{\mathsf T}$ 的项是 $a_{\alpha 1}a_{\beta 2}\cdots a_{\omega n}$，与 $A$ 的项 $a_{1\alpha}a_{2\beta}\cdots$ 是同一批乘积（乘法交换），逆序数也相同。所以”行”与”列”在 $\det$ 面前完全平等——任何关于行的性质都能照搬到列。

P11 —— $\det(A^{-1})=1/\det A$。 由 P9：$\det A\cdot\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det I=1$。算术验证：$\det A=1$，$A^{-1}=\begin{bmatrix}5&-2&-1\\-2&1&0\\-3&1&2\end{bmatrix}$（见讲次 20 的伴随矩阵），$\det(A^{-1})=1$。$2\times2$ 的对照：$M=\begin{bmatrix}3&1\\5&2\end{bmatrix}$，$\det M=1$，$M^{-1}=\begin{bmatrix}2&-1\\-5&3\end{bmatrix}$，$\det=1$。

计算步骤与手算演示

示例 1：消元法求 $\det A$，并与余子式展开对照

取 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}.\)

步骤 1：从 $A$ 出发。 此时还不知道 $\det A$，但知道”要从 $A$ 变到 $I$ 需要多少行变换”。

步骤 2：$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$。 这是”一行减去另一行的倍数”，由性质 4，行列式不变。 \(\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) 验算第二行：$4-2\cdot2=0$，$7-2\cdot3=1$，$2-2\cdot1=0$。✓

步骤 3：$R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac12 R_1$。 同样是行相减，行列式不变。 \(\xrightarrow{R_3 - \frac12 R_1} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\tfrac12 & \tfrac12 \end{bmatrix}\) 验算第三行：$1-\tfrac12\cdot2=0$，$1-\tfrac12\cdot3=-\tfrac12$，$1-\tfrac12\cdot1=\tfrac12$。✓

步骤 4：$R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac12 R_2$。 依然不变号。 \(\xrightarrow{R_3 + \frac12 R_2} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \tfrac12 \end{bmatrix} = U\) 验算第三行：$-\tfrac12+\tfrac12\cdot1=0$，$\tfrac12+\tfrac12\cdot0=\tfrac12$。✓

步骤 5：读出行列式。 $U$ 是上三角矩阵，由性质 6，$\det U = $ 对角元之积 $= 2\cdot 1\cdot \tfrac12 = 1$。全程没有交换过行（没有变号），所以 \(\boxed{\det A = 1.}\)

【计算机制解说】：为什么”消元读主元之积”行得通？因为整个消元过程只用了两种操作： （i）一行减去另一行的倍数——由移项性质 4，$\det$ 严格不变； （ii）行交换——由公理 2，$\det$ 变号（若发生 $k$ 次交换，最后乘 $(-1)^k$）。 消元结束后得到上三角 $U$，而对角矩阵/三角矩阵的行列式等于对角元之积（性质 6 的证明见下）。所以 \(\det A = (-1)^{k}\, u_{11}u_{22}\cdots u_{nn},\) 其中 $k$ 是交换次数。注意 Strang 常写 $\det A = \pm\,(\text{pivot product})$，符号由交换次数决定。这里 $k=0$，故 $\det A = 1$。计算量约 $\tfrac23 n^3$，与 $n!$ 相比是天壤之别。

步骤 6：换一条完全不同的路——沿第一行做余子式展开。 先算三个 $2\times 2$ 子式： \(\det M_{11} = \det\begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 1 & 1\end{bmatrix} = 7-2 = 5,\quad \det M_{12} = \det\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 1\end{bmatrix} = 4-2 = 2,\quad \det M_{13} = \det\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 1\end{bmatrix} = 4-7 = -3.\) 带上符号 $C_{1j} = (-1)^{1+j}\det M_{1j}$： \(C_{11} = +5,\qquad C_{12} = -2,\qquad C_{13} = +(-3) = -3.\) 于是 \(\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} = 2\cdot 5 + 3\cdot(-2) + 1\cdot(-3) = 10 - 6 - 3 = 1.\)

两条路线给出同一个数 $1$。 这不是巧合——余子式展开与消元都是那三条公理的推论，公理唯一地确定了 $\det$，所以任何自洽的算法都必须得到同一个值。

步骤 7：再换第三条路（同一个矩阵，沿第二列展开）。 子式与符号： \(\det M_{12}=2 \Rightarrow C_{12}=-2,\quad \det M_{22}=\det\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}=2-1=1 \Rightarrow C_{22}=+1,\quad \det M_{32}=\det\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}=4-4=0 \Rightarrow C_{32}=-0=0.\) \(\det A = a_{12}C_{12} + a_{22}C_{22} + a_{32}C_{32} = 3\cdot(-2) + 7\cdot 1 + 1\cdot 0 = -6 + 7 = 1. \checkmark\)

   两条路线对比（同一个 A，同一个答案 1）
   
   路线 A：消元                       路线 B：余子式展开
   ---------------------------------   ------------------------------------
   [ 2  3   1 ]                        det A = a11*C11 + a12*C12 + a13*C13
   [ 0  1   0 ]  R2-2R1                C11 = +(7*1 - 2*1) = +5
   [ 1  1   1 ]                        C12 = -(4*1 - 2*1) = -2
        |  R3-0.5R1                    C13 = +(4*1 - 7*1) = -3
        v                                    |
   [ 2  3   1 ]                              v
   [ 0  1   0 ]                        2*5 + 3*(-2) + 1*(-3)
   [ 0 -0.5 0.5 ]                            |
        |  R3+0.5R2                          v
        v                              10 - 6 - 3 = 1   <=== 结果一致
   [ 2  3   1 ]
   [ 0  1   0 ]
   [ 0  0  0.5 ]
        |
        v
   det = 2 * 1 * 0.5 = 1   <=== 结果一致
   
   成本：~2n^3/3 ≈ 18 flops      成本：3 个子式，每个 2x2 = ~9 flops（n=3 时更省）
   但对 n=20：~5300 次运算        但对 n=20：20! ≈ 2.4e18 次运算（宇宙寿命也算不完）

示例 2：逐条验证”行线性”与”行相加不变”

取上面同一个 $A$，做四组对照实验。

(a) 交换两行变号（公理 2）。 交换 $A$ 的第 1、2 行： \(A^{\prime} = \begin{bmatrix} 4 & 7 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix},\qquad \det A^{\prime} = ?\) 用消元：$R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac12 R_1$，$R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac14 R_1$： \(\begin{bmatrix} 4 & 7 & 2 \\ 0 & -\tfrac12 & 0 \\ 0 & -\tfrac34 & \tfrac12 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - \frac32 R_2} \begin{bmatrix} 4 & 7 & 2 \\ 0 & -\tfrac12 & 0 \\ 0 & 0 & \tfrac12 \end{bmatrix},\) $\det A^{\prime} = 4\cdot(-\tfrac12)\cdot\tfrac12 = -1 = -\det A$。✓ 符号翻转，绝对值不变。

(b) 交换第 1、3 行。 \(A^{\prime\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 7 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix},\qquad \det A^{\prime\prime} = -1 = -\det A.\ ✓\)

(c) 某一行乘 $t$（公理 3 的乘法部分）。 令 $t=3$，第 1 行乘 3： \(A_t = \begin{bmatrix} 6 & 9 & 3 \\ 4 & 7 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix},\qquad \det A_t = 3\det A = 3.\) 直接消元验算：$R_2\leftarrow R_2-\tfrac{2}{3}R_1$，$R_3\leftarrow R_3-\tfrac16 R_1$ 得 $\begin{bmatrix}6&9&3\\0&1&0\\0&-\tfrac12&\tfrac12\end{bmatrix}$，再得 $\begin{bmatrix}6&9&3\\0&1&0\\0&0&\tfrac12\end{bmatrix}$，乘积 $6\cdot1\cdot\tfrac12=3$。✓

(d) 把一行加到另一行（性质 4）。 取 $R_2 \leftarrow R_2 + R_1$： \(A_s = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 6 & 10 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix},\qquad \det A_s = 1 = \det A.\ ✓\) （消元：$R_2-3R_1$ 得 $(0,1,0)$，$R_3-\tfrac12R_1$ 得 $(0,-\tfrac12,\tfrac12)$，$R_3+\tfrac12R_2$ 得 $(0,0,\tfrac12)$，乘积 $2\cdot1\cdot\tfrac12=1$。）

(e) 行线性的”加法部分”（公理 3）。 把 $A$ 的第一行写成两个向量之和：$\begin{bmatrix}1&3&-1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&3&1\end{bmatrix}$。分别造两个矩阵： \(B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 4 & 7 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix},\qquad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & 7 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}.\) 计算：$\det B = 2$，$\det C = -1$。于是 \(\det B + \det C = 2 + (-1) = 1 = \det A.\ ✓\) 行列式对第一行”可加”，但绝不能对”整个矩阵可加”——$\det(A+B)\neq \det A + \det B$ 一般成立（这正是下一个误区清单里的头号杀手）。

【计算机制解说】：为什么”行列式对行线性、但对矩阵不是线性”？因为 $\det$ 是关于每一行分别的多重线性函数（$n$ 重线性），而不是关于矩阵这个整体的一元线性函数。把矩阵 $A$ 整体乘 $t$，等于 $n$ 行各自乘 $t$，由公理 3 连续用 $n$ 次，得到 $\det(tA) = t^n \det A$，不是 $t\det A$。用 $A$ 验证：$n=3$，$t=5$， \(\det(5A) = 5^3\det A = 125\cdot 1 = 125.\) （直接验算 $5A=\begin{bmatrix}10&15&5\\20&35&10\\5&5&5\end{bmatrix}$ 的消元：$R_2-2R_1=(0,5,0)$，$R_3-\tfrac12R_1=(0,-\tfrac52,\tfrac52)$，$R_3+\tfrac12R_2=(0,0,\tfrac52)$，主元 $10,5,\tfrac52$，乘积 $=125$。✓）记住这条幂次：$n$ 维空间缩放 $t$ 倍，体积放大 $t^n$ 倍。

示例 3：需要换行的消元——符号变化的完整记账

前两个例子里主元位置上恰好都没有 0，所以从未换行。现在做一个必须换行的例子，把 $(-1)^k$ 的记账讲清楚。

取 \(C=\begin{bmatrix}0&2&1\\3&1&4\\2&5&1\end{bmatrix}.\) 注意 $c_{11}=0$——消元第一步就做不下去（不能除以 0 主元）。

步骤 1：$R_1\leftrightarrow R_2$（第 1 次交换，记符号因子 $-1$）。 \(\begin{bmatrix}0&2&1\\3&1&4\\2&5&1\end{bmatrix}\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2}\begin{bmatrix}3&1&4\\0&2&1\\2&5&1\end{bmatrix}\) 由公理 2，$\det(C)=-\det(\text{交换后})$。

步骤 2：$R_3\leftarrow R_3-\tfrac23R_1$（行相加，不变号）。 $(2,5,1)-\tfrac23(3,1,4)=(0,\tfrac{13}{3},-\tfrac53)$。 \(\begin{bmatrix}3&1&4\\0&2&1\\0&\tfrac{13}{3}&-\tfrac53\end{bmatrix}\)

步骤 3：$R_3\leftarrow R_3-\tfrac{13}{6}R_2$（行相加，不变号）。 逐分量： \(0-\tfrac{13}{6}\cdot0=0,\qquad \tfrac{13}{3}-\tfrac{13}{6}\cdot2=\tfrac{13}{3}-\tfrac{13}{3}=0,\qquad -\tfrac53-\tfrac{13}{6}\cdot1=-\tfrac{10}{6}-\tfrac{13}{6}=-\tfrac{23}{6}.\) \(\left(0,\tfrac{13}{3},-\tfrac53\right)-\tfrac{13}{6}(0,2,1)=\left(0,0,-\tfrac{23}{6}\right),\qquad U=\begin{bmatrix}3&1&4\\0&2&1\\0&0&-\tfrac{23}{6}\end{bmatrix}\)

步骤 4：读主元之积并还原符号。 \(\det(\text{交换后的矩阵})=3\cdot2\cdot\left(-\tfrac{23}{6}\right)=-23,\qquad \det C=(-1)^{1}\cdot(-23)=+23.\)

步骤 5：用余子式展开独立验证。 沿第 1 列展开。$C$ 的第 1 列是 $(0,3,2)^{\mathsf T}$，有两个非零元，所以展开式保留两项： \(M_{11}=\begin{bmatrix}1&4\\5&1\end{bmatrix}\Rightarrow \det=1\cdot1-4\cdot5=-19\Rightarrow C_{11}=+(-19)=-19,\) \(M_{21}=\begin{bmatrix}2&1\\5&1\end{bmatrix}\Rightarrow \det=2\cdot1-1\cdot5=-3\Rightarrow C_{21}=-(-3)=+3,\) \(M_{31}=\begin{bmatrix}2&1\\1&4\end{bmatrix}\Rightarrow \det=2\cdot4-1\cdot1=7\Rightarrow C_{31}=+7,\) \(\det C=c_{11}C_{11}+c_{21}C_{21}+c_{31}C_{31}=0\cdot(-19)+3\cdot3+2\cdot7=0+9+14=23.\ ✓\)

两条路殊途同归：$\det C=23$。

【计算机制解说】：这个例子值得慢慢看，因为它暴露了两类高频错误。第一类是”子矩阵取错”：$M_{ij}$ 必须删去第 $i$ 行和第 $j$ 列。这里最典型的错法是把 $M_{11}$ 写成 $\begin{bmatrix}2&1\\5&1\end{bmatrix}$（其实是 $M_{21}$），从而得到 $-3$ 而不是正确的 $-19$。自查方法：$M_{ij}$ 的第一行应当是被保留行中最靠上的那一行。第二类是”分数算错”：消元时 $-\tfrac53-\tfrac{13}{6}$ 必须通分（$=-\tfrac{10}{6}-\tfrac{13}{6}=-\tfrac{23}{6}$），写成 $-6$ 就会让最终答案从 $23$ 变成 $36$。

流程上的教训：永远用两种独立方法算同一个行列式。上面这两类错误都是靠”消元结果 $\neq$ 展开结果”被抓出来的；如果只算一遍就落笔，很可能写出 $36$ 或 $-6$ 这样的错误值而不自知。本讲所有算例都已用脚本复核过。

这个例子的另一个教训：换行只影响符号，不影响主元的绝对值。真正决定”可逆不可逆”的是主元是否有 0，与交换次数无关。

示例 4：$2\times2$ 全清单——$2$ 维里每一条性质都看得见

$2\times2$ 只有两项，所有性质都能一眼验证，是最好的”试验台”。

验证几个关键行：

• 交换后：$5\cdot1-2\cdot3=5-6=-1=-\det M$ ✓
• $R_2+2R_1$：$R_2^{\prime}=(5+6,\ 2+2)=(11,4)$，$\det=3\cdot4-1\cdot11=12-11=1=\det M$ ✓（剪切不改变面积）
• 整体乘 4：$4M=\begin{bmatrix}12&4\\20&8\end{bmatrix}$，$\det=12\cdot8-4\cdot20=96-80=16=4^2\det M$ ✓
• 逆矩阵：$M^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{bmatrix}2&-1\\-5&3\end{bmatrix}$，$\det=2\cdot3-(-1)(-5)=6-5=1$ ✓

【计算机制解说】：$2\times2$ 表格里最值得盯住的是 “整体乘 $t$” 是 $t^2$ 而”一行乘 $t$”是 $t$。在 $2$ 维里，把整个平面按比例放大 4 倍，面积放大 $16$ 倍——这是”$t^n$”最直观的情形。很多人出错是因为把”$A$ 乘一个数”和”$A$ 的某一行乘一个数”混为一谈：前者作用于所有 $n$ 行，后者只作用一行。判断依据：看被乘的对象占了几行（几维）。

示例 5：用 $LU$ 分解一次算出 $\det A$ 并顺便得到 $A^{-1}$

$LU$ 分解不只是求 $\det$ 的工具，它同时给了求逆的 $O(n^3)$ 路径。用主算例 \(A=\begin{bmatrix}2&3&1\\4&7&2\\1&1&1\end{bmatrix},\qquad L=\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\\tfrac12&-\tfrac12&1\end{bmatrix},\qquad U=\begin{bmatrix}2&3&1\\0&1&0\\0&0&\tfrac12\end{bmatrix}.\) （手算演示 1 的消元乘数依次是 $\ell_{21}=2$，$\ell_{31}=\tfrac12$，$\ell_{32}=-\tfrac12$，所以 $L$ 的下三角正是这些乘数——这是讲次 4 的 $A=LU$ 的标准结构。）

步骤 1：验算 $LU=A$。 $L$ 第 2 行 × $U$：$2(2,3,1)+(0,1,0)=(4,7,2)$ ✓。$L$ 第 3 行 × $U$：$\tfrac12(2,3,1)-\tfrac12(0,1,0)+(0,0,\tfrac12)=(1,\tfrac32-\tfrac12,\tfrac12+\tfrac12)=(1,1,1)$ ✓。

步骤 2：$\det A=\det L\cdot\det U=1\cdot(2\cdot1\cdot\tfrac12)=1$。

步骤 3：用 $LU$ 求逆。 解 $A\mathbf{x}_j=\mathbf{e}_j$ 三次。以 $\mathbf{e}_1$ 为例：先解 $L\mathbf{y}=\mathbf{e}_1$（前代），再解 $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$（回代），得到 $A^{-1}$ 的第 1 列 $=(5,-2,-3)^{\mathsf T}$（与讲次 20 用伴随矩阵得到的 $A^{-1}$ 第一列一致）。三次求解共约 $2\cdot\tfrac23n^3$ 次运算，与 $LU$ 分解同阶。这就是工程上实际求逆的方式，绝不走伴随矩阵。

【计算机制解说】：$LU$ 分解把”求一次 $\det$”和”解 $n$ 个方程组”统一在同一套消元里：分解只做一次（$\tfrac23n^3$），之后每个右端项只要 $2n^2$ 的前代/回代。$\det$ 是 $U$ 的免费副产品，$A^{-1}$ 是顺手的额外收获。 这正是”分解优于公式”的典型例子——$A^{-1}=\operatorname{adj}A/\det A$ 是一次性公式，$LU$ 是可复用的结构。

矩阵分解的核心思想

本讲的”分解”就是消元本身：$A = LU$（若需换行则 $PA = LU$）。消元把 $A$ 拆成 \(A = L\,U,\) 其中 $L$ 是单位下三角（对角元全 1），$U$ 是上三角（对角元是主元）。对本讲的 $A$： \(L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ \tfrac12 & -\tfrac12 & 1 \end{bmatrix},\qquad U = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \tfrac12 \end{bmatrix}.\) 验算 $LU = \begin{bmatrix}2&3&1\\4&7&2\\1&1&1\end{bmatrix} = A$。✓

这个分解如何一眼读出行列式？由性质 8（$\det(AB)=\det A\det B$）： \(\det A = \det L \cdot \det U = 1 \cdot \left(u_{11}u_{22}u_{33}\right) = 2\cdot 1\cdot \tfrac12 = 1.\) 因为 $L$ 是单位下三角，$\det L = 1$（对角元之积 $=1$）。这就是”消元法求行列式”的代数骨架：$L$ 不贡献任何倍数，只有 $U$ 的主元之积贡献行列式；唯一可能改变符号的是换行矩阵 $P$（若需要换行，则 $\det P = \pm1$，$\det A = \det P \det U$）。

结构性质：$A$ 可逆 $\iff$ $U$ 的 $n$ 个主元全非零 $\iff$ $\det A \neq 0$。所以行列式不是一个新的神秘量，它就是主元乘积的有符号版本。$LU$ 分解同时揭示了 $\det$ 与秩、与四个基本子空间的连通：”主元个数 $=r$（秩）”，”缺主元 $\iff$ 某主元为 0 $\iff \det = 0 \iff$ $N(A)\neq\{\mathbf{0}\}$”。

为什么”分解”比”公式”更适合求行列式——一个结构性的理由。

   三种视角看同一个 A = [[2,3,1],[4,7,2],[1,1,1]]
   
   公式视角 (讲次 19):           分解视角 (本讲):
   det = 6 项带符号求和           A = L U,  det A = det L * det U
   14 + 6 + 4 - 4 - 12 - 7        = 1 * (2 * 1 * 0.5) = 1
   
   需要知道每一项"从哪来"          只需要知道"消元乘数"与"主元"
   依赖 n! 的排列组合              依赖 n^3 的算术
   结构信息: 弱                   结构信息: 强
     - 哪些项抵消?                  - L 的乘数 = 消元过程
     - 为什么符号是这样?            - U 的主元 = 秩/可逆性/特征值线索
                                    - det L = 1 恒成立（单位下三角）
   
   结论: 公式告诉你 det "是什么"，分解告诉你 det "怎么来" 以及它与其他
   结构量（秩、主元、子空间）的关系。两讲互补，缺一不可。

与”三个基本事实”的呼应：本讲推出的 $\det A=(-1)^k\prod u_{ii}$ 把三件事绑在一起——符号来自交换次数（定向）、大小来自主元（体积）、是否为零来自主元是否缺失（可逆性）。讲次 20 会把这个”主元 = 棱长”的图景画成几何图形，讲次 21 会用它展开特征多项式，讲次 29 会把它升级为奇异值乘积。$LU$ 是这三讲共同的骨架。

应用价值：所有数值线性代数软件（LAPACK）算 $\det$ 都是先做 $PA=LU$，再返回 $\det P\cdot\prod u_{ii}$。这是唯一在 $n$ 稍大时可行的做法。

与其他讲次的关联

• 讲次 4（消元与 $A=LU$）：本讲的算法基础。$PA=LU$ 中的主元乘积就是 $\det A$ 的绝对值；换行次数决定符号。请回看讲次 4 的”主元不可能为 0 当且仅当可逆”。
• 讲次 2-3（矩阵乘法与逆）：$\det(AB)=\det A\det B$ 与 $\det(A^{-1})=1/\det A$ 把”乘法”和”求逆”翻译成数的乘法与倒数，这是把矩阵问题标量化的第一步。
• 讲次 8-10（四个基本子空间）：$\det A = 0$ 等价于 $N(A)\neq\{\mathbf{0}\}$、列向量线性相关、$C(A)$ 不满维。这四个说法在本讲之后可以用一个数统一检测。
• 讲次 19（本讲的下一讲）：把三条公理”展开”成 $n!$ 项的大公式，并给出余子式的系统算法。
• 讲次 20：本讲的性质成为几何解释（体积）与 Cramer 法则（讲次 20）的燃料。
• 讲次 21（特征值）：$\det(A-\lambda I)=0$ 是求特征值的定义方程；若没有本讲的”可逆 $\iff\det\neq0$”，特征值问题根本无法写出代数方程。
• 讲次 29（SVD）：$\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_n = \vert \det A\vert $——行列式是奇异值的乘积，本讲与讲次 29 在这里闭环。

关键要点

1. 三条公理唯一确定行列式：$\det I=1$；交换两行变号；对每一行线性。所有性质都是推论，其中“一行加到另一行不变”是消元的依据。
2. 三角矩阵 $\det =$ 对角元之积；因此 $PA=LU$ 给出 $\det A = \det P\cdot\prod_i u_{ii}$，计算量 $\tfrac23n^3$，是求行列式的标准算法。
3. 乘法法则：$\det(AB)=\det A\cdot\det B$。推论：$\det(A^{-1})=1/\det A$；$\det(A^k)=(\det A)^k$；$\det(tA)=t^n\det A$。注意 $\det(A+B)$ 没有任何简单公式。
4. 可逆性判据：$\det A = 0 \iff A$ 奇异 $\iff$ 存在非零 $\mathbf{x}$ 使 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ $\iff$ 行/列线性相关 $\iff$ 存在主元为 0。
5. 转置不变：$\det(A^{\mathsf T})=\det A$。所以”行”与”列”在行列式面前完全平等，任何行的性质都能照搬到列。
6. 符号记账公式：$\det A=(-1)^k\,d_1d_2\cdots d_n$，$k$ 是消元过程中的行交换次数，$d_i$ 是主元。“行相减不变号、行交换变号”是唯一需要记住的两条操作规则。
7. 公理的唯一性：三条公理不仅”定义”行列式，还唯一确定它——因为任何 $A$ 都能用行变换搬到 $I$，每一步的效果都被公理锁死，从而 $\det A$ 没有第二种取值。这是”用性质定义”能成立的根本原因。

常见误区与注意事项

1. 最大陷阱：$\det(A+B) \neq \det A + \det B$。 行列式对”每一行”线性，不对矩阵加法线性。反例：$A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$，则 $\det A=\det B=0$ 但 $\det(A+B)=\det I=1\neq0$。（顺便：$\det(tA)=t^n\det A$，不是 $t\det A$，很多人在 $n=3$ 时漏掉立方。）
2. 误以为可用”某行乘 2、另一行减 3 倍”来做消元且不算账。 消元求 $\det$ 时只允许行相减（不变号）和行交换（每次变号）；如果你为了制造 $1$ 而先把某行乘了 $t$，就必须把 $t$ 记在账上（最后除以 $t$）。最安全的做法是只用行相减 + 记录交换次数。
3. 忘记数交换次数。 用消元法时如果做过行交换，必须最后乘 $(-1)^k$。例如 $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ 若直接”读对角元之积”得 $0$，完全错误；正确答案是 $-1$（做一次交换得到 $I$，故 $\det = -1$）。
4. 把”两行成比例”仅理解成”两行相等”。 性质是：若某行是另一行的倍数（包括 $0$ 倍，即有一行全零），$\det=0$。例如 $\begin{bmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{bmatrix}$ 的三行都成比例，$\det=0$；更普遍地，秩 1 矩阵（$n\geq2$）行列式恒为 0。
5. 以为 $\det A \neq 0$ 意味着”没有零行”。 反例：$A=\begin{bmatrix}1&2\\2&4.0001\end{bmatrix}$ 两行都非零、几乎平行，$\det = 0.0001\neq0$ 但矩阵病态。反过来，$\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$ 也没有零行，却 $\det=0$。判据是线性相关性，不是”有没有零”。
6. 误以为”消元过程中行列式一直不变”。 只有”行相减”不变；行交换每次乘 $-1$。正确记账是 $\det A=(-1)^k\prod d_i$，漏掉 $(-1)^k$ 是最常见的丢分点。上面”示例 3”的矩阵 $C=\begin{bmatrix}0&2&1\\3&1&4\\2&5&1\end{bmatrix}$ 就演示了这一点：不做交换根本无法起步，而最终 $\det C=+23$，不是 $-23$。
7. 把 $\det$ 当成”矩阵的某种范数”。 $\det$ 可以为负、可以为 0、不满足三角不等式；$\det(A+B)$ 与 $\det A+\det B$ 毫无关系。“大小”的正确度量是范数 $\vert A\vert $ 或奇异值（讲次 29），$\det$ 度量的是有向体积，不是”矩阵的大小”。
8. 在 $n\geq2$ 之外滥用”两行相同为零”。 $1\times1$ 矩阵 $[a]$ 的”两行相同”无从谈起，$\det[a]=a$ 可为任意值。同理，”反对称奇数阶 $\Rightarrow\det=0$”的证明依赖 $(-1)^n=-1$，$n$ 为偶数时该结论不成立（如 $\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$，$\det=2$）。
9. 把”$\det\neq0$”当成”数值稳定”。 行列式对单位极其敏感：把 $A$ 的第二行单位从”米”换成”厘米”（乘 100），$\det$ 就放大 100 倍，可逆性完全没变。判断数值是否接近奇异必须用条件数 $\sigma_1/\sigma_n$（讲次 29），$\det$ 会随单位任意放大或缩小。 这也解释了为什么数值软件从不报告 $\det$ 而报告主元或条件数。
10. 在行/列性质之间犹豫。 因为 $\det(A^{\mathsf T})=\det A$（性质 10），凡是对”行”成立的性质，对”列”逐字成立：交换两列变号、一列乘 $t$ 则 $\det$ 乘 $t$、一列加到另一列 $\det$ 不变、两列相同则 $\det=0$。讲次 20 的 Cramer 法则正是”对列用线性”的直接产物。不用分别记两套，记住一套 + 转置即可。
11. 把”$\det A=0$”与”$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 只有零解”混为一谈。 $\det A=0$ 的等价说法是”$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 有非零解”（$N(A)\neq\{\mathbf{0}\}$），即”零空间不平凡”。这正是讲次 8-10 四个基本子空间的语言：$\det A=0\iff\dim N(A)\geq1\iff\operatorname{rank}(A)<n$。行列式把”可逆性”这个几何/代数问题压缩成了一个数是否为零。
12. 把”远距离交换”当成”多次变号”。 性质 2 说的是”交换任意两行（无论相隔多远），$\det$ 只变号一次”，因为远距离交换可拆成若干次相邻交换，而总次数必为奇数，符号合并后仍是 $-1$。例：$A=\begin{bmatrix}2&3&1\\4&7&2\\1&1&1\end{bmatrix}$（$\det A=1$），把第 1、3 行对调得 $\begin{bmatrix}1&1&1\\4&7&2\\2&3&1\end{bmatrix}$，其行列式 $=-1=-\det A$。不要以为”隔得远就变号更多次”。

思考题（带答案）

Q1. 设 $A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$。已知 $\det A = 1$（本讲已算）。不重新消元，直接写出下列行列式的值： (i) $\det(3A)$；(ii) $\det(A^{\mathsf T})$；(iii) $\det(A^{-1})$；(iv) $\det(A^2)$；(v) $\det(-A)$。

Q2. （概念题）下面每个说法判断真假，并给出理由或反例。 (i) 若 $\det A = 0$ 且 $\det B = 0$，则 $\det(A+B)=0$。 (ii) 若 $\det A = 0$，则 $A$ 的某一行必为零行。 (iii) 若对矩阵 $A$ 做 $R_1 \leftarrow R_1 + 5R_2$，则 $\det A$ 变为 $5\det A$。 (iv) 若 $A$ 是置换矩阵，则 $\det A = \pm 1$。

Q3. （计算题）用消元法求 \(A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & -1 \end{bmatrix}\) 的行列式，写出每一步用了哪条性质，并说明是否有符号变化。

Q4. （计算题）设 \(C=\begin{bmatrix}0&2&1\\3&1&4\\2&5&1\end{bmatrix}.\) 用消元法（含必要的行交换）求 $\det C$，写出交换次数与主元，并说明如果漏记交换符号会得到什么错误答案。